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Moderna PLUS MATEMÁTICA
24
Capítulo Temas básicos de aritmética
PAIVA
 
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.m
o
d
e
rn
a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
1 2
6 4 2
2 0
2 1 3
88 32 24 8
24 8 0
 6 5 4 3 1 1 2 ] 2 5 6 1 4 3 (21)
 } 2 5 1
m
 3 6 1 (21)
n
 3 4
 Logo, uma possibilidade é:
 m 5 1 e n 5 21.
b) 
 88 5 32 3 2 1 24 (I)
32 5 1 3 24 1 8 (II)
 Isolando o mdc em (II), obtemos:
 8 5 32 2 1 3 24 (III)
 De (I), obtemos:
 24 5 88 2 32 3 2 (IV)
 Substituindo (IV) em (III), concluímos:
 8 5 32 2 1(88 2 32 3 2) ]
 ] 8 5 (21)
m
 3 88 1 3
n
 3 32
 Assim, uma possibilidade é:
 m 5 21 e n 5 3
c) 1 2 2 4
93 66 27 12 3
27 12 3 0
 93 5 66 3 1 1 27 (I)
 66 5 27 3 2 1 12 (II)
 27 5 12 3 2 1 3 (III)
 Isolando o mdc em (III), obtemos:
 3 5 27 2 12 3 2 (IV)
 De (II), obtemos:
 12 5 66 2 27 3 2 (V)
 Substituímos (V) em (IV), obtendo:
 3 5 27 2 (66 2 27 3 2) 3 2
 } 3 5 5 3 27 2 2 3 66 (VI)
 De (I), temos: 27 5 93 2 66 3 1 (VII)
 Substituímos (VII) em (VI), obtendo:
 3 5 5 3 (93 2 66 3 1) 2 2 3 66
 } 3 5 5
m
 3 93 1 (27)
n
 3 66
 Assim, uma possibilidade é:
 m 5 5 e n 5 27
242 a) 
1 3 1 2
252 198 54 36 18
54 36 18 0
 252 5 198 3 1 1 54 (I)
 198 5 54 3 3 1 36 (II)
 54 5 36 3 1 1 18 (III)
 Isolando o mdc em (III), obtemos:
 18 5 54 2 36 3 1 (IV)
 De (II), obtemos:
 36 5 198 2 54 3 3 (V)
d) 
720,
360,
180,
90,
45,
15,
5,
1,
1,
1,
2.100
1.050
525
525
525
175
175
35
7
1
2
2
2
2
3
3
5
5
7
 Logo, mmc(720, 2.100) 5 24 3 32 3 52 3 7 5 25.200
b) 450,
225,
225,
225,
75,
25,
5,
1,
1,
1,
1,
264,
132,
66,
33,
11,
11,
11,
11,
11,
11,
1,
126,
63,
63,
63,
21,
7,
7,
7,
7,
1,
1,
750
375
375
375
125
125
25
5
1
1
1
2
2
2
3
3
5
5
5
7
11
 Logo, mmc(450, 264, 126, 750) 5
 5 23 3 32 3 53 3 7 3 11 5 693.000.
245 I. mdc(12, 8) 5 4 e 2 é divisor comum de 12 e 
8; logo, 2 é divisor de mdc(12, 8).
 II. mdc(20, 16) 5 4; logo, mdc(7 3 20, 7 3 16) 5 7 3 4.
 III. mdc(36, 54) 5 9 e 3 é divisor comum de 36 e 
54; logo, mdc(36 4 3, 54 4 3) 5 9 4 3.
 IV. No conjunto {6, 12, 218}, o número 6 é divisor 
comum de 12 e 218; logo, mdc(6, 12, 218) 5 6.
 V. Temos que mdc(8, 10) 5 2. Dividindo 8 e 10 
por 2, obtemos 4 e 5, respectivamente. Note 
que 4 e 5 são primos entre si.
246 I. Como 60 é múltiplo comum de 15 e 10, concluí-
mos que 60 é múltiplo comum do mmc(15, 10).
 II. Como mmc(18, 4) 5 36, temos que 
 mmc(5 3 18, 5 3 4) 5 5 3 36.
 III. Como mmc(16, 24) 5 8 e 4 é fator comum de 
16 e 24, temos que mmc(16 4 4, 24 4 4) 5 8 4 4.
