livro1-2023-matematica

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1MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
GIUSEPPE NOBILIONI
Coordenador e Professor 
do Curso e Colégio Objetivo
JORGE KRIKORIAN
MAURO GRESPAN
Professores do Curso e Colégio Objetivo
Índice
Álgebra
Capítulo 1 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Capítulo 2 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Capítulo 3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Capítulo 4 Exercícios-tarefa 
(Potenciação, radiciação e fatoração) . . . . 16
Capítulo 5 Equações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Capítulo 6 Exercícios-tarefa 
(Equações, sistemas e problemas) . . . . . . . . . 27
Capítulo 7 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Capítulo 8 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Capítulo 9 Exercícios-tarefa 
(Conjuntos e funções) . . . . . . . . . . . . . . . 71
Capítulo 10 Função polinomial do 1o. grau . . . 79
Vas
sily
Ka
nd
in
sk
y
–
C
om
po
si
tio
n
V
II
I
–
19
23
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Capítulo 11 Função polinomial do 2o. grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Capítulo 13 Exercícios-tarefa (Função do 1o. e 2o. grau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Capítulo 14 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Trigonometria
Capítulo 1 Funções trigonométricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Capítulo 2 Medidas de arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Capítulo 3 Estudo das funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Geometria Plana 
Capítulo 1 Introdução à Geometria – Ângulo – Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Capítulo 2 Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Capítulo 3 Polígonos – Quadriláteros notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Capítulo 4 Segmentos proporcionais – Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Capítulo 5 Relações métricas nos triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
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1
Fundador da Álgebra
Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi nasceu em
Khawarizm (Khiva), no sul da cidade do Rio Oxus, no Uzbequistão atual.
Seus pais migraram para um lugar ao sul de Bagdá quando era criança; a data
exata de seu nascimento não é conhecida.
A palavra álgebra deriva do título de um de seus livros, al-Kitab 
al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabalah (“Compêndio sobre a
transposição e a redução”) e por conseguinte ele é considerado o “pai” da
Álgebra. As palavras algarismo e algoritmo são derivadas do seu nome.
Esse livro não somente deu o nome de Álgebra a esta ciência, em seu significado moderno, mas abriu uma nova
era da Matemática.
Al Khawarizmi estabeleceu seis tipos de equações algébricas que ele mesmo solucionou em seu livro.
Al Khawarizmi foi o primeiro a escrever sobre a Álgebra, depois dele veio Abu Kamil Shuja Ibn Aslam, e muitos
outros seguiram seus passos. Seu livro sobre os seis problemas de álgebra é um dos melhores sobre este assunto, muitos
autores da Andaluzia fizeram bons comentários sobre esse livro, sendo um dos melhores exemplos o de Al Qurashi.
Enfim, grandes matemáticos do oriente muçulmano aumentaram o número de equações de seis para vinte; para
todas, acharam soluções fundadas em sólidas demonstrações geométricas.
A incógnita nas equações algébricas era denominada pelos matemáticos muçulmanos como ''xay'' (coisa),
notadcamente na álgebra de Ômar Khayyam, que ao ser transcrita xay pelos espanhóis, deu origem ao X da Álgebra
moderna. Outra obra de Al Khawarizmi que exerceu grande influência é a introdução do cálculo hindu no mundo
islâmico, o que posteriormente foi ampliado e aprofundado por outros matemáticos muçulmanos que o seguiram.
1ÁlgebraPotenciação
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2
1. Definições
Seja a um número real e n um número natural maior
que 1. Potência de base a e expoente n é o produto de n
fatores iguais a a. Representa-se a potência pelo símbolo an. 
Assim: 
an = a · a · … · a, ∀n ∈ �, n � 2
n fatores
Para expoente ZERO e expoente UM, adotam-se as
seguintes definições:
e
Seja a um número real, não nulo, e n um número
natural. A potência de base a e expoente negativo – n é
definida pela relação:
2. Propriedades
Sendo a e b números reais, m e n números inteiros,
valem as seguintes propriedades:
a) Potências de mesma base
Para multiplicar, mantém-se a base e somam-se os
expoentes.
Para dividir, mantém-se a base e subtraem-se os
expoentes.
, supondo a ≠ 0
b) Potências de mesmo expoente
Para multiplicar, mantém-se o expoente e mul ti -
plicam-se as bases.
Para dividir, mantém-se o expoente e dividem-se as
bases.
, supondo b ≠ 0
Para calcular a potência de outra potência, man -
tém-se a base e multiplicam-se os expoentes.
3. Observações
Se os expoentes forem inteiros negativos, as pro prie -
dades também valem.
Lembrar, porém, que nestes casos as bases devem
ser diferentes de zero.
As propriedades do item (2) têm a finalidade de fa -
cilitar o cálculo. Não é obrigatório o seu uso. Devemos
usá-las quando for conveniente.
Exemplos
I) Calcular o valor de 23 · 22 sem usar a propriedade,
23 · 22 = 2 · 2 · 2123 · 2 · 2123 = 8 · 4 = 32, dá praticamente o
mesmo trabalho que obter este valor utilizando a
propriedade, 23 · 22 = 23+2 = 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
II) Calcular, entretanto, o valor de 210 ÷ 28 sem usar a
propriedade,
210 ÷ 28 = (2 · 2 · 2 · ... 2) ÷ (2 · 2 · 2 · ... 2) = 1024 ÷ 256 = 4,
14243 14243
10 fatores 8 fatores
é, com certeza, muito mais trabalhoso do que simples -
mente usar a propriedade 210 ÷ 28 = 210–8 = 22 = 4
a1 = a
1
a–n = –––
an
am · an = am + n
am
–––– = am–n
an
(am)n = am. n
an · bn = (ab)n
an a
–––– = �––�nbn b
a0 = 1
1. Calcular: 23; (– 2)3 ; – 23
Resolução
a) 23 = 2 · 2 · 2 = 8
b) (– 2)3 = (– 2) · (– 2) · (– 2) = – 8
c) – 23 = – 2 · 2 · 2 = – 8
Resposta: 23 = 8; (– 2)3 = – 8; – 23 = – 8
2. Calcular: 24; (– 2)4; – 24
Resolução
a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
b) (– 2)4 = (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) = 16
c) – 24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = – 16
Resposta: 24 = 16; (– 2)4 = 16; – 24 = –16
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3
3. Calcular:
3
; (0,2)4; (0,1)3
Resolução
a)
3
= · · = 
b) (0,2)4 = (0,2) · (0,2) · (0,2) · (0,2) = 0,0016
c) (0,1)3 = (0,1) · (0,1) · (0,1) = 0,001
Resposta: 
3
= ; (0,2)4 = 0,0016 ; (0,1)3 = 0,001
4. Calcular: 2–3; (– 2)–3; – 2–3
Resolução
a) 2–3 = = = = 0,125
b) (– 2)–3 = = = = – = – 0,125
c) – 2–3 = – = – = – = – 0,125
Resposta: 2–3 = 0,125; (– 2)–3 = – 0,125; – 2–3 = – 0,125
5. Calcular: 10–1; 10–2; 10–5
Resolução
a) 10–1 = = = 0,1
b) 10–2 = = = = 0,01
c) 10–5 = = = = 0,00001
Resposta: 10–1 = 0,1; 10–2 = 0,01; 10–5 = 0,00001
6. Verificar que: 0,6 = 6 · 10–1; 0,06 = 6 · 10–2; 
0,00031 = 31 · 10–5; 0,00031 = 3,1 · 10–4
Resolução
a) 0,6 = = = 6 · = 6 · 10–1
b) 0,06 = = = 6 · = 6 · = 6 · 10–2
c) 0,00031 = = = 31. = 31. = 31.10–
5
d) 0,00031 = = = 3,1 · =
= 3,1 · = 3,1 · 10–4
7. Verificar, usando a definição de potência, que a3 · a4 =a3+4 = a7.
Resolução
a3 · a4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a · a · a · a · a · a · a = a7123 14243 1442443
3 fatores 4 fatores (3 + 4) fatores
8. Verificar, usando a definição de potência, que = a7–4 = a3, para
a � 0.
Resolução
7 fatores6447448
a7 a · a · a · �a .�a .�a .�a 
–— = ——––——————— = a · a · a = a7–4 = a3
a4 �a .�a .�a .�a 123123 (7–4) fatores
4 fatores
9. Verificar, usando a definição de potência, que a3 · b3 = (a · b)3.
Resolução
a3 · b3 = (a · a · a) · (b · b · b) = (a · b) · (a · b) · (a · b) = (a · b)3.
10. Verificar, usando a definição de potência, que =� �
3
, para b � 0.
Resolução
= = 
· · 
=� �
3
11. Verificar que (a2)3 = a2.3 = a6.
Resolução
(a2)3 = a2 · a2 · a2 = (a · a) · (a · a) · (a · a) = a · a · a · a · a · a = a2.3 = a6123 123 123 123 14243
3 fatores 2 fat. 2 fat. 2 fat. 3 · 2 fatores1442443
3 fatores
12. Verificar que a2
3
= a8.
Resolução
a23 = a2 · 2 · 2 = a8
13. Verificar que: (9 · 1019) · 
· 
(1,1)2 · 10–3 = 48,4 · 107
Resolução
(9 · 1019) · 
· 
(1,1)2 · 10–3 =
= =
=
· 
=
= 484 · 1019–6–2–3–2 = 484 · 106 = 48,4 · 10 · 106 = 48,4 · 107
14. Sendo n ∈ �, mostrar que 2n + 2n+1 = 3 · 2n
Resolução
2n + 2n+1 = 2n + 2n · 2 = (1 + 2) · 2n = 3 · 2n
15. Sendo n ∈ �, mostrar que = .
Resolução
= =
= = =
1
–––
23
1
–––
8
1
––––––––
2 · 2 · 2 
1
–––––
(– 2)3
1
–––––––––––––––
(– 2) · (– 2) · (– 2)
1
–––
10
1
––––
101
1
–––––––––––––––––––
10 · 10 · 10 · 10 · 10
1
––––––––
100 000
1
––––
10
0,06
–––––
1
6
––––
100
0,00031
––––––
1
31
–––––––
100 000
1–––––––
100000
0,00031
––––––––
1
3,1
–––––––
10 000
1
–––––––
10 000
a7
–––
a4
4 · 10–6
–––––––––
32 · 102
4 · 10–6
––––––––
32 · 102
9 · 1019 · 4 · 10–6 · 112 · 10–2 · 10–3
––––––––––––––––––––––––––––––––––
32 · 102
9 · 4 · 121
––––––––––
9
1019 · 10–6 · 10–2 · 10–3
–––––––––––––––––––––––
102
2n + 2n+1 + 2n+2
––––––––––––––––
2n+3 + 2n+4
7
––––
24
2n + 2n+1 + 2n+2
––––––––––––––––
2n+3 + 2n+4
2n + 2n · 2 + 2n · 22
––––––––––––––––––––
2n · 23 + 2n · 24
2n · (1 + 21 + 22)
––––––––––––––––
2n · (23 + 24)
2n · 7
–––––––
2n · 24
7
––––
24
1
–––
8
1
–––
– 8
1
–––
23
1
––––––––
2 · 2 · 2 
1
–––
8
1
––––
102
1
–––––––
10 · 10
1
––––
100
1
––––
105
6
––––
10
0,6
––––
1
a3
–––
b3
a · a · a
————
b · b · b
a
–––
b
a
–––
b
a
–––
b
a
–––
b
a3
–––
b3
a
––
b
1
––––
100
1
––––
102
1
–––
105
1
––––
104
1
–––
27�
1
–––
3�
�1–––3�
1
–––
27
1
–––
3
1
–––
3
1
–––
3�
1
–––
3�
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4
De 16 a 29, calcule:
16. 14 17. 03 18. 53 19. (–5)3
20. –53 21. 52 22. (–5)2 23. –52
24. 5–2 25. (–5)–2 26. –5–2 27. 50
28. (– 5)0 29. – 50
30. O valor da expressão (– 1)0 + (–6) : (– 2) – 24 é:
a) 20 b) –12 c) 19,5 d) 12 e) 10
31. (UEL) – Efetuando-se � �
2
+ � �
–2
. � �, obtém-se:
a) – b) c) 5 d) e)
32. O valor de é:
a) b) c) d) e) 4
33. (MACKENZIE) é igual a:
a) b) 90 c) d) e) – 90
34. (FUVEST) – A metade de 2100 é:
a) 250 b) 1100 c) 299 d) 251 e) 150
35. (CESGRANRIO) – A representação decimal de 0,013 é:
a) 0,03 b) 0,001 c) 0,0001
d) 0,000001 e) 0,0000001
36. Um condomínio possui 6 blocos. Cada bloco possui 6 casas e em
cada casa moram 6 pessoas. Nesse mes mo condomínio, mora
um zelador responsável pela manutenção. Dian te do exposto, a
expressão numérica que determina o núme ro de pessoas que
moram nesse condomínio é
a) 63 + 1 = 217. b) 63 + 1 = 19.
c) 3 · 6 + 1 = 19. d) 6 + 6 + 6 + 1 = 19.
e) 6 · 6 · 6 · 1 = 216.
37. Sendo x = (22)3, y = 223 e z = 232, escrevendo o produto x · y · z
na forma 2n, qual o valor de n?
38. As exportações de soja do Brasil totalizaram 
4,129 mi lhões de toneladas no mês de julho de
2012, e registraram um aumento em relação ao
mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em
relação ao mês de maio de 2012. 
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br.
Acesso em: 2 ago. 2012. 
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no
mês de julho de 2012 foi de 
a) 4,129 x 103 b) 4,129 x 106 c) 4,129 x 109
d) 4,129 x 1012 e) 4,129 x 1015
39. (ALBERT EINSTEIN) – A tabela seguinte permite exprimir os
valores de certas grandezas em relação a um valor determinado
da mesma grandeza tomado como referência. Os múltiplos e
submúltiplos decimais das unidades do Sistema Internacional de
Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos
valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego
dos prefixos indicados.
(Quadro geral de Unidades de Medida, 
2a. ed. – INMETRO, Brasília, 2 000)
Por exemplo, se a unidade de referência fosse o ampère (A),
teríamos:
152 000 µA = 152 000 · 10–6 A = A = 0,152 A
Se o grama (g) for a unidade de referência e 
X = , então o valor de X, em 
gramas, é tal que:
a) X < 500 b) 500 < X < 1 000
c) 1 000 < X < 1 500 d) X > 1 500
5
–––
2
1
–––
2
3
–––
2
75
–––
8
13
–––
8
5
–––
4
49
–––
4
3–1 + 5–1
––––––––––
2–1
1
–––
8
1
–––
2
4
–––
15
16
–––
15
2
(– 5)2 – 32 + �—�
0
3
———————––—
1 1
3–2 + — + —
5 2
1 530
———
73
3 150
––––––
17
17
———
3150
Nome Símbolo
Fator pelo qual a 
unidade é multiplicada
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 103 = 1 000
hecto h 102 = 100
deca da 10 = 10
deci d 10–1 = 0,1 
centi c 10–2 = 0,01
mili m 10–3 = 0,001
micro µ 10–6 = 0,000 001
nano n 10–9 = 0,000 000 001
pico p 10–12 = 0,000 000 000 001
152 · 103
–––––––––
106
(12500 · 109 Gg) · (0,0006 ng)
––––––––––––––––––––––––––––
0,000 012 Tg
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5
40. (FATEC) – Você certamente não percebeu, mas a Lua está
afas tando-se de nós. O satélite da Terra está atualmente 18
vezes mais longe do que quando se formou, há 4,5 bilhões de
anos, e vem afastando-se de nosso planeta a uma velocidade
de 3,78 centímetros por ano. 
http://tinyurl.com/pezmcwj 
Acesso em: 19.03.2015. Adaptado.
Admita que a velocidade de afastamento da Lua em relação à
Terra sempre foi constante. Nessas condições, é correto
concluir que a distância da Lua à Terra, há 4,5 bilhões de anos,
era aproximadamente, em quilômetros, igual a 
a) 1,0 × 104 b) 1,0 × 105 c) 1,0 × 106
d) 1,0 × 107 e) 1,0 × 108
41. (FUVEST) – De 1869 até hoje, ocorreram as seguintes
mudanças de moeda no Brasil: (1) em 1942, foi criado o
cruzeiro, cada cruzeiro valendo mil réis; (2) em 1967, foi criado
o cruzeiro novo, cada cruzeiro novo valendo mil cruzeiros; em
1970, o cruzeiro novo voltou a se chamar apenas cruzeiro; (3)
em 1986, foi criado o cruzado, cada cruzado valendo mil
cruzeiros; (4) em 1989, foi criado o cruzado novo, cada um
valendo mil cruzados; em 1990, o cruzado novo passou a se
chamar novamente cruzeiro; (5) em 1993, foi criado o cruzeiro
real, cada um valendo mil cruzeiros; (6) em 1994, foi criado o
real, cada um valendo 2.750 cruzeiros reais. Quando morreu,
em 1869, Brás Cubas possuía 300 contos. Se esse valor
tivesse ficado até hoje em uma conta bancária, sem receber
juros e sem pagar taxas, e se, a cada mudança de moeda, o
depósito tivesse sido normalmente convertido para a nova
moeda, o saldo hipotético dessa conta seria,
aproximadamente, de um décimo de 
a) real. 
b) milésimo de real. 
c) milionésimo de real. 
d) bilionésimo de real. 
e) trilionésimo de real. 
Dados: 
Um conto equivalia a um milhão de réis. 
Um bilhão é igual a 109 e um trilhão é igual a 1012. 
16) 1 17) 0 18) 125 19) –125
20) –125 21) 25 22) 25 23) – 25
24) 25) 26) – 27) 1
28) 1 29) –1 30) B 31) E
32) D 33) C 34) C 35) D
36) A 37) 23 38) C 39) B
40) A 41) D
1
–––
25
1
–––
25
1
–––
25
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 5
6
1. Definição
Seja a um número real e n um número natural não
nulo. O número x é chamado raiz enésima de a se, e
somente se, elevado ao expoente n reproduz a.
2. Exemplos
O número 7 é uma raiz quadrada de 49, pois 72 = 49.
O número – 7 é uma raiz quadrada de 49, pois (–7)2 = 49.
O número 3 é uma raiz cúbica de 27, pois 33 = 27.
O número –3 é uma raiz cúbica de –27, pois (–3)3 = –27.O número –1 é uma raiz décima de 1, pois (–1)10 = 1.
3. Existência e notação em �
Da definição, conclui-se que determinar todas as
raízes enésimas de a é o mesmo que determinar as
soluções da equação xn = a.
Conclui-se, então, que:
a) a = 0 e n ∈ �*
A única raiz enésima de ZERO é o próprio ZERO e
é representada pelo símbolo 
n
���0 . Logo:
, ∀n ∈ �*
b) a > 0 e n par (e não nulo)
O número a possui duas raízes enésimas. Estas duas
raízes são simétricas. A raiz enésima positiva de a, tam -
bém chamada de RAIZ ARITMÉTICA de a, é re presen -
tada pelo símbolo . A raiz enésima negativa de a, 
por ser simétrica da primeira, é repre sen tada pelo
símbolo .
Exemplo
O número 16 tem duas raízes quartas. A raiz quarta
positiva de 16 é representada pelo símbolo
4
����16 e vale 2.
A raiz quarta negativa de 16 é representada pelo sím -
bolo –
4
����16 e vale – 2. 
Assim sendo:
c) a < 0 e n par (e não nulo)
Não existe raiz com índice par de número negativo.
Exemplo
Não existe raiz quadrada de – 4, pois não existe ne -
nhum número real x, tal que x2 = – 4.
d) a ≠ 0 e n ímpar
O número a possui uma única raiz enésima. Esta raiz
tem o mesmo sinal de a e é representada pelo símbolo
n
����a.
Exemplos
I) O número 8 tem uma única raiz cúbica, que é re -
presentada com o símbolo
3
����8 e vale 2.
Logo:
3
����8 = 2
II) O número – 8 tem uma única raiz cúbica, que é
representada pelo símbolo
3
������– 8 e vale – 2.
Logo: 
3
������– 8 = – 2
4. Observações
a) No símbolo
n
���a, dizemos que
��� é o radical;
a é o radicando;
n é o índice da raiz.
x é raiz enésima de a ⇔ xn = a
n
���0 = 0
–
n
���a
n
���a
4
����16 = 2 –
4
����16 = – 2 ±
4
����16 = ± 2
As raízes quartas de 16 são 2 e – 2.
2ÁlgebraRadiciação
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 6
1. Simplificar �����48.
Resolução
�����48 = ���������16 · 3 = �����16 · ���3 = 4 · ���3
Resposta: 4���3
2. Simplificar 
3
�����54 .
Resolução
3
�����54 = 
3
�������� 27 · 2 = 
3
�����27 · 
3
���2 = 3 · 
3
���2
Resposta: 3 · 
3
���2
7
b) Por convenção, na raiz quadrada, omite-se o ín -
dice. 
Escreve-se, por exemplo, ���4 em lugar de
2
���4.
5. Propriedades
Sendo a e b números reais positivos e n um número
natural não nulo, valem as seguintes propriedades:
a) Radicais de mesmo índice
Para multiplicar, mantém-se o mesmo índice e
multiplicam-se os radicandos.
Para dividir, mantém-se o mesmo índice e divi -
dem-se os radicandos.
, b ≠ 0
b) Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se
o radicando e multiplicam-se os índices.
, m ∈ �*
c) Calcular a raiz e em seguida a potência é o
mesmo que calcular a potência e em seguida a raiz.
, m ∈ �
d) Multiplicar ou dividir índice e expoente por um
mesmo número não altera o resultado.
, m ∈ �, p ∈ �*
Observação: Mantidas as respectivas restrições, as
propriedades apresentadas são válidas também para a e b
negativos, desde que nestes casos o índice seja ímpar.
6. Potência de expoente racional
Seja a um número real positivo, n um número natu ral
não nulo e um número racional na forma irredutível.
A potência de base a e expoente racional é de fi -
ni da por:
Valem para as potências de expoente racional as
mes mas propriedades válidas para as potências de ex -
poen te inteiro.
7. Racionalização 
de denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração significa
eliminar todos os radicais (ou potências de expoentes
fracio nários) que existem no denominador dela, sem po -
rém alterar o seu valor.
Exemplo
Notando que
= · = = 
conclui-se que é igual a e possui o de -
nominador racionalizado.
2
––––
���3
2���3
––––––
3 
2���3
––––––
3 
2 · ���3
–––––––
(���3 )2
���3
––––
���3
2
––––
���3
2
––––
���3
m––n
m––n
n
���a · 
n
���b = 
n
������a · b
n
���a n a–––– = ––
n
���b b
n
�����m���a = n.m���a
(n���a)m = n�����am
n
�����am = 
np
�������amp
an
––m
= 
n
�����am
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8
3. Simplificar .
Resolução
= = = = 
Resposta:
4. Simplificar 
3
������8a4, sendo a um número positivo.
Resolução
3
������8a4 = 
3
������������8 · a3 · a = 
3
���8 ·
3
����a3 · 
3
���a = 2 · a · 
3
���a
Resposta: 2 · a · 
3
���a 
5. Simplificar ·
Resolução
· = = =
= = = = = 
Resposta: 
6. Reduzir os radicais ���3 e 
3
���5 para o mesmo índice 6.
Resolução
���3 = 
2
����31 = 
2.3
������31.3 = 
6
����33 = 
6
����27
3
���5 = 
3
����51 = 
3.2
������51.2 = 
6
����52 = 
6
����25
Resposta: 
6
����27; 
6
����25
7. Escrever na forma de um único radical a expressão ���3 · 
3
���5
Resolução
Reduzem-se os radicais para o mesmo índice 6 (que é o mínimo
múltiplo comum entre 2 e 3) e em seguida usa-se a primeira
propriedade das raízes. Assim:
���3 · 
3
���5 = 
6
����27 · 
6
����25 = 
6
���������27· 25 = 
6
������675
Resposta: 
6
������675
8. Escrever na forma de um único radical a expressão .
Resolução
= = = 
12
= 
12
���2
Resposta: 
12
���2
9. Escrever o radical ������� �������2 na forma de potência de expoente
racional.
Resolução
������� �������2 = 2.2.2���2 = 8���2 = 2
Resposta: 2
10. Escrever o radical �������2· 3���2 na forma de uma potência de expoen -
te racional.
Resolução
1o. processo
= ���2 · �����3���2 = ���2 · 6���2 = 2 · 2 = 2 + =2 =2
2o. processo
= ���2 · �����3���2 = 2����21 · 6����21 = 6����23 · 6����21 = 
= 
6
�������� 23 · 21 = 
6
����24 = 
3
����22 = 2
3o. processo
Notando que 2 = 
3
����23, temos:
= = =
6
����24 = 
3
����22 = 2
Resposta: 2
11. Sendo a, b e c números reais positivos, mostrar que
= 
12
��������a6b2c
Resolução
= ���a · ����3���b · = 2����a1 · 6����b1 · 12���c =
= 
12
����a6 · 
12
����b2 · 
12
���c = 
12
��������� a6.b2.c
12. Racionalizar o denominador da fração .
Resolução
Multiplicar numerador e denominador da fração por ���2. Assim,
= 
· 
= = =
Resposta: 
13. Racionalizar o denominador da fração . 
Resolução
Notando que 
55
���8 = 
5
����23, multiplicar numerador e denominador da
fração por 
5
����22, uma vez que 
5
����23 · 
5
����22 = 
5
������� 23.22 = 
5
����25 = 2
Assim:
= = 
· 
= = 
Resposta:
8
–––
9
8
–––
9
���8
––––
���9
�������� 4 · 2
––––––––
���9
���4 · ���2
––––––––
���9
2 · ���2
––––––––
3
2���2
–––––
3
17
–––
58
29
–––
34
17
–––
58
29
–––
34
17 29
––– · –––
58 34
17 · 29
––––––––
58 · 34
17 · 29
––––––––––––––
2 · 29 · 2 · 17
1
–––
2.2
1
–––
4
���1
–––––
���4
1
–––
2
1
–––
2
6
����25
––––––
4
����23
6
����25
––––––
4
����23
2.6
������22.5
–––––––
3.4
������23.3
12
�����210
––––––
12
����29
210
––––
29
1––
8
1
––
8
2· 
3
���2
1––2
1––6
1––2
1––6
4––6
2––3
2· 
3
���2
2––3
2· 
3
���2
3
����23 · 
3
���2
3
������� 23· 2
2––3
2
––
3
a
3
b���c
a
3
b���c
3
���c
5
––––
���2
5
––––
���2
5
––––
���2
���2
––––
���2
5���2
––––––––
���2 · ���2
5���2
––––––
(���2)2
5���2
–––––
2
5���2
–––––
2
3
––––
5
���8
3
––––
55
���8
3
––––
55
����23
3
––––
55
����23
55
����22
–––––
55
����22
3 · 
55
����22
–––––––
55
����25
3 · 
55
���4
––––––
2
3 · 
55
���4
––––––
2
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 8
9
De 14 a 17, calcule:
14. ����81 15. – ����81
16.
3
����64 17.
3
������ – 64
18. (UNIP) – O valor de é:
a) 2���3 b) 3���2 c) ���6 d) 2���5 e) 5���2
19. O valor da expressão
· 
+ �1 – � : + �1 + � é:
a) 0,4 b) 2,5 c) d) 1,5 e) 1
20. Calculando-se �– � , obtém-se:
a) – 81 b) – 9 c) 9 d) 81
e) um número não real
21. Calculando o valor da expressão 8 +������ 0,25 +4 · (0,5)4, chega-se a:
a) 1 b) c) 2 d) e)
22. (INATEL) – O valor de (9) + (32)0,8 é:
a) 43 b) 25 c) 11 d) 36 e) 17
23. (FGV) – O valor de · 8 – · 8 é:
a) 1 b) – 1 c) 2,5 d) 0 e) 23
24. Calcular o valor numérico da expressão:
–
3
�����– 8 + 16 – –
–2
+ 8
25. (UEMT) – O número ���������2 352 corresponde a:
a) 4���7 b) 4����21 c) 28���3 d) 28����21 e) 56���3
26. (PUC) – A expressão com radicais ���8 – ����18 + 2���2 é igual a:
a) ���2 b) ����12 c) – 3���2 d)– ���8
27. (UNIFOR) – A expressão ����18 + ����50 é equivalente a:
a) 2����17 b) 34���2 c) 8���2 d) 5���3 e) 2���2
28. Escrever a expressão 2�����2 3���2 na forma de um único radical.
29. (ALFENAS) – Calculando a · , obtém-se:
a)
6
b) 4a–1 c) a–1 d)
8
���a e) �����a–1
30. Escrever na forma de um único radical, supondo a > 0 e b > 0:
a) ���2 · 
3
���3 b) 
3
���a · 
4
���b c)
31. (INSPER) – O valor exato da expressão , com 5 casas
decimais, é 2,41421. Considere os seguintes métodos para se
fazer essa conta sem o auxílio da calculadora:
• Método A: usa-se um valor aproximado para ���2 e faz-se a
divisão;
• Método B: racionaliza-se o denominador e usa-se um valor
aproximado para ���2.
Ao se fazer uma aproximação, comete-se um erro, que é
definido como a diferença, em módulo, entre o valor aproximado
e o valor exato.
Usando a melhor aproximação para ���2 com uma única casa
deci mal, a razão entre os erros (em relação ao valor exato)
obtidos nos métodos A e B, respectivamente, é de cerca de
a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e) 2.
32. Um dos números apresentados nas alternativas é o valor
aproxi mado da raiz cúbica de 389. O valor de 
3
�����389 é,
aproxima damente:
a) 6,9 b) 7,3 c) 8,1 d) 8,9 e) 9,4
33. Dada a expressão A = ���3 · ����13, po demos afirmar que o
valor aproximado de A está entre 
a) 6 e 7. b) 5 e 6. c) 4 e 5.
d) 3 e 4. e) 2 e 3.
8 + 14 +
3 
6 + ���4 
4
–––
7
49
–––
64
3
–––
5
3
–––
5
1
–––
3
1
–––
3
1
––––
243
2– ––
5
2– ––
3
1
–––
4
1
–––
8
1
–––
2
3––
2
2
–––
3
2––
3 2–––
3
2– ––
3
1– ––
4 � 1–––2 �
4– ––
3
a–1 a–1 a–1
1
––
a
���a
––––––
5
����a2
1
––––––––
���2 – 1
14) 9 15) – 9 16) 4
17) – 4 18) A 19) B
20) C 21) A 22) A
23) C 24) – 25) C
26) A 27) C 28)
3
����32
29) D 30) a) 
6
�����72 b) 
12
��������� a4 · b3 c)
10
���a 
31) C 32) B 33) A23––––
16
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 9
10
1. Definição
Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais
parcelas num produto de dois ou mais fatores.
A expressão ax + ay, por exemplo, não está fatorada,
pois é a soma da parcela ax com a parcela ay.
A expressão a · (x + y) está fatorada, pois é o pro -
duto do fator a pelo fator (x + y). É simples veri ficar
que ax + ay = a · (x + y).
Fatorar a expressão ax + ay, portanto, é transformá-
la no produto a · (x + y).
A maneira prática de fatorar é enquadrar a expressão
dada num dos seis casos típicos seguintes: FATOR
COMUM, AGRUPAMENTO, DIFERENÇA DE
QUADRA DOS, QUADRADO PERFEITO, SOMA E
DIFE RENÇA DE CUBOS, CUBO PERFEITO.
2. Fator comum 
a) A expressão ax + bx é a soma de duas parcelas. A
primeira parcela, a · x, é o produto do fator a pelo fator x.
A segunda parcela, b · x, é o produto do fator b pelo fator
x. Assim sendo, x é fator comum às duas parcelas. Este
fator comum pode ser colocado em evidência trans -
formando a soma no produto do fator x pelo fator (a + b).
b) Observe como fazer
c) Exemplos
2m + 2n = 2 · (m + n)
3x + 6y = 3 · (x + 2y)
a2b + ab2 + a2b3 = a · b · (a + b + ab2)
2x3 + 4x2 + 6x = 2 · x (x2 + 2x + 3)
3x3 + 4x3 – 2x3 + x3 = x3 · (3 + 4 – 2 + 1) = x3 · 6 = 6x3
3. Agrupamento 
a) A expressão ax + bx + ay + by é a soma de
quatro parcelas e não existe nenhum fator comum às
quatro. Agrupando, porém, ax + bx, podemos colocar x
em evi dência, e agrupando ay + by, podemos colocar y
em evi dência. Desta forma, a expressão será trans for -
mada em duas parcelas, e em ambas vai aparecer um
novo fator comum, a + b, que pode ser novamente
colocado em evi dência.
b) Observe como fazer
ax + bx + ay + by = x · (a + b) + y · (a + b) = (a + b) · (x + y)
123 123
c) Exemplos
ax + ay + 2x + 2y = a (x + y) + 2 · (x + y) = (x + y) · (a + 2)
123 123
mn + 3m + 4n + 12 = m · (n + 3) + 4 · (n + 3) = (n + 3) · (m + 4)123 123
a2 – ab – 2a + 2b = a · (a – b) – 2 · (a – b) = (a – b) · (a – 2)123 123
a2 + ab + a + b = a · (a + b) + 1 · (a + b) = (a + b) · (a + 1)123 123
mn – m – n + 1 = m · (n – 1) –1 · (n – 1) = (n – 1) · (m – 1)123 123
4. Diferença de quadrados 
a) A DIFERENÇA entre dois quadrados (a2 – b2) é
igual ao produto da soma (a + b) pela diferença (a – b).
b) Observe a justificativa
:
=
=
:
a . x + b . x = x . (a + b)
ax + bx = x · (a + b)
ax + bx + ay + by = (a + b) · (x + y)
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
3ÁlgebraFatoração
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 10
1. Fatorar: 6a4b2c + 8a3b5 – 12ab3c2
Resolução
6a4b2c + 8a3b5 – 12ab3c2 = 2ab2 · (3a3c + 4a2b3 – 6bc2)
Resposta: 2ab2.(3a3c + 4a2b3 – 6bc2)
2. Fatorar: (a + b) · x + 2 · (a + b)
Resolução
(a + b) · x + 2 · (a + b) = (a + b) · (x + 2)
Resposta: (a + b).(x + 2)
3. Fatorar: 2x + ax + 2y + ay
Resolução
2x + ax + 2y + ay = x · (2 + a) + y · (2 + a) = (2 + a) · (x + y)123 123
Resposta: (2 + a) · (x + y)
4. Fatorar: x3 + x2 – 3x – 3
Resolução
x3 + x2 – 3x – 3 = x2 (x + 1) – 3(x + 1) = (x + 1) · (x2 – 3)123 123
Resposta: (x + 1) · (x2 – 3)
5. Fatorar: x2 – 5x + 6
Resolução
x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x · (x – 2) – 3 · (x – 2) = (x – 3) · (x – 2)123 123
Resposta: (x – 2) · (x – 3)
6. Fatorar: x2 + 2y2 + 3xy + x + y
Resolução
x2 + 2y2 + 3xy + x + y = x2 + 2y2 + xy + 2xy + x + y =
= x2 + xy + 2y2 + 2xy + x + y = x (x + y) + 2y · (x + y) + 1 · (x + y) =
= (x + y) · (x + 2y + 1)
Resposta: (x + y) · (x + 2y + 1)
7. Fatorar: 4a2 – 9b2
Resolução
4a2 – 9b2 = 22 · a2 – 32 · b2 = (2a)2 – (3b)2 = (2a + 3b) · (2a – 3b)
Resposta: (2a + 3b) · (2a – 3b)
8. Fatorar: (x + y)2 – (x – y)2
Resolução
(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) + (x – y)] · [(x + y) – (x – y)] =
= [x + y + x – y] · [x + y – x + y] = 2x · 2y = 4xy
Resposta: 4xy
9. Fatorar: x4 – y4
Resolução
x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 = (x2 + y2) · (x2 – y2)
A expressão (x2 + y2) · (x2 – y2) já está fatorada por ser um
produto de dois fatores. Sendo, porém, x2 – y2 uma diferença de
quadrados, podemos ainda escrever:
x4 – y4 = (x2 + y2) · (x2 – y2) = (x2 + y2) · (x + y) · (x – y)
Resposta: (x2 + y2) · (x + y) · (x – y)
10. Calcular 2501 · 2499
Resolução
2 501 · 2 499 = (2 500 + 1) · (2 500 – 1) = 2 5002 – 12 =
= 6 250 000 – 1 = 6249999
Resposta: 6249999
c) Exemplos
a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3) · (a – 3)
4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1) · (2x – 1)
81 – m6 = 92 – (m3)2 = (9 + m3) · (9 – m3)
(a + 1)2 – 36 = (a + 1)2 – 62 =
= [(a + 1) + 6] · [(a + 1) – 6] = = (a + 7) · (a – 5)
4 – (x – y)2 = 22 – (x – y)2 =
= [2 + (x – y)] · [2 – (x – y)] = (2 + x – y) · (2 – x + y)
11
De 11 a 15, fatore:
11. 12a3b2 – 30a2b3
12. 6ab + 4b3 + 15a3 + 10a2b2
13. ab + a + b + 1
14. ab + a – b – 1
15. xy + 3x + 4y + 12
16. Simplifique a expressão , supondo a � – 1 e b � 1.
De 17 a 20, fatore:
17. a2 – 25 18. x2 – 1
19. 144 – 81a2b2 20. x4 – 1
21. (CEFET-BA) – O valor da expressão
1 – 1 + 1 + 1 + 1 + é:
a) 1 – (1/3)16 b) 1 – (1/3)8 c) 1 + (1/3)8
d) 1 + (1/3)16 e) 1 + (1/3)18
22. Calcular 934 2872 – 934 2862
a) 1 868 573 b) 1975 441 c) 2 d) 1 e) 10242
23. (EPCAR) – O valor da expressão 
. , em que x ∈ y ∈ �* e x � y e 
x � – y, é
a) – 1 b) – 2 c) 1 d) 2
ab + a + b + 1
––––––––––––––
ab – a + b – 1
�
1
–––
3 � �
1
–––
3 � �
1
–––
9 � �
1
–––
81 � �
1
–––––
6561 �
�
x–2 – y–2
–––––––––
x–1 + y–1 � �
x2y + xy2
–––––––––
x2 – y2 �
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24. Fatorar: 25x2 + 70x + 49
Resolução
25x2 + 70x + 49 = (�5x )2 + 2 · �5x · �7 + �7 
2
= (5x + 7)2
Resposta: (5x + 7)2
25. Fatorar: x2 – 2x + 1
Resolução
x2 – 2x + 1 = �x 
2
– 2 · �x · �1 + �1 
2
= (x – 1)2
Resposta: (x – 1)2
26. Fatorar: a3 – 10a2 + 25a
Resolução
a3 – 10a2 + 25a = a · [a2 – 10a + 25] = 
= a · [�a 
2
– 2 · �a · �5 + �5 
2
] = a · (a – 5)2
Resposta: a · (a – 5)2
27. Calcular 2 4992.
Resolução
2 4992 = (2500 – 1)2 = 2 5002 – 2 · 2 500 · 1 + 12 =
= 6 250 000 – 5 000 + 1 = 6 245 001.
Resposta: 6245001
28. Sabendo que a + = 3, calcular o valor de a2 + .
Resolução
a + = 3 ⇒ a +
2
= 9 ⇔ a2 + 2 · a · + = 9 ⇔⇔ a2 + 2 + = 9 ⇔ a2 + = 9 – 2 = 7
Resposta: a2 + = 7
29. Simplificar a expressão , supondo seu deno mina -
dor diferente de zero.
Resolução
= = =
Resposta: 
1
–––
a
1
–––
a2
1
–––
a �
1
–––
a �
1
–––
a
1
–––
a2
1
–––
a2
1
–––
a2
1
–––
a2
x2 + 2xy + y2
–––––––––––––
x2 – y2
x2 + 2xy + y2
–––––––––––––
x2 – y2
(x + y)2
–––––––––––––
(x + y) · (x – y)
(x + y) · (x + y)
––––––––––––––
(x + y) · (x – y)
x + y
–––––––
x – y
x + y
–––––––
x – y
12
5. Quadrado perfeito
a) O quadrado da SOMA de duas parcelas [(a + b)2] é igual ao quadrado da primeira parcela [a2], mais o dobro do
produto das duas parcelas [2ab], mais o qua drado da segunda parcela [b2].
b) O quadrado da DIFERENÇA entre duas par celas [(a – b)2] é igual ao quadrado da primeira parcela [a2],
menos o dobro do produto das duas parcelas [2ab], mais o quadrado da segunda parcela [b2].
c) Observe as justificativas
d) Observação
Não confunda o quadrado da diferença, que é (a – b)2, com a diferença entre quadrados, que é a2 – b2.
e) Exemplos
a2 + 4a + 4 = a2 + 2 · a · 2 + 22 = (a + 2)2
4a2 + 4ab + b2 = (2a)2 + 2 · 2a · b + b2 = (2a + b)2
36 – 12x + x2 = 62 – 2 · 6 · x + x2 = (6 – x)2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
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13
6. Soma e diferença de cubos
a) A SOMA de dois cubos é igual ao produto do fator a + b pelo fator a2 – ab + b2.
b) A DIFERENÇA entre dois cubos é igual ao produto do fator a – b pelo fator a2 + ab + b2.
c) Observe as justificativas
d) Exemplos
a3 + 27 = a3 + 33 = (a + 3) · (a2 – a · 3 + 32) = (a + 3) · (a2 – 3a + 9)
125 – x3 = 53 – x3 = (5 – x) · (52 + 5 · x + x2) = (5 – x) · (25 + 5x + x2)
m3 + 8 = m3 + 23 = (m + 2) · (m2 – m · 2 + 22) = (m + 2) · (m2 – 2m + 4)
27x3 – 8 = (3x)3 – 23 = (3x – 2) · [(3x)2 + 3x · 2 + 22] = (3x – 2) · (9x2 + 6x + 4) 
(a + b) . (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3
(a – b) . (a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3
a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab + b2)
De 30 a 32, desenvolver:
30. (2 + 3 m)2 31. (a – 3)2 32. (���5 + ���3 )2
De 33 a 35, fatore:
33. a2 + 4a + 4 34. 9a2 + 30ab + 25b2
35. 1 – 18x2 + 81x4
36. (UFRGS) – O quadrado do número ���������2 + ���3 + ���������2 – ���3 é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
37. (U.E. FEIRA DE SANTANA) – Simplificando a expressão
. , obtém-se:
a) b) c)
d) e)
38. (UNIFOR) – A expressão – , com x � – 1, é equi-
valente a:
a) � �
2
b) c) 1
d) e)
39. Simplificando a expressão – . , obtém-se:
a) b) c) d) e) 2ab
Observação: Supor a � b, a � – b, ab � 0
x2 + xy
–––––––––
xy – y2
x2 – y2
–––––––––––––
x2 + y2 + 2xy
1
–––––––––
x2 + y2
1
––––––––––––
x2 + y2 + 3xy
2x2 + x
––––––––––––
x2 + y2 + xy
x2
––––
2y
x
–––
y
2x2 + x + 3
––––––––––
x2 + 2x + 1
x + 2
–––––
x + 1
x – 1
––––––
x + 1
x – 1
––––––
x + 1
x2 + 4x + 5
––––––––––––
(x + 1)2
x + 5
––––––
x + 1
� a + b––––––a – b
a – b
––––––
a + b �
a + b
––––––
2ab
1
–––––
b – a
2
–––––
a – b
a – b
–––––
2
1
–––––
2ab
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7. Cubo perfeito
a) O cubo da SOMA de duas parcelas, [(a + b)3], é igual ao cubo da primeira parcela [a3], mais três vezes o quadrado
da primeira pela segunda [3 · a2 · b], mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda [3 · a · b2], mais o cubo da
segunda parcela [b3].
b) O cubo da DIFERENÇA entre duas parcelas, [(a – b)3], é igual ao cubo da primeira parcela [a3], menos
três vezes o quadrado da primeira pela segunda [3 · a2 · b], mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda
[3 · a · b2], menos o cubo da segunda parcela [b3].
c) Observe as justificativas
d) Observações
Não confunda o cubo da soma, que é (a + b)3, com a soma de cubos, que é a3 + b3.
Não confunda o cubo da diferença, que é (a – b)3, com a diferença entre cubos, que é a3 – b3.
e) Exemplos 
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = (x + 2)3
a3 – 9a2 + 27a – 27 = a3 – 3 · a2 · 3 + 3 · a · 32 – 33 = (a – 3)3
(a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = (a + b) . (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = (a – b) . (a – b)2 = (a – b) . (a2 – 2ab + b2) = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
14
40. Fatorar: a3 – 8
Resolução
a3 – 8 = a3 – 23 = (a – 2) · (a2 + a · 2 + 22) = (a – 2) · (a2 + 2a + 4)
Resposta: (a – 2) · (a2 + 2a + 4)
41. Fatorar: x3 + 1
Resolução
x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1) · (x2 – x · 1 + 12) = (x + 1) (x2 – x + 1)
Resposta: (x + 1) · (x2 – x + 1)
42. Fatorar: x3 + 2x2 + 2x + 1
Resolução
x3 + 2x2 + 2x + 1 = x3 + 1 + 2x2 + 2x =
= (x3 + 1) + 2x (x + 1 ) = (x + 1) (x2 – x + 1) + 2x (x + 1) =
= (x + 1) [(x2 – x + 1) + 2x] = (x + 1) · (x2 + x + 1)
Resposta: (x + 1) · (x2 + x + 1)
43. Sabendo-se que a + = 3, calcular o valor de a3 +
Resolução
a + = 3 ⇒ a + 
3
= 33 ⇔ a3 + 3a + + = 27 ⇔
⇔ a3 + + 3a + = 27 ⇔ a3 + + 3 a + = 27 ⇔
⇔ a3 + + 3 · 3 = 27 ⇔ a3 + = 27 – 9 = 18
Resposta: a3 + = 18
De 44 a 46 simplificar as expressões abaixo, admitindo todos os
denominadores diferentes de zero:
44.
1
––
a
1
–––
a3
1
––
a �
1
––
a �
3
––
a
1
––
a
1
–––
a3
3
––
a
1
–––
a3
� 1––a �
1
–––
a3
1
–––
a3
1
–––
a3
a3 – 1
––––––
a2 – 1
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 14
Resolução
= = = 
Resposta: 
45.
Resolução
= =
Resposta:
46. : 
Resolução
: =
= : =
= . =
= = = 1
Resposta: 1
a2 + a + 1
––––––––––
a + 1
m3 + n3
–––––––––––––––––
m3 – m2n + mn2
m3 + n3
–––––––––––––––––
m3 – m2n + mn2
(m + n) · (m2 – mn + n2)
–––––––––––––––––––––––
m · (m2 – mn + n2)
m + n
––––––––
m
m + n
––––––––
m
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
––––––––––––––––––––––
x3 + y3
x2 + 2xy + y2
––––––––––––––
x2 – xy + y2
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
––––––––––––––––––––––
x3 + y3
x2 + 2xy + y2
––––––––––––––
x2 – xy + y2
(x + y)3
––––––––––––––––––––––
(x + y) · (x2 – xy + y2)
(x + y)2
––––––––––––––
(x2 – xy + y2)
(x + y)3
––––––––––––––––––––––
(x + y) · (x2 – xy + y2)
(x2 – xy + y2)
––––––––––––––
(x + y)2
(x + y)3 · (x2 – xy + y2)
––––––––––––––––––––––––––––
(x + y) · (x + y)2 · (x2 – xy + y2)
(x + y)3 · (x2 – xy + y2)
–––––––––––––––––––––
(x + y)3 · (x2 – xy + y2)
a2 + a + 1
––––––––––
a + 1
(a – 1) · (a2 + a + 1)
––––––––––––––––––
(a – 1) · (a + 1)
a3 – 13
–––––––
a2 – 12
a3 – 1
––––––
a2 – 1
15
11) 6a2b2 (2a – 5b) 12) (3a + 2b2) (2b + 5a2)
13) (b + 1) (a + 1) 14) (b + 1) (a – 1)
15) (y + 3) (x + 4) 16)
17) (a + 5) (a – 5) 18) (x + 1) (x – 1)
19) 9 (4 + 3ab) (4 – 3ab) 20) (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
21) A 22) A 23) A
30) 4 + 12m + 9m2 31) a2 – 6a + 9
32) 8 + 2����15 33) (a + 2)2
34) (3a + 5b)2 35) (1 – 9x2)2
36) C 37) E 
38) A 39) B
47) (a + 1) (a2 – a + 1) 48) (4 – x) (16 + 4x + x2)
49) a3 + 9a2b + 27ab2 + 27b3 50) 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
51) (1 + 2a)3 52) (x – 2y)3
53) E
b + 1
––––––
b – 1
Nos exercícios 47 e 48, fatore:
47. a3 + 1 48. 64 – x3
Nos exercícios 49 e 50, desenvolva:
49. (a + 3b)3 50. (2a – b)3
Nos exercícios 51 e 52, fatore:
51. 1 + 6a + 12a2 + 8a3
52. x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
53. (FUVEST) – A igualdade correta para quaisquer a e b, números
reais maiores do que zero, é
a)
3
����������� a3 + b3 = a + b b) = – 
c) (���a – ���b)2 = a – b d) = + 
e) = a – b 
1
––––––––––––
a – ��������� a2 + b2
1
–––
b
1
––––––
a + b
1
–––
a
1
–––
b
a3 – b3
––––––––––––
a2 + ab + b2
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 15
16
1. (FATEC) – No dia 12 de junho de 2014, a seleção brasileira de
futebol jogou contra a Croácia, na cidade de São Paulo, em partida
inaugural da Copa do Mundo de 2014. A próxima partida da
seleção brasileira foi no dia 17 de junho, em Fortaleza, no Ceará.
Num mapa,na escala de 1:25 000 000, a distância aproxi mada
(em linha reta) entre São Paulo e Fortaleza é de 10 cm. 
Um torcedor da seleção brasileira, que assistiu à partida do Brasil
em São Paulo, também assistiu ao outro jogo dessa equipe em
Fortaleza. A distância, em linha reta, que ele teve de percorrer
entre as cidades de São Paulo e Fortaleza foi, em quilômetros, de 
a) 5000 b) 2500 c) 1 000 d) 500 e) 250 
2. Assinalar a falsa:
a) Se x2 = 4, então x6 = 64.
b) Se x6 = 64, então x = 2.
c) (22)3 < 223
d) Se 10x = 0,2, então 102x = 0,04.
e) 2n+2 + 2n = 5 · 2n
3. (FGV) – Seja o seguinte número: m = 57452 – 57402. A soma dos
algarismos de m é
a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26
4. (MACKENZIE) – O valor da expressão é
a) 1 b) 2n+1 c) d) e) n
5. (FGV) – Se x2 + = 14, com x > 0, então é igual a
a) 22 · 72 b) 73 c) 23 · 72
d) 210 e) 710
6. (IME) – Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 
3m + 14400 = n2, determine o resto da divisão de m + n por 5.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7. (METODISTA) – Se 75y = 243, o valor de 7– y é:
a) b) c) d) e) – 
8. O número de algarismos do número natural 231 · 526 é:
a) 20 b) 27 c) 28 d) 29 e) 43
9. (CEFET-BA) – O valor da expressão 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 é:
a) 66 b) 67 c) 76 d) 636 e) 366
10. (FGV) – O resto da divisão do número 62015 por 10 é igual a
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9
11. (CEFET-BA) – Se y = 16 e x = 1,25, o valor de yx é:
a) ��� 2 b) 16���2 c) 20 d) 32 e) 64
12. Dos valores abaixo, o que está mais próximo de é:
a) 0,0015 b) 0,015 c) 0,15 d) 1,5 e) 15
Sugestão: Utilizar 
4
��� 3 � 1,31
13. Simplificando a expressão , obtém-se:
a) b) ��� x – ��� y c)
d) ���x + ���y e) x – y
Observações: x > 0, y > 0 e x � y.
14. Qual o valor da expressão ? 
15. (MACKENZIE) – Qual o valor de
� 3 � : � �?
16. O valor da expressão , 
sendo a > 0 e a � 1, é:
a) �������� a + 1 b) a c) a – 1 d) a + 1 e) �������� a – 1
17. (FUVEST)
3
=
a) b) c) 28 d) 29 e)
2n+4 + 2n+2 + 2n–1
––––––––––––––––––
2n–2 + 2n–1
3
–––
81
1�x + ––�
5
x
1
–––
x2
1
––––
30
1
––––
15
1
–––
3
0,04
–––––
���3
x y
––– – –––
y x
–––––––––––––––
1 1
––– – –––
y x
xy
––––––
x + y
���x – ���y
–––––––––
xy
5 · 10–4 · 2
–
1
––
3
––––––––––––––
3
–
1
––
3
(0,005)2 · 0,000075
–––––––––––––––––––
10
���a · �������� a + ���a · �������� a – ���a · �������� a + 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––
��������� a2 – 1
82
–––
3
1
–––
6
1
–––
3
�4 – 8 �
———————–––———–
�20 + 3–1 · 6 –
0
�
2
3
––
2
2
––
3
3
––
2
3�––�4
228 + 230
––––––––––
10
1––
3
�258––––10�
29
–––
5
28
–––
5
4
Álgebra
Exercícios-Tarefa
(Potenciação, radiciação e fatoração)
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 16
17
18. (FUVEST) – Qual é o valor da expressão + ?
a) ���3 b) 4 c) 3 d) 2 e) ���2
19. (FUVEST) =
a) b) c)
d) e)
20. (UFRGS) – A distância que a luz percorre em um ano, chamada
ano-luz, é de aproximadamente 38 · 45 · 512 quilômetros. A nota -
ção científica desse número é 
a) 9,5 · 1010 b) 0,95 · 1012 c) 9,5 · 1012
d) 95 · 1012 e) 9,5 · 1014
21. (FUVEST) – Calcule o valor numérico de , para 
x = – 0,1 e y = 0,0001
22. (UFRN) – Se a = 0,1 e b = 0,2, o valor da expressão é:
a) b) c) d) e)
 
