Despacho Econômico de Energia

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EDIÇÃO Nº 1 – 2017
RAFAELA FILOMENA ALVES GUIMARÃES
DESPACHO
ECONÔMICO 
DE ENERGIA
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
 G963d Guimarães, Rafaela Filomena Alves.
 Despacho econômico de energia. / Rafaela Filomena Alves 
 Guimarães. – São Paulo : Know How, 2017.
 442 p. : 21 cm.
 Inclui bibliografia 
 ISBN 978-85-8065-343-4
 1. Despacho econômico. 2. Sistema de transmissão. 
 3. Fluxo de potência. 4. Análise estática. 5. Desregulamentação 6. O 
despacho I. Título.
 CDD 621.3
DESPACHO ECONÔMICO
Coordenação geral 
Nelson Boni
Professora responsável
Rafaela Filomena 
Alves Guimarães
Coordenação pedagógica 
Leandro Lousada
Coordenação de projetos
Hikaro Queiroz
Diagramação
Hidesign Estúdio
Capa e projeto gráfico
 Larissa Cardim
Coordenação de 
diagramação
 Larissa Cardim
Coordenação de revisão 
Julia Kusminsky
1º Edição: 2017
Impressão em São Paulo/SP
APRESENTAÇÃO
O objetivo deste livro é aprofundar o estudo de métodos e técnicas 
de análise da operação de sistemas de energia elétrica, introduzir métodos 
de programação da operação de sistemas, considerando fontes de geração 
termelétrica, hidrelétrica e renováveis não tradicionais, além de introdu-
zir métodos de modelagem em tempo real de sistemas de energia elétrica 
para a obtenção do despacho econômico de energia.
O capítulo 1 aborda o despacho econômico de forma introdutória, 
com conceitos de programação não-linear para a obtenção do despacho 
otimizado, considerando as perdas e as gerações de energia com base em 
usinas térmicas e hidrelétricas.
O capítulo 2 aborda as características das linhas de transmissão de 
esparsidade, e conceitua o mercado de energia brasileiro diante das suas 
recentes alterações.
O capítulo 3 analisa o Fluxo de Potência Ótimo, a caracterização 
dos problemas de FPO e sua relação com despacho econômico, conside-
rando a rede elétrica de transmissão e os problemas de otimização da ope-
ração; a representação linearizada da rede elétrica; os efeitos dos limites 
de transmissão e de perdas de transmissão na programação da operação.
No capítulo 4 é feita uma abordagem sobre a Operação em Tem-
po Real de Sistemas de Energia Elétrica - Sistema SCADA; os estados 
de operação; as principais funções da análise de segurança em tempo 
real; a modelagem em tempo real: estimação de estados; uma proposta 
de solução via método de Gauss-Newton; e a análise de exemplos usando 
modelo linearizado para a rede elétrica.
No capítulo 5 é estudado o despacho hidrotérmico mediante a pro-
gramação da operação a longo, médio e curto prazos; os principais pro-
blemas de coordenação hidrotérmica de curto prazo; a modelagem das 
variáveis hidráulicas e algumas considerações de metas energéticas; de 
programação hidrotérmica de curto prazo para sistemas reais: com as 
estratégias baseadas em metas de volume e em funções de custo futuro.
No capítulo 6 é abordado o despacho econômico mediante as novas 
regras do Mercado Atacadista de Energia e dos contratos bilaterais com 
as perdas de transmissão sendo levadas em consideração neste novo mo-
delo de contratação.
Sumário
O DESPACHO ECONÔMICO ...................................... 21
Despacho econômico de unidades térmicas ................. 23
Modelagem do problema em barra única ...................... 23
 Despacho econômico de um sistema composto por duas 
unidades geradoras ...............................................................24
Caso 1: Nenhum limite de geração é atingido ..................25
Caso 2: P1 está no limite superior (P1 = P1) .....................26
Caso 3: P1 está em seu limite inferior (P1 = P1) ..............27
 Caso 4: Ambos os geradores estão em (algum de) seus 
limites .......................................................................................28
 Generalização para o caso de N unidades 
geradoras ................................................................................. 28
Interpretação do multiplicador de Lagrange ....................29
Fatores de Participação ........................................................30
 Despacho econômico com funções-custo lineares
por partes ................................................................................32
Métodos computacionais para o despacho econômico 34
Método da secante ................................................................34
Algoritmo 1: Método da Secante .........................................34
Método do gradiente reduzido ............................................36
Algoritmo 2: Método do gradiente reduzido .....................36
Solução pelo método primal/dual de pontos interiores .37
Interpretação do método ......................................................41
Solução do problema relaxado ...........................................43
Atualização das variáveis ..................................................... 44
Atualização do parâmetro μ ................................................. 44
Teste de convergência .......................................................... 45
 Algoritmo 3: solução do problema de despacho econômi-
co pelo método primal-dual de pontos interiores ...........45
 Despacho econômico considerando as perdas 
de transmissão .......................................................................45
 Equações de coordenação, perdas incrementais e 
fatores de penalidade ............................................................46
Fórmula geral das perdas.....................................................50
 Algoritmo 4 despacho econômico com perdas de
transmissão supondo funções-custo quadráticas .........51
 Levantamento experimental da fórmula geral 
das perdas ...............................................................................53
 Perdas para uma condição de operação genérica 
em função das perdas do caso base .................................53
Método para determinação do vetor x ...............................55
 Determinação dos parâmetros da fórmula geral 
das perdas ...............................................................................56
Exemplos ................................................................................. 58
Exemplo 1.1 ............................................................................. 58
Exemplo 1.2 ............................................................................. 60
Exemplo 1.3 ............................................................................. 62
Exemplo 1.4 ............................................................................. 63
Exemplo 1.5 ............................................................................. 64
Exemplo 1.6 ............................................................................. 66
Exemplo 1.7 ............................................................................. 70
Representação do sistema de transmissão .............. 73
Esparsidade ............................................................................. 75
Matrizes simétricas e grafos de adjacência ..................... 76
Exemplo 2.1 ............................................................................. 76
Exemplo 2.2 ............................................................................. 77
Exemplo 2.3 ............................................................................. 78
 Estruturas de dados para representação de grafos 
e matrizes esparsas .............................................................. 78
Tabelas de conexão ............................................................... 78
Exemplo 2.4 ............................................................................. 79
Lista de adjacências .............................................................. 80
Exemplo 2.5 .............................................................................tendo por base um modelo de barra única, ou seja, como uma 
extensão do despacho econômico clássico que ignora as perdas. 
Esta formulação é ilustrada na figura 1.10, item b). 
Equações de coordenação, perdas incremen-
tais e fatores de penalidade
Interessa-se em avaliar a influência das perdas de transmis-
são no despacho que minimiza os custos da geração térmica. 
Os limites de geração inicialmente serão ignorados. Além disso, 
define-se:
 ∑Φ + − = P( ) ( ) i
N
i1P , ..., P P P P , ..., P1 N L perdas 1 N (1.66)
isto é, Φ (P1, ..., PN) representa o desbalanço entre a po-
tência gerada e a potência demandada, esta última sendo igual à 
47
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
carga total mais perdas de transmissão. Se FT representa os cus-
tos totais de geração térmica, o problema de minimização dos 
custos de geração considerando as perdas é enunciado como:
min FT ∑= = F P( )i
N
i i1
s.a.
∑Φ = + − == P( ) ( ) 0i
N
i1P , ..., P P P P , ..., P1 N L perdas 1 N (1.67)
A função Lagrangeana associada é, portanto, dada por:
L = FT λ+ Φ ( ) P , ..., P1 N
 (1.68)
e, supondo que Pi ≤ Pi ≤ Pi, as condições de otimalidade 
preconizam que:
∂
∂Pi
L = 0, i = 1, ..., N (1.69)
e
λ
∂
∂
L = Φ (P1, ..., PN) = 0 (1.70)
A condição da equação (1.70) simplesmente reafirma a ne-
cessidade do cumprimento da equação de balanço de potência 
na solução final. Concentrando-se, portanto, na equação (1.69), 
que fornece
L λ∂
∂
= ∂
∂
− −
∂
∂




=
P
F
P
P
P
1 0
i
i
i
perdas
i
 (1.71)
Isolando λ no lado direito, tem-se:
λ
−
∂
∂










∂
∂
=P
P
F P
P
1
1
( )
perdas
i
i i
i
x (1.72)
Definindo as perdas incrementais relativas ao gerador i e o 
Fator de Penalidade associado ao gerador i como, respectivamente:
48
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Perdas incrementais para gerador i
 

∂
∂
P
P
perdas
i
 (1.73)
Fator de Penalidade para gerador i
 

−
∂
∂
P
P
1
1 perdas
i
 (1.74)
Pode-se reescrever a equação (1.72) na forma mais compacta:
λ=dF P
dP
( )i i
i
F P x
 
i (1.75)
Comparando-se a equação (1.75) com a equação corres-
pondente do caso sem perdas supondo geradores livres, dada 
pela primeira das equações (1.18). Sem a consideração das per-
das, lembrando que a condição de otimalidade preconiza que 
os custos incrementais devem ser todos iguais a λ: na presen-
te situação, entretanto, os custos incrementais devem ser agora 
compensados através da ponderação pelos respectivos fatores 
de penalidade antes de serem igualados a λ. Esta ponderação 
tem o objetivo de fazer refletir no despacho ótimo a influência 
da geração de cada gerador individual sobre as perdas.
Suponha, por exemplo, que o aumento da geração do ge-
rador i implique em um aumento das perdas de transmissão do 
sistema. Isto significa que as perdas incrementais associadas são 
maiores que zero. Considerando que o valor numérico das per-
das incrementais é sempre pequeno, verifica-se que, nesta situa-
ção, F Pi > 1, e, portanto:
>dF P
dP
dF P
dP
( ) ( )i i
i
i i
i
F P
 
i (1.76)
Em termos de interpretação gráfica, tudo se passa como se 
a curva de custo incremental fosse ligeiramente deslocada para 
cima (já que F Pi ; neste caso, é apenas ligeiramente maior que 1;0). 
49
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Por outro lado, supondo que o aumento da geração do ge-
rador i provoca uma redução das perdas e seguindo o mesmo 
raciocínio, conclui-se que
>dF P
dP
dF P
dP
( ) ( )i i
i
i i
i
F P
 
i (1.77)
E, portanto, tudo se passa como se a curva de custo incre-
mental fosse ligeiramente deslocada para baixo. A figura 1.11 
compara os despachos obtidos na ausência e na presença das 
perdas de transmissão para uma situação em que o fator de pe-
nalidade do gerador 1 é maior que 1;0, enquanto que F P2 0, porém Bij pode ser ≥ 0 oucom o auxílio de um programa de fluxo de potência, através 
do qual é gerada uma massa de dados composta pelas potên-
cias geradas para diversos carregamentos e valores das perdas 
de transmissão correspondentes. A partir destes dados, métodos 
de regressão não-linear são utilizados para se determinar os co-
eficientes b0; bi e Bij. 
A Fórmula Geral das Perdas é dada por:
Pperdas = b0 + b P + PT B P (1.83)
Considerando que a matriz B é simétrica (Bij = Bji), então 
o número de parâmetros a determinar é dado por:
N N N N= + + +1 1
2
( 1)b (1.84)
Perdas para uma condição de operação gené-
rica em função das perdas do caso base
Considera-se que a solução do caso base acima referido está 
disponível. As grandezas associadas ao caso base serão deno-
tadas pelo sobrescrito 0. Supõe-se que se queira determinar as 
perdas para um novo caso k, obtido do caso base através de 
uma perturbação introduzida na geração do sistema de potência 
em estudo. Adicionalmente, supõe-se temporariamente que a 
função exata das perdas seja conhecida. Usando a expansão em 
série de Taylor até os termos de 2a ordem, as perdas correspon-
dentes ao caso k podem ser aproximadamente calculadas como:
54
1 Despacho econômico de unidades térmicas
δ
δ
δ
δ δ
≈ + ∑ + ∑∑== ==p p P
P
P P
P P
( ( ) 1
2
( )perdas
k
perdas i
N perdas
i
i
N
i
k perdas
i j
j
N
i
N0
11
0
2
11
0
 P Pi
k
j
k (1.85)
onde  −P P Pi
k
i
k
i
0 . Se for definido

δ
δ
g P
P
( )j
perdas
i
0
 (1.86)
 

