Disciplina de Probabilidade

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DISCIPLINA 
PROBABILIDADE 
 
 
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Sumário 
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Sumário 
Sumário ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 
1 Conjuntos ---------------------------------------------------------------------------------------------- 5 
2 Operações com Conjuntos ------------------------------------------------------------------------ 5 
3 Aplicações Dos Diagramas de Venn ------------------------------------------------------------ 6 
3.1 Propriedade Comutativa: --------------------------------------------------------------------------------------- 7 
3.2 Propriedade Distributiva: --------------------------------------------------------------------------------------- 7 
4 Fatorial ------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 
5 Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo) ------------------------ 7 
6 Permutações (Arranjos) ---------------------------------------------------------------------------- 8 
7 Permutações (Arranjos) com Itens Duplicados ---------------------------------------------- 9 
8 Permutações (Arranjos) Com Repetição ----------------------------------------------------- 10 
9 Combinações ----------------------------------------------------------------------------------------- 11 
10 O Teorema Binomial ---------------------------------------------------------------------------- 11 
11 Probabilidade ------------------------------------------------------------------------------------- 13 
12 Modelos -------------------------------------------------------------------------------------------- 14 
12.1 Modelo Determinístico ---------------------------------------------------------------------------------------- 14 
12.2 Modelo Não-Determinístico ou Probabilístico --------------------------------------------------------- 14 
13 Experimento Aleatório (Não-Determinístico) -------------------------------------------- 14 
13.1 Características dos Experimentos Aleatórios ----------------------------------------------------------- 15 
13.2 O Espaço Amostral --------------------------------------------------------------------------------------------- 15 
13.3 Classificação de Um Espaço Amostra ---------------------------------------------------------------------- 16 
14 EVENTOS ------------------------------------------------------------------------------------------- 17 
14.1 Combinação de Eventos --------------------------------------------------------------------------------------- 17 
14.2 Eventos Mutuamente Excludentes------------------------------------------------------------------------- 18 
15 Conceitos de Probabilidade ------------------------------------------------------------------- 18 
15.1 Definição Clássica de Probabilidade ----------------------------------------------------------------------- 19 
16 A Definição de Probabilidade Como Frequência Relativa ---------------------------- 19 
17 Definição Axiomática de Probabilidade --------------------------------------------------- 21 
18 Probabilidade Condicionada E Independência ------------------------------------------ 23 
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Sumário 
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19 Teorema da Multiplicação -------------------------------------------------------------------- 24 
20 Independência de Dois Eventos -------------------------------------------------------------- 24 
21 Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes ------------------------------------------- 26 
22 Teorema de Bayes ------------------------------------------------------------------------------- 28 
23 Variáveis Aleatórias ---------------------------------------------------------------------------- 28 
24 Variável Aleatória Discreta ------------------------------------------------------------------- 30 
24.1 A Função de Probabilidade ----------------------------------------------------------------------------------- 30 
24.2 Representação da Função de Probabilidade ------------------------------------------------------------ 31 
25 A Função de Distribuição Acumulada ------------------------------------------------------ 32 
26 Variável Aleatória Discreta (Caracterização) -------------------------------------------- 33 
27 Distribuições Especiais de Probabilidade Discretas ------------------------------------ 36 
27.1 A Distribuição Binomial --------------------------------------------------------------------------------------- 36 
27.2 Propriedades da Distribuição Binomial ------------------------------------------------------------------- 38 
28 A Distribuição Hipergeométrica ------------------------------------------------------------- 40 
29 Propriedades da Distribuição Hipergeométrica ----------------------------------------- 41 
30 A Distribuição de Poisson --------------------------------------------------------------------- 43 
31 Propriedades da Distribuição de Poisson ------------------------------------------------- 46 
32 Relação Entre as Distribuições Binomial e Poisson ------------------------------------- 47 
33 Cálculo de Probabilidade Com Uma Vac -------------------------------------------------- 48 
34 A Função de Distribuição Acumulada ------------------------------------------------------ 50 
35 Variável Aleatória Contínua (Caracterização) ------------------------------------------- 50 
36 Distribuições Especiais de Probabilidade Contínuas ----------------------------------- 52 
36.1 A Distribuição Uniforme -------------------------------------------------------------------------------------- 52 
36.2 Propriedades da Distribuição Uniforme ------------------------------------------------------------------ 52 
36.3 A Distribuição Exponencial ----------------------------------------------------------------------------------- 54 
36.4 Propriedades da Distribuição Exponencial --------------------------------------------------------------- 55 
36.5 A Distribuição Normal ----------------------------------------------------------------------------------------- 56 
36.6 Propriedades da Distribuição Normal --------------------------------------------------------------------- 57 
37 Tabelas --------------------------------------------------------------------------------------------- 59 
38 Relação Entre as Distribuições Binomial e Normal ------------------------------------- 61 
39 Propriedades da Média e Variância de Variáveis Aleatórias ------------------------ 63 
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Sumário 
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39.1 Média -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 63 
39.2 A Mediana e a Moda ------------------------------------------------------------------------------------------- 64 
40 Desigualdades de Tchebycheff e Camp-Meidell ---------------------------------------- 64 
41 Referências ---------------------------------------------------------------------------------------- 66 
 
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Conjuntos 
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1 Conjuntos 
As ideias básicas da teoria dos conjuntos foram desenvolvidas pelo Matemático 
Alemão Georg Cantor (1845-1918) em 1875 mais ou menos. 
A palavra conjunto é indefinida. Para escrever um conjunto usam-se chaves. Os 
elementos de um conjunto são escritos separados por vírgula e a ordem em que são 
escritos é irrelevante. Se o conjunto é infinito usa-se três pontos para indicar o fato. O 
nome de um conjunto é escrito com letra maiúscula, enquanto os dos seus elementos 
com letra minúscula. Alguns conjuntos têm representação especial como, por 
exemplo, o conjunto dos números naturais: ℵ. 
O número de elementos de um conjunto é denominado de númerocardinal ou 
simplesmente cardinal do conjunto. Representa-se por n(A) e lê-se “ene de A”. 
Em muitas situações existe a ideia declarada ou implícita de um universo de 
discurso. Este universo inclui todas as coisas em discussão a um dado tempo. Com 
conjuntos, o universo do discurso é denominado de conjunto universal ou conjunto 
universo. Este conjunto é normalmente representado pela letra U. O conjunto universo 
pode variar de situação para situação. 
A ideia de conjunto universal foi dada pelo logicista John Venn (1834-1923) que 
desenvolveu diagramas de conjuntos conhecidos como Diagramas de Venn. Venn 
comparou o conjunto universo ao nosso campo de visão. Ele mantém as coisas que 
focamos e ignora tudo o resto. 
 
2 Operações com Conjuntos 
O complemento de um conjunto A, representado por A ou A’, é o conjunto de 
todos os elementos de U que não são elementos de A, ou 
A’ = { x | x ∈ U e x ∉ A } 
A interseção dos conjuntos A e B, representada por A∩B, é o conjunto formado 
pelos elementos comuns a A e a B, ou 
A∩B = { x | x ∈ A e x ∈ B } 
Dois conjuntos A e B que não possuem elementos em comum, isto é, tais que 
A∩B = ∅ são denominados conjuntos disjuntos. 
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Aplicações Dos Diagramas de Venn 
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A união de dois conjuntos A e B, representada por AUB, é o conjunto de todos 
os elementos pertencentes tanto a A quanto a B, ou AUB = { x | x ∈ A ou x ∈ B } 
A diferença entre os conjuntos A e B, escrita A - B, é o conjunto de todos os 
elementos que pertencem ao conjunto A e não ao B, ou A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B } 
Observação: Ao escrever um conjunto que contém vários elementos, a ordem em 
que os elementos aparecem não é relevante. Por exemplo, { 5, 1 } = { 1, 5 }. No entanto, 
existem muitas situações na Matemática onde a ordem de dois ou mais objetos é 
importante. Isto leva a ideia de par ordenado. Quando escrever um par ordenado use 
parênteses ao invés de chaves que são reservadas para escrever conjuntos. 
No par ordenado (a, b), “a” é denominado de primeira componente e “b” é 
chamada de segunda componente. Em geral (a, b) ≠ (b, a). Assim AxB = { (a, b) | a ∈ 
A e b ∈ B }. 
Note-se que AxB não é igual a BxA, embora a ordem em que os pares são escritos 
dentro de cada conjunto não seja importante, o que importa é a ordem dentro do par 
e não entre pares. 
Se n(A) = a e n(B) = b então n(AxB) = ab. 
 
3 Aplicações Dos Diagramas de Venn 
Os diagramas de Venn podem ser usados para ilustrar propriedades das 
operações entre conjuntos. Por exemplo, verificar que a operação entre conjuntos A - 
B é igual a A∩B’. Outras propriedades que podem ser verificadas através dos 
diagramas são: 
As leis de De Morgan (em homenagem ao lógico Britânico Augustus de Morgan 
(18051871)): 
(A∩B)’ = A’UB’ 
(AUB)’ = A’∩B’ 
 
 
 
 
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Fatorial 
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3.1 Propriedade Comutativa: 
AUB = BUA A∩B = B∩A 
Propriedade associativa: 
(AUB)UC = AU(BUC) 
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) 
 
3.2 Propriedade Distributiva: 
A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) 
AU(B∩C) = (AUB) ∩(AUC) 
Propriedades da identidade: 
AU∅ = A 
A∩U = A 
 
4 Fatorial 
Um professor comprou 5 novos livros e quer colocá-los lado a lado em uma 
estante. Quantos maneiras diferentes existem de colocar os 5 livros? 
Para o primeiro espaço, existem 5 escolhas possíveis, uma para cada livro. Uma 
vez colocado o primeiro livro, restam 4 escolhas para o segundo espaço e assim por 
diante. Então o número de escolhas diferentes é: 5.4.3.2.1 = 120. Este tipo especial de 
multiplicação tem um símbolo próprio: 5!. De um modo geral se dispomos de um 
número n, então o produto acima é representado por n! e é lido “ene fatorial”, isto é: 
n! = n(n - 1)(n - 2) ... 3.2.1 e têm-se também que 0! = 1 
A relação n! = n(n -1)! Poderá ser útil em algumas situações. 
 
5 Princípio Fundamental da Contagem (Princípio 
Multiplicativo) 
Suponha que se possa fazer “n” escolhas independentes com: 
U 
A B 
 
 
 
 C 
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Permutações (Arranjos) 
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• m1 maneiras de fazer a escolha 1, 
• m2 maneiras de fazer a escolha 2, 
• mn maneiras de fazer a escolha n. 
Então existem m1.m2...mn maneiras diferentes de fazer a sequência inteira de 
escolhas. 
 