23. (MACKENZIE) – O valor numérico de , para x = – 0,1 e
y = 0,01, é:
a) – 0,11 b) – 0,011 c) – 0,0011 d) 0,011 e)
0,11
24. (MACKENZIE) – Se n é um número natural maior que 1, a expressão
n
é igual a:
a) b) c) d) 
n
���������� 2n + 1 e)
25. (UFSM) – Desenvolvendo (�����12 + ���3 + 1)2, obtém-se o resultado
a + b���3, com a e b números reais. O valor de b é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6
26. Se M = a + e N = 1 – , com ab � – 1, então é:
a) a b) b c) 1 + ab d) a – b e) a + b
27. (FATEC) – Sendo a e b dois números reais, com a � ± b � 0,
a expressão
· 
é equivalente a:
a) 1 b) c) d) a – b e) a + b
28. (VUNESP) – Simplificando a expressão + + ,
para x · y · z � 0, obtemos:
a) – 1 b) 0 c) 1 d) x + y + z e) x · y · z
29. (UNIFOR) – Se o número real y é tal que y = – ,
então y é equivalente a:
a) –1 b) 0 c) d) e)
30. Efetuando-se – , para x � –2 e x � 2, obtém-se:
a) b) c)
d) – e) 2
31. (UNIFOR) – Determinar o valor da expressão
, para x = 4 e y = ���3.
32. (UNIMEP) – Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 11,
podemos dizer que o valor de é:
a) 22 b) 7 c) 18 d) 3 e) 1
33. (UFRGS) – O orçamento do Fundo de Amparo ao Trabalhador
para 2010 foi de 43 bilhões de reais. Um pesquisador estudou a
distribuição desse orçamento e representou o resultado em um
gráfico de setores, como na figura abaixo.
Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para quem ganha até
dois salários mínimos foi representada por um setor cujo ângulo
mede 72°. O pesquisador verificou, então, que o gráfico não
estava correto, pois a quantia destinada ao abono encontrada na
pesquisa superava em 200 milhões de reais a representada pelo
gráfico. Logo, o valor encontrado na pesquisa para aquele abono
foi, em bilhões de rea is, 
a) 8,8 b) 9,1 c) 9,5 d) 9,8 e) 10,6
4
–––
n
4
––––––––
4
n
�����2n
1
–––
2n
20
––––––––––––
4n+2 + 22n+2
xy – x2
–––––––
���y
2 + ���6
––––––––
6
5 + 2���6
––––––––––
3
2 + 2���6 + ���3
–––––––––––––––
3
���6 + 3
–––––––––
6
3 + ���6
––––––––
3
���2 + ���3
––––––––
���3
– x2 + xy
–––––––––––
y
a2b2 – a3b
––––––––––
b2 – a2
1
–––––
300
1
–––––
150
1
–––––
100
1
–––
75
1
–––––
200
x
–––––
x – 1
2x2
–––––––
x2 – 1
x
–––––
x + 1
x
–––––
x – 1
x2 + 1
–––––––
x2 – 1
3x + 2
–––––––
x2 – 4
2x – 1
–––––––
x – 2
2 · (x2 – 2)
––––––––––
x2 – 4
1
–––
2
(x4 – y4) · (x + y)2
–––––––––––––––––––––––
(x2 + y2) · (x2 + 2xy + y2)
m2 + n2 + p2
––––––––––––
mnp
M
–––
N
ab – a2
–––––––
1 + ab
b – a
––––––
1 + ab
1
–––––
a + b
a + b
––––––––
a2 – ab
a2b – ab2
––––––––––
a2b – b3
x – y
–––––
x · y
1
–––
4
1
–––––
a – b
y – z
–––––
y · z
z – x
–––––
z · x
2 · x2 – 1
––––––––––
x2 – 4
2 · x2
––––––
x2 – 4
���3 – 1
––––––––
���3 + 1
���3 + 1
––––––––
���3 – 1
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18
34. (UNIFOR) – Tome um número inteiro positivo diferente de zero e
execute, isoladamente, estas operações: some-o com ele
mesmo, subtraia-o de si mesmo, multiplique-o por ele mesmo e
divida-o por ele mesmo. Em seguida, some os quatro resultados
anteriores. Qualquer que seja o número considerado, o resultado
obtido será um número
a) primo. b) par.
c) quadrado perfeito. d) menor que 1.
e) múltiplo de 5.
35. (UNICAMP) – Dados os dois números reais positivos, 
3
���3 e 
4
���4 ,
determine o maior.
36. (FUVEST) – O valor da expressão a3 – 3a2x2y2, para a = 10, x = 2
e y = 1, é:
a) 100 b) 50 c) 250 d) – 150 e) – 200
37. (FUVEST) – Seja y = . O valor de y para x = – é:
a) b) 2 c) d) 0 e) – 
38. (FEI) – Fatorar a2 + b2 – c2 – 2ab
39. (FUVEST) – Fatorar a4 + a2 + 1
40. Desenvolver: (a + b + c)2
41. (FUVEST) – Prove que, se x2 + y2 + x2 · y2 = (xy + 1)2 e x > y,
então x – y = 1
42. (FUVEST) – A soma dos quadrados de dois números positivos é
4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1.
Determine
a) o produto dos dois números.
b) a soma dos dois números.
43. (FUVEST) – A diferença entre o cubo da soma de dois números
inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
44. (FUVEST) – Se x + = b, calcule x2 +
45. (FUVEST) – Se 416 · 525 = α · 10n, com 1 � α < 10 e n ∈ �, então
n é igual a:
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
46. (FEBA) – Sabe-se que a + b = ab = 10, então o valor de + é:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20
47. (FAMECA) – Dado que x = a + x–1, a expressão x2 + x–2 é igual a:
a) a2 + 2 b) 2a + 1 c) a2 + 1 d) 2a – 1 e) a2
48. (FGV) – O produto 
1 – . 1 – . 1 – . … . 1 –
é igual a 
a) 2014–1 b) 2015–1 c) (2014.2015)–1
d) 2014.2015–1 e) 1008.2015–1
49. (FATEC) – Se a, x, y, z são números reais tais que 
z = : , então z é igual a
a) b) c)
d) e)
50. (UFPE) – A diferença 555552 – 444442 não é igual a: 
a) 9×111112 b) 99999×11111 
c) 1111088889 d) 333332
e) 11110×88889 
51. (UNIFESP) – Se =, então é igual a
a) b) c) d) e)
52. (INSPER) – Considere dois números positivos x e y, com x > y,
tais que 
.
Nessas condições, 2x é igual a
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35
27
–––
84
1
––––––––––
x3 + x + 2
27
––––
37
1
––––––––––
x3 + x + 1
(x – y) · (a + 1)
–––––––––––––––
a – 1
x + y
–––––––
a – 1
x – y
–––––––
a – 1
2 + a
–––––––
a2 – 1
2x – 2y + ax – ay
––––––––––––––––
a3 – a2 – a + 1
� 1––2 � �
1
––
3 � �
1
––
4 � �
1
––––––
2015 �
	���������x + y + ���������x – y = 8 ���������x2 − y2 = 15
2
–––
3
1
–––
x
b
––
a
a
––
b
1
–––
3
4
–––
3
1
–––
2
2x – 3
––––––––
4x2 + 2
1
–––
x2
x – y
–––––––
a2 – 1
x + y
–––––––
a + 1
27
–––
64
27
–––
38
28
–––
37
64
–––
27
1) B 2) B 3) B 4) D 5) D
6) E 7) A 8) C 9) B 10) C
11) D 12) C 13) D 14) 2 15) 1
16) B 17) D 18) B 19) D 20) C
21) – 10,1 22) B 23) A 24) E 25) E
26) B 27) B 28) B 29) E 30) A
31) 13 32) B 33) A 34) C 35)
3
���3
36) E 37) E 38) (a – b + c)(a – b – c)
39) (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
40) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
41) x2 + y2 + x2y2 = x2y2 + 2xy + 1 ⇔ x2 – 2xy + y2 = 1 ⇔
⇔ (x – y)2 = 1 ⇔ x – y = 1, pois x > y 
42) a) 2 b) 2���2 43) C 44) b2 – 2 45) D
46) C 47) A 48) B 49) A 50) E
51) B 52) D
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1. Introdução
Analisando as sentenças:
I. 2 · 6 – 1 = 13
II. 2 · 7 – 1 = 13
III. 2x – 1 = 13
podemos fazer as seguintes considerações:
a) a sentença (I) é falsa, pois 2 · 6 – 1 = 12 – 1 = 11 ≠ 13;
b) a sentença (II) é verdadeira, pois 2 · 7 – 1 = 14 – 1 = 13;
c) a sentença 2x – 1 = 13 não é verdadeira nem falsa,
pois x, chamado variável, pode assumir qualquer valor.
Este tipo de sentença é um exemplo de sentença aberta.
Toda sentença aberta na forma de igualdade é cha -
mada equação.
Substituindo x por 7, a sentença aberta 2x – 1 = 13 se
transforma em 2 · 7 – 1 = 13, que é uma sentença verdadeira.
Dizemos então que 7 é uma raiz (ou uma solução) da
equação 2x – 1 = 13.
2. Raiz, conjunto verdade,
resolução
a) Raiz (ou solução) de uma equação é um número
que transforma a sentença aberta em sentença verdadeira.
b) conjunto verdade (ou conjunto solução) de uma
equação é o conjunto de todas, e somente, as raízes.
c) Resolver uma equação é determinar o seu con -
junto verdade.
d) Existem processos gerais de resolução de alguns
tipos de equação, particularmente as do 1.º e do 2.º grau,
que, a seguir, passamos a comentar.
3. Equação do 1o. grau
Definição
É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax + b = 0,
com a ∈ �* e b ∈ �.
Resolução
Notando que ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = – para
a ≠ 0, concluímos que o conjunto verdade da equação é
V = – .
Discussão
Analisando a equação ax + b = 0, com a, b ∈ �, te -
mos as seguintes hipóteses:
a) para a ≠ 0, ax + b = 0 ⇔ .
(a equação admite uma única solução)
b) para a = 0 e b ≠ 0, ax + b = 0 não tem solução, pois
a sentença 0 · x + b = 0, com b ≠ 0, é sempre falsa. Neste
caso, .
c) para a = 0 e b = 0, a equação ax + b = 0 admite
todos os números reais como solução, pois a sentença 
0 · x + 0 = 0 é sempre verdadeira. Neste caso, .
Observação
Sentenças abertas redutíveis ao tipo 0x = 0 são cha -
madas identidades.
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é um exemplo de identidade em �.
4. Equações do tipo 
“produto” ou “quociente”
Definição
São equações dos tipos a · b = 0 (produto) ou = 0
(quociente), com {a; b} � �.
	 
b––a
b––a
bV = 	– ––
a
V = Ø
V = �
a
––
b
5ÁlgebraEquações elementares
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Resolução
Ao resolver equações destes tipos, lembrar-se das
duas seguintes equivalências:
Exemplo
Resolver, em �, a equação = 0
Resolução
= 0 ⇔ (x – 1) (x – 3) = 0 e
x3 + 2x – 3 ≠ 0 ⇔ (x – 1 = 0 ou x – 3 = 0) e 
(x3 + 2x – 3 ≠ 0) ⇔ (x = 1 ou x = 3) e 
(x3 + 2x – 3 ≠ 0) ⇔ x = 3 ⇔ V = {3}
(x – 1) (x – 3)––––––––––––
x3 + 2x – 3
(x – 1) (x – 3)––––––––––––
x3 + 2x – 3
a
–– = 0 ⇔ a = 0 e b ≠ 0
b
a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
Resolver, em �, as equações de 1 a 4.
1. 3x – [2 – (x – 1)] = 5x
Resolução
3x – [2 – (x – 1)] = 5x ⇔ 3x – [2 – x + 1] = 5x ⇔ 3x – 2 + x – 1 = 5x ⇔
⇔ 3x + x – 5x = 2 + 1 ⇔ – x = 3 ⇔ x = – 3
Resposta: V = {– 3}
2. 3(x – 2) – x = 2x – 6
Resolução
3(x – 2) – x = 2x – 6 ⇔ 3x – 6 – x = 2x – 6 ⇔
⇔ 3x – x – 2x = 6 – 6 ⇔ 0x = 0 ⇔ V = �
Resposta: V = �
3. 2(x – 7) = x – (2 – x)
Resolução
2 (x – 7) = x – (2 – x) ⇔ 2x – 14 = x – 2 + x ⇔
⇔ 2x – x – x = 14 – 2 ⇔ 0x = 12 ⇔ V = ø
Resposta: V = ø
4. (x2 + 1) · (x – 1) (x + 1) = 0
Resolução x2 + 1 = 0 ⇔ x ∉ �
ou
(x2 + 1) (x – 1) · (x + 1) = 0 ⇔ 	 x – 1 = 0 ⇔ x = 1ou
x + 1 = 0 ⇔ x = – 1
Resposta: V = {1; – 1}
5. (UF-GOIÁS) – Certa pessoa entra na igreja e diz a um santo: se você
dobrar a quantia de dinheiro que eu tenho, dou-lhe 
R$ 20.000,00. Dito isto, o santo realizou o milagre e a pessoa, o
prometido. Muito animada, ela repetiu a proposta e o santo, o mi -
lagre. Feito isto, esta pessoa saiu da igreja sem nenhum
dinheiro. Pergunta-se: quanto em dinheiro a pessoa possuía ao
entrar na igreja?
Resolução
Sendo x, em reais, a quantia inicial, tem-se:
I) Após o 1o. milagre, a pessoa ficou com 2x
II) Após a 1a. doação, a pessoa ficou com 2x – 20000
III) Após o 2o. milagre, a pessoa ficou com 2 · (2x – 20000)
IV) Após a 2a. doação, a pessoa ficou com 2 · (2x – 20000) – 20000
V) 2 · (2x – 20000) – 20000 = 0 ⇔ 4x – 40000 – 20000 = 0 ⇔
⇔ 4x = 60000 ⇔ x = 15000
Resposta: R$ 15 000,00
6. Resolva, em �, a equação 2x – [1 – (x – 2)] = 3
7. O valor de x que satisfaz a equação 3x – = 5 – é:
a) 1 b) zero c) d) 4 e)
8. (POUSO ALEGRE) – Você não me conhece, mas, se prestar aten -
ção, descobrirá uma pista que poderá apro xi mar-nos. A minha
idade atual é a diferença entre a metade da idade que terei daqui
a 20 anos e a terça parte da que tive há 5 anos. Portanto,
a) eu sou uma criança de menos de 12 anos.
b) eu sou um(a) jovem de mais de 12 anos e menos de 21 anos.
c) eu tenho mais de 21 anos e menos de 30.
d) eu já passei dos 30 anos, mas não cheguei aos 40.
e) eu tenho mais de 40 anos.
x – 2
——–
3
x + 3
—–––
2
35
––––
17
43
––––
17
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9. A expressão “Fórmula de Young” é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada a dose do adulto: 
dose de criança = · dose de adulto
Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é de 60 mg. A enfermeira
não consegue descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica que, algumas horas antes, foi administrada
a ela uma dose de 14 mg de um medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da me dicação Y administrada à
criança estava correta. 
Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medica men to X, em miligramas, igual a 
a) 15 b) 20 c) 30 d) 36 e) 40 
Resolva em � as equações 10 e 11.
10. x3 = – 16x 11. (x + 1) (x – 1) (x2 + 4) = 0
idade da criança (em anos)�–––––––––––––––––––––––––––––––�idade da criança (em anos) + 12
5. Equação do 2o. grau
Definição
É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo 
ax2 + bx + c = 0, com a ∈ �*, b ∈ � e c ∈ �.
Resolução para o caso e
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x = – ⇔
Resolução para o caso e 
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + c = 0 ⇔
⇔ ax2 = – c ⇔ x2 = – . 
Assim, sendo V o con junto verdade, em �, temos: 
• a e c de sinais contrários⇔
⇔
• a e c de mesmo sinal ⇔
Resolução para o caso e
ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔
Resolução do caso geral
A sentença ax2 + bx + c = 0 é equivalente a
, em que 
Δ é o discriminante da equação.
Assim, sendo V o conjunto verdade, em �, temos:
6. Demonstração da fórmula
resolutiva
Valendo-se de alguns “artifícios”, matemáticos 
in dia nos conse guiram mostrar que, para a ≠ 0, 
ax2 + bx + c = 0 ⇔ , em que Δ = b2 – 4ac � 0.
De fato: ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + bx = – c
Multiplicando ambos os membros desta última
igual dade por 4a, obtém-se
ax2 + bx = – c ⇔ 4a2x2+ 4abx = – 4ac
Somando, agora, b2 aos dois membros da igualdade,
resulta 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac ⇔ (2ax + b)2 = b2 – 4ac
Para Δ = b2 – 4ac � 0, temos:
(2ax + b)2 = Δ ⇔ 2ax + b = ± ���Δ ⇔
⇔ 2ax = – b ± ���Δ ⇔
b
–––
a
bV = 	0; – ––
a
c = 0 b ≠ 0
–b± ���Δ
x = –––––––
2a
– b ± ���Δ
x = –––––––––
2a
– b + ����Δ – b – ����Δ 
Δ > 0 ⇒ V = 	––––––––––; –––––––––
2a 2a
– b 
Δ = 0 ⇒ V = 	–––––
2a
Δ < 0 ⇒ V = Ø
c––a
b = 0 c ≠ 0
V = Ø
b = 0 c = 0
V = {0}
– c – c
V = 	– –––– ; –––– 
a a
– b ± ����Δ
x = ––––––––––
2a
Δ = b2 – 4ac
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22
Resolver em � as equações de 15 a 22.
15. 6x2 – x – 1 = 0 16. x2 – 5x + 6 = 0
17. x2 + 4x + 3 = 0 18. 6x2 – 13x + 6 = 0
19. 4x2 – 4x + 1 = 0 20 x2 – 2x + 5 = 0
21. 3x2 + 12x = 0 22. x2 – 49 = 0
23. Qual o número que se deve subtrair de cada fator do produto 5 x 8,
para que esse produto diminua de 42?
a) 6 ou 7 b) 2 ou –1 c) – 20 ou 2
d) 3 ou – 14 e) 4 ou 40
24. (FUVEST) – O conjunto verdade da equação
+ = é:
a) {– 2} b) {– 2; – 1} c) {2; – 1} d) Ø e) {– 2; 1}
25. (UNESP) – Uma chapa retangular de alumínio, de espessura
desprezível, possui 12 metros de largura e com primento
desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada
de altura x metros, são feitas duas dobras, ao longo do com -
primento da chapa (figura 2).
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta
fabricada é igual a 18 m2, então, a altura dessa canaleta, em
metros, é igual a
a) 3,25 b) 2,75 c) 3,50
d) 2,50 e) 3,00 
x + 2
––––––
2
2
––––––
x – 2
–1
––––
2
Resolver, em �, as equações de 12 a 14.
12. 3x2 – x – 2 = 0
Resolução
Temos a = 3, b = – 1 e c = – 2. Logo
Δ = b2 – 4ac = (– 1)2 – 4 · 3 · (– 2) ⇒ Δ = 1 + 24 ⇒ Δ = 25 > 0
x = = ⇒
⇒ x = ⇒ x = x1 = = = 1 ou
x = x2 = = =
Resposta: V = 1; – 
13. x4 – 4x2 + 3 = 0
Resolução
Trata-se de uma equação biquadrada.
Fazendo x2 = y, temos x4 = y2 e a equação y2 – 4y + 3 = 0, cujas
raízes são 1 e 3. Portanto, x2 = 1 ou x2 = 3 ⇒ x = ± 1 ou x = ± ���3
Resposta: V = {1; –1; ���3 ; – ���3 }
14. (2x + 0,4)2 – 3 (2x + 0,4) + 2 = 0
Resolução
Fazendo 2x + 0,4 = y, temos:
y2 – 3y + 2 = 0 ⇔ y = 1 ou y = 2
Logo:
2x + 0,4 = 1 ou 2x + 0,4 = 2 ⇔
⇔ x = 0,3 = ou x = 0,8 =
Resposta: V = ;
Observação
É evidente que mesmo uma equação incompleta do 2o. grau
pode ser resolvida também pela fórmula dita de Baskara, como
faremos a seguir com a equação x2 – 2x = 0.
Resolução
a = 1; b = – 2 e c = 0 e Δ = (– 2)2 – 4 · 1 · 0 ⇒ Δ = 4
Logo:
x = = ⇒
⇒ x = = = 2 ou x = = = 0
Resposta: V = {0; 2}
– b ± ���Δ
–––––––––
2a
– (–1) ± ����25
–––––––––––––
2 · 3
1 ± 5
–––––––
6
1 + 5
–––––––
6
6
–––
6
1 – 5
–––––––
6
– 4
––––
6
– 2
––––
3
	 2–––3 
3
–––
10
4
–––
5
	 3–––10
4
–––
5 
– (–2) ± ���4
–––––––––––
2 · 1
2 ± 2
––––––
2
2 + 2
––––––
2
2
–––
2
2 – 2
––––––
2
0
–––
2
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 22
26. Determinar a soma e o produto das raízes da equação 
3x2 – 15x – 2 = 0.
Resolução
Lembrando que a = 3, b = –15 e c = –2, a soma S = ==3
e o produto P = = .
Resposta: S = 5 e P =
27. Obter uma equação do 2o. grau cujas raízes são 2 e .
Resolução
De acordo com a teoria apresentada, temos:
x2 – 2 + x+ 2 · = 0 ⇔ x2 – x + = 0 ⇔ 3x2 – 7x + 2 = 0 
Resposta: 3x2 – 7x + 2 = 0
O enunciado a seguir é para os exercícios 28 e 29.
Utilizando as propriedades da soma e do produto das raízes,
determinar os valores de m na equação 2x2 – 24x + 2m – 1 = 0
para que:
28. Uma raiz seja o dobro da outra.
Resolução
Sejam x1 e x2 as raízes e x2 = 2x1.
Então:
⇒ ⇒ x1 = 4 e x2 = 8
Portanto,
P = x1 · x2 = ⇒ 4 · 8 = ⇒
Resposta:
29. A soma dos quadrados das raízes seja 122.
Resolução
Temos:
(x1 + x2)2 = x1
2 + 2x1 x2 + x2
2 ⇒ (x
1
+ x
2
)2 – 2x1x2 = x1
2 + x
2
2 ⇒
⇒ S2 – 2P = x
1
2 + x
2
2 ⇒
2
– 2 · = 122 ⇒
⇒ 144 – 2m + 1 = 122 ⇒ 2m = 23 ⇒
Resposta: 
–b
–––
a
–(–15)
–––––
3
c
–––
a
–2
–––
3
–2
–––
3
1
–––
3
� 1––3 � �
1
––
3 �
7
–––
3
2
–––
3
	
– 24
x1 + x2 = – –——2
x2 = 2 x1
	
x1 + 2x1 = 12
x2 = 2 x1
2m – 1
––––––––
2
2m – 1
––––––––
2
65
m = –––
2
65
m = –––
2
� –24– –––––2 � � 2m – 1–––––––2 �
23
m = –––
2
23
m = –––
2
23
7. Propriedades das raízes
a) Sejam x1 e x2 as raízes reais da equação 
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0; sejam ainda, S e P a soma
e o produto dessas raízes, respectivamente.
Pode-se demonstrar que:
b) Demonstração
Sendo x1 = e x2 = , temos:
S = x1 + x2 = + ⇔
⇔ S = ⇔
⇔ S = ⇔ S = –
P = x1 · x2 = · ⇔
⇔ P = = ⇔
⇔ P = ⇔ P = – 
c) Obtenção de uma equação a partir das suas raízes
Sendo S = x1 + x2 e P = x1 · x2, então uma equação
do 2o. grau cujo conjunto verdade é {x1; x2} será
De fato, supondo a ≠ 0, temos:
ax2 + bx + c = 0 ⇔ = ⇔
⇔ x2 + x + = 0 ⇔ x2 – – x + = 0 ⇔
⇔ x2 – Sx + P = 0
c–––
a
4ac
–––––
4a2
b2 – (b2 – 4ac)
––––––––––––––
4a2
(– b)2 – (���Δ)2
––––––––––––––
(2a)2
– b – ���Δ
–––––––––
2a
– b + ���Δ
–––––––––
2a
0–––
a
ax2 + bx + c
–––––––––––
a
c––
a�
b––
a�
c––
a
b––
a
x2 – S x + P = 0
– b – ���Δ
–––––––––
2a
– b + ���Δ
–––––––––
2a
– b – ���Δ
–––––––––
2a
– b + ���Δ
–––––––––
2a
b
S = x1 + x2 = – ––a
c
P = x1 · x2 = –– a
– b + ���Δ – b – ���Δ
––––––––––––––––––
2a
b–––
a
– 2b
–––––
2a
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 23
36. (UFOP) – A soma das soluções da equação
= + ou a raiz da equação, se for 
solução única, é:
a) – 1 b) – 2 c) 2 d) – 6 e) – 4
37. (UFPA) – O conjunto solução da equação
= – é
a) {2} b) {3} c) Ø d) {4} e) {1}
38. (FAAP) – Determinar A = {x ∈ � � x3 + x = 0}
39. Resolva, em �, a equação (x + 1) (x – 1) (x2 + 4) = 0
40. O conjunto verdade da equação (x2 + 1)2 – 7 (x2 + 1) + 10 = 0 é:
a) {– 1, – 2} b) {2, 1} c) {– 2, – 1, 1, 2}
d) {5, 2} e) {– 5, – 2, 2, 5}
Nas questões 41 a 42, resolver, em �, as equações:
41. x2 – 2 (a + 1)x + 4a = 0, com a ∈ �.
42. – = , com a ∈ �*
3x + 1
––––––––––––
x2 – 3x + 2
x
––––––
x – 1
7
––––––
x – 2
3
––––––––
2(x + 2)
1
––––––
2x – 4
2
––––––
x2 – 4
x
––––––
x – a
2a
––––––
x + a
8a2
–––––––
x2 – a2
8. Equações redutíveis 
a 1o. ou 2o. grau
Se a equação proposta não é do 1.º grau, nem do 
2.º grau, deve-se, se possível:
a) Fatorar
Exemplo:
x3 – 4x2 – x + 4 = 0 ⇔ x2 · (x – 4) – (x – 4) = 0 ⇔
⇔ (x – 4) · (x2 – 1) = 0 ⇔ x – 4 = 0 ou x2 – 1 = 0
Logo: V = {1, –1, 4}
b) Fazer uma troca de variáveis
Exemplo:
x4 – 5x2 + 4 = 0 pode ser transformada em 
y2 – 5y + 4 = 0, substituindo x2 por y.
Assim:
y2 – 5y + 4 = 0 ⇔ y = ⇔ y = 4 ou y = 1
Voltando para a incógnita inicial x, temos:
x2 = 4 ou x2 = 1 ⇔ x = ± 2 ou x = ± 1
Logo: V = {1, –1, 2, –2}
5 ± 3
––––––
2
24
30. (UFG) – Para que a soma das raízes da equação 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto, devemos ter:
a) k = ± b) k = – c) k = 
d) k = ���3 e) k = 
31. (PUC) – Um professor propôs a seus alunos a resolução de certa
equação do 2o. grau. Um dos alunos copiou errado apenas o
coeficiente do termo do 1o. grau e encontrou as raízes 1 e – 3;
outro, copiou errado apenas o termo constante, encontrando as
raízes –2 e 4. Resolva a equação original, proposta por aquele
professor.
32. (MACKENZIE) – Sejam a e b as raízes da equação x2 – 3kx + k2 = 0,
tais que a2 + b2 = 1,75. Determine k2.
33. Obter uma equação do 2o. grau cujas raízes são o dobro das raízes
da equação 2x2 + 7x + 1 = 0.
34. (CESGRANRIO) – Se m e n são as raízes da equação 
7x2 + 9x + 21 = 0, então (m + 7) (n + 7) vale:
a) 49 b) 43 c) 37 d) 30 e)
35. Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais
por dia e arrecada com essas vendas, em média, 
R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães
especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja
reduzido, de acordo com a equação q = 400 – 100p, na qual q
representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente
e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria
decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do
pão especialde modo que a quantidade a ser vendida diariamente
seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária
na venda desse produto. 
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar
no intervalo 
a) R$ 0,50 � p < R$ 1,50 b) R$ 1,50 � p < R$ 2,50 
c) R$ 2,50 � p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 � p < R$ 4,50 
e) R$ 4,50 � p < R$ 5,50
1
––
3
1
––
3
1
––
3
���3
––––
3
30
–––
7
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25
9. Sistema de equações
Note que , , ,
são algumas das soluções da equação x + y = 9.
Além disso, , , ,
são algumas das soluções da equação x – y = 7.
Note, ainda, que (x = 8 e y = 1) é solução das
equações x + y = 9 e x – y = 7 e portanto o par ordenado
(8; 1) é solução do sistema
A solução de um sistema de duas equações e duas
incógnitas x e y é qualquer par ordenado de valores (x; y)
que satisfaz ambas as equações.
x = 7
y = 0	x = 8y = 1	x = 9y = 2	x = 10y = 3	
x = – 1
y = 10	x = 10y = – 1	x = 8y = 1	x = 1y = 8	
x + y = 9	 x – y = 7
43. x8 – 15x4 – 16 = 0
44. (x2 – 7x + 3)2 + 10 (x2 – 7x + 3) + 21 = 0
45. A temperatura T de um forno (em graus cen tígra -
dos) é reduzida por um sistema a partir do instante
de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com
a expressão T(t) = – + 400, com t em minutos. Por moti -
vos de de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura
quando o forno atinge a temperatura de 39°C. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o
forno, para que a porta possa ser aberta? 
a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 
d) 38,0 e) 39,0 
t2
–––
4
46. Determinar o conjunto solução do sistema pelo 
método da substituição.
Resolução
Fazendo , de (I) temos:
(α)
Substituindo em (II), resulta 3x + 2 = – 4 ⇔
⇔ 15x + 2 – 4x = – 20 ⇔ 11x = – 22 ⇔ x = – 2 (β).
Substituindo (β) em (α), obtém-se: y = ⇔ y = 1
Resposta: S = {(– 2; 1)}
47. Determinar o conjunto solução do sistema 
pelo método da adição.
Resolução
Façamos
Adicionemos membro a membro as equações, depois de
multiplicar (I) por (– 2) e (II) por 5.
– 4x – 10y = – 2	 15x + 10y = – 20 �
———————————
11x = – 22 ⇔ x = – 2
Agora, adicionemos membro a membro as equações, depois de
multiplicar (I) por 3 e (II) por (– 2).
6x + 15y = 3	 – 6x – 4y = 8 �
————————–—
11y = 11 ⇔ y = 1
Resposta: S = {(– 2; 1)}
48. Determinar o conjunto solução do sistema
2x + 5y = 1	 pelo método da comparação.3x + 2y = – 4
Resolução
2x + 5y = 1 (I)
Fazendo 	 , de (I) e (II), temos:3x + 2y = – 4 (II)
1 – 2x
y = —–——
5 1 – 2x – 4 – 3x	 ⇒ ———— = ——––—- ⇔– 4 – 3x 5 2y = ——––—
2
⇔ 2(1 – 2x) = 5 (– 4 – 3x) ⇔ 2 – 4x = – 20 – 15x ⇔
⇔ 15x – 4x = – 22 ⇔ 11x = – 22 ⇔ x = – 2 
Por outro lado, isolando x, de (I) e (II), temos:
1 – 5y
x = —–——
2 1 – 5y – 4 – 2y	 ⇒ —–—— = ——––—- ⇔– 4 – 2y 2 3x = ——––—
3
⇔ 3 (1 – 5y) = 2 (– 4 – 2y) ⇔ 3 – 15y = – 8 – 4y ⇔ – 11y = – 11⇔ y = 1
Resposta: S = {(– 2; 1)}
	 2x + 5y = 13x + 2y = – 4
	 2x + 5y = 1 (I)3x + 2y = – 4 (II)
1 – 2x
y = ——— 
5
� 1 – 2x———— 5 �
1 – 2 · (– 2)
————–––– 
5
	 2x + 5y = 1 3x + 2y = – 4 
	 2x + 5y = 1 (I)3x + 2y = – 4 (II)
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26
y2 – 4x = – 12
49. Resolver, em � x �, o sistema 	 x – 2y = 8
Resolução
y2 – 4x = – 12 (I)
Fazendo 	 , temos:x – 2y = 8 (II)
De (II) x = 8 + 2y (α)
Substituindo (α) em (I), temos:
y2 – 4 (8 + 2y) = – 12 ⇔ y2 – 32 – 8y = – 12 ⇔
⇔ y2 – 8y – 20 = 0 ⇔ y = 10 ou y = – 2 (β)
Substituindo (β) em (α), temos:
y = 10 ⇒ x = 28
y = – 2 ⇒ x = 4
Resposta: V = {(28; 10); (4; – 2)}
50. Resolver o sistema
51. Resolver o sistema 
52. (FEI) – O professor João tem R$ 275,00 em notas de R$ 5,00 e
R$ 10,00; se o número total de cédulas é 40, a diferença entre o
número de notas de R$ 5,00 e R$ 10,00 é:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20
53. (UNICAMP) – O IBGE contratou um certo número de entrevis -
tadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada
um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visi -
ta das. Como, no entanto, todas as residên cias foram visitadas e
cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cida de?
54. (FUVEST) – Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número
de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de
irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos
e filhas do casal?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
55. (UNICAMP) – Um copo cheio de água tem massa de 385g; com
2/3 de água, a massa é de 310g. Pergunta-se:
a) Qual é a massa do copo vazio?
b) Qual é a massa do copo com 3/5 de água?
56. (UNESP) – Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um
computador portátil (notebook) que custa R$ 3 250,00. Alguns dias
depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, formando um
novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do
computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo
grupo, verificou-se que cada pessoa pa ga ria R$ 75,00 a menos do
que o inicialmente programado para cada um no pri meiro grupo. O
número x de pessoas que forma vam o primeiro grupo é:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
57. (UNESP) – Numa campanha de preservação do meio ambiente,
uma prefeitura dá descontos na conta de água em troca de latas
de alumínio e garrafas de plástico (PET) arreca dadas. Para um
quilograma de alumínio, o desconto é de R$ 2,90 na conta de
água; para um quilograma de plástico, o abatimento é de R$ 0,17.
Uma família obteve R$ 16,20 de desconto na conta de água com
a troca de alumínio e garrafas plásticas. Se a quantidade (em quilo -
gramas) de plástico que a família entregou foi o dobro da quan -
tidade de alumínio, a quantidade de plástico, em quilo gra mas, que
essa família entregou na campanha foi
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 
	 x + 2y = 4– x + y = – 1
	2x + 5y = 13x + 2y = – 4
6) V = {2} 7) C 8) B
9) B 10) V = {0} 11) V = {–1; 1}
1 1
15) V = 	– —; —
 16) V = {2; 3} 17) V = {– 3; – 1} 3 2
2 3 1
18) V = 	—; —
 19) V = 	—
 20) V = Ø
3 2 2
21) V = {0; –4} 22) V = {–7; 7} 23) A
24) E 25) E 30) C
31) V = {–1; 3} 32) 0,25 33) x2 + 7x + 2 = 0
34) B 35) A 36) E
37) C 38) A = {0}
39) V = {1; – 1} 40) C 41) V = {2; 2a}
42) V = {– 2a; 3a} 43) V = {2; – 2} 44) V = {1; 2; 5; 6}
45) D 50) V = {(2; 1)} 51) V = {(– 2; 1)}
52) C 53) 3060 residências
54) E 55) a) 160g b) 295g 
56) B 57) E
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:06 Página 26
1. O gráfico apresenta as taxas de desemprego du -
 rante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012
na região metropolitana de São Paulo. A taxa de de -
sem prego total é a soma das taxas de desem prego aberto e oculto. 
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro
de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012
e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja
igual a essa taxa em dezembro de 20 11. 
Disponível em: www.dieese.org.br. 
Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento). 
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012
teria sido, em termos percentuais, de 
a) 1,1 b) 3,5 c) 4,5 d) 6,8 e) 7,9 
2. (PUC) – Ao conferir o livro de registro de entrada e saída das
pessoas que fizeram exames num laboratório de uma clínica
hospitalar, foi possível constatar-se que, ao longo dos cinco dias
úteis de certa semana, 
– o número de pessoas atendidas na segunda-feira correspondia
à quarta parte do total atendido nos cinco dias;
– em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas 
atendidas correspondia a do número daquelas atendidas no 
dia anterior.
Considerando que na sexta-feira foram atendidas 129 pessoas, é
correto afirmar que o número de pessoas que fizeram exames
a) ao longo dos cinco dias foi 342.
b) na segunda-feira foi 72.
c) na terça-feira foi 54.
d) na quarta-feira foi 32.
e) na quinta-feira foi 21.
3. (FGV) – Sejam 0 e 1 dois anos consecutivos. Em um país sem
inflação, suponha que no ano 0 o PIB ( Produto Interno Bruto) seja
1000 e a dívida pública seja 600; portanto a relação dívida/PIB é
600/1000, ou seja, 60%. Se o PIB crescer 2% ao ano e a taxade
juros da dívida pública for 4% ao ano, quanto o governo deverá
economizar (isto é, ter um superávit de receitas menos despesas)
no ano 1 para que a relação dívida/PIB fique estabilizada em 60%?
Nota: a dívida pública, no ano 1, cresce em relação à do ano 0 pela
incorporação dos juros e diminui pelo superávit do ano 1.
a) 24 b) Zero c) 12 d) 6 e) 18
4. (INSPER) – A fila para entrar em uma balada é encerrada às 21h
e, quem chega exatamente nesse horário, somente consegue
entrar às 22h, tendo de esperar uma hora na fila. No entanto,
quem chega mais cedo espera menos tempo: a cada dois mi nutos
de antecipação em relação às 21h que uma pessoa consegue
chegar, ela aguarda um minuto a menos para conseguir entrar. Se
uma pessoa não quiser esperar nem um segundo na fila, o horário
máximo que ela deve chegar é
a) 19h. b) 19h15min. c) 19h30min.
d) 19h45min. e) 20h.
5. (FAMERP) – Uma prova de múltipla escolha com 63 questões
atribui 5 pontos a cada questão correta, e anula uma questão
correta a cada 5 questões erradas. Se Alésio fez 165 pontos nessa
prova, a diferença entre o total de questões que ele acertou e
errou foi igual a
a) 17 b) 15 c) 9 d) 13 e) 12 
6. (UNESP) – Uma imobiliária exige dos novos locatários de imó -
veis o pagamento, ao final do primeiro mês no imóvel, de uma
taxa, junto com a primeira mensalidade de aluguel. Rafael alugou
um imóvel nessa imobiliária e pagou R$ 900,00 ao final do
primeiro mês. No período de um ano de ocupação do imóvel, ele
con tabilizou gastos totais de R$ 6.950,00 com a locação do
imóvel. Na situação descrita, a taxa paga foi de
a) R$ 450,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 
d) R$ 350,00 e) R$ 550,00 
7. (ALBERT EINSTEIN) – Juntas, Clara e Josefina realizaram certo
trabalho, pelo qual Clara recebeu, a cada hora, R$ 8,00 a mais do
que Josefina. Se, pelas 55 horas que ambas trabalharam, rece -
beram o total de R$ 1 760,00, a parte dessa quantia que coube a
Clara foi
a) R$ 660,00 b) R$ 770,00 
c) R$ 990,00 d) R$ 1 100,00 
8. (UNICAMP) – Roberto disse a Valéria: “pense um número; dobre
esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado por
2. Quanto deu?” Valéria disse “15”, ao que Roberto imediata -
mente revelou o número original que Valéria havia pensado. Cal -
cule esse número.
2
–––
3
27
6ÁlgebraExercícios-tarefa (Equações, sistemas e problemas)
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9. (UNICAMP) – Ache dois números inteiros, positivos e consecu -
tivos, sabendo que a soma de seus quadrados é 481.
10. (UNICAMP) – Um pequeno avião a jato gasta 7 horas a menos do
que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião
a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião
a hélice voa em média a 275 km/h. Qual a distância entre São
Paulo e Boa Vista?
11. (UNICAMP) – Uma senhora comprou uma caixa de bombons
para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons
da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade
dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons.
Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
12. (UNICAMP) – Minha calculadora tem lugar para oito algarismos.
Eu digitei nela o maior número possível, do qual subtraí o número
de habitantes do estado de São Paulo, obtendo, como resultado,
68 807 181. Qual é a população do estado de São Paulo?
13. (UNICAMP) – Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo
pediram o mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com
o prato principal, o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa, 
R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o
prato principal.
a) Encontre o número de pessoas neste grupo.
b) Qual é o preço do prato principal?
14. (MACKENZIE) – Dois números naturais têm soma 63 e razão 6.
O produto desses números é 
a) 198 b) 258 c) 312 d) 356 e) 486 
15. (MACKENZIE) – Quando meu irmão tinha a idade que tenho hoje, 
eu tinha da idade que ele tem hoje. Quando eu tiver a idade
que meu irmão tem hoje, as nossas idades somarão 95 anos.
Hoje, a soma de nossas idades, em anos, é
a) 53 b) 58 c) 60 d) 65 e) 75
16. (UNESP) – Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma
temperatura em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de
temperatura estão relacionadas pela equação 9TC = 5TF – 160.
Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. 
As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela equação 
TK = TC + 273. A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e
Kelvin é:
a) TF = b) TF =
c) TF = d) TF =
e) TF = 
17. (PUC) – Para dar R$ 1,80 de troco a um cliente, o caixa de um
supermercado pretende usar exatamente 20 moedas. Se ele
dispõe apenas de moedas de 5 centavos, 10 centavos e 
25 centavos, de quantos modos distintos ele pode compor tal
quantia?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
18. (MACKENZIE) – Um comerciante pagou uma dívida de 
R$ 8 000,00 em dinheiro, usando apenas notas de R$ 50,00 e 
R$ 100,00. Se um terço do total das notas foi de R$ 100,00, a
quantidade de notas de R$ 50,00 utilizadas no paga mento foi
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
19. (UNESP) – Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra,
baseada em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcio -
nário recebe 3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele
foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês
ele chegou pelo menos um dia atra sado. Os pontos recebidos vão
sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela
primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando
isso ocorre, há duas pos sibili dades: se o número de pontos acu -
mulados for positivo, o funcio nário recebe uma gratificação e, se
for negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcio nário
acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quan -
tidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15 b) 20 c) 25 d) 26 e) 28 
20. (UNESP) – Em um dado comum, a soma dos nú meros de pontos
desenhados em quaisquer duas faces opos tas é sempre igual a 7.
Três dados comuns e idênticos são cola dos por faces com o
mesmo número de pontos. Em seguida, os da dos são colados
sobre uma mesa não transparente, como mostra a figura.
Sabendo-se que a soma dos números de pontos de todas as
faces livres é igual a 36, a soma dos números de pontos das três
faces que estão em contato com a mesa é igual a
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18 
21. (UFPR) – Certa transportadora possui depósitos nas cidades de
Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessa empresa,
que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos,
estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações: 
1o. motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga
em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, per corri 568 km.
2o. motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em
Cas cavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km.
3o. motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei
parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percor -
rendo, ao todo, 550 km. 
Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o
percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros
percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse
por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava? 
a) 820 km b) 832 km c) 798 km d) 812 km e) 824 km
1
–––
4
TK – 113
––––––––––
5
9TK – 2457
–––––––––––
5
9TK – 2297
–––––––––––
5
9TK – 2657
–––––––––––
5
9TK – 2617
–––––––––––
5
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22. (UEG) – Uma construtora contratou duas equipes de trabalha -
dores para realizar, em conjunto, um determinado serviço. A pri -
meira equipe era composta de 12 profissionais que trabalha vam 
8 horas por dia cada um. A outra turma era composta de 10 pro -
fis sionais que trabalhavam 10 horas por dia cada um. Em 20 dias
de trabalho, o serviço foi concluído, e a construtora pagou
R$13.720,00 pela obra. Considerando que o valor pago pela hora
de trabalho de cada profissional era o mesmo, qual era o valor
pago pela hora trabalhada? 
23. (UEG) – Um grupo deex-colegas de uma escola resolveu fazer
uma festa e cotizar a despesa total. Entretanto, oito dos ex-
colegas que participaram da festa não puderam contribuir com as
despesas, e novo rateio foi feito. O curioso é que a despesa total
era igual ao valor pago a mais por cada um dos que contribuíram
multiplicado por 240. De acordo com esses dados, é possível
concluir que participaram da festa 
a) 96 pessoas. b) 56 pessoas. c) 48 pessoas. 
d) 40 pessoas. e) 38 pessoas. 
24. (MACKENZIE) – Um feirante colocou à venda 900 ovos,
distribuídos em caixas com 6 e 12 ovos. Se o número de caixas
com 12 ovos supera em 15 unidades o número de caixas com 6
ovos, então o total de caixas utilizadas pelo feirante é
a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100
25. (UNICAMP) – Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs
briga deiros formando n colunas, cada qual com m briga dei ros,
como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em
dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da ban -
deja foram postos em forminhas azuis, enquanto os briga dei ros
do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas. 
a) Sabendo que m = 3n/4 e que a pessoa gastou o mesmo
número de forminhas vermelhas e azuis, determine o nú mero
de brigadeiros da bandeja. 
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas
de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o cho colate
gra nulado que o cobre, tem o formato de uma esfera cujo
volume é 4,19 cm3, quantas latas ela tem de comprar para
produzir 400 briga deiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro
corres ponde a 1000 cm3.)
26. (MACKENZIE) – A soma entre as medidas da altura e da base de
um retângulo é de 14 cm. Se a diagonal mede 10 cm, então as
medidas da altura e da base do retângulo são, respectivamente,
a) 2 cm e 12 cm
b) 9 cm e 5 cm
c) 10 cm e 4 cm
d) 8 cm e 6 cm
e) 11 cm e 3 cm
27. A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de
São Paulo testou em 2013 novos radares que
permitem o cálculo da velocidade média desenvol -
vida por um veículo em um trecho da via. 
As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira
instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da
velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no
percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a velocidade média
é calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o
tempo gasto para percorrê-la. 
O teste realizado mostrou que o tempo que permite uma con -
dução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares
deveria ser de, no mínimo, 1 minuto e 24 segundos. Com isso, a
CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar infor -
mando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via.
O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os
que atendem às condições de condução segura observadas. 
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. 
Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado). 
A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a
essas condições é 
28. Na aferição de um novo semáforo, os tempos são
ajus tados de modo que, em cada ciclo completo
(verde-ama relo-vermelho), a luz amarela permaneça
acesa por 5 se gundos, e o tempo em que a luz verde permaneça
acesa seja igual a do tempo em que a luz vermelha fique 
acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos
e cada ciclo dura Y segundos. 
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? 
a) 5X – 3 Y + 15 = 0 b) 5X – 2Y + 10 = 0 
c) 3X – 3Y + 15 = 0 d) 3X – 2Y + 15 = 0 
e) 3X – 2Y + 10 = 0 
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29. Um dos grandes problemas enfrentados nas rodo -
vias brasileiras é o excesso de carga transportada
pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego
dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se de -
teriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o ex -
ces so de carga interfere na capacidade de frenagem e no
funcionamento da suspensão do veículo, causas fre quentes de
acidentes. 
Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adqui -
rida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão
pode carregar no máximo 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. 
Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos
tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a
não ultrapassar a carga máxima do caminhão? 
a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos 
d) 480 tijolos e) 600 tijolos 
30. Alguns exames médicos requerem uma ingestão
de água maior do que a habitual. Por recomendação
médica, antes do horário do exame, uma paciente
deveria ingerir 1 copo de água de 150 mililitros a cada meia hora,
durante as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foi
a um supermercado comprar água e verificou que havia garrafas
dos seguintes tipos: 
Garrafa I: 0,15 litro Garrafa II: 0,30 litro 
Garrafa III: 0,75 litro Garrafa IV: 1,50 litro 
Garrafa V: 3,00 litros 
A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo tipo,
procurando atender à recomendação médica e, ainda, de modo a
consumir todo o líquido das duas garrafas antes do exame. 
Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente? 
a) I b) II c) III d) IV e) V
31. Um show especial de Natal teve 45 000 ingressos
vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de
futebol que disponibilizará 5 portões de entrada,
com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas
catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público
foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas,
indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no
estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos
irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas
eletrônicas indicados. 
Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? 
a) 1 hora. b) 1 hora e 15 minutos. 
c) 5 horas. d) 6 horas. 
e) 6 horas e 15 minutos. 
32. Um cientista trabalha com as espécies I e II de
bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente,
existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bac -
térias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de
bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma
semana.
Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse
ambiente de cultura foi máxima?
a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira.
d) Sexta-feira. e) Domingo.
33. Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B,
que estão localizadas em fusos horários distintos. O
tempo de duração da viagem de avião entre as duas
cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às
15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais).
Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de
volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário
local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário
correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo
saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s)
a) 16h b) 10h c) 7h d) 4h e) 1h 
34. Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes
devem ter espessuras mais próximas possíveis da
medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes
de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 
3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura
escolhida será, em milímetros, de 
a) 2,099 b) 2,96 c) 3,021 
d) 3,07 e) 3,10 
35. (FUVEST) – Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte
urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de 
R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de 
R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem).
Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um
saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria
possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é 
a) R$ 0,85 b) R$ 1,15 c) R$ 1,45 
d) R$ 2,50 e) R$ 2,80 
36. (INSPER) – Em uma noite, a razão entre o número de pessoas
que estavam jantando em um restaurante e o número de garçons
que as atendiam era de 30 para 1. Em seguida, chegaram mais 50
clientes, mais 5 garçons iniciaram o atendimento e a razão entre
o número de clientes e o númerode garçons ficou em 25 para 1.
O número inicial de clientes no restaurante era
a) 250 b) 300 c) 350 
d) 400 e) 450 
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37. (INSPER) – Uma rede de cafeterias vende copos térmicos para
que o cliente possa comprar seu café e levá-lo em seu próprio
recipiente. Como, nesse caso, a empresa economiza com os
copos descartáveis, quando o cliente usa o copo térmico da rede,
recebe um desconto de R$ 0,25 no café. Para decidir se com -
praria um copo térmico, um cliente calculou que seria necessário
receber este desconto 397 vezes para que ele recuperasse o
valor a ser pago no copo. O preço do copo térmico é um valor
entre
a) R$ 85,00 e R$ 90,00. b) R$ 90,00 e R$ 95,00.
c) R$ 95,00 e R$ 100,00. d) R$ 105,00 e R$ 110,00.
e) R$ 110,00 e R$ 115,00.
38. (Albert Einstein) – Dispõe-se de 900 frascos de um mesmo tipo
de medicamento e pretende-se dividi-los igualmente entre X
setores de certo hospital. Sabendo que, se tais frascos fossem
igualmente divididos entre 3 setores a menos, cada setor
receberia 15 frascos a mais do que o previsto inicialmente, então
X é um número
a) menor do que 20. b) maior do que 50.
c) quadrado perfeito. d) primo.
39. (PUC)
(Jornal “O Estado de S. Paulo”; Caderno 2-C10; 08 out. 2015)
Seja o par ordenado (a; b), em que a e b são números inteiros
positivos, uma solução da equação mostrada na tira acima. Em
quantas das soluções, a soma a + b é um número primo com -
preendido entre 15 e 30?
a) menos do que três. b) três.
c) quatro. d) mais do que quatro.
POR QUE "X" NÃO PODE SER "X"?
POR QUE ELE SEMPRE TEM
QUE SER IGUAL A
ALGUMA COISA?
1) E 2) C 3) C
4) A 5) D 6) D
7) D 8) 9 9) 15 e 16
10) 3300 km 11) 40 bombons 12) 31 192 818 habitantes
13) a) 7 pessoas b) R$ 8,00
14) E 15) D 16) C
17) C 18) C 19) C
20) A 21) A 22) R$ 3,50
23) C 24) D
25) a) 48 brigadeiros b) 2 latas
26) D 27) C
28) B 29) D 30) D
31) B 32) A 33) D
34) C 35) B 36) E
37) C 38) A 39) C
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1. Conceitos primitivos
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência
são primitivos, ou seja, não são definidos.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou
uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos. 
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm
elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma
banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um
conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum
outro conjunto. Por exemplo, uma reta é um conjunto de
pontos; um feixe de retas é um conjunto no qual cada
elemento (reta) é também conjunto (de pontos).
Em geral, indicaremos os conjuntos pelas letras
maiúsculas A, B, C, ..., X, ... e os elementos pelas letras
minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa
obrigatoriedade.
Em Geometria, por exemplo, os pontos são in -
dicados por letras maiúsculas e as retas (que são
conjuntos de pontos) por letras minúsculas.
Um outro conceito fundamental é o de relação de
per tinência que nos dá um relacionamento entre um
elemento e um conjunto.
Se x é um elemento de um conjunto A,
escreveremos
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.
Se x não é um elemento de um conjunto A,
escreveremos
Lê-se: x não é elemento de A ou x não pertence a A.
2. Como representar um conjunto
Pela designação de seus elementos
Escrevemos os elementos entre chaves, separando-
os por vírgula ou ponto e vírgula.
Exemplos
a) {3, 6, 7, 8 } indica o conjunto formado pelos ele -
mentos 3, 6, 7 e 8.
b) {a; b; m} indica o conjunto constituído pelos ele -
 mentos a, b e m.
c) {1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos
elementos são 1, {2; 3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos
Conhecida uma propriedade P que caracteriza os
ele mentos de um conjunto A, este fica bem determinado.
O termo “propriedade P que caracteriza os
elementos de um conjunto A” significa que, dado um
elemento x qualquer, temos:
x ∈ A se, e somente se, x satisfaz P.
x ∉ A se, e somente se, x não satisfaz P.
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que
possuem a propriedade P é indicado por:
{x, tal que x tem a propriedade P}
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou
| ou ainda : , podemos indicar o mesmo conjunto por:
{x, t.q. x tem a propriedade P} ou
{x � x tem a propriedade P} ou, ainda,
{x : x tem a propriedade P}
Exemplos
a) {x, t.q. x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u}
b) {x � x é um número natural menor que 4} é o mesmo
que {0, 1, 2, 3}
c) {x : x é um número inteiro e x2 = x} é o mesmo
que {0, 1} 
Pelo diagrama de Venn-Euler
O diagrama de Venn-Euler consiste em representar
o conjunto por um “círculo” de tal forma que seus
elementos e somente eles estejam no “círculo”.
x ∈ A
x ∉ A
7ÁlgebraConjuntos
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Exemplos
a) Se A = {a, e, i, o, u}, b) Se B = {0, 1, 2, 3}, 
então então 
3. Conjunto vazio
Definição
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos.
Representa-se pela letra do alfabeto norueguês Ø ou,
simplesmente, por { }.
Simbolicamente:
Exemplos
a) Ø = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}
b) Ø = {x � x é um número natural e 3 – x = 4}
c) Ø = {x � x ≠ x}
4. Subconjunto
Definição
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A
é também elemento de B, dizemos que A é um
subconjunto de B ou A é parte de B ou, ainda, A está
contido em B e indicamos por A � B. Simbolicamente:
Portanto, A � B significa que A não é um subcon -
junto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está
contido em B.
Por outro lado, A � B se, e somente se, existe, pelo
menos, um elemento de A que não é elemento de B.
Simbolicamente:
Exemplos
a) {2, 4} � {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}
b) {2, 3, 4} � {2, 4}, pois 3 ∉ {2, 4}
c) {5, 6} � {5, 6}, pois 5 ∈ {5, 6} e 6 ∈ {5, 6}
Inclusão e pertinência
A definição de subconjunto estabelece um relacio -
na mento entre dois conjuntos e recebe o nome de
relação de inclusão .
A relação de pertinência estabelece um rela -
cio namento entre um elemento e um conjunto e, por -
tanto, é diferente da relação de inclusão.
Simbolicamente:
5. Igualdade
Definição
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual
a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é
subconjunto de B e B é também subconjunto de A. Sim -
bolicamente:
Demonstrar que dois conjuntos, A e B, são iguais
equivale, segundo a definição, a demonstrar que A � B
e B � A.
Segue-se da definição que dois conjuntos são iguais
se, e somente se, possuem os mesmos elementos.
Por outro lado, A ≠ B significa que A é diferente de
B. Portanto, A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto
de B ou B não é subconjunto de A. Simbolicamente:
Exemplos
a) {2, 4} = {4, 2}, pois {2, 4} � {4, 2} e {4, 2} � {2, 4}.
Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um
conjunto não deve ser levada em consideração. Em
outras palavras, um conjunto fica determinado pelos
elementos que ele possui e não pela ordem em que esses
elementos são descritos.
b) {2, 2, 2, 4} = {2, 4}, pois {2, 2, 2, 4} � {2, 4} e 
{2, 4}�{2, 2, 2, 4}. Isto nos mostra que a repetição de
ele mentos é desnecessária.
c) {a, a} = {a}
d) {a, b} = {a} ⇔ a = b
e) {1, 2} = {x, y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)
6. Conjunto das partes 
Definição
Dado um conjunto A, podemos construir um novo
conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de
A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subcon -
juntos (ou das partes) de A e é indicado por . 
∀x, x ∉ Ø
A � B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
A � B ⇔ (∃x) (x ∈ A e x ∉ B)
(�)
(∈)
x ∉ A ⇔ {x} � Ax ∈ A ⇔ {x} � A
A = B ⇔ A � B e B � A
A ≠ B ⇔ A � B ou B � A
�(A)
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Simbolicamente:
ou
Exemplos
a) A = {2, 4, 6}
�(A) = {Ø, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, A}
b) B = {3, 5}
�(B) = {Ø, {3}, {5}, B}
c) C = {8}
�(C) = {Ø, C}
d) D = Ø
�(D) = {Ø}
7. Propriedades
Seja A um conjunto qualquer e Ø o conjunto vazio.
Valem as seguintes propriedades:
Ø ≠ {Ø} Ø ∉ Ø Ø � Ø Ø ∈ {Ø}
Ø � Ø ⇔ Ø ∈ �(A) A � A ⇔ A ∈ �(A)Se A tem n elementos, então A possui 2n subconjuntos
e, portanto, �(A) possui 2n elementos
X ∈ �(A) ⇔ X � A
�(A) = {X � X � A}
1. Assinale a FALSA:
a) Ø � {3} b) {3} � {3} c) Ø ∉ {3}
d) 3 ∈ {3} e) 3 = {3}
Resolução
A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação
de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade (=). Assim
sendo, 3 ∈ {3} e 3 � {3}. De um modo geral, x � {x}, ∀x.
Resposta: E
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirma -
ções em verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 2 ∈ A e) 4 ∈ A i) {2; 5} ∈ A m) {{4}} � A
b) {2} ∈ A f) {4} ∈ A j) 3 � A n) {2, 5} � A
c) 3 ∈ A g) 5 ∈ A k) {3} � A o) {{2, 5}} �
A
d) {3} ∈ A h) {5} ∈ A l) {4} � A p) {1, 2, 3} �
A
Resolução
a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.
b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.
c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.
d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.
e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.
f) Verdadeira, pois {4} é elemento de A.
g) Falsa, pois 5 não é elemento de A.
h) Falsa, pois {5} não é elemento de A.
i) Verdadeira, pois {2, 5} é elemento de A.
j) Falsa, pois a relação de inclusão (�) está definida apenas
para dois conjuntos.
k) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.
l) Falsa, pois 4 não é elemento de A.
m) Verdadeira, pois {4} é elemento de A.
n) Falsa, pois 5 não é elemento de A.
o) Verdadeira, pois {2, 5} é elemento de A.
p) Verdadeira, pois 1 é elemento de A, 2 é elemento de A e 3
é elemento de A.
3. Um conjunto A possui 5 elementos. Quantos subconjuntos
(partes) possui o conjunto A?
Resolução
Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k
subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 elementos,
tem 25 = 32 subconjuntos.
Resposta: 32
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos,
quan tos elementos possui o conjunto A?
Resolução
Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2k é o nú -
me ro de subconjuntos de A. Assim sendo:
2k = 1024 ⇔ 2k = 210 ⇔ k = 10
Resposta: 10 elementos
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8. União de conjuntos
Definição
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o con -
junto formado por todos os elementos que pertencem a A
ou a B. Representa-se por . Simbolicamente:
Exemplos
a) {2, 3} � {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6}
b) {2, 3, 4} � {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5}
c) {2, 3} � {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
d) {a, b} � Ø = {a, b}
9. Intersecção de conjuntos
Definição
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto
formado por todos os elementos que pertencem, simul ta -
nea mente, a A e a B. Representa-se por . Simbo -
licamente:
A � B
A � B = {x � x ∈ A ou x ∈ B}
A � B
A � B = {x � x ∈ A e x ∈ B}
5. Seja A = {1, 2, {2}, {3}, Ø}
Diga se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 1 ∈ A e 2 ∈ A ( ) k) {2} ∈ A ( )
b) {3} ∈ A ( ) l) {1} ∈ A ( )
c) 3 ∉ A ( ) m) 5 ∉ A ( )
d) {1} � A ( ) n) {1, 2} � A ( )
e) {2} � A ( ) o) {{2}} � A ( )
f) {{2}, {3}} � A ( ) p) {1, 2, 4} � A ( )
g) {1, 3} � A ( ) q) {3} � A ( )
h) Ø ∈ A ( ) r) Ø � A ( )
i) {Ø} � A ( ) s) A � A ( )
j) Ø ∉ A ( ) t) {4, Ø} � A ( )
6. (OSEC) – Considere as afirmações abaixo: 
I) 2 � {2; 5; 7} II) {2} ∈ {0; 1; 2; 3;...}
III) 3 ∈ {2; 3; 4} IV) {2; 1} � {1; 2} 
Escolha a alternativa correta:
a) Somente I, II, III são verdadeiras.
b) Somente III e IV são verdadeiras.
c) Somente IV é verdadeira.
d) Somente I e IV são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
7. (MACKENZIE) – Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:
1) 3 ∈ A 2) {3} � A 3) {3} ∈ A, então:
a) apenas 1) e 2) são verdadeiras;
b) apenas 2) e 3) são verdadeiras;
c) apenas 1) e 3) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) nenhuma é verdadeira. 
8. (MACKENZIE) – Se E = {m, n, {n, p}}, então
a) p ∈ E b) {p} ∈ E c) {m,n} ∈ E
d) {n, {n, p}} � E e) {m, n, p} = E
9. (PUC) – Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}, podemos afirmar:
a) B � A b) A = B c) A ∈ B
d) a = A e) {A} ∈ B
10. (UNIP) – O número dos conjuntos X que satisfazem:
{1, 2} � X � {1, 2, 3, 4} é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
11. (UnB) – Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g}, o número máximo de
subconjuntos distintos é:
a) 21 b) 128 c) 64 d) 32 e) 256
12. (FESP) – Se A = {1, 3, 5}, então o número de subconjuntos não
vazios de A é:
a) 7 b) 3 c) 6 d) 5 e) 2
13. (FEI) – Se n é o número de subconjuntos não vazios do conjunto
formado pelos múltiplos estritamente posi tivos de 5, menores do
que 40, então o valor de n é:
a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110
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Exemplos
a) {2, 3, 4} � {3, 5} = {3}
b) {1, 2, 3} � {2, 3, 4} = {2, 3}
c) {2, 3} � {1, 2, 3, 4} = {2, 3}
d) {2, 4} � {3, 5, 7} = Ø
Observação
Se A � B = Ø, dizemos que A e B são conjuntos
disjuntos.
10. Subtração
Definição
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto
for mado por todos os elementos que pertencem a A e
não pertencem a B. Representa-se por . 
Simbo li camente:
O conjunto A – B é também chamado de conjunto com -
plementar de B em relação a A, re presentado por .
Simbolicamente:
Exemplos
a) A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}
�
A
B = A – B = {1, 3} e �
B
A = B – A = Ø
b) A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
�
A
B = A – B = {1} e �
B
A = B – A = {4}
c) A = {0, 2, 4} e B = {1, 3, 5}
�
A
B = A – B ={0, 2, 4} e �
B
A = B –A = {1, 3, 5}
Observações
a) Alguns autores preferem utilizar o conceito de
complementar de B em relação a A somente nos casos
em que B � A.
b) Se B � A, representa-se por B
–
o conjunto com -
ple mentar de B em relação a A. 
Simbolicamente:
Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4} ⇒ A— = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6} ⇒ B— = {0, 1, 2}
c) C = Ø ⇒ C— = S
11. Número de elementos 
de um conjunto
Sendo X um conjunto com um número finito de
elementos, representa-se por n(X) o número de ele -
mentos de X.
Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quais quer, com
número finito de elementos, temos:
B � A ⇒ B– = A – B = �AB 
n (A � B) = n(A) + n(B) – n(A � B)
A � B = Ø ⇒ n (A � B) = n(A) + n(B)
n (A – B) = n(A) – n(A � B)
B � A ⇒ n (A – B) = n(A) – n(B)
A – B
A – B = {x � x ∈ A e x ∉ B}
�AB
�AB = A – B = {x � x ∈ A e x ∉ B}
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14. Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4; 5; 7} e C = {4; 5; 6;
8}, pedem-se:
a) A � B b) A � B c) A � C
d) A � C e) A � B � C f) A � B � C
g) (A � B) � C h) A – B i) (A � B) – C
j) �C A
Resolução
Representando os conjuntos A, B e C pelo diagrama de Venn-
Euler, temos:
a) b)
A � B = {1, 3, 4, 5, 6, 7} A � B = {3, 4}
c) d)
A � C = {1, 3, 4, 5, 6, 8} A � C = {4, 6}
e) f)
A � B � C = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A � B � C = {4}
g) h)
(A � B) � C = {4; 5; 6} A – B = {1; 6}
i) j) 
(A � B) – C = {1, 3, 7} �
C
A = C – A = {5, 8}
15. Considere os conjuntos: S = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {2, 4}.
Determine o conjunto X de tal forma que:
X � A = Ø e X � A = S
Resolução
Como X � A = Ø e X � A = S, então X = A
–
= S – A = �SA ⇒
⇒ X = {1; 3; 5} 
Resposta: X = {1; 3; 5}
16. Sejam A e X conjuntos. Sabendo-se que A � X e A � X = {2, 3, 4},
determine o conjunto X.
Resolução
Como A � X, então A � X = X = {2; 3; 4}
Resposta: X = {2; 3; 4}
17. Dados três conjuntos finitos, A, B e C, determinar o número de
ele mentos de A � (B � C), sabendo-se que
a) A � B tem 26 elementos.
b) A � C tem 10 elementos.
c) A � B � C tem 7 elementos.
Resolução
De acordo com o enunciado, temos: 
n (A � B � C) = 7
n (A � B) = a + 7 = 26 ⇒ a = 19
n (A � C) = b + 7 = 10 ⇒ b = 3
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Assim sendo:
e portanto n[A � (B � C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3 
Logo: n[A � (B � C)] = 29
18. Numa escola mista, existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 
13 me ninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?
Resolução
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjuntodos meninos não ruivos e n(C) = 13
D o conjunto das meninas não ruivas e n(D) = y
De acordo com o enunciado, temos:
	