δ
δ δ
H P
P P
( )ij
perdas
i j
2
0
 (1.87)
pode-se expressar a equação (1.85) como:
 = + ∑ + ∑∑= ==P P g P H P P1
2
perdas
k
perdas ii
N
i
k
jjj
N
i
k
i
N
j
k0
1 11
 
(1.88)
Nota-se que, por construção dos casos de fluxo de potên-
cia, as quantidades Pperdas
k , Pperdas
0 Pi
k e Pj
k são conhecidas, 
enquanto que as incógnitas são as derivadas parciais gi e Hij. 
Para simplificar adicionalmente a notação, define-se
δ Pi
k
i
k (1.89)
 P Pij
k
i
k
j
k (1.90)
e
 −y P Pk perdas
k
perdas
0 (1.91)
Nota-se que os valores de δ ,ik ij
k e yk são todos conheci-
dos. Considerando as definições dadas pelas equações (1.89) a 
(1.91), a equação (1.88), torna-se
 δ= ∑ + ∑∑= ==y g H1
2
k ii
N
i
k
jjj
N
ij
k
i
N
1 11 (1.92)
que, na forma matricial pode ser escrita como
yk = ak x (1.93)
55
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
onde o vetor-linha de quantidades conhecidas ak é defini-
do como:
 � … …δ δ δ ak k k
n
k k k
NN
k
1 2 11 12 (1.94)
e o vetor-coluna das incógnitas é dado por
 H H H
T� … …[ ]x g g gn NN1 2 11 12 (1.95)
Método para determinação do vetor x
O procedimento acima indica como obter uma relação li-
near entre os incrementos de perdas de um caso genérico k em 
relação ao caso base e as incógnitas (derivadas parciais da função 
de perdas) contidas no vetor x. Pode-se, portanto, gerar diversos 
casos de fluxo de potência alterando as condições de operação 
do sistema conforme as diretrizes indicadas abaixo, sendo que 
cada novo caso gerará uma equação do tipo da equação (1.93). 
Supondo que tenham sido gerados Nc casos, Nc > Nb, 
pode-se estender a equação (1.93) da seguinte forma:
y = A x (1.96)
onde o vetor y (NC x 1) e a matriz A (Nc x Nb ) são defini-
dos como:
 A�
�
�
�


























y
y
y
y
a
a
aNc Nc
1
2
1
2 (1.97)
O sistema de equações (1.96) é redundante (sobredetermi-
nado). Para determinar uma estimativa para x, pode-se usar o 
método de regressão linear baseado na técnica dos mínimos 
quadrados, o que fornece como resultado:
A A AT T
 = −x y( ) 1 (1.98)
56
1 Despacho econômico de unidades térmicas
As diretrizes a serem seguidas na geração dos novos casos 
são as seguintes:
• Fazer variar aleatoriamente as gerações (usando dis-
tribuição uniforme, por exemplo) em relação às do 
caso base; 
• Verificar se a carga resultante é coerente com carrega-
mentos reais do sistema; 
• A partir das duas observações acima, selecionar casos 
em número suficiente, Nc, isto é, Nc > Nb; 
• Executar os fluxos de potência correspondentes aos ca-
sos selecionados e calcular as perdas respectivas; 
• Aplicar uma técnica de regressão linear para calcular as 
derivadas parciais da expansão em série de Taylor.
 
Determinação dos parâmetros da fórmula ge-
ral das perdas
Para se determinar os parâmetros da FGP, reexamina-se a 
equação (1.88) agora escrita na forma matricial:
P P P P H P PT T= + − + − −P P g ( ) 1
2
( ) ( )perdas
k
perdas
0 0 0 0
 (1.99)
a qual pode ser reescrita como:
 H) P
 +P
T T T
T
= − +


 + −
+ 



P P g P P H P g P
H P
1
2
( ( )
1
2
perdas
k
perdas
T0 0 0 0 0
Comparando as equações (1.83) com (1.100), verifica-se que 
os parâmetros da FGP podem agora ser facilmente determina-
dos como:
(1.100)
57
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
b 
b g H
B
T T
= − +
= −
=
P g P P H P
P
H
( 1
2
)
( )
1
2
perdas
T T
T
0
0 0 0 0
0
 
(1.101)
58
1 Despacho econômico de unidades térmicas
EXEMPLOS
Exemplo 1.1
Considerando-se que o sistema de potência é alimentado 
por três unidades geradoras térmicas, cujas funções de taxa de 
calor H e limites de geração são dados na tabela 1.1. O combus-
tível para a unidade 1 é o carvão, enquanto que as unidades 2 e 
3 são a óleo. Sabendo-se que os preços destes combustíveis são 
estimados em:
fcarvão = 1,10 $/MBtu e fóleo = 1,00 $/MBtu
e que a carga a ser alimentada é PL = 850 MW, determine 
o despacho econômico das três unidades.
Unidade 1: P1 = 150 MW P1 = 600 MW
Carvão H1 (P1) = 510 + 7,2 P1 + 0,00142 P1
2
Unidade 2: P2 = 100 MW P2 = 400 MW
Óleo H2 (P2) = 310 + 7,85 P2 + 0,00194 P2
2
Unidade 3: P3 = 50 MW P3 = 200 MW
Óleo H3 (P3) = 78 + 7,97 P3 + 0,00482 P3
2
Tabela 1.1: Dados das unidades para o exemplo 1.1.
Unidade 1: P1 = 150 MW P1 = 600 MW
Carvão F1 (P1) = 561 + 7,92 P1 + 0,001562 P1
2
Unidade 2: P2 = 100 MW P2 = 400 MW
Óleo F2 (P2) = 310 + 7,85 P2 + 0,00194 P2
2
Unidade 3: P3 = 50 MW P3 = 200 MW
Óleo H3 (P3) = 78 + 7,97 P3 + 0,00482 P3
2
Tabela 1.2: Funções-custo em $/h para o exemplo 1.1.
Solução:
Em primeiro lugar, é importante enfatizar que, em proble-
ma desta natureza, parte-se da premissa que as três unidades de-
59
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
vem necessariamente estar em operação, conforme previamente 
determinado pela função de Alocação de Unidades. Isto signifi-
ca que cada uma delas deve no mínimo gerar uma potência igual 
ao seu limite mínimo de geração.
A partir dos preços dos combustíveis e dos dados da tabela 
1.1, e lembrando ainda que
Fi (Pi ) = fi x Hi (Pi )
pode-se determinar as funções-custo em $/h das três uni-
dades, que são dadas na tabela 1.2.
Para determinar o despacho econômico, ignora-se os limi-
tes de geração, supondo, portanto, que todas as máquinas estão 
livres. De acordo com as condições de otimalidade (1.18), se terá 
neste caso que satisfazer as condições:
P P1 1 λ= + =F ( ) 7,92 0,0031241
'
P P2 2 λ= + =F ( ) 7,85 0,003882
'
 (1.102)
P P3 3 λ= + =F ( ) 7,97 0,009643
'
Além disso, a restrição de balanço de carga deve ser satis-
feita, isto é:
P1 + P2 + P3 = 850 (1.103)
As equações (1.102) e (1.103) formam um sistema linear de 
4 equações e 4 incógnitas, que pode ser escrito como:
λ
−
−
−
























=
−
−
−












P
P
P
0,003124 0 0 1
0 0,003880 0 1
0 0 0,009640 1
1 1 0 0
7,92
7,85
7,97
850
1
2
3
cuja solução fornece:
P1 = 393,2 MW
P2 = 334,6 MW
P3 = 122,2 MW
60
1 Despacho econômico de unidades térmicas
e
λ = 9,148 $/MWh
Verifica-se, portanto, que os despachos individuais da má-
quina não desrespeitam os respectivos limites, sendo a solução 
encontrada viável. Finalmente, 
FT = F1 (P1) + F2 (P2) + F3 (P3) = 8.194,4 $/h
é o custo total de operação correspondente ao despacho 
ótimo.
Exemplo 1.2
Reconsiderando o exemplo1.1, supondo agora que o preço 
do carvão foi reduzido para 
fcarvão = 0,90 $/MBtu
Como isto afetará o despacho ótimo das três unidades?
Solução:
A alteração no preço do carvão afetará a função-custo da 
unidade 1, que será dada por:
F1 (P1) = 459 + 6,48 P1 + 0,00128 P1
2
Seguindo o mesmo método de solução, se obteria λ = 
8,284 $/MWh e 
P1 = 704,6 MW ⇒ P1 > P1
P2 = 118,6 MW ⇒ ok.
P3 = 32,6 MW ⇒ P3 não está ok
λ
λ
=
=
F
F
(600) 8,016
(50) 8, 452
1
'
3
'
Portanto, este despacho não obedece às condições de 
otimalidade.
Para empreender uma terceira tentativa de solução, se ob-
serva que a hipótese feita na segunda tentativa de P1 deve, em 
princípio, estar correta, já que λ P 30 MW3
= − =
= − =
= − = =
P
P
P P
1,0 0,1
0,02
45,0
1,0 0,15
0,03
28,3
1,0 0,2
0,02
40,0
1
(1)
2
(1)
3
(1)
3
4. MW
P − ∑ >
P
P P P
45 28,3 30 103,3
, ,
L
Li L Li
(1)
(1) (1)
5. λ1 = 0,9
6. k = 2
7. MW ok
 MW ok
 MW
= − =
= − =
= − = > =
P
P
P P P
0,9 0,1
0,02
40,0
0,9 0,15
0,03
25
0,9 0,2
0,02
35,0 30
1
(2)
2
(2)
3
(2)
3 3
(2)
66
1 Despacho econômico de unidades térmicas
8. MW= + + =P 40 25 30 95L
(2 )
9. MW >
PD
δ
λ λ λ λ
− = − =
= + − × −
−




= +
 − × −
−
=
P P
P
P P
100 95 5,0
( ) 0,9
(100 95) 0,9 1,0
95 103, 3
0,96
L L
D
D D
(2 )
3
(2) (2 )
(2 ) (1)
(2 ) (1)
10. k = 3
11. MW OK
 MW OK
 MW3
= − =
= − =
= − = > =
P
P
P P P
0,96 0,1
0,02
43,0
0,96 0,15
0,03
27,0
0,96 0,2
0,02
38,0 30
1
(3)
2
(3)
3
(3)
3
(3)
12. MW= + + =P 43,0 27,0 30,3 100L
(3)
13. MWpotência que chega à carga é 
Pd = 487,5 0, i = 1, ..., N.
Um	grafo	G	=	(X,	E)	consiste	de	um	conjunto	finito	X	de	
nós ou vértices e um conjunto E de arestas ou ramos, que são 
pares não ordenados de vértices.
É	possível	se	construir	um	grafo	de	adjacência	de	A.	Este	
grafo contém N vértices, denotados por {x1, x2, ..., xn}, um para 
cada	linha/coluna	de	A	e	seu	conjunto	e	de	arestas	se	compõe	de	
todos os pares {xi, xj} tais que aij = aji	≠	0.
Exemplo 2.1
Exemplo	2.1:	A	figura	2.1	apresenta	um	exemplo	do	grafo	
de	adjacência	associado	a	matriz	esparsa	A	(6	x	6):
A =




















a b
a c d
c e
d
e f
b f
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
77
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Figura 2.1: Exemplo e grafo correspondente à matriz A (6 x 6).
Quando dois vértices são conectados por uma aresta, diz-
se que são adjacentes. O conjunto adjacente de um vértice xi é 
definido	como	o	conjunto	de	vértices	diferentes	de	xi, adjacentes 
a xi. Da mesma forma, o conjunto adjacente de um subconjunto 
Y, do conjunto de vértices X, é o conjunto de todos os vértices 
adjacentes aos vértices contidos em Y mas que não estão em Y.
Exemplo 2.2
No	grafo	do	exemplo	2.1,	pode-se	facilmente	verificar	que	
Adj	(x2) = {x1, x3, x4}	e	Adj	({x2, x3}) = {x1, x4, x5}.O grau de um subconjunto Y de X é o número de elemen-
tos	em	Adj	(Y).
Define-se	como	um	caminho	de	comprimento	l	≥	0,	de	um	
vértice x a um vértice y, como um conjunto ordenado de l + 1 
vértices distintos (v1, v2, ...,) tal que:
v1 = x
vl+1 ∈	Adj	(vi), i = 1, ..., (2.1)
vl+1 = y
Um grafo G é conexo se existe um caminho entre quais-
quer dois vértices de G.
Observação: nota-se que a uma matriz bloco-diagonal cor-
responde um grafo desconexo.
78
2 Representação do sistema de transmissão
Exemplo 2.3
A	figura	2.2	mostra	o	grafo	de	adjacência	correspondente	a	
uma matriz esparsa bloco- diagonal.
A =
