 IV. No conjunto {75, 25, 15}, o número 75 é múl-
tiplo de 25 e 15; logo, mmc(75, 25, 15) 5 75.
 V. 8, 10 e 9 são primos entre si; logo, 
mmc(8, 10, 9) 5 8 3 10 3 9 5 720.
 Substituímos (V) em (IV), obtendo:
 18 5 54 2 (198 2 54 3 3) 3 1
 } 18 5 4 3 54 2 1 3 198 (VI)
 De (I), obtemos: 54 5 252 2 198 3 1 (VII)
 Substituímos (VII) em (VI), obtendo:
 18 5 4 3 (252 2 198 3 1) 2 1 3 198
 } 18 5 4
m
 3 252 1 (25)
n
 3 198
 Assim, uma possibilidade é:
 m 5 4 e n 5 25
243 a) 288 5 25 3 32 e 378 5 2 3 33 3 7
 Logo, mmc(288, 378) 5 25 3 33 3 7 5 6.048
b) 980 5 22 3 5 3 72
 825 5 3 3 52 3 11
 273 5 3 3 7 3 13
 Logo, mmc(980, 825, 273) 5 22 3 3 3 52 3 72 3 11 3 13 5
5 2.102.100
244 a) 
Moderna PLUS MATEMÁTICA
25
Capítulo Temas básicos de aritmética
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1 MANOEL 
PAIVA
84
42
21
7
1
2
2
3
7
] 84 5 7 3 22 3 3
248 60
30
15
5
1
2
2
3
5
] 60 5 22 3 3 3 5
Logo, o número pedido é 7.
247 
Logo, as medidas procuradas são 3 cm e 5 cm.
249 Os divisores naturais de 36 são 1, 2, 3, 4, 6 e 9. 
Dividindo 36 por esses divisores, obtemos:
36 1
0 36
 36 2
0 18
 36 3
0 12
 36 4
0 9
 36 6
0 6
 36 9
0 4
Logo: 36 5 36 3 1
 36 5 18 3 2
 36 5 12 3 3
 36 5 9 3 4
 
36 5 6 3 6
36 5 4 3 9
mesmo retângulo
Concluímos, então, que as medidas dos lados 
dos retângulos são: 36 cm e 1 cm; 18 cm e 2 cm; 
12 cm e 3 cm; 9 cm e 4 cm; 6 cm e 6 cm.
250 a) Sendo, respectivamente, A e B os conjuntos 
dos divisores de 18 h e de 24 h, no intervalo 
de 5 h às 17 h, temos:
 A 5 {6, 9} e B 5 {6, 8, 12}
 Como A e B têm o elemento 6 comum, isso 
significa que às 6 h os trens estariam simul-
taneamente no ponto P. Logo, essa programa-
ção de horários provocaria um acidente.
b) Sendo, respectivamente, C e D os conjuntos 
de divisores de 18 h e de 16 h, no intervalo de 
5 h às 17 h, temos:
 C 5 {6, 9} 
 D 5 {8, 16}
 Como C e D não têm elemento em comum, 
concluímos que essa programação de horá-
rios não põe em perigo os comboios.
Alternativa b.
251 mdc(270, 72, 126) 5 18
Logo, cada caixa terá 18 ovos.
252 mdc(12, 8, 16) 5 4
Logo, cada pedaço terá 4 m de comprimento e 
serão obtidos 9 pedaços (12 4 4 1 8 4 4 1 16 4 4).
253 mdc(210, 462) 5 42
Logo, a capacidade de cada ônibus é de 42 pas-
sageiros.
Assim, para transportar os alunos do ensino fun-
damental serão necessários 11 ônibus (462 4 42).
254 mdc(9, 27, 18) 5 9
Logo, a medida de cada aresta dos cubinhos 
deve ser de 9 cm.
255 mmc(6, 8, 9) 5 72
Logo, a próxima partida dos três navios juntos 
do porto de Santos será daqui a 72 dias.
256 mmc(45, 30, 54) 5 270
Logo, os ônibus partirão novamente juntos às 
7 h 1 270 min, ou seja, às 11 h 30 min.