Assim sendo
a) o número total de crianças da escola é:
n (A � B � C � D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) =
= 15 + 9 + 13 + 33 = 70
b) o número de crianças que são meninas ou são ruivas é:
n[(A � B) � (B � D)] = n(A) + n(B) + n(D) = 15 + 9 + 33 = 57
n (B � D) = n(B) + n(D) = 9 + y = 42 ⇔ y = 33
n (A � B) = n(A) + n(B) = x + 9 = 24 ⇔ x = 15
19. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6} e 
C = {1, 3, 5}, determinar:
a) A � B b) A � B c) A – B
d) B – A e) C – (A � B) f) C – (A � B)
g) (A � B) – A h) (A � C) – B i) A – Ø
j) Ø – A
20. (MACKENZIE) – Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então
o complementar de B em A é:
a) Ø b) {8} c) {8, 9, 10}
d) {9, 10, 11 ...} e) {1, 5, 8}
21. Sejam os conjuntos S = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, A = {1, 3, 5} e 
B = {3, 5, 7, 9}. Pode-se afirmar que:
a) A � B = {3; 5} b) A � B = {1; 3; 5; 7; 9}
c) A – B = {7; 9} d) B – A = {1}
e) B
—
= CsB = {1; 11}
22. (UE Ponta Grossa) – Considere dois conjuntos, A e B, tais que 
A = {3, 7, x, 5, 9} e B = {1, 5, x, 8, y, 4}. Sabendo-se que 
A � B = {5, 9, 6}, assinale o que for correto.
01) A � B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} 02) A – B = {3, 7}
04) A ∈ B 08) 8 ∉ A
16) x + y = 15
23. (UFSC) – Sejam os conjuntos A = {–3; –1; 0; 2; 3}; 
B = {–2; 1; 2} e C = {– 4; –1; 1; 3; 4}. 
O resultado de (B – C) � (A � B) será:
a) {–4; –2} b) {–2; 1} c) {–4; 2}
d) {–2; 2} e) {1; 2}
24. (CESGRANRIO) – Sejam M, N e P conjuntos.
Se M � N = {1, 2, 3, 5} e M � P = {1, 3, 4}, então M � N � P é:
a) Ø b) {1, 3} c) {1, 3, 4}
d) {1, 2, 3, 5} e) {1, 2, 3, 4, 5}
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25. (CESGRANRIO) – Se X e Y são conjuntos e X � Y = Y, pode-se
sempre concluir que:
a) X � Y b) X = Y c) X � Y = Y
d) X = Ø e) Y � X
26. (PUC) – A e B são subconjuntos de um mesmo universo.
Existem elementos de A que pertencem ao conjunto B. Então,
pode-se afirmar:
a) A é subconjunto de B b) B é subconjunto de A
c) A e B são disjuntos d) A � B � Ø 
e) A = B
27. (UNIFOR) – Sejam A, B e C três conjuntos não disjuntos. Das
figu ras abaixo, aquela cuja região verde representa o conjunto 
(A � B) – C é
28. (PUC-RJ) – Considere o conjunto A = {3,5}. Sabendo que B � A = {3}
e B � A = {1,2,3,4,5} , determine o conjunto B.
a) B = {1, 2, 3} b) B = {1, 2, 4}
c) B = {1, 2, 3, 4} d) B = {1, 2, 3, 5}
e) B = {1, 2, 3, 4, 5}
29. (UFG) – A afirmação “Todo jovem que gosta de mate mática
adora esportes e festas” pode ser representada segundo o dia -
gra ma:
30. (UNESP) – O conjunto que representa a região som brea da na
figura é
a) (A � B)c b) (A � B)c
c) (A � B) � (A � B) d) (A � B) � (A � B)c
e) (A � B) � (A � B)
31. (FUVEST) – No vestibular FUVEST 90, exi gia-se, dos can didatos à
carreira de Administração, a nota mínima 3,0 em Matemática e em
Redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175
candidatos foram eliminados em Matemática e 76 can didatos
foram eliminados em Redação. O número total de candidatos
eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número total
de can didatos eliminados apenas pela Redação?
a) 24 b) 143 c) 32 d) 44 e) 99
32. (VIÇOSA) – Entre 100 leitores dos jornais A e B, 40 leem o jornal
A e 70, o jornal B. O porcentual dos leitores que leem os jonais A
e B é:
a) 10% b) 17% c) 28% d) 11% e) 30%
33. (ESAL) – Foi consultado um certo número de pessoas sobre as
emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o
resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270
assistem ao canal B, das quais 150 assistem a ambos os canais,
A e B, e 80 assistem a outros canais, distintos de A e B. O
número de pessoas consultadas é:
a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600
34. (UF-UBERLÂNDIA) – Num grupo de es tudantes, 80% estudam
inglês, 40% estudam francês e 10% não estudam nenhuma
destas duas línguas. Nesse grupo, a por centagem de alunos que
estudam ambas as línguas é:
a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30%
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35. (VUNESP) – Uma população utiliza 3 marcas diferentes de deter -
gente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mer cado, colheram-se os
resultados tabelados abaixo.
Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao
menos duas marcas é
a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79
36. (U. F. LAVRAS) – Na cidade de Lavras, é consumido leite dos
tipos: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo
desse produto, foram colhidos os resultados da tabela abaixo:
Faça o diagrama de Venn e determine
a) quantas pessoas foram consultadas;
b) quantas pessoas consomem só dois tipos de leite;
c) quantas pessoas não consomem o leite B.
37. Um fabricante de cosméticos decide produzir três
dife rentes catálogos de seus produtos, visando a
públicos distintos. Como alguns produtos estarão
presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira,
ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com
originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respecti -
va mente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada
catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; 
C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em
comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cál -
culos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a
montagem dos três catálogos, necessitará de um total de
originais de impressão igual a:
a) 135 b) 126 c) 118 d) 114 e) 110 
38. (FGV) – Uma pesquisa de mercado sobre determinado eletrodo -
méstico mostrou que 37% dos entrevis tados pre ferem a marca
X, 40% preferem a marca Y, 30% pre ferem a marca Z, 25%
preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, 3% preferem X e Z e 1%
prefere as três marcas. Consi deran do que há os que não pre -
ferem nenhuma das três mar cas, a porcen tagem dos que não
preferem nem X nem Y é:
a) 30% b) 20% c) 23% d) 48% e) 42%
39. (UNIFOR) – Das 35 pessoas reunidas em uma sala, sabe-se que
23 são do sexo masculino, 15 usam óculos e 6 são mulheres que
não usam óculos. Em relação ao total de presentes, qual é a
porcen tagem de homens que não usam óculos?
40. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Pau -
lo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que
todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas.
Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram
corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas
torciam para o Flamengo.
Pergunta-se:
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamen -
guistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? 
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? 
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não paulistas ou não flamenguistas?
41. (FGV) – Observe o diagrama com 5 organizações intergover na -
mentais de integração sul-americana:
(wikipedia.org. Adaptado)
Marcas A B C A e B A e C B e C A,B e C
Nenhuma
delas
Número de
Consumidores
109 203 162 25 28 41 5 115
Leite Número de consumidores
A 100
B 150
C 200
A e B 20
B e C 40
A e C 30
A, B e C 10
Nenhum dos 3 130
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Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exata -
mente 3 das organizações apenas
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
42. (FEI) – Dos setenta alunos de uma turma, treze foram reprovados
em Matemática, doze em Português e dez em Física. Oito alunos
foram reprovados simultaneamente em Matemática e Português,
sete em Matemática e Física e cinco em Português e Física.
Sabe-se que três alunos foram reprovados nas três disciplinas. Se
X é o número de alunos que não foram reprovados em qualquer
uma dessas disciplinas e Y é o número de reprovados apenas em
Ma te mática, então:a) X = 52 e Y = 1 b) X = 52 e Y = 2
c) X = 62 e Y = 1 d) X = 62 e Y = 2
e) X = 48 e Y = 1
43. (FATEC-JUNHO) – Um grupo de alunos da Fatec de Sertãozinho
está realizando um trabalho e pretende reunir-se no fim de
semana. Após uma consulta, ficaram sabendo que todos podiam
reunir-se em pelo menos um dos dois dias do fim de semana,
conforme descrito na tabela. 
Nessas condições, o número de alunos que poderia par ticipar da
reu nião apenas no sábado é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
44. (IME) – Dados três conjuntos quaisquer, F, G e H, o conjunto 
G – H é igual ao conjunto:
a) (G � F) − (F − H) b) (G � H) − (H − F)
c) (G � (H − F)) �
–
H d)
–
G � (H � F)
e) (
–
H � G) � (G − F) 
Disponibilidade Número de alunos
No sábado 5
No domingo 6
Apenas no domingo 3
5) a) V b) V c) V d) V e) V
f) V g) V h) V i) V j) F
k) V l) F m) V n) V o) V
p) V q) V r) V s) V t) V
6) B 7) D 8) D 9) E
10) B 11) B 12) A 13) A
19) a) {0; 1; 2; 4; 5; 6} b) {0; 2; 4} c) {1; 5} d) {6}
e) {3} f) {1; 3; 5} g) Ø h) {1; 5}
i) {0; 1; 2; 4; 5} j) Ø
20) E 21) E 22) São verdadeiras 02, 08, 16 
23) D 24) E 25) A 26) D
27) A 28) C 29) C 30) D
31) D 32) A 33) D 34) E
35) D 36) a) 500 b) 60 c) 350
37) C 38) D 39) 40%
40) a) 80 000 b) 16 000 c) 85 000 d) 15 000 e) 80 000
f) 5 000 g) 20 000 h) 89 000 i) 96 000
41) D 42) A 43) B 44) C
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1. Par ordenado
O conceito de PAR ORDENADO é PRIMITIVO.
A cada elemento a e a cada elemento b está associado
um único elemento indicado por (a; b) e chamado par
ordenado, de tal forma que se tenha:
Dado o par ordenado (a; b), diz-se que a é o pri -
meiro elemento e b é o segundo elemento do par or -
dena do (a; b).
Note que:
a) (2; 3) ≠ (2; 4)
b) (2; 3) ≠ (3; 2)
c) (a; b) = (b; a) ⇔ a = b
d) (a; b) ≠ {a; b}
2. Produto cartesiano
Dados dois conjuntos, A e B, chama-se produto
cartesiano de A por B e indica-se por ao con -
junto formado por todos os pares ordenados (x; y) com
x ∈ A e y ∈ B. Em símbolos:
Se A = Ø ou B = Ø, por definição, A x B = Ø e
reciprocamente.
Exemplos
Se A = {2; 3} e B = {0; 1; 2}, então
a) A x B = {(2; 0), (2; 1), (2; 2), (3; 0), (3; 1), (3; 2)}
b) B x A = {(0; 2), (0; 3), (1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3)}
c) A x A = A2 = {(2; 2); (2; 3); (3; 2); (3; 3)}
3. Representação
Para representar A x B, além de enumerar os seus
ele mentos, como nos exemplos anteriores, podemos
utilizar o diagrama de flechas ou o diagrama cartesiano.
a) Diagrama de flechas
Consideramos de um lado o conjunto A e de outro,
o B e representamos cada par ordenado por uma flecha,
adotando a seguinte convenção: a flecha parte do
primeiro elemento do par ordenado e chega ao
segundo. Assim, sendo A = {1; 2; 3} e B = {2; 3}, temos:
b) Diagrama cartesiano
Tomamos dois eixos ortogonais e representamos
sobre o eixo horizontal os elementos de A e sobre o eixo
vertical os elementos de B.
A × B
(a; b) = (c; d) ⇔ a = c e b = d
A x B = {(x; y) � x ∈ A e y ∈ B}
8ÁlgebraFunções
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Traçamos, por estes elementos, paralelas aos eixos
considerados.
As intersecções dessas paralelas representam,
assim, os pares ordenados de A × B.
No caso de B × A = {(2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), 
(3; 2), (3; 3)}, temos:
Convém notar que os gráficos cartesianos de A × B e
B × A nos mostram que, em geral, .
Sendo � o conjunto dos números reais, a repre sen -
tação gráfica de é o plano cartesiano.
4. Número de elementos 
de um produto cartesiano
Se A e B são dois conjuntos finitos, então o número
de elementos de A × B é igual ao produto do número de
elementos de A pelo número de elementos de B.
Simbolicamente:
Se A = {2; 3} e B = {4; 5; 6}, por exemplo, então
A × B = {(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 4), (3; 5), (3; 6)}
e n(A × B) = 2 · 3 = 6
Se A ou B tiver um número infinito de elementos,
então A x B também o terá.
5. Relação binária
Dados dois conjuntos, A e B, chama-se relação
binária de A em B a qualquer subconjunto f de A × B.
Simbolicamente:
No caso de f � A × A, dizemos que f é uma relação
binária em A ou que f é uma relação sobre A.
Sendo a relação binária um conjunto de pares orde -
nados, podemos representá-la graficamente como já o
fizemos com o produto cartesiano.
Exemplos
a) Se A = {1; 2; 4}, B = {2; 3} e 
f = {(x; y) ∈ A × B � x < y }, então:
f = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}, cuja representação gráfica
pode ser dada por:
n (A × B) = n(A) · n(B)
f é uma relação binária de A em B ⇔ f � A × B
A x B ≠ B × A 
� × � = �2
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ou
b) Se A = �, B = � e f = {(x; y) ∈ �2 � y = x + 2}
então f = {...; (0; 2); (–2; 0); (1; 3); (–1; 1), ...} � �2 e o
gráfico de f no plano cartesiano é a reta que passa por
esses pontos.
c) Se A = �, B = � e f = {(x; y) ∈ �2 � y � x + 2}
então f = { ...; (0; 2); (0; 1); (1; 3); (1; 2); ...} � �2 e o
gráfico de f no plano cartesiano é o semiplano determinado
pela reta do exemplo anterior e que contém o ponto (0; 0).
6. Número de relações binárias
Determinar o número de relações binárias de A em B
é o mesmo que determinar o número de subconjuntos de A × B,
pois cada relação binária é um subconjunto de A × B.
Se A e B são dois conjuntos finitos tais que n(A) = m
e n(B) = k, então n(A x B) = m · k, portanto, o número
de relações binárias de A em B é 2m.k.
Se A = {2; 3; 8} e B = {5}, por exemplo, então
A x B = {(2; 5); (3; 5); (8; 5)}. 
Assim sendo, n(A × B) = 3 · 1 = 3 e o número de
relações de A em B é 23.1 = 8.
As oito relações binárias de A em B são:
f1 = Ø
f2 = {(2; 5)}
f3 = {(3; 5)}
f4 = {(8; 5)}
f5 = {(2; 5), (3; 5)}
f6 = {(2; 5), (8; 5)}
f7 = {(3; 5), (8; 5)}
f8 = {(2; 5), (3; 5), (8; 5)} = A × B
1. Sabendo-se que os pares ordenados (x + y; 1) e (3; x – y) são iguais, determine x e y.
Resolução
x + y = 3 x + y = 3
(x + y; 1) = (3; x – y) ⇔ 	 ⇔ 	 ⇔ x = 2 e y = 11 = x – y x – y = 1
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2. Determinar todos os elementos do produto cartesiano A x A,
sabendo-se que
a) A x A tem nove elementos;
b) os pares ordenados (1; 2) e (3; 3) são elementos de A x A.
Resolução
a) n(A x A) = n(A) · n(A)
n(A) · n(A) = 9 ⇒ [n(A)]2 = 9 ⇒ n(A) = 3
b) (1; 2) ∈ A x A ⇒ 1 ∈ A e 2 ∈ A
(3; 3) ∈ A x A ⇒ 3 ∈ A
Assim sendo, de (a) e (b), tem-se:
A = {1; 2; 3} e, portanto,
A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
3. Dados os conjuntos:
A = {x ∈ � � 1 � x � 3} e
B = {x ∈ � � 1 � x � 2},
determinar A x B e B x A graficamente.
Resolução
4. Considere a relação binária f de A = {2; 3; 4} em B = {3; 4; 5; 6} tal
que (x; y) ∈ f ⇔ x divide y, ou seja, f = {(x; y) ∈ A x B � x divide y}
a) Determine o conjunto f.
b) Faça seu diagrama de flechas.
c) Determine seu gráfico.
Resolução
a) Devemos determinar o conjunto de todos os pares
ordenados (x; y) do produto cartesiano A x B, de tal forma que
o 1o. ele mento x divida o 2o. elemento y.
Como (x; y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A e y ∈ B, temos:
(1) Se x = 2, então 2 divide 4 e 2 divide 6
e, portanto, (2; 4) e (2; 6) são elementos de f.
(2) Se x = 3, então 3 divide 3 e 3 divide 6
e, portanto, (3; 3) e (3; 6) são elementos de f.
(3) Se x = 4, então 4 divide 4
e, portanto, (4; 4) é elemento de f.
Assim sendo, f = {(2; 4), (2; 6), (3; 3), (3; 6), (4; 4)}
b) 
c)
5. Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou
falsas.
(0) (a; b) = (x; y) ⇔ a = x e b = y
(1) (1; 2) = (1; 3)
(2) (1; 2) = (3; 2)
(3) (1; 2) = (2; 1)
(4) (a; b) e (x; y) são simétricos ⇔ a = y e b = x
(5) {2; 3} = (2; 3)
6. (PUC) – Os pares ordenados (2; 3), (3; 3) e (1; 4) são elementos
do conjunto A x B. Então:
a) (1; 3), (2; 4) e (3; 4) estão necessariamente em A x B.
b) (1; 1), (1; 3), (2; 2) e (3; 4) estão necessariamente em A x B.
c) (1; 1), (2; 2) e (4; 4) estão necessariamente em A x B.
d) (3; 2) e (4; 1) estão necessariamente em A x B.
e) os elementos dados podem ser os únicos de A x B.
7. (U. F. F) – Sabendo que A eB são dois conjuntos tais que:
1.o – (1; 7) e (5; 3) são elementos de A x B
2.o – A � B = {1; 3}
Podemos afirmar:
a) A x B tem 8 elementos
b) A x B tem mais de 8 elementos
c) A x B tem menos de 8 elementos
d) A x B não pode ter 9 elementos
e) nada se pode afirmar sobre o número de elementos de A x B.
8. Os conjuntos A e B são tais que:
{(0; 2), (0; 3), (1; 2), (2; 3)} � A x B. Então:
a) (2; 1) ∈ A x B b) A x B tem 6 elementos
c) A � B = {0, 1, 2, 3} e A � B = {2}
d) {(1; 3), (2; 2)} � A x B e) (0; 0) ∈ A x B
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7. Definição de função
Seja f uma relação binária de A em B.
Diz-se que f é uma função de A em B, e indica-se
f : A → B, se, e somente se, para cada elemento x ∈ A,
existe um único y ∈ B, tal que (x; y) ∈ f.
Se (x; y) ∈ f, então y é a imagem de x pela função f.
Representa-se por y = f(x).
8. Como reconhecer uma função
a) Pelo diagrama de flechas
Uma relação f de A em B é uma função se, e somente
se, de cada x ∈ A partir uma única flecha.
b) Pelo gráfico cartesiano
Uma relação f de A � � em � é uma função se, e
somente se, toda reta vertical de abscissa x, com x ∈ A,
intercepta o gráfico de f num único ponto. 
A = {x ∈ � � – 3 � x � 6}
f: A → � é função
A = {x ∈ � � – 3 � x � 6}
f não é função
(x; y) ∈ f ⇔ y = f(x)
9. (PUC) – O número de elementos do conjunto A é 2m e o número
de elementos do conjunto B é 2n. Então, o número de elementos
de A x B é:
a) 2m + 2n b) 2m + n c) 2m · n
d) m · n e) m + n
10. Sejam A e B dois conjuntos finitos tais que:
I) n(A x B) = 6
II) Os pares (2; 1), (2; 5) e (3; 4) são elementos de A x B.
Nestas condições, tem-se:
a) A = {1, 4, 5} b) B = {2, 3} c) A = {1, 2, 3}
d) B = {4, 5} e) A � B = Ø
11. Sejam A = {5} e B = {3, 7}. Todas as relações binárias de A em B
são:
a) {(5; 3)}, {(5; 7)} e {(5; 3), (5; 7)} b) {(5; 3)} e {(5; 7)}
c) Ø, {(5; 3)} e {(5; 7)} d) Ø, {(5; 3)}, {(5; 7)} e A x B
e) Ø, {(3; 5)}, {(7; 5)} e A x B
12. Sendo x elemento do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e y elemento do
conjunto B = {0, 3, 5, 7, 11}, então a relação dada por y = 2x – 1 é:
a) {(1; 0)} b) {(3; 7), (4; 0)}
c) {(7; 0), (5; 3), (3; 11)} d) {(1; 7), (2; 11), (3; 2)}
e) {(2; 3), (3; 5), (4; 7)}
13. Dados os conjuntos A = {2; 4} e B = {1; 3; 5}, construa a relação
binária f, de A em B, tal que f = {(x; y) ∈ A x B | x > y}.
14. Se n(A) = m e n(B) = p, então o número de relações binárias de A
em B, que não são vazias, é:
a) m · p b) m · p – 1 c) 2m.p
d) 2m.p – 1 e) 2m.p – 1
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A = {x ∈ � � 0 � x � 3}
f não é função
A = {x ∈ � � – 2 � x � 8}
f não é função
9. Domínio, contradomínio 
e imagem de uma função
Se f é uma função de A em B, então:
a) O conjunto A é chamado domínio de f e é repre -
sentado por D(f).
b) O conjunto B é chamado contradomínio de f e
é representado por CD(f).
c) O conjunto de todos os elementos y ∈ B que são
ima gens de pelo menos um elemento x ∈ A é chamado
conjunto imagem de f e é representado por Im(f). Note
que:
d) Quando dissermos: “consideremos a função de -
fi nida por y = f(x)” ou “seja a função tal que x → f(x)”,
fica subentendido, salvo menção em contrário, que:
1o. ) CD(f) = �
2o.) O domínio de f é o “maior” subconjunto de �,
para o qual está definida a sentença aberta y = f(x).
e) D(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Ox→,
que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico de
f sobre o referido eixo.
f) Im(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo
Oy→, que são obtidos pelas projeções dos pontos do grá -
fico de f sobre o referido eixo.
CD(f) = B
Im(f) � CD(f)
D(f) = A
15. Consideremos os conjuntos: A = {0, 1, 2} e B = {–2, –1, 0, 1, 2} e
as RELAÇÕES BINÁRIAS DE A EM B:
a) f1 = {(x; y) ∈ A x B � y = x2}
b) f2 = {(x; y) ∈ A x B � y2 = x2}
c) f3 = {(x; y) ∈ A x B � y = x – 2} 
d) f4 = {(x; y) ∈ A x B � y = x2 – 2x + 1}
Construir o diagrama de flechas de cada uma, verificar se é ou
não função de A em B e, em caso afirmativo, escrever o domínio,
o con tradomínio e o conjunto imagem.
Resolução
a) f1 = {(0; 0), (1; 1)} f1 não é função, pois do elemento 2 não parte nenhuma
flecha.
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b) f2 = {(0; 0), (1; –1), (1; 1), (2; –2), (2; 2)}
f2 não é função, pois dos elementos 1 e 2 partem mais de
uma flecha.
c) f3 = {(0; – 2), (1; – 1), (2; 0)}
f3 é uma função com:
D(f3) = {0; 1; 2} = A
CD(f3) = {– 2; – 1; 0; 1; 2} = B
Im(f3) = {– 2; – 1; 0} � B.
d) f4 = {(0; 1), (1; 0), (2; 1)}
f4 é uma função com:
D (f4) = {0; 1; 2} = A
CD (f4) = {– 2; – 1; 0; 1; 2} = B
Im(f4) = {0; 1} � B
16. Sejam f, g e h três relações binárias de A em �, com 
A = {x ∈ � � 1 � x � 6}, cujos gráficos cartesianos são:
Verificar, em cada caso, se a relação é ou não função de A em �
e, em caso afirmativo, escrever o domínio, o contradomínio e o
conjunto imagem.
Resolução
a) f não é função, pois a reta vertical de abscissa 4 intercepta o
gráfico em dois pontos.
b) g não é função, pois a reta vertical da abscissa 4 não inter -
cepta o gráfico.
c) h é uma função com:
D(h) = {x ∈ � � 1 � x � 6} = A
CD(h) = �
Im(h) = {y ∈ � � 1 � y < 5}
17. Sejam f e g duas funções de A em � definidas pelos gráficos car -
tesianos:
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Determinar o domínio e o conjunto imagem de cada função.
Resolução
O domínio é obtido projetando-se o gráfico sobre o eixo Ox
→
.
Assim sendo: D(f) = {x ∈ � � – 3 � x � 6}
D(g) = {x ∈ � � – 6 < x < 2 ou 3 � x < 5}
A imagem é obtida projetando-se o gráfico sobre o eixo Oy
→
.
Assim sendo: Im(f) = {y ∈ � � – 1 � y � 3}
Im(g) = {y ∈ � � – 2 < y < 4}
18. Sejam f, g e h três funções definidas por f(x) = 2x + 3, 
g(x) = e h(x) = ��������x – 2 .
Obter o domínio de cada uma das funções.
Resolução
O domínio é o “maior” subconjunto de � para o qual está definida
a sentença dada.
Assim sendo:
a) D(f) = �, pois 2x + 3 está definida para todos os números reais.
b) D(g) = � – {3}, pois a fração não está definida apenas para
x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
c) D(h) = {x ∈ � � x � 2}, pois ���������� x – 2 só está definida se 
x – 2 � 0 ⇔ x � 2.
19. Seja f : �* → � a função que a cada número real não nulo associa
a soma dele com o seu inverso. Calcule:
1) f(2) 2) f 3) f(x) 4) f 5) f(x + 1) 6) f(x – 1)
Resolução
1) f(2) = 2 + = 
2) f = + = + 2 = 
3) f(x) = x + = 
4) f = + = + x = 
5) f(x + 1) = (x + 1) + = = 
6) f(x – 1) = (x – 1) + = = 
20. Seja f : � → � uma função tal que f(x + 1) – f(x) = 2x, ∀x ∈ �.
Calcule:
a) f(8) – f(7) b) f(35) – f(34) c) f(12) – f(10)
Resolução
a) Para x = 7, temos:
f(7 + 1) – f(7) = 2 · 7 ⇒ f(8) – f(7) = 14
b) Para x = 34, temos:
f(34 + 1) – f(34) = 2 · 34 ⇒ f(35) – f(34) = 68
c) Como
f(12) – f(10) = f(12) – f(11) + f(11) – f(10), temos:
f(12) – f(11) = 2 · 11 = 22
f(11) – f(10) = 2 · 10 = 20
e, portanto, f(12) – f(10) = 22 + 20 = 42
x + 1
––––––
x – 3
x + 1
––––––
x – 3
1�—�x
1�—�2
5
–––
2
1
–––
2
5
–––
2
1
–––
2
1
–––––
1
–––
2
1
–––
2
1�—�2
x2 + 1
—–——
x
1
–––
x
x2 + 1
—–——
x
1
–––
x
1
–––––
1
–––
x
1
–––
x
1�—�x
x2 + 2x + 2
—––—––––––
x + 1
(x + 1)2 + 1
—––—––––––
x + 1
1
—––—
x + 1
x2 – 2x + 2
—––—––––––
x – 1
(x – 1)2 + 1
—––—––––––
x – 1
1
—––—
x – 1
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21. Os diagramas de flechas dados representam relações binárias.
Pede-se, para cada uma:
a) dizer se é ou não uma função;
b) em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o
CONTRADOMÍNIO e o conjunto imagem dela.
22. São dados gráficos de relações binárias de A em B. Dizer para
cada gráfico:
a) se representa ou não uma função de A em B;
b) em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADO MÍ -
NIO e o conjunto imagem dela.
23. (UNEMAT) – Observe os gráficos abaixo:
Podemos afirmar que
a) todos os gráficos representam funções;
b) os gráficos I, III e IV representam funções;
c) apenas o gráfico V não representa função;
d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;
e) apenas o gráfico II não representafunção.
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24. (PUCC) – Seja A = {1; 2; 3; 4; 5}. Assinale a relação que
representa uma função de A em A:
a) {(x; y), em que x ∈ A e y = x – 1}
b) {(x; y), em que x ∈ A e y < x}
c) {(x; y), em que x ∈ A e y = x + 1}
d) {(x; y), em que x ∈ A e y = 1}
e) {(x; y), em que x ∈ A e y = x2}
25. (UEL) – Seja uma função f, de A em �, definida por f(x) = 4 – 3x2.
Se A = {–2, – 1, 0, 1, 2}, o conjunto imagem de f é:
a) {1, 8, 4} b) {– 8, – 4, 1} c) {– 8, – 1, 4}
d) {– 8, – 1, – 4} e) {– 8, 1, 4}
26. (FATEC) – A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f(x).
Indique a alternativa falsa em relação a essa função.
a) f(x) = 0 para x = –1 ou x = 6; b) f(3) = 0;
c) f(0) = 3; d) f(0) = f(4);
e) f(x) � f(2) para qualquer x.
27. (MACKENZIE) – Considere as sentenças a seguir, relativas à fun -
ção y = f(x), definida no intervalo – 3, e representada, gra -
fica mente, na figura
I. Se x < 0, então f(x) < 0
II. f(1) + f(3) = f(4)
III. A imagem de f é o intervalo [– 4, 3]
É correto afirmar que
a) apenas III é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas I e III são verdadeiras.
d) apenas II e III são verdadeiras.
e) todas as sentenças são verdadeiras.
28. (UF VIÇOSA) – Considere a função f : � → � definida por:
, se x é racional;
, se x é irracional.
O valor da expressão é:
a) b) c) d) e)
29. (UNESP) – Se f(x) = 3x + 5 e g(x) = , o valor de g(1) é 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
30. (FUVEST) – As funções f e g são dadas por:
f(x) = x – 1 g(x) = x + a
Sabe-se que f(0) – g(0) = . O valor de f(3) – 3 · g é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
31. (VUNESP) – Se f : � → � é uma função definida pela expressão 
f(x – 2) = x3, então o valor de f(3) é igual a:
a) 1 b 27 c) 8 d) 125 e) 03
32. (MACKENZIE) – O polinômio do 2o. grau F(x) que verifica a iden -
tidade F(x +1) = x2 − 7x + 6 é
a) F(x) = x2 −14x + 9 b) F(x) = x2 + 9x + 14
c) F(x) = x2 − 5x d) F(x) = x2 − 9x + 14
e) F(x) = x2 − 7x + 4
33. (FATEC) – Sejam f e g funções de � em �, tais que 
g(x) = f(2x + 3) + 5, para todo x real. Sabendo que o número 1 é
um zero da função f, conclui-se que o gráfico da função g passa
necessariamente pelo ponto
a) (– 2; 3) b) (– 1; 5) c) (1; 5)
d) (2; 7) e) (5; 3)
34. (UERJ) – A função f está definida no conjunto dos inteiros
positivos por f(n) = se n é par, e f (n) = 3n + 1 se n é ímpar.
O número de soluções da equação f(n) = 25 é:
a) zero b) um c) dois
d) quatro e) infinito
� 11–––2 �
f(x) = 	
2
–––
5
3
–––
4
3
f(���2) + f�—�5
————————
f(π)
2
–––
5
20
––––
27
5
––––
12
69
––––
80
23
––––
15
f(x) + 8
––––––––
f(x) – 4
3
–––
5
4
–––
3
1
–––
3
1�—�5
n___
2
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52
35 (UNESP) – O desenvolvimento da gestação de uma determinada
criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com
3446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20.a semana,
aproximadamente, pelas funções matemáticas
h(t) = 1,5t – 9,4 e p(t) = 3,8t2 – 72t + 246,
em que t indica o tempo em semanas, t � 20, h(t) a altura em
centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo
matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua
altura era 35,6 cm.
36. A figura abaixo representa o boleto de cobrança da
mensalidade de uma escola, referente ao mês de
junho de 2008.
Se M(x) é o valor , em reais, da mensalidade a ser paga, em que
x é o número de dias em atraso, x ≠ 0, então
a) M(x) = 500 + 0,4x b) M(x) = 500 + 10x 
c) M(x) = 510 + 0,4x d) M(x) = 510 + 40x 
e) M(x) = 500 + 10,4x 
37. (UnB) – Um motorista de táxi, em uma determinada localidade,
cobra uma quantia mínima fixa de cada passageiro, indepen den -
temente da distância a ser percorrida, mais uma certa quantia,
também fixa, por quilômetro rodado. Um passageiro foi trans -
portado por 30km e pagou R$ 32,00. Um outro passageiro foi
transportado por 25km e pagou R$ 27,00. Calcule o valor de reais
cobrado por quilômetro rodado.
38. (UNIFOR) – Numa certa localidade, os usuários pagam à
Companhia Telefônica R$ 0,50 por impulso telefônico e R$
500,00 mensais pela assinatura de cada linha telefônica. A
Companhia Telefônica não cobra dos usuários os primeiros 90
impulsos feitos no mês. A ex pressão que permite calcular o valor
P(x), em reais, a ser pago mensalmente pelo uso de uma linha
telefônica, por mais de 90 impulsos, em função do número x de
impulsos dados nesse mês, é
a) P(x) = 500 + 0,5x b) P(x) = 410 + 0,5x
c) P(x) = 455 + x d) P(x) = 455 + 0,5x
e) P(x) = 500 + 90x
39. Como resultado do aquecimento da Terra, algumas geleiras estão
derretendo. Doze anos depois do de sa parecimento das geleiras,
pequenas plantas cha ma das li quens começaram a crescer nas
pedras. Cada líquen cresce de forma mais ou menos circular. A
rela ção entre o diâ metro des se círculo e a idade do líquen pode
ser calculada, aproxi ma damente, pela fórmula d = 7,0 · ���������t – 12, 
para t � 12.
Nessa fórmula, d representa o diâmetro do líquen em milí me tros
e t representa o número de anos passados depois do desa -
parecimento das geleiras.
O diâmetro do líquen, em milí me tros, 16 anos depois do derreti -
men to do gelo, será
a) 9,0 b) 10,5 c) 12 ,0 d) 14,0 e) 16,0
40. Após realizar uma pesquisa de mercado, uma opera -
dora de telefonia celular ofereceu aos clientes que
utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano
mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que fazem até
100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações,
será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da
101.a até a 300.a; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será
cobrado um valor fixo mensal de R$ 32,00. 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor
representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e o
número de ligações feitas é: 
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53
41. (FEI) – A função f : � → � é tal que, para todo x ∈ �, temos 
f (2x) = 2f (x). Se f (4) = 28, então:
a) f (1) = 7 b) f (1) = 8 c) f (1) = 9
d) f (1) = 10 e) f (1) não pode ser calculada
42. (VUNESP) – Uma função f de variável real satisfaz a condição
f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x.
Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) é igual a:
a) b) c) d) 2 e)
43. (MACKENZIE) – Numa função f tal que f(x + 2) = 3f(x) para todo
x real, sabe-se que f(2) + f(4) = 60. Então f(0) vale:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
44. Determine o domínio das funções reais definidas pelas seguintes
sentenças:
a) f(x) = b) f(x) = ��������� 2 – x c) f(x) = 2x + 5
45. (UNIFOR) – Considere a função dada por y = . Seu
mais amplo domínio real é o conjunto
a) {x�x ≠ 0} b) 	x�x ≠ 
 c) {x�x > 0} 
d) 	x�x > 
 e) 	x�x < 
46. (U. PE) – Seja a função real de variável real 
y = f(x) = ��������x + 7 + ��������1 – x · Seu domínio é dado por:
a) – 7 < x < 1 b) – 7 � x � 1 c) x � – 7 ou x � 1
d) x < – 7 ou x >1 e) – 7 � x < 1
47. (MACKENZIE) – Se f é tal que f(x + 1) = , x ≠ ,
então o domínio de f é:
a) � – 	 
 b) � – 	 
 c) � – 	 
d) � – 	 
 e) � – 	 
48. (MACKENZIE) – Se os números reias a e b são tais que a função 
f(x) = tem domínio � – {– 2} e f(1) = – 2, então a.b é 
igual a
a) b) c) d) – e) – 
49. (FUND. CARLOS CHAGAS) – O conjunto imagem da função 
y = 3x – 2, no intervalo ]– 1, 1[ é:
a) ]1, 4[ b) ]1, 3 [ c) ]0, 1[
d) ]– 3, 3[ e) ]– 5, 1[
50. (FATEC) – O conjunto imagem da função real de variável real
definida por f(x) = 	 é:
a) [– 2, 1] b) [– 2, – 1] c) [– 2, 0]
d) [– 1, 1] e) [– 2, 1] – {0}
51. Numa fazenda, havia 20% de área de floresta. Para aumentar
essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar um processo de re -
flores tamento. No planejamento do reflorestamento, foi elabo -
rado um gráfico fornecendo a previsão da porcentagem de área
de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez anos.
Esse gráfico foi modelado pela função f(x) = , que for-
nece a porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano x,
em que a, b e c são constantes reais. Com base no gráfico,
determine as constantesa, b e c e reescreva a função f(x) com as
constantes determinadas.
52. Para comemorar o aniversário
de uma cidade, um artista
projetou uma escultura trans -
parente e oca, cujo formato foi inspirado em
uma ampulheta. Ela é formada por três
partes de mesma altura: duas são troncos
de cone iguais e a outra é um cilindro. A
figura é a vista frontal dessa escultura. 
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para
dentro dela, com vazão constante. 
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em
função do tempo (t) decorrido é 
1
–––
4
1
–––
2
3
–––
2
5
–––
2
3x + 1
–––––––
2x – 8
1
–––––––––
��������� 3x – 2
2
–––
3
2
–––
3
2
–––
3
3x + 5
––––––––
2x + 1
– 1
––––
2
1
–––
2
– 1
–––
2
– 5
–––
3
5
–––
3
– 3
–––
5
a + bx + 4
–––––––––––
ax – 2b
4
––
7
7
––
6
5
––
6
5
––
9
4
––
9
x, para – 1 � x � 1
– x + 1, para 1 < x � 3
ax + 200_________
bx + c
h
t
a)
h
t
b)
h
t
c)
h
t
d)
h
t
e)
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54
10. Sobrejetora, injetora e bijetora
Função sobrejetora
a) Uma função f : A → B é sobrejetora se, e so -
mente se, o seu conjunto imagem é igual ao con trado -
 mínio (B).
b) Pelo diagrama de flechas, uma função é sobre -
jetora se, e somente se, todo elemento de B é atingido
por, pelo menos, uma flecha.
c) Pelo gráfico cartesiano, uma função é sobrejetora
se, e somente se, a projeção do gráfico sobre o eixo Oy→
é o contradomínio.
Função injetora
a) Uma função f : A → B é injetora se, e somente se,
ele mentos distintos de A têm imagens distintas em B.
b) Pelo diagrama de flechas, uma função é injetora
se, e somente se, cada elemento de B é atingido por, no
má ximo, uma flecha.
f : A → B é sobrejetora ⇔ Im(f) = CD(f)
f:A→ B é injetora ⇔ (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2))
53. (INSPER) – As vendas de ingressos para um grande evento
esportivo ocorreram durante dois meses. O gráfico a seguir repre -
senta as vendas diárias, em milhares de unidades, durante este
período.
Das opções a seguir, aquela que melhor representa o total
(acumulado) de ingressos vendidos até cada dia do perío do de
vendas é
(Obs.: os gráficos das alternativas estão em uma escala diferente
do gráfico acima.)
0
10
20
30
40
50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
(a)
0
200
400
600
800
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
(b)
0
200
400
600
800
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
(c)
0
200
400
600
800
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
(d)
0
200
400
600
800
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
(e)
0
200
400
600
800
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
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55
c) Pelo gráfico cartesiano, uma função é injetora se,
e somente se, qualquer reta horizontal intercepta o
gráfico, no máximo, uma vez.
Função bijetora
a) Uma função f : A → B é bijetora se, e somente se,
f é sobrejetora e injetora.
b) Conforme a escolha do domínio A e do contra -
domínio B, uma função f : A → B definida pela mes ma
sentença aberta pode ser apenas sobrejetora, ape nas
injetora, bijetora ou nem sobrejetora e nem injetora. 
Por exemplo, a função definida por f(x) = x2.
I) É apenas injetora para f : �+ → �
II) É apenas sobrejetora para f : � → �+
III) É bijetora para f : �+ → �+
IV) Não é sobrejetora nem injetora para f : � → �
54. Classifique as funções, dadas pelos diagramas de flechas, em sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
a) b) c) d)
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56
Resolução
a) f é sobrejetora, pois Im(f) = B = {3, 4, 5} e f não é injetora, pois
f(2) = f(3) = 4
b) g é injetora, pois g(1), g(2), g(3) e g(4) são dois a dois distintos
e g não é sobrejetora, pois Im(g) = {3, 5, 7, 8} � B.
c) h é sobrejetora e injetora, portanto h é bijetora.
d) i não é sobrejetora, pois Im(i) � B e não é injetora, pois
i(2) = i(3) = 4
55. As funções f, g, h e i, de contradomínio �, são definidas pelos
gráficos cartesianos. Determine, para cada uma, o domínio e o
conjunto imagem. Classifique-as, em seguida, em sobrejetoras,
injetoras ou bijetoras.
Resolução
a)
D(f) = [1; 4[
Im(f) = [1; 4] – {3} � �
f é injetora
f não é sobrejetora
b)
D(g) = �
Im(g) = �
g é sobrejetora
g não é injetora
c)
D(h) = �
Im(h) = �
h é sobrejetora	 ⇒h é injetora
⇒ h é bijetora
d)
D(i) = [0; 5]
Im(i) = [– 2; 2] � �
i não é injetora
i não é sobrejetora
56. Demonstre que a função f : � → � definida por f(x) = ax + b, a ∈ �*
e b ∈ �, é injetora.
Resolução
Sejam x1 e x2 dois elementos quaisquer de �. Devemos demons -
trar que: x1 � x2 ⇒ f(x1) � f(x2)
De fato, para a � 0, temos:
x1 � x2 ⇒ ax1 � ax2 ⇒ ax1 + b � ax2 + b ⇒ f(x1) � f(x2)
57. Qual das seguintes funções representa uma função injetora, com domínio em A e imagem em B?
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 56
57
58. Entre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma função
bijetora (injetora e sobrejetora) com domínio � e contradomínio �
é:
Nas questões de 59 a 61, construa o gráfico e classifique cada
função em: apenas sobrejetora, apenas injetora, bijetora, nem
so bre jetora e nem injetora.
59. f : [0; 4] → [0; 3] definida por f(x) = 	
60. f : [0; 1] � ]2; 4] → � definida por f(x) = 	
61. f : [0; 1] � ]2; 4] → [0; 3] definida por f(x) = 	
62. Sejam B o conjunto formado por todos os brasileiros e � o
conjun to dos números reais.
Se f: B → � é a função que associa a cada brasileiro sua altura,
medida em centímetros, então f
a) é injetiva e não é sobrejetiva.
b) é injetiva e é sobrejetiva.
c) não é injetiva e é sobrejetiva.
d) não é injetiva e não é sobrejetiva.
63. Seja f uma função de � em �, definida por 
f(x) = 	
Nestas condições, pode-se afirmar que
a) f é injetora e não sobrejetora.
b) f é sobrejetora e não injetora.
c) f(– 5) · f(2) = 1
d) f(– 5) + f(5) = 0
e) o conjunto imagem de f é {0; 1}
64. (ITA) – Qual das funções definidas abaixo é bijetora?
a) f : � → �+ tal que f(x) = x2
b) f : �+ → �+ tal que f(x) = x + 1
c) f : [1; 3] → [2; 4] tal que f(x) = x + 1
d) f : [0; 2] → � tal que f(x) = sen x
e) f : [0; π] → [0; 1] tal que f(x) = sen x
65. A função f de �+* em � é injetora. Se f(x2 – 2x) = f(4 + x), então
determine x.
66. (UFLA) – O licenciamento de veículos no estado de São Paulo
ocorre anualmente e o mês de licenciamento é determinado
pelo final da placa do veículo. A tabela abaixo fornece o mês de
licen cia mento do veículo de acordo com o alga rismo final de
sua placa.
Considere a função f que associa ao algarismo final da placa o
mês de licenciamento e assinale a alternativa INCORRETA.
a) A função f é definida por f(x) =
b) A função f é não injetora.
c) Conhecendo apenas o mês de licenciamento, não é possível
determinar o algarismo final da placa.
d) f(x+1) – f(x) = 1 para x = 1,2,3,4,6,7,8.
e) O gráfico de f(x) é
– x + 1 se x � 1
x – 1 se x > 1
– x + 1 se x � 1
x – 1 se x > 1
– x + 1 se x � 1 
x – 1 se x > 1
0, se x é par 
1, se x é ímpar
Algarismo 
fi nal da 
placa
1 2 3 4 5 e 6 7 8 9 e 0
Mês de
licencia-
mento
abril
(4)
maio
(5)
junho
(6)
julho
(7)
agosto
(8)
setembro
(9)
outubro
(10)
novembro
(11)
x + 3, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
x + 2, x = 6, 7, 8, 9	
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11. Funções monotônicas
Função estritamente crescente
Uma função f : [a; b] → � é estritamente crescente
em [a; b] se, e somente se,
, ∀x1, x2 ∈ [a; b]
Função estritamente decrescente
Uma função f : [a; b] → � é estritamente decres -
cente em [a; b] se, e somente se,
, ∀x1, x2 ∈ [a; b]
Função constante
Uma função f : [a; b] → � é constante em [a; b] se,
e somente se,
, ∀x1, x2 ∈ [a; b]
Função crescente (não decrescente)
Uma função f : [a; b] → � é crescente em [a; b] se,
e somente se,
, ∀x1, x2 ∈ [a; b]
Função decrescente (não crescente)
Uma função f : [a; b] → � é decrescente em [a; b]
se, e somente se,
, ∀x1, x2 ∈ [a; b]
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
x1 < x2 ⇒ f(x1) � f(x2) 
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
f(x1) = f(x2) 
x1 < x2 ⇒ f(x1)� f(x2)
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59
67. Classifique quanto à monotonicidade a função definida em �
por f(x) = 2x + 3.
Resolução 
∀x1, x2 ∈ �, x1 < x2 ⇒ 2x1 < 2x2 ⇒ 2x1 + 3 < 2x2 + 3 ⇒ f(x1) < f(x2)
Assim: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2); ∀x1, x2 ∈ � e, portanto, f é estrita -
mente crescente. 
68. Seja f : � → � a função definida por f(x) = ax + b, em que a ∈ �*
e b ∈ �. Demonstre que
a) se a > 0, então f é estritamente crescente.
b) se a < 0, então f é estritamente decrescente.
Resolução
a) se a > 0, temos:
x1 < x2 ⇒ ax1 < ax2 ∀x1, x2 ∈ � ⇒ ax1+ b < ax2 + b, ∀x1, x2 ∈ � ⇒
⇒ f(x1) < f(x2) ∀x1, x2 ∈ � ⇒ f é estritamente crescente.
b) se a < 0, temos:
x1 < x2 ⇒ ax1 > ax2 ∀x1, x2 ∈ � ⇒ ax1 + b > ax2 + b, ∀x1, x2 ∈ � ⇒
⇒ f(x1) > f(x2) ⇒ f é estritamente decrescente.
69. Classifique a função f : [–3; 5] → �, dada pelo gráfico, quanto à
sua monotonicidade nos intervalos [–3; –1], [–1; 3]; [3; 5], [–3; 3],
[–1; 5] e [–3; 5]
Resolução
A função f:
a) é estritamente decrescente em [–3; –1]
b) é constante em [–1; 3]
c) é estritamente crescente em [3; 5]
d) é decrescente em [–3; 3]
e) é crescente em [–1; 5]
f) não é monotônica em [–3; 5]
Nas questões de 70 a 72, construa o gráfico de cada função e
analise a monotonicidade de cada uma.
70. f : � → � definida por f(x) = – 2x + 3
71. f : [2; 4] → � definida por f(x) = x2 – 3x
72. f : [0; 3] → � definida por f(x) = x2 – 3x
73. (FGV) – “Receita bate novo recorde e acu mu la alta de quase
10%.” Esta foi a notícia dos jornalistas Fabio Graner e Gustavo
Freire para O Estado de S. Paulo de 19 de outu bro de 2007. O
corpo da matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo, informa que “a
arrecadação da Receita Federal em setem bro totalizou R$ 48,48
bilhões, um recorde para o mês. De janeiro a setem bro, ficou em
R$ 429,97 bilhões que, corrigidos pela infla ção, somam 
R$ 435,01 bilhões, com crescimento de 9,94% ante o mesmo
período de 2006. O secretário adjunto da Receita Fede ral
destacou que, de janeiro a setembro, a expansão das receitas, na
comparação com igual período de 2006, foi de 11,14%”.
Pode-se concluir, então, que
a) a arrecadação da Receita Federal, de janeiro a setembro de
2007, foi crescente.
b) em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou 10% a
mais do que foi arrecadado em setembro de 2006.
c) a arrecadação de setembro de 2007 foi 11,14% maior que a
de janeiro de 2007.
d) em 2007, a arecadação foi crescente nos períodos de feve -
reiro a abril, e de maio a agosto.
e) no período de julho a setembro de 2007, a arrecadação da
Receita Federal foi decrescente.
74. (PUC-BA) – O gráfico seguinte é da função f(x).
A sentença verdadeira é:
a) f(1) = 1;
b) o domínio de f(x) é {x ∈ � � x ≠ 0};
c) o conjunto imagem de f(x) é {y ∈ � � y > 0};
d) f(x) é decrescente para 0 < x < 1;
e) f(x) é crescente para x > 0.
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75. (FATEC) – Considere o gráfico da função y = f(x) representado
abaixo. Indique a alternativa falsa em rela ção a esse gráfico.
a) f(4) � f(x) para todo x entre – 1 e 11
b) f(x) = 3 para todo x entre 6 e 8
c) f(5) > f(10)
d) f(0) = 11
e) f(2) = 4
76. (FAAP) – Representar graficamente, no sistema cartesiano orto -
go nal, a função:
f(x) = 
77. Se f : � → � é uma função estritamente decrescente e
f(3x – 1) > f(x + 5), então:
a) 0 < x < 3 b) x > 3 c) x < 3
d) x > e) x < –5
78. Se f : � → � é uma função estritamente crescente e
f(2x – 7) < f(x – 1), então:
a) x < 6 b) x > 0 c) 0 < x < 6
d) x > – 6 e) x > 6 
79. Para convencer a população local da ineficiência da
Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta
de linhas, um político publicou no jornal local o
gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu
publi cando dias depois o gráfico II, com o qual pretende justificar
um grande au mento na oferta de linhas. O fato é que, no período
con si de ra do, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas
tele fô nicas.
Analisando os gráficos, pode-se concluir que
a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do
gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II in correto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o grá fico I
incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois grá ficos
decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam esca las dife -
rentes.
80. A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que,
em contato com a umidade do ar, fixa água em sua
superfície formando uma camada hidra tada. A
espes sura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo
de permanência no ar, proprie dade que pode ser utilizada para
medir sua idade. O gráfico abaixo mostra como varia a espes sura
da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milé simo de milí -
metro), em função da idade da obsidiana. 
Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da cama -
da hidratada de uma obsidiana
a) é diretamente proporcional à sua idade.
b) dobra a cada 10 000 anos.
c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem.
d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha.
e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais.
yy
66
55
44
33
22
11
-1-1
-2-2
-1-1 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111
xx
gráfico de fgráfico de f
x2 – 3x + 2
——————–-
4x2 – 12x + 8
1
––
3
60
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61
12. Função par e função ímpar
Função par
a) Uma função f : A → � é par se, e somente se,
f(– x) = f(x) para todo x de A.
Simbolicamente:
, ∀x ∈ A
b) Decorre da definição que uma função f : A → � é
par se, e somente se, seu gráfico cartesiano é simétrico
em relação ao eixo Oy→.
Função ímpar
a) Uma função f : A → � é ímpar se, e somente
se, f(–x) = – f(x) para todo x de A. 
Simbolicamente:
, ∀x ∈ A
b) Decorre da definição que uma função f : A → � é
ímpar se, e somente se, seu gráfico cartesiano é si mé -
trico em relação à origem.
f : A → � é par ⇔ f(– x) = f(x)
f : A → � é ímpar ⇔ f(– x) = – f(x)
81. (INSPER) – Uma academia de ginástica mediu os batimentos cardíacos em repouso (BCR) de 9 novos matricu lados. Além disso, cada um
teve de responder quantas horas de exercício costuma fazer por semana (t). Essas duas informações foram registradas no gráfico a seguir,
que também indica uma reta com o padrão ideal esperado de BCR em função de t.
Dos alunos com BCR acima do padrão ideal esperado para a sua prática
semanal de exercícios, aquele que está mais afastado do valor ideal
ultrapas sou o padrão esperado em
a) 7,3 batimentos por minuto.
b) 7,4 batimentos por minuto.
c) 7,5 batimentos por minuto.
d) 7,6 batimentos por minuto.
e) 7,7 batimentos por minuto.
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13. Função periódica
a) Uma função f : A → � é periódica se, e somente
se, existe p ∈ �* tal que f(x + p) = f(x), para todo x em A.
b) Se f(x + p) = f(x) para todo x em A, então
para todo
x ∈ A e k ∈ �*.
c) Se f : A → � é uma função periódica, então o
menor valor estritamente positivo de p chama-se perío -
do de f e é indicado por P(f).
14. Função limitada
a) Uma função f : A → � é limitada superiormente
se, e somente se, existe b ∈ � tal que f(x) � b, para todo
x em A.
b) Uma função f : A → � é limitada inferiormente
se, e somente se, existe a ∈ � tal que f(x) � a, para todo
x em A.
c) Uma função f : A → � é limitada se, e somente
se, f é limitada inferior e superiormente.
Simbolicamente, ∀x ∈ A:
d) Decorre da definição que uma função f : A → �
é limitada se o seu gráfico cartesiano está inteiramente
contido em uma faixa horizontal.
f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = … = f(x + kp)
f:A → � é limitada ⇔ ∃ a, b ∈ � � a � f(x) � b
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82. Provar que a função f : � → � definida por f(x) = x2 – 4 é par.
Resolução
Para ∀x ∈ �, temos: f(–x) = (–x)2 – 4 = x2 – 4 = f(x) ⇒ f é par
Observe que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo Oy
→
.
83. Provar que a função f : [– 2;2] → �, definida por f(x) = x3 – 4x, é
ímpar.
Resolução
Para qualquer x ∈ [– 2; 2], temos:
f(–x) = (–x)3 – 4.(–x) = – x3 + 4x = – (x3 – 4x) = – f(x) ⇒ f é ímpar
Observe que o gráfico de f é simétrico em relação à origem.
84. Provar que a função f : � → � definida por f(x) = 2x + 3 não é
nem par nem ímpar.
Resolução
Observando que f(1) = 2 · 1 + 3 = 5 e f(– 1) = 2 · (– 1) + 3 = 1,
concluímos que f não é par e f não é ímpar.
Note que o gráfico não é simétrico nem em relação ao eixo Oy
→
nem em relação à origem.
85. Esboçar os gráficos das funções f, g e h, definidas em �,
por f(x) = sen x, g (x) = x2 – 4 e h(x) = – x2 + 4.
Em seguida, classifique-as em par, ímpar, periódica e limitada.
Resolução
Dos gráficos, concluímos que:
• a função f:
I) é ímpar
II) é limitada
III) é periódica de período 2π
• a função g:
I) é par
II) é limitada inferiormente
III) não é periódica
• a função h:
I) é par
II) é limitada superiormente
III) não é periódica
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86. Seja f : [– 2; 2] → � a função definida por f(x) = 3x. Então f não é
a) ímpar. b) limitada.
c) estritamente crescente. d) injetora.
e) bijetora.
87. Se f : � → � é a função definida por f(x) = x2 – 4, então f
a) é ímpar. b) é limitada.
c) é injetora. d) é periódica.
e) não é monotônica.
88. Se f : � → � é a função definida por f(x) = sen x, então f
a) não é limitada. b) não é periódica.
c) é injetora. d) é ímpar.
e) é monotônica.
89. A única função par entre as relacionadas a seguir é:
a) f : � → � tal que f(x) = 2x
b) f : [– 2; 2] → � tal que f(x) = x2 + x
c) f : [0; π] → � tal que f(x) = cos x
d) f : [– π; π] → � tal que f(x) = cos x
e) f : [– π; π] → � tal que f(x) = sen x
90. Dizemos que uma função real é par se f(x) = f(– x) e que é ímpar
se f(x) = – f(– x).
Das afirmativas que se seguem, indique qual a falsa:
a) O produto de duas funções ímpares é uma função ímpar.
b) O produto de duas funções pares é uma função par.
c) A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
d) A soma de duas funções pares é uma função par.
e) Alguma das afirmações anteriores é falsa.
91. (PUC) – Qual das funções abaixo é função par?
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = x
d) f(x) = x5 e) f(x) = sen x
92. (MACKENZIE) – Seja a função f : � → � de finida por 
f(x) = 3. Então a função g : � → � definida por 
g(x) = f(x) · f(x) · f(x) ... f(x) será
144424443
n fatores
a) ímpar, para todo n. b) ímpar, só para n ímpar.
c) par, para todo n. d) par, só para n par.
e) nenhuma das anteriores está correta.
1
–––
x
1
–––
x2
15. Função composta
Definição
Dadas as funções f : A → B e g : B → C, chama-se
função composta das funções g e f a função h : A → C
tal que h(x) = g[f(x)].
Notação
A função h : A → C, composta de g e f, é indicada
por gof (lê-se: g bola f).
Assim,
Exemplos
a) Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4}
e C = {7; 12; 17} e as funções f : A → B e g : B → C
definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 5x – 3.
Observe que:
A função h : A → C, composta de g e f, em que
h(x) = (gof) (x), é tal que:
f(1) = 2 e g(2) = 7
f(2) = 3 e g(3) = 12
f(3) = 4 e g(4) = 17
h(1) = (gof) (1) = g[f(1)] = g(2) = 7
h(2) = (gof) (2) = g[f(2)] = g(3) = 12
h(3) = (gof) (3) = g[f(3)] = g(4) = 17
h(x) = (gof) (x) = g[f(x)]
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93. Sejam f : � → � e g : � → � duas funções definidas por
f(x) = x + 1, g(x) = x2 + x + 1. Determine gof e fog.
Resolução
a) (gof) (x) = g [f(x)] = g (x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = 
= x2 + 2x + 1 + x + 1 + 1 = x2 + 3x + 3
b) (fog) (x) = f[g(x)] = f (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1) + 1 = x2 + x + 2
Observação: Note que gof � fog.
94. Seja f : � → � a função definida por f(x) = 2x + 1. Obtenha fofof.
Resolução
(fofof) (x) = f(f(f(x))) = f(f(2x + 1)) = f(2 · (2x + 1) + 1) =
= f(4x + 3) = 2(4x + 3) + 1 = 8x + 7
95. Sejam f e g duas funções de � em � definidas por:
x + 3, se x � 3
f(x) = 	 x – 4, se x > 3
g(x) = 2x – 7, ∀x ∈ �. Determine fog e gof.
Resolução
g(x) + 3, se g(x) � 3
a) (fog) (x) = f[g(x)] = 	 ⇒g(x) – 4, se g(x) > 3
(2x – 7) + 3, se 2x – 7 � 3⇒ (fog) (x) = 	 ⇒(2x – 7) – 4, se 2x – 7 > 3
2x – 4, se x � 5⇒ (fog) (x) = 	 2x – 11, se x > 5
2 · (x + 3) – 7, se x � 3
b) (gof) (x) = g[f(x)] = 2 · f(x) – 7 = 	 2 · (x – 4) – 7, se x > 3
2x – 1, se x � 3
⇒ (gof) (x) = 	 2x – 15, se x > 3
96. Sejam f : � → � e g : � → � duas funções tais que g(x) = 4x – 1 e
(gof) (x) = 12x + 7. Obter f(x).
Resolução
(gof) (x) = 12x + 7 g [f(x)] = 12x + 7	 ⇒ 	 ⇒g(x) = 4x – 1 g(x) = 4x – 1
⇒ 4f(x) – 1 = 12x + 7 ⇒ 4f(x) = 12x + 8 ⇒ f(x) = 3x + 2
97. Sejam f : � → � e g : � → � duas funções tais que f(x) = 5x – 1
e (gof) (x) = 10x + 2. Obter g(x).
Resolução
(gof) (x) = 10x + 2 g[f(x)] = 10x + 2	 ⇒ 	 ⇒f(x) = 5x – 1 f(x) = 5x – 1 
⇒ g (5x – 1) = 10x + 2
Fazendo 5x – 1 = a, temos x = e, portanto, 
g(a) = 10 · + 2 ⇒ g(a) = 2 (a + 1) + 2 ⇒ g(a) = 2a + 4
Assim, g(x) = 2x + 4
(a + 1)
—–——
5
a + 1
—–—–
5
b) Sejam f e g duas funções de � em �, definidas
por f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 4. A sentença que define
a função h: � → � tal que por h(x) = (gof) (x) é 
h(x) = 6x + 6, pois:
h(x) = g [ f(x) ] = g [ 3x + 1 ] = 2 (3x + 1) + 4 = 6x + 6
Observações:
a) A imagem de um elemento qualquer x de A por
meio da função composta gof é determinada em duas
etapas: a primeira transforma o elemento x de A no ele -
mento f(x) de B e a segunda transforma o elemento f(x)
de B no ele mento g[f(x)] = (gof) (x) de C.
b) Pela definição dada, o contradomínio de f é igual
ao domínio de g. Entretanto, a condição necessária para
exis tir gof é que Im(f) � D(g).
98. Considere os conjuntos:
A = {1, 2, 3}, B = {0, 2, 4, 6} e C = {3, 5, 7, 9}
e as funções: f : A → B tal que f(x) = 2x
g : B → C tal que g(x) = x + 3
Determine:
a) (gof) (2) b) (gof) (3) c) (gof) (x)
99. Considere as funções reais f e g tais que:
f(x) = x3 + 1 e g(x) = x – 2.
Determine:
a) (fog) (0) b) (gof) (0) c) (fof) (1) d) (gog) (1)
100. (FGV) – Sejam f e g funções reais, tais que:
f(x) = x2 + 1
g(y) = 
Então, (fog) (2) é igual a:
a) 0 b) c)
d) e)
1
–––
y
2
–––
5
5
–––
4
1
–––
5
5
–––
2
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101. (MACKENZIE) – Sejam f e g duas funções definidas em �, com
valores em �, tais que:
f(x) = 3x – 1
g(x) = x2
Então, (gof) (x) é igual a:
a) 9x2 – 6x + 1 b) 3x2 – 1 c) 9x2 – 3x – 1
d) 3x2 – 6x + 1 e) 9x2 – 6x – 1
102. (CEFET-BA) – Sendo f : � → � a função definida por:
n/2, se n é par
f(n) = 	n + 1, se n é ímpar
O valor de f(f(f(12))) é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
103. (FIC/FACEM) – Se f(x) = a + 1 e g(x) = 2x + 1, então (gof) (x) é
igual a:
a) 2a + 2 b) a – b c) 2x – 3
d) a + 3 e) 2a + 3
104. (LAVRAS) – Considere as funções f(x) = 3, g(x) = 2x + 1, 
h(x) = x2. Podemos obter uma função composta da forma 
f o g o h(x) = f(g(h(x))). Assinale a alternativa incorreta.
a) f o g o h (0) = 3.
b) f o g o h (x) é uma função constante.
c) O gráfico de f o g o h (x) é uma reta.
d) f o g o h (x) é sempre zero.
e) f o g o h (3) = f o g o h (5)
105. A função f associa a cada número natural x o resto da divisão de
x por 4. A função g, de � em �, é definda por g(x) = x2 – 2x + 1.
O conjunto imagem de gof
a) possui 4 elementos.
b) contém números primos.
c) é formado por três números quadrados perfeitos.
d) só possui números pares.
e) é unitário.
106. (MACKENZIE) – As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são tais
que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é
a) b) c) – d) e) – 
107. Na figura, temos os gráficos das funções f e g, de � em �. O
valor de gof(4) + fog(1) é:
a) 4 b) 3 c) 0 d) – 2 e) – 4
108. (UNICAMP) – Seja a um número real positivo e considere as
funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 − 2x, definidas para todo
número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação 
f(x) · g(x) > 0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para todo número
real x.
109. (FEI) – Sendo f(x) = , x ≠ 3 e g(x) = 3x + 1, o valor de 
f(g(2))+ g(f(1)) é igual a:
a) b) c) d) e)
2
––
3
2
––––––
3 – x
3
–––
2
5
–––
2
7
–––
2
9
–––
2
9
––
5
6
––
5
5
––
4
9
––
4
1
–––
2
16. Função inversa
Definição
Seja f uma função de A em B. 
A função f–1 : B → A é a inversa de f se, e somente se:
e
Observe que:
a) A = D (f) = CD (f–1) e B = D (f–1) = CD (f)
b) f é inversível ⇔ f é bijetora.
Como obter a função inversa
Seja f : � → �, por exemplo, a função definida por
f(x) = 2x + 3.
A função inversa f –1 : � → � é definida por 
f –1(x) = , pois, de acordo com a definição:
f(x) = 2x + 3 
 ⇒ 2 · f –1(x) + 3 = x ⇔f[f –1(x)] = x
⇔ 2f –1(x) = x – 3 ⇔ f –1(x) = 
É mais simples, porém, utilizar a regra prática abaixo.
x – 3
–––––
2
x – 3
–––––
2
(fof –1) (x) = x, ∀x ∈ B (f –1of) (x) = x, ∀x ∈ A
Regra prática Exemplo
Substituir 
f(x) por y
y = 2x + 3
Trocar x por y
e y por x 
x = 2y + 3
“Isolar” o y
x – 3
x = 2y + 3 ⇔ 2y = x – 3 ⇔ y = –––– 
2 
Substituir 
y por f –1(x)
x – 3
f –1(x) = ––––– 
2 
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67
Gráficos de f e f –1
Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares (1o. e 3o. ), cuja equação é y = x, pois, de acordo com a definição, temos:
Exemplos:
(a; b) ∈ f ⇔ (b; a) ∈ f –1
110. Obter a inversa da função f : � → � definida por f(x) = 4x – 1.
Resolução
Pela regra prática, temos:
1o. ) y = 4x – 1
2o. ) x = 4y – 1
3o. ) y = 
4o. ) f–1(x) = 
111. Sabendo que a função f : � – {2} → � – {a} definida por f(x) = 
é inversível, determine o valor de a.
Resolução
Obtendo a sentença que define a inversa de f, pela regra prática,
temos:
1o. ) y = 
2o. ) x = 
3o. ) xy – 2x = y ⇔ y (x – 1) = 2x ⇔ y = , para x � 1.
4o. ) f –1(x) = 
Assim sendo, D(f–1) = CD(f) = � – {1} e, portanto, a = 1.
112. Seja f : �+ → [– 4; + ∞ [ a função definida por f(x) = x2 – 4.
Determine a inversa de f e esboce os gráficos de f e f –1.
Resolução
Pela regra prática, temos:
1o. ) y = x2 – 4
2o. ) x = y2 – 4
3o. ) y2 = x + 4 ⇔ y = ��������� x + 4, pois y � 0.
4o. ) f –1(x) = ��������� x + 4
x + 1
—–—-
4
x + 1
—–—-
4
x
—–—-
x – 2
x
—–—-
x – 2
2x
—–—-
x – 1
2x
—–—-
x – 1
y
—–—-
y – 2
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68
De 113 a 115
Determine f –1 e construa os gráficos de f e f –1.
113. f : � → � tal que f(x) = 2x – 1
114. f : �+ → �+ tal que f(x) = x2
115. f : �– → �+ tal que f(x) = x2
116. (PUC) – Seja f : � → � uma função representada pelo gráfico
abaixo. A partir dele, construa o gráfico de f –1, se esta existir, no
mesmo sistema de eixos.
117. (VIÇOSA) – A função inversa de f(x) = definida de � em � é:
a) f–1 (x) = b) f–1 (x) =
c) f–1 (x) = d) f–1 (x) = 
e) f–1 (x) = 
118. Pedro disse a Paulo
– Pense em um número natural que eu vou adivinhar o número
pensado.
– Agora eleve seu número ao quadrado.
– Acrescente cinco unidades ao resultado.
– Divida o novo resultado por 2.
– Qual número deu?
Assim que Paulo deu a resposta Pedro imediatamente disse o
número que Paulo pensou. A função que, a partir do resultado
dado por Paulo, permita descobrir o número pensado, é:
a) y = b) y = ���������� 5x2 – 2 c) y = ��������� 5x – 2
d) y = ��������� 2x – 5 e) y = �����2x2 – 5
119. Uma empresa calcula o salário de seus funcionários multiplicando
o valor da hora trabalhada pelo número de horas que cada
funcionário trabalhou no mês e desconta R$ 90,00 referentes a
assis tência médica e vale transporte, quando o número de horas
tra balhadas é menor ou igual a 160. Ela paga 20% a mais por
horas extras trabalhadas (quantidade de horas que ultrapassarem
160). Se Mariana ganha R$ 20,00 por hora, então, a função h que
for nece o número de horas que ela trabalhou a partir do seu
salário y é:
a) H(y) = 
b) H(y) = 
c) H(y) = 
d) H(y) = 
e) H(y) = 
120. Seja f : � – {2} → � – tal que f(x) = .
Determine a sentença que define a função f–1: � – → � – {2}
121. (MACKENZIE) – A função f definida em � – {2} por f(x) = é 
inversível. O seu contradomínio é � – {a}. O valor de a é:
a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1 e) 0
4x – 1
––––––
3
4x + 1
––––––
3
3
––––––
4x – 1
1 – 4x
––––––
3
3x + 1
––––––
4
3
–––––––
1 – 4x
x – 5
––––––
2
y + 90
––––––––, para y � 3110
20
y + 720
––––––––, para y > 3110
24
	