(1) *
* (2) *
* (3)
(4) *
* (5)
Figura 2.2: Matriz esparsa diagonal e grafo correspondente à matriz esparsa bloco-diagonal.
Estruturas de Dados Para Representação de 
Grafos e Matrizes Esparsas
Tabelas de conexão
Para uma matriz (N x N) esta tabela terá N linhas e m co-
lunas, sendo 
m = máx. {grau (x) | x ∈ X} (2.2)
Uma tabela com as mesmas dimensões que a anterior pode 
ser	construída	para	armazenar	os	valores	da	matriz	A.	As	tabe-
las que armazenam os índices de coluna dos elementos não-nu-
los	em	cada	linha	de	A	(ou,	equivalentemente,	os	vértices	adja-
79
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
centes	a	cada	vértice	do	grafo	de	A)	e	seus	valores	numéricos	
serão denotadas por VIZ e VAL, respectivamente. Um arranjo 
de comprimento N pode ser usado para armazenar os elementos 
diagonais	de	A.
Exemplo 2.4
A	tabela	de	conexão	para	a	matriz/grafo	do	exemplo	2.1	é	
Nó VIZ VAL
1 2 6 - a b -
2 1 3 4 a c d
3 2 5 - c e -
4 2 - - d - -
5 3 6 - e f -
6 1 5 - b f -
É	 fácil	 se	 verificar	 que	 o	 esquema	 de	 armazenamento	
baseado	 em	 tabelas	 de	 conexão	 é	 ineficiente	 se	 um	 número	
significativo	de	vértices	tem	grau	muito	menor	do	que	m.
Lista de Adjacências
Formada pelos arranjos:
•	 ADJ: contêm as listas de adjacências para todos os vér-
tices	do	grafo	de	A	de	 forma	ordenada;	 tem	compri-
mento igual a 2 x (número de arestas);
•	 XADJ: contêm apontadores para o começo de cada lista 
de	adjacências	em	ADJ;	tem	comprimento	igual	a	N + 1;
•	 VAL: arranjo paralelo a ADJ contendo os valores nu-
méricos	dos	elementos	de	A	fora	da	diagonal;
•	 DAIG: de comprimento N, contêm os elementos dia-
gonais	de	A.
80
2 Representação do sistema de transmissão
Nota-se que o arranjo XADJ possui N + 1 posições para 
que	o	final	da	lista	seja	indicado.
Exemplo 2.5
A	lista	de	adjacências	para	a	matriz/grafo	do	exemplo	2.1	é:
XADJ = 
1 2 3 4 5 6 7
1 3 6 8 9 11 13
ADJ = 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2	 6 1 3 4 2 5 2 3	 6 1 5
VAL = 
a b a c d c e d e f b f
DIAG = 
a11 a22 a33 a44 a55 a66
Lista Encadeada
Os esquemas anteriores têm a desvantagem de exigir o co-
nhecimento prévio do grau de cada vértice. Caso apareça um 
novo elemento não nulo na matriz (por exemplo, durante a fato-
ração	LU),	será	difícil	a	sua	inserção	nas	listas.	Esta	dificuldade	
é contornada introduzindo-se um arranjo de ligação PROX.	A	
estrutura resultante é chamada de lista encandeada e correspon-
de aos seguintes arranjos.
•	 PRIM: aponta para o primeiro elemento da lista de 
vértices adjacentes a um dado vértice;
81
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
•	 VIZ: contém os nós adjacentes ao indexador de PRIM;
•	 PROX: aponta para o próximo nó adjacente em VIZ;
•	 VAL: guarda os valores numéricos, sendo paralelo a 
VIZ e a PROX.
Além	destes	arranjos,	define-se	o	arranjo	DIAG para arma-
zenar	os	elementos	da	diagonal	de	A.
Exemplo	2.6
A	lista	encadeada	para	a	matriz/grafo	do	exemplo	2.1	é:
PRIM
1 - 10
2 - 6
3 - 1
4 - 12
5 - 8
6	-	 5
VIZ VAL PROX
1 - 2 c 11
2 - 6 f 0
3 - 2 a 0
4 - 3 c 7
5 - 1 b 9
6	-	 1 a 4
7 - 4 d 0
8 - 3 e 2
9 - 5 f 0
10 - 6 b 3
11 - 5 e 0
12 - 2 d 0
82
2 Representação do sistema de transmissão
Observação:	se	houver	espaço	suficiente	nos	arranjos	VIZ, 
PROX E VAL novas arestas podem ser facilmente adicionadas 
à lista encadeada.
Exemplo 2.7
Para	adicionar	a	aresta	{3,	6}	com	a36 = g nos arranjos do 
exemplo	2.6	faz-se	as	seguintes	modificações:
PROX (13) = 1,
PROX (14) = 5,
VIZ	(13)	=	6,
VIZ (14) = 3,
VAL	(13)	=	G,
VAL	(14)	=	G,
PRIM (3) = 13,
PRIM	(6)	=	14,
Observação: nas aplicações de listas encadeadas em opera-
ções envolvendo matrizes esparsas, é normalmente necessário 
que a lista de vértices adjacentes a cada vértice esteja ordenada de 
forma crescente ou decrescente. Mesmo quando a lista encadeada 
original está assim ordenada, a inclusão de novos elementos em 
geral exige que sejam realizadas reordenações. Para isso, rotinas 
eficientes	de	reordenação	da	lista	encadeada	devem	ser	utilizadas.
Esquemas de Armazenamento Compacto Para 
Vetores e Matrizes Retangulares
A	utilização	de	um	grafo	não-orientado	para	representar	a	
estrutura de uma matriz é possível apenas no caso de matrizes 
quadradas simétricas. Matrizes quadradas assimétricas podem 
ser representadas por grafos ordenados, porém matrizes retan-
gulares, incluindo vetores-linha e vetores-coluna, não podem 
ter	suas	estruturas	associadas	a	grafos.	Apesar	disso,	as	estrutu-
ras de dados vistas anteriormente permanecem válidas, com pe-
quenas alterações. Estas, na verdade, se resumem ao fato de que 
os elementos aij, para os quais i = j são também armazenados 
nos arranjos compactos das estruturas de armazenamento, e 
83
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
não mais em um arranjo separado como o arranjo DIAG que 
foi mencionado anteriormente.
Esquema de armazenamento compacto para vetores
Um vetor v ∈ ℜn é descrito de forma não ambígua atra-
vés	da	especificação	(neste	capítulo	sempre	se	estará	referindo	a	
vetores coluna. Os arranjos e algoritmos podem ser facilmente 
estendidos para vetores linha.):
•	 Do número de linhas n;
•	 Do índice das linhas onde estão localizados os elemen-
tos não nulos;
•	 Dos valores numéricos dos elementos.
A	dimensão	do	vetor	é	um	número	inteiro,	as	localizações	
dos elementos não nulos podem ser feitas em arranjos de nú-
meros inteiros e os valores podem ser armazenados em arran-
jos	de	números	reais.	A	maneira	mais	simples	de	se	guardar	as	
posições dos elementos não nulos e os correspondentes valores 
numéricos é através dos arranjos, lin_v, e val_v. Este tipo de 
armazenamento é chamado de esquema primitivo de armazena-
mento. Como exemplo deste esquema tem-se que:
Exemplo 2.8
Vetor denso Esquema primitivo
V =




















0.
3.
0.
2.
0.
0.
6.
lin_v val_v
1 - 2 3.
2 - 4 2.
3 - 7 6.
nnz = 3
84
2 Representação do sistema de transmissão
O esquema primitivo de armazenamento pode ser con-
vertido facilmente para o esquema de listas de adjacências e de 
listas encadeadas. Para efetuar a conversão, supõe-se aqui que 
o número de elementos não nulos do vetor, nnz é conhecido. 
Esta informação não é imprescindível, porém pode ser obtida 
com facilidade e ajuda na montagem das listas de adjacências e 
listas encadeadas.
Listas de adjacências para vetores esparsos
A	montagem	das	listas	de	adjacências	para	vetores	esparsos	
é trivial uma vez que o arranjo xadj_v terá apontadores apenas 
para	o	começo	e	fim	do	arranjo	adj_v (onde estão localizados as 
posições dos elementos não nulos).
Exemplo 2.9
Para o vetor v do exemplo 2.7 tem-se então o seguinte gra-
fo e as seguintes listas de adjacências:
xadj_v(1) = 1
xadj_v(nnz) = nnz + 1
xadj =
1 2
[ 1 4 ]
lin_v =
1 2 3
[ 2 4 7 ]
val_v	=	[	3.			2.			6.			]
Nota-se que, se lin_v e val_v estão adequadamente orde-
nados em forma crescente, estes dois arranjos do esquema pri-
mitivo de armazenamento são aproveitados nas listas de adja-
cências. Precisa-se, portanto, montar apenas o arranjo xadj_v, 
o que é trivial.
85
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Listas encadeadas para vetores esparsos
Estas consistem de um apontador para a localização do 
primeiro elemento não nulo de v e um arranjo de apontadores 
para as localizações dos elementos não nulos seguintes. Estes 
apontadores são chamados de prim_v e prox_v.Exemplo 2.10
As	listas	encadeadas	para	o	vetor	do	exemplo	2.9 são:
Lin_v Val_v Prox
Prim_v 1 - 2 3. 2
1 - 1 2 - 4 2. 3
3 - 7 6. 0
Nota-se que lin_v e val_v fazem parte do esquema primi-
tivo de armazenamento, portanto, a criação da lista encadeada 
consiste na montagem de prim_v e prox_v.
Esquema de Armazenamento Compacto Para 
Matrizes Retangulares
Uma	 matriz	 A	 ∈ ℜmxn é descrita de forma inequívoca 
especificando-se:
•	 Seu número de linha m e de colunas n;
•	 O número da linha e da coluna de cada elemento não 
nulo;
•	 Os valores numéricos dos elementos não nulos.
Estas informações podem ser armazenadas no esquema 
primitivo de armazenamento para matrizes constituído pelos 
arranjos lin_A, col_A e val_A.
86
2 Representação do sistema de transmissão
Exemplo 2.11
Esquema primitivo
Matriz densa lin_A col_A val_A
A =
