Exemplo 
Um antigo trabalho da filosofia chinesa conhecido como I Ching (Livro das 
Mutações) é às vezes usada como um oráculo do qual as pessoas podem procurar e 
obter conselhos. A filosofia descreve a dualidade do universo em termos de duas 
forças primárias: yin (passiva, escura, receptiva) e yang (ativa, brilhante, criativa). A 
energia yin é representada por uma linha pontilhada (---) e a yang por uma linha 
sólida ( ). Estas linhas são escritas uma sobre as outras em grupos de três, 
denominadas de triagramas. Por exemplo, o triagrama é chamado de Tui, o “Joyous”, 
e é a imagem de um lago. 
(a) Quantos triagramas diferentes existem? 
(b) Os triagramas são agrupados juntos, um sobre o outro, em pares 
conhecidos como, hexagramas. Cada hexagrama representa um aspecto da 
filosofia I Ching. Quantos hexagramas existem? 
Solução: 
(a) A escolha reside entre duas linhas para cada uma das 3 posições 
do triagrama. Existem duas escolhas para cada posição e como são 3 posições, 
existem então: 2.2.2 = 8 triagramas diferentes. 
(b) Para cada posição no hexagrama, existem 8 possíveis triagramas, 
dando então: 8.8 = 64 hexagramas. 
 
6 Permutações (Arranjos) 
Uma permutação consiste no número de possíveis maneiras de arranjar, ou 
ordenar, certos conjuntos de objetos. Embora o princípio fundamental da contagem 
pode ser aplicado a questões de arranjar, é possível desenvolver uma abordagem mais 
eficiente. 
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Permutações (Arranjos) com Itens Duplicados 
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O número de permutações de “n” objetos distintos tomados em grupos de “r”, 
onde “r” é menor que “n” é representado por P(n, r). Aplicando o princípio 
fundamental da contagem a agrupamentos deste tipo, tem-se: 
P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... [n - (r - 1)]. 
Simplificando o último fator acima vem: 
O número de permutações, ou arranjos, de “n” objetos distintos, 
tomados “r” a cada vez, onde r ≤ n, é dado por: 
P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1). 
 
Exemplo 
Calcular cada permutação: 
P(4, 2) = 4.3 = 12 
P(7, 3) = 7.6.5 = 210 
P(5, 5) = 5.4.3.2.1 = 120 = 5! 
 
O número de permutações pode ser expresso em função do fatorial da 
seguinte forma: P(n, r) = n! / (n - r)! 
 
7 Permutações (Arranjos) com Itens Duplicados 
Permutações também podem ser realizadas com itens duplicados. Por exemplo, 
de quantas maneiras diferentes pode-se arranjar a palavra zoo? (A ideia aqui é que o 
conjunto, das letras, da palavra zoo, contém dois elementos o indistinguível, não que 
um único “o” é repetido. Desta forma, se está lidando com itens duplicados e não com 
repetições. Uma vez que, dois “o” podem ser arranjados em 2! diferentes maneiras, o 
número de arranjos diferentes (ou distinguíveis) é: 3! / 2! = 3 (zoo, ozo, ooz) Desta 
forma, pode-se definir: 
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Permutações (Arranjos) Com Repetição 
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Se uma coleção de “n” objetos contém n1 que são idênticos, outros, n2 
que são idênticos entre si, mas diferentes dos primeiros n1 e assim 
sucessivamente, até nk, então o número de arranjos distinguíveis de todos 
os “n” objetos é dado por: 
n! / (n1!n2!...nk!) 
Exemplo 
Quantos arranjos distintos podem ser feitos com as letras da palavra “estatística”? 
Solução: 
Neste caso tem-se um total de 11 letras, das quais n1 = 2 (o “s” ocorre duas 
vezes), n2 = 3 ( o “t” ocorre 3 vezes), n3 = 2 ( o “a” ocorre duas vezes) e n4 = 2 ( a letra 
“i” ocorre duas vezes). 
Então, existem: 
11! / 2! 3! 2! 2! = 831 600 arranjos distintos de letras da palavra “estatística”. 
 
8 Permutações(Arranjos) Com Repetição 
Considere-se “n” elementos tomados “r” a “r”, onde são permitidas as repetições, 
isto é, o mesmo elemento pode ocorrer mais de uma vez. Então o número de 
permutações (arranjos), não necessariamente distintos, é dado por: nr, isto é: 
P(n, r) = nr 
 
Exemplo 
Uma urna contém bolas vermelhas, brancas e pretas. Uma bola é extraída e após 
anotada a sua cor volta para a urna. Então uma segunda bola é extraída e anotada 
igualmente a cor. Quantas são as possíveis sequências de cores observadas? 
 
Solução: 
Como cada extração fornece uma cor entre { V, B, P } o número de sequências 
possíveis é, pelo princípio fundamental da contagem: 3.3 = 32 = 9. 
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Combinações 
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9 Combinações 
Existem certos arranjos onde a ordem entre os elementos não é importante, por 
exemplo, para calcular a probabilidade de acertar a sena, a quina, etc. não é necessário 
saber a ordem em que os números foram sorteados, mas apenas a combinação de 
números. Permutações (arranjos) onde a ordem não interessa são denominadas de 
combinações. 
O número de combinações de “n” objetos tomados em grupos de “r” é 
representado por C(n, r) ou por:(𝑛/𝑟). 
 
O número de combinações, ou subconjuntos, de “n” objetos 
tomados em grupos de “r”, onde r ≤ n é dado por: 
C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / r!(n - r)! 
 
Exemplo 
Uma forma comum de pôquer consiste em mãos (conjuntos) de cinco cartas 
cada, retiradas de um baralho padrão de 52 cartas. Quantas mãos diferentes são 
possíveis? 
 
Solução: 
Neste caso a ordem não é importante, pois uma dada mão de cartas depende 
apenas das cartas que ela contém e não da ordem específica que elas foram dadas. 
Neste caso, então, aplica-se o conceito de combinação: 
Assim C(52, 5) = 52! / 5!.47! = 2 598 960. 
 
10 O Teorema Binomial 
Avaliar a expressão (x + y)n para vários valores de “n” fornece uma família de 
expressões, denominadas de expansão binomial, que são importantes na Matemática, 
principalmente na teoria probabilística. Algumas expansões de (x + y)n estão listadas 
abaixo. 
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O Teorema Binomial 
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(x + y)1 = x + y 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 
 
Examinando estas expressões pode-se identificar um padrão, que pode ser 
escrito como: 
 
 
Um outro método de encontrar os coeficientes dos termos da expansão binomial 
é dado pelo triângulo de Pascal (ou Tartaglia, de acordo com NOG75), onde cada 
número no triângulo pode ser encontrado somando-se os dois números 
imediatamente superiores a ele. Veja-se o exemplo, abaixo, mostrando uma parte do 
triângulo. 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
............................................ 
Pode-se observar que a soma de cada linha do triângulo acima é 2n onde n é o 
número da linha. Assim para a primeira linha tem-se 1 = 20, para a segunda: 1 + 1 = 
21, para a terceira 1 + 2 + 1 = 22 e assim por diante. 
Este triângulo expresso como coeficientes fica: 
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Probabilidade 
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Note que a primeira linha do triângulo contém os coeficientes do 
desenvolvimento de (x + a)0. A segunda linha do triângulo contém os coeficientes do 
desenvolvimento de (x + a)1. A terceira linha do triângulo contém os coeficientes do 
desenvolvimento de (x + a)2 e assim por diante. 
Pelo triângulo fica fácil verificar a validade da relação de Stiefel:(
𝑛
𝑟
) = (
𝑛−1
𝑟
) +
(
𝑛−1
𝑟−1
), para n≥ 2 
E também que: (
𝑛
𝑟
) = (
𝑛
𝑛−𝑟
) 
A propriedade vista de que a soma das linhas é igual a 2n pode então ser expressa 
como: ∑ (
𝑛
𝑟
)𝑛𝑟=0 =2
𝑛 
 
11 Probabilidade 
A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da “causa 
e efeito”. Quando o efeito esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a uma 
falha na experiência ou a uma falha na identificação da causa. Não poderia haver 
quebra da cadeia lógica. Segundo Laplace (Pierre Simon) uma vez conhecidas a 
vizinhança, a velocidade e a direção de cada átomo no universo, poder-se-ia, a partir 
de aí predizer com certeza, o futuro até a eternidade. 
Sabe-se hoje, através do princípio da incerteza, que não é bem assim. Que não 
existem meios que permitam determinar os movimentos dos elétrons individuais se 
conhecido a sua velocidade, conforme o estabelecido em 1927, pelo físico alemão W. 
Heinsenberg. 
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Modelos 
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12 Modelos 
Conforme J. Neymann, toda a vez que se emprega matemática com a finalidade 
de estudar algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático. 
Este modelo pode ser: determinístico ou então probabilístico. 
 
12.1 Modelo Determinístico 
Neste modelo as condições sob as quais o experimento é executado, determinam 
o resultado do experimento. Tome-se, por exemplo, a lei de Ohm, V = I.R. Se R e I 
forem conhecidos, então V estará precisamente determinado. 
 
12.2 Modelo Não-Determinístico ou Probabilístico 
É um modelo em que de antemão não é possível explicitar ou definir um 
resultado particular. Este modelo é especificado através de uma distribuição de 
probabilidade. É utilizado quando se tem um grande número de variáveis 
influenciando o resultado e estas variáveis não podem ser controladas. Tome-se por 
exemplo, o lançamento de um dado onde se tenta prever o número da face que irá 
sair, a retirada de uma carta de um baralho, etc. 
O modelo estocástico é caracterizado como um modelo probabilístico que 
depende ou varia com o tempo. 
 
13 Experimento Aleatório (Não-Determinístico) 
Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Por isto é 
necessário ilustrar o conceito um grande número de vezes para que a ideia fique bem 
clara. Convém lembrar que os exemplos dados são de fenômenos para os quais 
modelos probabilísticos são adequados e que por simplicidade, são denominados de 
experimentos aleatórios, quando, de fato, o que deveria ser dito é “modelo não-
determinístico aplicado a um experimento”. 
Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que 
operação ou procedimento deva ser realizado, mas também o que é que deverá ser 
observado. Note-se a diferença entre E2 e E3. 
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Experimento Aleatório (Não-Determinístico) 
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E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. 
E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. 
E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas. 
E4: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a 
uma (sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o 
número de peças retiradas. 
E5: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. 
E6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número 
de lançamentos necessários. 
E7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. E8: Lançam-
se dois dados e anota-se o par obtido. 
 
13.1 Características dos Experimentos Aleatórios 
Observando-se os exemplos acima pode-se destacar algumas características 
comuns: 
• Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
• Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se 
descrever todos os resultados possíveis 
• Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em 
termos de frequência de resultados. 
 
13.2 O Espaço Amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Anota-se por S, E ou Ω. 
 
Exemplo 
Determinar o espaço amostra dos experimentos anteriores. Si refere-se ao 
experimento Ei. 
 