y + 90
––––––––, para y � 3110
20
y + 730
––––––––, para y > 3110
24
	
y + 90
––––––––, para y � 3110
20
y + 740
––––––––, para y > 3110
24
	
y + 90
––––––––, para y � 3110
20
y + 750
––––––––, para y > 3110
24
	
y + 90
––––––––, para y � 3110
20
y + 760
––––––––, para y > 3110
24
	
2x + 4
————
3x – 6
2	—
3
2	—
3
2 + x
———
2 – x
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122. (UNICAMP) – Considere o gráfico da função y = f(x) exibido na
figura a seguir
O
gráfico da função inversa y = f–1(x) é dado por
69
5) (0) V, (1) F, (2) F, (3) F, (4) V, (5) F 6) A
7) B 8) D 9) B 10)E
11) D 12)E 13){ (2; 1), (4; 1), (4; 3)}
14) D
21) (I) não é função (II) não é função
(III) é função com (IV) é função com 
D = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3}
CD = { 1, 2, 3, 4, 5 } CD = { 1, 2 }
Im = { 1, 2, 3 } Im = { 1, 2 } 
(V) é função com (VI) não é função
D = {1, 2, 3}
CD = { 0 }
Im = { 0 }
22) (I) é função com (II) não é função
D = A = [ 1, 4 ]
CD = B = [ 1, 3 ]
Im = [ 2, 3 ] � B
(III) é função com
D = A = [ 1 , 4 ]
CD = B = [ 1, 3 ]
Im = [ 1, 2 [ � { 3 } � B
23) B 24) D 25) E 26) B 
27) D 28) E 29) C 30) E
31) D 32) D 33) B 34) B
35) 1506g 36) C 37) R$ 1,00 38) D
39) D 40) B 41) A
42) C 43) C 44) a) � – {4}
b) {x ∈ � � x � 2}
c) �
45) D 46) B 47) A 48) E
49) E 50) A
51) a = 100, b = 1, c = 10 e f(x) = 
52) D 53) C 57) E 58) D
59) 60)
apenas sobrejetora apenas injetora
61)
bijetora
62) D 63) E 64) C 65) x = –1 ou x = 4
66) A 70)
estritamente decrescente
100x + 200___________
x + 10
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70
71) 72) 
estritamente crescente não é monotônica
73) E 74) D 75) D
76) 77) C
78) A
79) D
80) C
81) C 86) E 87) E 88) D
89) D 90) A 91) A 92) C
98) a) 7 b) 9 c) 2x + 3
99) a) – 7 b) – 1 c) 9 d) – 3
100) B 101) A 102) D 103) E
104) D 105) C 106) C 107) D
108) a) 7 b) 109) D
113)
f–1 : � → � � f–1 (x) =
114)
f–1 : �+ → �+ � f–1 (x) = ���x
115)
f–1 : �+ → �– � f–1 (x) = – ���x
116) 
117) C 118) D 119) B
120) f–1(x) = 121) D 122) C
1
–––
2
x + 1
–––––
2
6x + 4_______
3x – 2
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9ÁlgebraExercícios-tarefa (Conjuntos e funções)
71
1. (MACKENZIE) – Se designarmos por [3; 4] o intervalo fechado,
em �, de extremidades 3 e 4, será correto escrever:
a) {3, 4} = [3, 4] b) {3, 4} ∈ [3, 4]
c) {3, 4} � [3; 4] d) {3, 4} · [3; 4]
e) [3; 4] ∈ {3; 4}
2. (PUC) – Sabendo-se que A e B são subconjuntos de U,
A � B = {c, d}, A � B = {a, b, c, d, e, f} e �
U
A = {e, f, g, h, i}, então:
a) n(A) = 2 e n(B) = 4 b) n(A) = 4 e n(B) = 2
c) n(A) = 3 e n(B) = 3 d) n(A) = 4 e n(B) = 4
e) n(A) = 1 e n(B) = 5
Observação: n(X) significa “número de elementos do conjunto X”.
3. Considere os conjuntos I, dos inventores, D, dos distraídos, e L,
dos loucos. Admitindo-se que todo inventor é distraído e que
alguns inventores são loucos, a representação mais adequada
dos três conjuntos é:
4. (MACKENZIE) – Observando a figura, considere, no conjunto
universo C, as afirmações:
I) ( 
—
A � B) � ( 
—
A � B) = 
—
A � B
II) ( 
—
A � B) � ( 
—
A � B) = 
—
A � B
III) (
—
A � B) � (A �
—
B) � (
—
A � B) = 
—
A �
—
B
_
(Obs.: X é complementar de X em C) 
Então:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente a (I) é verdadeira.
d) somente a (II) é verdadeira.
e) somente a (III) é verdadeira.
5. (U. PASSO FUNDO) – Dos alunos formandos de uma escola de
segundo grau, 70 inscreveram-se no vestibular para Medicina, 42
para Odontologia, 15 para ambos, Medicina e Odontologia, e 38
em outros. O número total de alunos for mandos dessa escola
que se inscreveram em algum vestibular é:
a) 165b) 135 c) 127 d) 97 e) 120
6. (PUC-RIO) – Um levantamento socioeconômico entre os habitan -
tes de uma cidade revelou que, exatamente:
17% têm casa própria,
22% têm automóvel,
8% têm casa própria e automóvel.
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
7. (U.E. FEIRA DE SANTANA) – Num grupo de 50 esportistas, 25
jogam tênis, 29, basquete e 15 praticam os dois esportes.
Sabendo-se que x esportistas do grupo não jogam tênis ou
basquete, o valor de x é:
a) 4 b) 6 c) 10 d) 11 e) 39
8. (MACKENZIE) – Numa escola, há n alunos. Sabe-se que 56 alu -
nos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas
um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é:
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183
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9. (PUC) – Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas, há três
programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo
(H). A tabela abaixo indica quantas pes soas assistem a esses
programas.
Observando esses dados, verifica-se que o número de pessoas da
comunidade que não assistem a nenhum dos três programas é:
a) 200 b) os dados do problema estão incorretos
c) 900 d) 100 e) 180
10. (UFGO) – Numa certa cidade, são consumidos três produtos, A,
B e C, sendo:
A – um tipo de desodorante,
B – um tipo de sabonete e
C – um tipo de creme dental.
Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produ -
tos, foram coletados os dados da tabela abaixo:
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra.
Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250)
não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou
apenas C, e sim o número total de consumidores dos 3 produtos
(isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas
pessoas foram consultadas?
a) 500 b) 560 c) 610 d) 730 e) 910
11. (PUC-RIO ) – Entre os 4 desenhos abaixo:
a) Somente I pode ser gráfico de função da forma y = f(x).
b) I, III e IV podem ser gráficos de funções da forma y = f(x).
c) Nenhum deles pode ser gráfico de funções da forma y = f(x).
d) II e IV não podem ser gráficos de funções da forma y = f(x).
e) Somente III pode ser gráfico de função da forma y = f(x).
12. (PUCC) – Dados os conjuntos 
A = {x ∈ � � 1 � x � 3} e B = {x ∈ � � – 1 � x � 1}, 
represente, graficamente, o produto cartesiano B x A.
13. (PUCC) – Sejam M = {x ∈ � � 0 � x � 5} e P = {x ∈ � � 3 � x � 7}.
O conjunto (M – P) x (P – M) é representado pela região:
a) R1 b) R2 c) R3 d) R4 e) R1 < R4
14. (UFG) – A função, definida para todo número real x, cujo gráfico
é
tem a seguinte lei de formação:
a) f(x) = b) f(x) =
c) f(x) = d) f(x) =
e) f(x) =
Programas E N H E e N N e H E e H E, N e H
Número de 
Telespectadores
400 1220 1080 220 800 180 100
Produto Número de consumidores
A 120
B 180
C 250
A e B 40
A e C 50
B e C 60
A, B e C 30
Nenhum dos três 180
2
– ––x + 4, x < 5
5
4
––x + 9, x � 5
5
	
2
––x + 4, x < 5
5
4
– ––x + 9, x � 5
5
	
2
––x + 4, x < 5
5
4
––x + 9, x � 5
5
	
5
––x + 4, x < 5
2
5
– ––x + 9, x � 5
4
	
5
––x + 4, x < 5
2
5
––x + 9, x � 5
4
	
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15. (PUC) – Dados A = {x ∈ � � 1 � x � 130} e B = {x ∈ � � 0 � x � 9}
Definimos a função f : A → B por f(x) = algarismo das unidades 
de x. Então o número de elementos de A associados ao número
2 ∈ B é:
a) 10 b) 13 c) 3 d) 1 e) 0
16. (VUNESP) – Considere a função f : � → �, definida por f(x) = 2x – 1.
Determine todos os valores de m ∈ � para os quais é válida a
igualdade.
f(m2) – 2f(m) + f(2m) = .
17. (F. RADIAL-SP) – Dona Ema, esposa de John Scargot, cria pás -
saros. Mensalmente, compra ração e milho num total de 100 kg. A
ração custa R$ 0,40 o quilograma e o milho, R$ 0,25.
Se x representa a quantidade, em quilogramas, de ração
comprada, pode-se afirmar que a função gasto, em reais, é dada
por:
a) g(x) = 0,15x, 0 < x < 100
b) g(x) = 0,40x, 0 < x < 100
c) g(x) = 0,15x + 25, 0 < x < 100
d) g(x) = 0,25x + 40, 0 < x < 100
e) g(x) = 0,40x – 25, 0 < x < 100 
18. (FATES) – Sabe-se que o número de bactérias num meio, sob
certas condições, duplica a cada 10 minutos.
No instante inicial, o número de bactérias era 5000. Qual a ex -
pressão que descreve corretamente como varia o número de
bactérias, N, em função do tempo, t, em minutos?
a) N = 5000 · b) N = 5000 · 2
c) N = 5000 + d) N = 5000 + 
e) N = 5000 · 
19. (U.E. FEIRA DE SANTANA) – A tarifa de uma corrida de táxi é
composta de uma parte fixa, a bandeirada, e de uma parte variá -
vel que depende da distância percorrida. Se a bandeirada estiver
custando R$ 0,30 e o quilômetro rodado R$ 0,18, por uma
corrida de 10km, pagar-se-á:
a) R$ 0,48 b) R$ 1,80 c) R$ 2,10
d) R$ 3,00 e) R$ 4,80
20. (PUCCAMP) – Na fabricação de até 500 unidades por mês de
certo produto, o gasto de uma empresa é composto por um valor
fixo de 750 dólares mais um custo, por unidade, de 5,50 dólares.
Quando a produção supera 500 unidades, o valor fixo não muda,
mas o custo por unidade cai para 4,00 dólares. A relação entre o
gasto mensal G da empresa e o número u de unidades produzidas
no mês é dada por:
G(u) = 750 + 5,50 se 0 � u � 500
a) 	 G(u) = 750 + 4,00 se u > 500
G(u) = 750 + 5,50 · u se u � 500
b) 	 G(u) = 4,00 · u se u > 500
G(u) = 750 + 5,50 · u se 0 � u � 500
c) 	 G(u) = 4,00 · u se u > 500
d) G(u) = 750 +
· 
u se u � 0
G(u) = 750 + 5,50 · u se 0 � u � 500
e) 	 G(u) = 750 + 4,00 · u se u > 500
21. (UNIFOR) – Na relação y = 90 · 3–0,5x2, y representa o número de
alunos cuja nota difere x pontos da média (que foi 4,0) em certo
exame vestibular. Nessas condições, quantos alunos obtiveram 
2 pontos acima da média nesse exame?
22. (UF.PELOTAS) – Um estudo das condições ambientais de uma
comunidade suburbana indica que a taxa média diária de monóxido
de carbono no ar será de C(p) = 0,5 p + 1 partes por milhão, quando
a população for “p” milhares. Estima-se que, daqui a “t” anos, a
população da comunidade será de p(t) = 10 + 0,1 t2 milhares.
Calcular a taxa de monóxido de carbono no decorrer de dois
anos.
23. (PUCCAMP) – Para produzir um número n de peças (n inteiro
posi tivo), uma empresa deve investir R$ 200 000,00 em máqui -
nas e, além disso, gastar R$ 0,50 na produção de cada peça.
Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças
é uma fun ção de n dada por:
a) C(n) = 200 000 + 0,50 b) C(n) = 200 000 n
c) C(n) = + 200 000 d) C(n) = 200 000 – 0,50n
e) C(n) = 
24. (ULBRA) – O domínio e a imagem de f(x) = ��������x + 2 são, respec -
tivamente,
a) [– 2, + ∞) e �+ b) [– 2, 2) e � c) (– 2, 2) e �+
d) (– 2, + ∞) e � e) �+ e �+
25. (MAUÁ) – Se f(x) = , então o domínio de f é:
a) ] – ∞; 1 ] b) [ 5 ; + ∞ [ c) ] 5 ; + ∞ [
d) ] – ∞; 1 [ e) [ 1 ; 5 [
26. (FATEC) – O domínio da função f(x) = (4 – x2)50% é o conjunto:
a) {x ∈ � � x � –2 ou x � 2}
b) {x ∈ � � –2 � x � 2}
c) Ø
d) �
e) {100%}
27. (UEL) – Seja a função f : ] – 1; 2[ → �, definida por f(x) = 2x + 1.
O conjunto imagem de f é o intervalo:
a) ]– 1; 5[ b) ]– 1; 2[ c) ]– 2; 1[
d) ]– 2; 4[ e) ]2; 4[
28. (MACKENZIE) – A função f : � → � é tal que f(3x) = 3 · f(x), ∀x ∈ �.
Se f(9) = 45, então f(1) + f(3) é igual a:
a) 15 b) 5 c) 20 d) 10 e) 25
m
—–
2
t–––
102t—–
10
2t
—–
10
2t
—–
10
2t
—–
10
5,50 + 4,00
——————
2
n
—-
2
200 000 + n
—————–—-
2
��������x – 1
————–
��������x – 5
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29. (PUCC) – Esboce o gráfico da função:
f(x) = 
30. (UNIFOR) – Seja a função f, de � em �, re presen tada no gráfico
abaixo.
É correto afirmar que
a) o conjunto imagem de f é o intervalo ]– 1, + ∞[
b) f é negativa, para todo x ∈ � e x < 3
c) f é crescente, para todo x ∈ �
d) f é bijetora
e) f é par
31. (FUVEST) – Se f : � → � é da forma f(x) = ax + b e verifica 
(fof)(x) = x + 1, para todo x real, então a e b valem, respectiva -
mente:
a) 1 e b) – 1 e c) 1 e 2
d) 1 e – 2 e) – 1 e qualquer
32. (MACKENZIE) – Se f(x) = ��


 a – x2, g(x) = �



b – x e f(g(2)) = 2,
então f(g(0)) é
a) �
2 b) �
3 c) 2 d) 3 e) 1 
33. (MACKENZIE) – Sejamf e g duas funções de � em � tais que:
f(x) = g(x) = 3x + 1
Então, (fog) (x) é igual a: 
a) b)
c) d)
e)
34. (UNESP) – Dadas as funções f(x) = x2 + 2x + 1 e g(x) = x – 1, 
a) encontre a função composta (fog) (x);
b) resolva a equação: (fog)(y) = 0, em que y = cos x.
35. (UEM) – Com respeito à função f : �→� definida por f(x) = 4x+2,
assinale o que for correto.
a) A função inversa de f é f–1: �→� definida por f–1(x) = .
b) A função composta fof(x) é definida por (4x+2)2. 
c) Para todo x pertencente ao domínio de f, tem-se que f(x) é um
número par.
d) Se um ponto (a; b) pertence ao gráfico de f, então a � b.
e) f não é uma função decrescente.
36. (UFPB) – Considere a função invertível f : � → � definida por 
f(x) = 2x + b, em que b é uma constante. Sendo f–1 a sua inversa,
qual o valor de b, sabendo-se que o gráfico de f–1 passa pelo
ponto A (1; – 2)? 
a) – 2 b) – 1 c) 2 d) 3 e) 5
37. Sabendo que a função f : � – {1} → � – {a} definida por 
f(x) = é inversível, determine o valor do número real a.
38. (UFPB) – Considere a função f:[0,2] → [0,3], definida por:
f(x) = 
A função inversa de f está mais bem representada no gráfico:
39. Seja a função f:[3, 6]→[0, 12] tal que f(x) = x2 – 5x + 6. Determine
o ponto em que a função f intercepta a sua inversa f–1.
40. Determine os pontos em que as representações gráficas da
função f(x) = x3 e da sua inversa se interceptam.
x3, se x � 0;
x2, se – 1 < x < 0;
x + 2, se x � – 1.
	
1
––
2
1
––
2
x – 3, se x � 4
2x, se x > 4	
3x – 2, se x � 4
6x + 2, se x > 4	
3x – 2, se x � 1
6x + 2, se x > 1	
6x – 2, se x � 4
3x + 2, se x > 4	
3x + 2, se x � 4
6x – 2, se x > 4	
3x + 2, se x � 1
6x – 2, se x > 1	
1
––––––
4x + 2
2x – 3
–––––––
x – 1
x2, 0 � x � 1
2x – 1, 1 < x � 2	
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75
41. (INSPER) – Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme
começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme,
sendo que:
• nos 10 primeiros dias desse período, as vendas foram feitas
exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultanea mente
nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das
vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o
tempo t.
Durante as vendas exclusivas nas bilheterias, a capacidade de
atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao longo
do tempo, era sempre a mesma, totalizando a venda de 2
milhões de ingressos por dia. 
Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse período, em
função de t, é
42. (UNICAMP) – O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares
de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013
e 2014.
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que
a) A teve um crescimento maior do que C.
b) C teve um crescimento maior do que B.
c) B teve um crescimento igual a A.
d) C teve um crescimento menor do que B.
43. (INSPER) – O gráfico a seguir mostra os resultados de uma pes -
quisa sobre o governo brasileiro.
(http://g1.globo.com/politica/noticia/2013/08/avaliacao-
de-dilma-sobe-de-31-para-38-diz-ibope.html)
A maior variação positiva, em pontos percentuais, entre dois
meses consecutivos ocorreu
a) na opção “regular” entre os meses de março e junho.
b) na opção “ruim/péssimo” entre os meses de junho e julho.
c) na opção “ótimo/bom” entre os meses de junho e julho.
d) na opção “regular” entre os meses de julho e agosto.
e) na opção “ruim/péssimo” entre os meses de julho e agosto.
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76
44. (PUC) – Sabe-se que, em certo posto de combustível, as bombas
de gasolina despejam o líquido à vazão constante de 3 litros por
minuto.
Certo dia, Lia parou nesse posto para abastecer seu carro quando
ainda havia 10 litros de gasolina no tanque e foram gastos 5 mi -
nutos para colocar em seu interior mais alguns litros de gasolina,
após o que ela seguiu sua viagem. Imediatamente após ter saído
do posto, sabe-se que o carro de Lia:
– rodou ininterruptamente por 95 minutos, quando, então,
esgotou-se toda a gasolina do tanque e ele teve de parar;
– ao longo desses 95 minutos, o volume de combustível no
tanque, em litros, pode ser descrito como uma função do tempo
t, em minutos, cujo gráfico é parte do ramo de uma parábola com
vértice no ponto (100; 0).
Considerando o intervalo 0 � t � 100, em que t = 0 é o instante
em que Lia parou no posto para colocar gasolina, então, se V(t) é
o volume de gasolina no tanque, em função do tempo t, em
minutos, a expressão de V(t), em litros, é
a) V(t) = 
b) V(t) = 
c) V(t) = 
d) V(t) = 
e) V(t) = 
45. (UNICAMP) – A figura abaixo exibe o gráfico de uma função 
y = f(x). 
Então, o gráfico de y = 2 f(x – 1) é dado por 
3 + 10t se 0 � t � 5
1
–––– · (t – 100)2 se 5 < t � 100
361
	
10 + 5t se 0 � t � 5
1
–––– · (t – 100)2 se 5 < t � 100
361
	
10 + 3t se 0 � t � 5
1
–––– · (t – 100)2 se 5 < t � 100
350
	
3 + 10t se 0 � t � 5
1
–––– · (t – 100)2 se 5 < t � 100
350
	
10 + 3t se 0 � t � 5
1
–––– · (t – 100)2 se 5 < t � 100
361
	
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77
46. (FGV) – O gráfico representa a função f.
Considerando – 2 � x � 3, o conjunto solução da equação
f(x + 3) = f(x) + 1 possui
a) um único elemento. b) apenas dois elementos.
c) apenas três elementos. d) apenas quatro elementos.
e) infinitos elementos.
47. (FEI) – O conjunto imagem da função
f(x) = é:
a) Im(f) = {y ∈ � / y > – 1} b) Im(f) = {y ∈ � / y < 2}
c) Im(f ) = {y ∈ � / – 1 < y < 2} d) Im(f) = {y ∈ � / y > 2}
e) Im(f) = �
48. (FGV) – O domínio da função real definida por 
f(x) = �������������6 – ���������� 2x + 7 é {x ∈ � / m � x � n}. Em tal condição, a 
mé dia arit mética simples entre o menor valor possível para m e
o maior valor possível para n é igual a
a) 5,8 b) 5,5 c) 5,0 d) – 4,6 e) – 4,8 
49. (FUVEST) – A figura abaixo representa o gráfico de uma função 
f: [–5; 5] → �. Note que f(–5) = f(2) = 0. A restrição de f ao inter -
valo [– 5; 0] tem como gráfico parte de uma parábola com vértice
no ponto (–2; –3); restrita ao intervalo [0; 5], f tem como gráfico
um segmento de reta, 
a) Calcule f(–1) e f(3). 
Usando os sistemas de eixos da folha de respostas, esboce 
b) o gráfico de g(x) = �f(x)�, x ∈ [– 5; 5];
c) o gráfico de h(x) = f(�x�), x ∈ [– 5; 5]. 
50. (FUVEST) – A função f está definida da seguinte maneira: para
cada inteiro ímpar n,
f(x) =
a) Esboce o gráfico de f para 0 � x � 6.
b) Encontre os valores de x, 0 � x � 6, tais que f(x) = .
– x + 4, se x � 2
2, se – 1 � x < 2
x + 3, se x < – 1
	
x – (n – 1), se n – 1 � x � n
n + 1 – x, se n � x � n + 1	
1
–––
5
1) C 2) D 3) D 4) A
5) B 6) 69% 7) D 8) C
9) A 10) C 11)B
12) 13) D
14) A 
15) B 
16) m = 0 ou m = 
17) C 18) B 19) C
20) E 21) 10 22) 6,2 partes por milhão
23) C 24) A 25) C
26) B 27) A 28) C
29)
30) A 31) A 32) A 33) A
1
–––
4
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78
34)
35) E 36) E 37) a = 2
38) E 39) (3 + �
3; 3 + �
3 )
40) Os pontos são: (0; 0), (1; 1), (–1; –1)
41) C 42) B 43) B
44) C 45) B 46) B
47) B 48) B
49) a) f (–1) = – e f (3) = 
b)
c)
50) a)
b) S = ; ; ; ; ;
a) x2
π
b) 	x ∈ � � x = –– + nπ, n ∈ �
2
5
––
6
8
––
3
29
–––
5
21
–––
5
19
–––
5
11
–––
5
9
–––
5
1
–––
5
	 
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1. Definição
Chama-se função polinomial do 1o. grau toda fun-
ção f : � → � definida por:
, a ∈ �* e b ∈ �
2. Como obter o gráfico
Exemplo 1
Construir o gráfico da função f : � → � definida por
f(x) = 2x – 4.
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos no sistema de coor -
denadas cartesianas.
Exemplo 2
Construir o gráfico da função f : � → � definida por
f(x) = – x + 3
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos no sistemade coor -
denadas cartesianas.
Demonstra-se que
a) o gráfico da função polinomial do 1o. grau é
sempre uma reta oblíqua;
b) se a > 0, então a função é estritamente crescente;
c) se a < 0, então a função é estritamente decrescente;
d) o gráfico de f intercepta o eixo Ox
→
no ponto (– ; 0) ou
seja: é a raiz de f;
e) o gráfico de f intercepta o eixo Oy
→
no ponto (0; b).
x y = – x + 3 (x; y)
–1 y = – (–1) + 3 = 4 (–1; 4)
0 y = – 0 + 3 = 3 (0; 3)
1 y = – 1 + 3 = 2 (1; 2)
2 y = – 2 + 3 = 1 (2; 1)
3 y = – 3 + 3 = 0 (3; 0)
4 y = – 4 + 3 = – 1 (4; – 1)
x y = 2x – 4 (x; y)
–1 y = 2 · (–1) – 4 = – 6 (–1; – 6)
0 y = 2 · 0 – 4 = – 4 (0; – 4)
1 y = 2 · 1 – 4 = – 2 (1; – 2)
2 y = 2 · 2 – 4 = 0 (2 ; 0)
3 y = 2 · 3 – 4 = 2 ( 3; 2)
b––a
– b–––a
f(x) = ax + b
79
10ÁlgebraFunção polinomial do 1o. grau
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80
3. Conclusões
a) Para se obter o gráfico da função polinomial do
1o. grau, são suficientes, pois, dois pontos. Em geral, são 
escolhidos os interceptos: (– ; 0) e (0; b).
Assim:
b) A função polinomial do 1o. grau é injetora, pois
qualquer reta horizontal intercepta o gráfico apenas num
ponto.
c) A função polinomial do 1o. grau é sobrejetora,
pois Im(f) = CD(f) = �.
d) A função polinomial do 1o. grau de � em �, é,
portanto, bijetora.
4. Inequação do 1o. grau
Chama-se inequação do 1o. grau toda sentença
aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b � 0 ou ax + b < 0 ou
ax + b � 0, em que a ∈ �* e b ∈ �.
Como resolver
a) Resolver, em �, uma inequação do 1o. grau “do
tipo” ax + b > 0 é determinar o conjunto de todos os va -
lo res da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax + b
se encontra acima do eixo x.
b) Resolver, em �, uma inequação do 1o. grau “do
tipo” ax + b < 0 é determinar o conjunto de todos os valo -
res da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax + b
se encontra abaixo do eixo x.
O conjunto solução da inequação 2x – 4 > 0, por exem -
 plo, é {x ∈ � | x > 2}, pois o gráfico de f(x) = 2x – 4 é
É mais prático, porém, apenas “isolar o x” lembran -
do que:
, ∀a ∈ �
, ∀a ∈ �+
*
 , ∀a ∈ �–
*
O conjunto verdade da inequação 2x + 8 < 0 é
{x ∈ � � x < – 4 }, pois: 
2x + 8 < 0 ⇔ 2x < – 8 ⇔ x < – 4
O conjunto verdade da inequação – 4x + 12 > 0 é
{x ∈ � � x < 3}, pois:
– 4x + 12 > 0 ⇔ – 4x > – 12 ⇔ 4x < 12 ⇔ x < 3
b
––a
x < y ⇔ x + a < y + a
x < y ⇔ x · a < y · a
x < y ⇔ x · a > y · a
1. Construir o gráfico da função f: � → � definida por y = f(x) = 3x + 6.
Resolução
a) Para x = 0, temos f(0) = 3 · 0 + 6 = 6 e, portanto, o intercepto com
o eixo Oy
→
é o ponto (0; 6).
b) f(x) = 0 ⇔ 3x + 6 = 0 ⇔ x = – 2 (raiz de f) e, portanto, o intercepto
com o eixo Ox
→
é o ponto (– 2; 0).
c) Localizando os pontos (0; 6) e (– 2; 0) no sistema de
coordenadas cartesianas, temos:
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 80
2. Construir o gráfico da função f : � → � definida por f(x) = – 4x – 4.
Resolução
a) Para x = 0, temos f(0) = – 4.0 – 4 = – 4 e, portanto, o
intercepto com o eixo Oy
→
é o ponto (0; – 4).
b) f(x) = 0 ⇔ – 4x – 4 = 0 ⇔ x = – 1 (raiz de f) e, portanto, o
intercepto com o eixo Ox
→
é o ponto (– 1; 0).
c) Localizando os pontos (0; – 4) e (– 1; 0) no sistema de
coordenadas cartesianas, temos:
3. Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas
di versas. É um número escan daloso, mas que vem caindo. O ca -
minho para se atingir o objetivo de uma redução drástica desse
número depen derá de muitos e variados meios, re cursos,
políticas e programas dirigi dos não só às crianças mas às suas
famílias e comunidades.
Admitindo-se que os pontos do grá fico acima pertencem a uma
reta, a mortalidade infantil em 2015, em milhões de bebês, será
igual a
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
Resolução
Uma maneira de resolver a questão é escrever a equação da reta
que passa pelos pontos (1980; 15) e (2000; 11).
É mais rápido, porém, usar a semelhança de triângulos.
= ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ 11 – a = 3 ⇔ a = 8
Resposta: B
4. (UFABC) – Um restaurante utiliza sistemas diversos para cobrar
pelas suas refeições: preço fixo ou preço por quilo grama,
dependendo da quantidade consumida pelo cliente. A tabela
resume os preços praticados: 
O gráfico que melhor representa essa situação é 
Resolução
Sendo x gramas a quantidade de alimento consumida por um
cliente desse restaurante, o preço, em reais, que ele pagará será
dado pela função
f(x) = ⇔
⇔ f(x) = 
O gráfico que melhor representa f é o da alternativa B.
5. Resolver, em �, as inequações:
a) 3x – 6 < 0 b) – 3x + 6 < 0 c) 6 – 2x � 0
d) x – 3 < x + 3 e) – x + 3 � x + 3 f) x – 2 > x + 2
Resolução
a) 3x – 6 < 0 ⇔ 3x < 6 ⇔ x < 2 ⇔ V = {x ∈ � � x < 2}
b) – 3x + 6 < 0 ⇔ – 3x < – 6 ⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2 ⇔ V = {x ∈ � � x > 2}
c) 6 – 2x � 0 ⇔ – 2x � – 6 ⇔ 2x � 6 ⇔ x � 3 ⇔ V = {x ∈ � � x � 3}
d) x – 3 < x + 3 ⇔ x – x < 3 + 3 ⇔ 0x < 6 ⇔ V = �
e) – x + 3 � x + 3 ⇔ – x – x � 3 – 3 ⇔ – 2x � 0 , 2x � 0 ⇔
⇔ x � 0 ⇔ V = {x ∈ � � x � 0} = �+
f) x – 2 > x + 2 ⇔ x – x > 2 + 2 ⇔ 0x > 4 ⇔ V = Ø
20
––––
15
4
–––––––
11 – a
2000 – 1980
––––––––––––
2015 – 2000
15 – 11
––––––––
11 – a
4
–––
3
4
–––––––
11 – a
Até 400 gramas R$ 6,00 por refeição
Acima de 400 gramas R$ 6,00 por 400 g, acrescidos 
de R$ 0,01 por grama que 
exceder 400 g.
6, se 0 < x � 400	 0,01 (x – 400) + 6, se x � 400
6, se 0 < x � 400	 0,01x + 2, se x � 400
81
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6. Demonstrar que se x > y > 0, então < .
Resolução
x > y > 0 ⇔ > ⇔ > ⇔ < 
7. Sendo A = {x ∈ � | 1 � x < 3} e B = {x ∈ � | x � 1 ou x > 2},
determinar:
a) A � B b) A � B c) A – B d) B – A e) 
—
A
(Obs.:
—
A é o complementar de A em relação a �)
Resolução
a) 
A � B = �
b) 
A � B = {x ∈ � � x = 1 ou 2 < x < 3}
c) 
A – B = {x ∈ � � 1 < x � 2}
d)
B – A = {x ∈ � � x < 1 ou x � 3}
e)
A
––
= {x ∈ � � x < 1 ou x � 3}
8. Resolver, em �, o sistema 1 < � 5.
Resolução
1 < � 5 ⇔ 3 < 2x – 3 � 15 ⇔ 6 < 2x � 18 ⇔ 3 < x � 9 ⇔
⇔ V = {x ∈ � | 3 < x � 9}
9. Resolver, em �, o sistema 	
Resolução
a) 2x – 10 < 0 ⇔ 2x < 10 ⇔ x < 5 ⇔ V1 = {x ∈ � | x < 5}
b) – 3x + 6 � 0 ⇔ – 3x � – 6 ⇔ 3x � 6 ⇔ x � 2 ⇔ V2 = {x ∈ � | x � 2}
c) O conjunto verdade do sistema é V = V1 � V2
Logo: V = {x ∈ � | 2 � x < 5}
1
––
x
1
––
y
1
––
y
1
––
x
1
––
x
1
––
y
y
–––
xy
x
–––
xy
2x – 3
———-
3
2x – 3
———-
3
2x – 10 < 0
– 3x + 6 � 0
82
10. O gráfico abaixo representa a função de � em � dada por 
f(x) = ax + b (a, b ∈ �). De acordo com o gráfico, conclui-se que
a) a < 0 e b > 0 b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0 d) a > 0 e b < 0
e) a > 0 e b = 0
11. (FGV) – Considerando um horizonte de tempo de 10 anos a partir
de hoje, o valor de uma máquina deprecia linearmente com o
tempo, isto é, o valor y da máquina em função do tempo x é dado
por uma função polinomial do primeiro grau y = ax + b .
Se o valor da máquina daqui a dois anos for R$ 6 400,00, e seu
valor daqui a cinco anos e meio for R$ 4 300,00, seu valor daqui
a sete anos será
a) R$ 3 100,00 b) R$ 3 200,00
c) R$ 3 300,00 d) R$ 3 400,00
e) R$ 3 500,00
12. (UNICAMP) – Considere a função afim f(x) = ax + b definida para
todo número real x, em que a e b são números reais. Sabendo
que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3) + f(5)) é igual a 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 
13. Resolver, em �, as inequações. 
a) 2x – 10 < 4 b) – 3x + 5 � 2
c) – (x – 2) � 2 – x d) x – 3 � 3 + x
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14. O menor inteiro positivo n tal que 3n � (n + 31) é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
15. (MACKENZIE) – Em �, o produto das soluções da inequação 
2x – 3 � 3 é:
a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0
16. Se o conjunto solução, em �, da inequação ax + b > 0 é
	x ∈ � � x < – 
, então pode-se afirmar que:
a) a < 0 e b > 0 b) a > 0 e b < 0 c) a > 0 e b > 0
d) a < 0 e b < 0 e) ab = 0
17. Resolver o sistema de inequações:
18. (INSPER) – Um bazar beneficente arrecadou R$ 633,00. Nenhum
dos presentes contribuiu com menos de R$ 17,00, mas também
ninguém contribuiu com mais de R$ 33,00. O númeromínimo e
o número máximo de pessoas presentes são, respectivamente,
iguais a
a) 19 e 37. b) 20 e 37. c) 20 e 38.
d) 19 e 38. e) 20 e 39.
19. (FGV) – Quantos são os valores inteiros de x que satisfazem 
–2 � 2x + 5 � 10 ?
a) Infinitos b) 6 c) 4 d) 7 e) 5
20. (UNICAMP) – Numa escola, é adotado o seguinte critério: a nota
da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é
multiplicada por 2 e a nota da terceira prova é multiplicada por 3.
Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média
obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é
dispensado das atividades de recuperação. 
Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na
segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser
dispensado da recuperação?
Nas questões de 21 a 23, resolver, em �, as inequações.
21. – > 1
22. x – > – 
23. – > 
24. (UEL) – ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de
passeio que cobra uma tarifa diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50
por quilômetro percorrido, em carros de categoria A. AluCar é
uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais 
R$ 2,00 por quilômetro percorrido, para a mesma categoria de
carros.
a) Represente graficamente, em um mesmo plano cartesiano,
as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas
duas empresas de carros da categoria A que percorrem, no
máximo, 70 quilômetros.
b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos para a
qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique sua resposta
apresentando os cálculos realizados.
25. No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia
celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C,
D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de
cada plano está em função do tempo mensal das chamadas,
conforme o gráfico. 
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com
telefone. 
Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso,
em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? 
a) A b) B c) C d) D e) E
26. (FGV) – Uma editora tem preços promocionais de venda de um
livro para escolas. A tabela de preços é:
P(n) = 
em que n é a quantidade encomendada de livros, e P(n) o preço
total dos n exemplares.
Analisando a tabela de preços praticada pela editora, é correto
concluir que, para x valores de n, pode ser mais barato comprar
mais do que n livros do que exatamente n livros.
Sendo assim, x é igual a
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 
1
––
2
3
––
2
x x – 2
—- – —––—- < 2
3 5
3 (x – 6)
––––––––– > 0
4
	
2x + 1
–––––––
5
2 – x
––––––
3
x – 1
––––––
2
x – 3
––––––
4
x – 2
––––––
3
5x – 1
–––––––
4
3x – 13
–––––––
10
5x + 1
–––––––
3
12n, se 1 � n � 24
11n, se 25 � n � 48
10n, se n � 49
	