3. 0 2. 0
0 4. 0 0
0 0 0 7.
5. 0 8. 9.
0 0 0 6.
1 - 1 1 3.0
2 - 1 3 2.0
3 - 2 2 4.0
4 - 3 4 7.0
5 - 4 1 5.0
6	-	 4 3 8.0
7 - 4 4 9.0
8 - 5 4 6.0
Listas de adjacências para matrizes retangulares
Podem	ser	 feitas	por	 linhas	ou	por	 colunas	 (significando	
que o primeiro número a ser acessado poderá corresponder a 
uma	linha	ou	a	uma	coluna).	Aqui	o	esquema	de	adjacências	por	
linhas será derivado. O esquema por colunas pode ser construí-
do	com	pequenas	modificações	nos	algoritmos.
A	lista	de	adjacências	por	linhas	é	constituída	pelos	seguin-
tes arranjos: xadj_A. adj_A e v_A.
Exemplo 2.12
xadj_A =
1 2 3 4 5 6 ↵ nº da linha
1 3 4 5 8 9
adj_A =
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 2 4 1 3 4 4
87
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
v_A =
3.0 2.0 4.0 7.0 5.0 8.0 9.0 6.0
Listas encadeadas para matrizes retangulares
A	estrutura	de	listas	encadeadas	pode	também	ser	aplicada	
a linhas ou a colunas de uma matriz esparsa dependendo se um 
arranjo de apontadores iniciais é indexado por linhas ou por 
colunas para esta matriz. Supondo que a lista seja encadeada 
por linhas, os arranjos correspondentes são: lprim_A, col_A, 
val_A e lprox_A.
Exemplo 2.13
Para	a	matriz	A	dos	exemplos	anteriores,	as	listas	encadea-
das por linhas podem ser escritas:
lprim_A col_A val_A lprox_A
1 - 2 1 - 1 3.0 0
2 - 3 3 - 3 2.0 1
4 - 4 5 - 2 4.0 0
6	-	 7 7 - 4 7.0 0
8 - 8 9 - 1 5.0 0
 3 8.0 5
10 - 4 9.0 6
11 - 4 6.0 0
Algumas Operações Elementares com Vetores 
Esparsos
Adição	de	um	vetor	esparso	a	um	vetor	denso
Considera-se a operação
w = y + α x (2.3)
88
2 Representação do sistema de transmissão
onde y é um vetor denso e x é um vetor esparso de di-
mensão n, e α é um escalar. O vetor resultante w é obviamente 
denso. Os únicos elementos de w que diferem dos elementos de 
y são aqueles correspondentes às posições não-nulas de x. 
Adição de Dois Vetores Esparsos
Neste caso, a operação considerada é 
z = x + α y (2.4)
onde x e y são vetores esparsos de dimensão n e α é um 
escalar. Neste caso o vetor z será em geral esparso. Há entretan-
to	uma	dificuldade	adicional	com	respeito	à	operação	anterior:	
não é possível saber de antemão a estrutura esparsa do vetor 
resultante z. Esta estrutura deve ser determinada mesclando-se 
as estruturas compactas de x e y.	Contudo,	tem-se	que	verificar	
se x e y têm elementos comuns, já que um elemento não-nulo 
não pode aparecer mais do que uma vez em uma lista encadeada 
ou de adjacência. Em casos como esse, o procedimento usual é 
separar a operação em duas etapas:
•	 Adição	simbólica,	em	que	se	utiliza	apenas	os	aponta-
dores dos elementos das estruturas esparsas dos ope-
radores x e y para determinar inicialmente a estrutura 
esparsa de z;
•	 Adição	 numérica,	 em	 que	 os	 valores	 numéricos	 dos	
operandos x e y são processados para determinar os 
valores numéricos de z.
Multiplicação de uma Matriz Esparsa Por um 
Vetor Denso
Se	A	é	uma	matriz	esparsa	m	x	n	e	x	é	um	vetor	n	x	1,	de-
seja-se implementar o produto
89
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
y	=	A	x	 (2.5)
em que o vetor y é m x 1 cujos elementos yi são dados por:
 X i= ∑ =y Ai i jj
n
1 (2.6)
Este	 produto	 resultará	 em	 um	 vetor	 denso,	 exceto	 se	 A	
contiver linhas nulas. Como supõe-se que x é denso, haverá uma 
contribuição	Aij xj para yi	sempre	que	Aij	≠	0.
Supondo	que	A	está	armazenada	sob	a	forma	de	lista	enca-
deada	por	linhas	(lprim_A,	col_A,	val_A,	lprox_A)	existe	um	
algoritmo que forma y por linhas.
Solução de Sistemas Triangulares Esparsos
Fatoração LU
Se irá discutir a fatoração LU apenas de matrizes simétricas 
ou estruturalmente simétricas, já que os problemas típicos de 
sistemas de potência em sua quase totalidade envolvem matrizes 
com estas características.
Se está interessado na solução do sistema linear:
A	x	=	b (2.7)
onde	A	é	uma	matriz	n	 x	n	não-singular.	Neste	 caso,	A	
pode ser fatorada como
A	=	LU (2.8)
onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz 
triangular superior unitária (isto é, os elementos diagonais uii de 
U são iguais à unidade, por outro lado, o mesmo não se exige dos 
elementos diagonais de L, lii). Supondo que a fatoração LU foi 
realizada, a solução da equação (2.7) envolve as seguintes etapas:
L x = b (2.9)
U x = x (2.10)
A	 etapa	 dada	 pela	 equação	 (2.9)	 é	 chamada	 substituição	
direta, enquanto que a equação (2.10) é a substituição inversa.
90
2 Representação do sistema de transmissão
Será examinado a criação de novos elementos não-nulos 
(isto	é,	o	enchimento)	nos	fatores	triangulares	de	A	em	decor-
rência da fatoração. Observa-se que estes elementos podem sur-
gir em decorrência de operações do tipo 
a a a = − ⋅ak j kj kj ij
' (2.11)
Se, antes da operação, akj era zero mas o produto aki * aij é 
não nulo, então cria-se um enchimento na posição (k, j) em de-
corrência da operação. Para o fator triangular inferior, esta pro-
priedade pode ser assim enunciada: se lki	≠	0	e	lij	≠	0,	então	lkj	≠	0.	
Do mesmo modo, para u, se uki	≠	0	e	uij	≠	0,	então	ukj	≠	0.	A	fi-
gura 2.3 ilustra a criação de enchimento nos fatores triangulares.
Figura 2.3: Ilustração do enchimento na fatoração LU.
Fatoração LU esparsa
No caso de matrizes estruturalmente simétricas, os fatores 
L e U terão elementos não-nulos:
•	 Nas	posições	em	que	A	tiver	elementos	não-nulos,	e
•	 Se akj = 0, mas aki * aij	≠	0,	cria-se	enchimento	nas	posições 
•	 (k, j) de U
•	 (j, k) de L.
91
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Como antes de se calcular os valores numéricos dos ele-
mentos L e U é necessário saber quais elementos destas matrizes 
são não-nulos, a fatoração envolve duas etapas:
•	 Fatoração simbólica: através da qual se determina em 
que posições de L e U ocorrem elementos não-nulos;
•	 Fatoração numérica: cálculo dos valores numéricos dos 
elementos não-nulos de L e U, a partir da alocação de 
memória feita no estágio numérico.
Fatoração simbólica
•	 Entrada:
•	 Listas encadeadas por linha e por coluna da 
matriz estruturalmente simétrica, A;
•	 Ordem de A, n;
•	 Número	de	elementos	≠	0	em	A, nnz.
•	 Saída:
•	 Listas encadeadas de A são sobrescritas pelas 
listas de L e U;
•	 nnz	conterá	o	número	de	elementos	≠	0	nos	
fatores triangulares.
•	 Equações básicas:
Akj	=	Akj	-	Aki *	Aij (2.12)
Ajk	=	Ajk	-	Aji *	Aik (2.13)
Fatoração numérica
•	 Entrada:
•	 Listas encadeadas por linha e por coluna para 
os fatores triangulares determinadas pela fato-
ração simbólica;
•	 Ordem de A, n;
92
2 Representação do sistema de transmissão
•	 Saída:
•	 Arranjos	com	os	valores	numéricos	de	L e U 
indexados pelas listas encadeadas atualizadas 
na fatoração simbólica;
•	 Arranjo	 com	 os	 elementos	 diagonais	 de	A	 é	
sobrescrito pelos elementos diagonais de L.
Substituição direta e inversa
À fatoração LU	da	matriz	de	 coeficientes	de	um	sistema	
linear esparso, seguem-se os estágios de substituição direta e 
inversa, conforme dado pelas equações (2.9) e (2.10), que forne-
cem a solução desejada para o problema linear. Tanto no caso 
denso quanto no caso esparso, diferentesalgoritmos podem ser 
utilizados para implementar os estágios de substituição direta e 
inversa, dependendo se o acesso aos elementos dos fatores L e 
U se faz por linhas ou por colunas.
No caso de substituição direta, serão apresentados alguns 
algoritmos que acessam o fator triangular inferior L por colunas. 
O algoritmo para o caso de matrizes densas é bem conhecido, 
e	está	apresentado	na	figura	2.4.	Percebe-se	que	o	laço	interno	
do algoritmo de fato acessa os elementos fora da diagonal de L 
por colunas, enquanto que o laço externo acessa os elementos 
diagonais	de	L.	A	figura	2.4	mostra	como	os	elementos	de	L são 
acessados durante o processo de solução.
Figura 2.4: Acesso às colunas de l durante substituição direta.
93
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
As	mesmas	conclusões	podem	ser	feitas	para	a	substituição	
direta, é claro, se feita com as devidas adaptações.
Ordenação para preservação da esparsidade na 
fatoração LU
Ordenação de matrizes
Serão considerados apenas sistemas lineares cujas matrizes 
são estruturalmente simétricas.
Define-se	uma	ordenação	de	uma	matriz	estruturalmente	
simétrica	A	como	uma	permutação	de	suas	linhas	e	colunas.	A	
estrutura simétrica das matrizes consideradas implica que estas 
permutações têm que ser realizadas em pares linhas-coluna, isto 
é, se a linha k for permutada com a linha j, o mesmo acontecerá 
com as colunas k e j.
Quando	 uma	matriz	 é	 reordenada,	 verifica-se	 que	 o	 en-
chimento produzido durante a fatoração LU pode variar subs-
tancialmente. Faz sentido, portanto, buscar ordenações que 
minimizem o enchimento ou, se isto não for possível, o re-
duzam	 significativamente.	 Reordenações	 de	matrizes	 estrutu-
ralmente simétricas são melhor ilustradas através dos grafos 
de adjacências.
Exemplo 2.14
Seja	o	 sistema	de	potência	 representado	na	figura	 2.5.	A	
estrutura da matriz de admitância do sistema e seu grafo de ad-
jacência	associado	são	mostrados	na	figura	2.6,	para	duas	orde-
nações diferentes.
94
2 Representação do sistema de transmissão
Figura 2.5: Sistema de potência para exemplificar a ordenação.
A	ordenação	natural	é	mostrada	na	figura	2.6.	A	ordena-
ções	{4,	1,	3,	5,	6,	2}	(isto	é,	o	primeiro	vértice	considerado	é	o	
vértice originalmente numerado com 4, etc.)
Figura 2.6: Estrutura da matriz a e grafo associado para: (a1, b1) ordenação natural e (a2, b2) 
ordenação {4, 1, 3, 5, 6, 2}.
Interpretação do enchimento usando grafos 
reduzidos
O processo de fatoração LU é tal que, quando a linha 1 e 
a	coluna	1	da	matriz	A	=	A	(1	:	n,	1	:	n)	são	processadas,	elas	
modificarão	o	restante	da	matriz	A,	isto	é,	A	(2	:	n,	2:	n).	Depois	
95
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
desta etapa, a linha 1 e a coluna 1 não serão mais acessadas. Em 
geral,	no	estágio	k	são	modificados	os	elementos	da	submatriz	
A	(k	+	1	:	n,	k	+	1	:	n).	Depois	deste	ponto,	as	primeiras	k	li-
nhas e k colunas não serão mais acessadas durante o processo 
de fatoração.
Lembrando-se que um novo elemento diferente de zero 
(isto	é,	um	enchimento	na	posição	(k,	j)	será	criado	se	A(k,	j)	for	
inicialmente	nulo	e	se	existir	pelo	menos	um	par	A(k,	i)	e	A(i,	j),	
ambos não nulos. Pode-se então estabelecer uma correspondên-
cia entre a operação que cria o enchimento e alterações no grafo 
de	adjacência	da	matriz	A.	Assim,	o	processamento	da	primeira	
linha	 e	 primeira	 coluna	 de	A	provoca	mudanças	 no	 grafo	 de	
adjacência	de	A:
•	 O vértice x1 e todas as arestas nele incidentes são elimi-
nados do grafo;
•	 Novas arestas são criadas no grafo reduzido, tal que to-
dos os vértices originalmente adjacentes a x1 tornam-se 
mutuamente adjacentes.
Deste modo, todo o processo de fatoração LU pode ser 
interpretado como uma sequência de grafos de adjacência re-
duzidos.	A	figura	2.7	ilustra	a	geração	de	grafos	reduzidos	para	
a	matriz	de	adjacência	do	sistema	de	potência	da	figura	2.5.	As	
matrizes Hi	representam	as	matrizes	reduzidas	A	(i	+	1	:	n,	i	
+ 1 : n), e as arestas mais grossas nos grafos reduzidos repre-
sentam	as	arestas	criadas	durante	o	processo	de	fatoração.	A	
cada uma delas corresponde um novo enchimento na matriz 
A.	Por	exemplo,	a	eliminação	do	vértice	x2 no grafo G1 gera 
três novos enchimentos, que correspondem às arestas {x3, x4}, 
{x4, x6} e {x3, x6}.
96
2 Representação do sistema de transmissão
Figura 2.7: Interpretação do enchimento usando sequência de grafos reduzidos.
O conjunto de arestas adicionais aos grafos reduzidos cor-
responde, portanto, ao conjunto de enchimentos criados durante 
a	fatoração.	Para	o	exemplo	da	figura	2.7,	a	estrutura	da	matriz	L	
+ LT e o grafo correspondente, considerando todos os enchimen-
tos	produzidos	durante	a	fatoração	são	mostrados	na	figura	2.8.
Figura 2.8: Enchimento total e grafo correspondente para o exemplo 2.11.
97
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Esta visualização do enchimento em termos dos grafos de 
adjacência é muito útil na interpretação dos efeitos da ordenação 
durante	o	processo	de	fatoração	da	matriz	A.
Algoritmos de ordenação
o enchimento provocado em uma matriz esparsa estrutu-
ralmente	simétrica	A	durante	a	fatoração	LU	pode	variar	signi-
ficativamente	com	a	reordenação	de	suas	linhas	e	colunas.	A	in-
terpretação do processo de produção de enchimento utilizando 
os grafos constitui-se em uma valiosa ferramenta para avaliação 
dos	efeitos	da	 reordenação	das	 linhas	 e	 colunas	de	A	 sobre	 a	
produção de novos elementos não-nulos. 
Constatados os efeitos da reordenação sobre a esparsidade 
dos fatores triangulares, é natural que se procure uma ordenação 
ótima que minimize o enchimento em L e U. Observa-se que este 
é um problema combinatório de grande dimensão: há n maneiras 
de se escolher a linha/coluna 1, n – 1 maneiras de se escolher a li-