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Experimento Aleatório (Não-Determinístico) 
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S1 = { 1, 2, 3,4, 5, 6 } 
S2 = { 0, 1, 2, 3, 4 } 
S3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, 
kckk, kkck, kkkc, kkkk } 
S4 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 } 
S5 = { t ∈ℜ / t ≥ 0 } 
S6 = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
S7 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } 
S8 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) 
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) 
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) 
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) 
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) 
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } 
 
Ao descrever um espaço amostra de um experimento, deve-se ficar atento para 
o que se está observando ou mensurando. Deve-se falar em “um” espaço amostral 
associado a um experimento e não de “o” espaço amostral. Deve-se observar ainda 
que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números. 
 
13.3 Classificação de Um Espaço Amostra 
Um espaço amostral, conforme exemplos anteriores pode ser classificado em: 
(a)Finito. São os espaços: S1, S2, S3, S4, S7 e S8 
(b) Infinitos. (i) Enumeráveis (ou contáveis): S6 (ii) Não-enumeráveis 
(ou não contáveis): S5 
 
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Eventos 
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14 Eventos 
Qualquer Subconjunto De Um Espaço Amostra S É Denominado Um Evento. 
Assim tem-se que: 
S é o evento certo; 
{ a } é o evento elementar e 
∅ é o evento impossível. 
 
Convém observar que tecnicamente todo subconjunto de um espaço amostra é 
um evento apenas quando ele for finito ou, então, infinito enumerável. Se o espaço 
amostra é infinito não-enumerável é possível construir subconjuntos que não são 
eventos. Se S é finito, isto é, #(S) = n então o número de eventos possíveis é #P(A) = 
2n. 
 
14.1 Combinação de Eventos 
Pode-se realizar operações entre eventos da mesma forma que elas são 
realizadas entre conjuntos. Antes de definir as operações é conveniente conceituar o 
que se entende por ocorrência de um evento. 
Seja E um experimento com um espaço amostra associado S. Seja A um evento 
de S. É dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto é, se executado E, o 
resultado for um elemento de A. 
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostra S. Diz-se que ocorre o 
evento: 
1. A união B ou A soma B, anotado por A∪B, se e somente se A ocorre ou B 
ocorre. 
 
2. A produto B ou A interseção B, anotado por A∩B ou AB, se e somente A 
ocorre e B ocorre. 
 
A ∪ B 
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Conceitos de Probabilidade 
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 A∩B 
3. A menos B ou A diferença B, anota-se A - B, se e somente se A ocorre e B não 
ocorre. 
 
 
 A-B 
 
4.O complementar de A, anotado por 𝐴,̅ 𝐴𝐶 ou ainda A’ se e somente se A não 
ocorre. 
 
 A’ 
 
14.2 Eventos Mutuamente Excludentes 
 
Dois eventos A e B, são denominados mutuamente exclusivos ou excludentes, se 
eles não puderem ocorrer juntos, isto é, se A∩B = ∅. 
 
 
15 Conceitos de Probabilidade 
Existem três formas de se definir probabilidade. A definição clássica, a definição 
frequencial e a definição axiomática. 
 
 
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A Definição de Probabilidade Como Frequência Relativa 
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15.1 Definição Clássica de Probabilidade 
Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostra associado formado por 
“n” resultados igualmente prováveis. Seja A ⊆ S um evento com “m” elementos. A 
probabilidade de A, anotada por P(A), lê-se pe de A, é definida como sendo: 
P(A) = m / n 
Isto é, a probabilidade do evento A é o quociente entre o número “m” de casos 
favoráveis e o número “n” de casos possíveis. 
 
Exemplo 
Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se: 
a- Um resultado igual a 4. 
b- Um resultado ímpar. 
Solução: 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = #(S) = 6 
A = { 4 } m = #(A) = 1 então P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67% 
B = { 1, 3, 5 } m = #(B) = 3 então P(B) = m / n = 3 / 6 = 50% 
 
Crítica à definição clássica 
A definição clássica é dúbia, já que a ideia de “igualmente provável” é a mesma 
de “com probabilidade igual”, isto é, a definição é circular, porque está definindo 
essencialmente a probabilidade com seus próprios termos. 
A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. 
 
16 A Definição de Probabilidade Como Frequência Relativa 
Na prática acontece que nem sempre é possível determinar a probabilidade de 
um evento. Neste caso é necessário ter um método de aproximação desta 
probabilidade. Um dos métodos utilizados é a experimentação que objetiva estimar o 
valor da probabilidade de um evento A com base em valores reais. A probabilidade 
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A Definição de Probabilidade Como Frequência Relativa 
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avaliada através deste processo é denominada de probabilidade empírica. 
 
Frequência relativa de um evento 
Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostra associado ao 
experimento E. Suponha-se que E seja repetido “n” vezes e seja “m” o número de vezes 
que A ocorre nas “n” repetições de E. Então a frequência relativa do evento A, anotada 
por frA, é o quociente: 
frA = m / n = (número de vezes que A ocorre) / (número de vezes que E é 
repetido) 
 
Exemplo 
Uma moeda foi lançada 200 vezes e forneceu 102 caras. Então a frequência 
relativa de “caras” é: frA = 102 / 200 = 0,51 = 51% 
Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Então a frequência 
relativa do evento A = { face 6 } é: 
frA = 18 / 100 = 0,18 = 18% 
 
Propriedades da frequência relativa 
Seja E um experimento e A e B dois eventos de um espaço amostra associado S. 
Sejam frA e frB as frequências relativas de A e B respectivamente. Então. 
0 ≤ frA ≤ 1, isto é, a frequência relativa do evento A é um número que varia 
entre 0 e 1. 
frA = 1 se e somente se, A ocorre em todas as “n” repetições de E. 
frA = 0, se e somente se, A nunca ocorre nas “n” repetições de E. 
frAUB = frA + frB se A e B forem eventos mutuamente excludentes. 
 
Definição 
Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostra associado S. 
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Definição Axiomática de Probabilidade 
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Suponhamos que E é repetido “n” vezes e seja frA a frequência relativa do evento. 
Então a probabilidade de A é definida como sendo o limite de frA quando “n” tende 
ao infinito. Ou seja: 
P(A) = lim frA n→∞ 
Deve-se notar que a frequência relativa do evento A é uma aproximação da 
probabilidade de A. As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de 
n, razoavelmente grande a frA é uma boa aproximação de P(A). 
 
Crítica à definição frequencial 
Esta definição, embora útil na prática, apresenta dificuldades matemáticas, pois 
o limite pode não existir. Em virtude dos problemas apresentados pela definição 
clássica e pela definição frequencial, foi desenvolvida uma teoria moderna, na qual a 
probabilidade é um conceito indefinido, como o ponto e a reta o são na geometria. 
 
17 Definição Axiomática de Probabilidade 
Seja E um experimento aleatório com um espaço amostra associado S. A cada 
evento A ⊆ S associa-se um número real, representado por P(A) e denominado 
“probabilidade de A”, que satisfaz as seguintes propriedades (axiomas): 
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (ii) P(S) = 1; 
P(AUB) = P(A) + P(B) se A e B forem eventos mutuamente excludentes. 
Se A1, A2, ..., An, ..., forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, 
então: 
 
 
Consequências dos axiomas (propriedades) 
P(∅) = 0 Prova 
Seja A ⊆ S então tem-se que A∩∅ = ∅, isto é, A e ∅ são mutuamente 
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Definição Axiomática de Probabilidade 
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excludentes. Então: 
P(A) = P(A∪∅) = P(A) + P(∅), pela propriedade 3. Cancelando P(A) em ambos 
os lados da igualdade segue que P(∅)= 0. 
Se A e A são eventos complementares então: 
P(A) + P( A ) = 1 ou P( A ) = 1 - P(A) 
Tem-se que A∩ A = ∅ e A∪ A = S. Então: 
1 = P(S) = P(A∪A ) = P(A) + P( A ), pela propriedade 3. 
Se A ⊆ B então P(A) ≤ P(B) 
Tem-se: B = A∪(B - A) e A∩(B - A) = ∅ 
Assim P(B) = P(A∪(B - A)) = P(A) + P(B - A) e como P(B - A) ≥ 0 segue que: 
P(B) ≥ P(A) 
Se A e B são dois eventos quaisquer então: 
P(A - B) = P(A) - P(A∩B) 
A = (A - B)∪(A∩B) e (A - B) ∩(A∩B) = ∅ 
Logo P(A) = P((A - B)∪(A∩B)) = P(A - B) + P(A∩B). Do que segue: 
P(A - B ) = P(A) - P(A∩B). 
Se A e B são dois eventos quaisquer de S, então: 
P (A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 
A∪B = (A - B)∪B e (A - B)∩B= ∅ Tem-se então: 
P(A∪B) = P((A - B)∪B) = P(A - B) + P(B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), pela 
propriedade (iv). 
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) 
Faz-se B∪C = D e aplica-se a propriedade (v) duas vezes. 
Se A1, A2, ..., An são eventos de um espaço amostra S, então: P(A1∪A2∪...∪An) 
= 
 
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Probabilidade Condicionada E Independência 
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18 Probabilidade Condicionada E Independência 
Suponha-se que se quer extrair duas peças ao acaso de um lote que contém 100 
peças das quais 80 peças são boas e 20 defeituosas, de acordo com os critérios (a) 
com reposição e (b) sem reposição. Define-se os seguintes eventos: 
A = { A primeira peça é defeituosa } e B = { A segunda peça é defeituosa }. 
 
Então, se a extração for com reposição P(A) = P(B) = 20 / 100 = 1 / 5 = 20%, 
porque existem 20 peças defeituosas num total de 100. 
Agora se a extração for sem reposição tem-se ainda que P(A) = 20 / 100 = 20%, 
mas o mesmo não é verdadeiro para P(B). Neste caso, é necessário conhecer a 
composição do lote no momento da extração da segunda peça, isto é, é preciso saber 
se a primeira peça retirada foi ou não defeituosa. Neste caso é necessário saber se A 
ocorreu ou não. O que mostra a necessidade do conceito de probabilidade 
condicionada. 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S, associado a um experimento 
E, onde P(A) > 0. A probabilidade de B ocorrer condicionada a A ter ocorrido, será 
representada por P(B/A), e lida como: “probabilidade de B dado A” ou “probabilidade 
de B condicionada a A”, e calculada por: 
 
P(B/A) = P(A∩B) / P(A) 
 
No exemplo acima, então P(B/A) = 19 / 99, pois se A ocorreu (isto é, se saiu peça 
defeituosa na primeira retirada) existirão na urna apenas 99 peças das quais 19 
defeituosas. 
Sempre que se calcular P(B/A) está se calculando a probabilidade de ocorrência 
do evento B em relação ao espaço amostra reduzido A, ao invés de fazê-lo em relação 
ao espaço amostral original S. 
Quando se calcula P(B) está se calculando a probabilidade de estar em B, 
sabendo-se que se está em S, mas quando se calcula P(B/A) está calculando a 
probabilidade de B, sabendo-se que se está em A agora e não mais em S, isto é, o 
espaço amostra fica reduzido de S para A. É simples verificar as seguintes 
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Teorema da Multiplicação 
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propriedades de P(B/A) para A fixado: 
0 ≤ P(B/A) ≤ 1, 
P(S/A) = 1, 
P(B1∪B2/A) = P(B1 / A) + P(B2 / A) se B1 ∩B2 = ∅ 
P(B1∪B2
 ..../A) = P(B1/A) + P(B2/A) + ... se Bi ∩Bj = ∅ para i ≠ j. 
 
