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EXERCÍCIOS pROpOStOS
2o caso
Seja a a medida de um arco trigonométrico + AM com extremidade em M no 2o, 3o ou 4o quadrante. 
Traçando	a	reta	OM, obtemos:
Pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos, em cada uma das três figuras, :OTA 8 :OMP. 
Portanto:
 
AT
 ___ 
OA
 5 
PM
 ____ 
OP
 
Como AT 5 Otg aO, OA 5 1, PM 5 Osen aO e OP 5 Ocos aO, temos:
 
Otg aO
 ______ 
1
 5 
Osen aO
 ________ 
Ocos aO
 (I)
Observamos que:
•	no	2o quadrante, temos: sen a . 0, cos a , 0 e tg a , 0;
•	no	3o quadrante, temos: sen a , 0, cos a , 0 e tg a . 0;
•	no	4o quadrante, temos: sen a , 0, cos a . 0 e tg a , 0.
Pelas observações acima, concluímos que, em todos os casos, a identidade (I) também é verificada 
sem os módulos, ou seja:
 
tg a
 _____ 
1
 5 
sen a
 ______ 
cos a
 
M (α)
AP
T
O
tg
M (α)
A
tg
P
T
O
M (α)
A
tg
P
T
O
20 Dado sen a 5 
dlll 11 ____ 
6
 e s __ 
2
 , a , s, calcular tg a. 21 Dado tg a 5 1 __ 
2
 e s , a , 3s ___ 
2
 , calcular sen a e cos a.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução Resolução
 Substituindo (I) em (II):
 @ dlll 11 ____ 
6
 # 2 1 cos2 a 5 1 ] 11 ___ 
36
 1 cos2 a 5 1
 } cos2 a 5 1 2 11 ___ 
36
 5 25 ___ 
36
 ] cos a 5 ± 5 __ 
6
 
 Como a é uma medida associada a um ponto do 2o 
quadrante, temos:
 cos a 5 2 5 __ 
6
 
 Logo: tg a 5 sen a ______ 
cos a
 5 
 
dlll 11 ____ 
6
 
 ____ 
2 
5 __ 
6
 
 5 2 
dlll 11 ____ 
5
 
sen a 5 
dlll 11 ____ 
6
 (I)
sen2 a 1 cos2 a 5 1 (II)
tg a 5 1 __ 
2
 
sen2 a 1 cos2 a 5 1
 ] 
 sen a ______ 
cos a
 5 1 __ 
2
 
sen2 a 1 cos2 a 5 1
} 
cos a 5 2 sen a (I)
sen2 a 1 cos2 a 5 1 (II)
 Substituindo (I) em (II): 
 sen2 a 1 (2 sen a)2 5 1 ] 5 sen2 a 5 1
 } sen2 a 5 1 __ 
5
 ] sen a 5 ± 
dll 5 ___ 
5
 
 Como a é medida associada a um ponto do 3o qua-
 drante, temos: sen a 5 2 
dll 5 ___ 
5
 
 Substituindo sen a por 2 
dll 5 ___ 
5
 em (I), obtemos: 
 cos a 5 2 2 dll 5 ____ 
5
 
472
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 d
e 
19
98
.
CAP 13.indb 472 06.08.10 09:24:28
44 Calcule:
a) tg 2s b) tg 3s ___ 
2
 c) tg 3s d) tg (2s)
45 Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações:
a) tg s __ 
5
 3 tg 4s ___ 
2
 . 0 b) 
tg 5s ___ 
9
 
 ______ 
tg 2s ___ 
9
 
 , 0 c) tg 13s ____ 
18
 1 tg 4s ___ 
15
 , 0
46 Sabendo que sen a 5 3 __ 
5
 e s __ 
2
 , a , s, calcule tg a.
47 Calcule o valor de tg a sabendo que cos a 5 2 
dlll 13 ____ 
7
 e s , a , 3s ___ 
2
 .
48 Quais são os valores de sen a e cos a tal que tg a 5 3 __ 
4
 e 0 , a , s __ 
2
 ?
49 Uma reta r passa pelo centro de uma circunferência cujo raio mede 2 cm. Essa circunferência tan-
gencia a reta s em Q, conforme mostra a figura.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 28 a 35.
P s
r
O
Q
α
50 Uma escada em espiral será construída em torno de um reservatório cilíndrico 
de 15 m de altura, dando exatamente uma volta ao redor do reservatório, desde 
um ponto da base inferior até um ponto da base superior. O engenheiro res-
ponsável pelo projeto calculou que a inclinação da escada em relação ao plano
 horizontal deve ser a rad, em toda a sua extensão, com sen a 5 3 __ 
5
 e 0 , a , s __ 
2
 .
 Calcule a medida do raio da base do reservatório.
 A medida a do ângulo agudo formado por r e s é tal que cos a 5 15 ___ 
17
 . Calcule a medida do segmento PQ.
 Tabela trigonométrica dos arcos notáveis
A tabela apresentada na página 461 pode ser completada com os valores da tangente dos 
arcos notáveis, bastando para isso dividir o seno pelo cosseno de cada arco.
30w ou 
s
 __ 
6
 rad 45w ou 
s
 __ 
4
 rad 60w ou 
s
 __ 
3
 rad
sen 
1
 __ 
2
 