nha/coluna 2, e assim por diante. De fato, nenhum método ótimo 
com este objetivo foi desenvolvido a contento até hoje. Tem-se, 
portanto, que recorrer a algoritmos heurísticos para gerar ordena-
ções que produzam um número pequeno aceitável, embora não 
necessariamente ótimo, de novos elementos não-nulos em L e U.
Serão abordados três métodos heurísticos de ordenação. 
Todos são baseados no conceito de grau dos vértices do grafo 
de adjacência. Os vértices de menor grau tendem a criar um nú-
mero menor de enchimentos. De fato, no caso da eliminação de 
um nó de grau 1, nenhum enchimento é criado. 
Algoritmo	de	ordenação	i
Também chamado esquema Tinney-I, baseia-se na orde-
nação a priori (e, portanto, estática) dos vértices do grafo de 
98
2 Representação do sistema de transmissão
adjacência em ordem crescente de grau. Sua implementação é 
a mais rápida e costuma produzir resultados bastante razoáveis 
em aplicações em sistemas de potência. Sua implementação re-
quer o cálculo dos graus de cada vértice do grafo de adjacência.
Algoritmo	de	ordenação	II
É conhecido como método do mínimo grau ou esquema 
Tinney-II. Baseia-se na evolução dos graus nodais nos grafos re-
duzidos que resultam da eliminação de vértices. Como a elimi-
nação de um nó em um grafo reduzido pode provocar alteração 
no grau dos vértices adjacentes, o método tem características 
dinâmicas.	A	figura	2.9	ilustra	o	método.
Figura 2.9: Ilustração do método de Tinney-II.
Supõe-se que as linhas/colunas 1 a i – 1 (ou, equivalente-
mente, os nós do grafo de adjacência {x1, ..., xi – 1}) tenham sido 
já ordenadas. O número de elementos não-nulos nestas linhas/
colunas	é	fixo	e	não	 será	mais	 alterado,	 já	que	elas	não	 serão	
mais acessadas. Para reduzir o enchimento na coluna i é eviden-
te que, na submatriz que ainda não foi fatorada, a coluna com o 
menor número de elementos não-nulos deve ser deslocada para 
a posição i. Portanto, o esquema pode ser considerado como um 
99
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
método que reduz o enchimento através de uma minimização 
local do número de elementos da coluna i da matriz fatorada. 
Algoritmos	de	ordenação	III
Este esquema de ordenação é mais elaborado, pois implica 
na análise prévia da criação do enchimentopara cada linha/
coluna ainda não processada. Como no caso do esquema II, o 
método é mais facilmente apresentado utilizando-se o grafo de 
adjacência e os grafos reduzidos dele derivados. Existe a neces-
sidade de se simular todos os possíveis nós candidatos antes de 
tomar a decisão de qual nó deverá ser de fato o próximo elimi-
nado. Um possível atalho neste procedimento ocorre quando se 
verifica	que	um	nó	candidato	não	provoca	nenhum	enchimen-
to; neste caso, este pode ser imediatamente selecionado, sem a 
necessidade	de	se	examinar	todos	os	nós	restantes.	As	ordena-
ções determinadas por este algoritmo tendem a produzir um 
número menor de enchimentos que as fornecidas pelos demais 
algoritmos.	Apesar	disso,	 este	 algoritmo	 requer	um	 tempo	de	
processamento muito superior ao do algoritmo II, sendo, por 
isso, geralmente preterido em relação aquele.
O ambiente econômico
O setor elétrico e a atividade econômica
A	gestão	econômica	de	um	sistema	elétrico	de	potência	é	
extremamente complexa devido a fatores, entre outros, da am-
plitude	da	tarefa	que,	além	de	cobrir	fatores	financeiros,	sociais,	
administrativos e ambientais, considera ainda o planejamento 
de investimento e a operação do sistema, estes estreitamente 
relacionados	aos	aspectos	tecnológicos	de	tais	sistemas.	Adicio-
nalmente, todos esses aspectos devem ser gerenciados dentro 
100
2 Representação do sistema de transmissão
de um contexto de regulação e leis vigentes em cada país. Isto, 
naturalmente,	condiciona,	de	forma	significativa	não	somente	a	
estratégia e os limites dentro dos quais cada uma dessas ativi-
dades deve ser conduzida, mas também determina exatamente 
quem são os tomadores de decisão. Com a profunda mudança 
em regulação a caminha na indústria em muitas áreas do mun-
do,	qualquer	tentativa	de	descrever	o	ambiente	econômico	deve	
abordar ambos os esquemas tópico por tópico, a seguinte dis-
cussão primeiro fornece uma revisão das funções de planeja-
mento da expansão e operação do sistema bem estabelecidas no 
cenário	tradicional,	e	depois	apresenta	a	filosofia	e	as	mudanças	
introduzidas pelas novas formas de regulação. 
O planejamento e a operação atual de um sistema elétrico 
de potência são resultados de uma complexa cadeia de decisões. 
O primeiro assunto é a provisão em longo prazo, com a expan-
são da capacidade e os contratos de combustível; o segundo é o 
planejamento em médio prazo, como a gestão hidroelétrica, o 
programa de manutenção de instalações, e o terceiro são as es-
pecificações	em	curto	prazo,	tais	como	a	conexão	das	unidades	
de geração e a reserva de capacidade de geração; e o quarto é 
representado pela operação atual do sistema, como o despacho 
das unidades programadas, a regulação da frequência e a respos-
ta às possíveis situações de emergência. a tomada de decisões é 
apoiada por modelos de computação alimentados por sistemas 
altamente	sofisticados	de	aquisição	de	dados	e	comunicação.	Os	
recursos atuais tornam isso possível, como, por exemplo, calcu-
lar de forma precisa o custo marginal da demanda de equilíbrio 
(isto é, o custo de um kWh adicional) em um ponto dado do 
sistema em um instante de tempo, levando em conta a cadeia 
inteira de decisões mencionadas anteriormente.
As	decisões	que	afetam	a	operação	e	a	expansão	do	sistema	
elétrico	de	potência	devem	ser	guiadas	por	critérios	de	eficiência	
101
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
econômica	para	minimizar	os	custos	de	enviar	energia	elétrica	
de	qualidade	aceitável	para	os	consumidores	ou	clientes.	Apesar	
disso, uma parcela das decisões deve levar em conta considera-
ções técnicas para assegurar a possibilidade real de fornecimento 
da potência elétrica, um aspecto muito mais vital que em outras 
indústrias,	dadas	suas	características	específicas.	A	importância	
de tais considerações cresce com o lapso de tempo entre a toma-
da de decisão e a implementação rápida em tempo real, quando 
a	distinção	entre	fatores	técnicos	e	econômicos	desaparece	e	não	
existe uma linha clara de separação entre eles. Dado o tama-
nho, a dimensão e a complexidade do problema, a cadeia de 
decisão inteira deve ser racionalizada e organizada. Isso é con-
seguido ordenando cronologicamente as funções de expansão e 
de operação. Em decisões de longo prazo, por exemplo, onde a 
incerteza	futura	e	os	critérios	econômicos	têm	peso	considerá-
vel, uma aproximação grosseira do comportamento tecnológico 
do	sistema	é	suficiente.	Tais	decisões	guiam	sucessivamente	as	
tomadas	de	decisões	de	curto	prazo	em	que	as	especificidades	
técnicas são mais relevantes, terminando na operação em tempo 
real, onde a dinâmica do sistema deve ser analisada com pleno 
detalhe, milissegundo a milissegundo.
A expansão e a operação no contexto tradicional
Nesse contexto, o coordenador é centralizado, controlado 
pelo governo, é responsável pelas decisões integrais da operação 
do sistema de potência, do controle e do monitoramento. O co-
ordenador também é responsável pela formulação dos planos de 
expansão do sistema, que considera a instalação de novas usinas 
de geração e a construção de linhas de transmissão ou subesta-
ções. Também é, frequentemente, responsável pela implementa-
ção desses planos se a rede é de propriedade pública.
102
2 Representação do sistema de transmissão
O critério fundamental para o processo de tomada de deci-
sões é maximizar o benefício social na produção e no consumo 
da energia elétrica. Isso envolve dois aspectos fundamentais: o 
primeiro é a tentativa de minimizar a cadeira inteira de custos 
relacionados com o fornecimento do serviço, incluindo custos 
de	investimento	e	operação.	Além	disso,	o	atendimento	de	um	
serviço barato não é o único fator usado para medir o benefí-
cio	 social.	A	qualidade	do	 fornecimento	deve	 também	ser	 sa-
tisfatória. O benefício é baixo ara consumidores residenciais e 
industriais onde o serviço é barato, mas com saídas constantes. 
Um número de incertezas (raios, crescimento real da deman-
da, falhas nos equipamentos de geração, de transmissão e de 
distribuição) torna impossível garantir um serviço sem cortes 
nos cenários futuros. Em outras palavras, existe sempre alguma 
probabilidade de se tornar impossível fornecer a demanda total 
em	todo	instante,	o	que	representa	uma	medida	de	confiabilida-
de do sistema. Também está claro que tal probabilidade de falha 
pode ser minimizada com investimentos em mais instalações e 
operando o sistema de forma mais conservadora. O incremento 
da	confiabilidade	requer	maiores	custos.	Por	esse	motivo,	o	pri-
meiro critério mencionado acima, minimização de custos, deve 
ser	quantificado	para	levar	em	conta	o	segundo	critério,	que	re-
flete	a	confiabilidade	do	sistema.	Isso	pode	ser	incorporado	no	
processo de tomada de decisões de muitas formas. Uma é ajustar 
a	 confiabilidade	 a	 um	 limiar	mínimo	 baseado	 na	 experiência	
passada e na percepção social do conceito, medido em termos 
de probabilidade de interrupção do fornecimento de energia elé-
trica ou algum outro indicador semelhante. Outro método mais 
sólido	consiste	em	tentar	quantificar	o	custo	financeiro	causado	
pela interrupção do serviço baseado na utilizada para os con-
sumidores. Incorporar esse fator no processo de minimização 
103
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
de custos como uma forma de despesa a ser levada em conta é 
atualmente uma forma de maximizar a utilidade social do servi-
ço.	A	dificuldade	inerente	dessa	segunda	proposta	está	na	quan-
tificação	da	utilidade,	que	pode	variar	de	um	consumidor	para	
outro, e que não existe uma forma clara de medida, apesar de 
terem sido feitas tentativas a esse respeito com a elaboração de 
relatórios sistemáticos para consumidores, especialmente prepa-
rados para esse propósito.
Confiabilidade	é	um	fator	que	implica	o	processo	de	toma-
da	de	decisão	completa,	de	longo	e	de	curto	prazos.	A	interrup-
ção do serviço pode ser provocada pelos aspectos relacionados 
com investimento: se a capacidade instalado do sistema é in-
suficiente	parafornecer	a	demanda,	devido	a	 seu	crescimento	
abrupto e inesperado, às condições meteorológicas particular-
mente	adversas,	à	capacidade	de	transmissão	insuficiente	ou	ao	
adiamento de novos investimentos; aos problemas de operação: 
programação inadequada de reservatórios, resposta inadequada 
imediata às faltas em linhas ou geradoras devido à escassez de 
capacidade de reserva; ou a problemas de estabilidade do siste-
ma em tempo real. Por esse motivo, em quase todos os cenários 
de	tomadas	de	decisão,	os	fatores	de	custo	e	de	confiabilidade	
devem ser equilibrados para encontrar uma decisão. O termo 
adequação	geralmente	é	usado	para	caracterizar	a	confiabilidade	
em longo prazo e segurança, para a operação no curto prazo.
Não existe forma padronizada para organizar o planeja-
mento e a operação de um sistema elétrico de potência. a so-
lução desse problema complexo envolve quase sempre a se-
paração do problema em problemas mais simples, e todas as 
técnicas utilizam dados que envolvem, de uma maneira ou de 
outra,	decomposição	hierárquica	na	escala	de	tempo.	A	toma-
da de decisão é ordenada por escala de tempo, e as respectivas 
104
2 Representação do sistema de transmissão
funções são ordenadas de acordo com esse critério. No nível 
mais elevado estão as decisões em longo prazo, que tratam de 
problemas estratégicos. Então, a solução adotada é passada para 
os níveis inferiores, delimitando seu escopo de ação. Descendo 
aos níveis inferiores na escala, para as técnicas de tempo real, 
deve-se buscar a solução ótima dentro das restrições impostas 
pelo problema, assim como pelas diretrizes recebidas dos níveis 
mais elevados. 
Longo prazo
O primeiro nível da tomada de decisão aborda o longo pra-
zo, projetando de 2 ou 3, para 10, 15 ou mais anos no futuro, 
para	definir	os	investimentos	em	usinas	de	geração	e	nas	redes	
de transmissão e de distribuição. O processo implica determinar 
o tipo, as dimensões e a data em que novas usinas de geração e 
linhas de transmissão devem ser instaladas com base em vários 
parâmetros, tais como a previsão do crescimento da demanda, 
alternativas tecnológicas e custos, disponibilidade de combustí-
vel	estimada	e	a	tendência	de	preços,	critérios	de	confiabilidade	
adotados, restrições de impacto ambiental, políticas de diversi-
ficação	e	objetivos	relacionados	à	dependência	do	setor	externo.	
Esse horizonte distante é necessário para que os investimentos 