Observe-se que estas propriedades são idênticas aos axiomas de probabilidade. 
Pode-se também comparar P(A/B) e P(A). Para tanto considere-se os quatro casos 
ilustrados nos diagramas abaixo: 
Tem-se: 
P(A/B) = 0, porque A não poderá ocorrer se B tiver ocorrido. 
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = [P(A) / P(B)] ≥ P(A), já que P(A) ≤ P(B), pois A ⊆ B. 
P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = [P(B) / P(B)] = 1 ≥ P(A). 
Neste caso nada se pode afirmar sobre o relacionamento entre P(A/B) e P(A). 
a) A∩B = ∅ (b) A ⊂ B (c) B ⊂ A (d) Caso geral 
 
 
19 Teorema da Multiplicação 
Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma 
maneira de se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função 
destes eventos. Esta expressão é denominada de teorema da multiplicação. P(A∩B) = 
P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B) 
 
20 Independência de Dois Eventos 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos 
 
 A B 
 B 
 A 
 A 
 B 
 
 A B 
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Independência de Dois Eventos 
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independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do 
outro ocorrer, isto é, se: 
P(A/B) = P(A) ou 
P(B/A) = P(B) ou ainda se 
P(A∩B) = P(A).P(B) 
 
Qualquer uma das 3 relações acima pode ser usada como definição de 
independência. 
 
Exemplo 
[MEY78] Três componentes C1, C2, e C3, de um mecanismo são postos em série 
(em linha reta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. 
Seja R o evento { C2 está à direita de C1 }, e seja S o evento { C3 está à direita de C1 }. 
Os eventos R e S são independentes? Por quê? 
 
Solução: 
Para que R e S sejam independentes deve-se ter: 
P(R∩S) = P(R).P(S). 
O espaço amostra para este caso é: 
S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3, C2C3C1, C3C1C2, C3C2C1 } As sequências em que C2 
está à direita de C1 são: 
R = { C1C2C3, C1C3C2, C3C1C2 }. Logo: P(R) = 3/6 = 50% As sequências 
em que C3 está à direita de C1 são: 
S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3 }. Logo 
P(S) = 3/6 = 50% 
As sequências em que C2 está à direita de C1 e C3 está também à direita de C1 
são: 
R∩S = { C1C2C3, C1C3C2 }. Logo 
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Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes 
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P(R∩S ) = 2/6 = 1/3 = 33,33% ≠ P(R).P(S) = 0.5.0,5 = 0,25 = 25% Portanto os 
eventos R e S não são independentes. 
 
21 Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes 
O conceito de probabilidade condicionada pode ser utilizado para calcular a 
probabilidade de um evento simples A ao invés da probabilidade da interseção de 
dois eventos A e B. Para tanto é necessário o conceito de partição de um espaço 
amostra. 
Diz-se que os conjuntos A1, A2, ..., An eventos de um mesmo espaço amostra S, 
formam uma partição deste espaço se: 
Ai ∩Aj = ∅, para todo i ≠ j. 
A1 ∪ A2 ... ∪ An = S 
P(Ai) > 0, para todo i 
 
Exemplo 
Considere-se o espaço amostra obtido pelos números das faces no lançamento 
de um dado equilibrado e sejam os eventos: 
A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 4, 5 } e A3 = { 6 } 
Então, pode-se verificar facilmente que, os eventos acima formam um partição 
do espaço amostra S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
 
Teorema da probabilidade total 
Considere-se um espaço amostra S e A1, A2, ..., An uma partição deste espaço 
amostra. Seja B um evento de S. Então B, pode ser escrito como (A figura acima ilustra 
a partição com n = 8): 
B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An) 
 
É claro que, alguns destes conjuntos B ∩ Aj, poderão ser vazios, mas isto não 
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Teoremas da Probabilidade Total e de Bayes 
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representa nenhum problema na decomposição de B. O importante é que todos os 
conjuntos B ∩ A1, B ∩ A2, ..., B ∩ An são dois a dois mutuamente excludentes. E por 
isto, pode-se aplicar a propriedade da adição de eventos mutuamente excludentes e 
escrever. 
P(B) = P[(B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)] = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ 
An) Mas cada um dos termos P(B ∩ Aj) pode ser escrito na forma: 
P(B ∩ Aj) = P(Aj).P(B/Aj), pela definição de probabilidade condicionada, obtém-se 
então o denominado teorema da probabilidade total: 
 
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An) 
 
Exemplo 
Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A 
produz o dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. 
Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e por B são defeituosas, enquanto 
que 4% das produzidas por Csão defeituosas. Todas as peças produzidas são 
misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao 
acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa? 
 
Solução: 
Considerem-se os seguintes eventos: 
D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça provém da fábrica A }, B = { A peça 
provém da máquina B } e C = { A peça provém da máquina C }. 
Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vez que só existem as 3 
fábricas e que A produz o dobro de B e esta por sua vez produz a mesma quantidade 
que C. Sabe-se também que P(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%. 
Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que: 
P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04 
= 2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaço amostra S. 
 
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Teorema de Bayes 
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22 Teorema de Bayes 
Suponha-se que no exemplo acima, uma peça é retirada do depósito e se verifica 
que é defeituosa. Qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela fábrica A? 
ou B? ou ainda C? 
Neste caso, o que se quer calcular é a probabilidade condicionada P(A/D). 
Pela notação já vista acima, e generalizando a questão o que se está interessado 
em obter é a probabilidade de ocorrência de um dos Ai dado que B ocorreu, isto é, o 
que se quer é saber o valor de P(Ai / B), onde os eventos A1, A2, ..., An formam uma 
partição de S e B é um evento qualquer de S. 
Aplicando a definição de probabilidade condicionada segue que: 
P(Ai / B) = P(Ai ∩ B) / P(B) = P(Ai).P(B / Ai) / P(B), onde P(B) é avaliado pelo teorema 
da probabilidade total. Este resultado é conhecido como teorema de Bayes. Assim: 
 
P(Ai / B) = P(Ai).P(B / Ai) / [P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + 
P(An).P(B/An)] 
 
Exemplo 
Considerando a pergunta acima vem então: 
P(A / D), isto é a probabilidade de ter sido produzida pela máquina A dado que 
a peça é defeituosa é: 
P(A / D) = P(A). P(D / A) / P(D) = 0,02.0,50 / (0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04) = 
0,40 = 40% 
 
23 Variáveis Aleatórias 
Ao se descrever o espaço amostra de um experimento nota-se que os elementos 
não são necessariamente números. Assim, por exemplo, no lançamento de duas 
moedas pode-se ter o seguinte espaço amostra: 
S = { cc, ck, kc, kk } 
Contudo, na maior parte das vezes, se está interessado num resultado numérico, 
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Variáveis Aleatórias 
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isto é, deseja-se associar aos elementos do espaço amostra S um número real x = X(s). 
Desta forma formula-se a definição: 
Seja E um experimento com um espaço amostra associado S. Uma função X que 
associe a cada elemento de S (s ∈ S) um número real x = X(s) é denominada variável 
aleatória. 
O conjunto formado por todos os valores “x”, isto é, a imagem da variável 
aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X e anotado por X(S). Desta 
forma: 
X(S) = { x ∈ ℜ / X(s) = x } 
 
Exemplo 
Seja S o espaço amostra formado pelas sequências obtidas no lançamento de 3 
moedas equilibradas. Seja X a variável aleatória definida como sendo o número de 
caras da sequência, isto é, X(s) = x = números de caras. O conjunto de valores da 
variável X é X(S) = { 0, 1, 2, 3 }, pois, neste caso, tem-se: 
X(ccc) = 0 
X(ckk) = 1, etc. Ou então: 
s kkk ckk, kck, 
kkc 
cck, ckc, 
kcc 
ccc 
X(s) 0 1 2 3 
 
Conforme o conjunto de valores uma variável aleatória poderá ser discreta ou 
contínua. 
Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita 
discreta. 
Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita 
contínua. 
 
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Variável Aleatória Discreta 
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24 Variável Aleatória Discreta 
Uma variável aleatória X é dita discreta se o seu conjunto de valores X(S) é finito 
ou então infinito contável ou enumerável. 
 
24.1 A Função de Probabilidade 
Seja X uma variável aleatória discreta (VAD), isto é, com X(S) finito ou infinito 
enumerável, definida num espaço amostral S. A cada resultado xi de X(S) associa-se 
um número f(xi) = P(X = xi) denominado probabilidade de xi e tal que satisfaz as 
seguintes propriedades: 
f(xi) ≥ 0, para todo “i”. 
∑f(xi) = 1 
A função “f” assim definida é denominada de função de probabilidade de 
X 
A coleção dos pares (xi, f(xi)) para i = 1, 2, 3, ... é denominada de 
distribuição de probabilidade da VAD X. 
Note-se que f(x) = P(X = x) = P({ s ∈ S / X(s) = x }) Desta forma quando se calcula 
f(x) está se calculando, na realidade, a probabilidade do evento { s ∈ S / X(s) = x } ⊆ S. 
 