83
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 83
27. (UNESP) – Em um experimento com sete pa litos de fósforo
idênticos, seis foram acesos nas mesmas con dições e ao
mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de t
segundos e, em seguida, anotou-se o comprimento x, em
centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A
figura a seguir indica os resultados do experimento.
(http://casadaquimica.wordpress.com. Adaptado.)
Um modelo matemático consistente com todos os dados obtidos
no experimento permite prever que o tempo, necessário e sufi -
cien te, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico
aos que foram usados no experimento é de
a) 1 minuto e 2 segundos. b) 1 minuto.
c) 1 minuto e 3 segundos. d) 1 minuto e 1 segundo.
e) 1 minuto e 4 segundos.
28. (INSPER) – Uma operadora de telefonia celular oferece a seus
clientes dois planos:
Superminutos: o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 100,00 por
mês para os primeiros 200 minutos que utilizar. Caso tenha con -
sumido mais minutos, irá pagar R$ 0,60 para cada minuto que
usou a mais do que 200.
Supertarifa: o cliente paga R$ 60,00 de assinatura mensal mais
R$ 0,40 por minuto utilizado.
Todos os meses, o sistema da operadora ajusta a conta de cada
um de seus clientes para o plano mais barato, de acordo com as
quantidades de minutos utilizadas. Nesse modelo, o plano
Super mi nutos certamente será selecio nado para consumidores
que usarem
a) menos do que 60 minutos no mês.
b) entre 40 e 220 minutos no mês.
c) entre 60 e 300 minutos no mês
d) entre 100 e 400 minutos no mês.
e) mais do que 400 minutos no mês.
29. (FGV) – André é um advogado em início de carreira. Além de tra -
balhar na cidade de Jaú, onde reside, atua, também, em três
outras cidades da região (Barra Bonita, Dois Córregos e Mineiros
do Tietê). Quando precisa trabalhar em uma cidade diferente da -
quela em que reside, André recebe de seu empregador dois tipos
de reembolso de despesa:
1. Reembolso de despesa de transporte: R$ 0,50 por quilô -
metro rodado; e
2. Reembolso para outras despesas gerais: R$ 72,00 por dia.
A tabela a seguir contém as distâncias rodoviárias, em quilô me -
tros, entre as cidades em que André trabalha.
A partir das informações fornecidas, responda:
a) André precisa fazer uma viagem de 3 dias a trabalho,
passando um dia em cada uma das três cidades próximas
(Barra Bonita, Dois Córregos e Mineiros do Tietê). O advogado
iniciará e concluirá o itinerário na cidade em que reside e
deverá visitar Barra Bonita imediatamente depois de passar
por Mineiros do Tietê. Despreze deslocamentos dentro das
cidades. Nessa situação, apresente o itinerário que minimiza
a distância total a ser percorrida. Qual é o deslocamento total,
em quilômetros?
b) Considerando o itinerário do item a, qual será o valor de
reem bolso a ser recebido pelo advogado?
c) Quando precisa trabalhar em cidade diferente daquela em
que reside, as despesas de André com transporte são iguais
a R$ 0,20 por km com desgaste de peças e fluidos de seu
carro, acrescidas do gasto com com bustível. Se o carro de
André percorre 10 km/� de combustível, qual é o valor
máximo que deverá pagar, por litro de combustível, para que
suas despesas com o carro sejam totalmente cobertas pelo
‘reembolso de despesa de transporte’ que recebe de seu
empregador?
30. (UNESP) – A tabela indica o gasto de água, em m3 por minuto,
de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está
aberto, em voltas, para duas posições do registro.
(www.sabesp.com.br. Adaptado.)
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma
reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a torneira está
totalmente aberta, é de 0,034 m3. Portanto, é correto afirmar que
essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no
seu registro de abertura de 1 volta completa e mais
a) de volta. b) de volta. c) de volta.
d) de volta. e) de volta.
Barra 
Bonita
Dois 
Córregos
Mineiros 
do Tietê
Jaú 26 31 25
Barra 
Bonita
– 26 17
Dois 
Córregos
– 10
abertura da torneira
(volta)
gasto de água por minuto
(m3)
1
––
2
0,02
1 0,03
2
––
2
1
––
5
1
––
2
1
––
4
3
––
4
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31. (FGV) – Uma editora utiliza couro para as capas da frente e de trás e para a lombada de seus livros. Atualmente, produz apenas livros com
capa de 20 cm de altura x 10 cm de largura. A espessura mínima possível da lombada é de 1 cm, a qual comporta até 100 páginas. A partir
desta espessura mínima, o incremento na espessura da lombada é diretamente proporcional ao incremento no número de páginas, de
maneira que um livro de 500 páginas teria lombada de 3 cm. Considere que a espessura do couro é desprezível e que a capa tem as
mesmas dimensões das páginas do livro. O custo do couro utilizado na lombada é de R$ 0,05/cm2 e o do utilizado na capa, de R$ 0,02/cm2.
a) A editora considera reeditar um de seus livros (que atualmente possui 
300 páginas) utilizando uma fonte maior. Qual será o aumento no custo do
couro utilizado por livro se a editora mantiver a altura e a largura das
páginas, aumentando em 20% o número de páginas?
b) Um dos livros da editora é atualmente editado em dois volumes de 
80 páginas cada um. Qual seria a economia no custo do couro caso os dois
volumes fossem unidos em um só,com 160 páginas?
c) Qual deveria ser o volume total de uma caixa para acomodar 20 livros de 
200 páginas cada um, em uma pilha única?
85
10) A
11) D
12) D
13) a) V = {x ∈ � | x < 7} 
b) V = {x ∈ � | x � 1} 
c) V = �
d) V = Ø
14) C
15) E
16) D 
17) V = {x ∈ � | 6 < x < 12}
18) B 
19) B
20) no mínimo, 7,9.
21) V = {x ∈ � | x > 2}
22) V = {x ∈ � | x > – 1}
23) V = {x ∈ � | x < 1}
24) a)
b) 28
25) C 26) D 27) C 28) D
29) a) Jaú, Dois Córregos, Mineiros do Tietê, Barra Bonita e
Jaú, nesta ordem.
b) R$ 258,00.
c) R$ 3,00 por litro.
30) B
31) a) R$ 0,30 por livro.
b) R$ 8,70 por livro.
c) 6000 cm3.
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86
1. Definição
Chama-se função polinomial do 2o. grau, ou
função quadrática, toda função f : � → � definida por:
, a ∈ �*, b ∈ � e c ∈ �
2. Como obter o gráfico
Exemplo 1
Construir o gráfico da função f : � → � definida por
y = f(x) = x2 – 2x – 3.
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valo res a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema de
coordenadas cartesianas:
Exemplo 2
Construir o gráfico da função f : � → � definida por 
f(x) = – x2 – 2x + 3.
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coor -
denadas cartesianas:
Exemplo 3
Construir o gráfico da função f : � → � definida por 
y = f(x) = x2 – 4x + 4.
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
x y = – x2 – 2x + 3 (x; y)
– 4 y = – (– 4)2 – 2 · (– 4) + 3 = – 5 (– 4; – 5)
– 3 y = – (– 3)2 – 2 · (– 3) + 3 = 0 (– 3; 0)
– 2 y = – (– 2)2 – 2 · (– 2) + 3 = 3 (– 2; 3)
– 1 y = – (– 1)2 – 2 · (– 1) + 3 = 4 (– 1; 4)
0 y = – 02 – 2 · 0 + 3 = 3 (0; 3)
1 y = – 12 – 2 · 1 + 3 = 0 (1; 0)
2 y = – 22 – 2 · 2 + 3 = – 5 (2; – 5)
x y = x2 – 2x – 3 (x; y)
– 2 y = (–2)2 – 2 · (– 2) – 3 = 5 (– 2; 5)
– 1 y = (– 1)2 – 2 · (– 1) – 3 = 0 (– 1; 0)
0 y = 02 – 2 · 0 – 3 = – 3 (0; – 3)
1 y = 12 – 2 · 1 – 3 = – 4 (1; – 4)
2 y = 22 – 2 · 2 – 3 = – 3 (2; – 3)
3 y = 32 – 2 · 3 – 3 = 0 (3; 0)
4 y = 42 – 2 · 4 – 3 = 5 (4; 5)
f(x) = ax2 + bx + c
11ÁlgebraFunção polinomial do 2o. grau
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87
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coor -
denadas cartesianas.
Exemplo 4
Construir o gráfico da função f : � → � definida por 
f(x) = – x2 + 2x – 3.
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coor -
denadas cartesianas.
Demonstra-se que
a) o gráfico de f é sempre uma parábola com eixo 
de simetria paralelo ao eixo Oy
→
;
b) se a > 0, então a parábola tem a “concavidade
voltada para cima”;
c) se a < 0, então a parábola tem a “concavidade
voltada para baixo”;
d) a parábola sempre intercepta o eixo Oy
→
no ponto
(0; c);
e) se Δ = b2 – 4ac < 0, então f não admite raízes
reais. A parábola não intercepta o eixo Ox
→
;
f) se Δ = b2 – 4ac = 0, então f admite uma única
raiz. A parábola tangencia o eixo Ox
→
;
g) se Δ = b2 – 4ac > 0, então f admite duas raízes
reais distintas. A parábola intercepta o eixo Ox
→
em dois pontos.
3. Conclusões
a) A parábola que representa uma função polino -
mial do 2o. grau pode ser de seis tipos possíveis, con -
forme os valores de a e de Δ. A saber:
x y = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 (x; y)
0 y = (0 – 2)2 = 4 (0; 4)
1 y = (1 – 2)2 = 1 (1; 1)
2 y = (2 – 2)2 = 0 (2; 0)
3 y = (3 – 2)2 = 1 (3; 1)
4 y = (4 – 2)2 = 4 (4; 4)
x y = – x2 + 2x – 3 (x; y)
– 1 y = – (– 1)2 + 2 · (– 1) – 3 = – 6 (– 1; – 6)
0 y = – 02 + 2 · 0 – 3 = – 3 (0; – 3)
1 y = – 12 + 2 · 1 – 3 = – 2 (1; – 2)
2 y = – 22 + 2 · 2 – 3 = – 3 (2; – 3)
3 y = – 32 + 2 · 3 – 3 = – 6 (3; – 6)
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88
b) Nota-se, pelo gráfico, que a função polinomial
do 2o. grau, definida de � em �, não é nem injetora e nem
sobrejetora.
4. Inequação do 2o. grau
Chama-se inequação do 2o. grau toda sentença
aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c � 0 ou 
ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c � 0, com a ∈ �*, 
b ∈ � e c ∈ �.
Como resolver
a) Resolver, em �, uma inequação do 2o. grau “do
tipo” ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) é determinar o con jun to de
todos os valores da variável x para os quais o gráfico de
f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do eixo x. 
b) Resolver, em �, uma inequação do 2o. grau “do
tipo” ax2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) é determinar o conjunto de
todos os valores da variável x para os quais o gráfico de
f(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo do eixo x. 
c) O conjunto solução da inequação x2 – 6x + 5 < 0
em �, por exemplo, é {x ∈ � � 1 < x < 5}, pois o esboço
do gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 5 é:
1. Um boato tem um público-alvo e alastra-se com de -
ter minada rapidez. Em geral, essa rapidez é dire ta -
mente proporcional ao número de pessoas desse
pú blico que conhecem o boato e diretamente proporcional tam -
bém ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras
palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o
número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k.x.(P – x), em que k é uma constante positiva
característica do boato.
O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x
real, é: 
Resolução
O gráfico que melhor representa a função definida por 
R(x) = k · x · (P – x), em que k e P são constantes e k > 0, é:
A função dada é uma polinomial do 2o. grau, de raízes 0 e P.
Resposta: E
2. Resolver, em �, a inequação x2 – 5x + 6 > 0.
Resolução
O conjunto solução da inequação x2 – 5x + 6 > 0 é 
{x ∈ � � x < 2 ou x > 3}, pois o esboço do gráfico de f(x) = x2 – 5x + 6 é:
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3. Resolver, em �, a inequação – x2 + 6x – 9 < 0.
Resolução
O conjunto solução da inequação – x2 + 6x – 9 < 0 é 
{x ∈ � � x � 3} = � – {3}, pois o esboço do gráfico de 
f(x) = – x2 + 6x – 9 é:
 
4. Resolver, em �, a inequação x2 – 4x + 5 � 0.
Resolução
O conjunto solução da inequação x2 – 4x + 5 � 0 é �, pois o
esboço do gráfico de f(x) = x2 – 4x + 5 é:
5. Resolver, em �, o sistema 	
Resolução
a) O conjunto verdade da inequação x2 – 4x + 3 > 0 é 
V1 = {x ∈ � � x < 1 ou x > 3}, pois o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3
é do tipo
b) O conjunto verdade da inequação – x2 + x + 2 � 0 
é V2 = {x ∈ � � x � – 1 ou x � 2} pois o gráfico de 
g(x) = – x2 + x + 2 é do tipo
c) O conjunto verdade do sistema é V = V1 � V2
Assim sendo: V = {x ∈ � � x � – 1 ou x > 3}
6. Na praça principal de uma vila será inau gurado um mural
retangular. No projeto ilustrado na figura, o mural está
representado pelo retângulo maior, e a tapeçaria pelo retângulo
menor, sombreado; x representa a medida, em metros de um
dos lados do mural. Cada um dos lados da tapeçaria ficará
paralelo a dois dos lados do mural, com margens de 0,5 m e de 
1 m, como a figura ilustra. O mural terá 26 m de perímetro e 
1 < x < 11.
A área da tapeçaria em metros quadrados e o perímetro em
metros, valem respectivamente:
a) x2 – 11x – 12 e 12
b) x2 – 12x – 11 e 20
c) – x2 – 11x – 12 e 12
d) – x2 + 12x – 11 e 20
e) – x2 + 12x – 11 e 10
Resolução
Sendo x (indicado) e y as dimensões do mural, temos que o perí -
metro sendo 26 m indica que 
2x + 2y = 26 ⇔ x + y = 13 ⇔ y = 13 – x
Portanto, de acordo com a figura, as dimensões da tapeçaria são,
em metros, x – 0,5 – 0,5 = x – 1 e 
y – 1 – 1 = y – 2 = 13 – x – 2 = 11 – x
Assim, a área da tapeçaria, em m2, é 
A = (x – 1)(11 – x) = – x2 + 12x – 11 e o perímetro é 
p = 2x – 2 + 22 – 2x = 20
Resposta: D
x2 – 4x+ 3 > 0
– x2 + x + 2 � 0
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De 7 a 17, resolva, em �, as inequações:
7. x2 – 5x + 4 > 0 8. x2 – 5x + 4 � 0
9. x2 – 4x + 4 > 0 10. x2 – 4x + 4 � 0
11. x2 – 4x + 4 < 0 12. x2 – 4x + 4 � 0
13. – x2 + 3x – 4 > 0 14. – x2 + 3x – 4 < 0
15. – x2 + 3x – 4 �0 16. x2 < 4x
17. x2 < 3
18. (FAMERP) – A figura representa o desenho da arcada dentária de
um animal, feito no plano cartesiano ortogonal em escala linear.
Sabendo que as posições dos centros dos dentes destacados em
cinza nessa arcada são modeladas nesse plano por meio da fun -
ção quadrática y = ax2 + b, então a + b é igual a
a) 8,5 b) 9,2 c) 9,5 
d) 10,2 e) 9,0 
19. Um professor, depois de corrigir as provas de sua
turma, percebeu que várias questões estavam
muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma
função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x
da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
• A nota zero permanece zero.
• A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é
a) y = – x2 + x 
b) y = – x2 + 2x
c) y = – x2 + x 
d) y = x + 2
e) y = x
20. (PUC-MG) – O produto dos elementos do conjunto 
A = {x ∈ � � (x – 2) (7 – x) > 0} é:
a) 60 b) 90 c) 120 d) 180 e) 360
21. Em �, o domínio mais amplo possível da função f, dada por
f(x) = , é o intervalo.
a) [0; 9] b) ]0; 3[ c) ]– 3; 3[
d) ]– 9; 9[ e) ]– 9; 0[
22. (MACKENZIE) – Se A = {x ∈ � � – x2 + 5x – 4 > 2}, então:
a) A = {x ∈ � � x < 2 ou x > 3}
b) A = {x ∈ � � x > 2 e x < 3}
c) A = {x ∈ � � x < 1 ou x > 4}
d) A = {x ∈ � � x > 1 e x < 3}
e) A = {x ∈ � � x > 2 e x < 4}
23. (UNIP) – O número de soluções inteiras do sistema
	 é:
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
24. A solução do sistema de inequações:
	 é:
a) x = 1 b) 0 < x < 1 c) x > 1
d) 0 � x � 1 e) x > 7
25. (FGV) – Quantos números inteiros satisfazem a inequação 
(3x – 25)(5 – 2x) � 0?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
26. (FATEC) – Considere a sentença: para qualquer x pertencente ao
conjunto M, tem-se x2 > x.
Assinale a alternativa que apresenta um possível conjunto M.
a) – 2; – ; b) – ; 0; 2
c) – 2; – ; 2 d) {– 1; 1; 2}
e) 0; ; 1
27. Um estacionamento para automóveis aluga vagas para carros
mediante o preço de x reais por dia de estaciona mento. O núme -
ro y de carros que com parecem por dia para estacionar relaciona-
se com o preço x de acordo com a equação 0,5x + y = 120.
O custo por dia de funcionamento do estacionamento é 
R$ 1 150,00 independentemente do número de carros que
estacio nam. Seja [a, b] o intervalo de maior amplitude de preços
em reais, para os quais o proprietário não tem prejuízo. Pode-se
afirmar que a diferença b – a é:
a) 220 b) 250 c) 240 d) 230 e) 260
1
–––
25
7
–––
5
1
–––
10
1
–––
2	
1
–––
24
7
–––
12
4
–––
5
1
–————
��������� 9 – x2
x2 – 3x – 4 � 0
– 1 < x – 2 � 3
x2 – 1 � 0
x2 – x � 0
1
–––
2 
 
	
	
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2	
90
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91
5. Fatoração em �
Se {x1, x2} é o conjunto verdade em � da equação
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, então a forma fatorada de
f(x) = ax2 + bx + c é:
Demonstração
Sejam x1 e x2 as raízes de f(x) = ax
2 + bx + c, com a ≠ 0.
Lembrando que x1 + x2 = e x1 · x2 = , temos:
f(x) = ax2 + bx + c = a�x2 + x + � =
= a�x2 – x + � = a[x2 – (x1 + x2) x + x1 · x2] =
= a[x2 – x1x – x2x + x1x2] = a[x (x – x1) – x2 (x – x1)] =
= a · (x – x1) · (x – x2)
6. Inequação do “tipo” 
quociente e do “tipo” produto
Observando, por exemplo, que > 0 ⇔ · b2 > 0 · b2 ⇔
⇔ a · b > 0, pode-se demonstrar que:
Assim sendo, toda inequação do “tipo” quociente,
pode ser transformada numa inequação equivalente do
“tipo” produto, se isso for conveniente.
f(x)
––––– > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0
g(x)
f(x)
––––– � 0 ⇔ f(x) · g(x) � 0 e g(x) ≠ 0
g(x)
f(x)
––––– < 0 ⇔ f(x) · g(x) < 0
g(x)
f(x)
––––– � 0 ⇔ f(x) · g(x) � 0 e g(x) ≠ 0
g(x)
a—b
a—b
c––a
– b–––a
c––a
b––a
c––a
– b–––a
f(x) = a · (x – x1) · (x – x2)
28. Fatorar, em �, o trinômio y = 2x2 – 7x + 3
Resolução
Δ = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 · 2 · 3 = 49 – 24 = 25.
Portanto, Δ > 0. Aplicamos então a forma fatorada do trinômio do 
2o. grau, y = a(x – x1) (x – x2), em que a é o coeficiente de 
x2 e x1 e x2 são raízes. Determinamos as raízes do trinômio, resol -
vendo 2x2 – 7x + 3 = 0, o que nos fornece:
x = = e, portanto, 
Então, temos:
a = 2, x1 = 3 e x2 = . Logo:
y = 2x2 – 7x + 3 = 2 (x – 3) �x – � = (x – 3) (2x – 1)
29. Fatorar, em �, o trinômio y = x2 – 6x + 9
Resolução
Procedendo da mesma forma que no exercício anterior, temos:
Δ = (– 6)2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0
Como Δ = 0, devemos aplicar: y = a (x – x1)2.
Raiz: x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ x = ⇒ x1 = x2 = 3
E como a = 1, temos: y = x2 – 6x + 9 = 1. (x – 3)2 = (x – 3)2
30. O esboço de gráfico a seguir é da função definida de � em � por
f(x) = ax2 + bx + c.
O valor de a · b · c é
a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 240
Resolução
Do gráfico temos que
Assim, a(2 – 1)(2 – 5) = – 6 ⇔ a = 2
Logo, f(x) = 2(x – 1)(x – 5) ⇔ f(x) = 2(x2 – 6x + 5) ⇔
⇔ f(x) = 2x2 – 12x + 10
Portanto, a = 2, b = 12 e c = 10
Consequentemente, a · b · c = 2 · 12 · 10 = 240
Resposta: E
x1 = 3
1x2 = ––2
	7 ± 5–––––––4
7 ± �����25
–––––––––
4
1
––
2
1
––
2
6 ± ���0
–––––––––
2
f(x) = a(x – 1)(x – 5) (1 e 5 são raízes)
f(2) = – 6	
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31. Uma função quadrática tem o seu gráfico esboçado abaixo.
Sendo P o ponto de tangência do gráfico com o eixo das abscis -
sas, essa função é definida por
a) f(x) = x2 – 6x + 9 b) f(x) = 2x2 – 12x + 18
c) f(x) = – x2 + 6x – 9 d) f(x) = – 2x2 + 12x – 18
e) f(x) = – x2 – 9x – 9
Resolução
As raízes da função são x1 = x2 = 3.
Portanto f(x) = a(x – 3)(x – 3) ⇔ f(x) = a(x – 3)2
Além disso, devemos ter f(0) = – 9
Então, a · (0 – 3)2 = – 9 ⇔ a = – 1
Logo, 
f(x) = – 1 · (x – 3)2 ⇔ f(x) = – (x2 – 6x + 9) ⇔ f(x) = – x2 + 6x – 9
Resposta: C
32. Resolver a inequação < 0
Resolução
Resolver < 0 é o mesmo que resolver (x – 2) (x – 3) < 0
Então, pelo gráfico, temos
e, portanto, a resposta é: 2 < x < 3
33. Resolver a inequação � 0
Resolução
Resolver � 0 é o mesmo que resolver 
(x + 1) (x – 1) � 0 e x – 1 � 0 
Então, pelo gráfico, temos
e, portanto, a resposta é: – 1 � x < 1
34. Resolver a inequação (x – 1) · (x2 – 3x + 2) � 0
Resolução
Façamos y1 = x – 1 e y2 = x2 – 3x + 2 e estudemos separa -
damente os sinais de y1 e de y2 pelos seus respectivos grá ficos:
O sinal do produto y1 · y2 é obtido do “QUADRO DE SINAIS”.
Portanto, a resposta é x = 1 ou x � 2
Observação:
Note que, no “QUADRO DE SINAIS”, fizemos o seguinte:
a) Na primeira faixa horizontal do QUADRO, “passamos a
limpo” a variação de sinal de y1, obtida pelo gráfico,
destacando que, “à esquerda de 1” y1 é negativo, “à direita
de 1”, y1 é positivo e no ponto 1, y1 é igual a zero, isto é:
b) Na segunda faixa horizontal do QUADRO, fizemos o mesmo
com y2.
c) Na terceira faixa horizontal do QUADRO, deduzimos pela “re -
 gra de sinais do produto” o sinal de y1 · y2 e assinala mos no
eixo x os valores de x que acarretam y1 · y2 > 0 ou y1 · y2 = 0.
x – 2
––––––
x – 3
x – 2
––––––
x – 3
x + 1
––––––
x – 1
x + 1
––––––
x – 1
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35. Determinar o conjunto verdade da inequação � 0
Resolução
Façamos y1 = x – 1 e y2 = x2 – 5x + 6 e, já que a regra de sinais do
quociente é a mesma que a do produto y1 · y2, vamos 
proceder como no exercício anterior, observando que y2 � 0. 
Então, temos:
Resposta: V = {x ∈ R � x � 1 ou 2 < x < 3}
y1–––
y2
x – 1
–––––––––––
x2 – 5x + 6
De 36 a 38, resolver, em �, as inequações:
36. (x – 3) (x – 5) > 0
37. > 0
38. � 0
39. (PUC-RIO) – No universo �, o conjunto solução da inequação 
< 0 é
a) {x ∈ � � x > 0} b) {x ∈ � � x > 3}
c) {x ∈ � � x < 0 ou x > 3} d) {x ∈ � � 0 < x < 3}
e) {x ∈ � � x > 0 e x � 3}
40. O conjunto solução da desigualdade � 2 é
a) 	x ∈ � � x � 
 b) 	x ∈ � � 5 < x � 
c) 	x ∈ � � x � 5 ou x � 
 d) 	x ∈ � � x < 5 ou x > 
e) 	x ∈ � � x < 5 ou x � 
41. A solução da inequação – > 1 é:
a) – 3 < x < 1 b) x < – 3 ou 0 < x < 1
c) – 3 < x < – ���3 ou 1 < x < ���3 d) – ���3 < x < 1 ou x > ���3
e) – 1 < x < 1 ou x > 3
42. (PUC) – A inequação < 2 tem como solução o 
conjunto de números reais:a) ]– ∞; – 1[ � ]2; 3[ b) ]2, 3[ c) ]– ∞, 1] � [2, 3]
d) [2, 3] e) ]1; 4]
43. (FATEC) – A solução real da inequação produto 
(x2 – 4) · (x2 – 4x) � 0 é:
a) S = {x ∈ � � – 2 � x � 0 ou 2 � x � 4}
b) S = {x ∈ � � 0 � x � 4}
c) S = {x ∈ � � x � – 2 ou x � 4}
d) S = {x ∈ � � x � – 2 ou 0 � x � 2 ou x � 4}
e) S = Ø
 
44. (FURG) – O domínio da função y = f(x) = é
a) 1 � x � 2 ou x � 4 b) 1 < x � 2 ou x > 4
c) 1 < x � 2 ou x � 4 d) x � 3 ou x � 4
e) 1 < x < 2 ou x > 4
13
–––
2
x2 – 3x + 8
—–————
x + 1
x2 – 6x + 8
—–————
x – 1
x – 3
––––––
x – 5
x – 3
––––––
x – 5
x – 3
––––––––
3x – x2
3
––––––
x – 5
13
–––
2
13
–––
2
13
–––
2
13
–––
2
1
––––––
x – 1
x
––––––
x + 3
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45. (UEL) – O conjunto solução da inequação
� 0, no universo �, é
a) [ – 1, 3 ] b) ] –1, + ∞ [
c) ] –1, 0 [ � ] 0, 3 ] d) [ – 1, 3 ] � [ 2, + ∞ [
e) ]–1, 1 [ � [ 2, + ∞ [
46. Dada a inequação (x – 2)8 · (x – 10)4 · (x + 5)2 < 0, o conjunto
solução é:
a) { x ∈ � � x < – 5}
b) { x ∈ � � 2 < x < 10}
c) { x ∈ � � – 5 < x < 2 }
d) { x ∈ � � – 5 < x < 10}
e) Ø
47. (UNESP) – Os gráficos de duas funções f(x) e g(x), definidas de 
� em �, estão representados no mesmo plano cartesiano.
No intervalo [– 4, 5], o conjunto solução da inequação
f(x) · g(x) < 0 é:
a) {x ∈ � / – 1 < x < 3}.
b) {x ∈ � / – 1 < x < 0 ou 3 < x � 5}.
c) {x ∈ � / – 4 � x < – 1 ou 0 < x < 3}.
d) {x ∈ � / – 4 < x < 0}.
e) {x ∈ � / – 4 � x < – 1 ou 3 < x < 5}.
(x – 3)4 (x3 – 2x2)
————————–
x2 – 1
7. Vértice da parábola
O vértice da parábola (gráfico de f) é o ponto , Δ = b2 – 4ac e a ≠ 0
– b – Δ
V�––––; ––––�2a 4a
Se a > 0, então V é ponto de mínimo de f. Se a < 0, então V é ponto de máximo de f.
8. Conjunto imagem
– Δ – Δ
a > 0 ⇒ Im(f) = 	y ∈ � � y � –––––
 = �–––––; + ∞�4a 4a
– Δ – Δa < 0 ⇒ Im(f) = 	y ∈ � � y � –––––
 = �– ∞; –––––�4a 4a
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9. Eixo de simetria 
É a reta vertical de equação .
10. Sinal das raízes
Seja V = {x1; x2} o conjunto verdade da equação do
2.º grau ax2 + bx + c = 0, com {a; b; c} � � e a ≠ 0.
Lembrando que Δ = b2 – 4ac, S = x1 + x2 = e
P = x1 · x2 = , temos:
a) x1 > 0 e x2 > 0 se, e somente se:
b) x1 < 0 e x2 < 0 se, e somente se:
c) x1 e x2 de sinais contrários se, e somente se:
Observação: No item c, a condição Δ > 0 é desnecessá- 
ria, pois P < 0 ⇒ < 0 ⇔ ac < 0 ⇔ – 4ac > 0 ⇒
⇒ b2 – 4ac > 0 ⇒ Δ > 0.
– b
––––
a
c
––
a
c––a
– b
x = ––––
2a
Δ � 0 P > 0 S > 0
Δ � 0 P > 0 S < 0
P < 0
95
48. Demonstrar que o vértice da parábola da equação y = f(x) = ax2 + bx + c, 
é o ponto V� ; �, com Δ = b2 – 4ac e a � 0.
Resolução
a) O ponto V(xv; yv) pertence ao eixo de simetria da parábola,
reta vertical (e).
b) Se r > 0 é um número real, então xv + r e xv – r são simétricos
em relação a xv e, consequentemente, f(xv + r) = f(xv – r).
c) f(xv + r) = f(xv – r) ⇒ a(xv + r)2 + b(xv + r) + c = 
= a(xv – r)2 + b(xv – r) + c ⇒ a(xv2 + 2rxv + r2) + bxv + br =
= a(xv2 – 2rxv + r2) + bxv – br ⇒ axv2 + 2arxv + ar2 + br =
= axv2 – 2arxv + ar2 – br ⇒ 4arxv = – 2br ⇒ xv = 
d) yv = f � � = a � �
2
+ b · � �
2
+ c =
= a · – + c = – + c =
= = = = 
49. Determinar o vértice V e o eixo de simetria (e) da parábola que
representa o trinômio y = x2 – 2x – 3.
Resolução
xv = = ⇒ xv = 1
yv = = = ⇒ yv = – 4
(e) : x = ⇒ (e) : x = 1
Graficamente, temos:
Observe que {y ∈ � � y � – 4} é o conjunto imagem da função 
f : � → �, tal que f(x) = x2 – 2x – 3.
Resposta: O vértice é o ponto de coordenadas (1; – 4) e o
eixo de simetria é a reta de equação x = 1.
– b
——
2a
– Δ
——
4a
– b
––––
2a
– b
––––
2a
– b
––––
2a
– b
––––
2a
b2
––––
4a2
b2
––––
2a
b2
––––
4a
b2
––––
2a
b2 – 2b2 + 4ac
––––––––––––––
4a
– b2 + 4ac
––––––––––
4a
– (b2 – 4ac)
–––––––––––
4a
–Δ
––––
4a
– b
——
2a
– (– 2)
——–––
2 · 1
– b
—––
2a
– 16
—–––
4
– Δ
—–––
4a
– [(– 2)2 – 4 · 1 · (– 3)]
——–——————–––—
4 · 1
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50. A empresa WQTU Cosmético vende um deter -
mina do produto x, cujo custo de fabricação de cada
unidade é dado por 3x2 + 232, e o seu valor de
venda é expresso pela função 180x – 116. A empresa vendeu 
10 unidades do produto x, contudo ela deseja saber quantas uni -
dades precisa vender para obter um lucro máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela
empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é
a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232
Resolução
O lucro é obtido pela diferença entre o valor de venda e o custo
de fabricação das x unidades, resultando
L(x) = (180x – 116) – (3x2 + 232) ⇔
⇔ L(x) = 180x – 116 – 3x2 – 232 ⇔ L(x) = – 3x2 + 180x – 348
A quantidade de unidades a serem vendidas pela empresa
WQTU para a obtenção do lucro máximo é o valor da abscissa do
vértice da parábola que representa a função dada por 
L(x) = – 3x2 + 180x – 348, isto é,
x = xv = = = 30
Resposta: B
51. Determinar os valores de k ∈ �, tais que:
f(x) = kx2 + 2(k + 1) x – (k + 1)
seja estritamente negativo para todo valor real de x.
Resolução
1o. caso: Se k = 0, temos:
f(x) = 2x – 1, que não é negativo para qualquer x.
2o. caso:
Se k � 0, o trinômio tem de ter um gráfico do tipo:
Então, devemos impor 	
(I) a < 0 ⇒ k < 0
(II) [2 (k + 1)]2 – 4k [–(k + 1)] < 0 ⇒
⇒ 4 (k + 1)2 + 4k (k + 1) < 0 ⇒ 4 (k + 1) (k + 1 + k) < 0 ⇒
⇒ 4 (k + 1) · (2k + 1) < 0 ⇔ – 1 < k < – , pois o gráfico é:
De (I) e (II), temos – 1 < k < – 
Resposta: – 1 < k < – 
52. Um restaurante vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o
quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de
aumento no preço do quilograma, o restaurante deixa de vender o
equivalente a 5 kg de comida por dia. O preço do quilograma de
comida para que o restaurante tenha a maior receita possível e o
valor dessa receita por dia são, respectivamente, em reais, iguais a 
a) 17,50 e 1531,25 b) 16 e 1550 c) 18 e 1600
d) 20 e 2000 e) 21 e 2200
Resolução
A receita é dada por 
R(x) = (100 – 5x)(15 + x) ⇔ R(x) = – 5x2 + 25x + 1500
Assim, obtém-se a máxima receita para 
x = xv = = = 2,50, em reais, o que significa que o 
preço do quilograma de comida, nessas condições deve ser, em
reais, de 15 + 2,50 = 17,50
O valor da máxima receita diária é dado por 
R(2,5) = (100 – 5 · 2,5)(15 + 2,5) = (87,50) · (17,50) = 1531,25 
em reais.
Resposta: A
53. Para que valores de k a equação x2 + 2kx + (k2 – k – 2) = 0 admite
duas raízes reais e de sinais contrários?
Resolução
Raízes de sinais contrários ⇔ P = < 0 ⇔ – 1 < k < 2 
Resposta: – 1 < k < 2
54. Para que valores de k a equação x2 + 2kx + (k2 – k – 2) = 0
admite duas raízes reais distintas e estritamente positivas?
Resolução
Se V = {x1; x2} é o conjunto verdade da equação dada, então:
⇒
a) Δ > 0 ⇔ 4k2 – 4k2 + 4k + 8 > 0 ⇔ 4k + 8 > 0 ⇔
⇔ 4k > – 8 ⇔ k > – 2
b) P > 0 ⇒ > 0 ⇒ k2 – k – 2 > 0 ⇒ k < –1 ou k > 2.
c) S > 0 ⇒ > 0 ⇔ k < 0
De (a) � (b) � (c), temos
Resposta: – 2 < k < – 1
– 180
––––––
– 6
– b
–––––
2a
a < 0 (I)
Δ < 0 (II)
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
preço (por kg), em reais
15
15 + 1
15 + 2
15 + 3
�
15 + x
Venda (em kg)
100
100 – 5 · 1
100 – 5 · 2
100 – 5 · 3
�
100 – 5x
– 25
–––––
– 10
Δ > 0
P > 0
S > 0
	x1 > 0 e x2 > 0
– b
––––
2a
k2 – k – 2
––––––––––
1
k2 – k – 2
––––––––––
1
– 2k
–––––
1
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55. (UEL) – A função real f, de variável real, dada por 
f(x) = – x2 + 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a –16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = –12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
56. (PU) – O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado
por L(x) = 100 (10 – x) (x – 4). O lucro máximo, por dia, é obtido
com a venda de:
a) 7 peças b) 10 peças c) 14 peças
d) 50 peças e) 100 peças
57. (FUVEST) – A trajetória de um projétil, lan çado da beira de um
penhasco sobre um terreno plano e horizon tal, é parte de uma
parábola com eixo de simetria vertical, comoilustrado na figura.
O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do
ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do
lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura
máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no
instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante
do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno
estava o projétil quando foi lançado? 
a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180 
58. (U.E.FEIRA DE SANTANA) – Considerando-se a função real 
f(x) = – 2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é
a) 1 b) 3 c) 4 d) 12 e) 14
59. (INSPER) – Uma companhia aérea começa a vender bilhetes para
os voos de um dia específico com antecedência de um ano. O
preço p(t), em reais, que ela cobra por um determinado trecho vai
aumentando conforme se aproxima a data do voo, de acordo com
a lei p(t) = 2000 – 4t, em que t é o tempo, em dias, que falta para
a respectiva data.
Considere que a quantidade vendida v em cada um desses dias
varia em função do preço p(t) e do tempo t, segundo a expressão
v = 0,0002 · t · p(t).
O valor arrecadado por essa companhia no dia em que a quan -
tidade vendida é máxima é igual a
a) R$ 30.000,00. b) R$ 40.000,00.
c) R$ 50.000,00. d) R$ 60.000,00.
e) R$ 70.000,00.
60. (UNIFOA) – O salto dado por um golfinho em um aquário des cre ve
uma trajetória parabólica representada pela função y = x – 0,05 x2
(x e y em metros). A altura máxima atingida pelo golfinho é de
a) 5 m b) 2,5 m c) 10 m d) 4 m e) 4,5 m
61. Um estudante está pesquisando o desenvol vi men -
to de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele
utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A
temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada
pela expressão T(h) = – h2 + 22h – 85, em que h representa as
horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior
possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e,
nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa
intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as
classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
Quando o estudante obtém o maior número possível de
bactérias, a temperatura no interior da estufa está classi ficada
como 
a) muito baixa. b) baixa. c) média. 
d) alta. e) muito alta. 
62. (PUC) – O conjunto imagem da função f : � → � tal que 
f(x) = x2 – 6x + 8 é:
a) � b) �+ c) �– d) ]–1; + ∞ [ e) [–1; + ∞ [
63. (UPMS) – A função f : � → �
x → y = – 2x2 + x + 1
admite como conjunto imagem o conjunto:
a) b) c)
d) e)
64. (ACAFE) – Seja a função f(x) = – x2 – 2x + 3 de domínio [– 2, 2].
O conjunto imagem é:
a) [0, 3] b) [– 5, 4] c) ]–∞, 4]
d) [–3, 1] e) [–5, 3]
Intervalos de temperatura (°C) Classificação
T < 0 Muito baixa
0 � T � 17 Baixa
17 < T < 30 Média
30 � T � 43 Alta
T > 43 Muita Alta
�1– ∞ ; – ––4��
9
– ∞ ; – ––
8��
9
– ∞ ; ––
8�
�9 ––; + ∞8��
1 
––; + ∞
4�
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65. (INSPER) – O número n de pessoas presentes em uma festa
varia ao longo do tempo t de duração da festa, em horas,
conforme mostra o gráfico a seguir.
 
Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é:
a) n(t) = − 10t2 + 4t + 50 b) n(t) = − 10t2 + 40t + 50
c) n(t) = − 10t2 + 4t d) n(t) = − t2 + 40t
e) n(t) = − 10t2 + 40t
66. (PUC) – Para abastecer seu estoque, um comerciante comprou
um lote de camisetas ao custo de 16 reais a unidade.
Sabe-se que em um mês, no qual vendeu (40 – x) unidades
dessas camisetas ao preço unitário de x reais, o seu lucro foi
máximo. Assim sendo, pela venda de tais camisetas nesse mês,
o percentual de aumento repassado aos clientes, calculado sobre
o preço unitário que o comerciante pagou na compra do lote, foi
de:
a) 80% b) 75% c) 60% d) 45%
67. (UNIFESP) – A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo
medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua inges tão é
dada pela função polinomial C(t) = – 0,05t2 + 2t + 25. Nessa função,
considera-se t = 0 o instante em que o paciente ingere a primeira
dose do medicamento.
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medi ca -
mento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma
segunda-feira.
a) A que horas a concentração do medicamento na cor rente
sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela pri meira vez?
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a con -
cen tração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro
atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele
deverá prescrever a segunda dose?
68. (UNESP) – O gráfico da parábola dada pela função 
f(x) = – (x2 – 16x – 24) indica, para uma determinada popu -
lação de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a
população total no ano seguinte, que seria f(x). Por exemplo, se
a população atual de insetos é de 1 milhão (x = 1), no ano
seguinte será de 2,925 milhões, já que f(1) = 2,925.
Dizemos que uma população de insetos está em tamanho
susten tável quando a população total do ano seguinte é maior ou
igual à população total atual, o que pode ser identificado grafica -
mente com o auxílio da reta em azul (y = x).
Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano
seguinte, ela será igual a zero (adote ����22 = 4,7), e determine a
população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou
seja, o valor de x para o qual a diferença entre a população do ano
seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível. 
3
––––
40
-5 0 5 10 15 20
5
10
-5
população
sustentável
população em estado
de extinção
população
extinta
x população total
no ano atual
(milhões de
insetos)
população total
no ano seguinte
(milhões de insetos)
y = f(x)
y = x
7) V = {x ∈ � � x < 1 ou x > 4} 8) V = {x ∈ � � 1 � x � 4} 
9) V = {x ∈ � � x � 2} = � – {2} 10) V = �
11) V = Ø 12) V = {2} 13) V = Ø
14) V = � 15) V = � 16) V = {x ∈ � � 0 < x < 4} 
17) V = {x ∈ � � – ���3 < x < ���3 } 18) C 19) A
20) E 21) C 22) B 23) E
24) A 25) D 26) C 27) A
36) V = {x ∈ � � x < 3 ou x > 5}
37) V = {x ∈ � � x < 3 ou x > 5}
38) V = {x ∈ � � x � 3 ou x > 5} 39) E 40) E 41) B
42) A 43) D 44) C 45) E 46) E 47) C
55) C 56) A 57) D 58) E 59) C 60) A
61) D 62) E 63) A 64) B 65) E 66) B
67) a) 21h
b) 7h da manhã de terça-feira
 68) 17,4 milhões e de milhão
4
–––
3
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 98
99
1. (UF. UBERLÂNDIA) – Se y = ax2 + bx + c é a equação da
parábola representada na figura, pode-se afirmar que:
a) ab < 0
b) b < 0
c) bc < 0
d) b2 – 4ac � 0
e) ac > 0
2. (UF. VIÇOSA) – Observando o gráfico da fun ção y = ax2 + bx + c,
podemos concluir que:
a) a > 0, b < 0 e c > 0
b) a > 0, b > 0 e b2 – 4ac > 0
c) a > 0, c = 0 e b > 0
d) a > 0, b < 0 e c = 0
e) a < 0, b > 0 e c = 0
3. (FATEC) – O gráfico abaixo é o da função quadrática definida por
f(x) = ax2 + bx + c.
Nessas condições, é verdade que
a) a > 0 b) b < 0 c) c > 0
d) b = 0 e) c = 0
4. (CEFET-BA) – O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só
intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0; 1). Então, os
valores de a e b obedecem à relação:
a) b2 = 4a b) – b2 = 4a c) b = 2a
d) a2 = – 4a e) a2 = 4b
5. (UFRJ) – Suponha que as ligações telefônicas em uma cidade se -
jam apenas locais e que a tarifa telefônica seja cobrada do
seguin te modo:
1o.) uma parte fixa, que é a assinatura.
2o.) uma parte variável, dependendo do número de pulsos que
excede 90 pulsos mensais. Assim, uma pessoa que tem
regis trados 150 pulsos na conta mensal de seu telefone
pagará somente 150 – 90 = 60 pulsos, além da assinatura.
Em certo mês, o preço de cada pulso excedente era R$ 0,20
e o da assinatura era R$ 12,50.
Um usuário gastou nesse mês 320 pulsos. Qual o valor cobra -
do na conta telefônica?
6. (UNIFOR) – O conjunto solução de – < 1, no 
universo U = �, é
a) ]– ∞, 4[ b) ]– ∞, 8[ c) ]4, 8[
d) [4, +∞[ e) ]8, +∞[
7. (FAAP) – Dados dois números reais positivos, a e b, provar que
se a2 > b2, então a > b.
8. (FUVEST) – Sejam a, b e p números reais, a > 0, b > 0 e p > 1.
Demonstrar: Se> p, então < p.
9. (PUC) – A figura a seguir fornece os gráficos de uma função f
definida em [a, e] e da função g(x) = .
O conjunto de todos os números reais que satisfazem a inequa-
ção f(x) � é:
a) [a; b] � [0; e] b) [a; c] � [0; d]
c) [a; 0] � [d; e] d) [c; 0] � [d; e]
e) [a; b] � [0; d]
x + 1
––––––
3
x
–––
2
a
–––
b
a + bp2
––––––––
a + b
x
–––
2
x
–––
2
12ÁlgebraExercícios-tarefa (Função do 1o. e 2o. grau)
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 99
100
10. (CESUPA) – O domínio e a imagem de uma função f são subcon-
juntos de �. Sendo f dada por f(x) = , o domínio de f é
a) (– ∞, – 2[ � [2, + ∞) b) (– ∞, – 2] � [2, + ∞)
c) [– 2, 2] d) ]– 2, 2]
e) [2, + ∞)
11. (ESPM) – O domínio da função definida por y = ����������� x2 – 16 é:
a) 0 � x � 4 b) x � – 4 ou x � 4 c) x � 4
d) x � 4 e) x � 0
12. (U.F. VIÇOSA) – Dadas as funções reais f e g definidas por
f(x) = x + 1 e g(x) = (x + 1) (x – 4),
a) determine, algebricamente, as intersecções entre f e g;
b) esboce num sistema de coordenadas os gráficos de f e g.
13. Para todo x pertencente aos reais, a função f(x) = –x2 + 4x – m2
é sempre estritamente negativa. Então:
a) m = 0 b) –2 < m < 0 c) 0 < m < 2
d) m < 0 ou m > 2 e) m < – 2 ou m > 2
14. (MACKENZIE) – Sabe-se que é um elemento 
de �, qualquer que seja o número real x.
O menor valor inteiro que K pode assumir é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
15. (FEI) – O domínio da função real f(x) = é:
a) {x ∈ � � 0 < x � 1} b) {x ∈ � � –1 � x < 0 ou x � 1}
c) {x ∈ � � –1 � x � 1} d) {x ∈ � � –1 < x < 1}
e) {x ∈ � � x > 4}
16. Um retângulo tem os seus lados expressos, em metros, por
(x – 3) e (x – 5), respectivamente. Determine os valores de x para
que este retângulo tenha área inferior a 8m2 e perímetro superior
a 4m.
17. (UNIP) – A reta de equação y = a.x e a parábola de
equação y = x2 + 2a.x + a têm dois pontos distintos em comum.
Sendo a um número real, pode-se afirmar que:
a) a > 1 b) 0 < a < 4 c) 1 < a < 5
d) a < 0 ou a > 4 e) a < 4 ou a > 5
18. (UFRJ) – O conjunto solução da inequação – < 1
é
a) –3 < x < 1
b) – 3 < x < 0 ou x > 1
c) – 3 < x < – ���3 ou 1 < x < ���3 
d) – ���3 < x < 1 ou x > ���3 
e) –1 < x < 1 ou x > 3
19. (F. F. RECIFE) – O conjunto solução de inequação >
é:
a) {x ∈ � � x > – 4 e x < 3} b) {x ∈ � � 2 < x < 4}
c) {x ∈ � � 3 < x < 4} d) {x ∈ � � – 4 < x < 2}
e) {x ∈ � � 1 < x < 3}
20. (VUNESP) – Seja f uma função do 1o. grau definida por f(x) = 3x + 4
e cujo gráfico corta os eixos nos pontos M e N. A função quadrática
cujo gráfico contém os pontos M, N e o ponto P(–1; 3) é definida
por
a) y = 6x2 + 5x – 4 b) y = – 6x2 – 5x + 4
c) y = – x2 + 4 d) y = 3x2 + 4x
e) y = 4x2 + 4
21. (UFTM) – O gráfico da função f(x) = x2 – (k + 1)x + k, em que k
é um número real maior do que 1, intercepta o eixo x nos pontos
A e B, e cruza o eixo y no ponto C. Se a área do triângulo ABC é
21, então o valor mínimo que a função f assume é
a) – 4 b) – 9 c) – 16 d) – 25 e) – 36
22 (UFSCar) – Considere que a representação gráfica da função 
f: � → � dada por f(x) = mx2 – x + n, com m e n reais, é uma
parábola com ordenada do vértice maior que n. Se m.n > ,
uma possível representação gráfica de f é
23. (UFMG) – Observe esta figura:
Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de
segundo grau y = ax2 + bx + c. O ponto A situa-se no eixo das
ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.
Assim sendo, é correto afirmar que o comprimento do seg mento
AB é
a) c b) – c) d) – 
1
–––
4
x – 1_____
x – 3
x – 2_____
x – 4
Kx + K
–––––––––––––––
��������������x2 + Kx + K
1
–––––
x – 1
x
–––––
x + 3
���������� x2 – 4
–––––––––
x + 2
x2 – 1
––––––
x
1
–––
3
b__
a
b__
a
c__
a
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 100
24. (UFMT) – Quando da realização de um experi mento, foram
obtidos para determinados valores de x os correspondentes
valores de y, conforme tabela abaixo.
Na sequência do experimento, necessitou-se fazer uma estima -
tiva para y a partir de um determinado valor de x, utilizando-se
para tanto um polinômio do 2o. grau, P (x) = ax2 + bx + c, tal que
P(x) = y. Nessas condições, o valor de P(1/2) é
a) b) c) – d) 1 e) 2
25. (MACKENZIE) – Uma partícula desliza sobre a curva y = x2 – 3x – 4,
a partir de um ponto P, de ordenada 14, até chegar a um ponto Q,
de ordenada – 4. A diferença, em valor absoluto, entre as abscissas
de P e de Q pode ser igual a:
a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8
26. (INATEL) – Sabendo que a trajetória de um corpo lançado obli -
qua mente, desprezando os efeitos do ar, descreve uma parábola
definida pela equação: y = – 4x2 + 120x, calcular
a) o alcance (
—
AB) do lançamento;
b) a altura máxima (
—
DC) atingida.
27. (UFPR) – O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo
de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita
gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas
funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o número
de itens pro duzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem
capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as
seguintes afirma tivas:
I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por
dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10.
II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0,25].
III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir
30 itens por dia.
IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
28. (U.F.PELOTAS) – Um foguete, lançado acidentalmente de uma
base militar, cairá perigosamente de volta à Terra. A trajetória
plana dele segue o gráfico de y = 200x – x2.
Para interceptá-lo, da mesma base é lançado um míssil, cuja
traje tória é dada pela equação y = 50x.
A que altura do solo o foguete deverá ser atingido?
Obs.: “x” e “y” são medidas dadas em metros.
29. (U.F. GOIÁS) – Um homem-bala é lançado de um canhão e sua
trajetória descreve uma parábola. Considerando que no instante
do lançamento (t = 0) ele está a 2 metros do solo, 1 segundo
após ele atinge a altura de 5 metros e 2 segundos após o
lançamento ele atinge o solo, pedem-se:
a) a equação h(t) da altura em relação ao tempo, descrita pela
sua trajetória;
b) o esboço do gráfico de h(t);
c) quais os instantes, após o lançamento, em que ele atinge 
9/2 metros?
30. Entre todos os retângulos de 48 m de perímetro, qual é o de
maior área?
31. (FAAP) – Os cabos de sustentação de uma ponte pênsil com
carga uniformemente distribuída tomam a forma de uma parábola
cujo vértice está no tabuleiro da ponte. As torres de suporte têm
20 metros de altura sobre o tabuleiro e distam 160 metros entre
si. Supondo o sistema de coordenadas cartesianas com eixo x no
tabuleiro e eixo y sendo eixo de simetria da parábola, o com pri -
mento de um elemento de susten tação vertical situado a 
40 metros do centro da ponte é:
a) 10 m b) 4 m c) 3,2 m d) 5 m e) 0,5 m
32. (PUC-MG) – Na reta real, o número 4 está situado entre as raízes
de f(x) = x2 + mx – 28. Nessas condições, os possíveis valores de
m são tais que:
a) m < – 3 b) – 3 < m < 3 c) m > – 3
d) m > 3 e) m < 3
33. (UFPE) – Considere a equação x2 + (k – 4)x – 2k + 4 = 0. Indique
os valores de k, para os quais o número real 3 está compreendido
entre as raízes desta equação.
a) k = 0 b) k > – 1 c) k = – 1
d) k < – 1 e) k = 1 ou k = 2
34. (INSPER) – Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme
começaram a ser vendidos 20 dias antes da exibição do filme,
sendo que:
• nos 10 primeiros dias desse período, as vendas foram feitas
exclusivamente nas bilheterias;
• nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultanea mente
nas bilheterias e pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das
vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, emmilhões, até o
tempo t.
No período de vendas simultâneas nas bilheterias e pela internet,
a função v(t) é dada por: v(t) = − 0, 1t2 + 4t − 10.
O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias que
antecederam a exibição do filme foi
a) 10 milhões. b) 20 milhões. c) 30 milhões.
d) 40 milhões. e) 50 milhões.
x y
0 1
1 2
2 0
3__
2
15–––
8
5__
2
101
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 101
35. (INSPER) – Na figura, ABC é um triângulo equilátero, com A(0; 0)
e e C(12; 0), e r é uma reta perpendicular ao eixo x em x0.
A função real f é tal que f(x0) é a área do polígono determinado
pela intersecção do triângulo ABC com a região do plano definida
pela relação x � x0. Em tais condições, a lei da função f no
intervalo real 0 � x0 � 6 é
a) f(x0) = ���3x0
2 b) f(x0) = x0
2
c) f(x0) = x0
2 d) f(x0) = x0
2
e) f(x0) = x0
2
36. (FGV) – A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de
certo produto, relaciona-se com seu preço por tonelada p, em
reais, por meio da equação p = 2 000 – 0,5x.
O custo de produção mensal em reais desse produto é função da
quantidade em toneladas produzidas x, mediante a relação 
C = 500 000 + 800 x.
O preço p que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal
é:
a) 1 400 b) 1 550 c) 1 600
d) 1 450 e) 1 500
37. (UNIFESP) – A densidade populacional de cada distrito da cidade
de South Hill, denotada por D (em número de habitantes por
km2), está relacionada à distância x, em quilômetros, do distrito
ao centro da cidade. A fórmula que relaciona D e x é dada por 
D = 5 + 30x – 15x2.
a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São Paulo, tem
densidade populacional de 16,5 hab/km2. Comparando a den -
sidade populacional do distrito que fica no centro da cidade de
South Hill com a do distrito do centro da cidade de São Paulo,
a segunda supera a primeira em y%. Calcule y.
b) Determine a que distância do centro da cidade de South Hill a
densidade populacional é máxima. Qual é o valor dessa
densidade máxima?
38. (UNICAMP) – Seja r a reta de equação cartesiana x + 2y = 4. Para
cada número real t tal que 0 < t < 4, considere o triângulo T de
vértices em (0; 0), (t; 0) e no ponto P de abscissa x = t perten -
cente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0 < t < 4, encontre a expressão para a função A(t),
definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função 
g(x) = k/x, definida para todo número real x não nulo. Deter -
mine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem
somente um ponto em comum com a reta r.
39. (UFRGS) – Considere, na figura abaixo, a região sombreada
limitada por uma reta e pelo gráfico de uma função quadrática.
As coordenadas dos pontos (x; y) dessa região verificam as
desigualdades
a) x2 – 4x + 1 � y � 1 – x.
b) x2 – x + 4 � y � 1 – x.
c) x2 – 2x + 1 � y � 1 – x.
d) x2 – 4x – 1 � y � 1 – x.
e) x2 – 2x + 1 � y � 1 – x. 
���3
––––
2
���2
––––
2
���3
––––
3
1
–––
2
102
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103
1) C 2) D 3) B
4) A 5 ) R$ 58,50 6) B
7) Se a > 0 e b > 0, então: a2 > b2 ⇔ a2 – b2 > 0 ⇔
⇔ (a + b) · (a – b) > 0 ⇔ a > b
8) Como a > 0 e b > 0, temos > p ⇔
⇔ a + bp2 > ap + bp ⇔ a – ap – bp + bp2 > 0 ⇔
⇔ a (1 – p) – bp (1 – p) > 0 ⇔ (1 – p) (a – bp) > 0
Para p > 1, 1 – p < 0 e, portanto, (1 – p) (a – bp) > 0 ⇔
⇔ a – bp < 0 ⇔ a < bp ⇔ < p, pois b > 0.
9) D 10) A 11) B
12) a) (–1; 0) e (5; 6)
b) 
13) E 14) B 15) B
16) {x ∈ � � 5 < x < 7} 17) D
18) B 19) C 20) B
21) B 22) C 23) D
24) B 25) A 26) a) 30 b) 900
27) A 28) 7500 metros
29) a) h(t) = – 4t2 + 7t + 2; 0 � t � 2
b)
c) 0,5 s e 1,25 s
30) Quadrado de lado 12m 31) D
32) E 33) D 34) A
35) E 36) A
37) a) 230
b) 1km; 20 hab/km2
38) a) A(t) = e gráfico
b) 2
39) A
a + bp2
———––
a + b
t · (4 – t)
––––––––––
4
a
–––
b
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1. Definição
Chama-se função exponencial de base a, com 
a ∈ �+
* – {1}, a função f: � → �+
* definida por 
2. Como obter o gráfico
Exemplo 1
Construir o gráfico da função exponencial f : � → �*+
definida por f(x) = 2x.
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculando as imagens correspondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coor -
denadas cartesianas.
Exemplo 2
Construir o gráfico da função exponencial f : � → �*+
definida por f(x) = 
x
Resolução
Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a
x e calculandos as imagens correspondentes.
x y = 2x (x; y)
– 3
1
y = 2–3 = ––
8
1�– 3; ––� 8 
– 2 1 y = 2–2 = ––
4 
1 �– 2; ––�4
– 1 1 y = 2–1 = –– 
2 
1�– 1; ––� 2
0 y = 20 = 1 (0; 1)
1 y = 21 = 2 (1; 2)
2 y = 22 = 4 (2; 4)
3 y = 23 = 8 (3; 8)
f(x) = ax
�2__
1�
x
1
y = �–––�
x
2
(x; y)
– 3
1
y = �–––�
–3
= 8 
2
(– 3; 8)
– 2
1
y = �–––�
–2
= 4 
2
(– 2; 4)
– 1
1
y = �–––�
–1
= 2 
2
(– 1; 2)
0
1
y = �–––�
0
= 1 
2
(0; 1)
1
1 1
y = �–––�
1
= ––
2 2
1 �1; ––� 2 
2
1 1
y = �–––�
2
= –– 
2 4 
1�2; ––� 4
3
1 1
y = �–––�
3
= –– 
2 8 
1 �3; ––� 8 
13ÁlgebraFunção exponencial
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105
Localizamos os pontos obtidos num sistema de coor -
denadas cartesianas.
Demonstra-se que
a) o gráfico da função exponencial está sempre
acima do eixo 
→
Ox, pois ax > 0, ∀x ∈ �;
b) o gráfico da função exponencial sempre intercep -
ta o eixo 
→ 
Oy no ponto (0; 1), pois a0 = 1, ∀a ∈ �*+ – {1};
c) se a > 1, a função exponencial é estritamente
crescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 1;
d) se 0 < a < 1, a função exponencial é estritamente
decrescente e seu gráfico é do tipo do exemplo 2;
e) a função exponencial é sobrejetora, pois o contra -
domínio e o conjunto imagem são, ambos, iguais a �+*;
f) a função exponencial é injetora, pois qualquer
reta horizontal intercepta seu gráfico no máximo uma vez;
g) a função exponencial é, pois, bijetora.
3. Conclusões
a) O gráfico da função exponencial y = ax é do tipo:
b) , pois a função exponen -
cial é injetora.
c) Se a > 1, então , pois a 
função exponencial é estritamente crescente.
d) Se 0 < a < 1, então , pois
a função exponencial é estritamente decrescente.
ax1 = ax2 ⇔ x1 = x2
ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2
ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2
a > 1 0 < a < 1
1. Resolver em � a equação 4x = 32.
Resolução
4x = 32 ⇔ (22)x = 25 ⇔ 22x = 25 ⇔ 2x = 5 ⇔ x =
Resposta: V = 	 
2. Resolver, em �, a equação � �
x
= 27.
Resolução
� �
x 
= 27 ⇔ (3– 1)x = 33 ⇔ 3– x = 33 ⇔ – x = 3 ⇔ x = – 3
Resposta: V = {– 3}
3. Resolver em � a equação �2
3
���4�
x
= 
4
���8 
Resolução
Como 
3
���4 = 
3
����22 = 2 e 
4
���8 = 
4
����23 = 2 , temos:
(2 3���4)
x 
= 
4
���8 ⇔ �2 · 2 �
x 
= 2 ⇔ �2 �
x
= 2 ⇔
⇔ 2 = 2 ⇔
3
___5x = 
4
__3 ⇔ x =
20
___9
Resposta: V = 	 
5x
–––
3
5
–––
2
5
–––
2
1
–––
3
1
–––
3
3––4
2––3
2––3
3––4
5––3
3––4
3––4
9
––––
20
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 105
4. Resolver, em �, a inequação 3x > 81.
Resolução
3x > 81 ⇔ 3x > 34 ⇔ x > 4, pois a base é maior que 1.
Resposta: V = {x ∈ � � x > 4}
5. Resolver, em �, a inequação � �
x
> 
Resolução
� �
x
> ⇔ � �
x
> � �
4
⇔ x < 4, pois a base está entre zero e 1.
Resposta: V = {x ∈ � � x < 4}
6. Esboçar o gráfico da função f de � → �, definida por f(x) = 2x+2.
Resolução
7. Esboçar o gráfico da função g de � → �, definida por g(x) = 2x+2 – 4.
Resolução
Observando a questão anterior, temos: g(x) = f(x) – 4
Logo,
8. (UNICAMP) – O decaimento radioativo do estrôn cio 90 é
descrito pela função P(t) = P0 · 2–bt, em que t é um instante de
tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a
concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no
instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade
em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos,
determine o valor da constante b.
Resolução
Se a meia vida do estrôncio 90 é 29 anos, de acordo com a
função dada,resulta
P0 · 2–b · 29 = P0 ⇔ 2–29b = 2–1 ⇔ b = 
Respostas: b = 
9. (UNICAMP) – O sistema de ar condicionado de um ônibus que -
brou durante uma viagem. A função que descreve a tem pe ratura
(em graus Celsius) no interior do ônibus em fun ção de t, o tempo
transcorrido, em horas, desde a quebra do ar con dicio nado, é 
T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text, em que T0 é a temperatura interna
do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a tempera -
tura externa (que supomos constante durante toda a viagem).
Sabendo que T0 = 21°C e Text = 30°C, calcule a temperatura no
interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do
sistema de ar condicionado. Em seguida, esboçe abaixo o gráfico
de T(t).
Resolução
De acordo com o enunciado, temos, para a tempe ratura T em °C:
T(t) = (T0 – Text) · 10 + Text ⇔
⇔ T(t) = (21 – 30) · 10 + 30 ⇔ T(t) = 30 – 9 · 10
Assim, para t = 4, tem-se:
⇔ T(4) = 30 – 9 · 10 ⇔ T(4) = 30 – 9 · 10–1 ⇔
⇔ T(4) = 30 – 0,9 ⇔ T(4) = 29,1
O gráfico de T em função de t é o seguinte:
Resposta: 29,1°C 
t
– ––
4
t
– ––
4
t
– ––
4
t
– ––
4
1
––––
29
1
–––
2
1
––
4
1
––––
256
1
––
4
1
––––
256
1
––
4
1
––
4
1
–––
29
x f(x)
– 4
1
––
4
– 3
1
–– 
2
– 2 1
– 1 2
0 4
106
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107
10. (UNESP) – A figura descreve o gráfico de uma função
exponencial do tipo y = ax, de � em �.
Nessa função, o valor de y para x = – 0,5 é igual a
a) log 5 b) log52 c) ���5 d) log25 e) 2,5
11. O gráfico abaixo lado representa a função y = ax + b. Então, a + b
é igual a:
a) – 2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 0
12. (MATO GROSSO DO SUL) – Dada a função y = f(x) = ax, com 
a > 0, a � 1, determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ções) verdadeira(s).
01.O domínio da função f é �.
02.A função f é crescente em seu domínio quando 0 < a < 1.
04.Se a = 2, então f(–1) = .
08.O gráfico de f passa pelo ponto P(0; 1).
16.Se a = e f(x) = 243, então x = – 81.
13. As funções y = ax e y = bx, com a > 0 e b > 0 e a � b, têm
gráficos que se interceptam em
a) nenhum ponto. b) 2 pontos. c) 4 pontos.
d) 1 ponto. e) infinitos pontos.
14. (UNICID) – Se f(x) = 3x – 1, então o conjunto imagem de f(x) é:
a) Im = [1, ∞) b) Im = ]1, ∞)
c) Im = ]0, ∞) d) Im = [–1, ∞)
e) Im = ]–1, ∞)
15. (FATEC ) – Leia a notícia. 
“O número de deslocamentos de pessoas entre cidades paulistas
dobrou em uma década, enquanto o crescimento populacional foi
de 1 % ao ano. A pesquisa obtida pelo Estado considera viagens
feitas por maiores de 15 anos na macrometrópole paulista – 173
municípios entre a Baixada Santista e o Vale do Paraíba, passando
por São Paulo, Campinas e São José dos Campos.”
(Tiago Dantas, Estado de São Paulo, 27.02.2013. Adaptado) 
A notícia revela um fenômeno social chamado migração pendular,
que ocorre quando pessoas se deslocam entre diferentes cidades
diariamente para trabalhar ou estudar. 
Suponha que, nos próximos anos, o número de desloca mentos
de pessoas entre cidades paulistas continue dobrando a cada dé -
cada e que o crescimento popula cional continue aumentando à
taxa de 1% ao ano. 
Com base nessas suposições, podemos afirmar correta mente
que 
a) o crescimento dos deslocamentos será linear, enquanto o
cres cimento populacional será exponencial. 
b) o crescimento dos deslocamentos será logarítmico, enquanto
o crescimento populacional será linear. 
c) o crescimento dos deslocamentos será exponencial, enquanto
o crescimento populacional será linear. 
d) tanto o crescimento dos deslocamentos quanto o crescimento
populacional serão exponenciais. 
e) tanto o crescimento dos deslocamentos quanto o crescimento
populacional serão lineares. 
16. (PUC) – Num mesmo instante, são anotadas as populações de
duas culturas de bactérias: P1, com 32 000 elementos, e P2, com
12,5% da população de P1. Supondo que o número de bactérias
de P1 dobra a cada 30 minutos enquanto o de P2 dobra a cada 15
minutos, quanto tempo teria decorrido até que as duas culturas
igualassem suas quantidades de bactérias?
a) 2 horas e 30 minutos. b) 2 horas.
c) 1 hora e 45 minutos. d) 1 hora e 30 minutos.
e) 1 hora.
17. (FATEC) – Na figura abaixo, os pontos A e B são as intersecções
dos gráficos das funções f e g.
Se g(x) = (���2 )x, então f(10) é igual a
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9
1
–––
2
1
–––
3
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18. (FIC/FACEM) – A produção de uma indústria vem diminuindo
ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu
principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a
lei y = 1000 · (0,9)x. O número de unidades produzidas no
segundo ano desse período recessivo foi de:
a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90
Utilize as informações a seguir para a questão 19.
Informação I
A figura a seguir exibe parte do gráfico da função f(x) = log0,85 x,
cujo domínio é {x ∈ � � 0 < x � 0,85}.
Observação: foram utilizadas escalas diferentes nos dois eixos
para facilitar a visualização do gráfico.
Informação II
Um carro, que no ato da compra vale R$ 40.000,00, tem uma
desvalorização de 15% ao ano. Ou seja, após um ano, o carro
tem, a cada instante, um valor 15% menor do que o valor que
tinha exatamente um ano antes.
19. (INSPER) – Passados 20 anos, o carro valerá cerca de
a) R$ 600,00. b) R$ 1.600,00.
c) R$ 6.000,00. d) R$ 16.000,00.
e) R$ 25.000,00.
20. (INSPER) – Pretendendo oferecer cursos extras aos seus alunos
fora do período de aulas, a coordenação de uma escola fez um
levantamento do interesse dos pais por esses cursos depen -
dendo do valor cobrado por eles. O resultado da pesquisa é
mostrado no gráfico a seguir, em que p e x representam, respec -
tivamente, o percentual de alunos que se matricularia em algum
curso extra e o preço, em reais, cobrado por curso.
Entre as equações abaixo, a única que poderia repre sentar a
relação entre p e x descrita pelo gráfico é
a) p = 60 – b) p = 60 – 
c) p = 60 · (0,9) d) p = 60 + log1,5 (10x + 1)
e) p = 60 · cos 
21. (FUVEST)
a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de
f(x) = 2x e g(x) = 2x.
b) Baseado nos gráficos da parte a), resolva a inequação 2x � 2x.
c) Qual é o maior: 2���2 ou 2���2? Justifique brevemente sua
resposta.
22. (MACKENZIE) – Considere a equação 2x2 · 4x – 2 = , a ∈ �, 
cujas raízes têm soma e produto iguais. O valor de a é:
a) – 3 b) – 2 c) 1 d) – 1 e) 3
23. (U.E.FEIRA DE SANTANA) – O produto das soluções da
equação (43 – x) 2 – x = 1 é
a) 0 b) 1 c) 4 d) 5 e) 6
24. (MACKENZIE) – Dadas as funções 
f(x) = 2x2 – 4 e g(x) = 4x2 – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é
a) b) 1 c) 8 d) 4 e)
25. (FGV) – Se é a fração irredutível que é solução da equação 
exponencial 9x – 9x–1 = 1944, então, m – n é igual a
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
26. (MAUÁ) – Resolver o sistema: 
1
–––
4
x
–––
6
x2
––––––
2000
X––10
πx
––––
600 ��
m
–––
n
1
–––––
2ax – 1
1
–––
2
52x + 3y = 5
3x + y = 1	
108
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27. (UNESP) – Dado o sistema de equações em � × �:
a) Encontre o conjunto verdade.
b) Faça o quociente da equação (2) pela equação (1) e resolva a
equação resultante para encontrar uma solução numérica
para y, supondo x � 1.
28. (FURG) – Sejam f(x) = 3x–1, g(x) = 3x e s(x) = f(x) + g(x). O valor
de x tal que s(x) = 4 é:
a) –1 b) 3 c) 0 d) 2 e) 1
29. (UNESP) – Em relação à desigualdade: 3x2 – 5x + 7 < 3,
a) encontre os valores de x, no conjunto dos reais, que satis -
façam essa desigualdade;
b) encontre a solução da desigualdade para valores de x no con -
junto dos inteiros.
30. O conjunto solução da inequação
(2x – 3)
� é:
a) x ∈ � � x < b) {x ∈ � � x < – 2}
c) {x ∈ � � x > 2} d) {x ∈ � � – 2 < x < – 1}
e) x ∈ � � – < x < 2
31. O domínio da função real y = é:
a) {x ∈ � � x � – 2 ou x � 2} b) {x ∈ � � x � 2}
c) {x ∈ � � – 2 � x � 2} d) {x∈ � � x � – 2}
e) {x ∈ � � x � – 2}
32. (PUCCAMP) – Considere a sentença a2x+3 > a8, na qual x é uma
variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é
verdadeira se, por exemplo,
a) x= 3 e a = 1 b) x = – 3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1
d) x = – 2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1
33. (UNICAMP) – A função L(x) = aebx fornece o nível de iluminação,
em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo
que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 
60 lu xes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 
30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a dis -
tância entre a lâmpada e esse objeto.
34. (UNESP) – Dada a inequação 
(3x/2)x – 1 �
x – 3
, o conjunto verdade V, considerando o
conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por
a) V = {x ∈ � � x � – 3 ou x � 2}.
b) V = {x ∈ � � x � – 3 e x � 2}.
c) V = {x ∈ � � – 3 � x � 2}.
d) V = {x ∈ � � x � – 3}.
e) V = {x ∈ � � x � 2}.
35. (FGV) – Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação
tal que, após t meses, o montante relativo ao capital aplicado é
dado por M(t)= C · 20,04t, em que C > 0. O menor tempo possível
para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de
aplicação é
a) 5 meses. b) 2 anos e 6 meses.
c) 4 anos e 2 meses. d) 6 anos e 4 meses.
e) 8 anos e 5 meses.
36. (FGV) – Um computador desvaloriza-se ex ponen cialmente em
função do tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, será
y = A · kx, em que A e k são constantes positivas.
Se hoje o computador vale R$ 5 000,00 e valerá a me tade desse
valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será:
a) R$ 625,00 b) R$ 550,00 c) R$ 575,00
d) R$ 600,00 e) R$ 650,00
37. (MACKENZIE) – O menor valor assumido pela função 
g(x) = 
(2 – x2)
é
a) 8 b) 4 c) d) e)
38. (FGV) – Os gráficos das funções exponenciais g e h são simé -
tricos em relação à reta y = 0, como mostra a fi gura:
Sendo g(x) = a + b · cx e h(x) = d + e · fx, a soma 
a + b + c + d + e + f é igual a
a) 0 b) c) d) 8 e) 9 
39. (UEG) – Certa substância radioativa desintegra-se de modo que,
decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desin -
tegrada da substância é S = S0 · 2– 0,25t, em que S0 representa a
quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t
para que a metade da quantidade inicial se desintegre? 
40. (MACKENZIE) – Sejam
f : � → � e g : � → � funções definidas por
f(x) = e g(x) = . Então, podemos afirmar
que
a) f é crescente e g é decrescente.
b) f e g se interceptam em x = 0.
c) f(0) = – g(0).
d) [f(x)]2 – [g(x)]2 = 1.
e) f(x) � 0 e g(x) � 0, ∀x ∈ �.
1
–––
5�
1
–––
5�
3
–––
2	
5
(1,4)
x2–5
– –––
7
�3–––9�
�1–––2�
1
–––
2
(4x)y = 16 (1)
4x4y = 64 (2)	
	 