(muito	grandes)	envolvidos	 sejam	 justificados	 sobre	a	base	do	
vencimento do tempo de vida útil do serviço das instalações, 
que pode variar de 25 a 30 anos, no caso de usinas a vapor, e 
muito mais no caso de usinas hidroelétricas.
Com os horizontes de tempo distantes, a incerteza é obvia-
mente o fator chave determinante. O conjunto integral de cená-
rios deve ser considerado, as avaliações probabilísticas devem 
ser realizadas, e os critérios mais adequados devem ser adota-
dos, tais como a minimização do custo médio esperado, a mini-
105
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
mização do arrependimento ou a minimização do risco, tomado 
como a variância da distribuição de custos.
Pela mesma razão, não faz sentido neste tipo de estudo se 
avaliar o comportamento técnico da operação do sistema em 
detalhe, visto que não é possível tentar uma avaliação precisa 
dos custos de operação quando o processo envolve níveis muito 
maiores	de	incertezas	financeiras.	
Um dos requisitos principais do processo é uma boa base de 
dados que deve conter informações atualizadas sobre tecnologias, 
assim como séries históricas de demanda, hidrologia (chuvas), ta-
xas	de	falhas	de	equipamentos,	entre	outros.	A	previsão	da	de-
manda em longo prazo assume a forma de uma curva de probabi-
lidade que determina as necessidades de expansão do sistema. O 
perfil	da	demanda	é	tão	importante	como	a	demanda	total,	já	que	
a escolha de tecnologia depende muito dessa informação. O pró-
ximo passo é determinar a expansão necessária em usinas de gera-
ção para atender a demanda de forma que, enquanto se respeitem 
os diferentes critérios estratégicos, tenta-se a opção que minimiza 
os custos antecipados sobre o período considerado. Tais custos 
incluem	o	custo	de	investimento	fixo	escolhido	e	o	custo	de	ope-
ração através do período inteiro que, obviamente, deve depender 
do tipo de investimento realizado. O suporte para simulação e os 
modelos de otimização estão frequentemente preparados para re-
alizar essa tarefa. Pela escala de tempo do problema considerado, 
geralmente são usadas técnicas de análise de decomposição como 
as que correm iterativa e alternativamente entre dois módulos, um 
especializado no cálculo dos custos de expansão, e o outro, nos 
custos de operação, trocando informações entre os dois, sempre 
que necessário até obter os resultados desejados.
As	decisões	de	expansão	da	rede	de	transmissão	tradicio-
nalmente dependem das necessidades de investimento em novas 
106
2 Representação do sistema de transmissão
usinas de geração e do crescimento nos centros de demanda. Isso 
é devido ao fato de que consideravelmente monos investimentos 
e tempo serão necessários para construir as redes de transmissão 
do que construir usinas de geração, embora em países onde a 
geografia	e	as	distâncias	sejam	muito	grandes	e	os	sistemas	de	
transmissão	são	custosos,	nesse	contexto,	esta	afirmação	pode	
não	 ser	 certa.	Depois	de	definida	a	 localização	das	novas	usi-
nas e calculadas as taxas de crescimento e de produção, deve-se 
encontrar a expansão do sistema e comparar os custos de inves-
timento necessários com o benefício obtido pelo sistema: cus-
tos menores de operação, perdas menores no sistema e maior 
confiabilidade	em	cobrir	 a	demanda.	O	processo	de	decisão	é	
também impactado pelo critério de segurança que garante que 
o fornecimento não deve estar sujeito às interrupções, devido a 
um reforço do sistema, ou outros aspectos técnicos, como pro-
blemas	de	tensão	e	estabilidade.	As	decisões	são,	naturalmente,	
dinâmicas no tempo; por esse motivo, elas devem ser periodica-
mente ajustadas aos dados de crescimento de demanda real, pois 
as inovações tecnológicas ou os termos de compra de combustí-
vel	modificam	as	hipóteses	iniciais	dos	planos	de	expansão.
Médio prazo
Uma	vez	que	o	investimento	em	longo	prazo	é	definido,	os	
planos de operação em médio e em longo prazos do sistema de-
vem ser realizados. Para um horizonte de um a três anos, depen-
dendo do sistema, o planejamento deve, além de determinar o 
melhor programa do ciclo de manutenção de usinas e linhas de 
transmissão, determinar a política mais adequada de compra de 
combustível,	e	de	uso	mais	eficiente	das	usinas	de	geração	sujei-
to às limitações da energia primária das usinas hidroelétricas em 
particular, ou às restrições de produção anual devido às razões 
107
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
ambientais.	As	usinas	de	geração	de	eletricidade	são	sistemas	so-
fisticações	com	milhares	de	componentes	que	devem	ser	revisa-
dos periodicamente para evitar falhas maiores e frequentemente 
arriscadas	 e	para	 assegurar	 a	 eficiência	da	usina,	do	ponto	de	
vista	técnico.	A	operação	de	usinas	convencionais	a	vapor	é	usu-
almente interrompida em torno de 20 dias por ano para manu-
tenção.	As	usinas	nucleares	precisam	de	recarga	de	combustível	
(barras de urânio) a cada 18 meses; assim, programas de manu-
tenção são elaborados para coincidir com as paradas das usinas. 
As	 linhas	de	 transmissão	e	 as	 componentes	de	 rede	de	 trans-
missão e de distribuição localizadas nas subestações também 
precisam de manutenção, como substituição de isoladores em 
falta ou sua limpeza para evitar perdas de potência pelo isolante. 
Apesar	de	a	tecnologia	para	realizar	essas	tarefas	em	linhas	vi-
vas estar cada vez mais e mais comumente disponível, a maioria 
dessas operações é realizada com as instalações desenergizadas 
por motivos de segurança, que implica a desconexão de certas 
linhas ou partes de uma subestação. Isto por sua vez, requer um 
cuidadoso planode programação da manutenção para interferir 
o menos possível na operação do sistema.
A	 gestão	 do	 combustível	 também	 precisa	 de	 um	 plane-
jamento cuidadoso, geralmente antecipado. Uma vez que as 
necessidades	 são	definidas,	 a	 compra	de	combustível	deve	 ser	
planejada frequentemente nos mercados internacionais, para 
conseguir preços mais vantajosos, e para realizar o transporte 
e armazenamento e tomar todas as medidas de logística neces-
sárias	 a	fim	de	evitar	que	a	usina	não	fique	 sem	combustível.	
Finalmente, o uso de recursos de água em usinas hidroelétricas 
também deve ser planejado como se fosse também um com-
bustível. Na verdade, a água pode ser vista como um combustí-
vel sem custo com suprimento limitado. Portanto, seu uso deve 
108
2 Representação do sistema de transmissão
ser	programado	da	forma	mais	benéfica	para	o	sistema.	Usinas	
a	 fio	 d’água	 não	 precisam	de	 planejamento,	mas	 decisões	 são	
imperativas onde exista uma opção entre gerar energia elétrica 
ou armazenar água para produção posterior. Dependendo do 
tamanho do reservatório, tais decisões podem cobrir intervalos 
de tempo que podem variar de um dia a várias semanas, meses 
ou anos para os reservatórios maiores, os chamados reservató-
rios	de	 regulação.	As	usinas	onde	 a	programação	 e	 regulação	
se estendem por vários meses devem ser planejadas sobre uma 
base anual ou multianual. Desde que o objetivo lógico desse 
planejamento seja tentar substituir a produção térmica mais 
cara esse tipo de planejamento é usualmente coordenado com 
as usinas térmicas. Uma estratégia semelhante é realizada com 
outras tecnologias sujeitas às restrições sobre uso que limitam 
a produção acumulada em um intervalo de tempo, tipicamente 
sazonal ou anual. Um exemplo pode ser a existência de quotas 
obrigatórias de consumo nacional de combustível ou limites de 
poluição anual.
Curto prazo
As	decisões	 em	curto	prazo	 correspondem	a	uma	 escala	
semanal, isto é, de alguns dias a um mês. Deve-se determinar 
o plano de produção para as usinas hidroelétricas e de vapor 
sobre uma base horária para cada dia da semana ou do mês. 
Esse plano deve obedecer, entretanto, às instruções recebidas 
do nível de decisão imediatamente superior em relação às ações 
de manutenção, de programação semanal ou mensal de hidro-
elétricas, de planos de emissão, de programação de quotas de 
combustível, etc.
Nesse nível, os detalhes do sistema são extremamente rele-
vantes, e devem ser levados em consideração aspectos tais como 
109
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
os processos de partida e parada de usinas de geração a vapor e 
os custos; as restrições hidrológicas na bacia dos rios; a ordem 
de	programação	das	usinas;	o	perfil	cronológico	da	demanda	ne-
cessária para a monitoração adequada da produção; a capacidade 
de geração de reserva para responder imediatamente às falhas 
imprevistas de equipamentos e assim por diante.
A	possibilidade	de	variar	o	nível	de	geração	de	uma	usi-
na a vapor é limitada pelas características técnicas das unidades 
de	geração.	Uma	usina	desse	tipo	fica	 inativa	por	um	período	
de tempo e para atingir o estado operacional demora um cer-
to intervalo de tempo, que é principalmente determinado pelo 
tempo necessário para esquentar a caldeira a uma temperatura 
determinada. Esse tempo mínimo depende, portanto, do estado 
de esfriamento da caldeira: em outras palavras, da quantidade de 
tempo	que	a	usina	esteve	desligada.	A	maioria	das	usinas	con-
vencionais a vapor pode requerer de 8 a 10 horas se a caldeira 
estiver	completamente	fria.	As	usinas	a	gás	e	CCGT	(Usina	de	
Turbina	a	Gás	de	Ciclo	Combinado)	são	mais	flexíveis,	preci-
sando de 1 a 2 horas, ou, às vezes, alguns minutos para turbinas 
a gás simples. Como resultado, o custo de partida de uma usi-
na	a	vapor	é	significativo	e	pode	ser	considerado	no	preço	do	
combustível que deve ser usado apenas para esquentar a caldeira 
para uma temperatura adequada. Por esse motivo, se a demanda 
diminui	muito,	pode	não	ser	econômico	desconectar	uma	usina	
a vapor à noite, mas manter a usina em um nível de produção 
mínimo. Esse nível, conhecido como carga mínima da usina, é 
relativamente elevado, geralmente da ordem de 30 – 40% da ca-
pacidade máxima da usina, devido às exigências de estabilidade 
de combustão na caldeira. Dependendo dos estudos de custo
-benefício, então, deve-se tomar a decisão se é economicamente 
mais adequado arrancar e parar a usina todo dia (ciclo de partida 
110
2 Representação do sistema de transmissão
diário),	 ou	parar	 somente	no	final	 de	 semana	 (ciclo	 semanal),	
ou simplesmente não parar, como no caso das usinas nuclea-
res.	Frequentemente	pode	ser	mais	eficiente	manter	a	caldeira	
quente	 sem	produção.	A	 constante	 térmica	 da	 caldeira	 e	 seus	
limites impõem restrições de quanto rapidamente a taxa de ge-
ração	de	uma	usina	a	vapor	pode	ser	modificada,	que	são	conhe-
cidas como restrições rampa ascendente e descendente. Tudo 
isso implica um planejamento cuidadoso de partida e parada das 
usinas, um problema conhecido como programação de usinas.
Essa	decisão	também	é	fortemente	influenciada	pela	pro-
gramação hidroelétrica semanal ou anual, assim como pelas exi-
gências	de	capacidade	de	reserva	do	sistema.	As	usinas	hidroelé-
tricas	são	muito	mais	flexíveis	com	relação	a	esse	aspecto,	com	
tempo	de	reposta	praticamente	igual	a	zero,	sem	custos	signifi-
cativos de partida, e, virtualmente, sem limites reais para utili-
zar	a	capacidade	de	geração.	A	programação	ótima	da	produção	
hidroelétrica para responder às variações sazonais da demanda 
leva em conta várias considerações: decisões de alto nível so-
bre a quantidade de recursos hídricos que devem ser usados na 
semana ou no mês, a distribuição horária de custos reais (coor-
denação hidrotérmica durante a semana ou mês) e as restrições 
técnicas	sobre	as	usinas	a	vapor.	A	geração	hidroelétrica	e	o	res-
pectivo uso de água nos reservatórios devem igualmente levar 
em conta as possíveis restrições impostas pelo uso da água para 
outros propósitos (irrigação, fauna, nível mínimo de água no 
reservatório	e	níveis	de	fluxo	de	água	no	rio,	etc.),	assim	como	
outros fatores condicionantes típicos do uso da água e de sua 
configuração:	 canais,	 limites	de	 reservatório,	 reservatórios	 em	
cascata, ou aquedutos.
Nesse	caso,	o	critério	de	confiabilidade	desempenha	um	pa-
pel na tomada de decisão. Devem ser realizadas previsões para a 
111
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
substituição imediata de alguma usina no sistema que se espera 
que possa falhar, ou ter a capacidade de resposta para saídas 
de linhas de transmissão. Isso requer a partida e a conexão de 
novas usinas, que embora não sejam necessárias em condições 
normais, devem ter a capacidade de gerar a potência requerida 
por várias horas, se necessário, para cobrir a emergência.
Tempo real
As	funções	de	operação	em	tempo	real	estão	baseadas	es-
sencialmente no critério de segurança antes que em considera-
ções	financeiras.	A	operação	econômica	do	processo	é	definida	
por decisões de alto nível, embora alguns detalhes nunca devem 
ser	perdidos	de	vista,	como	os	aspectos	econômicos	da	confia-
