Exercicios (1001)-mesclado-208

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23 Determinar o domínio D e o conjunto imagem Im da função y 5 cotg x __ 
2
 .
24 Esboçar o gráfico da função y 5 cotg 2x.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
Resolução
 Para esboçar o gráfico de um período da função, cons-
truímos uma tabela e atribuímos ao arco 2x os valores
 0, s __ 
4
 , s __ 
2
 , 3s ___ 
4
 e s, obtendo os correspondentes valores de
 x e y.
 Sabemos que cotg x __ 
2
 5 
cos x __ 
2
 
 ______ 
sen x __ 
2
 
 ; logo, a condição de existência dessa função é sen x __ 
2
 % 0 e, portanto:
 x __ 
2
 % ks, com k 9 b ] x % 2ks, com k 9 b 
 Logo, o domínio da função é o conjunto D 5 {x 9 Vox % 2ks, com k 9 b}
 Como	cotg x __ 
2
 pode assumir qualquer valor real, concluímos que o conjunto imagem da função é 
 Im 5 V.
2x x y
0 0 Y
 
s
 __ 
4
 
s
 __ 
8
 1
 
s
 __ 
2
 
s
 __ 
4
 0
 
3s
 ___ 
4
 
3s
 ___ 
8
 21
s 
s
 __ 
2
 Y
 Assim, com base na repetição do período considerado na tabela, temos o gráfico:
y
x0
1
π
8
π
2
π
4
�
π
2
�
π
4
�
3π
4
3π
8
3π
4
�π π
�1
 O domínio é obtido impondo-se a condição de existência para cotg 2x, isto é:
 2x % ks, com k 9 b ] x % ks ___ 
2
 , com k 9 b 
 O conjunto imagem da função é Im 5 V.
 O período p da função é a distância entre duas assíntotas consecutivas, isto é: p 5 s __ 
2
 2 0 5 s __ 
2
 
 Logo, o domínio da função é o conjunto: D 5  x 9 Vox % ks ___ 
2
 , com k 9 b  
557
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CAP 15.indb 557 06.08.10 10:04:01
17 Determine o domínio e o conjunto imagem de cada 
função.
a) y 5 tg 4x
b) y 5 5 tg 3x ___ 
2
 
c) y 5 4 1 tg @ x 2 s __ 
5
 # 
18 Esboce o gráfico das funções.
a) y 5 tg 4x
b) y 5 2tg 4x 
c) y 5 tg x __ 
2
 
19 Calcule	o	período	de	cada	função.
a) y 5 tg 6x c) y 5 tg @ s __ 
4
 2 2x # 
b) y 5 tg x __ 
6
 
20 Obtenha o domínio e o conjunto imagem de cada 
função.
a) y 5 cotg 2x b) y 5 cotg x __ 
3
 
21 Esboce o gráfico de:
a) y 5 cotg x __ 
2
 b) y 5 22 1 cotg x
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 14 a 21.
 Função cossecante
A função cossecante é a função que associa a cada número real x, com x % ks e k 9 b, um 
único número real y tal que:
y 5 cossec x
O gráfico da função cossecante
Assim como fizemos para as funções anteriores, vamos aplicar um método geométrico na 
construção do gráfico da cossecante. Para isso, construímos a circunferência trigonométrica ao 
lado de um sistema cartesiano, conforme a figura:
y
x
1 1
O π
2
2ππ 3π
2
A unidade adotada nos eixos deve ser igual ao raio da circunferência trigonométrica.
A seguir, marcamos no plano cartesiano os pontos (x, y) tais que y 5 cossec x. Por exemplo, 
transportamos a cossecante do arco de medida 
s
 __ 
4
 para o eixo Oy como ordenada do ponto Me, 
cuja abscissa é 
s
 __ 
4
 . Assim, o ponto Me pertence ao gráfico da função y 5 cossec x. Repetindo o 
procedimento para outros pontos da circunferência trigonométrica, obtemos mais pontos do 
gráfico. Quanto mais pontos determinarmos, mais nos aproximaremos da figura a seguir, que é 
o gráfico de um período da função y 5 cossec x.
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p
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CAP 15.indb 558 06.08.10 10:04:02
y
M�
x
�1
1
0
π
8
π
8
π
2
π
4
π
2
3π
4
7π
8
9π
8
5π
4
3π
2
3π
4
7π
8
5π
4 3π
2
7π
4
9π
8
2ππ
π
2π
7π
4
15π
8
15π
8
M 4
π ��
O gráfico completo da função cossecante é obtido pela repetição do gráfico de um período 
da função ao longo do eixo Ox:
y
x
�1
1
0 π
2
3π
2
2π�π�2π ππ
2
�
3π
2
�
D 5 {x 9 Vox % ks, com k 9 b}
Im 5 { y 9 Voy 1} 
p 5 2s
y 5 cossec x
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CAP 15.indb 559 06.08.10 10:04:02
25 Determinar o domínio da função y 5 cossec @ 2x 2 s __ 
3
 # .
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Sabemos que cossec @ 2x 2 s __ 
3
 # 5 1 _____________ 
sen @ 2x 2 s __ 
3
 # 
 ; logo, a condição de existência dessa função é:
 sen @ 2x 2 s __ 
3
 # % 0 e, portanto: 2x 2 s __ 
3
 % ks, com k 9 b ] x % s __ 
6
 1 ks ___ 
2
 , com k 9 b
 Logo, o domínio da função é o conjunto: D 5  x 9 Vox % s __ 
6
 1 ks ___ 
2
 , com k 9 b  
26 Esboçar o gráfico da função y 5 21 1 cossec x.
27 Determinar o conjunto imagem da função y 5 4 1 2 cossec x.
Resolução
 Basta transladar verticalmente, em 1 unidade para baixo, o gráfico da função y 5 cossec x. Então, o 
gráfico da função y 5 21 1 cossec x é:
Resolução
 y 5 4 1 2 cossec x ] 
y 2 4
 ______ 
2
 5 cossec x
 Como	cossec	x 1, temos: 
y 2 4
 ______ 
2
 1
 Resolvendo as duas últimas inequações, concluímos que y 6 e, portanto, o conjunto 
imagem da função é:
 Im 5 { y 9 Voy 6}
y
x
�2
0 π
2
3π
2
2π�2π �π ππ
2
�
3π
2
�
D 5 {x 9 Vox % ks, com k 9 b} 
Im 5 {x 9 Voy 0} 
p 5 2s
560
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