3–––2
1
–––
4
1
–––
8
10
–––
3
7
–––
3
2x – 2–x
–––––––––
2
2x + 2–x
–––––––––
2
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41. (PUC) – Considere as seguintes afirmações:
I. Para todo número real n, tem-se: < 8.
II. Se N = 27 – 0,777... ÷ , então log4 N = 1,5.
III. Efetuando-se 
4
���������� 8 + 4���3 × 
4
���������� 8 – 4���3 , obtém-se um
número primo. 
Relativamente a essas afirmações, é correto afirmar que:
a) I, II e III são verdadeiras.
b) apenas II e III são verdadeiras.
c) apenas I e II são verdadeiras.
d) apenas uma é verdadeira.
e) I, II e III são falsas.
42. (UEL) – Leia o texto a seguir.
Câncer é essencialmente caracterizado pelo crescimento desor -
denado de células que invadem órgãos e tecidos, sendo con -
siderado atualmente um sério problema de saúde pública
mundial. Sabe-se que as células tumorais competem entre si por
recursos vitais e oxigênio. Um modelo de crescimento tumoral é
descrito pela função
N(t) = ,
que determina, a cada instante t, a população de células can -
cerígenas sendo que r é a constante de crescimento intrínseca
dessas células, N0 é a população inicial de células tumorais e K é
a maior quantidade de células que um tumor maligno pode atingir
com os nutrientes disponíveis.
(Adaptado de: RODRIGUES, D. S. Modelagem Matemática em
Câncer: dinâmica angiogênica e quimioterapia antineoplásica.
Dissertação de Mestrado. Universidade Paulista 
“Júlio de Mesquita Filho”, 2011. p.13.)
A partir dessas informações, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às
afirmativas a seguir.
( ) Se t = 0, então N(t) = N0.
( ) K pode assumir valores negativos.
( ) N0 é sempre maior que K.
( ) Se N0 = K, então N(t) = K.
( ) Quando t cresce ilimitadamente, (2,7)−rt se aproxima de 0
(zero) e N(t) é aproximadamente K.
Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequên -
cia correta.
a) V, V, F, F, F. b) V, F, V, F, F. c) V, F, F, V, V.
d) F, V, V, F, V. e) F, F, V, V, F.
43. (UEL) – A mitose é uma divisão celular, na qual uma célula duplica
o seu conteúdo, dividindo-se em duas, ditas células-filhas. Cada
uma destas células-filhas se divide, dando origem a outras duas,
totalizando quatro células-filhas e, assim, o processo continua
repetindo-se sucessivamente.
Assinale a alternativa que corresponde, corretamente, à função
que representa o processo da mitose.
a) f : � → �, dada por f(x) = x2
b) f : � → �, dada por f(x) = 2x
c) f : �* → �, dada por f(x) = 2x
d) f : �+ → �+, dada por f(x) = 2x
e) f : �+ → �+, dada por f(x) = 2x
44. (INSPER) – O gráfico a seguir representa a quantidade diária de
pessoas (q) atendidas em um hospital público com os sintomas
de um novo tipo de gripe, a gripe X, em função do tempo (t), em
meses, desde que se iniciou um programa de vacinação para
este tipo de gripe na cidade do hospital.
Das funções a seguir, aquela que melhor representa a relação
proposta no gráfico é
a) q(t) = 1000 · 2 . 
b) q(t) = 500 · 2−3t.
c) q(t) = 1000 · 2 . 
d) q(t) = 500 · log2(3t).
e) q(t) = 1000 · log2 .
1– ––t
3
� 1––t3
1
––t
3
�
7n – 2 + 7n – 1
–––––––––––––
7n – 2 – 7n – 3
5
––––
18
�1––3�
����
K
––––––––––––––––––––––
K
1 + �––– – 1� · (2,7)–rtN0
110
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111
10)C 11)E 12) 13 13) D
14)E 15)D 16) D 17) C
18)D 19)B 20) C
21)a) 
b) {x ∈ � � 1 � x � 2}
c) 2���2 < 2���2 , pois no gráfico OA < OB
22) E 23) E 24) D
25) D 26) V = {(– 1; 1)}
27) a) V = {(1; 2), (2; 1)} b) y = 1
28) E 29) a) ]2; 3[ b) Ø
30) C 31) A 32) D
33) a) a = 120 34) A 35) C 
b = – loge2
b) 3 m
36) A 37) D 38) D
39) 4 anos 40) D 41) B
42) C 43) C 44) A
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112
1. Introdução
A palavra trigonometria significa, em grego,
“medida dos triângulos” e é a parte da Matemática que
tinha como objetivo inicial o cálculo dos elementos de
um triângulo (lados e ângulos).
Atualmente, a trigonometria não se limita a estudar
somente os triângulos, encontramos suas aplicações em
campos de atividades como Engenharia, Astronomia,
Ele tricidade, Acústica, Topografia, que dificilmente lem -
bram os triângulos que originaram a trigonometria.
2. Funções trigonométricas 
no triângulo retângulo
Funções trigonométricas 
de um ângulo agudo
Consideremos um triângulo ABC, reto em Â. Os
outros dois ângulos, B̂ e Ĉ, são agudos e complemen tares 
( B̂ + Ĉ = 90°).
A origem da Trigonometria
A palavra trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida). 
Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. 
O início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela
Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível
encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na
tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322. 
Papiro de Rhind, Museu de Londres Plimpton 322
1TrigonometriaFunções trigonométricas no triângulo retângulo
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 112
113
Para ângulos agudos, temos as seguintes defini ções
das funções trigonométricas:
A partir dessas definições, no triângulo retângulo da
figura, temos:
Observando que
concluímos que as cofunções de ângulos com ple -
mentares são iguais.
3. Valores Notáveis
A partir de triângulos retângulos convenientes, as
definiçõesde seno, cosseno e tangente permitem a obtenção
do seguinte quadro de valores notáveis (deco re-os).
A seguir, temos a obtenção de alguns valores dessa
tabela.
No triân gulo equilátero de lado �, a altura vale 
h = , assim:
sen 30° = =
cos 30° = =
cateto oposto
seno = –––––––––––––
hipotenusa
cateto adjacente
cosseno = ––––––––––––––––
hipotenusa
cateto oposto
tangente = ––––––––––––––––
cateto adjacente
cateto adjacente
cotangente = ––––––––––––––––
cateto oposto
hipotenusa
secante = –––––––––––––––––
cateto adjacente
hipotenusa
cossecante = ––––––––––––– 
cateto oposto 
x sen x cos x tg x
30°
1
–––
2
���3
–––– 
2
���3
––––
3
45°
���2
––––
2
���2
––––
2
1
60°
���3
––––
2
1
–––
2
���3
sen B = cos C
cos B = sen C
tg B = cotg C
cotg B = tg C
sec B = cossec C
cossec B = sec C
b
sen B = –––
a
c
sen C = –––
a
c
cos B = –––
a
b
cos C = –––
a
b
tg B = –––
c
c
tg C = –––
b
c
cotg B = –––
b
b
cotg C = –––
c
a
sec B = –––
c
a
sec C = –––
b
a
cossec B = –––
b
a 
cossec C = –––
c
� · �
3–––––––
2
1––
2
�
–––
2––––
�
�
3–––
2
� �
3
––––
2–––––––
�
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114
tg 30° = = =
sen 60° = =
cos 60° = =
tg 60° = = �
3
Seja um quadrado de lado �, então d = � · �
2 é a
medida da diagonal, assim:
sen 45° = = =
cos 45° = = =
tg 45° = = 1
1–––
�
3
�
3–––
3
�
–––
2
–––––––
� �
3
–––––
2
� �
3
–––––
2–––––––
�
�
3–––
2
�–––
�
�
–––––
� �
2
1
––––
�
2
�
2––––
2
�
––––––
� �
2
1
––––
�
2
�
2––––
2
� �
3
–––––
2–––––––
�
–––
2
1––
2
�
–––
2––––––
�
1. No triângulo retângulo da figura, calcular a medida do lado AB.
Resolução
Dados: 10(hipotenusa) e x(cateto oposto ao ângulo de 30°), 
temos: sen 30° = ⇒ = ⇔ x = 5
Resposta: 5
2. Calcular a medida do lado AC, do triângulo ABC, sabendo que o
cosseno do ângulo α é .
Resolução
Dados: 15(hipotenusa) e x(cateto adjacente ao ângulo α), temos:
cos α = ⇒ = ⇔ x = 10
Resposta: 10
3. Determinar a altura do edifício da figura abaixo.
Resolução
Dados: H(cateto oposto ao ângulo de 60°) e 100(cateto adjacente
ao ângulo de 60°), temos:
tg 60° = ⇒ ���3 = ⇔ H = 100 · ���3 m
Resposta: 100 · ���3 m
x
––––
15
2
–––
3
x
–––
15
2
–––
3
x
––––
10
1
–––
2
x
–––
10
H
––––
100
H
––––
100
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115
4. Para determinar a altura de uma montanha, um topógrafo
colocou-se com seu teodolito a 300 m da montanha. Posicionou
o aparelho, que lhe forneceu a medida do ângulo de visada de
parte do morro, igual a 60o. 
Sabendo que o teodolito tem altura de 1,60 m, o topógrafo pode
determinar a altura da montanha. Adotando ���3 = 1,7, a altura
deter minada é:
a) 510 m b) 420 m c) 511,6 m 
d) 421,6 m e) 610 m 
Resolução
No triângulo OAB, retângulo em A, temos:
tg 60°= ⇒ ���3 = ⇒ AB = 300· ���3 = 300 · 1,7 = 510 m.
O topógrafo conclui que a montanha tem 510 + 1,6 = 511,6 m de
altura.
Resposta: C
5. Durante um vendaval, um poste de iluminação quebrou-se em
um ponto à certa altura do solo. A parte do poste aci ma da fratura
in cli nou-se e sua extremi dade su pe rior encostou no solo a uma
distância de 4 m da base dele e formando um ân gulo de 50° com
o solo. De ter minar a altura do pos te.
Dados: 
sen 50° = 0,77, cos 50° = 0,64 e tg 50° = 1,20.
a) 10,35 m b) 11,35 m c) 10,05 m
d) 13,17 m e) 11,05 m
Resolução
A partir do enunciado e da figura ao lado, temos:
1.o) tg 50° = ⇒ 1,20 = ⇒ x = 4,8 m
2.o) cos 50° = ⇒ 0,64 = ⇒ y = 6,25 m
A altura do poste será: H = x + y = 4,8 + 6,25 = 11,05 m
Resposta: E
6. Um avião levanta voo de um aeroporto A, e sobe fazendo um
ângulo constante de 15° com a horizontal. Determinar a altura e
qual a distância percorrida aproxima damente (em metros)
quando passar pela vertical que passa por um prédio situado a 2
quilômetros do ponto de partida. São dados: sen 15° = 0,26 e 
tg 15° = 0,27.
a) 270 e 2077 b) 540 e 4152
c) 270 e 1034 d) 540 e 2077
e) 540 e 1034
Resolução
a) Cálculo da altura (em relação ao solo):
tg 15° = ⇒ 0,27 = ⇒ h = 540 m
b) Cálculo da distância percorrida:
sen 15° = ⇒ 0,26 = ⇒ d = ⇒ d � 2077 m
Resposta: D
AB
––––
300
AB
––––
OA
x
––
4
x
––
4
4
––
y
4
––
y
h
–––––
2000
h
–––––
2000
540
–––––
0,26
540
––––
d
h
–––
d
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116
7. As torres Puerta de Europa são duas torres incli -
nadas uma contra a outra, construídas numa
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das
torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura
de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB).
Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base
quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. 
Disponível em: www.fickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e
duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da
base desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que 100 m2.
b) entre 100 m2 e 300 m2.
c) entre 300 m2 e 500 m2.
d) entre 500 m2 e 700 m2.
e) maior que 700 m2.
Resolução
Admitindo-se que o ponto B seja um dos vértices do qua drado
(BCDE) da base, no triângulo ABC, retângulo em B, temos, em
metros:
tg 15° = = ⇔ BC = 0,26 . 114 = 29,64
Assim, a área S do quadrado BCDE, em metros quadrados, é tal
que S = BC2 = (29,64)2 � 878,53.
Resposta: E
8. Com o auxilio de um transferidor, marcou-se um ângulo de 35o,
numa folha de papel, conforme representação abaixo, e em
seguida obtiveram-se as medidas aproximadas dos segmentos 
AA’ = 1,02 cm, BB’ = 3,05 cm e CC’ = 3,56 cm, e também dos
segmentos OA = 1,52 cm, OB = 4,06 cm e OC = 4,83 cm.
Sabendo que a tangente de um ân gulo é calculada pela razão en -
tre a medida do cateto opos to e a me dida do cateto adjacen te,
calcu lou-se o valor da tan gen te do ângulo 35o.
O valor aproximado mais re pre sen tativo de tg 35o é:
a) 0,72 b) 0,75 c) 0,83 d) 0,65 e) 0,87 
Resolução
A partir da definição de tangente, num triângulo retângulo, pode -
mos obter:
1.o Δ OAA’: tg 35o = = � 0,67
2.o Δ OBB’: tg 35o = = � 0,75
3.o Δ OCC’: tg 35o = = � 0,74
Com os valores obtidos, o valor mais representativo é o da média
aritmética, assim: tg 35o = = 0,72
Resposta: A
BC
––––
AB
BC
–––––
114
AA’
––––
OA
1,02
–––––
1,52
BB’
––––
OB
3,05
–––––
4,06
CC’
––––
OC
3,56
–––––
4,83
0,67 + 0,75 + 0,74
––––––––––––––––––
3
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4. Relações fundamentais e
auxiliares
Seja x um ângulo agudo num triângulo retângulo. De
acordo com as definições das funções trigono mé tricas,
podemos verificar as seguintes relações funda mentais:
F. 1)
�
F. 2)
F. 3)
F. 4)
F. 5)
Além das relações fundamentais, podemos verificar,
também, as seguintes relações auxiliares:
A. 1)
A. 2)
As demonstrações dessas relações são apresentadas
na sequência:
Seja o triângulo retângulo ABC e x um de seus ân -
gu los agudos.
 sen x = ⇔ b = a · sen x 
cos x = ⇔ c = a · cos x 
Sendo a2 = b2 + c2 (T. de Pitágoras), temos: 
a2 = (a · sen x)2 + (a · cos x)2 ⇔
⇔ a2 = a2 · sen2x + a2 · cos2x ⇔
⇔ (F. 1)
 sen x = , cos x = e tg x = 
Então, = = = tg x, portanto
(F. 2)
 sen x = , cos x = , tg x = e cotg x = 
Então, = = = cotg x, portanto
(F. 3)
 sec x = e cos x = 
Então, sec x = ⇔ sec x = ⇔
⇔ (F. 4)
 cossec x = e sen x = 
Então, cossec x = ⇔ cossec x = ⇔
⇔ (F. 5)
Nota: as relações trigonométricas serão válidas
para outros ângulos (mesmo que não sejam
agudos), desde que as funções trigonométricas
estejam defini das para esses ângulos.
b–––a
c–––a
b
–––
c
c
–––
a
b
–––
a
b–––c
b/a
––––
c/a
sen x
––––––
cos x
c
––
b
b
––
c
c
––
a
b
––
a
c–––
b
c/a––––
b/a
cos x––––––sen x
c
––
a
a
––
c
1
––––
c/a
a
––
c
b
––
a
a
––
b
sen2x + cos2x = 1
sen2x = 1 – cos2x
sen x
tg x = –––––––
cos x
cos2x = 1 – sen2x
1 cos x
cotg x = ––––– = ––––––
tg x sen x
cossec2x = 1 + cotg2x
1
cossec x = ––––––
sen x
1
––––
b/a
a
––
b
sec2x = 1 + tg2x
sen x tg x = ––––––cos x 
sen2x + cos2x = 1
cos x 1 
cotg x = –––––– = –––––
sen x tg x
1
sec x = ––––––
cos x
1
sec x = ––––––
cos x
1
cossec x = ––––––
sen x
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 De (F. 1), (F. 2) e (F. 4), temos:
sec2x = ( )2 = = =
= 1 + = 1 + tg2x, portanto 
(A. 1)
 De (F. 1), (F. 3) e (F. 5), temos:
cossec2x = ( )2 = =
= = 1 + =
= 1 + cotg2x, portanto
(A. 2)
cos2x–––––––
sen2x
sen2x + cos2x
–––––––––––––
sen2x
1––––––
sen2x
1––––––
sen x
sen2x
–––––––
cos2x
cos2x + sen2x–––––––––––––
cos2x
1–––––
cos2x
1–––––cos x
cossec2x = 1 + cotg2x
sec2x = 1 + tg2x
9. Sabendo que x é um ângulo agudo e sen x = , obter cos x.
Resolução
cos2x = 1 – sen2x ⇒ cos2x = 1 – � �
2
⇔
⇔ cos2x = e cos x = 
Resposta: 
10. Determinar y = , sabendo que x é um ângulo 
agudo e tg x = 3.
Resolução
y = = =
= = = = tg3x
Então: y = 33 = 27
Resposta: 27
11. Uma prefeitura pretende asfaltar um ca mi nho, em uma região
plana, desde um ponto inicial P até um monu mento de 30 metros
de altura, ao custo de R$ 50,00 o metro quadrado. Do ponto P ao
topo do monumento, foi determinado um ângulo de inclinação θ
com o plano desse caminho. Sabendo que sen θ = , cos θ =
e que o caminho deve ter 2 metros de largura, calcular o valor do
menor custo dessa obra.
a) R$ 2 000,00 b) R$ 4 000,00
c) R$ 1 000,00 d) R$ 40 000,00
e) R$ 20 000,00
Resolução
O menor custo da obra será obtido quando, do ponto inicial P ao
monumento, o caminho for representado por um segmento de
reta, conforme figura abaixo.
Sendo sen θ = 3/5 e cos θ = 4/5, temos:
tg θ = = 
Portanto, na figura, temos: tg θ = = ⇒ x = 40 m 
O custo da obra, com 2 m de largura e R$ 50,00 o metro qua -
drado, resulta: C = 2 · 40 · R$ 50,00 = R$ 4 000,00
Resposta: B
12. Simplificar: y = (1 + tg x)2 + (1 – tg x)2, para 0° < x < 90°.
Resolução
y = (1 + tg x)2 + (1 – tg x)2 =
= 1 + 2 · tg x + tg2x + 1 – 2 · tg x + tg2x =
= 2 + 2 · tg2x = 2 · (1 + tg2x) = 2 · sec2x
Resposta: 2 · sec2x
30
–––
x
3
––
4
3
––
4
3
–––
5––––
4
–––
5
4
––
5
3
––
5
1
cos x – ––––––
cos x
–––––––––––––––––
1
sen x – ––––––
sen x
cos x – sec x
–––––––––––––––––
sen x – cossec x
sen3x
––––––––
cos3x
sen2x
– –––––––
cos x
–––––––––––––
cos2x
– –––––––
sen x
cos2x – 1
––––––––––
cos x
–––––––––––––
sen2x – 1
––––––––––
sen x
cos x – sec x
–––––––––––––––––
sen x – cossec x
2 · ���2
–––––––
3
2 · ���2
–––––––
3
8
––
9
1
––
3
1
––
3
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119
13. Um volume é lançado de um avião que está a 3 km de altitude.
Devido à veloci dade do avião e à ação do vento, o volume cai
segun do uma reta que forma um ângulo de 25° com a ver tical. 
Que distância, aproxi mada mente, d, me dida no solo, esse
volume percor reu?
Dado: sen 25° = 0,42
a) 1,38 km b) 1,08 km c) 2,13 km
d) 1,75 km e) 0,98 km
Resolução
tg 25° = ⇒ d = 3 · tg 25°
Se sen 25° = 0,42 e sen225° + cos225° = 1,
então, cos 25° = ����������������� 1 – sen2 25° = ��������������� 1 – (0,42)2 � 0,91 
Logo: tg 25° = = � 0,46
Então, d = 3 · 0,46 ⇒ d = 1,38 km
Resposta: A
14. Num triângulo ABC, retângulo em 
^
A, verificar que
tg B · tg C = tg 
Resolução
^
A = 90° ⇒ ^B + ^C = 90° ⇒ tg C = cotg B = 
Então, temos que
1.o membro = tg B · tg C = tg B · = 1
2.o membro = tg = tg 45° = 1
Portanto, está verificado que tg B · tg C = tg
1
––––––
tg B
1
––––––
tg B
�B + C–––––––2�
d
––
3
sen 25°
––––––––
cos 25°
0,42
––––––
0,91
�B + C–––––––2�
�B + C–––––––2�
15. Na figura abaixo, determinar sen B, cos B, tg B, sen C, cos C e 
tg C.
16. Calcular o valor de x na figura, sabendo que sen α = .
17. Determinar o valor de x na figura, sabendo que cos α = 0,8.
18 . (UNA) – Considere o triângulo retângulo representado na figura,
na qual AB = 3 e AC = 4.
O valor de cos 
^
C é
a) b) c) d) e)
19. Num triângulo retângulo, de hipotenusa igual a 6 e um dos ângu -
los agudos igual a 30°, determinar os dois catetos.
20. Nos triângulos retângulos das figuras seguintes, calcule a medida
x indicada.
2
–––
3
3
–––
4
5
–––
4
5
–––
3
3
–––
5
4
–––
5
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21. Calcular a medida da altura de um triângulo equilátero de 6 cm de
lado (usando funções trigonométricas).
22. Um barco avista a torre de um farol segundo um ângulo de 6°.
Sabendo que a altura do farol é 42 m, determinar a distância do
barco ao farol. Dado: tg 6° = 0,105. 
23. Um observador O mede a distância que o separa de um avião V
e encontra 3000 m. Sabendo que a linha OV forma com a
horizontal um ângulo de 42°, determinar a altura que se encontra
o avião no instante da observação. Dado: sen 42° = 0,67 (des -
prezar a altura do observador).
24. Um foguete é lançado sob um ângulo constante de 30°. Quantos
me tros terá percorrido, em linha reta, quando atingir a altura de 
3 km?
25. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 5 m do
solo, forma com essa parede um ângulo de 30°. Qual é o com -
primento da escada, em metros?
26. Quando o Sol está a 30° aci ma do horizonte (ver fi gura), a sombra
de um edifício de 80 m de altura tem qual compri mento?
a) 136 m b) 175 m c) 165 m d) 68 m e) 113 m
27. (USF) – Sobre uma rampa plana de 3,5 m de comprimento e incli -
nação α, como mostra a figura, será construída uma escada com
7 degraus, todos de mesma altura.
Se cos α = , então a altura de cada degrau, em cm, é
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
28. (FUVEST) – Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em
8 andares, conforme indica a figura. O edifício foi feito em um
terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede � graus. A
altura de cada sala é 3 m, a extensão 10 m, e a altura da pilastra
de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6 m.
Usando os dados da tabela, a melhor aproximação inteira para 
� é
a) 4° b) 5° c) 6° d) 7° e) 8°
29. (UEL) – Analise a figura a seguir.
A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o
poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas, a
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou normas
para acessibilidade arquitetônica e urbanística. Entre elas estão
as de construção de rampas de acesso, cuja inclinação com o
plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. Uma inclinação de
5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a
rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas
não respeitam essas normas, gerando percursos longos em
inclina ções exageradas. Conforme a figura, observou-se uma
rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da
rampa igual a 2 metros.
Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da ABNT,
com inclinação de 5%, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, a diferença de comprimento dessas rampas, em
metros.
a) 5 b) 20 c) 2 + 
d) �����401 − 2 e) ������4,01 + 
4
–––
5
1
–––
20
1
–––
20
120
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30. (FAMERP) – No caminho de ida de sua casa (C) para a escola (E),
Laura passa pela farmácia (F), pela padaria (P), e depois segue
para a escola, como indica a figura 1.
Na volta da escola para casa, Laura passa pelo mercado (M), pela
padaria (P), e depois segue para casa (C), como indica a figura 2.
Os caminhos de ida e de volta são formados por seg mentos de
retas, sendo que a farmácia, a padaria e o mercado estão em
uma mesma avenida reta e plana. Considerando CF = FP = 4 km, 
PE = 2 km, ���2 = 1,4 e ���3 = 1,7, o caminho de Laura de casa à
escola na ida superou o de volta em
a) 1,7 km. b) 2,3 km. c) 1,2 km.
d) 2,0 km. e) 0,9 km.
31. Determine x e y na figura.
32. (F.CARLOS CHAGAS) – Uma pessoa de 1,70 m de altura
observa o topo de uma árvore sob um ângulo α. Conhecendo a
distância a do observador até a árvore, determinar a altura da
árvore.
33. (MACKENZIE) – Na figura abaixo, determinar o valor de AB.
34. (FUVEST) – Calcular x indicado na figura.
35. Determinar, na figura, a medida do segmento BD.
36. (UEL) – Para todo número real x, tal que 0 < x < , aexpressão 
é equivalente a
a) (sen x) · (cotg x) b) (sec x) · (cotg x)
c) (cos x) · (tg x) d) (sec x) · (tg x)
e) (sen x) · (tg x)
37. (SANTA CASA) – Seja a função f definida por 
f(x) = sen x + cos x + cotg x + cossec x – tg x – sec x, 
∀x � e k ∈ �
O valor de f(60°) é
a) b) c)
d) ���3 + 1 e) ���3 – 3
38. Sendo cos x = , calcular y = .
π
–––
2
sec x + tg x
–––––––––––––
cos x + cotg x
kπ
–––
2
���3
–––––
2
���3 – 3
–––––––
2
���3 + 3
–––––––
2
cossec x – sec x
––––––––––––––––
cotg x – 1
1
–––
3
121
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39. Sendo tg a = , calcular y = .
40. (UNIP) – Se sen x = e 0 < x < , então o valor de 
cos4x – sen4x será
a) b) c) d) e)
41. (UNESP) – Se x, y são números reais tais que
y = , então
a) y = sec2x b) y = tg2x c) y = cos2x
d) y = cossec2 x e) y = sen2x
42. Calcular o valor da expressão:
+ 
43. Simplificar a expressão: 
44. Simplificar a expressão: + 
45. Simplificar a expressão: 
46. Analisar se cada frase é verdadeira (V) ou falsa (F).
1) Se os lados de um triângulo retângulo dobram, triplicam, ...
então os valores das funções trigonométricas de um ângulo
agudo desse triângulo dobram, triplicam, ...
2) Se a + b = 90°, então tg a · tg b = 1
3) tg 41° · tg 42° · tg 43° · … · tg 49° = 1
4) Se sen a + cos a = ���2, então sen a · cos a = 
5) = 1 + tg2a
47. (MED.SANTOS) – Sendo sen a + cos a = m, então sen a · cos a
é igual a
a) b) c)
d) e)
48. (UNESP) – Sejam A, B e C conjuntos de números reais. Sejam 
f:A → B e g:B → C definidas, respectivamente, por
f(x) = sen x, ∀x, x ∈ A
g(x) = – 1, ∀x, x ∈ B
Se existe h: A → C, definida por h(x) = g[f(x)], ∀x, x ∈ A, então,
a) h(x) = cos x b) h(x) = cos2x c) h(x) = tg2x
d) h(x) = sen2x e) h(x) = sec2x
49. Simplificar a expressão:
y = (sec a – cos a) · (cossec a – sen a) · (tg a + cotg a)
50. Simplificar a expressão:
y = + 
51. (MACKENZIE) – Verificar, diretamente na figura, que 
tg = 
52. (MACKENZIE) – Sendo 0 o centro da circunferência de raio
unitário, então x = BC vale
a) 1 b) 0,8 c) 0,6 d) 0,5 e) 0,4
53. (MACKENZIE) – Na figura, calcular o valor da sec x.
54. (MACKENZIE) – O valor de k, para o qual 
(cos x + sen x)2 + k · sen x · cos x – 1 = 0 é uma identidade, é
a) – 1 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 2
55. (U. SANTA CECÍLIA) – Simplificando a expressão
E = · sec x, encontramos:
a) E = 1 + sen x b) 1 c) E = sen2x – cos2x 
d) E = 1 – sen x e) E =
m
–––––
2
m + 1
––––––
2
1
––––––––
1 – x2
1
–––
2
1 + sen2a
–––––––––––
1 – sen2a
m2 + 1
––––––
2
m2 – 1
––––––
2
m – 1
––––––
2
1
–––
2
cossec a – sen a
––––––––––––––––
sec a – cos a
1
–––
3
π
–––
2
7
–––
9
6
–––
9
5
–––
9
1
–––
5
1
–––
9
cos3x – 2 · cos x + sec x
–––––––––––––––––––––––––
cos x · sen2x
4 – 5 · cos x
–––––––––––––––
3 – 5 · sen x
3 + 5 · sen x
–––––––––––––––
4 + 5 · cos x
cos3x – sen3x
–––––––––––––––––
1 + sen x · cos x
sen x
–––––––––––
1 + cotg x
cos x
––––––––––
1 + tg x
2 · sen x · cos x – cos x
––––––––––––––––––––––––
1 – sen x + sen2x – cos2x
cos a + cos b
––––––––––––––
sen a + sen b
sen a – sen b
––––––––––––––
cos a – cos b
sen α
–––––––––––
1 + cos α�
α
–––
2�
�sec x – tg x–––––––––––1 + tg2x�
cos x
–––––––––
1 + sen x
122
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 122
56. (FUVEST)
A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ân gu lo α,
como mos tr a a figura.
Usando a tabela a seguir, determine a altura da torre, supon do
α = 20°. Efetue os cálculo s.
57. (UNESP) – Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro,
num ter reno plano. Um ob ser va dor, no pé do edifício X (ponto P),
mede um ân gu lo α em relação ao to po do edifício Y (ponto Q).
De pois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que
RPTS for mem um retân gulo e QT seja perpendi cular a PT, 
esse observador mede um ângulo β em rela ção ao pon to Q no
edifício Y. Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 
3 tg α = 4 tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é:
a) b) c) 30 d) 40 e) 50 
58. (UNIFESP) – Imagine uma parede vertical com uma janela retan -
gular, de lados a e b, conforme a figura, em que a é paralelo ao
piso plano e horizontal. Suponhamos que a luz solar incida
perpen dicu lar mente ao lado a, com inclinação de 60° em relação
à parede.
Se A1 e A2 representam, respectivamente, as áreas da janela e 
de sua imagem projetada no piso, a razão vale:
a) ���3 b) ���3 c) d) e) 
59. (MACKENZIE) – Sendo 4 sen x = 3 cos x, para qualquer valor real
de x, então tg x vale:
a) b) c) 1 d) – e) – 
60. (INSPER) – O quadrilátero ABCD indicado na figura possui ângulo
reto em A, um ângulo externo de 60° em B e três lados de medi -
das conhecidas, que são AB = 7 cm, BC = 6 cm e CD = 12 cm.
Nesse quadrilátero, a medida de 
––
AD, em centímetros, é igual a
a) 3(2 + ���3) b) 2����11 + 3���3 c) 2(����11 + ���3)
d) 9���3 e) 12���3
50
–––
4
40
–––
3
A1
––––
A2
1
–––
2
���3
––––
3
���3
––––
2
3
–––
2
4
–––
3
3
–––
4
4
–––
3
3
–––
4
x sen x° cos x°
10 0,174 0,985
11 0,191 0,982
12 0,208 0,978
13 0,255 0,974
14 0,242 0,970
15 0,259 0,966
16 0,276 0,961
17 0,292 0,956
18 0,309 0,951
19 0,326 0,946
20 0,342 0,940
21 0,358 0,934
22 0,375 0,927
23 0,391 0,921
24 0,407 0,914
25 0,423 0,906
26 0,438 0,899
27 0,454 0,891
28 0,470 0,883
29 0,485 0,875
30 0,500 0,866
123
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 123
61. (FGV) – Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas entre si, 
e per pendiculares à reta t. Sabe-se, ainda, que AB = 6 cm, 
CD = 3 cm, 
—
AC é perpendicular a 
—
CD, e a medida do ângulo entre
—
CD e a reta s é 30°.
Nas condições descritas, a medida de 
—
DE, em cm, é igual a
a) 12 + 3���3 b) 12 + 2���3 c) 6 + 4���3
d) 6 + 2���3 e) 3 + 2���3
62. (UNESP) – Em 9 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi
detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A bomba
explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria conhecido
como “marco zero”.
(www.nicholasgimenes.com.br) (http.//wemersonji.blogsport.com.br)
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na
qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida, se encon -
trava a 1 km do marco zero e a 50 m de um poço. No momento
da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando
nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e
material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles.
A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da
explosão da bomba, do poço e das personagens do filme no
momento da explosão da bomba.
Se o
ventos provocados pela explosão foram de 800 km/h e adotando
a aproximação ���5 � 2,24, as personagens correram até o poço,
em linha reta, com uma velocidade média, em km/h, de
aproximadamente
a) 28 b) 24 c) 40 d) 36 e) 32 
63. (UNESP) – A figura representa a vista superior do tampo plano e
horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas
em A, B, C e D. O ponto P, localizado em
—
AB, representa a
posição de uma bola de bilhar, sendo PB = 1,5 m e PA = 1,2 m.
Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo
com 
—
BC no ponto T, sendo a medida do ângulo P
^
TB igual a 60°.
Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente
até a caçapa D. 
Nas condições descritas e adotando ���3 = 1,73, a largura do
tampo da mesa, em metros, é próxima de
a) 2,42 b) 2,08 c) 2,28 d) 2,00 e) 2,56 
64. (UNIFESP) – Por razões técnicas, um armário de altura 2,5
metros e largura 1,5 metro está sendo deslocado por um
corredor, de altura h metros, na posição mostrada pela figura.
a) Calcule h para o caso em que α = 30°.
b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 m.
124
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 124
65. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte
problema no quadro-negro:
“Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação
de θ graus para vencer um desnível de 4 m. Qual será o com pri -
mento da rampa?” Mas, o professor já havia apagado os valores
de sen θ e cos θ, restandoapenas tg θ = . Eugênio usou
seus conheci men tos de trigonometria e determinou que o com -
primento da rampa é
a) 6���6 m b) 8���6 m c) 10���2 m
d) 12���2 m e) 14���2 m
66. Uma empresa precisa com prar uma
tampa para o seu reserva tório, que tem a
forma de um tronco de cone circular reto,
conforme mostrado na figura.
Considere que a base do reservatório
tenha raio r = 2���3 m e que sua lateral faça
um ângulo de 60° com o solo. Se a altura
do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir
uma área de
a) 12π m2 b) 108π m2
c) (12π + 2���3 )2π m2 d) 300π m2
e) (24 + 2���3 )2 π m2
67. (MAUÁ) – Para obter a altura H de uma chaminé, um engenheiro,
com um aparelho especial, estabeleceu a horizontal AB e mediu
os ângulos α e β, tendo a seguir medido BC = h. Determinar a
altura da chaminé.
68. Na figura, determinar h, sendo dados α, β e d.
69. (UEL) – Considere, na figura a seguir, uma circunferência
trigonométrica de 1 cm de raio, na qual se exibe um ângulo α e
uma medida A =
—
OD, em que
—
OD é a distância em cm do ponto
O até o ponto D, ou, ainda, a medida do segmento OD.
Sabe-se que a reta que contém o segmento OD tangencia a
circunferência no ponto O.
Com base nas informações apresentadas na figura, determine as
medidas dos segmentos MN e MP em função da medida A.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados.
70. (FUVEST) – Na figura, na página de respostas, a circunferência
de centro em O e raio r tangencia o lado 
—
BC do triângulo ABC no
ponto D e tangencia a reta 
↔
AB no ponto E. Os pontos A, D e O
são colineares, AD = 2r e o ângulo A
^
CO é reto. Determine, em
função de r,
a) a medida do lado 
—
AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento
—
CO.
71. (UFABC) – A figura abaixo apresenta o esque ma de alguns
trajetos retilíneos que servem de opções de per curso para uma
ambulância que, partindo do local de um acidente ocorrido no
ponto A, deve seguir em direção a um hospital localizado no
ponto H.
Considerando que a ambulância leva 12 minutos para percorrer
os 18 km do trajeto 
—
AH, rodando à velocidade média v, então,
man tida esta velocidade, se o motorista optasse pelo trajeto 
AB + BH, quanto tempo a ambulância gastaria para percorrê-lo?
(Use a aproximação: ���3 = 1,7)
a) 13 minutos e 48 segundos b) 13 minutos e 36 segundos
c) 13 minutos e 30 segundos d) 13 minutos e 24 segundos
e) 13 minutos e 12 segundos 
���2
––––
5
A B E
O
D
C
125
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126
15) sen B = , cos B = , tg B = , sen C = , 
cos C = , tg C = ���3
16) 8 17) 16
18) A 19) 3 e 3 · ���3
20) I) 4; II) 6; III) 5; IV) 4.���3
21) 3���3 cm 22) 400 m
23) 2010 m 24) 6 000 m 
25) m 26) A
27) C 28) C
29) D 30) A
31) x = 100 · ���3 32) a · tg α + 1,70
y = 100
33) 75 34) 50 · ���3
35) 36) D
37) B 38) 3 
39) 8 40) A 
41) B 42) zero
43) cos x – sen x 44) 
45) cotg x 46) F, V, V, V, F
47) B 48) C
49) 1 50) zero 
51) tg � � = = 
52) D 53)
54) B 55) D
56) 14,553 m 57) D
58) D 59) A
60) B 61) E
62) D 63) A
64) a) 0,25 · (3 ���3 + 5) m
b) 2,7 m
65) A 66) B
67) H = 68) h = 
69) MN = ; MP = 
70) a) AB = r 71) A
b) CO = r���3
1
––
2
���3
––––
2
���3
––––
3
���3
––––
2
1
––
2
3���2
––––
4
sen α
–––––––––
1 + cos α
AB
–––
BC
α
––
2
1
–––––––––––––
sen x + cos x
20 · (3 – ���3)
––––––––––––
3
10 · ���3
–––––––
3
h · (tg α + tg β)
–––––––––––––––
tg α
d · tg α · tg β
–––––––––––––
tg β – tg α
A
–––––––––
���������� A2 + 1
3���2
––––––
2
1
–––––––––
���������� A2 + 1
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127
1. Arcos de circunferência
Seja uma circunferência em que são tomados dois 
pontos, A e B. A circunferência ficará dividida em duas
partes chamadas arcos. Os pontos A e B são as extremi -
dades desses arcos.
Representação:
�
AB
Quando A e B coincidem, um desses arcos é cha -
mado nulo e o outro, arco de uma volta; diremos que o
arco nulo tem por medida 0° e o arco de uma volta tem
por medida 360°:
Dessa forma: 
• 1 grau (1°) = do arco de uma vol ta. 
Como submúl tiplos do grau, te mos:
• 1 minuto (1’) = do grau 
ou 60 minutos = 1 grau (60’ = 1°)
• 1 segundo (1”) = do minuto 
ou 60 segundos = 1 minuto (60” = 1’)
1––––
360
1––––
60
1––––
60
Arcos (e ângulos) Trigonométricos
No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento do trabalho
que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio,
calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas
fórmulas trigonométricas. 
As medições e os resultados dos cálculos feitos pelos astrônomos eram
registrados em tábuas. As tábuas babilônicas revelam algumas semelhanças com
as tábuas trigonométricas. 
O astrônomo Hiparco de Niceia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o
direito de ser chamado "o pai da Trigonometria", pois, na segunda metade do
século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela
trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus
estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As
principais contribuições à Astronomia atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos
derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes estudos
astronômicos – duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica – e, finalmente, a
descoberta da precessão dos equinócios. 
2TrigonometriaMedidas de arcos e ângulos
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 127
2. Medida de arcos em radianos
Definição
A medida de um arco, em radi anos, é a razão entre
o comprimento do arco e o raio da circun ferência sobre
a qual este arco está determi nado.
Observações
• O arco de uma volta, cuja medida em graus é 360°,
tem compri mento igual a 2 π r, portanto sua medida em
radianos é:
• O arco AB
�
mede 1 radiano, se o seu comprimento é
igual ao raio da circunferência.
• A medida de um arco, em radianos, é um número
real, portanto, é costume omitir-se o símbolo rad. Se, por
exemplo, escrevermos que um arco mede 3, fica suben -
ten dido que sua medida é de 3 radianos.
3. Conversões
As conversões entre as medidas de arcos (ou
ângulos) em graus e radianos são feitas por uma regra de
três simples (direta), a partir da relação: 360° é equi va -
lente a 2π radianos, ou 180° é equivalente a π ra dia nos.
Exemplo
Conversão de 210° em radianos.
⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ x = 
Portanto, 210° equivalem a ra dianos.
Medida de Ângulos
• Seja AOB
^ 
o ân gulo
central, deter minado pelo
arco AB
�
. Adota-se como
medida (em graus ou radia -
nos) do ângulo central a
própria me dida do arco AB
�
.
4. Ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio
unitário, sobre a qual fixamos um ponto (A) como
origem dos arcos e adotamos um sentido (o anti-horário)
como sen do o positivo.
O ciclo trigonométrico é dividido em 4 partes, deno -
minadas qua drantes, enumerados conforme indicado
abaixo.
5. Arco (Ângulo) trigonométrico
Chama-se arco trigonomé trico AP
�
ao conjunto dos
infinitos arcos que são obtidos partindo-se da origem A
até a extremidade P, giran do no sentido positivo (ou
negativo), seja na primeira passagem ou após várias
voltas completas no ciclo trigonométrico.
O ângulo trigonométrico AOP^ é o conjunto dos
infinitos ân gu los centrais associados ao arco trigo no mé -
trico AP
�
.
7π–––
6
6–––
7
π–––
x
7 · π–––––
6
180––––
210
π–––
x
180° — π rad
210° — x rad
comprimento 
�
AB
α = –––––––––––––––––
raio
comp (AB)
�
2 π r
α = ––––––––––– = ––––– = 2π � 6,28 
r r
128
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 128
• Se, por exemplo, escrevemos que um arco trigo no mé -
trico mede 1120°, significa que, partindo da origem, no sen -
 tido �, foram dadas 3 voltas com pletas (3. 360° = 1080°) e
ainda percorremosmais 40° (1120° = 3.360° + 40°) no ciclo
trigonométrico. Dessa for ma, todas as funções tri go nomé -
tricas do arco de 1120° são iguais às corres pondentes fun -
ções do arco de 40°.
6. Conjunto das determi nações
de um arco (ou ângulo)
trigonométri co 
A determinação de um arco AP
�
é a medida desse ar -
co precedida de um sinal de � ou �, conforme o sentido
de percurso de A para P seja o anti-horário ou o horário. 
Ao arco trigonométrico AP
�
associamos infini tas
de termina ções, que são obtidas adicio nando-se e sub -
train do-se múltiplos de 360° (ou 2π) à 1ª deter mi nação
α (positiva ou negativa), e que vão constituir o conjunto
das deter minações:
α é a 1ª determinação (� ou �)
α + 360°
α – 360°
α + 2 · 360°
α – 2 · 360°
α + 3 · 360°
α – 3 · 360°
�
, com n ∈ �.
O conjunto das determinações, em radianos, é
, com n ∈ �.
• Lembrete: Como a medida do arco trigonomé -
trico AP
�
(em graus ou radianos) é igual à medida do
ângu lo trigonométrico AOP^ , conclui-se que ambos têm
o mesmo conjunto das determinações.
Conjunto das determinações:
(n ∈ �)
Conjunto das determinações:
(n ∈ �)
α + n · 360°
α + n · 2π
α + n · 2π
α + n · 360°
α + n · π
α + n · 180°
129
1. Exprimir 150° em radianos.
Resolução
180° –––––––– π rad
150° –––––––– x rad
= ⇔ = ⇔ x = 
Resposta: 150° equivalem a radianos.
2. Determinar 60° 15’ em radianos (adotar π = 3,14).
Resolução
60° 15’ = 60° +
° 
= 60° + 0,25° = 60, 25°
Então:
180° –––––––– π rad
60,25° –––––––– x rad
= ⇔ x = · π ⇔ x = � 1,05
Resposta: 60° 15’ equivalem a 1,05 radiano.
60,25 · 3,14
–––––––––––
180
60,25
––––––
180
x
––
π
60,25°
–––––––
180°
�15––––60�
5 · π
–––––
6
5 · π
–––––
6
x
––
π
5
––
6
x
––
π
150°
––––
180°
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 129
3. A ponta de um limpador de parabrisa de 45 cm de comprimento
percorreu um arco de 2 radianos. Calcule a distância percorrida
pela ponta do limpador.
Resolução
Pela definição de radianos, temos: = 2
Comp (AB
� 
) = 90 cm
Resposta: 90 cm
4. Uma pessoa caminha em uma pista circular, com raio igual a 
30 m. Se essa pessoa percorrer, nessa pista, um ângulo central
correspondente a radianos, qual será a distância percorrida
em metros? (Adotar π = 3,14) 
a) 31,4 b) 73,6 c) 85,1 d) 62,8 e) 58,7
Resolução
Pela definição de medida de arco, em radianos, temos:
α = 
= ⇔ comp(AB)� = 20 . π m ⇔
⇔ comp(AB)� = 20 . 3,14 m = 62,8 m
Resposta: D
5. Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que
marca 12 horas e 20 minutos.
a) 120° b) 110° c) 100° d) 130° e) 115°
Resolução
Se em 1 hora (60 minutos) o ponteiro pequeno percorre um 
ângulo de · 360° = 30°, então, em 20 minutos ele percorre 
o ângulo x, tal que:
Tempo Ângulo
⇒ x = = 10°
Como a + x = 120°, então 
a = 120° – x = 120° – 10° e, portanto, a = 110°.
Resposta: B
6. Calcular o comprimento do arco descrito pela extremidade do
pon teiro dos minutos, decorridos 22 minutos, sabendo que o
ponteiro tem comprimento 3 cm.
Resolução
O ponteiro grande (dos minutos) em 15 minutos percorre um 
ângulo de rad, então:
Tempo Pont. Grande
⇒ α = = rad
Pela definição de radianos: α = , temos:
comp (AB)
�
= α · r = · 3 cm = cm
Resposta: cm
π
––
2
20 · 30°
–––––––
60
60 min ––––––– 30°
20 min ––––––– x 
1
–––
12
2π
–––
3
comp (AB)
�
––––––––––
30
comp (AB)
�
––––––––––
r
2π
–––
3
comp (AB
� 
)
––––––––––––
45
11π
–––––
15
22 · π/2
–––––––
15
π
15 min ––––––– –– rad
2
22 min ––––––– α rad
comp (AB)
�
––––––––––
raio
11π
––––
5
11π
–––––
15
11π
–––––
5
130
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 130
131
7. Calcular, em graus, o ângulo convexo formado pelos ponteiros de
um relógio, que marca 3 horas e 42 minutos.
Resolução
1o.) Para o ponteiro grande, temos:
Ângulo Tempo
⇒ a = = 252°
2o.) Para o ponteiro pequeno, temos:
Ângulo Tempo
⇒ b = = 21°
Portanto: α = a – 90° – b = 252° – 90° – 21° = 141°
Resposta: 141°
8. Calcular a primeira determinação positiva (a0) dos seguintes ar cos:
a) 1620° b) c) – 810°
Resolução
a) 1620° 360°
–1440° 4
––––––––
180°
Sendo: 1620° = 4 · 360° + 180°, temos a 1.a determinação (a0)
igual a 180°.
b)
–
5
–––––––––
Sendo: = 5 · 2π + , temos a 1.a determinação 
(a0) igual a 
c) Para o cálculo, ignora-se o sinal (–) do ângulo (810°)
810° 360°
–720° 2
–––––
90°
Considerando-se que a 1.a determinação negativa é (– 90°),
obtém-se a 1.a determinação positiva (a0):
a0 = 360° – 90° = 270°
Respostas: a) 180° b) c) 270°
9. Determinar o conjunto das determinações dos arcos indicados,
para cada figura.
Resolução
A partir das figuras, temos:
I) 30° + n · 360° (n ∈ �) II) 30° + n · 180° (n ∈ �)
III) ± + n · 2π (n ∈ �) IV) ± + n · π (n ∈ �)
π
––
6
π
––
6
15 · π
–––––
11
125 · π
––––––
11
15 · π
–––––
11
15 · π
––––––
11
15 · π
–––––
11
110 · π
––––––
11
125 · π
––––––
11
22 · π
2π = ––––––
11
125 · π
––––––
11
30° · 42
–––––––
60
b ––––––– 42 min
30° ––––––– 60 min
360° · 42
––––––––
60
a ––––––– 42 min
360° ––––––– 60 min 
10. Qual é o comprimento de uma circunferência de raio igual a 5 cm?
11. Qual é o raio da circunferência, sabendo que o comprimento do
arco AB
�
indicado é igual a 12 cm?
12. Determinar o comprimento do arco AB
�
, tomado na circunferência
de centro O (adotar π = 3,14).
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 131
13. (FUVEST) – O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo
central medindo α radianos é igual ao perímetro de um quadrado
de lado R. Então α é igual a:
a) b) 2 c) 1 d) e) 
14. Um arco de circunferência com comprimento 30 cm é tomado
numa circunferência de diâmetro igual a 20 cm. Calcular a
medida do arco em radianos.
15. (ITA) – Transformar 12° em radianos.
16. (FUVEST) – Quantos graus mede, aproximadamente, um arco
de 0,105 rad.
17. (PUC) – Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um
relógio às 12 horas e 15 minutos.
18. (UNIV. METROPOLITANA-SANTOS) – O ângulo agudo formado
pelos ponteiros de um relógio quando ele estiver marcando
12:15h é de:
a) 270° b) 90° c) 80° d) 250° e) 82° 30’
19. (ITA) – O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e
dos minutos às 10 horas e 15 minutos é:
a) 142, 30’ b) 142° 40’ 
c) 142° d) 142° 30’ 
e) nenhuma das respostas anteriores
20. (UNIV. BLUMENAU/VALE ITAJAÍ) – Quando o relógio marca 
3 horas, o menor ângulo formado pelos ponteiros mede 90°. Qual
será o valor do ângulo maior formado pelos ponteiros quando o
relógio marcar 12 horas e 15 minutos?
a) 90° b) 87° c) 270° d) 277,5° e) 272° 30’
21. (FGV) – Dois pontos, na linha do Equador, apresentam o sol a
pino com defasagem de 3 horas. Sabe-se que a menor distância
percorrida sobre essa linha, de um ponto ao outro, é 5.000 km.
Qual deve ser o diâmetro aproximado do planeta Terra ?
a) b) c)
d) e)
22. (UNESP) – A figura mostra um relógio de pa rede, com 40 cm de
diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 mi nutos.
(www.euroferragens.com.br)
Usando a aproximação π = 3, a medida, em cm, do arco externo
do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos
ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale
aproximadamente
a) 22 b) 31 c) 34 d) 29 e) 20 
23. (FUVEST) – O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um reló -
gio à 1 hora e 12 minutos é:
a) 27° b) 30° c) 36° d) 42° e) 72°
24. Escrever o conjunto das determinações do arco AP
�
, nos
seguintes casos:
25. Determinar o conjunto das determinações dos arcos assinalados
nas figuras:
30000
––––––––
(π – 2)2
40000
–––––––
π2 – 2
30000
–––––––
2π
40000
–––––––
π
20000
–––––––
π – 1
π
––
2
2π
–––
3
π
––
3
132
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26. Representar, no ciclo trigonométrico, as imagens dos números
reais x, em cada caso abaixo:
a) x = + n · 2π (n ∈ �)
b) x = 210° + n · 360° (n ∈ �)
c) x = 120° + n · 180° (n ∈ �)
d) x = + n · π (n ∈ �)
e) x = ± 60° + n · 360° (n ∈ �)
f) x = ± 60° + n · 180°(n ∈ �)
g) x = 30° + n · 360° ou x = 150° + n · 360° (n ∈ �)
27. Obter a 1.a determinação positiva dos arcos com medidas:
a) 1000° b) –1210° c) rad
28. Quais são os arcos positivos menores que 1500°, côngruos
(mes ma extremidade) de – 60°?
29. Sobre uma circunferência de raio 10 cm, marca-se um arco AB
�
,
tal que a corda AB
—
mede 10 cm. Determine o comprimento do
arco AB� .
30. (FGV) – Em uma cidade do interior, a praça principal, em forma
de um setor circular de 180 metros de raio e 200 me tros de com -
primento do arco, ficou lotada no co mício político de um
candidato a prefeito. Admitindo uma ocupação média de 
4 pessoas por me tro quadrado, a melhor estimativa do número
de pessoas presen tes ao comício é:
a) 70 mil b) 30 mil c) 100 mil
d) 90 mil e) 40 mil
31. (FATEC) – Em certo país, uma pequena porcentagem da arreca -
dação das loterias destina-se aos esportes. O gráfico de setores
a seguir representa a distribuição dessa verba segundo os dados
da tabela seguinte.
Quanto aos ângulos assinalados no diagrama, é ver dade que
a) < sen ^a < b) < cos 
^
b <
c) < tg ^c < 1 d) < sen 
^
d <
e) 1 < tg ^e < 2
32. (INSPER) – O esquema abaixo mostra as duas rodas dentadas e
a correia do sistema de transmissão de uma bicicleta.
Considere que a correia se ajuste sem folga aos dentes de
ambas as rodas. Se R é a medida do raio da circunferência que
dá forma à roda maior e r é a medida do raio da circunferência
que dá forma 
à roda menor, então a razão é igual a
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 
π
––
3
5π
–––
6
���3
–––
2
���2
–––
2
���2
–––
2
1
––
2
8π
–––
3
���3
–––
2
���2
–––
2
���3
–––
2
R
–––
r
Setor Destinação Valor, em reais
1 Projetos de fomento 3240000,00
2 Esporte universitário 4590000,00
3 Esporte escolar 6750000,00
4 Manutenção do Comitê Olímpico 9180000,00
5 Confederações 30240000,00
Total 54000000,00
133
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134
33. (INSPER) – A linha curva indicada na figura tem extremidades em
A e B e é formada apenas por semicircunferências.
Se o comprimento de 
–
AB é igual a x, então o comprimento da
linha curva será igual a
a) b) c) d) e) 
34. (FGV) – Na figura, ABCD representa uma placa em forma de
trapézio isósceles de ângulo da base medindo 60°. A placa está
fixada em uma parede
—
AD, e 
—
PA representa uma corda perfei -
tamente esticada, inicialmente perpendicular à parede.
Nesse dispositivo, o ponto P será girado em sentido horário,
mantendo-se no plano da placa, e de forma que a corda fique
sempre esticada ao máximo. O giro termina quando P atinge M,
que é o ponto médio de
—
CD.
Nas condições descritas, o percurso total realizado por P, em cm,
será igual a
a) b) c) 15p d) 10p e) 9p
35. (UNESP) – A figura representa duas raias de uma pista de atletis -
mo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida nessa
pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à
distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F
até a chegada em C’, tenha o mesmo comprimento do que o
percurso total de André, que irá de A até D’.
Considere os dados: 
• ABCD e A’B’C’D’ são retângulos. 
• B’, A’ e E estão alinhados. 
• C, D e E estão alinhados. 
•
�
A’D e 
�
B’C são arcos de circunferências de centro E. 
Sabendo que AB = 10 m, BC = 98 m, ED = 30 m, ED’ = 34 m e
� = 72°, calcule o comprimento da pista de A até D' e, em
seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais π = 3. 
36. (UNESP) – Os gráficos indicam a diversificação de aplicações
para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um
dos bancos A, B e C.
Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00, em
partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a
diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital
aplicado foi distribuído da seguinte forma:
• total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus
de risco juntos);
• R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três
bancos juntos);
• R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três
bancos juntos);
• R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos
juntos).
O gráfico a seguir representa a diversificação da aplica ção, por
grau de risco, juntando os três bancos.
Investimento total de R$ 6.000,00
(bancos A, B e C)
Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos
B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, in dicados no gráfico.
4x
–––
π
xπ
–––
4
xπ
–––
2
16π
––––
x
8x
–––
π
40π
––––
3
50π
––––
3
banco A
15%
5%
80%
banco B
20%
10%
70%
banco C
50%
40%
10%
Baixo risco Médio risco Alto risco
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37. (FUVEST) – Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto
minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é
retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo
grego Aristarco, do século III a.C., usou este fato para obter um
valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, dL,
e da Terra ao Sol, dS. 
É possível estimar a medida do ângulo α, relativo ao vértice da
Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo
t1, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto
minguante, é um pouco maior do que o tempo t2, decorrido de
uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente. Supondo
que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular
uniforme, tomando t1 = 14,9 dias e t2 = 14,8 dias, conclui-se que
a razão dL/dS seria aproximadamente dada por 
a) cos 77,7° b) cos 80,7° 
c) cos 83,7° d) cos 86,7° 
e) cos 89,7° 
38. Considere um ponto P em uma circunferência de
raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção orto -
gonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e
suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma
distância d � r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
a) r b) r 
c) r d) r sen 
e) r cos 
39. (INSPER) – Na figura, em que está representada a circunferência
trigonométrica, P é a extremidade de um arco trigo nométrico da
1a. volta cuja medida, em radianos, é igual a α. Observe que P é
um ponto do 2o. quadrante localizado no interior do retângulo
ABCD.
As coordenadas dos vértices do retângulo são dadas por:
A = ; , 
B = – ; ,
C = – ; – ,
D = ; – .
Assim, é necessariamente verdadeira a desigualdade
a) < α < b) < α < 
c) < α < d) < α < π
 