bilidade.	A	supervisão,	o	controle	e	o	monitoramento	assegu-
ram a viabilidade técnica do imenso e dinâmico sistema elétrico 
de potência.
Expansão e operação no novo contexto 
regulatório
O novo marco de regulação da indústria de energia elétrica 
está trazendo profundas mudanças nos hábitos do planejamento 
e	na	operação	dos	sistemas	elétricos	de	potência.	A	liberalização	
da indústria trouxe junto uma dramática descentralização das 
funções	de	planejamento	 e	operação.	A	 expansão	do	 sistema,	
agora focado no investimento, e a operação são resultados de 
decisões de empresas individuais com base na maximização dos 
lucros, sob uma organização por concessão ou através de con-
tratos de fornecimento de energia elétrica de empresas privadas. 
O	risco	financeiro	e	econômico	e	o	retorno	antecipado	do	in-
vestimento,80
Lista encadeada ..................................................................... 80
Exemplo 2.6 ............................................................................. 81
Exemplo 2.7 ............................................................................. 82
 Esquemas de armazenamento compacto para 
vetores e matrizes retangulares .......................................... 82
 Esquema de armazenamento compacto 
para vetores 77
Exemplo 2.8 ............................................................................. 83
Listas de adjacências para vetores esparsos .................. 83
Exemplo 2.9 ............................................................................. 84
 Listas encadeadas para vetores esparsos ....................... 85
Exemplo 2.10 ........................................................................... 85
 Esquema de armazenamento compacto para 
matrizes retangulares ........................................................... 85
Exemplo 2.11 ........................................................................... 86
 Listas de adjacências para matrizes retangulares .......... 86
Exemplo 2.12 ........................................................................... 86
Listas encadeadas para matrizes retangulares ............... 87
Exemplo 2.13 ........................................................................... 87
 Algumas operações elementares com 
vetores esparsos .................................................................... 87
Adição de um vetor esparso a um vetor denso ............... 87
Adição de dois vetores esparsos ........................................ 88
 Multiplicação de uma matriz esparsa por um 
vetor denso .............................................................................. 88
 Solução de sistemas triangulares esparsos .................... 89
Fatoração lu ............................................................................ 89
Fatoração lu esparsa ............................................................. 90
Fatoração simbólica .............................................................. 91
Fatoração numérica .............................................................. 91
Substituição direta e inversa................................................ 92
 Ordenação para preservação da 
esparsidade na fatoração lu ................................................ 93
Ordenação de matrizes ......................................................... 93
Exemplo 2.14 ........................................................................... 93
 Interpretação do enchimento usando 
grafos reduzidos ..................................................................... 94
Algoritmos de ordenação ..................................................... 97
Algoritmo de ordenação i ..................................................... 97
Algoritmo de ordenação ii .................................................... 98
Algoritmos de ordenação iii ................................................. 99
Ambiente econômico ............................................................ 99
O setor elétrico e a atividade econômica .......................... 99
A expansão e a operação no contexto tradicional ......... 101
Longo prazo ........................................................................... 104
Médio prazo............................................................................ 106
Curto prazo ............................................................................. 108
Tempo real .............................................................................. 111
 Expansão e operação no novo contexto regulatório ..... 111
Longo prazo ........................................................................... 112
Médio prazo............................................................................ 114
Curto prazo ............................................................................. 115
Tempo real .............................................................................. 116
O ambiente regulatório ......................................................... 117
 Regulação tradicional e regulação de mercado 
competitivo ............................................................................. 117
Novo ambiente regulatório .................................................. 118
Motivação ............................................................................... 118
Fundamentos ......................................................................... 119
Requisitos ............................................................................... 120
Atividades de natureza elétrica .......................................... 122
Separação de atividades ..................................................... 123
Atividades de geração .......................................................... 124
Atividades da rede ................................................................. 126
Transmissão ........................................................................... 128
Atividades ancilares .............................................................. 133
O modelo de despacho baseados em fluxo de 
potência – operação ótima e segura do sistema de 
transmissão ........................................................... 135
Os estados de um sistema de potência ........................... 138
Avaliação da segurança: análise de contingências ........ 141
 Análise de contingências baseada em fatores de 
distribuição ............................................................................. 143
 Análise de contingências baseada em fluxo de 
carga ........................................................................................ 149
Fluxo de potência ótimo ...................................................... 151
Formulação do problema FPO ........................................... 152
Classificação dos algoritmos de fpo ................................. 156
Operação do sistema de transmissão .............................. 157
Estado de emergência ......................................................... 157
Correção da sobrecarga ...................................................... 158
Correção de tensão .............................................................. 160
Estado de alerta .................................................................... 161
O estado seguro .................................................................... 164
Redes de transmissão com acesso aberto ..................... 165
Gerenciamento do congestionamento ............................. 167
 Esquemas de gerenciamento do 
congestionamento ................................................................ 170
 Gerenciamento do congestionamento por 
preço-spot nodal ................................................................... 171
 Gerenciamento do congestionamento baseado 
em transações ....................................................................... 177
Tarifas da transmissão ........................................................ 179
Direitos de transmissão ....................................................... 180
Perdas de potência ativa na transmissão ........................ 181
Avaliação das perdas da transmissão .............................. 181
Distribuição dos custos das perdas .................................. 184
O problema com termos mútuos em PL........................... 187
Serviços ancilares ................................................................. 187
Serviços de regulação .......................................................... 188
Serviços de reserva de potência ........................................ 189
Serviços de potência reativa ............................................... 190
Exemplos ................................................................................ 192
Exemplo 3.1 ............................................................................ 192
Exemplo 3.2 ............................................................................em vez do critério tradicional de minimização de 
112
2 Representação do sistema de transmissão
custos,	determinam	a	tomada	de	decisões.	Refletindo	nas	tarifas	
pagas	pelos	consumidores,	o	desafio	para	as	autoridades	admi-
nistrativas e de regulação é projetar as regras do mercado libe-
ralizado que por sua vez deve assegurar que o comportamento 
estritamente empresarial de cada participante do mercado leve a 
uma minimização integral dos custos do sistema.
A	operação	do	sistema	em	tempo	real,	entretanto,	continua	
a ser uma tarefa centralizada. O operador central, usualmente 
chamado operador do sistema, supervisiona a segurança desse 
sistema	sob	um	esquema	de	supervisão	e	de	controle.	Assegurar	
a viabilidade técnica em tempo real do sistema implica uma co-
ordenação avançada de todos os recursos disponíveis, que, por 
sua vez, requer absoluta independência dos interesses individu-
ais	dos	outros	participantes.	A	operação	de	um	sistema	elétrico	
de potência é vista, portanto, sob uma perspectiva totalmente 
diferente. Existem novas funções, responsabilidades e formas 
para realizar o processo de tomada de decisões e as mudanças 
no	rol	desempenhado	por	cada	um	dos	agentes	envolvidos.	As	
empresas de eletricidade devem se reorganizar para assumir 
suas novas funções no mercado. Elas devem enfrentar o desa-
fio	de	se	adaptarem	ao	novo	ambiente,	em	que	devem	mudar	
muitas rotinas de operações habituais, e onde novos direitos e 
tarefas	devem	aparecer.	Algumas	das	mais	novas	tarefas	estão	
relacionadas com elaboração de contratos e com formulação do 
orçamento anual – receitas menos gastos de operação – tudo 
dentro de um ambiente de política de gerenciamento de risco.
Longo prazo 
O novo ambiente revolucionou completamente a aborda-
gem	usada	no	planejamento	da	geração.	A	liberalização	e	des-
centralização das decisões de investimento atribuem a cada 
113
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
participante a responsabilidade para avaliação da conveniência 
de investimento em novas usinas, com base na análise de custo
-benefício individual. Portanto, o novo investimento é estudado 
sob a perspectiva do rendimento estimado sobre um período 
de vários anos; em outras palavras, da avaliação do futuro de-
sempenho do mercado. Tal análise precisa de fatores associados 
com preços estimados de combustível, de níveis de demanda, de 
novos investimentos de terceiros, de preços de mercado, e assim 
por	diante.	E	a	avaliação	do	risco	financeiro	joga	um	rol	crucial	
em	tais	decisões,	porque	é	a	chave	para	o	financiamento	adequa-
do	do	investimento.	A	precipitação	da	chuva	e	a	variabilidade	da	
demanda, assim como a possível interação entre os cenários de 
preços e as decisões de expansão de terceiros, são aspectos que 
devem	ser	considerados	nesse	ambiente.	A	gestão	do	risco	cons-
titui uma das atividades principais e direciona o planejamento 
e a operação dos sistemas de energia elétrica. a formulação de 
contratos	para	fornecimento	de	potência	ou	obtenção	de	finan-
ciamento, junto com o acesso a futuros mercados e opções, são 
elementos de imensa importância neste ambiente.
Enquanto o planejamento da rede de transmissão continua 
a ser centralizado, a perspectiva está mudando, e as decisões 
diárias estão sujeitas a muita incerteza. O critério básico de pla-
nejamento, isto é, a otimização da utilidade social da produção 
da eletricidade e do consumo, permanece inalterado. Entretan-
to, não existe mais a forma de minimização dos custos de pro-
dução, mas a maximização do lucro dos agentes individuais do 
mercado: para os consumidores, a utilidade do consumo me-
nos o custo de compra da eletricidade, e, para os produtores, 
os custos de venda menos os custos de geração da eletricidade. 
Além	 disso,	 a	 incerteza	 em	 torno	 das	 decisões	 do	 planejador	
cresceu dramaticamente. Tradicionalmente, a rede foi planejada 
114
2 Representação do sistema de transmissão
