mate 3 33

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Funções exponenciais – Parte 5
Matemática
3o bimestre – Aula 33
Ensino Médio
● Funções exponenciais;
● Noções de Matemática Financeira.
● Interpretar tabelas ou gráficos que 
mostram os valores de um 
investimento durante períodos 
iguais no sistema de capitalização 
composto.
Uma loja de artigos de vestuário irá realizar uma liquidação de roupas para o lançamento 
de uma nova coleção. A loja está propondo aos clientes uma promoção em que os 
descontos são progressivos, de tal forma que o cliente tem 10% de desconto na compra 
de uma peça, 20% de desconto na compra de duas peças e 30% de desconto na compra 
de três peças.
VIREM E 
CONVERSEM
5 MINUTOS
Promoção
Supondo que um cliente dessa loja deseje 
comprar duas camisetas e uma calça da 
promoção que, juntas e sem desconto, custam
R$ 200,00, responda:
a) Qual será o percentual de desconto aplicado 
nessa compra?
b) Quantos reais o cliente deverá pagar nessa 
compra? Quantos reais ele economizou?
Correção – Promoção
Supondo que um cliente dessa loja deseje 
comprar duas camisetas e uma calça da 
promoção que, juntas e sem desconto, 
custam R$ 200,00, responda:
a) Qual será o percentual de desconto 
aplicado nessa compra?
Como são 3 peças, o desconto será 
de 30%.
b) Quantos reais o cliente deverá pagar nessa 
compra? Quantos reais ele economizou?
O valor referente ao desconto será dado 
por: 
30
100
∙ 200 = 0,3 ∙ 200 = 60 . 
Portanto, o cliente pagará R$ 140,00 e 
economizará R$ 60,00.
Alguns termos utilizados em finanças
VERIFICAÇÃO 
AFIRMATIVA
10 MINUTOS
Em algum momento você deve ter tido contato com a seguinte situação:
Uma pessoa aplicou certa quantia (capital) em uma aplicação por determinado período 
(tempo). 
A aplicação é semelhante a um empréstimo feito à instituição financeira. Então, ao final desse 
período, essa pessoa recebe uma quantia (juros) como compensação. O valor dessa quantia 
é estabelecido por uma porcentagem.
Ao final da aplicação, a pessoa terá em sua conta a quantia correspondente ao capital (C) 
somada aos juros (j), totalizando o que é conhecido como montante (M), ou seja, M = C + j.
A razão i =
J
C
é a taxa de crescimento do capital, também conhecida como taxa de juros (i), e 
será sempre associada ao período da aplicação.
Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, os juros incidem sempre sobre o capital 
inicial, e não sobre o juro acumulado.
Neste tipo de regime a taxa varia linearmente em função do tempo.
EXEMPLO: Vamos imaginar uma situação em que uma pessoa realizou um empréstimo 
de R$ 2.000,00, e parcelou esse valor em 6 meses, em regime de capitalização 
simples, com juros de 10% ao mês.
O quadro a seguir mostra o montante a ser pago a cada mês no regime de capitalização 
simples e a generalização algébrica do montante a ser pago em função da quantidade 
de parcelas mensais.
Regime de capitalização simples
PERÍODO
CAPITAL 
INICIAL
JUROS NO PERÍODO MONTANTE NO PERÍODO
J = C ∙ i ∙ t M = C+ J
1º mês
2º mês
3º mês
4º mês
5º mês
6º mês
⋮
tº mês
2 000 1J 2 000 0,1 1 2 000 0,1 200=   =  =
1M 2 000 200 2 200= + =
2 000 2J 2 000 0,1 2 2 000 0,2 400=   =  =
2M 2 000 400 2 400= + =
2 000 3J 2 000 0,1 3 2 000 0,3 600=   =  = 3M 2 000 600 2 600= + =
2 000
4J 2 000 0,1 4 2 000 0,4 800=   =  = 4M 2 000 800 2 800= + =
2 000
5J 2 000 0,1 5 2 000 0,5 1 000=   =  = 5M 2 000 1 000 3 000= + =
2 000 6J 2 000 0,1 6 2 000 0,6 1 200=   =  =
6M 2 000 1 200 3 200= + =
2 000
t tJ 2 000 0,1 t J 200 t=    =  tM 2 000 200t= +
⋮ ⋮ ⋮
Atividade 1
MOSTRE - ME5 MINUTOS
Analise as situações a seguir e resolva:
a) Quanto renderá a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com taxa de 2,5% ao 
mês, ao final de 1 ano e 3 meses?
b) Carla aplicou R$ 800,00 a juros simples, a uma taxa de 2,5% ao mês e, ao final de certo 
tempo, recebeu R$ 1 080,00. Quanto tempo ela deixou o dinheiro aplicado a essa taxa?
Atividade 1 – Correção
a) Quanto renderá a quantia de 
R$ 600,00, aplicada a juros 
simples, com taxa de 2,5% ao 
mês, ao final de 1 ano e 3 meses?