e) π < α < �
d
1 – tg –––
r�
�d1 – cos –––r��
d
1 – sen –––
r�
�r––d�
���3
––––
2
���2
––––
2�
2π
–––
3
π
–––
2
5π
–––
6
3π
–––
4
� r––d �
�
� ����2––––2
���3
––––
2
���2
––––
2
���3
––––
2 �
���2
––––
2
���3
––––
2 ��
2π
–––
3
3π
–––
4
5π
–––
6
7π
–––
6
�
135
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 135
136
10) 10 · π cm 11) 10 cm 12) 1,57 cm
13) B 14) 3 rad 15) 0,209 rad 
16) 6° 17) 82° 30’ 18) E
19) D 20) D 21) B
22) B 23) C 
24) a) n · 2π (n ∈ �) b) + n · 2π (n ∈ �) 
c) π + n · 2π (n ∈ �) d) + n · 2π (n ∈ �)
e) 150° + n · 360° (n ∈ �) f) 300° + n · 360° (n ∈ �)
25) a) + n · π (n ∈ �) b) n · π (n ∈ �)
c) + n · π (n ∈ �) d) + n · π (n ∈ �)
e) n · (n ∈ �) f) + n · (n ∈ �)
g) ± + n · 2π (n ∈ �) h) ± + n · π (n ∈ �)
i) ± 120° + n · 360° (n ∈ �)
26)
27) a) 280° b) 230° c) 
28) 300°, 660°, 1020° e 1380° 
29) 10π/3 cm 30) A 31) B
32) B 33) C 34) A
35) AD’ = 150 metros e FB = 12 metros
36) Nos bancos B e C foram investidos, respec tivamente, 
R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00.
As medidas dos ângulos α, β e γ são, respectivamente, 87°,
162° e 111°.
37) E 38) B 39) B
π
––
2
3π
–––
2
π
––
2
π
––
4
3π
–––
4
π
––
2
π
––
4
π
––
2
π
––
3
π
––
3
2π
–––
3
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 136
137
Afunção tangente era a antiga função sombra, que tinha ideias associadas a sombras projetadas por uma
estaca, colocada na vertical, em uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma
variação no ângulo que os raios solaresformavam com a estaca e a vara e, portanto, modificava o tamanho da
sombra.
Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o
seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente associados a ângulos, sendo importantes
para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de
importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides
valendo-se de semelhança de triângulos.
3TrigonometriaEstudo das funções trigonométricas
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 137
138
1. Introdução
As funções trigonométricas serão estudadas, a partir
deste capítulo, no ciclo trigonométrico. Para tanto, iremos
associar, ao ciclo trigonométrico, quatro eixos, sobre os
quais serão definidas as funções trigonomé tri cas.
• eixo do seno: eixo n
• eixo do cosseno: eixo m
• eixo da tangente: eixo t
• eixo da cotangente: eixo s
• eixo da secante: eixo m
• eixo da cossecante: eixo n
Na determinação das funções trigonométricas no ci -
clo trigonométrico, é de muita importância a obtenção de
determinadas medidas de arcos (ou ângulos) a partir dos
arcos de medidas 30° , 45° ou 60° .
Apresentamos, a seguir, um resumo dessas medidas
(1.as determinações positivas) no ciclo trigonométrico:
1o. ) Medidas de arcos (ou ângulos) associados ao
arco (ângulo) de 30° radianos .
2o. ) Medidas de arcos (ou ângulos) associados ao
arco (ângulo) de 45° radianos .
3o. ) Medidas de arcos (ou ângulos) associados ao
arco (ângulo) de 60° radianos .
Lembrando que 1 radiano é aproximadamente 57°,
destacamos as posições dos arcos de 2 radianos e 3 ra -
dianos, no ciclo trigonométrico.
� π––6 � �
π––
4 � �
π––
3 �
� π––6 �
�π––3�
�π––4�
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 138
139
2. Estudo da função seno 
Definição
Consideremos um arco trigono métrico AP
�
e seja N a
projeção orto gonal de P sobre o eixo dos senos (eixo n).
Por definição, chama-se seno do arco AP
�
a medida
algébrica do segmento ON
––
.
Representa-se:
Notando-se que a um arco AP
�
qualquer de deter mi -
nação x corresponde um único segmento
—
ON, de me dida
algébrica y, conclui-se que há uma corres pondência
unívoca entre os números reais x, que medem os arcos, e
os números reais y, senos desses arcos.
Pode-se, portanto, definir uma função de � em �, tal
que a cada x associa um y = sen x = ON.
Simbolicamente:
f : � ⎯→ �
x ⎯→
Observe que: o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (ON) variar en -
tre – 1 e 1. A cada volta (2π), verificamos que esse com -
por tamento se repete.
Consequências
Da definição da função , decorre 
que:
Domínio: D(f) = �
Imagem: Im(f) = {y ∈ � � – 1 � y � 1}
Propriedades
I) O período da função seno é 2π
.
II) A função y = sen x é ímpar: .
III) A função y = sen x é cres cen te nos quadrantes
I e IV e de cres cen te nos qua dran tes II e III (a
ca da volta no ciclo trigonométrico). 
IV) A função y = sen x assume os sinais indicados
em cada quadrante: 
sen AP
�
= ON
y = f(x) = sen x = ON
y = f(x) = senx
f(x + 2π) = f(x), ∀ x ∈ �
sen (– x) = – sen x
Gráfico
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 139
140
Variação da função seno
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:07 Página 140
141
3. Estudo da função cosseno
Definição
Consideremos um arco trigonométrico AP
�
e seja M
a projeção orto gonal de P sobre o eixo dos cossenos.
Por definição, chama-se cosseno do arco AP
�
a
medida algébrica do segmento
—
OM.
Representa-se:
 
Pode-se definir uma função de � em �, tal que a
cada x associa-se um y = cos x = OM.
Simbolicamente:
f: � ⎯→ �
x ⎯→ 
Observe que: o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do cosseno (OM) variar
entre – 1 e 1. A cada volta (2π), verificamos que esse
compor ta mento se repete.
Consequências
Da definição da função , decorre
que:
Domínio: D(f) = �
Imagem: Im(f) = { y ∈ � | – 1 � y � 1}
Propriedades
I) O período da função cosseno é 2π
.
II) A função y = cos x é par: 
III) A função y = cos x é decres cente nos quadran tes
I e ll e crescente nos quadrantes lll e IV (a cada
volta no ciclo trigonomé trico).
IV) A função y = cos x assume os sinais indicados
em cada quadrante: 
cos AP
�
= OM
y = f(x) = cos x = OM
y = f(x) = cos x
f(x + 2π) = f(x), ∀ x ∈ �
cos (– x) = cos x
Gráfico
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Variação da função cosseno
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143
4. Estudo da função tangente
Definição
Consideremos um arco trigonométrico AP
�
com P � B e
P � D e seja T a intersecção da reta OP com o eixo das
tangentes. 
Por definição, chama-se tangente do arco AP
�
a
medida algébrica do segmento AT
—
.
Representa-se:
Pode-se definir uma função de � em �, tal que a
cada x associa-se um y = tg x = AT.
Simbolicamente:
π f: � – {–– + n π, n ∈ �} → �2
x → 
Observe que: o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor da tangente (AT) tender
a + ∞ ou a – ∞, quando o ponto P se aproxima de B
(ou D), nos quais a tangente não existe. A cada meia volta
(π), verificamos que os valores da tangente se repetem.
Consequências
Da definição da função , decorre que:
π
Domínio: D(f) = � – 	–– + n · π, n ∈ � 
2
Imagem: Im(f) = �
Propriedades
I) O período da função tangente é π
.
II) A função y = tg x é ímpar: .
III) A função y = tg x é crescente no intervalo
– + n · π < x < + n · π para cada n ∈ �.
IV) A função y = tg x assume os sinais indicados em
cada quadrante: 
π
––
2
π
––
2
tg AP
�
= AT
y = f(x) = tg x = AT
y = f(x) = tg x
f(x + π) = f(x), ∀ x ∈ �
tg (–x) = – tg x
Gráfico
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144
Variação da função tangente
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145
5. Estudo das funções 
cotangente, secante e cossecante
O estudo das funções cotangente, secante e cos -
secante pode ser feito a partir das três funções já
estudadas (seno, cosseno e tangente).
Função cotangente
Lembrando que:
,
podemos concluir que a função tem:
• Domínio: , pois a
função cotangente não existe quando a função tangente
é zero (tg x = 0 ⇔ x = n · π, n ∈ �).
• Imagem: as sume esses valores, a 
partir da imagem da função tangente (�).
• Período: , pois a função cotangente tem o
mesmo período da função tangente (π).
• Sinais: a função cotangente tem os mesmos sinais
da tangente, em cada um dos quadrantes.
• A função y = cotg x é ímpar:
Função secante
Lembrando que:
,
podemos concluir que a função tem:
• Domínio: , pois
a função secante não existe quando a função cos seno é
zero (cos x = 0 ⇔ x = + n · π, n ∈ �).
• Imagem: 
A função secante assume esses valores, a partir da ima -
gem da função cosseno (valores do intervalo [– 1; 1]).
• Período: , pois a função secante tem o mes mo
período da função cosseno (2π).
• Sinais: a função secante tem os mesmos sinais da
função cosseno, em cada um dos quadrantes.
• A função y = sec x é par: 
Função cossecante
Lembrando que:
,
podemos concluir que a função tem:
• Domínio: , pois a fun -
ção cossecante não existe quando a função seno é zero
(sen x = 0 ⇔ x = n · π, n ∈ �).
• Imagem: . A
função cossecante assume esses valores, a partir da ima -
gem da função seno (valores do intervalo [–1; 1]).
• Período: , pois a função cossecante tem o
mesmo período da função seno (2π).
• Sinais: a função cossecante tem os mesmos sinais
da função seno, em cada um dos quadrantes.
π
–––
2
1
cotg x = –––––
tg x
y = f(x) = cotg x
D(f) = � – {n · π, n ∈ �}
Im(f) = �
π
cotg (–x) = – cotg x
1
sec x = ––––––
 cos x
y = f(x) = sec x
π
D(f) = � – 	–– + n · π, n ∈ �
2
2π
2π
Im(f) = {y ∈ � � y � – 1 ou y � 1}
sec (– x) = sec x
1
cossec x = ––––––
senx
y = cossec x
D(f) = � – {n · π, n ∈ �}
Im(f) = {y ∈ � � y � – 1 ou y � 1}
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146
• A função y = cossec x é ímpar:
Complementos
As funções trigonométricas deste item podem ser es -
tu dadas a partir das definições abaixo:
Função cotangente
Existe a função cotangente quando P � A e P � C
Função secante
Existe a função secante quando P � B e P � D
Função cossecante
Existe a função cossecante quando P � A e P � C
6. Inequações trigonométricas
As inequações trigonométricas (elementares) são
resolvidas, a partir da leitura, no ciclo trigonométrico,
dos arcos determinados pelas condições dos proble mas,
da mesma maneira como é feito o estudo das equa ções
trigonométricas (elementares).
cossec (– x) = – cossec x
cotg AP
�
= BQ
sec AP
�
= OR
cossec AP
�
= OS
1. Calcular o valor de m que satisfaz simultaneamente as igual da des:
sen x = e cos x =
a) 2 b) 3 c) 1 d) – 3 ou 1 e) 1 ou 3
Resolução
Como sen2x + cos2x = 1, ∀ x, vem:
2
+ 
2
= 1 ⇔ + = 1 ⇔
⇔ + = 1 ⇔ m2 + 2m – 3 = 0 ⇒
Como m = – 3 não serve, resulta m = 1.
Resposta: C
2. Para que valores de m é possível a igualdade cos x = 1 + 3m?
Resolução
Como –1 � cos x � 1, então a igualdade, para ser possível, exige:
– 1 � 1 + 3m � 1 ⇔ –2 � 3m � 0 ⇔ � m � 0
Resposta: � m � 0
3. Obter o conjunto imagem de f: � → �, definida por:
f(x) = �2 + 5 sen 2x�
Resolução
–1 � sen 2x � 1 ⇔ –5 � 5 · sen 2x � 5 ⇔
⇔ –5 + 2 � 2 + 5 · sen 2x � 5 + 2 ⇔ –3 � 2 + 5 · sen (2x) � 7 ⇔
⇔ 0 � �2 + 5 · sen 2x� � 7 ⇔ 0 � f(x) � 7
Resposta: Im(f) = {y ∈ � | 0 � y � 7}
�����6m
–––––
3
m����3
––––––
3
6m
––––
9
3m2
––––
9������6m–––––3��m����3–––––3�
m = – 3
ou
m = 1
	2m––––3m
2
––––
3
2
– ––
3
2
– ––
3
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4. Sabendo que sen x = e 90° < x < 180°, calcular as demais
funções trigonométricas.
Resolução
a) cos2x = 1 – sen2x ⇔ cos2x = 1 – 
2
⇔ cos2x = , então
cos x = – , pois x ∈ 2o. Q.
b) tg x = ⇒ tg x = = –
c) cotg x = ⇒ cotg x = –
d) sec x = ⇒ sec x = –
e) cossec x = ⇒ cossec x = 
Resposta: cos x = – ; tg x = – ; cotg x = – ; 
sec x = – ; cossec x = 
5. Se 0 < x < , demonstrar que sen x + cos x > 1
Resolução
0 < x < 
Adicionando-se (I) e (II) membro a membro, vem:
sen x + cos x > sen2x + cos2x, portanto, sen x + cos x > 1
6. Resolver as equações abaixo, no intervalo 0 � x � 2 π:
I) 2 · sen x – 1 = 0
II) 2 · cos x + ����3 = 0
III) | tg x | = 1
Resolução
No intervalo 0 � x � 2 π, temos:
I) 2 sen x – 1 = 0 ⇔ sen x = ⇔ x = ou x = 
V = 
II) 2 · cos x + ����3 = 0 ⇔ cos x = – ⇔ x = ou x = 
V = 
III) � tg x � = 1 ⇔ tg x = ± 1 ⇔ x = ou x = ou 
x = ou x = 
V = 
Respostas: I) V = ; 
II) V = 
III) V = 
7. Resolver a equação sec x = 2, para 0 � x � 2π
Resolução
⇒ = 2 ⇔ cos x =
Para 0 � x � 2π, temos x = ou x = 
Resposta: V = ;
	 π 3π 5π 7π––; –––; –––; –––4 4 4 4 
5π
–––
4
7π
–––
4
π
––
4
3π
–––
4
	 5π 7π–––; –––6 6 
����3
––––
2
5π
–––
6
7π
–––
6
	 π 5π––; ––6 6 
1
––
2
π
––
6
5π
–––
6
π
––
2 	
0 < sen x < 1 ⇒ sen x > sen2x (I)
e
0 < cos x < 1 ⇒ cos x > cos2x (II)
π
––
2
5
––
4
5
––
3
4
––
5
3
––
4
4
––
3
1
–––––
sen x
5
––
3
1
–––––
cos x
5
––
4
1
––––
tg x
4
––
3
sen x
––––––
cos x
3
–––
5
––––––
– 4
––––
5
3
––
4
4
––
5
� 3––5 �
16
–––
25
3
––
5
5π–––6
π
––
6	
5π 7π–––; –––6 6	
π 3π 5π 7π––; –––; –––; –––4 4 4 4	
1
––
2
1
––––––
cos x
sec x = 2 1sec x = ––––––
cos x
5π
–––
3
π
––
3
5π–––
3
π
––
3
	
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148
8. Se x = , calcular o valor da expressão:
E = sec x + cotg (2x) + cossec (3x)
a) ���3 + 1 b) ���3 – 1 c) 1 – ���3
d) ���3 + 2 e) + 1
Resolução
E = sec + cotg 2 · + cossec 3 · =
= sec + cotg + cossec =
= + + =
= + + = + + 1 = + 1 = ���3 + 1
Resposta: A
9. Resolver a inequação 2 sen x – ���3 � 0, para 0 � x � 2π.
Resolução
2 · sen x – ���3 � 0 ⇔ sen x �
No ciclo trigonométrico, temos:
Para 0 � x � 2π, resulta � x �
Resposta: V = x ∈ � � � x �
10. Resolver as inequações abaixo, no intervalo 0 � x � 2π
I) 2 · sen x – 1 � 0
II) 2 · cos x + 1 � 0
III) tg x � 1
Resolução
No intervalo 0 � x � 2π, temos:
I) 2 · sen x – 1 � 0 ⇔ sen x � ⇔ � x �
V = x ∈ � � � x �
II) 2 · cos x + 1 � 0 ⇔ cos x � – ⇔ � x �
V = x ∈ � � � x �
III) tg x � 1 ⇔ � x < ou � x < 
V = x ∈ � � � x < ou � x < 
Respostas: I) V = x ∈ � � � x �
II) V = x ∈ � � � x �
III) V = x ∈ � � � x < ou � x < 
11. Para que valores de x, 0 < x < 2π, tem-se 1 < tg x < ���3?
Resolução
Pela figura, temos < x < ou < x <
Resposta: < x < ou < x <
���3
––––
2
1
––––––
���3
––––
2
1
––––
���3
1
––
1
2
––––
���3
1
––––
���3
3
––––
���3
1
––––––––––
π
cos �––�6
1
–––––––––
π
tg �––�3
1
–––––––––
π
sen �––�2
�
π
––
6 � �
π
––
3 � �
π
––
2 �
�
π
––
6 � �
π
––
6 � �
π
––
6 �
���3
––––
3
π
––
6
2π
–––
3
π
––
3
2π
––––
3
π
––
3
	
5π
––
6
π
––
6
1
––
2
5π
–––
6
π
––
6	
4π
––
3
2π
––
3
1
––
2
4π
–––
3
2π
–––
3	
3π
––
2
5π
––
4
π
––
2
π
––
4
3π
–––
2
5π
–––
4
π
––
2
π
––
4	
5π
–––
6
π
––
6
	
4π
–––
3
2π
–––
3
	
3π
–––
2
5π
–––
4
π
––
2
π
––
4
	
4π
––
3
5π
––
4
π
––
3
π
––
4
4π
––
3
5π
––
4
π
––
3
π
––
4
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12. Para que valores de α (0 � α � π), tem-se x2 + x + tg α – > 0,
∀x ∈ �?
Resolução
A inequação x2 + x + tg α – > 0 é verdadeira, ∀ x ∈ � , se
somente se, Δ < 0.
Portanto:
Δ = 1 – 4 · tg α – < 0 ⇔ 1 – 4 · tg α + 3 < 0 ⇔
⇔ 4 – 4 · tg α < 0 ⇔ tg α > 1
Sendo 0 � α � π, decorre < α < 
Resposta: < α < 
13.Um possível valor de x que não satisfaz o domínio da função 
f(x) = é:
a) 0 b) c) π d) e)
Resolução
A função f está definida para todo x real, se e somente se, 
cos (2x) � 0, isto é:
2x � + n · π ⇔ x � + n
 Para n = 2, temos x � + π isto é: x �
Resposta: D
14. Resolver a equação: � sen 2x � = 
Resolução
� sen 2x � = ⇒ sen 2x = ± 
A solução geral da equação, nesses 4 pontos, será:
2x = ± + n · π ⇔ x = ± + n 
Resposta: V = x ∈ � � x = ± + n (n ∈ �)
15. Resolver a equação sen x = cos x
Resolução
Como cos x � 0, temos:
sen x = cos x ⇔ = 1 ⇔ tg x = 1
A solução geral da equação, nesses 2 pontos, é: x = + n · π
Resposta: V = x ∈ � � = + n · π, n ∈ �
16. Resolver a equação: tg2 x – (����3 – 1) tg x – ����3 = 0
Resolução
tg2 x – (����3 – 1) tg x – ����3 = 0 ⇒ tg x = –1 ou tg x = ����3
Nos pontos P e Q, a solução geral é: x = + n · π
Nos pontos M e N, a solução geral é: x = + n · π
Resposta: V = x ∈ � � x = + n · π ou x = + n · π n ∈ �
17. Obter o domínio da função, f : x → sec x +
Resolução
Como sec x + = , a função f será
definida
para ∀x ∈ �, se e somente se, cos x + � 0 ⇔
⇔ x + � + n · π ⇔ x � + n · π (n ∈ �)
Resposta: D(f) = x ∈ � | x � + n · π (n ∈ �)
π
––
2
π
––
4
π
––
2
3
––
4
3
––
4
�3––4�
π
––
2
π
––
4
π
––
2
π
––
4
1 + sen x
––––––––––
cos 2x
3π
–––
2
5π
–––
4
π
––
2
5π
–––
4
π
––
4
1
––
2
1
––
2
1
––
2
π
––
2
π
–––
12
π
––
6
π––
2
π
–––
12
	
sen x
––––––
cos x
π
––
4
π––
4
	
π
––
3
3π
––
4
3π–––
4
π
––
3
	
�π––4�
1
––––––––––––––
π
cos�x + ––– �4
�π––4�
�π––4�
π
––
4
π
––
2
π
––
4
π––
4
	
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18. Resolver (sen x + cos x)2 < 1, para 0 < x < 2π
Resolução
(sen x + cos x)2 < 1 ⇔ sen2x + 2 · sen x · cos x + cos2x < 1 ⇔
⇔ 1 + 2 · sen x · cos x < 1 ⇔ 2 · sen x · cos < 0 ⇔
⇔ sen x · cos x < 0
A partir dos sinais do seno e do cosseno nos quadrantes, temos
que sen x e cos x têm sinais contrários nos quadrantes II e IV.
Resposta: V = x ∈ � � < x < π ou < x < 2π
19. No setor de pintura de peças em uma fábrica, a pressão em um
tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a
expressão:
P(t) = 50 + 30 · cos t + , t > 0.
O valor de t para o qual a pressão é mínima pode ser:
a) 3π b) π c) 2π d) e)
Resolução
Como – 1 � cos t + � 1, o valor mínimo de P(t) é obtido
quando cos t + = – 1. Como t > 0, temos:
t + = π + n · 2π (n ∈ �) ⇔ t = + n · 2π (n ∈ �).
Os possíveis valores de t, são: ; ; ; …Entre as alternativas, temos: t = 
Resposta: D 
20. Resolver a inequação: 2 · cos x + 1 < 0.
Resolução
2 · cos x + 1 < 0 ⇔ cos x < – 
No ciclo trigonométrico, temos:
A solução geral da equação resulta:
+ n · 2π < x < + n · 2π (n ∈ �) 
Resposta: V = x ∈ � � + n · 2π < x < + n · 2π, n ∈ �
21. Obter o domínio da função f : x →
Resolução
A função f será definida para ∀ x ∈ �, se e somente se:
I) cotg x esteja definida, isto é: x � n · π (n ∈ �) e
II) sen 2x � 0 ⇔ 2x � n · π ⇔ x � (n ∈ �)
Sendo x � e x � n · π, então x �
Resposta: D(f) = x ∈ � � x � (n ∈ �)
22. Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de
peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda
V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais,
respectivamente, pelas funções
C(x) = 2 – cos e V(x) = 3���2 sen , 0 � x � 6.
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é
a) 500 b) 750 c) 1000 
d) 2000 e) 3000 
Resolução
Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais é
obtido por: L(x) = V(x) – C(x)
Para x = 3, resulta:
L(3) = 3 · ���2 · sen – �2 – cos � =
= 3 · ���2 · sen – 2 + cos = 
= 3 · ���2 · – 2 + 0 = 3 – 2 = 1.
Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas
dessas peças é 1000.
Resposta: C
���2
––––
2
π�––�2
π�––�4
3 · π�––––––�6
3 · π�––––––�12
�xπ––––12��
xπ
––––
6�
n · π–––––
2
	
n · π
–––––
2
n · π
–––––
2
n · π
–––––
2
1 + cotg x
–––––––––
sen 2x
4π–––
3
2π
–––
3
	
4π
–––
3
2π
–––
3
1
–––
2
π
–––
2
9π
–––
2
5π
–––
2
π
––
2
π
––
2
π
––
2
�π––2�
�π––2�
3π
–––
2
π
––
2
�π––2�
3π–––
2
π
––
2
	
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151
7. Estudo das variações do 
período e do gráfico das 
funções trigonométricas
Variações do Período nas 
Funções Trigonométricas
Seja y = f(x) uma função trigonométrica de período
p e seja y = g(x) uma outra função, obtida de y = f(x),
com período P. Sendo K um número real não nulo, as
relações entre p e P, nos quatro casos importantes que se
seguem, são as seguintes:
I) g(x) = K + f(x), verifica-se que: P = p
II) g(x) = K · f(x), verifica-se que: P = p
III) g(x) = f(x + K), verifica-se que: P = p
IV) g(x) = f(K · x), verifica-se que: P = 
Exemplos 
Determinação do período nas funções abaixo:
1) y = cos x tem período p = 2π
y = 2 + cos x tem período P = p = 2π (caso I)
2) y = tg x tem período p = π
y = 2 · tg x tem período P = p = π (caso II)
3) y = sen x tem período p = 2π
y = sen (x + π) tem período P = p = 2π (caso III)
4) y = cos x tem período p = 2π
y = cos(2 · x) tem período P = = = π (caso IV)
5) y = tg x tem período p = π
y = tg tem período 
P = = = 2π (caso IV)
6) y = sen x tem período p = 2π
y = 2 + 3 · sen(π · x) tem período 
P = = = 2 (casos I, II e IV)
Variações do Gráfico das 
Funções Trigonométricas
Considerando-se os quatro casos mais importantes,
temos as seguintes alterações nos gráficos das funções
trigonométricas:
I) , verifica-se que o gráfico da 
função g(x) é obtido por um deslocamento na vertical
(igual a |K|) do gráfico da função f(x): o gráfico de f(x)
sobe quando K > 0 ou desce quando K < 0. Se f(x) é a
função seno (ou cosseno), então a imagem da função
g(x) será o intervalo [– 1 + k; 1 + k].
II) , verifica-se que o gráfico da 
função g(x) é obtido por uma deformação na vertical
do gráfico da função f(x): o gráfico de f(x) abre quan -
do �K� > 1 ou fecha quando �K� < 1. Se K < 0, além
dessa defor mação, o gráfico gira 180° em torno do
eixo x. Se f(x) é a função seno (ou cosseno), então a ima -
gem da função g(x) será o intervalo [– 1 · �K� ; 1 · �K�]. 
III) , verifica-se que o gráfico da 
função g(x) é obtido por um deslocamento na hori -
zontal (igual a |K|) do gráfico da função f(x): o gráfico
de f(x) desloca-se para a direita quando K < 0 ou para a
esquerda quando K > 0.
IV) , verifica-se que o gráfico da
função g(x) é obtido por uma deformação na horizontal
do gráfico da função f(x); devido a uma mu dan ça no pe -
ríodo da função P = , o gráfico de f(x) abre quando
�K� < 1 ou fecha quando �K� > 1.
Nos itens (III) e (IV), se f(x) é a função seno (ou cos -
seno), então a imagem da função g(x) será o intervalo
[– 1; 1]
Exemplo 
Representação gráfica da função y = 3 · sen(2 · x),
em um período. 
Notando que o período da função é P = = π 
(caso IV) e que sua imagem é igual ao intervalo [– 3; 3]
(caso II), temos o seguinte gráfico para a função:
� �
p
–––
|K|
2 · π–––––
2
p
–––
�K�
2π
–––
π
2 · π
–––––
|π|
π
–––
1––
2
p
––––
1|––|2
�x––2
2π
–––
2
p
–––
�2�
�
g(x) = K · f(x)
g(x) = f(K + x)
g(x) = f(K · x)
g(x) = K + f(x)
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23. Determinar o período das funções abaixo:
a) g(x) = 3 + sen x b) g(x) = 2 · cos x
c) g(x) = – . tg x d) g(x) = 1 + 5 · sec x
e) g(x) = cos (4 · x) f) g(x) = tg � �
g) g(x) = 1 + 5 · sen � � h) g(x) = cos � �
i) g(x) = cotg � �
Resolução
a) Sendo o período da função seno igual a 2π, teremos o período
de g(x) = 3 + sen x igual a 2π (conforme item I).
b) Sendo o período da função cosseno igual a 2π, teremos o
período de g(x) = 2 · cos x igual a 2π (conforme item II).
c) Sendo o período da função tangente igual a π, teremos o
período de g(x) = – . tg x igual a π (conforme item II).
d) Sendo o período da função secante igual a 2π, teremos o
período de g(x) = 1 + 5 · sec x igual a 2π (conforme os itens I
e II).
e) Sendo o período da função cosseno igual a 2π, teremos o
período de g(x) = cos (4 · x) igual a = (conforme o
item IV).
f) Sendo o período da função tangente igual a π, teremos o
período de g(x) = tg � � igual a 3 · π (conforme o item IV).
g) Sendo o período da função seno igual a 2π, teremos o período 
de g(x) = 1 + 5 · sen � � igual a = 3 · π (con forme 
os itens I, II e IV).
h) Sendo o período da função cosseno igual a 2π, teremos o
período de g(x) = cos � � igual a 2π (conforme o item III).
i) Sendo o período da função cotangente igual a π, teremos o
período de g(x) = cotg � � igual a π (conforme o item III).
24. Esboçar o gráfico da função g(x) = 1 + sen x, no intervalo [0; 2π].
Resolução
Observe que o gráfico do seno se deslocou de uma unidade para
cima, resultando imagem Im [g(x)] = [0; 2] e mantendo o período
P = 2π.
25. Esboçar o gráfico da função g(x) = 2 · cos x, no intervalo [0; 2π].
Resolução
Observe que o gráfico do cosseno abriu no sentido vertical,
resul tando imagem Im [g(x)] = [–2; 2] e mantendo o período
P = 2π.
26. Esboçar em um período o gráfico da função g(x) = sen � �.
Resolução
Observe que o gráfico do seno se deslocou de para a direita, 
não alterando a imagem Im [g(x)] = [–1; 1] e nem o período P = 2π.
27. Esboçar em um período o gráfico da função g(x) = cos (2 · x).
Resolução
Observe que o ângulo x está multiplicado por 2, e desta forma o
período 2π fica dividido por 2 P = = π , o que resulta
numa deformação horizontal (fechamento) do gráfico.
π
x + ––
3
π
x – ––
4
2π
–––––
2
––
3
2 · x
––––
3
x
––
3
π
––
2
2π
–––
4
1
––
3
π
x + ––
3
π
x – ––
4
2 · x
–––––
3
x
––
3
1
––
3
π
x – ––
4
π
––
4
�2π–––2�
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153
28. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função 
f(x) = m + n · sen (p · x):
O valor de m.n.p é:
a) b) c) 6 d) 8 e) 12
Resolução
A partir do gráfico da função apresen tada, conclui-se que:
1) O gráfico da função seno foi “des locado para cima” de um
valor cor respondente a 2 unidades, por tan to m = 2.
2) O gráfico da função seno sofreu uma “abertura na vertical”
de um va lor correspondente a 2 vezes o seu va lor normal (em
vez de amplitude igual a 2, está com amplitude igual a 4), o
que significa que a função dada representa a função seno
multipli cada por 2, portanto, n = 2.
3) O período da função seno (2π) as sumiu no gráfico o valor 6π.
Se o pe ríodo da função apresentada é 
6π = 3 · (2π), significa que
f(x) = 2 + 2 · sen � � e, portanto, p = .
Logo m.n.p = .
Resposta: A 
8
––
3
4
––
3
1
––
3
x
––
34
––
3
29. Calcular:
E = 
30. (AMAN) – Calcular A = sen 3x + cos 4x – tg 2x para x = .
31. (FUVEST) – Calcular sen 1920°.
32. (UNESP) – Se A = sen(6), então:
a) < A < 1 b) –1 < A < –
c) 0 < A < d) < A < 
e) – < A < 0
33. (FISFS) – Assinale a afirmação verdadeira:
a) cos 240° < sen 240° < tg 240°
b) cos 240° < tg 240° < sen 240°
c) sen 240° < cos 240° < tg 240°
d) tg 240° < cos 240° < sen 240°
e) tg 240° < sen 240° < cos 240°
34. (ULBRA) – O valor da expressão cos 1440° + sen 810° + tg 720° é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
35. (PUC) – A imagem da função f : � → � definida por
f(x) = 2 – 3 · cos x é o intervalo
a) [–1; 2] b) [–1; 0] c) [3; 5] d) [2; 3] e) [–1; 5]
36. (MACKENZIE) – A soma dos valores máximo e mínimo de 
2 + · cos2x é:
a) b) c) 4 d) e) 
De 37 a 39, resolver as equações, para 0 � x � 2π
37. sen x = –
38. cos x = –
39. tg x = ±1
40. (UNIP) – Seja sen α = e α um arco do 2o. quadrante. Então, 
tg α vale:
a) b) c) – d) –1 e) –
41. (UNIMEP) – Sabe-se que cos x = e < x < 2π. O valor 
de sen x é:
a) – b) – c) d) – e) –
����2
––––
2
����3
––––
2
����2
––––
2
����2
––––
2
����2
––––
2
����3
––––
2
π
––
2
sen 90° + cos 360° + sen 270° · cos 180°
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
cos 0° + sen 0°
2
––
3
16
––
3
14
––
3
10
––
3
8
––
3
1
––
2
����2
––––
2
3
––
5
4
––
3
3
––
4
3
––
4
4
––
3
3π
–––
2
�����15
––––––
4
����3
–––
4
1
––
4
�����14
––––
4
�����15
––––
4
�����14
––––
4
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42 (PUC) – Se x é um arco do 2o. quadrante e sen x = , 
então tg x é:
a) –1 b) –����3 c) – d) 1 e) ����3
43. (CEFET) – Considere a função f : � → � definida por f(x) = sen x
e as seguintes afirmações:
I) a função f é crescente no intervalo ; 2π
II) a função f tem como imagem o intervalo [0; 1]
III) a função f é par, pois sen(– x) = sen x, para todo x real
IV) é a imagem de pela função f, ou seja, f =
V) 1 é a imagem de pela função f, ou seja, f = 1
Associando-se V (verdadeira) ou F (falsa), a cada afirmação, na
ordem apresentada, tem-se:
a) F – F – F – F – V b) V – F – F – F – V
c) V – F – F – V – F d) V – V – V – F – V
e) F – F – V – V – V
44. (FUVEST) – Se x ∈ ] π; [ e cos x = 2 · k – 1, então k varia no 
intervalo
a) ] –1; 0[ b) [ –1; 0 [ c) ] 0; 1 [
d) ; 1 e) 0;
45. (MACKENZIE) – O menor valor positivo de x, para o qual 
9–cos x = , é:
a) b) c) d) e) 
46. (FGV) – A solução da equação = 1, para 0 � x < ,
é:
a) x = 0 b) x = c) x = 0 ou x =
d) x = e) x = ou x =
De 47 a 49, resolver as equações, para 0 � x � 2π.
47. sec x = 1 48.cossec x = 0
49. cotg x = 1
De 50 a 67, resolver as inequações com 0 � x < 2π.
50. sen x � 51.sen x � –
52. cos x < 53.cos x �
54. tg x � 1 55. tg x < –1
56. (FEI) – Na estação de trabalho de pintura de peças de uma
fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o
tempo conforme a expressão P(t) = 50 + 50 · sen (t – ), t > 0.
Assinale a alternativa em que o instante t corresponde ao valor
mínimo da pressão:
a) t = b) t = π c) t = 
d) t = 2π e) t = 3π
57. Resolver a equação: sen x = cos x, com 0 < x < 2π.
58. (FUVEST) – Determinar os valores de x, no intervalo 0 � x � 2,
que satisfazem a equação sen πx + cos πx = 0.
59. (FAAP) – Resolver a equação: tg x – 2 · sen x = 0; 0 � x � .
De 60 a 64, resolver as equações:
60. sen x = 61.cos x = –
62. sen x · cos x = 0 63.cos2x = 
64. tg2x = 1
De 65 a 67, resolver as inequações:
65. sen x > 66.cos x �
67. tg x � 1
68. Dar o domínio de y = �������� sen x
69. (MACKENZIE) – Determinar o domínio de f(x) = �������� �������sen 3x para
0 � x � π.
70. (MACKENZIE) – Calcular o domínio da função f definida por
f(x) = 
71. (MACKENZIE) – Resolver a equação tg x – = 1
72. Determinar o domínio e a imagem da função f(x) = tg x –
73. (FUVEST) – Se tg x = e π < x < , determine o valor de 
y = cos x – sen x.
74. (FUVEST) – Quais são as raízes da equação do 2o. grau
x2 · sen α – 2 · x · cos α – sen α = 0, sendo 0 < α < ?
75. (FUVEST) – Ache todas as soluções da equação
sen3x · cos x – 3 sen x · cos3x = 0, no intervalo [0; 2π[.
�π––2�
��
��
3π
––
2
π
––
2
1
––
2
π
––
4
π
––
4
1
––
2
3π
–––
2
����3
–––
3
����2
–––
2
�1––2��
1
––
2�
1
––
3
2π
––
3
π
––
2
π
––
3
π
––
4
π
––
6
π
––
2
625cos2x
––––––––
25cos x
π
––
6
π
––
6
π
––
3
π
––
2
π
––
3
����2
–––
2
1
––
2
1
––
2
����3
–––
2
π
––
2
3π
––
2
π
––
2
π
––
2
����3
–––
2
1
––
2
1
––
2
����2
–––
2
����3
–––
2
sen x
–––––––––––––
sen x + cos x
�π––2�
�π––4�
3π
––
2
3
––
4
π
––
2
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76. (UNICAMP) – Considere a função
S(x) = 1 + 2sen x + 4(sen x)2 + 8(sen x)3 para x ∈ �.
a) Calcule S� �.
b) Resolva a equação S(x) = 0, para x ∈ [– 2π, 2π].
77. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatís tica (IBGE), produtos sazonais são aqueles
que apresentam ciclos bem definidos de produção,
consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em
que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa,
com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos,
o que ocorre no mês de produção máxima da safra. 
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em
reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser 
descrito pela função P(x) = 8 + 5 cos em que 
x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de
janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até
x = 12 as sociado ao mês de dezembro. 
Disponível em: www.ibge.gov.br.
Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado). 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
a) janeiro. b) abril. c) junho. 
d) julho. e) outubro. 
78. (INSPER) – Um economista analisou dados históricos sobre o
valor das ações de uma empresa e, com o intuito de prevê-lo ao
longo do ano de 2014, elaborou o seguinte modelo:
V(x) = 2 . sen – + 3 . sen –
Na função acima, V é o valor da ação e t é o tempo decorrido, em
dias, a partir do início do ano (ou seja, t = 1 denota o fim do dia 
1o. de janeiro de 2014). Para simplificar, suponha que todos os
meses tenham 30 dias. De acordo com esse modelo, a ação
deve atingir seu preço máximo ao término do dia
a) 10 de janeiro. b) 30 de julho.
c) 15 de julho. d) 30 de março.
e) 15 de maio.
79. (PUC) – Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era
estimado que, no ano de 2015 + x, com x ∈ {0, 1, 2, ... , 9, 10}, o
valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações
de certo país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela
função f(x) = 250 + 12 · cos · x . Caso essa previsão se
confirme, então, relativamente ao total ar reca dado a cada ano
con siderado, é correto afirmar que
a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021.
b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. 
c) poderá superar 300 milhões de dólares.
d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares.
80. (UNICAMP) – Considere a matriz quadrada de ordem 3, 
A = , em que x é um número real.
Podemos afirmar que 
a) A não é invertível para nenhum valor de x. 
b) A é invertível para um único valor de x. 
c) A é invertível para exatamente dois valores de x. 
d) A é invertível para todos os valores de x. 
81. (MACKENZIE) – Se f(x) = 31 + x e g(x) = sen x são duas funções
definidas em �, então os conjuntos imagem de f o g e g o f são,
respectivamente,
a) �+ e � b) �*+ e �
c) � e [–1; 9] d) [1; 9] e [– 1; 1]
e) �*+ e [–1; 1]
82. (FGV) – Sabendo que x pertence ao segundo quadrante e que 
cos x = –0,80, pode-se afirmar que 
a) cossec x = –1,666... b) tg x = – 0,75
c) sec x = –1,20 d) cotg x = 0,75
e) sen x = – 0,6
83. (ITA) – Considere todos os triângulos retângulos com os lados
medindo �
a, 2�
a e a. Entre esses triângulos, o de maior hipo -
tenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a 
a) arctg b) arctg 
c) arctg d) arctg 
e) arctg 
84. (ITA) – Os valores de x � [0, 2π] que satisfazem a equação 
2 sen x – cos x = 1 são
a) arccos e π b) arcsen e π
c) arcsen – e π d) arccos – e π
e) arccos e π
De 85 a 90, determinaro período das funções:
85. y = 3 · sen (2x)
86. y = π · tg (π x)
87. y = a + b · cos (cx + d)
88. Esboçar, em um período, o gráfico da função y = 2 · sen x.
89. Esboçar, em um período, o gráfico da função y = sen x – 2.
90. Esboçar, em um período, o gráfico da função y = 2 · sen � �.
π
––
3
� πt––––180
π
––
4
πt
––––
20
π
––
4
� π–––3
� cos x0
sen x
0
1
0
– sen x
0
cos x
�
� � �
�
3
––––
4
πx – π�–––––––�6
�
�
3
––––
3
3
–––
5
1
–––
2
4
–––
5
�3–––5��
3
–––
5�
�4–––5��
4
–––
5�
�4–––5�
x
––
2
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91. Esboçar, de – 2π a 2π, o gráfico da função y = sen � x �.
92. Esboçar, de – 2π a 2π, o gráfico da função y = sen x + sen � x �.
93. Estudar a variação da função f, tal que f(x) = 2 · sen � �.
94. (FEI) – Se 0 < x < 2π e sen x > cos x, então:
a) < x < b) < x < 
c) < x < d) < x < 
e) < x < 
95. (INSPER) – A figura abaixo representa o gráfico da função 
f(x) = a cos(x) + b.
O soma a + b e a diferença b − a são, respectivamente, iguais a
a) 3 e 1. b) 1 e − 3. c) π e 1.
d) − 1 e π. e) 3 e − 1.
96. (FGV) – No intervalo de 0 a π, a função que permite calcular a
área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de equações 
x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é
dada por A = cos p – cos q.
Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir.
A área da região sombreada nessa figura é, aproxima damente,
igual a
a) 2,64 b) 2,14 c) 1,86 d) 1,14 e) 0,86 
97. (PUCCAMP) – Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma função
f, de A � � em �.
É correto afirmar que
a) f é crescente para todo x real tal que < x < 
b) f é positiva para todo x real tal que 0 < x < 
c) o conjunto imagem de f é � – {0}
d) o domínio de f é � – 	 + k · π, com k ∈ �
e) o período de f é 
98. (UNESP) – A relação y = A + 0,6 sen[ω(t – 7)] exprime a profun -
didade y do mar, em metros, em uma doca, às t horas do dia, 
0 � t � 24, na qual o argumento é expresso em radianos.
a) Dado que na maré alta a profundidade do mar na doca é 
3,6 m, obtenha o valor de A.
b) Considerando que o período das marés é de 12 horas,
obtenha o valor de ω.
99. (FGV) – Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz
a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com
base nos dados observados, estima-se que o número de clientes
possa ser calculado pela fun ção trigonométrica 
f(x) = 900 – 800 · sen , em que f(x) é o número de clientes 
e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 � x � 24).
Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número
máximo e o número mínimo de clien tes den tro do
supermercado, em um dia completo, é igual a
a) 600 b) 800 c) 900 d) 1 500 e) 1 600 
100. (UFPB) – Considere um corpo, preso a uma mola, oscilando em
torno da sua posição de equilíbrio O, como na figura abaixo. 
No instante t, a posição x = x(t) desse corpo, em relação à sua
posição de equilíbrio, é dada pela função 
x(t) = cos πt + , t � 0.
3π
–––
4
π
––
4
x
––
2
π
––
4
π
––
2
7π
–––
4
π
––
8
7π
–––
8
3π
–––
2
π
––
4
3π
–––
2
2π
–––
3
π
––
6
5π
–––
12
π
––
2
π
––
2
�x .π––––12�
�3π–––2�
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157
Dessa forma, o gráfico que melhor representa a posição x desse
corpo, como função do tempo t, em relação ao ponto O, é:
101. (UFRJ) – Um afinador de piano produz uma onda musical cuja va -
ria ção de pressão pode ser modelada pela função P = a sen (2π
ft), em que a e f são constantes não nulas que representam,
respec ti vamente, a amplitude e a frequência da onda sonora e t
é o tempo. A figura abaixo representa a variação de pressão da
onda sonora produzida durante a afinição de um piano.
O produto da amplitude da onda pela frequência desta onda é
igual a
a) 4 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128
102. ÂNGULO DE MACH 
A uma determinada altitude e temperatura, a velo cidade Mach
(M) de um avião é a razão entre o módulo de sua velocidade (v)
e o módulo da velocidade do som (Vsom). Quando um avião se
desloca a uma velocidade superior à do som, a onda de choque
que o seu movimento provoca toma a forma de um cone (cone
de Mach). Ao ângulo formado pela geratriz do cone e pela direção
do movimento do avião chama-se ângulo de Mach (a). A figura
2 mostra o esquema do cone de Mach provocado por um avião
F15. 
A relação entre o ângulo de Mach (a) e a velocidade Mach (M) é
dada pela seguinte expressão: 
sen(a) = 
Considere a velocidade do som com módulo Vsom = 340 m/s. Se
o ângulo de Mach for a = 30° então a velocidade do avião terá
módulo igual a:
a) 170 m/s b) 340 m/s c) 680 m/s
d) 1020 m/s e) 1360 m/s 
1
––––
M
29) 3 30) zero 31) 32) E
33) C 34) B 35) E 36) D
37) ; 38) ;
39) ; ; ; 
5π
–––
4
3π
–––
4
11π––––
6
7π
–––
6
���3
––––
2
	 	 