Exemplo 
Dois dados são lançados e observa-se o par obtido. O espaço amostra é formado 
por 36 resultados equiprováveis. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas da 
seguinte forma: 
X = soma do par obtido Y = maior valor do par tem-se então: 
X(S) = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } Y(S) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Para X tem-se: f(2) 
= P( X = 2) = P({ (1, 1) }) = 1/36 f(3) = P( X = 3) = P({ (2, 1), (1, 2) }) = 2/36 f(4) = P( X = 
4) = P({ (1, 3), (2, 2), (3, 1) }) = 3/36 f(5) = P( X = 5) = P({ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }) = 
4/36 f(6) = P( X = 6) = P({ (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) }) = 5/36 f(7) = P( X = 7) = P({ 
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) }) = 6/36 f(8) = P( X = 8) = P({ (2, 6), (3, 5), (4, 4), 
(5, 3), (6, 2) }) = 5/36 f(9) = P( X = 9) = P({ (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) }) = 4/36 f(10) = P( 
X = 10) = P({ (4, 6), (5, 5), (6, 4) }) = 3/36 f(11) = P( X = 11) = P({ (5, 6), (6, 5) }) = 2/36 
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Variável Aleatória Discreta 
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f(12) = P( X = 12) = P({ (6, 6)}) = 1/36 
Em resumo: 
x 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 
1
1 
12 
f(
x) 
1
/36 
2/
36 
3
/36 
4/
36 
5
/36 
6
/36 
5
/36 
4
/36 
3
/36 
2
/36 
1/36 
 
Para Y tem-se: 
f(1) = P( Y = 1) = P({ (1, 1) }) = 1/36 
f(2) = P( Y = 2) = P({ (2, 1), (2, 2), (1, 2) }) = 3/36 
f(3) = P( Y = 3) = P({ (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3,2), (3, 1) }) = 5/36 
f(4) = P( Y = 4) = P({ (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1) }) = 7/36 
f(5) = P( Y = 5) = P({ (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1) }) = 
9/36 f(6) = P( Y = 6) = P({ (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), 
(6, 1 }) = 11/36 
 
Em resumo: 
x 1 2 3 4 5 6 
f(x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 
 
24.2 Representação da Função de Probabilidade 
Existem três maneiras de representar a função de probabilidade de uma VAD X: 
Através de uma tabela. 
Através de uma expressão analítica para f(x) (fórmula). 
Através de um diagrama, onde os valores da variável são registrados no 
eixo das abscissas e as probabilidades no eixo das ordenadas. 
 
Disciplina | 
A Função de Distribuição Acumulada 
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Exemplo 
As duas tabelas acima. 
Considere-se a variável Y, do exemplo acima, onde Y(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
f: Y(S) → ℜ y → (2y - 1)/36 
 
Deste modo: f(1) = (2.1 - 1) / 36 = 1 / 36 f(6) = (6.2 - 1) / 36 = 11/ 36 
Veja o diagrama abaixo. 
 
 
25 A Função de Distribuição Acumulada 
Seja X uma VAD com função densidade f(x). Então a função de distribuição 
acumulada - FDA, ou simplesmente função de distribuição de X é a função F “em 
escada” definida por: 
F(x) = P(X ≤ x) = ∑f( )xi 
xi≤x 
 
Exemplo 
Seja X uma VAD com a distribuição da tabela abaixo: 
x -2 1 2 4 
f(x) 1/4 1/8 1/2 1/8 
 
,00% 0 
10 ,00% 
20 ,00% 
30 ,00% 
40 ,00% 
2 3 4 5 6 1 
Disciplina | 
Variável Aleatória Discreta (Caracterização) 
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Então a função de distribuição de X é dada por: 
F(x) 
=0 se x < -2 
=1/4 se -2 ≤ x 1 
=3/8 se 1 ≤ x ≤ 2 
=7/8 se 2 ≤ x < 4 
=1 se x≥ 4 
 
26 Variável Aleatória Discreta (Caracterização) 
Considere X uma variável aleatória discreta assumindo os valores: x1, x2, ..., xi, ..., 
com probabilidades f(x1), f(x2), .... , f(xi), .... 
 
Expectância, esperança, média ou valor esperado de X 
A média, expectância, valor esperado ou esperança matemática da variável 
aleatória X é representada por µ ou E(X) e calculada por: 
 
 µ = E(X) = x1f(x1) + x2f(x2) +... + xnf(xn) + ... = ∑x xi. (f i) 
 
Exemplo 
Calcular o número esperado de faces caras no lançamento de duas moedas 
equilibradas. 
 
Solução: 
Seja X = Número de caras. Então a distribuição de X é dada por: 
x 0 1 2 
f(x) 1/4 2/4 1/4 
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Variável Aleatória Discreta (Caracterização) 
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Logo a média ou expectância de X será: 
E(X) = 0.(1/4) + 1.(2/4) + 2.(1/4) = 1/2 + 1/2 = 1 cara. 
 
A variância de X 
Seja X uma variável aleatória discreta com média µ = E(X). Então a variância de X, 
anotada por σ2 ou V(X) é definida por: 
 
σ2 = V(X) = f(x1) (x1 - µ)
2 + f(x2) (x2 - µ)
2 + ... + f(xn) (xn - µ)
2 + ... = 
∑f(xi)(xi−µ)
2 
 
Pode-se demonstrar que a expressão da variância, acima, pode ser transformada 
na seguinte expressão: 
 
σ2 = V(X) = µ
2 = E(X2) - [E(X)]2 = E(X2) - µ2 
 
Exemplo 
Calcular a variância da distribuição do exemplo anterior. 
 
Solução: 
Tem-se que: E(X) = 1, então: σ2 = V(X) = ∑f(xi)(xi−µ)
2 = (1/4)(0 - 1)2 + (2/4)( 1 - 
1)2 + (1/4)(2 - 1)2 = 1/2 
Ou ainda: 
E(X2) = (1/4).02 + (2/4).12 + (1/4).22 = 3/2 σ2 = V(X) = E(X2) - µ2 = 3/2 - 12 = 1/2 
 
O desvio padrão 
O desvio padrão da variável X, anotado por σ, é a raiz quadrada da variância. 
 
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Variável Aleatória Discreta (Caracterização) 
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A variância relativa e o coeficiente de variação 
Seja X uma variável aleatória discreta com média 
µ = E(X) e variância σ2 = V(X). 
Então a variância relativa de X, anotada por: γ2, e definida por: 
γ2 = σ2 / µ2 
 
O coeficiente de variação de X é definido como a raiz quadrada da variância 
relativa: 
γ = σ / µ 
 
Exemplo 
Um vendedor recebe uma comissão de R$ 50,00 por uma venda. Baseado em 
suas experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das vendas 
semanais: 
x 0 1 2 3 4 
f(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 
 
(a) Qual é o valor esperado de vendas por semana? 
(b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 150,00 por 
semana? 
(c) Qual o desvio padrão das vendas semanais? 
(d) Qual o coeficiente de variação das vendas semanais? 
 
 
Solução: 
(a) E(X) = 0.0,10 + 1.0,20 + 2.0,40 + 3.0,20 + 4.0,10 = 2 vendas por semana. 
Logo, como ele recebe R$ 50,00 por venda a renda esperada semanal é: R$ 100,00. 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Discretas 
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(b) Para ganhar pelo menos R$ 150,00 por semana ele deve realizar 3 ou 4 
vendas por semana. 
Esta probabilidade é: P(X ≥ 3) = 0,20 + 0,10 = 0,30 = 30% 
(c) Deve-se inicialmente avaliar o valor da variância e para tanto calcula-se 
antes a média dos quadrados: E(X2) = 02.0,10 + 12.0,20 + 22.0,40 + 32.0,20 + 42.0,10 = 
5,20. 
A variância é então: 
V(X) = E(X2) - µ2 = 5,20 - 22 = 5,20 - 4 = 1,20 
O desvio padrão será: σ = 1,20 = 1, 10 
(d) O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média, isto 
é: γ = σ / µ = 1,10 / 2 = 0,55 = 55% 
 
27 Distribuições Especiais de Probabilidade Discretas 
Existem algumas distribuições de probabilidade para variáveis discretas que pela 
sua frequência de uso vale a pena estudar mais detalhadamente. Estas distribuições 
apresentam expressões para o cálculo das probabilidades, isto é, as probabilidades 
f(x) podem ser avaliadas através de um modelo matemático conhecido. Duas destas 
distribuições são a Binomial e a distribuição de Poisson. 
 
27.1 A Distribuição Binomial 
Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostra associado. Seja A ⊆ S 
um evento de S. Seja “n” o número de vezes que o experimento E é repetido e seja 
“p” a probabilidade de A ocorrer em cada uma das “n” repetições de E, de modo que, 
“p“ permaneça constante durante as “n” repetições de E. Como existem apenas duas 
situações: A ocorre ou A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não 
ocorrer como sendo q = 1 - p. Em certas situações a probabilidade “p” é denominada 
de probabilidade de “sucesso” e a probabilidade “q” de probabilidade de fracasso. 
 
Definição: 
Seja X uma VAD definida por X = número de vezes que A ocorreu nas “n” 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Discretas 
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repetições de E. A variável aleatória X é denominada de variável aleatória Binomial. O 
conjunto de valores de X, isto é, X(S) é: 
X(S) = { 0, 1, 2, 3, ..., n } 
 
Se X é uma variável aleatória com um comportamento Binomial, então a 
probabilidade de X assumir um dos valores do conjunto X(S) é calculada por: 
 
f(x) = P(X = x) = (
𝒏
𝒙
) . 𝒑𝒙. 𝒒𝒏−𝒙, para x = 0, 1, 2, ..., n. 
 
Demonstração: 
Considere-se um elemento particular do espaço amostra S, satisfazendo à 
condição X = x. Como todas as repetições são independentes a probabilidade desta 
sequência particular é dada por: pk(1 - p)n - k, mas esta mesma probabilidade está 
associada a qualquer outro resultado em que X = k. O número de resultados em que 
isto ocorre é dado por (
𝑛
𝑘
), porque se deve escolher exatamente “k” casos dentre “n” 
possibilidades para o evento A. Como estes resultados são todos mutuamente 
excludentes, então o valor de P(X = k) é o da fórmula acima. 
 
Representação: 
Se X tem um comportamento Binomial de parâmetros “n” e “p” então representa-
se X por B(n, p). 
 
 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Discretas 
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Exemplo 
Considerando X como sendo a VAD igual a “número de vezes que ocorre face 
cara em 5 lançamentos de uma moeda equilibrada”, determinar a probabilidade de 
ocorrer: 
(a) Duas caras 
(b) Quatro caras 
(c) No máximo duas caras 
Solução: 
Neste caso, tem-se: 
n = 5 = número de lançamentos. 
X = número de caras nos 5 lançamentos ⇒ X(S) = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } 
p = P(Cara em 1 lançamento ) = 0,50, pois a moeda é equilibrada. Logo q = 1 - p 
= 0,50 
 
Então: f(x) = P(X = x) = (
5
𝑥
).05, 
x
.0 5, 
5−x , para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 
(a) P(X = 2) =(
5
2
). .05, 
2
.05, 
3 = 10.0,25.0,125 = 31,25% 
(b) P(X = 4) = (
5
4
)..05, 
4
.05, 
1 = 5. 0,0625.0,5 = 15,62% 
(c) P(X ≤ 2) = (
5
0
)..05, 
0.05, 
5 + (
5
1
). 05 1. 05 4 + (
5
2
). 05 2. 05 3 = 0,5 5 +
 5.0,55 + 10.0,55 = 50% 
 
27.2 Propriedades da Distribuição Binomial 
A vantagem de se ter um modelo conhecido é que podemos determinar suas 
características de um modo geral. Assim se X é uma VAD com uma distribuição 
Binomial tem-se: 
 
Média, expectância ou valor esperado 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Discretas 
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µ = E(X) = ∑x f x). ( = ∑x. (
𝑛
𝑥
) . q
x. n - x = np, isto é, a média de uma variável 
aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos parâmetros “n” e “p“. 
 
