Exercicios (1001)-mesclado-207

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Podemos então deduzir o gráfico completo da função, que será formado por infinitas repetições do 
período já determinado, como sugere a figura:
�
π
2
�
3π
4
3π
4
5π
4
�
5π
4
�π π
y
x0
1
�1
π
8
π
4
π
2
�
π
8
�
π
4
 O domínio é obtido impondo-se a condição de existência para tg 2x, isto é:
 2x % s __ 
2
 1 ks, com k 9 b ] x % s __ 
4
 1 ks ___ 
2
 , com k 9 b
 Logo, o domínio da função é o conjunto:
 D 5  x 9 Vox % s __ 
4
 1 ks ___ 
2
 , com k 9 b  
 O conjunto imagem da função é:
 Im 5 V
 O período p da função é a distância entre duas assíntotas consecutivas, isto é:
 p 5 s __ 
4
 2 @ 2 
s
 __ 
4
 # 5 s __ 
2
 
20 Esboçar o gráfico da função y 5 tg @ s __ 
2
 2 x # .
Resolução
 Para esboçar o gráfico de um período dessa função, podemos atribuir ao arco 
s
 __ 
2
 2 x os valores 
 2 
s
 __ 
2
 , 2 
s
 __ 
4
 , 0, s __ 
4
 e s __ 
2
 , obtendo os correspondentes valores de x e y:
 
s
 __ 
2
 2 x x y
2 
s
 __ 
2
 s Y
2 
s
 __ 
4
 
3s
 ___ 
4
 21
0 
s
 __ 
2
 0
 
s
 __ 
4
 
s
 __ 
4
 1
 
s
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2
 0 Y
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98
.
CAP 15.indb 553 06.08.10 10:03:59
21 Esboçar o gráfico da função y 5 Otg x __ 
2
 O .
Resolução
 Como	fizemos	nos exercícios resolvidos 11 e 12, vamos construir primeiro o gráfico auxiliar y1 5 tg x __ 
2
 :
 
x
 __ 
2
 x y
2 
s
 __ 
2
 2s Y
2 
s
 __ 
4
 2 
s
 __ 
2
 21
0 0 0
 
s
 __ 
4
 
s
 __ 
2
 1
 
s
 __ 
2
 s Y
 Assim, com base na repetição do período considerado na tabela, temos o gráfico:
y
x0
1
�1
π
4
π
2
�
π
2
�
3π
2
3π
4
3π
2
2π�2π �π π
D 5 {x 9 Vox % ks, com k 9 b} 
Im 5 V
p 5 s
y
x
1
�1
π
2
�
π
2
�2π 2π 3π�3π �π π
 Com	base	no	gráfico	auxiliar,	construímos	o	gráfico	da	função	y 5 Otg x __ 
2
 O , da seguinte maneira:
•	 Conservamos	os	pontos	de	ordenadas	não	negativas.
•	 Transformamos	cada	ponto	de	ordenada	negativa	em	seu	simétrico	em	relação	ao	eixo	das	
abscissas.
554
C
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p
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98
.
CAP 15.indb 554 06.08.10 10:04:00
 Assim, obtemos o gráfico da função y 5 Otg x __ 
2
 O :
y
x
1
π
2
�
π
2
�2π 2π 3π�3π �π π
 O domínio é obtido impondo-se a condição de existência para Otg x __ 
2
 O , isto é:
 x __ 
2
 % s __ 
2
 1 ks, com k 9 b ] x % s 1 2ks, com k 9 b
 Portanto, o domínio da função é o conjunto: D 5 {x 9 Vox % s 1 2ks, com k 9 b}
 O conjunto imagem é Im 5 V1. 
 O período p da função é a distância entre duas assíntotas consecutivas, isto é: p 5 s 2 (2s) 5 2s
Período de funções que envolvem tangente
Determinamos o período da função y 5 a 1 b 3 tg (mx 1 q), com {a, b, m, q} - V, b % 0 e m % 0, 
fazendo a medida (mx 1 q) assumir todos os valores reais associados à meia-volta da circunferên-
cia trigonométrica, pois, a cada meia-volta, a função tangente assume todos os valores de sua
imagem V. Por exemplo, quando essa medida assume os valores reais do intervalo R 2 
s
 __ 
2
 , 
s
 __ 
2
 E , temos:
2 
s
 __ 
2
 , mx 1 q , 
s
 __ 
2
 ] 2 
s
 __ 
2
 2 q , mx , 
s
 __ 
2
 2 q
(I) Se m . 0:
2 
s
 __ 
2
 2 q , mx , 
s
 __ 
2
 2 q ] 
2 
s
 __ 
2
 2 q
 ________ 
m
 , x , 
 
s
 __ 
2
 2 q
 ______ 
m
 
O período p da função é a diferença entre o maior e o menor extremo do intervalo acima, 
nessa ordem:
p 5 
 
s
 __ 
2
 2 q
 ______ 
m
 2 @ 2 
s
 __ 
2
 2 q
 ________ 
m
 # 5 
s
 __ 
m
 
(II) Se m , 0:
2 
s
 __ 
2
 2 q , mx , 
s
 __ 
2
 2 q ] 
2 
s
 __ 
2
 2 q
 ________ 
m
 . x . 
 
s
 __ 
2
 2 q
 ______ 
m
 
Calculando o período p:
p 5 
2 
s
 __ 
2
 2 q
 ________ 
m
 2 @ s __ 
2
 2 q
 ______ 
m
 # 5 2 
s
 __ 
m
 
Por (I) e (II), concluímos que:
p 5 
s
 ____ 
OmO
 
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CAP 15.indb 555 06.08.10 10:04:00
22 Determinar o período das funções:
a) y 5 tg 4x b) y 5 5 tg (22x) c) y 5 6 1 4 tg @ s __ 
7
 2 3x # 
EXERCÍCIO RESOlvIdO
Resolução
 Aplicando a fórmula p 5 s
 ____ 
OmO
 , temos:
a) p 5 s
 ___ 
O4O
 5 s __ 
4
 b) p 5 s
 _____ 
O22O
 5 s __ 
2
 c) p 5 s
 _____ 
O23O
 5 s __ 
3
 
 Função cotangente
A função cotangente é a função que associa a cada número real x, com x % ks e k 9 b, um 
único número real y tal que:
y 5 cotg x
O gráfico da função cotangente
Lembrando que sen @ s __ 
2
 2 x # 5 cos x e cos @ s __ 
2
 2 x # 5 sen x, temos:
tg @ s __ 
2
 2 x # 5 
sen @ s __ 
2
 2 x # 
 ____________ 
cos @ s __ 
2
 2 x # 
 5 
cos x
 ______ 
sen x
 5 cotg x
Portanto, o gráfico da função y 5 cotg x é igual ao gráfico da função y 5 tg @ s __ 
2
 2 x # , já cons-
truído no exercício resolvido 20:
y
x0
1
�1
π
4
π
2
�
π
2
�
3π
2
3π
4
3π
2
2π�2π �π π
D 5 {x 9 Vox % ks, com k 9 b}
Im 5 V
p 5 s
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
y 5 cotg x
556
C
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5
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