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Geometria Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I 1 Geometria Anal´ıtica I 23/02/2005 Respostas dos Exerc´ıcios da Aula 3 do Mo´dulo I Prezado aluno, Seguem as respostas (na˜o as soluc¸o˜es!) dos exerc´ıcios propostos no Mo´- dulo I de Geometria Anal´ıtica. Vale a pena lembrar que obter a resposta e´ apenas uma etapa. O caminho que o levou a esta resposta e´ ta˜o ou mais importante! Habitue-se a escrever cuidadosamente a sua soluc¸a˜o, evidenciando cada passo e cada ide´ia! Bom trabalho para voceˆ! Humberto Jose´ Bortolossi AULA 3 [01] (a) r : { x = −1 + 3 t, y = −1 + t/2, com t ∈ R. Vetor diretor: −→ AB = (3, 1/2). (b) r : { x = 2 + t/4, y = −3/4 + 7 t/4, com t ∈ R. Vetor diretor: −→ AB = (1/4, 7/4). (c) r : { x = −4 + 6 t, y = 1− t, com t ∈ R. Vetor diretor: −→ AB = (6,−1). (d) r : { x = 1− 4 t, y = −1 + 2 t, com t ∈ R. Vetor diretor: −→ AB = (−4, 2). [02] (a) r : { x = 1− t, y = 1− t/2, com t ∈ R. (b) r : { x = −2 + 2 t, y = −1 + 9 t/4, com t ∈ R. (c) r : { x = −1 + t, y = 1/2, com t ∈ R. (d) r : { x = 1 + 3 t, y = −1 + t, com t ∈ R. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I 2 [03] (a) (⇒) Seja P um ponto sobre o segmento AB. Se A = B, isto e´, se as extremidades do segmento AB coincidem, enta˜o obrigatoriamente P = A = B e, portanto, (1− t) · −→OA+ t · −−→OB = (1− t) · −→OP + t · −→OP = −→OP − t · −→OP + t · −→OP = −→OP. Suponha enta˜o que A �= B. Escolha um sistema de eixos coordenados cuja origem seja o ponto A e de tal maneira que B esteja no semi-eixo horizontal positivo. Assim, em termos de coordenadas, A = (0, 0) e B = (b, 0), com b > 0. Se P esta´ no segmento AB, enta˜o P = (0, p), com 0 ≤ p ≤ b. Sendo assim, −→ AP = (0, p) = ( 0, p b · b ) = p b · (0, b) = p b · −→AB = t · −→AB, onde t = p/b ∈ [0, 1], ja´ que 0 ≤ p ≤ b. Agora, se O = (o1, o2) e´ um ponto qualquer do plano, enta˜o −→ OP = −→ OA+ −→ AP = −→ OA+ t · −→AB = −→OA+ t · (−−→ OB −−→OA ) = 1 · −→OA+ t · −−→OB − t · −→OA = (1− t) · −→OA+ t · −−→OB. Isto mostra que o escalar t na˜o depende da escolha do ponto O e, sim, apenas de A, B e P . (⇐) Sejam O, A, B e P pontos tais que −→OP = (1− t) ·−→OA+ t ·−−→OB, com t ∈ [0, 1]. Se A = B, enta˜o −→ OP = (1− t) · −→OA+ t · −−→OB = (1− t) · −→OA+ t · −→OA = −→OA− t · −→OA+ t · −→OA = −→OA e, portanto, P = A = B, isto e´, P esta´ no segmento de extremidades A e B. Suponha enta˜o que A �= B. Agora −→ OP = (1− t) · −→OA+−−→OB = (1− t) · (−→ OP + −→ OA ) + t · (−→ OP + −−→ PB ) = (1− t) · −→OP + (1− t) · −→PA+ t · −→OP + t · −−→PB = −→OP + (1− t) · −→PA+ t · −−→PB. Sendo assim, podemos escreve que (0, 0) = −→ O = (1− t) · −→PA+ t · −−→PB ou, ainda, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I 3 −→ AP = t · −→AP + t · −−→PB = t · (−→ AP + −−→ PB ) = t · −→AB. Escolhendo um sistema de coordenadas cuja origem seja o pontoA e de tal maneira que B esteja no semi-eixo horizontal positivo, segue-se que A = (0, 0), B = (b, 0) e