257 O menor inteiro positivo que multiplicado por 
45 resulta em um múltiplo de 35 é 7, pois
45 5 32 3 5 e 35 5 5 3 7
Logo, o menor tempo que o moinho deve tra-
balhar para que toda a farinha produzida seja 
embalada é 7 min.
258 mmc(9, 12) 5 36
Logo, os dois satélites se encontrarão novamen-
te sobre Belo Horizonte daqui a 36 horas.
259 mmc(88, 224) 5 2.464
Logo, o próximo instante em que Mercúrio e Vê-
nus ocuparão novamente as posições A e B será 
daqui a 2.464 dias.
260 Indicando, respectivamente, por t1 e t2 os tem-
pos em que Pedro e seus pais percorrem uma 
volta completa da pista, temos:
t1 5 (1.200 4 6)s 5 200 s
t2 5 (1.200 4 8)s 5 150 s
Como mmc(200, 150) 5 600, concluímos que o 
próximo instante em que ambos passarão nova-
mente pelo ponto de partida será daqui a 600 s, 
ou seja, 10 min.
Moderna PLUS MATEMÁTICA
1
Parte I 
Capítulo 1 Conjuntos 
PAIVA
 
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1 MANOEL 
PAIVA
Para pensar
1 Como 15 bilhões de anos correspondem a 1 ano, 
temos:
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
12 meses
1 mês
15.000.000.000 anos
x anos
1.250.000.000 anos
y anos
30 dias
1 dia
365 dias
z dias
4.500.000.000 anos
220.000.000 anos
x 5 15.000.000.000 _______________ 
12
 5 1.250.000.000
Portanto, no calendário, 1 mês corresponde a 
1.250.000.000 anos.
2 Supondo que cada mês tenha 30 dias, calculamos:
y 5 1.250.000.000 _____________ 
30
 * 41.666.667
Assim, 1 dia do calendário corresponde a aproxi-
madamente 41.666.667 anos.
3 A idade da Terra é 4,5 bilhões de anos e os dinos-
sauros surgiram há 220 milhões de anos.
Como 4,5 bilhões de anos correspondem a 1 ano, 
temos:
z 5 220.000.000 3 365 _________________ 
4.500.000.000
 * 18
Logo, se representássemos a idade da Terra por 
1 ano, os dinossauros teriam surgido há aproxi-
madamente 18 dias.
Exercícios propostos
1 A 5 {1, 2, 3, 5, 7, 8}
B 5 {0, 3, 5, 7, 9, 12}
C 5 {2, 3, 4, 5, 8, 9}
2 a) x2 5 9 ] x 5 ± dll 9 
 } x 5 ±3
 A 5 {23, 3}
b) Todo número inteiro x é tal que x2 > 0; logo:
 B 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}
c) Todo número inteiro x % 0 é tal que x2 . 0; 
logo:
 C 5 {..., 23, 22, 21, 1, 2, 3, ...}
d) Apenas o número inteiro 0 (zero) satisfaz a 
inequação x2to.
e) E 5 {0}; logo, E é finito.
4 A 5 { x __ x é um número ímpar e maior que 1}
5 ~, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
6 a) V, pois r é um conjunto de pontos, sendo A um 
deles.
b) F, pois não se usa a relação de inclusão entre 
elemento e conjunto.
c) V, pois o elemento do conjunto {A}, que é o 
ponto A, pertence ao conjunto de pontos r.
d) F, pois essa afirmação significa que AB é um 
elemento de r, quando, na verdade, os pontos 
pertencentes a AB é que são elementos de r.
e) V, pois todos os elementos (pontos) de AB per-
tencem ao conjunto de pontos r.
f) V, pois todos os elementos (pontos) de DE per-
tencem ao conjunto de pontos AE.
g) V, pois cada extremo de AC é elemento do 
conjunto de pontos AC.
h) F, pois não se usa a relação de inclusão entre 
elemento e conjunto.
7 a) (A) 5 {~, {5}, {8}, {5, 8}}
b) (A) 5 {~, {6}}
c) (A) 5 {~}
8 O conjunto E tem 5 elementos; logo, ele possui
25 5 32 subconjuntos. 
9 Como os dois conjuntos são iguais, então x 5 3 e 
y 5 1.