( )
C R$ 600,00
i 2,5% a.m
t 1 ano e três meses
t 12 3 meses 15 meses
=
=
=
= + =
J C i t=    6 00
2,5
100
 15 = 6 2,5 15  = 15 15 
J 225 =
M C J= +  600 225+  M 825=
Aplicando R$ 600,00 em 15 meses, a uma taxa 
de 2,5% a.m., a juros simples, o rendimento será 
de R$ 225,00.
Atividade 1 – Correção
b) Carla aplicou R$ 800,00 a juros 
simples, a uma taxa de 2,5% ao mês 
e, ao final de certo tempo, recebeu 
R$ 1 080,00. Quanto tempo ela 
deixou o dinheiro aplicado a essa 
taxa?
C 800
2,5
i 2,5% a.m 0,025 a.m
100
M 1 080
t ?
=
= = =
=
=
J C i t
M C J
=   

= + 
( )M C C i t= +    ( ) M C 1 i t=  + 
Então, temos que:
( )1 080 800 1 0,025 t =  +     1 080 800 1 0,025t=  + 
1080 800 20t = +  1080 800 20t− =  280 20t= 
28 0
t =
2 0
28
t t 14
2
 =  =
Para obter um montante de R$ 1 080,00 em 
regime de capitalização simples a uma taxa de 
2,5% a.m., o período será de 14 meses.
Regime de capitalização composto
VERIFICAÇÃO 
AFIRMATIVA
5 MINUTOS
Neste regime, após cada período, os juros são incorporados ao capital inicial, passando a 
render sobre o novo total. Dessa forma, os cálculos são efetuados como “juros sobre juros”.
Para exemplificar o cálculo de juros compostos, iremos retomar o exemplo de uma aplicação
de um capital inicial de R$ 2 000,00 a uma taxa de 10% a.m., agora considerando o regime
de capitalização composto.
t C JUROS MONTANTE
1
2
3
4
5
6
2 000 1J 0,1 2 000 200=  =
1M 2 000 200 2 200= + =
2 200 2J 0,1 2 200 220=  =
2M 2 200 220 2 420= + =
2 420 3J 0,1 2 420 242=  = 3M 2 420 242 2 662= + =
2 662 4J 0,1 2 662 266,20=  = 4M 2 662 266,20 2 928,20= + =
2 928,20 5J 0,1 2 928,20 292,80=  = 5M 2 928,20 292,80 3 221,02= + =
3 221,02 6J 0,1 3 221,02 322,10=  
6M 3 221,02 322,10 3 543,12= + =
Cálculo de juros compostos
Reescrevendo a tabela anterior, generalizando a situação apresentada.
t C JUROS MONTANTE M = C+ J
1
2
3
4
5
6
⋮
t
C
M1
M2
M3
M4
M5
( )
1M C i C= +   ( )
1M C 1 i=  +
2 1 1M M i M= +  = ( )
1M 1 i + = ( ) ( )C i1 1i + + 
3 2 2M M i M= +  = ( )
2M 1 i + = ( ) ( )2
C 1 ii 1 ++  ( )3
3M C 1 i=  +
4 3 3M M i M= +  = ( )
3M 1 i + = ( ) ( )3
C 1 ii 1 ++  ( )4
4M C 1 i=  +
( )2
2M C 1 i=  +
5 4 4M M i M= +  = ( )
4M 1 i + = ( ) ( )4
C 1 ii 1 ++  ( )5
5M C 1 i=  +
6 5 5M M i M= +  = ( )
5M 1 i + = ( ) ( )5
C 1 ii 1 ++  ( )6
6M C 1 i=  +
t 1M − t 1i M − t t 1 t 1M M i M− −= +  = ( )
t 1M 1 i−  + = ( ) ( )t 1
C 1 i 1 i
−
 +  +  ( )t
tM C 1 i=  +
⋮ ⋮ ⋮
i C
1i M
2i M
3i M
4i M
5i M
Atividade 2
TODO MUNDO 
ESCREVE
5 MINUTOS
Analise as situações a seguir e resolva-as:
a) Calcule o montante produzido por R$ 5 000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre,
após um ano, no sistema de juros compostos.
b) Uma pessoa deseja aplicar R$ 10 000,00 a juros compostos e, no fim de 3 meses,
obter um montante de R$ 11 248,64. Qual deve ser a taxa de juros?
Atividade 2 - Correção
a) Calcule o montante produzido
por R$ 5 000,00 aplicado à taxa de
6% ao bimestre, após um ano, no
sistema de juros compostos.
C 5000=
i 6% a.b. 0,06 a.b.= =
t 1 ano 6 bimestres= =
M ?=
( )t
M C 1 i=  +
( ) ( )
6
M 6 5 000 1 0,06=  +
( ) ( )
6
M 6 5 000 1,06= 
( )M 6 5 000 1,42 
( )M 6 7 092,60
O montante produzido por um capital de
R$ 5 000,00 à taxa de 6% a. b., durante um 
ano, será de aproximadamente R$ 7 092,60.
Atividade 2 – Correção
b) Uma pessoa deseja aplicar R$ 10 000,00
a juros compostos e, no fim de 3 meses,
obter um montante de R$ 11 248,64. Qual 
deve ser a taxa de juros?