P = (p1, p2), com b > 0. Assim, a relac¸a˜o −→ AP = t ·−→AB implica que (p1, p2) = t · (b, 0) = (t ·b, 0), isto e´, p1 = t · b e p2 = 0. Em particular, isto mostra que P esta´ na reta que passa por A e B. Mais ainda, como 0 ≤ t ≤ 1, segue-se que 0 ≤ p1 ≤ b, isto e´, segue-se que P esta´ no segmento de extremidades A e B. (b) No item (a), mostramos que P pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0, 1] tal que −→AP = t · −→AB. Ora, se t = 1/2, enta˜o −→AP = (1/2) · −→AB. Escrevendo A = (a1, a2), B = (b1, b2) e P = (p1, p2), esta u´ltima relac¸a˜o implica que (p1 − a1, p2 − a2) = 1 2 · (b1 − a1, b2 − a2). A partir da´ı, conclu´ımos que (p1, p2) = ( a1 + b1 2 , a2 + b2 2 ) . Pela definic¸a˜o dada na margem direita na pa´gina 11 do mo´dulo, deduzimos enta˜o que P e´ o ponto me´dio do segmento AB. (c) No enunciado deste item, tambe´m e´ preciso supor que A �= B. Ora, −→ OP = (1− t) · −→OA+ t · −−→OB = −→OA− t · −→OA+ t · −−→OB = −→ OA+ t · (−−→ OB −−→OA ) = −→ OA+ t · −→AB. Como A e B pertencem a reta r que passa por A e B, segue-se que −→ v = −→ AB e´ um vetor diretor da reta r. Assim, −→ OP = (1 − t) · −→OA + t · −−→OB e´ uma outra maneira de se escrevar a equac¸a˜o (2) na pa´gina 35 do mo´dulo, que determina as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e B. [04] (a) 2 x− y − 4 = 0. (b) x = 3. (c) x+ y − 2 = 0. (d) 3 x+ 4 y = 0. [05] (a) r : { x = t, y = 1− 2 t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r: −→ v = (1,−2). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I 4 (b) r : { x = 5, y = t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r: −→v = (0, 1). (c) r : { x = t, y = 1− 3 t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r: −→ v = (1,−3). (d) r : { x = t, y = −3 + t, com t ∈ R. Vetor paralelo a` reta r: −→ v = (1, 1). [06] (a) −→ v na˜o e´ paralelo a` reta r! (b) −→ v e´ paralelo a` reta r! (c) −→ v na˜o e´ paralelo a` reta r! (d) −→ v e´ paralelo a` reta r! [07] (a) r1 e r2 sa˜o concorrentes no ponto P = (2,−3). (b) r1 e r2 sa˜o concorrentes no ponto P = (6, 1/2). (c) r1 e r2 sa˜o retas paralelas. (d) r1 e r2 sa˜o concorrentes no ponto P = (2/3, 1). [08] (a) −→ v e −→ w sa˜o LD. (b) −→ v e −→ w sa˜o LD. (c) −→ v e −→ w sa˜o LI. (c) −→ v e −→ w sa˜o LI. [09] (a) Represente por mA, mB e mC as medianas que passam, respectivamente, pelos ve´rtices A, B e C do triaˆngulo ∆ABC. As equac¸o˜es parame´tricas destas retas sa˜o dadas, respectivamente, por mA : { x = 3− 7 t/2, y = 2− 5 t/2, mB : { x = −1 + 5 t/2, y = 1− t, mC : { x = + t, y = −1 + 7 t/2. (b) O baricentro G do triaˆngulo tem coordenadas (2/3, 1/3). [10] (a) (5, 6) = 4 · (1, 1) + 1 · (1, 2). (b) (1, 4/5) = 0 · (2, 3) + (1/5) · (5, 4). [11] A = (1, 0). [12] As coordenadas dos ve´rtices sa˜o (2,−5), (1,−3), (8,−17) e (5,−9). [13] 4 x+ y − 12 = 0. [14] A = (1, 0), B = (5/3, 4/3), C = (7/3, 2/3) e D = (3, 2). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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