10 a) F, pois, por exemplo, para n(B) 5 3 temos, 
(A) e (B) com 16 e 8 elementos, respecti-
vamente.
b) F, pela mesma justificativa do item a.
c) V, pois sendo n o número de elementos de 
B, o número de elementos de (A) é 2n 1 1 5 
5 2 3 2n, ou seja, o número de elementos de (A) 
é duas vezes o número de elementos de (B).
d) F, pela mesma justificativa do item c.
e) V, pois, para n 5 0, temos que o número de 
elementos de (B) é 20 5 1.
Moderna PLUS MATEMÁTICA
2
Parte I 
Capítulo 1 Conjuntos 
Resolução dos exercícios
PAIVA
 
w
w
w
.m
o
d
e
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a
p
lu
s
.c
o
m
.b
r
1 MANOEL 
PAIVA
11 • Como D - E e E - F, deduzimos que:
 D - F (I)
 Além disso, é dado: F - D (II)
 Por (I) e (II), concluímos que D 5 F.
• Como E - F e F - D, deduzimos que:
 E - D (III)
 Além disso, é dado: D - E (IV)
 Por (III) e (IV), concluímos que D 5 E.
 Assim, temos D 5 F e D 5 E, concluindo então 
que D 5 E 5 F.
Alternativa c.
12 a) A 0 B 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, 3}
b) A ) B 5 {0, 1, 2}
c) A 0 D 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
d) A ) D 5 ~
e) A 0 B 0 D 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
f ) A ) B ) C 5 {0, 1, 2}
g) A ) B ) C ) D 5 ~
h) (A 0 D) ) (B 0 C) 5 {21, 0, 1, 2, 3, 4}
i) (A ) D) 0 (B 0 C) 5 {21, 0, 1, 2, 3, 4}
13 
S
c
a
b
d
e
f
g
T
14 
12
15
1
0
6
8
A
C
B
2
3
21 a) Ae0 Be
A B
U
b) (A ) B)e
A B
U
18 a) V, pois para qualquer ponto X pertencente a 
AC temos X 9 AB ou X 9 BC; e para qualquer 
X 9 AB ou X 9 BC temos X 9 AC.
b) V, pois para qualquer ponto X pertencente a 
BC temos X 9 AC ou X 9 BD; e para qualquer 
X 9 AC ou X 9 BD temos X 9 BC.
c) V, pois para qualquer ponto X pertencente a 
AC temos X 9 BC ou X 9 AB; e para qualquer 
X 9 BC ou X 9 AB temos X 9 AC.
d) V, pois para qualquer ponto X pertencente a 
r temos X 9 BC ou X 9 CB; e para qualquer 
X 9 BC ou X 9 CB temos X 9 r.
e) F, pois B 9 (CD 0 BA) e B ( (r 2 BC).
f ) V, pois para qualquer ponto X pertencente a 
BC temos X 9 AD ou X 9 BC; e para qualquer 
X 9 AD ou X 9 BC temos X 9 BC.
g) F, pois A 9 (AD 0 BC) e A ( BC.
h) F, pois CD 0 BD 5 BD.
19 a) F 2 E 5 {1, 2, 9}
b) G 2 E 5 {5, 7}
c) (E 0 G ) 2 F 5 {5, 7}
d) (F 2 G ) 0 (G 2 F ) 5 {1, 2, 3, 5, 7, 9}
e) i 
F
 E {1, 2, 9}
f ) i 
F
 (E ) G) {1, 2, 3, 9}
g) i 
F
 G não existe, pois G _ F
h) i 
E
 E 5 ~
i) i 
F
 ~ 5 F 5 {1, 2, 3, 8, 6, 4, 9}
20 
 Observe que (A ) B)e 5 Ae 0 Be.
AA B
3
8
2
5
9
P
V
S
• Leandro
• Tiago
• Igor
• Carla
• Janice
C
BA
3
12
2
11
7
94
5
1
8
16 
15 
Sendo P o conjunto de pessoas que tocam piano, V 
o conjunto de pessoas que tocam violão e S o con-
junto de pessoas que tocam saxofone, temos:
a) {Igor, Carla, Tiago, Janice, Leandro}
b) {Igor, Carla, Tiago}
c) ~
17 A ) (B 0 C) 5 (A ) B) 0 (A ) C) 5 D 0 F
Alternativa b.