7π–––
4
5π
–––
4
3π
–––
4
π
–––
4
	
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158
40) C 41) D 42) A 43) B
44) E 45) C 46) D
47) V = {0; 2π} 48) Ø 49) ;
50) x ∈ � | � x � 51) x ∈ � | � x �
52) x ∈ � | < x < 
53) x ∈ � |0 � x � ou � x < 2π
54) x ∈ � | � x < ou � x < 
55) x ∈ � | < x < ou < x < 
56) D 57) ;
58) ; 59) 0; 
60) x ∈ � |x = + n · 2π ou x = + n · 2π (n ∈ �)
61) x ∈ � |x = ± + 2nπ (n ∈ �)
62) x ∈ � |x = (n ∈ �)
63) x ∈ � |x = + (n ∈ �)
64) x ∈ � |x = + (n ∈ �)
65) x ∈ � | + n2π < x < +n2π (n ∈ �)
66) x ∈ � | + n2π � x � + n2π (n ∈ �)
67) x ∈ � | + nπ � x < + nπ (n ∈ �)
68) D(f) = {x ∈ � | n2π � x � π + n2π} (n ∈ �)
69) D(f) = x ∈ � | 0 � x � ou � x � π
70) D(f) = � – + n · π (n ∈ �)
71) x ∈ � | x = + n · π (n ∈ �)
72) D(f) = � – + n · π (n ∈ �); Im(f) = �
73) – 74) V = ;
75) 0; ; π; ; ; ; ; 
76) a) 4 + 4���3 b) – ; – ; ; 
77) D 78) E 79) B 80) D
81) D 82) B 83) C 84) A
85) π 86) 1 87) P = 
88) 
89) 
90)
	 π–––
4
5π
–––
4
	 π–––6
5π
–––
6
 	 5π–––4
7π
–––
4
	 π–––6 
11π
––––
6
5π––––
3
π
–––
3
	
3π–––
2
5π
–––
4
π
–––
2
π
–––
4
	
7π–––
4
3π
–––
2
3π
–––
4
π
–––
2
	
5π–––
4
π
–––
4
	
π–––
3
	
7–––
4
3
–––
4
	
5π–––
6
π
–––
6
	
5π–––
6
	
nπ–––
2
	
nπ–––
2
π
–––
4
	
nπ–––
2
π
–––
4
	
2π–––
3
π
–––
3
	
7π–––
4
π
–––
4
	
π–––
2
π
–––
4
	
2π––––
3
π
–––
3
	
3π–––
4
	
3π–––
4
	
3π–––
4
	
cos α + 1–––––––––
sen α
cos α – 1
–––––––––
sen α
	1–––
5
5π–––
3
4π
–––
3
2π
–––
3
π
–––
3
3π
–––
2
π
–––
2
	
11π––––
6
7π
–––
6
π
–––
6
5π
–––
6
	
2 · π
–––––
|c |
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91)
92)
93) D(f) = �; Im(f) = [– 2; 2]; P = 4π
94) A 95) E 96) D
97) E 98) a) A = 3 metros; b) ω = ± radiano/hora
99) E 100) B 101) B 102) C
π
–––
6
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1. Introdução
A Geometria Plana estuda as figuras planas. Enten -
demos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de
pontos de um plano. Quando dizemos que uma figura é
plana, estamos afirmando que ela está totalmente contida
num plano.
2. Ponto, reta e plano
São ideias primitivas, entes que não possuem
definição. Conhecemos imagens de ponto, por exemplo,
como a ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis
tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens, pois
não há dimensão para ponto. Analogamente, possuímos a
intuição de reta e plano.
Notação
Costumam-se indicar:
a) os pontos com letras maiúsculas: A, B, C, …
b) as retas com letras minúsculas: r, s, t, …
c) os planos com letras do alfabeto grego: α, β, γ, …
d) como dois pontos distintos determinam uma reta,
pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.
Exemplos
3. Semirreta
Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subcon -
juntos chamados semirretas.
O ponto A é origem das semirretas e pertence a
ambas. Representa-se por Ar1
→
e Ar2
→
.
A semirreta pode ser também indicada por dois
pontos. AB
→
indica a semirreta com origem A, que con -
tém o ponto B, e AC
→
indica a semirreta com origem A,
que contém o ponto C.
4. Segmento de reta
Podemos definir segmento de reta como sendo a
intersecção de duassemirretas, cada uma contendo a
origem da outra. Representa-se por AB
—
.
Simbolicamente
5. Medidas
Medida de um ente geométrico é um número real
positivo, obtido pela comparação deste ente com um
outro escolhido como unidade. Ao escolhermos esta
unidade, estamos estabelecendo um sistema de medidas.
I. INTRODUÇÃO AO 
ESTUDO DA GEOMETRIA
1O conjunto universo da geometria
plana será, pois, o plano.
—
AB = 
→
Ar1 �
→
Br2
1Geometria PlanaIntrodução à geometria – Ângulo – Paralelismo
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Exemplo
A medida do segmento AB
—
em centímetros é 5 e pode
ser representada por:
AB = 5 cm ou med (AB
—
) = 5 cm
6. Congruência
O termo congruência não será definido. A ideia in -
tuitiva de congruência entre dois entes geométricos está
associada às suas medidas. Dois entes serão congruentes
quando suas medidas forem iguais.
Para indicarmos a congruência entre dois entes geo -
mé tricos, utilizaremos o símbolo �.
7. Congruência de 
segmentos de reta
Dois segmentos de reta, AB
—
e CD
—
, serão congruentes
se, e somente se, tiverem mesma medida.
Simbolicamente
8. Segmentos colineares
São aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
Exemplos
AB
—
, MN
—
, AN
—
, AM
—
etc …
9. Ponto médio de um segmento
M será ponto médio de um segmento AB
—
se, e
somente se, M pertencer ao segmento AB
—
e AM
—
for
congruente com BM
—
.
Assim,
10. Região convexa
Um conjunto de pontos S é uma região convexa se, e
somente se, para qualquer par de pontos A e B de S, o
segmento AB
—
for subconjunto de S.
Assim,
Quando existirem dois pontos A e B de S, de tal
forma que AB
—
não é um subconjunto de S, a região é dita
côncava ou não convexa.
Assim,
M é o ponto 
médio de AB
—
�
M ∈ AB
—
	
AM
–
� BM
—
S é não convexa 
�
∃ A ∈ S e ∃ B ∈ S
tal que AB
—
	 S
—
AB �
—
CD 
�
AB = CD
S é convexa 
�
∀ A ∈ S, 
∀ B ∈ S,
AB
––
� S
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1. Ângulos
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem.
Simbolicamente
O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas Or
→
e
Os
→
são os lados do ângulo.
Notação
O ângulo determinado pelas semirretas Ar
→
e As
→
será
indicado por:
2. Região angular
Observe que o ângulo geralmente determina no
plano três conjuntos:
a) pontos “interiores” (P; Q; R; …)
b) pontos do ângulo (O; A; B; …)
c) pontos “exteriores” (X; Y; Z; …)
Região angular é a região determinada pela união
do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos
pontos “interiores”.
3. Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo
vértice e pelo menos um lado em comum.
Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são consecutivos, pois
admitem o lado Or
→
em comum.
Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são consecutivos, pois
admitem o lado Or
→
em comum.
4. Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quando
a intersecção entre seus conjuntos de pontos “interiores”
for vazia.
Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são adjacentes.
Observação
Dois ângulos adjacentes são sempre dois ângulos
con secutivos, porém dois ângulos consecutivos nem
sem pre são adjacentes.
5. Congruência de ângulos
Dois ângulos são congruentes se, e somente se, eles
têm mesma medida.
rA
^
s ou BA
^
C ou A
^
r
^
Os = →Or 
 →Os
II. ÂNGULOS
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163
Simbolicamente
6. Ângulo reto
Duas retas são chamadas concorrentes se, e so mente
se, elas possuem um único ponto em comum.
Observe que duas retas concorrentes determinam
quatro regiões angulares adjacentes.
Quando duas dessas regiões angulares adjacentes
forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
define uma região de ângulo reto.
Observação
Quando duas retas r e s são concorrentes e deter -
minam ân gu los adjacentes congruentes, elas são cha -
madas per pen di cu la res. 
Simbolicamente, r ⊥ s.
7. Sistemas de medidas de ângulo
Sistema Graus
Ângulo de um grau (1°) é o ângulo cuja medida é
de um ângulo reto.
O grau admite dois submúltiplos: o minuto e o se -
gundo.
Ângulo de um minuto (1’) é o ângulo cuja medida é
de 1°.
Ângulo de um segundo (1”) é o ângulo cuja medida
é de 1’.
Resumindo:
Sistema Radianos
A medida de um ângulo no sistema radianos é a ra -
zão entre o comprimento do arco que este ângulo deter -
mina sobre qualquer circunferência de centro no vértice
do ângulo e a medida do raio da referida cir cunferência. 
8. Ângulos agudo, obtuso e raso
Ângulo agudo
Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90°.
Âgulo obtuso
Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90°.
Ângulo raso
Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas
opostas.
A medida de um ângulo raso é dois retos ou 180°.
Exemplos
1
–––
90
1
–––
60
1
–––
60
11° = ––– de um ângulo reto
90
1
1’ = ––– de 1°
60
1
1” = ––– de 1’
60
1 reto = 90°
1° = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
AB
^
C � DE^F ⇔ med (AB^ C) = med (DE^F)
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9. Soma de ângulos
A soma de dois ângulos AB
^
C e DE
^
F é um ângulo PQ
^
R tal que:
Observação:
Quando med (PQ
^
R) = med (AB
^
C) – med (DE
^
F), o ân gulo PQ
^
R é a diferença entre os ângulos AB
^
C e DE
^
F.
med (PQ
^
R) = med (AB
^
C) + med (DE
^
F)
10. Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem
no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos con -
gruentes. Assim,
11. Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma
de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é
cha mado complemento do outro.
Assim, o complemento de um ângulo de medida x é: 
12. Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas é dois ângulos retos. Um dos ângulos é
cha mado suplemento do outro.
Assim, o suplemento de um ângulo de medida x é: 
13. Ângulos replementares
Dois ângulos são replementares quando a soma de
duas medidas é quatro ângulos retos. Um dos ângulos é
chamado replemento do outro.
Assim, o replemento de um ângulo de medida x é: 
14. Ângulos opostos pelo vértice
Ângulos opostos pelo vértice são aqueles em que os
lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
Teorema
Demonstração
a + x = 180°
b + x = 180°
 ⇒ a + x = b + x ⇔ a = b
OC
→
é bissetriz 
do ângulo AO
^
B
�
AO
^
C � BO^ C
Complementares
�
a^ + b
^
= 90°
90° – x
Suplementares
�
â + b^ = 180°
Replementares
�
â + b^ = 360°
360° – x
Se dois ângulos são
opostos pelo vértice,
então eles 
são congruentes.
180° – x
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165
1. O plano é uma região convexa. Certo ou errado?
Resolução
CERTO, pois:
⇒ ––AB � α
2. Toda circunferência é uma região convexa. Certo ou errado?
Resolução
ERRADO, pois:
Seja γ uma circunferência qualquer.
∃ A ∈ γ, ∃ B ∈ γ(A � B) |
––
AB � γ
3. Demonstre que o círculo é uma região convexa.
Resolução
Seja π um círculo qualquer.
⇒
⇒
––
AB � π ⇒
⇒ π é uma região convexa.
4. Calcular:
a) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54”
Resolução
83° 20’ 43”
+ 21° 32’ 54”
––––––––––––
104° 52’ 97”
Como 1’ → 60”, temos que: 
83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”
b) 92° 43’ – 47° 30’
Resolução
92° 43’
– 47° 30’
–––––––––
45° 13’
c) 41° 23’ – 17° 21’ 43”
Resolução
41° 22’ 60”
– 17° 21’ 43”
––––––––––––
24° 01’ 17”
d) 38° : 3
Resolução
38° 3
36° 12° 40’
2° = 120’
0
Logo, 38° : 3 = 12° 40’
5. Calcular x na figura, sabendo-se que OC
→
é bissetriz do ângulo
AO
^
B.
Resolução
3x – 20° = x + 11° ⇔ 2x = 31° ⇔ x = ⇔ x = 15° 30’
Resposta: 15° 30’
6. O complemento de um ângulo de 75° mede:
a) 105° b) 90° c) 75° d) 25° e) 15°
Resolução
x + 75° = 90° ⇒ x = 90° – 75° ⇒ x = 15°
Resposta: E
7. Calcule o complemento de 69° 51’ 22”. 
Resolução
I) 90° = 89° 59’ 60”
II) 89° 59’ 60”
– 69° 51’ 22”
––––––––––––
20° 08’ 38”
Resposta: 20° 08’ 38”
8. O suplemento do complemento de um ângulo de 18°mede:
a) 18° b) 72° c) 90° d) 108° e) 162°
Resolução
180° – (90° – 18°) = 180° – 72° = 108°
Resposta: D
9. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu
suplemento. O complemento desse ângulo mede:
a) 60° b) 90° c) 120° d) 30° e) 45°
Resolução
Sendo x a medida, em graus, desse ângulo, tem-se:
1o.) x = ⇔ 2x = 180° – x ⇔ 3x = 180° ⇔ x = 60°
2o.) 90° – x = 90° – 60° = 30°
Resposta: D
10. Com os dados da figura, calcule β
Resolução
1o.) 3α – 10° = 2α + 10° ⇔ 3α – 2α = 10° + 10° ⇔ α = 20°
2o.) 3α – 10° + β = 180°
Assim: 3 · 20° – 10° + β = 180° ⇔ 60° – 10° + β = 180° ⇔
⇔ β = 180° – 60° + 10° ⇔ β = 130°
Resposta: 130°
180° – x
––––––––
2
31°
–––
2
∀ A, B ∈ πA � B
∀ A, B ∈ αA � B
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166
11. Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa.
a) reta b) ângulo
c) região angular d) circunferência
e) círculo f) coroa circular
12. O suplemento do complemento de um ângulo agudo de medida
x (em graus) é igual a:
a) 90° – x b) 90° + x c) x – 90°
d) 180° – x e) 360° – x
13. Calcule o complemento de um ângulo que mede 40° 30’ 30”.
14. (ESCOLA TÉCNICA FEDERAL) – As medidas do comple mento,
do suplemento e do replemento de um ângulo de 40° são,
respectivamente, iguais a:
a) 30°, 60° e 90° b) 30°, 45° e 60°
c) 320°, 50° e 140° d) 50°, 140° e 320°
e) 140°, 50° e 320°
15. (U.E. CEARÁ) – O ângulo igual a do seu suplemento mede:
a) 100° b) 144° c) 36° d) 80° e) 72°
16. (PUC) – Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então
esse ângulo mede:
a) 30° b) 60° c) 45° d) 90° e) 75°
17. (U.F. UBERLÂNDIA) – Dois ângulos adjacentes são comple men -
tares. Então, o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos
mede:
a) 20° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°
18. O dobro da medida do complemento de um ângulo, aumentado
de 40°, é igual à medida do seu suplemento. Qual a medida do
ângulo?
19. A soma de dois ângulos, que têm medidas (em graus) expressas
por números ímpares consecutivos, é 76°. Qual a medida do
menor deles?
20. Da medida de um ângulo, tira-se a sua terça parte e em seguida
a metade da medida do suplemento do que restou, obtendo-se
60°. A medida desse ângulo é igual a:
a) 60° b) 90° c) 120° d) 128° e) 150°
21. (MACKENZIE) – O complemento e o suplemento de 37° 20’ 07”
medem, respectivamente:
a) 142° 39’ 53” e 52° 39’ 53”
b) 52° 39’ 53” e 142° 39’ 53”
c) 53° 20’ 07” e 153° 20’ 07”
d) 153° 20’ 07” e 53° 20’ 07”
e) 142° 39’ 53” e 53° 20’ 07”
22. O triplo da medida do complemento de um ângulo supera a
medida do próprio ângulo, de tantos graus quantos expressam a
metade da medida desse ângulo. O suplemento desse ângulo
mede:
a) 60° b) 75° c) 90° d) 105° e) 120°
23. (UFES) – O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:
a) 45° b) 48° 30’ c) 56° 15’
d) 60° e) 78° 45’
24. São dados dois ângulos adjacentes em que a medida de um é o
triplo da medida do outro e a medida do complemento do ângulo
entre as suas bissetrizes é 50°. A medida do complemento da
soma dos ângulos dados é igual a:
a) 10° b) 30° c) 40° d) 50° e) 80°
25. (UFC) – Sejam x + 10° e 2x + 50° as medidas em graus de dois
arcos, a e b, respectivamente. Qual é o menor valor positivo de
x, de modo que a e b sejam suplementares?
a) 34° b) 38° c) 40° d) 92° e) 204°
26. (UFES) – O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo, em radianos,
mede:
a) b) c) d) e)
5π
–––
8
7π
–––
16
7π
–––
4
5π
–––
16
7π
–––
8
5
––
4
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167
1. Nomenclatura
Dadas, num plano, duas retas r e s e uma transversal
t, obtemos oito ângulos com as designações
• correspondentes: â e α^; b
^
e β
^
; ĉ e γ^; d
^
e δ
^
• alternos externos: â e γ^; b
^
e δ
^
• alternos internos: ĉ e α̂; d
^
e β
^
• colaterais externos: a^ e δ
^
; b^ e γ^
• colaterais internos: ĉ e β
^
; d
^
e α^
2. Retas paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, são
coplanares com intersecção vazia ou são coincidentes.
Representa-se r // s.
3. Ângulos correspondentes
Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos correspondentes congruentes e
reci procamente.
4. Ângulos alternos 
Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos alternos congruentes e reci pro -
camente.
5. Ângulos colaterais
Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos colaterais suplementares e recipro -
camente.
III. PARALELISMO
r // s ⇔ α � β
r // s ⇔ γ � β
r // s ⇔ β + δ = 180°
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168
6. Ângulos de lados paralelos
Ângulos de lados paralelos são congruentes ou su -
plementares. 
7. Ângulos de lados perpendiculares
Ângulos de lados perpendiculares são congruentes
ou suplementares. 
α � β α + β = 180° α � β α + β = 180°
27. Determine o valor de x na figura seguinte.
Resolução
x + 60° = 180° ⇔ x = 120°
Resposta: 120°
28. As retas r e s da figura seguinte são paralelas. O valor de α é:
a) 18° b) 30° c) 32° d) 36° e) 40°
Resolução
Os ângulos 2α e 3α são ângulos colaterais externos.
Assim: 2α + 3α = 180° ⇔ 5α = 180° ⇔ α = 36°
Resposta: D
29. Na figura seguinte, na qual as retas r e s são paralelas, o valor de
x é igual a:
a) 20° b) 25° c) 30° d) 40° e) 45°
Resolução
Os ângulos de medidas 5x + 20° e 120° são alternos externos.
Assim: 5x + 20° = 120° ⇔ 5x = 100° ⇔ x = 20°
Resposta: A
30. Calcular x com os dados da figura seguinte, na qual as retas r e
s são paralelas.
Resolução
Traçando uma reta t, pelo vértice do ângulo reto, paralela às retas
r e s, tem-se:
x + 65° = 90° ⇔ x = 25°
Resposta: x = 25°
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169
31. As retas r e s da figura seguinte são paralelas. 
Prove que: α + β = λ + θ
Resolução
Traçando as retas t e u paralelas a r, pelos vértices dos ângulos α
e θ, respectivamente, tem-se:
Os ângulos α – λ e θ – β são alternos internos.
Assim: α – λ = θ – β ⇒ α + β = λ + θ
32. (CESGRANRIO) – Duas retas paralelas são cortadas por uma
transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos agudos
formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos
formados mede:
a) 142° b) 144° c) 148° d) 150° e) 152°
33. (CESGRANRIO) – As retas r e s da figura são paralelas cortadas
pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B – A vale:
a) 90° b) 85° c) 80° d) 75° e) 60°
34. (FECAPE) – Duas ruas paralelas do Condo mínio Rio Encantado
são cortadas transversal mente por outra rua que forma com as
primeiras ângulos colaterais internos de tal mo do que um excede
o outro em 30°. O maior desses ângulos mede:
a) 105° b) 110° c) 120° d) 125° e) 150°
35. (PUC) – Na figura seguinte, sendo a paralela a b, então o valor de
x é:
a) 18° b) 45° c) 90° d) 60° 30’ 10” e) 60°
36. (PUC) – Se r é paralela a s, então α e β medem, respecti -
vamente:
a) 120° e 60° b) 100° e 80° c) 108° e 72°
d) 150° e 30° e) 90° e 60°
37. (UNAERP) – As retas r e s são interceptadas pela transversal
“t”, conforme a figura. O valor de x para que r e s sejam
paralelas é:
a) 20° b) 26° c) 28° d) 30° e) 35°
38. (UFPB) – Na figura abaixo, as retas paralelas r e s são cortadas
pela reta transversal p. Então, o valor de x é:
a) 55° b) 40° c) 35° d) 60° e) 45°
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170
39. (PUC) – Na figura seguinte, se r//s, então x vale:
a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
40. (UNIRIO) – As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α,
apresentado na figura a seguir, é:
a) 40° b) 45° c) 50° d) 65° e) 130°
41. (UNIABC) – Determine o valor do ângulo α na figura abaixo:
a) 30° b) 15° c) 60° d) 45° e) 70°
42. (FUVEST) – Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 
1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do
ângulo 3 é:
a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100
43. (MACKENZIE) – Na figura, AB
↔
// DE
↔
. O valor de α é:
a) 80° b) 40° c) 20° d) 15° e) 30°
44. (UNIV. FED. FORTALEZA) – Na figura abaixo,tem-se r//s e t//u.
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas em graus,
então α é igual a:
a) 100° b) 80° c) 70° d) 50° e) 30°
45. (FGV) – Considere as retas r, s, t e u, todas num mesmo plano,
com r//u. O valor em graus de (2x + 3y) é:
a) 64° b) 500° c) 520° d) 660° e) 580°
46. (UFGO) – Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. A medida
do ângulo b é:
a) 100° b) 120° c) 110° d) 140° e) 130°
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47. O valor de α na figura seguinte é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
48. (UNICAMP) – Para calcular a circunferência ter res tre, o sábio
Eratóstenes valeu-se da distância co nhe cida de 800 km entre as
localidades de Ale xandria e Cirene no Egito (A e S, respec -
tivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia
que, quando em Cirene os raios solares caíam vertical mente, em
Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule,
com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o
comprimento de uma volta completa em torno da Terra.
11) a) convexa b) não convexa c) convexa
d) não convexa e) convexa f) não
convexa
12) B 13) 49° 29’ 30” 14) D
15) A 16) A 17) E
18) 40° 19) 37° 20) E
21) B 22) E 23) E
24) A 25) C 26) D
32) B 33) A 34) A
35) A 36) C 37) B
38) A 39) B 40) A
41) D 42) E 43) B
44) A 45) B 46) A
47) D 48) 40 000 km
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1. Definição
Dados três pontos não colineares, A, B e C, chama-se
triângulo a união dos três segmentos, AB
—
, AC
—
e BC
—
.
Simbolicamente
A união do triângulo ABC com os pontos de sua re -
gião interior é chamada região triangular.
A palavra triângulo é, muitas vezes, usada com o
sentido de região triangular.
2. Elementos do triângulo
a) Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
b) Os segmentos AB
—
, AC
—
e BC
—
são os lados do triân -
gulo.
c) Os ângulos BA
^
C = A
^
, AB
^
C = B
^
e AC
^
B = C
^
são os
ângulos internos do triângulo.
d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo
interno. Na figura α, β e γ são os ângulos externos dos
vértices A, B e C, respectivamente.
3. Propriedades
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
é 180°.
Demonstração
Como β � B
^
, γ � C
^
e A
^
+ β + γ = 180°, temos:
Soma dos ângulos externos
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos exter -
nos é 360°.
Demonstração
A
^
+ B
^
+ C
^
= 180°
ΔABC = AB
—
 BC
—
 AC
—
2Geometria PlanaTriângulos
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173
⇒
⇒ A^ + B^ + C^ + α^ + β^ + γ^ = 540° ⇒
180°
⇒
Teorema do ângulo externo
Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual
à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração
⇒
Observações
a) De forma análoga, provamos que
e
b) A medida de um ângulo externo do triângulo é
maior do que a medida de qualquer ângulo interno não
adjacente.
4. Classificação dos triângulos
Classificação quanto aos lados
Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado em:
a) equilátero, quando tem os três lados congruentes.
b) isósceles, quando tem dois lados congruentes.
c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são
congruentes.
Classificação quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser classifi cado
em:
a) retângulo, quando possui um ângulo reto.
b) acutângulo, quando possui os três ângulos agu -
dos.
c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.
Observações
a) Todo triângulo isósceles é também isoângulo.
Assim, no triângulo ABC da figura seguinte, co -
mo AB
–– � AC––, temos B^ � C
^
.
O lado BC
––
é chamado base do triângulo isósceles.
b) Todo triângulo equilátero é equiângulo.
A medida de cada ângulo do triângulo equilá -
tero é 60°.
A
^
+ α^ = 180°
B
^
+ β
^
= 180°
C
^
+ γ^ = 180°
A
^
+ α^ = 180°
A
^
+ B
^
+ C
^
= 180°
α^ + β
^
+ γ^ = 360°
α^ = B
^
+ C
^
β
^
= A
^
+ C
^
γ̂ = Â + B
^
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c) O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo
retângulo é chamado hipotenu sa e os dois outros lados
são chamados catetos. 
5. Segmentos notáveis do triângulo
Mediana
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que
tem uma extremidade num dos vértices do triângulo e a
outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice.
—
AMA é a mediana relativa ao vértice A
Bissetriz
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta de -
ter minado por um vértice do triângulo e pela intersecção
do lado oposto a esse vértice com a bissetriz do ângulo
interno desse vértice.
—
ASA é a uma bissetriz do triângulo
Altura
Altura de um triângulo é o segmento de reta deter -
minado por um vértice e pela intersecção da reta que
contém o lado oposto a esse vértice, com a perpen di -
cular a ela traçada por esse vértice.
—
AHA é a altura relativa ao vértice A
Observações
a) Num triângulo isósceles, a altura relativa à base
coincide com a mediana e com a bissetriz.
b) Num triângulo equilátero, a altura relativa a
qual quer vértice coincide com a mediana e com a
bissetriz.
6. Propriedade importante 
do triângulo retângulo
Se um triângulo está inscrito numa circunferência e
um de seus lados é um diâmetro, então o triângulo é
retângulo.
a) AO
—
� BO
—
� CO
—
(raio da circunferência)
b) AB
^
O � BA^O pois ΔAOB é isósceles
c) AC
^
O � CA^O pois ΔAOC é isósceles
d) No triângulo ABC, temos:
α + α + β + β = 180° ⇔ 2α + 2β = 180° ⇔
⇔ α + β = 90° ⇒ BA^ C = 90°
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Observação
Num triângulo retângulo, o ponto médio da hipo -
tenusa está à mesma distância dos três vértices, pois é o
centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Assim, a mediana relativa à hipotenusa de um triân -
gulo retângulo tem a metade da medida da referida
hipotenusa.
7. Condição de existência 
do triângulo
A condição necessária e suficiente para existir um
triângulo é que a medida de cada um de seus lados seja
menor que a soma das medidas dos outros dois.
Se a, b, e c forem, respectivamente, as medidas dos
lados BC
––
, AC
––
e AB
––
do triângulo ABC, então:
Observação
Se a for o maior lado, a condição neces sária e sufi -
ciente para existir o triân gulo é apenas .
8. Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se for possível
estabelecer uma correspondência entre os vértices de um
e os do outro, de modo que os lados e os ângulos
correspondentes sejam, respectivamente, congruentes.
9. Critérios de congruência
A definição de congruência exige a congruência dos
seis elementos, enquanto os critérios de congruência nos
permitem concluir que dois triângulos são con gruen tes a
partir da congruência de três elementos conve nien tes. 
Temos quatro critérios de congruência de triângulos:
1o. Critério: LLL
Dois triângulos são congruentes quando possuem os
três lados respectivamente congruentes.
2o. Critério: LAL
Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente, con -
gruen tes.
AB
–– � RP––
BC
––
� PQ––
AC
–– � RQ––
ΔABC � ΔRPQ ⇔
 � R̂
B̂ � P̂
Ĉ� Q̂
AB
––
� PQ
––
AC
––
� PR
–– 
 ⇒ ΔABC � ΔPQR
BC
––
� QR
––
BC
AM = ––––
2
a < b + c
	 b < a + cc < a + b
a < b + c 
AB
––
� PQ
––
AC
––
� PR
–– 
 ⇒ ΔABC � ΔPQR
 � P̂
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3o. Critério: ALA
Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente, con -
gruentes.
4o. Critério: LAAo
Dois triângulos são congruentes quando possuem um
lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse lado, respec ti -
v a mente, congruentes.
Observações
a) LLA não assegura congruência.
Na figura, os triângulos ABC e A’BC não são con -
gruentes pois AC ≠ A’C, embora 
b) Se dois triângulos retângulos possuem hipote nu -
sas congruentes e um dos catetos congruentes, então eles
são congruentes.
10. Teorema
Se um triângulo ABC é isoângulo, então ele é isósceles.
Demonstração
Hipótese
Tese { AB
–– � AC––Seja BS
––
a bissetriz de A e portanto BA
^
S � CA^ S.
Assim sendo, ⇒
⇒ ΔBAS � ΔCAS pelo critério LAAo. 
Logo AB
–– � AC––.
Observação
Da demonstração anterior, conclui-se que AS
––
, além
de bissetriz, é a mediana e a altura relativa ao vértice A.
	
	
BA
^
S � CA^ S
B
^ � C^
AS
––
(lado comum)
ΔABC isoângulo
B̂ � Ĉ
BC
—
(lado comum)
Ĉ (ângulo comum)
AB
—
� A’B
—
(raio)
BC
––
� QR
––
B
^
� Q
^ 
 ⇒ ΔABC � ΔPQR
A
^
� P
^
BC
–––
� QR
–––
B̂ � Q̂ 
 ⇒ ΔABC � ΔPQR
Ĉ � R̂
Nos exercícios de 1 a 3, calcule x, associando-o com:
a) 40° b) 60° c) 70° d) 90° e) 100°
1.
Resolução
x + 50° = 120° ⇔ x = 70°
Resposta: C
2.
Resolução
3x = 80° + x ⇔ 2x = 80° ⇔ x = 40°
Resposta: A
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3.
Resolução 
x = 30° + 70°
x = 100° 
Resposta: E 
4. Calcule a medida do ângulo AB
^
C da figura seguinte, em que 
AB = AC e o ângulo BA
^
C mede 40°.
Resolução
⇒ 40° + x + x = 180° ⇒
⇒ 2x = 140° ⇒ x = 70°
Resposta: 70°
5. O triângulo ABC da figura seguinte é:
a) acutângulo e escaleno b) retângulo e escaleno
c) obtusângulo e escaleno d) acutângulo e equilátero
e) retângulo e isósceles
Resolução
⇒ 3x + 2x + x = 180° ⇒ 6x = 180° ⇒ x = 30°
Assim: Â = 90°, B = 60° e C = 30°
Resposta: B
6. Calcule x, com os dados da figura seguinte, em que AB = BC = CD
e med (CD
^
B) = 25°.
Resolução
No ΔABD, x é ângulo externo.
Logo, x = 25° + 50°
x = 75°
7. Demonstre que num triângulo isósceles os ângulos opostos aos
lados congruentes são também congruentes.
Resolução
Hipótese
Tese: B
^
� C
^
Seja M o ponto médio de
—
BC e, portanto, BM
—
� MC
—
.
Logo, B
^
� C
^
A
^
= 3x
B
^
= 2x
C
^
= x
A
^
+ B
^
+ C
^
= 180°
A
^
= 40°
B
^
= C
^
= x
A
^
+ B
^
+ C
^
= 180°
Δ ABC é isósceles
—
AB �
—
AC	
⇒LLL ΔAMB � ΔAMC
AB
—
� AC
—
BM
—
� MC
—
AM
—
comum
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8. Com os dados da figura seguinte, calcule x e y.
Resolução
Os triângulos são congruentes pelo critério ALA.
Logo, x = 6 e y = 9
Resposta: x = 6 e y = 9
9. Na figura, OX
→
é bissetriz de AO
^
B e M ∈ OX
→
.
Prove que: AM
—
� BM
—
.
Resolução
⇒
LAA0 
ΔMOA � ΔMOB ⇒ —AM � —BM
10. No quadrilátero ABCD da figura seguinte, tem-se:
AB
—
// CD
—
e AD
—
// BC
—
· Prove que AB
—
� CD
—
e BC
—
� DA
—
.
Resolução
Logo, AB
—
� CD
—
e BC
—
� DA
—
11. Um triângulo retângulo é tal que um de seus ângulos agudos
mede 20°. Determinar o ângulo entre a altura e a mediana relativa
à hipotenusa do triângulo.
Resolução
Seja x a medida do ângulo formado pela altura AH
—
e pela mediana
AM
—
do triângulo retângulo ABC.
1o.) MC = MA ⇒ med(MA^C) = med(AC^M) = 20°
2o.) 20° + x + 20° = 90° ⇒ x = 50°
Resposta: 50°
12. Um decorador utilizou um único tipo de transfor mação
geométrica para compor pares de cerâmicas em uma parede.
Uma das composições está representada pelas cerâmicas
indicadas por I e II.
Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe
par com a cerâ mica indicada por III? 
Resolução
Da figura I para a figura II foi feita a simetria em relação ao eixo
horizontal que passa pelo centro da figura.
Utilizando-se o mesmo tipo de simetria na figura III, obtemos a
figura IV abaixo
Resposta: B
 ALA⇒ ΔABD � ΔCDB
BD
—
é lado comum
A
^
DB � C^BD (alternos internos)
A
^
BD � C^DB (alternos internos)
—
OM é comum
AO
^
M � BO
^
M (bissetriz)
OA
^
M � OB
^
M (retos)
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13. Uma das ex pressões artísticas mais famosas as sociada aos
conceitos de simetria e congruência é, talvez, a obra de Maurits
Comelis Escher, artista holandês cujo trabalho é ampla men te
difundido. A figura apre sentada, de sua autoria, mostra a
pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos escuros,
que são congruentes e se encai xam sem deixar espaços vazios.
Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher, entre
as figuras abaixo, aquela que poderia pavimentar um plano,
utilizando-se peças congruentes de tonalidades claras e escuras é
Resolução
A figura que permite uma pavimentação deverá permitir um en -
caixe perfeito, sem sobreposição e sem deixar sobras.
Das figuras apresentadas, apenas a da alternativa D satisfaz tal
con dição, como se vê no esquema abaixo.
Resposta: D
Nos exercícios de 14 a 17, determine o valor de x e associe com
as alternativas seguintes:
a) 30° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
14.
15.
16.
17.
18. (PUC) – Na figura seguinte, o ângulo A
^
DC é reto. O valor em
graus do ângulo C
^
BD é igual a:
a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) 120
19. (PUC) – Na figura seguinte, a = 100° e b = 110°. Quanto mede o
ângulo x?
a) 30° b) 50° c) 80° d) 100° e) 120°
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180
20. (PUC) – Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Então, os
ângulos a, b, c e d medem, nessa ordem:
a) 60°, 30°, 70° e 60°
b) 70°, 30°, 80° e 70°
c) 60°, 45°, 80° e 60°
d) 80°, 45°, 70° e 80°
e) 70°, 30°, 70° e 70°
21. (FUVEST) – Num triângulo ABC, os ângulos B
^
e C
^
medem 50° e
70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com
a reta BC ângulos proporcionais a:
a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6
22. (FUVEST) – Um triângulo ABC tem ângulo A
^
= 40° e B
^
= 50°.
Qual o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A
^
e B
^
desse triângulo?
a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120°
23. Num triângulo ABC em que o ângulo B
^
é maior que o ângulo C
^
, o
ângulo que a bissetriz AS
—
forma com a altura AH
—
, relativas ao
vértice A, é igual a:
a) b) c) 
d) e)
24. As bissetrizes dos ângulos internos B
^
e C
^
de um triângulo ABC
interceptam-se num ponto I. Se a medida do ângulo BA
^
C é de
40°, então a medida do ângulo BI
^
C é igual a:
a) 80° b) 90° c) 110° d) 120° e) 130°
25. (MACKENZIE) – Na figura, se 
—
MN // 
—
AC, a medida de α é:
a) 28° b) 30° c) 32° d) 34° e) 36°
26. (FGV) – Na figura, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta
suporte da bissetriz do ângulo CA
^
H. Se c = 30° e b = 110°,
então:
a) x = 15° b) x = 30° c) x = 20°
d) x = 10° e) x = 5°
27. (FATEC) – Na figura seguinte, r é bissetriz do ângulo AB
^
C. Se
α = 40° e β = 30°, então:
a) γ = 0° b) γ = 5° c) γ = 35° d) γ = 15°
e) os dados são insuficientes para a determinação de γ.
28. (FUVEST) – Na figura seguinte, AB = AC, O é o ponto de encon -
tro das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo B
^
OC é o triplo do
ângulo 
^
A. Então a medida do ângulo A
^
é:
a) 18° b) 12° c) 24° d) 36° e) 15°
29. (FUVEST) – Num triângulo isósceles, o ângulo A
^
mede 100°.
Qual o ângulo formado pelas alturas que não passam pelo vértice
A?
30. Assinale a afirmação falsa:
a) Todo triângulo equilátero é acutângulo.
b) Todo triângulo equilátero é equiângulo.
c) Todo triângulo equilátero é isósceles.
d) Todo triângulo acutângulo é equilátero.
e) Nenhum triângulo retângulo é equilátero.
B
^
–––
2
C
^
–––
2
B
^
+ C
^
––––––
2
B
^
– C
^
––––––
2
2B
^
– C
^
–––––––
2
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181
31. A figura representa um triângulo ABC, com E e D sendo pontos
sobre
—
AC. Sabe-se ainda que AB = AD, CB = CE e que E
^
BD
mede 39°. Nas condições dadas, a medida de A
^
BC é
a) 102° b) 108° c) 111° d) 115° e) 117°
32. (PUC) – A soma dos ângulos assinalados na figura vale:
a) 90° b) 180° c) 270° d) 360° e) 540°
33. (MACKENZIE) – Na figura, o ângulo α mede:
a) 18° b) 36° c) 54° d) 20° e) 25°
34. (FUND. CARLOS CHAGAS) – O triângulo ABC, representado na
figura, é isósceles. A medida do ângulo x assinalado é:
a) 90° b) 100° c) 105° d) 110° e) 120°
35. (FUVEST) – Na figura abaixo AB = AC, CB = CD e A
^
= 36°.
a) Calcule os ângulos DC
^
B e AD
^
C.
b) Prove que AD = BC.
36. (UEC) – Na figura MP = NP, NQ = NH e H
^
= 35°. O valor, em
graus, de α̂ + β̂ + θ̂, é:
a) 190 b) 195 c) 205 d) 210
37. (FUVEST) – Na figura, AB =BD = CD. 
Então:
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180°
d) x = y e) 3x = 2y
38. (FUVEST) – Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo
A^ mede 40°, então o ângulo XY
^
Z mede
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 90°
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39. (FUVEST) – Na figura abaixo, tem-se que AD = AE, CD = CF e
BA = BC. Se o ângulo ED
^
F mede 80°, então o ângulo AB
^
C mede:
a) 20° b) 30° c) 50° d) 60° e) 90°
40. Na figura seguinte, tem-se AB = BC = CD = DE = EF. Determine
a medida do angulo CA
^
B, dado que a medida do ângulo DE
^
F é
igual a 20°.
41. (FUVEST) – No retângulo abaixo, o valor, em graus, de α + β é
a) 50° b) 90° c) 120° d) 130° e) 220°
42. (FUVEST) – As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x,
em graus, é
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
43. (MACKENZIE) – Na circunferência da figura, de centro O,
MN
—
= OP
—
. A razão entre as medidas dos ângulos QO
^
P e MO
^
N é
a) b) c) 3 d) e) 4
44. (FUVEST) – A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20cm
e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela
bissetriz do ângulo reto?
45. (UNIV. ESTADUAL DO PARÁ) – Seja ABC um triângulo retân -
gulo, em que A
^
= 90°. Se a altura AH
—
forma com a mediana AM
—
um ângulo de 20°, então os ângulos agudos desse triângulo são:
a) 40° e 50° b) 35° e 55° c) 30° e 60°
d) 25° e 65° e) 45° e 45°
46. (MACKENZIE) – No triângulo abaixo, temos AB = BC e CD = AC.
Se x e y são as medidas em graus dos ângulos 
^
A e 
^
B, respecti -
vamente, então x + y é igual a
a) 120° b) 110° c) 115° d) 95° e) 105°
47. (ITA) – Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo
distinto dos demais, B
^
AC, mede 40°. Sobre o lado AB
—
, tome o
ponto E, tal que A
^
CE = 15°. Sobre o lado AC
—
, tome o ponto D, tal
que D
^
BC = 35°. Então, o ângulo E
^
DB vale:
a) 35° b) 45° c) 55° d) 75° e) 85°
48. No triângulo ABC da figura seguinte, tem-se: 
AB = x, BC = y e AC = z.
Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) x < y + z b) y < x + z
c) z < x + y d) � y – z � < x < y + z
e) x + y < z
5
––
2
3
––
2
4
––
3
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49. Em um triângulo, dois lados medem, respectivamente, 5 e 8. O
menor valor inteiro possível para a medida do terceiro lado é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 12 e) 13
50. (PUC) – Se a, b e c são medidas de três segmentos, então:
a) se a < b < c, existe um triângulo cujos lados medem a, b e c.
b) se a = b + c, existe um triângulo cujos lados medem a, b e c.
c) se a < b + c, existe um triângulo cujos lados medem a, b e c.
d) se a > b + c, existe um triângulo cujos lados medem a, b e c.
e) todas as afirmações anteriores são falsas.
51. (UFGO) – Se dois lados de um triângulo medem
respectivamente 3 cm e 4 cm, podemos afirmar que a medida do
terceiro lado é:
a) igual a 5 cm b) igual a 1 cm
c) igual a ����7 cm d) menor que 7 cm
e) maior que 2 cm
52. (COLÉGIO NAVAL) – Dois lados de um triângulo são iguais a 
4 cm e 6 cm. O terceiro lado é um número inteiro expresso por 
x2 + 1, com x ∈ �. O seu perímetro é:
a) 13 cm b) 14 cm c) 15 cm 
d) 16 cm e) 20 cm
53. (MACKENZIE) – Se no quadrilátero ABCD da figura, a medida de
BD
—
for um número natural, então esse número será:
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
54. (MACKENZIE) – No triângulo da figura, a soma das medidas x, y
e z pode ser
a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33
55. Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos
de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo
será cons truído com exa ta mente 17 palitos e pelo
menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de
exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído
com essas caracterís ticas.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois
que podem ser construídos é
a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 
56. Um programa de edição de imagens possibilita
trans for mar figuras em outras mais complexas.
Deseja-se cons truir uma nova figura a partir da ori gi -
nal. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
Figura original 
A imagem que representa a nova figura é: 
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14) A 15) B 16) E 17) E
18) B 19) A 20) B 21) D
22) D 23) D 24) C 25) B
26) D 27) B 28) D 29) 80°
30) D 31) A 32) B 33) B
34) B
35) a) DC
^
B = 36° e AD
^
C = 108°
b) ⇒ AD = BC
36) D 37) A 38) D 39) A
40) 20° 41) D 42) E 43) C
44) a) 10cm b) 25° 45) B
46) E 47) D 48) E 49) B
50) E 51) D 52) C 53) E
54) E 55) A 56) E
ΔADC é isósceles ⇒ AD = DC
ΔDCB é isósceles ⇒ DC = BC 
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1. Definição
Consideremos, num plano, n pontos (n � 3), A1, A2,
A3, …, An, ordenados de modo que três consecutivos não
sejam colineares.
Chama-se polígono A1, A2, A3, …, An à figura for -
mada pela união dos n segmentos consecutivos:
Região poligonal
É a região determinada pela união do polígono com
os pontos de sua re gião in terior. 
Polígono convexo
É o polígono cuja re gião poligonal é convexa.
região poligonal convexa
Observação
Estudaremos somente polígonos convexos.
2. Nomenclatura
De acordo com o número de lados, temos:
Genericamente utiliza-se o termo polígono de n lados.
Observação importante
3. Classificação
Polígono equilátero
É o polígono que tem todos os lados congruentes.
Exemplos
Losango, quadrado etc.
Polígono equiângulo
É o polígono que tem todos os ângulos internos
congruentes.
Exemplos
Retângulo, quadrado etc.
Polígono regular
É o polígono que é equilátero e equiângulo simul -
taneamente.
Exemplo 
Quadrado.
Observe que o losango da figura é equi látero, mas
não é equiângulo e que o retân gulo da figura é equiân -
gulo, mas não é equi látero.
I. POLÍGONOS
A1A2
—
� A2A3
—
� A3A4
—
� … � AnA1
—
triângulo — 3 lados eneágono — 9 lados
quadrilátero — 4 lados decágono — 10 lados
pentágono — 5 lados undecágono — 11 lados
hexágono — 6 lados dodecágono — 12 lados
heptágono — 7 lados pentadecágono — 15 lados
octógono — 8 lados icoságono — 20 lados
Um polígono convexo com n lados tem n vér tices, 
n ângulos internos e n ângulos externos.
3Geometria PlanaPolígonos – Quadriláteros notáveis
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4. Número de diagonais
Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento
de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos
desse polígono.
Num polígono de n lados:
a) cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais.
b) os n vértices dão origem a n · (n – 3) diagonais.
c) com este raciocínio, cada diagonal foi contada
duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois
vértices.
Assim, sendo d o número de diagonais do polígono,
temos:
Exemplo
O polígono convexo da fi gura acima tem 7 lados e
cada vértice dá ori gem a 7 – 3 = 4 diagonais.
Assim: d = = 14
5. Soma dos ângulos internos
Seja um polígono de n lados e P um ponto interno.
Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma
dos ângulos internos é 180° · n.
Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do
polígono, temos Si = 180° · n – 360° e, portanto, 
Exemplo
A soma dos ângulos in ter nos do polí gono da figura é: 
6 · 180° – 360° = 720°
6. Soma dos ângulos externos
Sejam, num polígono de n lados, ai e ae,
respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do
ângulo externo adjacente a ele, Si a soma dos ângulos
internos e Se a soma dos ângulos externos.
Sendo ai + ae = 180° para cada um dos vértices do
polígono, temos
Si + Se = 180° · n ⇔ Se = 180° · n – Si ⇔
⇔ Se = 180° · n – (n – 2) · 180° e, portanto,
Exemplo
No pentágono convexo da figura seguinte, tem-se:
ai1 + ae1 = ai2 + ae2 = ai3 + ae3 = ai4 + ae4 = ai5 + ae5 = 180°
Assim sendo:
Si + Se = 180° · 5 ⇔ Se = 900° – (5 – 2) · 180° ⇔ Se = 360°
Observação:
Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos in -
ternos são congruentes e todos os ângulos externos são
congruentes e, portanto,
e
7 · 4–––––
2
n · (n – 3)
d = –––––––––2
Si = (n – 2) · 180°
Se = 360°
Si
ai = ––––n
Se
ae = ––––n
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1. Calcule o número de diagonais de um eneágono convexo.
Resolução
n = 9
d = 
d = = = 27
d = 27
Resposta: 27 diagonais
2. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do
número de lados?
Resolução
Resposta: O polígono é um heptágono convexo.
3. A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é:
a) 360° b) 540° c) 1400° d) 900° e) 180°
Resolução
n = 7
Si = (n – 2) · 180°
Si = (7 – 2) · 180°
Si = 900°
Resposta: D
4. Qual a medida do ângulo interno de um hexágono regular?
Resolução
ai = = 
ai = = 120° 
Resposta: 120°
5. Cada um dos ângulos internos de um polígono regular mede
150°. Qual é o número de lados do polígono?
Resolução
⇒ ae = 30°
ae = ⇒ 30° = ⇒ n = 12
Resposta: 12 lados
6. Cada um dos ângulos externos de um decágono regular mede:
a) 30° b) 36° c) 40° d) 45° e) 54°
Resolução
ae = = ⇒ ae = = 36°
Resposta: B 
7. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede
15°. Quantas diagonais tem esse polígono?
Resolução
I. ae = ⇒ 15° = ⇒ n = 24 
II. d = ⇒ d = ⇒ d = 252
Resposta: 252 diagonais
8. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco
vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de
diagonais desse polígono.
Resolução
I. Si = 5 · Se
(n – 2) · 180° = 5 · 360°
n – 2 = 10 ⇒ n = 12
II. d = ⇒ d = ⇒ d = 54
Resposta: 54 diagonais
9. Quantos lados tem um polígono convexo, cujo número de
diagonais é d e a soma dos ângulos in ter nos é 180° · d? 
Resolução
I. Si = (n – 2) · 180°
180°. d = (n – 2) · 180° ⇒ d = n – 2
II. d = ⇒ n – 2 = ⇒ 2n – 4 = n2 – 3n
n2 – 5n + 4 = 0 ⇒ n = 1 ou n = 4
Resposta: O polígono tem 4 lados.
ae + ai = 180°
ai = 150°
Se––––
n
360°
––––
n
d = 2n
n (n – 3)
d = –––––––––
2
 ⇒ 2n = n (n – 3)–––––––––2 ⇒ 4n = n(n – 3) ⇒ n = 7
9(9 – 3)
––––––––
2
9 · 6
–––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
(n – 2) · 180°
––––––––––––
n
Si––––
n
(6 – 2) · 180°
––––––––––––
6
360°
––––
10
360°
––––
n
Se––––
n
360°
–––––
n
360°
–––––
n
24 · 21
––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
12 · 9
––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
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11. Quantas diagonais tem um icoságono convexo?
a) 20 b) 70 c) 160 d) 170 e) 200
12. Um polígono convexo tem 9 diagonais. O número de lados é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11
13. O número de lados de um polígono é igual à terça parte do nú -
mero de diagonais. O número de lados desse polígono é igual a:
a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 27
14. (UFSCar) – Um polígono regular com exatamente 35 diagonais
tem:
a) 6 lados b) 9 lados c) 10 lados
d) 12 lados e) 20 lados
15. (FEI) – A sequência a seguir representa o número de diagonais d
de um polígono convexo de n lados.
O valor de x é:
a) 44 b) 60 c) 65 d) 77 e) 91
16. (UNIABC) – Um joalheiro recebe uma en co menda para uma joia
poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual
ao número de diagonais. Sendo assim, o joa lheiro deve produzir
uma joia
a) triangular. b) quadrangular. c) pentagonal.
d) hexagonal. e) decagonal.
17. (UnB) – Num polígono convexo, o número de lados é o dobro do
número de diagonais. Calcule o número de lados do polígono.
18. A soma das medidas dos ângulos internos de um decágono
convexo é igual a:
a) 1000° b) 1080° c) 1180° d) 1440° e) 1800°
19. Pitágoras fundou uma sociedade secreta conhecida como Escola
Pitagórica, cujo símbolo especial era o penta grama, figura for -
mada quando são traçadas as cinco dia gonais de um pentágono.
O símbolo da sociedade de Pitágoras era:
20. (FEI) – A soma das medidas dos ângulos internos de um pen -
tágono convexo é, em radianos:
a) 2π b) 3π c) 4π d) 5π e) 6π
21. (PUC) – Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a) 36° b) 60° c) 72° d) 120° e) 144°
22. (FAAP) – A medida mais próxima de cada
ângulo externo do hep tágono regular da moe -
da de R$ 0,25 é:
a) 60° b) 45° c) 36°
d) 83° e) 51°
n 3 4 5 6 7 … 13
d 0 2 5 9 14 … x
10. Calcule, em graus, a soma dos ângulos assinalados na figura se -
guin te:
Resolução
a + b + c + d + e + f + g + h + i + j = Se = 360° 
Resposta: 360°
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23. (USF) – O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do
ângulo externo é o
a) pentágono. b) hexágono. c) octógono.
d) decágono. e) dodecágono.
24. (MACKENZIE) – As medidas dos ângulos assinalados na figura a
seguir formam uma progressão aritmética. Então, neces -
sariamente, um deles sempre mede:
a) 72° b) 90° c) 98° d) 108° e) 120°
25. Na construção civil, é muito comum a utilização de
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não
são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavi -
mentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superpo -
sições de ladrinhos, como ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as
respectivas medidas de seus ângulos internos.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono.
d) hexágono. e) eneágono.
26. A soma das medidas dos doze ângulos agudos assinalados na
figura seguinte é igual a:
a) 180° b) 360° c) 450° d) 540° e) 720°
27. (UFES)
Na figura acima, as retas r e s são paralelas. A soma α + β + γ + δ
das medidas dos ângulos indicados na figura é:
a) 180° b) 270° c) 360° d) 480° e) 540°
LIVRO 1_MATEMATICA_Rose_2023 04/07/2022 09:08 Página 189
28. (MACKENZIE) – Os ângulos externos de um polígono regular
medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é:
a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 132
29. (UNESP) – O número de diagonais de um polígono convexo de
x lados é dado por N(x) = (x2 – 3x) / 2. Se o polígono possui 9
diagonais, seu número de lados é
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
30. (FUVEST) – Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular.
A medida, em graus, do ângulo α é:
a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° e) 40°
31. (ITA) – De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro
6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de
vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a:
a) 63 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77
32. (UNIFESP) – A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono
convexo de n lados é 1900°. O ângulo remanescente mede
a) 120° b) 105° c) 95° d) 80°. e) 60°
33. (MACKENZIE) – Os lados de um polígono regular de n lados,
n > 4, são prolongados para formar uma estrela. O número de
graus em cada vértice da estrela é:
a) b) 
c) d) 180° – 
e) 
34. (PUC) – As mediatrizes de dois lados consecutivos de um
polígono regular formam um ângulo igual a 20°. Esse polígono é
a) um octógono regular. b) um eneágono regular.
c) um pentadecágono regular. d) um icoságono regular.
e) um octadecágono regular.
35. Um polígono regular de m lados pode ser “envol -
vido” por, exatamente, m polígonos regulares con -
gruen tes de n lados.
Os exemplos da figura mostram que, para m = 4, resulta n = 8,
e para m = 6, obtém-se n = 6.
Para m = 10 o polígono regular de n lados será o 
a) decágono. b) octógono. c) pentágono.
d) quadrado. e) triângulo.
36. (FUVEST) – Considerando um polígono regular de n lados, n � 4,
e tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, a proba -
bili dade de que ela passe pelo centro é:
a) 0, se n é par. b) , se n é ímpar.
c) 1, se n é par. d) , se n é ímpar.
e) , se n é par.
37. (FUVEST) – Dois ângulos internos de um polígono convexo
medem 130° cada um e os demais ângulos internos medem
128° cada um. O número de lados do polígono é
a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17
38. (ITA) – A soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono regular é 2160°. Então o número de diagonais deste
polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o
circunscreve, é:
a)