Variância 
σ2 = E(X2) - µ2 = ∑x
2
. (
𝑛
𝑥
). p
x
. q 
n - x - (np)2 = npq, isto é, a variância de uma variável 
aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos parâmetros “n” e “p” e 
multiplicados ainda por “q”. 
 
O desvio padrão σ =√npq 
Exemplo 
A probabilidade de um exemplar defeituoso com que opera certo processo 
produtivo é de 10%. Considerando X a variável “número de unidades defeituosas em 
uma amostra ocasional de 20 unidades, determinar: 
(a) O número médio de item defeituosos na amostra. 
(b) O desvio padrão do número de item defeituosos na amostra. 
 
Solução: 
(a) E(X) = np = 20.0,10 = 2 itens defeituosos 
(b) σ =√npq= √20.0,10.0,90 = √1,80 = 1,34 itens defeituosos. 
 
Exemplo 
Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas 
defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. 
(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas 
numa caixa? 
(b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas 
numa caixa? 
(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que houver 
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A Distribuição Hipergeométrica 
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alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1000 
caixas? 
Solução: 
(a) P(X = 3) =(
5
3
).(0,10)3. (0, 90)2 = 10.0,001.0,81 = 0,81% 
(b) P(Duas ou mais defeituosas) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X 
= 5). Ao invés de calcular desta forma é mais conveniente utilizar o 
complementar. Assim: 
P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - (0,5905 + 0,3280] = 8,15% 
(c) A probabilidade de uma caixa pagar multa é: 
P(PM) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,5905 = 40,95% 
Neste caso tem-se uma nova Binomial com n = 1000 e p = 40,95%. O número 
esperado de caixas que vão pagar multa, isto é, com uma ou mais peças defeituosas 
será: 
E(PM) = np = 1000.0,4095 = 409,5 caixas. 
Como cada uma paga R$ 10,00 de multa, o valor total da multa será: PM = R$ 
10,00.409,5 = R$ 4 095,00 
 
28 A Distribuição Hipergeométrica 
Considere-se um conjunto de N elementos, r dos quais tem uma determinada 
característica (r ≤ N) e N -r não tenham esta característica. Extraí-se n elementos (n ≤ 
N) sem reposição. Seja X a variável aleatória igual ao número de elementos que 
possuem a característica entre os n retirados. X é denominada de variável aleatória 
hipergeométrica. 
As probabilidades de uma variável aleatória hipergeométrica podem ser 
avaliadas por: 
P(X = x) =
(
𝒓
𝒙
 )(
𝑵−𝒓
𝒏−𝒙
)
(
𝑵
𝒏
)
 com x = max{0, N - r - n}, ... , min(r, n). 
Uma vez que X = x, se e somente se, forem retirados x elementos dentre os r que 
possuem a característica e forem retirados n - x dentre os n - r que não possuem a 
Disciplina | 
Propriedades da Distribuição Hipergeométrica 
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característica. 
 
29 Propriedades da Distribuição Hipergeométrica 
Fazendo p = r/N e q = (N - r) / N, tem-se: 
 
Média, expectância ou valor esperado 
µ = E(X) = ∑x.f(x) = ∑ x. 
(
𝑟
𝑥
 )(
𝑁−𝑟
𝑛−𝑥
)
(
𝑁
𝑛
)
 = ... = (rn) / N = np. 
 
Variância 
𝜎2 = E(𝑋2) - µ2 = ∑𝑋2. 
(
𝑟
𝑥
 )(
𝑁−𝑟
𝑛−𝑥
) 
(
𝑁
𝑛
)
 - (np)2 = npq 
𝑁−𝑛
𝑁−1
. 
 
P(X = x) ≅ (
𝑛
𝑥
).𝒑𝒙 .𝒒𝒏−𝒙 para N grande. 
 
Note-se que se as extrações fossem feitas com reposição, ter-se-ia uma 
distribuição Binomial. A propriedade (c) afirma que para N suficientemente grande a 
distribuição hipergeométrica pode ser aproximada pela distribuição Binomial. Em 
geral, esta aproximação será boa se (n / N) ≤ 0,1. 
A distribuição hipergeométrica será representada por H(r; n; N) 
 
Disciplina | 
Propriedades da Distribuição Hipergeométrica 
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Exemplo 
Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 
lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que: 
(a)Exatamente duas estejam queimadas? 
(b) Pelo menos uma esteja boa? 
(c) Pelo menos duas estejam queimadas? 
(d) O número esperado de lâmpadas queimadas? 
(e) A variância do número de lâmpadas queimadas? 
 
Solução: 
Tem-se N = 12, r = 5 e n = 6, então: 
5 7 
(a)P(X = 2) = 2 4 = 37,88% 
12 
 6 
(b) Se são retiradas 6 lâmpadas e somente 5 estão queimadas, então 
necessariamente uma será 
boa, portanto: 
P(pelo menos uma boa) = 100%. 
 5 7 5 7 
 
(c) P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - 0 6 - 1 5 
= 87,88%. 
 12 12 
 
 6 6 
Disciplina | 
A Distribuição de Poisson 
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(d) E(X) = (rn) / N = 5.6 / 12 = 30/12 = 5/2 = 2,50. 
(e) V(X) = nr (N−r) (N−n) .= 5.7.6 = 210/1584 = 0,1326 = 
0,13. 
 N N (N−1) 12.12.11 
 
30 A Distribuição de Poisson 
Na distribuição binomial, a variável de interesse era o número de sucessos 
(ocorrências do evento A) em um intervalo discreto (n repetições do experimento E). 
Muitas vezes, entretanto, o interesse reside no número de sucessos em um intervalo 
contínuo, que pode ser de tempo, comprimento, superfície, etc. Para se caracterizar 
uma distribuição que leve em conta o número de sucessos (valores) em um intervalo 
contínuo, será suposto que: 
• Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são 
independentes; 
• Em intervalos de mesmo comprimento, são iguais as 
probabilidades de ocorrência de um mesmo número de sucessos; 
• Em intervalos muito pequenos, a probabilidade de mais de um 
sucesso é desprezível; 
• Em intervalos muito pequenos, a probabilidade de um sucesso é 
proporcional ao comprimento do intervalo. 
• 
Se os valores de uma variável satisfazem as hipóteses (i) a (iv) acima se dirá que 
ela segue um processo de Poisson. 
 
Definição: 
Seja X uma VAD definida por um processo de Poisson, assumindo os valores: 0, 
1, ..., n, .., com taxa λ > 0. 
Então: 
f(x) = P(X = x) = e−λλx , para x = 0, 1, 2, 3, ... , onde x é o número de eventos que 
ocorrem x! 
em um intervalo sobre o qual se espera uma média λ de ocorrências. 
Disciplina | 
A Distribuição de Poisson 
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Além disso, X pode ser definida como o número de eventos que ocorrem sobre 
um período de tempo t, substituindo λ na equação acima por λt. Desta forma a 
distribuição de Poisson pode ser escrita como: 
 
 
A distribuição de Poisson será representada por P(λ). 
 
 
Exemplo 
Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem defeitos a uma taxa 
de 1 a cada 2000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 metros de 
fita magnética: 
(a) Não tenha defeitos? 
(b) Tenha no máximo dois defeitos? 
(c) Tenha pelo menos dois defeitos? 
 
Disciplina | 
A Distribuição de Poisson 
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Solução: 
Neste caso, tem-se: 
λ = Taxa de defeitos a cada 2000 metros. 
X = número de defeitos a cada dois mil metros. x = 0, 1, 2, 3, ... 
Então: 
 
 
Exemplo 
Um dado é formado por chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 
50 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson. 
(a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar 
exatamente 2 defeitos? 
(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois 
defeitos? 
(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas? 
 
Solução: 
(a) Em média aparecem: 
d = 50 defeitos/m2 = 50/10 000 defeitos/cm2 
 
Como cada face tem a = 10cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então: λ = (50/10000) 
defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face. A probabilidade de uma face 
apresentar dois defeitos será: 
Disciplina | 
Propriedades da Distribuição de Poisson 
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(b) No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e o número médio 
de defeitos será então: 
λ = (50/10000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos 
A probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos será: 
 
(c) A probabilidade de pelo menos 5 faces perfeitas é: 
P(Y ≥ 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6). A probabilidade de uma face ser perfeita é a 
probabilidade de ela não apresentar defeitos, isto é: 
 
Tem-se então uma binomial Y com n = 6 (número de faces do dado) e p = 60,65% 
= probabilidade de uma face ser perfeita. Então a probabilidade de pelo menos 5 
perfeitas, será: 
 
 
31 Propriedades da Distribuição de Poisson 
Se X for uma VAD com distribuição de Poisson, então: 
Média, expectância ou valor esperado 
 
 
 
Disciplina | 
Relação Entre as Distribuições Binomial e Poisson 
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Variância 
 
O desvio padrão 
 
σ = λ 
 
32 Relação Entre asDistribuições Binomial e Poisson 
Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição Binomial de parâmetros 
“n” e “p”. Isto é: 
 
Admita-se que quando n → ∝, tenha-se np = α = constante, ou de uma forma 
equivalente, quando n → ∝, p → 0, de modo que np → α. Nestas condições tem-se 
então: 
 
O teorema diz essencialmente, que é possível obter uma aproximação das 
probabilidades binomiais com as probabilidades da distribuição de Poisson, toda vez 
que “n” seja grande e “p” seja pequeno. 
 
Exemplo 
Uma amostra de 50 peças é retirada da produção de uma máquina que trabalha 
com um índice de defeitos de 2%. Determinar a probabilidade de se encontrarem duas 
peças defeituosas na amostra. 
 
 
Disciplina | 
Cálculo de Probabilidade Com Uma Vac 
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Solução: 
(a) Pela Binomial, tem-se: 
 
 Usando uma aproximação pela distribuição de Poisson de média µ = np = 
50.0,02 = 1, tem-se: 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 
Seja E um experimento e S um espaço amostra associado. Se X é uma variável 
aleatória definida em S tal que X(S) seja infinito não-enumerável, isto é, X(S) seja um 
intervalo de números reais, então X é dita uma variável aleatória contínua. 
Definição 
Seja X uma variável aleatória contínua (VAC). A função f(x) que associa a cada x 
∈ X(S) um número real que satisfaz as seguintes condições: 
(a) f(x) ≥ 0, para todo x ∈ X(S) e 
(b) ∫X(S)f(x)dx = 1 
É denominada de função densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória 
X. 
Neste caso f(x) representa apenas a densidade no ponto x, ao contrário da 
variável aleatória discreta, f(x) aqui não é a probabilidade de a variável assumir o valor 
x. 
 