C 10 000=
i ?=
t 3=
( )M t 11 248,64=
( ) ( )t
M t C 1 i=  +
( )311 248,64 10 000 1 i=  +
( )31 i 1,124864+ =
31 i 1,124864+ =
1 i 1,04+ 
i 1,04 1 −
i 0,04 4,0% 
A taxa de juros da aplicação será 
de, aproximadamente, 4,0% a.m.
( )3
11 248,641 i
10 000
= +
Você aprendeu? MOSTRE-ME5 MINUTOS
O gráfico mostra, ano a ano, o montante de
um capital inicial de R$ 5 000,00 aplicado em
certo regime de capitalização. De acordo com 
o gráfico, responda:
a) Qual foi o regime de capitalização 
utilizado na aplicação?
b) Qual será o montante obtido após 6 anos, 
sabendo que, após um ano, o montante era 
de R$ 7 500,00?
Você aprendeu? – Correção 
a) Qual foi o regime de capitalização 
utilizado na aplicação?
O aumento anual do montante não é 
constante, já que podemos verificar na 
representação gráfica que o 
crescimento é exponencial. Portanto, foi 
utilizado um regime de capitalização 
composto nessa aplicação.
7 500 = 5 000 + 5 000i
Você aprendeu? – Correção 
b) Qual será o montante obtido após 6 anos, 
sabendo que, após um ano, o montante era 
de R$ 7 500,00?
Como o capital aplicado é de R$ 5 000,00 
e o montante, após um ano, era de R$ 7 
500,00, temos:
C 5 000=
M 7 500=
t 1=
( )t
M C 1 i=  +
( )17 500 5 000 1 i=  +
7 500 5 000 5 000i− =
2 500 5 000i=
25 00
i =
50 00
25
=
( )25
50

( )25
1
0,5
2
= =
Assim, concluímos que a taxa de 
juros é 0,5% a.a.
CONTINUA
Você aprendeu? – Correção 
b) Qual será o montante obtido após 6 anos,
sabendo que, após um ano, o montante era
de R$ 7 500,00?
Portanto, após 6 anos o montante será:
( )
6
M 5 000 1 0,5=  +
( )
6
M 5000 1,5= 
M 5 000 11,390625= 
M 56 953,13
MOSTRE-ME5 MINUTOS
(VUNESP) O preço de uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo depois, 
um aumento de 20% sobre o valor anterior. Para encontrar o preço da mercadoria 
após os aumentos, basta multiplicar o preço inicial por:
A 1,45
B 0,45
C 1,50
D 0,50
E 3,75
(VUNESP) – Correção O preço de uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo 
depois, um aumento de 20% sobre o valor anterior. Para encontrar o preço da 
mercadoria após os aumentos, basta multiplicar o preço inicial por:
E 3,75: Resposta incorreta.
B 0,45: Resposta incorreta.
0,50: Resposta incorreta.D
C 1,50: Resposta correta.
A 1,45: Resposta incorreta. I) Após o primeiro aumento de 25%, o preço da 
mercadoria passa para: 1+ 25% ∙ Preço inicial
II) Após o segundo aumento, de 20%, o preço da 
mercadoria passa para: 
1+ 20% ∙ 1+ 25% ∙ Preço inicial
( ) ( ) ( ) ( )III) 1 20% 1 25% 1 0,20 1 0,25+  + = +  + =
1,20 1,25 1,5=  =
IV) Assim sendo: Preço final = 1,5 ∙ Preço inicial
Funções exponenciais – Parte 5
● Interpretamos tabelas ou gráficos que mostram 
os valores de um investimento durante períodos 
iguais no sistema de capitalização composto.
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto 
Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Ensino Médio. São
Paulo, 2019.
DANTE, L. R.; Viana, F. Matemática em contextos: Estatística e Matemática Financeira. São
Paulo: Ática, 2020.
Lista de imagens e vídeos:
Imagem de capa: SEDUC
Slides 3 e 4 – @iStock.
Slides 17, 18 e 20 – Elaboradas pelo autor.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: Promoção
	Slide 4: Correção – Promoção
	Slide 5: Alguns termos utilizados em finanças
	Slide 6: Regime de capitalização simples
	Slide 7: Regime de capitalização simples
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11: Regime de capitalização composto
	Slide 12: Cálculo de juros compostos
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16: Você aprendeu?
	Slide 17: Você aprendeu? – Correção 
	Slide 18: Você aprendeu? – Correção 
	Slide 19: Você aprendeu? – Correção 
	Slide 20: (VUNESP) O preço de uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo depois, um aumento de 20% sobre o valor anterior. Para encontrar o preço da mercadoria após os aumentos, basta multiplicar o preço inicial por:
	Slide 21: (VUNESP) – Correção O preço de uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo depois, um aumento de 20% sobre o valor anterior. Para encontrar o preço da mercadoria após os aumentos, basta multiplicar o preço inicial por:
	Slide 22: Funções exponenciais – Parte 5
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25