 dll 2 
 ___ 
2
 
 dll 3 
 ___ 
2
 
cos 
 dll 3 
 ___ 
2
 
 dll 2 
 ___ 
2
 
1
 __ 
2
 
tg 
 dll 3 
 ___ 
3
 1 dll 3 
473
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3
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g
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	d
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	u
m
	a
rc
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	t
ri
g
o
n
o
m
é
tr
ic
o
CAP 13.indb 473 06.08.10 09:24:28
EXERCÍCIOS pROpOStOS
 Como os triângulos OTA e OTeA são congruentes, 
temos que os pontos T e Te têm ordenadas opos-
tas. Assim, concluímos:
 tg 120w 5 2tg 60w 5 2 dll 3 
22 Consultando a tabela trigonométrica dos arcos 
notáveis, determinar o valor de:
a) tg 120w b) tg 210w c) tg 300w
EXERCÍCIO RESOlvIdO
Resolução
a) O correspondente, no 1o quadrante, da extremi-
dade M do arco de 120w é o ponto P, extremidade 
do arco de 60w.
 Assim: tg 210w 5 tg 30w 5 
dll 3 ___ 
3
 
PM
tg 60°
60°120°
tg
A
T
T’
O
tg 120°
P
M
30°
210°
tg
AO
tg 210° � tg 30°
P
M
tg 60°
60°
300°
A
T
T�
O
tg 300°
Resumindo:
Sendo a a medida, em grau, associada a um ponto do 1o quadrante, temos:
Se a for uma medida em radiano, essas relações devem ser expressas por:
• tg (s 2 a) 5 2tg a • tg (s 1 a) 5 tg a • tg (2s 2 a) 5 2tg a
Essas igualdades se mantêm, mesmo que a esteja associado a um ponto de outro quadrante. 
Verifique.
tg αα
tg
�tg α
180° � α
360° � α
180° � α
tg (180w 2 a) 5 2tg a
tg (180w 1 a) 5 tg a
tg (360w 2 a) 5 2tg a
 Redução ao 1o quadrante
Conhecida a tangente de um arco trigonométrico do 1o quadrante, podemos calcular a tan-
gente do correspondente desse arco em qualquer quadrante, conforme veremos no exercício 
resolvido a seguir.
c) O correspondente, no 1o 
quadrante, da extremi-
dade M do arco de 300w é 
o ponto P, extremidade 
do arco de 60w.
 Assim:
 tg 300w 5 2tg 60w 5 2 dll 3 
b) O correspondente, no 1o quadrante, da extremi-
dade M do arco de 210w é o ponto P, extremidade 
do arco de 30w.
474
C
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p
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 1
3
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A
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19
98
.
CAP 13.indb 474 06.08.10 09:24:29
Arcos de medidas opostas
Considere dois arcos trigonométricos de medidas opostas a e 2a. Os prolongamentos dos 
raios que passam pelas extremidades desses arcos interceptam o eixo das tangentes nos pontos 
T e Te, conforme as figuras abaixo.
α
�α
tg α
tg (�α)
O
A
T
T’
α
�α
tg (�α)
tg α
O
A
T
T’
Como os triângulos OTA e OTeA são congruentes, concluímos que os pontos T e Te têm orde-
nadas opostas, portanto: 
tg (2a) 5 2tg a
Exemplos
a) tg (260w) 5 2tg 60w 5 2 dll 3 b) tg @ 2 
s
 __ 
4
 # 5 2tg 
s
 __ 
4
 5 21
51 Consultando a tabela trigonométrica dos arcos 
notáveis, calcule:
a) tg 120w d) tg 5s ___ 
3
 g) tg 20s ____ 
3
 
b) tg 135w e) tg 5s ___ 
4
 h) tg 17s ____ 
6
 
c) tg 210w f ) tg 11s ____ 
4
 
56 Calcule:
a) tg (245w) b) tg (2120w) c) tg (2300w)
54 No paralelogramo representado abaixo, sabe-se que 
tg a 5 22,6.
 Calcule:
a) tg d
b) tg (a 1 d)
c) tg (2a 1 d)
57 Em um shopping center, uma rampa plana e reta une 
dois pisos horizontais e forma um ângulo obtuso de 
 medida a com o piso inferior, tal que tg a 5 2 2 __ 
5
 . 
55 Calcule a medida do cateto AB do triângulo retân-
gulo ABC a seguir sabendo que AC 5 10 cm e que
 tg a 5 2 5 __ 
6
 
52 Calcule o valor da expressão: 
 E 5 tg2 25s ____ 
3
 1 tg 51s ____ 
4
 2 tg 45s ____ 
4
 
53 Simplifique as expressões:
a) E 5 
tg (s 1 a) 2 tg (2s 2 a)
 ______________________ 
tg (s 2 a) 1 tg (2a)
 , em que tg a % 0
b) E 5 
tg (180w 1 x) 1 tg (180w 2 x) 1 tg (360w 2 x)
 _________________________________________ 
sen (360w 2 x)
 , 
 com sen x % 0
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 36 a 42.
A B
D C
α
β
α
A
C
B
 Umapessoa que percorre toda essa rampa desloca-
-se verticalmente 4 m. Qual é o deslocamento hori-
zontal dessa pessoa?
α
x
180° � α
4 m
475
S
e
ç
ã
o
 1
3
.4
	•	
Ta
n
g
e
n
te
	d
e
	u
m
	a
rc
o
	t
ri
g
o
n
o
m
é
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CAP 13.indb 475 06.08.10 09:24:31