33 Cálculo de Probabilidade Com Uma Vac 
Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade 
f(x). Sejam a < b, dois números reais. Define-se: 
Disciplina | 
Cálculo de Probabilidade Com Uma Vac 
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P(a < X < b) = ∫a
bf x( )dx, isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre 
os números “a” e “b” é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x = a e x = b. 
Neste caso, tem-se também: 
(a) P(X = a) = 0, isto é, a probabilidade de que uma variável aleatória 
contínua assuma um valor isolado é igual a zero. Para variáveis contínuas só faz 
sentido falar em probabilidade em um intervalo, uma vez, que a probabilidade é 
definida como sendo a área sob o gráfico. f(x) não representa nenhuma 
probabilidade. Somente quando ela for integrada entre dois limites produzirá 
uma probabilidade. 
(b) Se a < b são dois números reais então: 
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫a
bf x( )dx, 
(c) Se uma função f* satisfizer às condições f*(x) ≥ 0 para todo x e 
f(x)dx = k, onde “k” é um número real positivo, mas não igual a 1, então f*(x) pode 
ser transformada numa fdp mediante a seguinte transformação: 
f(x) = f*(x) / k , para todo x. 
Neste caso a f(x) será uma função densidade de probabilidade. 
(d) Se X assumir valores apenas num intervalo finito [a; b], pode-se 
simplesmente por f(x) = 0 para todo x ∉ [a; b]. como consequência a fdp ficará 
definida para todos os valores reais de x e pode-se exigir que f(x)dx = 1. Assim, 
sempre que a f(x) for especificada apenas num intervalo finito, deve-se supor que 
seja zero para todos os demais valores não pertencentes ao intervalo. 
 
Exemplo 
Seja X uma VAC com fdp dada por: 
f(x) = 2x se 0 < x < 1 
 = 0, para quaisquer outros valores. Determinar a P(X < 1/2) 
 
Solução: 
P(X <1/2) = x)dx = 1/4 = 25% 
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A Função de Distribuição Acumulada 
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34 A Função de Distribuição Acumulada 
Seja X uma VAC com função densidade de probabilidade f(x). Então a função de 
distribuição acumulada (FDA), ou simplesmente função de distribuição (FD) de X é 
a função F definida por: 
 
F(x) = P(X (u)du 
 
Solução: 
Suponha-se que X seja uma VAC com fdp dada por: 
f(x) = 2x se 0 < x < 1 = 0, para quaisquer outros valores. Determinar a FD 
de X 
Solução: 
A função de distribuição de X é a função F tal que: 
 
 
35 Variável Aleatória Contínua (Caracterização) 
Considere X uma variável aleatória contínua com função densidade de 
probabilidade f(x). 
 
Expectância, esperança, média ou valor esperado de X 
A média, expectância, valor esperado ou esperança matemática da variável 
aleatória contínua X, representada por µ ou E(X), é calculada por: 
µ = E(X) = x.f(x)dx 
Obs. Não é garantido que esta integral exista (convirja) sempre. 
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Variável Aleatória Contínua (Caracterização) 
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A variância de X 
Seja X uma variável aleatória contínua com média µ = E(X). Então a variância de 
X, anotada por σ2 ou V(X) é definida por: 
 σ2 = V(X) = . ( )dx = - µ2 = E(X2) - µ2 
 
O desvio padrão 
O desvio padrão da variável aleatória contínua X, anotado por σ, é a raiz quadrada 
da variância. 
 
A variância relativa e o coeficiente de variação 
Seja X uma variável aleatória contínua com média µ = E(X) e variância σ2 = V(X). 
Então a variância relativa de X, anotada por: γ2, é definida por: 
γ2 = σ2 / µ2 
O coeficiente de variação de X é definido como a raiz quadrada da variância 
relativa: 
γ = σ / µ 
 
Exemplo 
Determinar a expectância e a variância da VAC cuja fdp é dada por: 
f(x) = 3x2 se -1 ≤ x ≤ 0 = 0 
caso contrário 
 
Solução: 
 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Contínuas 
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36 Distribuições Especiais de Probabilidade Contínuas 
Assim como ocorre com as variáveis discretas, existem algumas distribuições 
especiais de probabilidade contínuas que por sua frequência de uso vale a pena 
estudar mais detalhadamente. Entre elas vale destacar as distribuições: uniforme, 
exponencial e normal. 
 
36.1 A Distribuição Uniforme 
Seja X uma VAC que pode tomar todos os valores num intervalo [a, b]. Se a 
probabilidade de a variável assumir valores num subintervalo for a mesma que para 
qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento teremos então uma distribuição 
uniforme. A função densidade de probabilidade de uma VAC deste tipo será: 
f(x) = 1 / (b - a) para a ≤ x ≤ b 
 = 0 para qualquer outro valor. 
 
36.2 Propriedades da Distribuição Uniforme 
As principais medidas para a distribuição uniforme podem ser determinadas de 
uma forma geral em termos dos extremos “a” e “b” do intervalo. 
 
Média, expectância ou valor esperado 
 
 
 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Contínuas 
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Variância 
 
 
Desvio padrão 
 
 
 
A FDA da distribuição uniforme 
A FDA da distribuição uniforme, pode ser facilmente avaliada e, vale: 
 
Exemplo 
Seja X uma VAC com distribuição uniforme no intervalo [5, 10]. Determinar as 
probabilidades: 
(a) P(X < 7) (b) P(X > 8,5) 
(c) P(8 < x < 9) (d) P(|x - 7,5| > 2) 
 
Solução: 
Utilizando a FDA da variável vem: 
(a) P(X < 7) = F(7) = (7 - 5) / (10 - 5) = 2 / 5 = 40% 
(b) P(X > 8,5) = 1 - P(X < 8,5) = 1 - F(8,5) = 1 - (8,5 - 5) / (10 - 5) = 1 - 
3,5 / 5 = 1 - 0,70 = 30% 
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Distribuições Especiais de Probabilidade Contínuas 
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(c) P(8 < X < 9) = F(9) - F(8) = (9 - 5) / (10 - 5) - (8 - 5) / (10 - 5) = 4 / 
5 - 3 / 5 = 1 / 5 = 20% 
(d) P(|X - 7,5| > 2) = P(X - 7,5 > 2 ou X - 7,5 < -2) = P(X > 9,5 ou X < 
5,5) = 1 - F(9,5) + F(5,5) = 20% 
 
36.3 A Distribuição Exponencial 
Uma variável aleatória contínua T tem uma distribuição exponencial de 
parâmetro λ se sua função densidade de probabilidade f(t) for do tipo: 
f(t) = λe-λt para t > 0 
= 0 caso contrário 
 
Figura – Exemplos de distribuições exponenciais:P(2), P(1,5) e P(0,6). 
 
Exemplo 
Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida T (em 
unidades de 1000 horas) que segue uma distribuição exponencial de parâmetro λ = 
1. Suponha que o custo de fabricação do item seja R$ 2,00 e que o preço de venda 
seja R$ 5,00. O fabricante garante total devolução se t < 0,90. 
Qual o lucro esperado por item? 
 
Solução: 
Neste caso, tem-se: f(t) = e-t para t > 0 A probabilidade de um componente 
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durar menos de 900 horas é dada por: 
 P(T < 0,90) = t dt = = -e
-0,9 + e0 = 1 - 1/ e0,9 = 59,34% 
 
Desta forma o lucro do fabricante será uma VAD X com a seguinte distribuição: 
x -2 3 
f(x) 0,5934 0,4066 
Então o lucro esperado será: 
E(X) = -2.0,5934 + 3.0,4066 = R$ 0,03 
 
36.4 Propriedades da Distribuição Exponencial 
Se T for uma VAC com distribuição Exponencial, então: 
Média, expectância ou valor esperado 
µ = E(X) = t.f(t)dt = t t dt = 1/λ 
 
Variância 
σ2 = E(X2) - t dx - λ
2 = 1/λ2 
 
O desvio padrão 
σ = 
 
A FDA da distribuição Exponencial 
A FDA da distribuição Exponencial é dada por: 
 
1 1 
2 
λ λ 
= 
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Portanto P(X ≥ x) 1 - F(x) = 1 - [1 - e-λt] = e-λt 
 
A distribuição Exponencial não tem memória 
A distribuição Exponencial apresenta uma propriedade interessante que é 
denominada de falta de memória, ou seja: 
P(X ≥ s + t / X ≥ s) = P(X ≥ s + t ∩ X ≥ s) / P(X ≥ s) = P(X ≥ s + t) / P(X ≥ s) =e-
λ(s+t) / e-λs = e-λt 
Portanto P(X ≥ s + t / X ≥ s) = P(X ≥ t) 
 
Relação com a distribuição de Poisson 
Deve-se observar inicialmente que fixado um tempo, a probabilidade de não 
ocorrências de eventos neste intervalo é dado por: 
 
f(0) = P(X = 0) = [(λt)0e-λt] / 0! = e-λt 
 
Se a variável aleatória contínua T representar o tempo passado entre a ocorrência 
de dois eventos de Poisson, então a probabilidade da não ocorrência no tempo “t” é 
igual a probabilidade de que o tempo T entre ocorrências seja maior que “t”, isto é: 
P(T > t) = e-λt Tem-se ainda que: 
P(T ≤ t) = 1 - e-λt 
Que conforme já visto é a função acumulada da variável aleatória exponencial de 
parâmetro λ, isto é: 
F(t) = P(T ≤ t) = 1 - e-λt 
 
36.5 A Distribuição Normal 
Um dos principais modelos de distribuição contínua é a curva normal ou de 
Gauss. Sua importância para a Estatística (prática) reside no fato que muitas variáveis 
encontradas na natureza se distribuem de acordo com o modelo normal. Este modelo 
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também tem uma importância teórica devido ao fato de ser uma distribuição limite. 
Uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição normal (ou Gaussiana) se 
sua função densidade de probabilidade for do tipo: 
 
 
 
36.6 Propriedades da Distribuição Normal 
Se X for uma VAC com distribuição Normal, então: 
Média, expectância ou valor esperado 
E(X) = µ, isto é, o parâmetro µ é a média da distribuição normal. 
 
Variância 
V(X) = σ2, isto é, a variância da distribuição normal é o parâmetro σ ao quadrado. 
 
O desvio padrão 
O desvio padrão da distribuição normal é o parâmetro σ. 
 
FDA da distribuição Normal 
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A função de distribuição (FDA) da normal reduzida é representada por: 
 
Esta integral, e aliás como de qualquer outra normal, não pode ser avaliada pelo 
método tradicional (teorema fundamental do cálculo). Ela só pode ser calculada por 
métodos numéricos. E por isso ela é encontrada tabelada em qualquer livro texto de 
Probabilidade ou Estatística. 
 
Outras propriedades 
(a) Transformação linear de uma variável aleatória normal 
Se X tiver uma distribuição N(µ,σ) e se Y = aX + b, então Y terá a distribuição 
N(aµ + b, aσ) 
(b) Combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes 
A combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes será uma 
variável aleatória normalmente distribuída. 
f(x) → 0 quando x → ∞ ou -∞. 
µ - σ e µ + σ são os pontos de inflexão da função f(x), isto é, são os valores onde 
o gráfico da função muda o sinal da curvatura. 
x = µ é o ponto de máximo de f(x) e este máximo vale 
1
√2𝜋
𝜎 
f(x) é simétrica ao redor de x = µ , isto é: f(µ + x) = f(µ - x) 
Se X tem uma distribuição normal de média µ e desvio padrão σ se escreverá: X 
: N(µ, σ) 
Quando µ = 0 e σ = 1, tem-se uma distribuição normal padrão ou normal 
reduzida. A variável normal +padrão será anotada por Z. Então Z: N(0, 1). A função 
densidade de probabilidade da variável aleatória Z será representada por: 
ϕ(z) = e
−z2/2 , para -∞ ≤ z ≤ ∞ 
Se X é uma N(µ, σ), então Z = (X - µ) / σ é a normal padrão ou reduzida. Isto 
significa que qualquer curva normal poderá ser padronizada, mediante esta 
1 
2 π 
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Tabelas 
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transformação. 
 
37 Tabelas 
A forma de se calcular probabilidade com qualquer distribuição normal é através 
da tabela da normal padrão. Assim se X : N(µ, σ) então primeiro é necessário 
padronizar X, isto é, fazer: Z = (X - µ) / σ. 
Em seguida obter em uma tabela o valor da probabilidade, isto é, o valor: 
P(Z ≤ z) = Φ(z) 
Este valor Φ(z) pode ser lido como “valor tabelado de z” e significa a 
probabilidade de a variável aleatória contínua Z = (X - µ) / σ assumir valores à esquerda 
(abaixo de) do valor particular “z”. 
Lembrar que qualquer tabela é construída fornecendo os valores da FDA de Z. A 
maioria delas fornece as probabilidades de Z ≤ z para valores de z entre -3,09 e +3,09 
e com aproximação centesimal. 
Algumas fornecem valores de z entre 0 e 3,09 
Assim o primeiro valor tabelado é em geral Φ(-3,09) = P(Z ≤ -3,09) que vale 
0,0000, isto é, é zero com uma aproximação de 4 decimais. O valor seguinte seria Φ(-
3,08) = P(Z ≤ -3,08) = 0,0001. 
O último valor tabelado é, em geral, Φ(3,09) = P(Z ≤ 3,09) = 1,000, pois é o valor 
acumulado, isto quer dizer, que até este valor tem-se a totalidade da área útil sob a 
curva avaliada com uma aproximação de 4 decimais. 
Convém ressaltar que as tabelas sendo da FDA de Z fornecem a área à esquerda 
de um valor qualquer “z”. No entanto, como a curva é simétrica, se quiséssemos, a 
área à direita de “z”, basta observar que: 
P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z) = 1 - Φ(z) = Φ(-z) 
Disciplina | 
Tabelas 
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Exemplo 
Seja Z uma N(0, 1). Determinar as seguintes probabilidades: 
(a) P(Z < 2,23) 
(b) P(Z > -1,45) 
(c) P(-2 < Z ≤ 2) 
(d) P(-1 ≤ Z ≤ 1) 
 
Solução: 
(a) P(Z < 2,23) = Φ(2,23) = 98,71% 
(b) P(Z > -1,45) = 1 - P(Z ≤ -1,45) = 1 - Φ(-1,45) = 1 - 0,0735 = 92,65% 
(c) P(-2 < Z ≤ 2) = Φ(2) - Φ(-2) = 0,9772 - 0,0228 = 95,44% 
(d) P(-1 ≤ Z ≤ 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 68,26% 
 
 
Disciplina | 
Relação Entre as Distribuições Binomial e Normal 
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Exemplo 
Seja X uma VAC com distribuição N(10, 2). Determinar: 
(a) P(X < 10) 
(b) P(X > 11,50) 
(c) P(8 < Z ≤ 12) 
(d) P(6,08 ≤ Z ≤ 13,92) 
 
Solução: 
Neste caso, antes de se poder procurar os valores na tabela é necessário 
padronizar cada valor de X, através da expressão: 
Z = (X - µ) / σ = (X - 10) / 2 
(a) P(X < 10) = P((X - 10) / 2 < (10 - 10) / 2) = P(Z < 0) = Φ(0) = 50% 
(b) P(X > 11,50) = P(Z > (11,50 - 10) / 2) = P(Z > 0,75) = 1 - Φ(0,75) = 
22,66% 
(c) P(8 < X ≤ 12) = P(-1 < Z ≤ 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0,8413 - 0,1587 = 
68,26% 
(d) P(6,08 ≤ X ≤ 13,92) = P(-1,96 < Z ≤ 1,96) = Φ(1,96) - Φ(-1,96) = 
0,9750 - 0,0250= 95% 
 
38 Relação Entre as Distribuições Binomial e Normal 
Seja X uma variável aleatória distribuída binomialmente com parâmetros “n” e 
“p”. Isto é: 
 
Quando o número de provas “n” cresce (tende ao infinito) a distribuição binomial 
tende a uma distribuição normal de média µ = np e desvio padrão σ = √npq 
Em geral admite-se que para np ≥ 5 e nq ≥ 5, “n” já será suficientemente grande 
Disciplina | 
Relação Entre as Distribuições Binomial e Normal 
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para se poder aproximar uma distribuição binomial pela normal. 
No entanto, devido ao fato de se estar aproximando uma distribuição discreta, 
através de uma contínua, recomenda-se para se obter maior precisão, realizar uma 
correção de continuidade que consiste em transformar, por exemplo, P(X = x) no 
intervalo P(x - 0,5 < X < x + 0,5) e o mesmo em qualquer outra situação. 
 
Exemplo 
No lançamento de 30 moedas honestas, qual a probabilidade de saírem: 
(a) Exatamente 12 caras? 
(b) Mais de 20 caras? 
 
Solução: 
(a) A probabilidade de saírem 12 caras é dada pela distribuição 
binomial por: 
 
Aproximando pela normal tem-se: 
µ = np = 30.(1/2) = 15 
 
Então P(X =12) calculado pela normal com utilização da correção de continuidade 
será: 
P(X =12) ≅ P(11,5 < X < 12,5) = P(-1,28 < Z < -0,91) = 0,3997 - 0,3186 = 8,11%, 
que não é muito diferente do valor exato 8,06%. 
 
 
Disciplina | 
Propriedades da Média e Variância de Variáveis Aleatórias 
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Aproximando pela normal, tem-se: 
P(X > 20,5) = 0,5000 - 0,4778 = 2,22% 
39 Propriedades da Média e Variância de Variáveis Aleatórias 
39.1 Média 
A média de uma constante é igual a própria constante. E(k) = k, onde k = 
constante 
Se multiplicarmos os valores de uma variável aleatória por uma constante, a 
média fica multiplicada por esta constante. 
E(kX) =k.E(X) 
Se os valores de uma variável aleatória forem somados a uma constante a média 
ficará igualmente somada dessa constante. 
E(X ± k) = E(X) ± k 
A média de uma soma ou diferença de duas variáveis aleatórias é igual a soma 
ou diferença das médias dessas variáveis. 
E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) 
A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é igual ao 
produto das médias dessas variáveis. 
E(X.Y) = E(X).E(Y) 
 
Variância 
A variância de uma constante é nula V(k) = 0 
Se multiplicarmos os valores de uma variável aleatória por uma constante, a 
variância fica multiplicada pelo quadrado da constante. 
V(kX) = k2.V(X) 
Se os valores de uma variável aleatória forem somados a uma constante a 
variância não se altera. V(X ± k) = V(X) 
A variância de uma soma ou diferença de duas variáveis aleatórias independentes 
Disciplina | 
Desigualdades de Tchebycheff e Camp-Meidell 
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é igual a soma das variâncias dessas variáveis. 
V(X ± Y) = V(X) + V(Y) 
 
39.2 A Mediana e a Moda 
A mediana de uma variável aleatória é o valor que divide a distribuição em duas 
partes equiprováveis. Será representada por md. Então: 
 
P(X < md) = P(X > md) = 0,50 
 
Este ponto sempre existe se a variável é contínua, onde a mediana pode ser 
definida como sendo o ponto tal que F(md) = 0,50. No caso discreto pode haver todo 
um intervalo que satisfaz a relação acima, convenciona-se em geral adotar o ponto 
médio deste intervalo. Pode-se ainda, neste caso, definir a mediana como sendo o 
menor valor para o qual F(md) > 0,5. 
A moda é o(s) ponto(s) de maior probabilidade, no caso discreto, ou maior 
densidade de probabilidade no caso contínuo. É representada por mo. 
 
40 Desigualdades de Tchebycheff e Camp-Meidell 
Pode-se demonstrar que, para qualquer distribuição de probabilidade que 
possua média µ e desvio padrão σ, tem-se, para qualquer número “k > 1”: 
P(|X - µ| ≥ kσ) ≤ 1/k2 (Desigualdade de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev, 
1821 1894), ou de forma equivalente P(|X - µ| < kσ) ≥ 1 - 1/k2 
Se a distribuição for unimodal e simétrica, então: 
P(|X - µ| ≥ kσ) ≤ 4/9k2 (Desigualdade de Camp-Meidell) 
Estas desigualdades fornecem as probabilidades de que os valores de uma 
variável aleatória (qualquer) esteja num intervalo simétrico em torno da média de 
amplitude igual a 2k desvios padrões. Assim se k = 2, por exemplo, a desigualdade de 
Tchebycheff estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está 
compreendida no intervalo µ ± 2σ é de pelo menos 1 - 1/4 = 75%. Conforme visto 
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Desigualdades de Tchebycheff e Camp-Meidell 
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pela normal este percentual vale exatamente 95,44%. Mas como a normal é simétrica 
e unimodal, neste caso, um resultado mais próximo é dado pela desigualdade de 
CampMeidell, isto é, 1 - 4/9k2 = = 1 - 1/9 = 88,89%. 
 
Exemplo 
Compare o limite superior da probabilidade P[(X - µ| ≥ 2σ)], obtida pela 
desigualdade de T-chebycheff, com a probabilidade exata se X for uniformemente 
distribuída sobre (-1, 3). 
 
Solução: 
Para uma distribuição uniforme tem-se µ = (a + b) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1 e V(X) 
= (b - a)2 / 12 = 4/3 
Então: P(|X - µ| ≥ kσ) = P(|X - 1| ) = 0 é a probabilidade exata. 
Por Tchebycheff, teríamos: 
P(|X - µ| ≥ kσ) = P(|X - 1| ) = 1 / 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
≥ 4 
3 
3 
≥ 4 
3 
3 
Disciplina | 
Referências 
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41 Referências 
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COSTA NETO, Pedro Luís de Oliveira, CYMBALISTA, Melvin. Probabilidades: resumos 
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Disciplina | 
Referências 
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