com base em decisões prévias da expansão da capacidade de 
geração, informação que, em um ambiente de livre competição, 
não está centralmente compilado ou disponível a priori, mas 
é resultado de decisões de negócio realizadas individualmente 
pelos diferentes participantes em qualquer tempo. Consequen-
temente, nem a quantidade, nem a localização de novas usinas 
são conhecidas com certeza quando a rede está sendo planejada. 
Adicionalmente,	 o	 tempo	que	pode	 transcorrer	 de	 quando	 se	
tomou a decisão de construir uma linha até que a linha entre 
em operação está aumentando muito, devido, em particular, às 
dificuldades	relacionadas	com	o	ambiente	e	com	a	organização	
territorial. Como resultado, a construção de uma rede de trans-
missão leva tempo que pode ser maior que a construção de uma 
usina de geração.
Médio prazo
Dos diversos agentes participantes no mercado de energia 
elétrica, vários devem tratar de otimizar suas decisões em médio 
e curto prazos: consumidores, fornecedores e produtores. Na 
operação do sistema, entretanto, os produtores jogam o papel 
principal. Os três objetivos perseguidos no médio prazo pelos 
geradores são:
•	 Formular	previsões	econômicas	de	médio	prazo	men-
cionadas anteriormente: gerenciamento de contratos, 
determinação das estratégias de negócios de longo pra-
zo e avaliações de investimento;
•	 Prover informação para as funções de longo prazo 
mencionadas anteriormente: gerenciamento de contra-
tos, determinação das estratégias de negócios de longo 
prazo e avaliações de investimento;
115
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
•	 Prover informação para as funções de curto prazo, em 
particular a formulação de licitações no mercado diário 
para a energia elétrica e os serviços ancilares; diretrizes 
de produção hidroelétrica, valoração das reservas de 
água e diretrizes para produção de usinas a vapor sujei-
tas à provisão de quotas nacionais de carvão, restrições 
ambientais, entre outros.
A	nova	abordagem	para	desenvolver	os	modelos	de	apoio	a	
essas decisões, que a otimização do ganho de cada agente do mer-
cado, leva de uma forma ou de outra a construir novos modelos 
baseados	na	teoria	macroeconômica	e	em	conceitos	da	teoria	de	
jogos. Os mercados, sendo vistos como elementos dinâmicos, se 
estabilizam em torno de pontos de equilíbrio caracterizados pela 
estrutura	de	produção	dos	vários	agentes.	Alternativamente,	eles	
podem ser vistos como o resultado de um jogo em que as regras 
ultimamente estabelecidas impõem uma estratégia a ser seguida 
por um agente em resposta para as reações de todos os outros.
Curto prazo
Embora exista uma variedade de formas de organizar os 
mercados elétricos, todos eles têm uma série de mercados de 
curto prazo (tipicamente diário), assim como mercados intradi-
ários e o mercado de serviços ancilares, onde é determinada a 
produção de curto prazo das usinas geradoras. Dos três, a oferta 
diária de mercado é, usualmente, a mais importante em termos 
de volume negociado. Consequentemente, a operação de cur-
to prazo tende a resolver a preparação do negócio diário. Esse 
processo é controlado pela decisão estratégica de maior nível. 
Como tal, ele é informado pela decisão de produção analisada 
em períodos que cobrem o longo prazo, e seu papel consiste em 
ajustar	os	preços	de	mercado	sobre	a	base	do	dia	a	dia.	A	esti-
116
2 Representação do sistema de transmissão
mação dos preços de curto prazo, para essa escala de tempo com 
as incertezas associadas com chuvas, sendo a disponibilidade de 
unidades geradoras muito pequena, é uma tarefa importante, 
visto que serve como guia para decisões sobre a internalização 
dos custos das unidades geradoras a vapor e se deve mudar para 
a produção hidroelétrica. Como resultado disso e esclarecida a 
hipótese do comportamento de competição, as empresas esta-
belecem	suas	ofertas,	especificando	quantidade	e	preço,	com	os	
quais elas competem no mercado atacadista. 
Tempo real
Como no esquema tradicional, a operação em tempo real 
é	 fortemente	 influenciada	 pelas	 considerações	 de	 segurança	 e	
tem uma estruturasemelhante, embora considerável esforço ge-
ralmente seja feito para diferenciar claramente os valores dos 
vários tipos dos chamados serviços ancilares fornecidos pelos 
agentes. Sempre que possível, os mecanismos de mercado fo-
ram implementados para decidir competitivamente quem deve 
prover que serviço e por qual preço. Tais mecanismos de merca-
do foram implementados para decidir competitivamente quem 
deve prover que serviço e por qual preço. Tais mecanismos es-
tão frequentemente implantados com a operação, secundária ou 
terciária, com a capacidade de reserva, como também com o 
controle	de	tensão	e	com	sistemas	com	tempo	de	partida.	A	fre-
quência primária ou controle de saída continua sendo um servi-
ço básico obrigatório à disposição do operador do sistema como 
um elemento vital para a segurança do sistema.
Nessa estrutura competitiva, as empresas devem oferecer 
seus serviços levando em conta os custos realizados em suas 
usinas para a produção, assim como levando em conta outras 
considerações, como as oportunidades do mercado.
117
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
O ambiente regulatório
Regulação tradicional e regulação de mercado 
competitivo
A	regulação	pode	ser	definida	como	um	sistema	que	permi-
te a um governo formalizar e institucionalizar seus compromis-
sos para proteger consumidores e investidores. Dependendo do 
desenvolvimento da indústria de energia elétrica em cada país e 
em diferentes regiões de cada país, da ideologia predominante, 
dos	recursos	naturais	específicos	e	das	mudanças	tecnológicas,	
entre outros fatores, a indústria da energia elétrica adotou di-
ferentes formas de organização e de propriedade (público ou 
privado, nível municipal, estadual ou nacional).
A	despeito	da	diversidade,	desde	que	a	indústria	da	eletri-
cidade atingiu a maturidade e até recentemente, a regulação em 
todo o mundo foi uniformemente aplicada como se fosse um 
serviço público de fornecimento organizado em uma estrutura 
monopólica, com garantia de concessão para uma empresa elé-
trica típica e verticalmente integrada e preços regulados basea-
dos nos custos realizados para fornecer o serviço. Esse tipo de 
estrutura é chamado, como a abordagem tradicional. sob esse 
esquema, as relações entre as diferentes empresas elétricas fo-
ram geralmente caracterizadas como de cooperação voluntária 
em um número de áreas, como ligando a gestão da regulação 
da frequência ou a capacidade de reserva de operação, o inter-
câmbio	por	motivos	econômicos	ou	de	emergência,	e	o	uso	da	
rede de transmissão ou distribuição por terceiros sob termos 
negociados pelas diferentes partes envolvidas.
Essa uniformidade de regulação foi alterada em 1982, quan-
do o Chile fez uma abordagem inovadora, que separou as ativida-
des básicas envolvidas no fornecimento da energia elétrica. Sob 
118
2 Representação do sistema de transmissão
esse novo arranjo, a maioria das empresas foi privatizada, e foi 
criada uma organização competitiva (dentro de limites estritos) 
ou um mercado atacadista com despacho centralizado baseado 
em custos variáveis declarados. Todos os geradores foram pagos 
com o preço marginal do sistema, e contratos em longo prazo 
foram instituídos para compensar a volatilidade dos preços. O 
novo esquema também previu orientações para o planejamento 
da geração, em que o estado assume um papel meramente sub-
sidiário, quanto de livre acesso para a rede elétrica sujeito a um 
pagamento de pedágio de transmissão. Reformas semelhantes 
não foram introduzidas até 1990 quando a indústria elétrica foi 
transformada muito mais radicalmente na Inglaterra e País de 
Gales	e,	logo	em	seguida,	na	Argentina	(1991)	e	Noruega	(1991).	
Desde	então,	muitos	outros	países,	incluindo	Colômbia,	Suécia,	
Finlândia, Nova Zelândia, os estados australianos de Victória e 
Novo Gales do Sul (mais tarde dando origem ao mercado na-
cional	 australiano),	 América	 Central,	 Peru,	 Equador,	 Bolívia,	
El Salvador, muitos estados nos Estados Unidos e no Canadá, 
Holanda,	Alemanha,	 Itália,	Portugal	 e	Espanha,	 entre	outros,	
estabeleceram ou estão estabelecendo mecanismos de regulação 
da energia elétrica para um mercado livre. Certos elementos da 
livre competição foram introduzidos em contextos de regulação 
tradicionais por países da Europa Oriental, e países como Mé-
xico,	Malásia,	Filipinas,	Indonésia,	Tailândia,	Índia	e	Jamaica.
Novo ambiente regulatório
Motivação
A	mudança	de	 regulação	na	 indústria	de	energia	elétrica,	
que	 faz	 parte	 de	 uma	onda	de	 liberalização	 econômica	 e	 que	
afeta as empresas de transporte aéreo, de telecomunicações, de 
119
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
serviços bancários, de fornecimento de gás, e assim por diante, 
foi possível graças a uma variedade de fatores. Por outro lado, 
o desenvolvimento da capacidade de interconectar sistemas de 
energia elétrica levando a um incremento efetivo do tamanho do 
mercado potencial eliminou ou reduziu as possíveis economias 
de escala que se podem ter uma única unidade de produção. Por 
outro lado, a geração de tecnologias competitivas que podem ser 
construídas em curto tempo está, ao menos incialmente, abrin-
do os mercados recentemente criados a um número grande de 
novos operadores. Em alguns países, o fator determinante foi 
a	insatisfação	com	a	abordagem	tradicional	devido	a	suas	defi-
ciências mais comuns: excesso de intervenção governamental, 
confusão sobre o papel dual do estado como proprietário e re-
gulador,	ineficiência	na	gestão	técnica	e	financeira	devido	à	falta	
de competição ou falta de capacidade de investimento. Final-
mente, o avanço tecnológico em áreas, como medição, comuni-
cação e processamento da informação, abriu o caminho para o 
advento da competição no fornecimento da energia elétrica para 
os	consumidores	finais.
Fundamentos
A	 regulação	da	 indústria	 de	 energia	 elétrica	 está	 baseada	
em uma premissa fundamental: é possível ter um mercado ata-
cadista para a energia elétrica aberto para todos os geradores, 
para aqueles que já existem e para aqueles que, voluntariamente, 
entram	no	mercado,	e	para	todas	as	entidades	consumidoras.	A	
essência desse mercado atacadista é tipicamente um mercado 
spot para a eletricidade, com relação, ou como uma alternativa, 
aos diferentes tipos de contratos em médio e longo prazos, e 
ainda é estabelecido um mercado organizado para os derivados 
da eletricidade. Os agentes participantes nesse mercado são as 
120
2 Representação do sistema de transmissão
geradoras, os consumidores autorizados, e as diferentes catego-
rias de empresas fornecedoras, e atuam em nome de grupos de 
consumidores não autorizados, ou consumidores autorizados, 
ou simplesmente como estritamente intermediários. O novo 
contexto de regulação deve também abranger muitos outros te-
mas, como: a criação de um mercado atacadista possibilitando a 
todos os consumidores exercer o direito de escolha do fornece-
dor; os mecanismos e instituições necessárias para coordenar o 
mercado organizado e, especialmente, a operação técnica do sis-
tema; acesso à rede de transmissão e de distribuição, de expan-
são e de remuneração, assim como a qualidade do fornecimento 
e o estabelecimento de pedágios para o uso da transmissão; ou 
o projeto da transição de um mercado tradicional para um com-
petitivo, protegendo os legítimos interesses de consumidores e 
de empresas.
Requisitos
Neste ambiente, não se devem perder de visa as característi-
cas	tecnológicas	e	econômicas	da	indústria	de	energia	elétrica	que	
condicionam os dispositivos de regulação que devem governar:
•	 A	infraestrutura	necessária	para	a	geração,	transmissão	
e distribuição da energia elétrica é custosa, altamente 
especializada e demorada;
•	 A	energia	elétrica	é	essencial	para	os	consumidores,	
tornando a opinião pública altamente sensível às pos-
síveis saídas de serviços ou de fornecimento pobre 
em qualidade;
•	 A	energia	elétrica	não	é	economicamente	armazenável	
em grandes quantidades, e portanto, a produção deve 
ser adaptadainstantaneamente para a demanda;
121
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
•	 A	operação	real	de	um	sistema	elétrico	de	potência	é	o	re-
sultado de uma cadeia complexa de decisões ordenadas;
•	 O fornecimento de energia elétrica combina ativida-
des que claramente contêm os requisitos de um mo-
nopólio natural (os serviços de transmissão e de dis-
tribuição ou operação de um sistema) com outros que 
podem ser realizados em condições competitivas (ge-
ração e fornecimento).
•	 A	organização	e	a	estrutura	de	propriedade	das	empre-
sas de energia elétrica variam muito entre os diferentes 
sistemas de energia elétrica.
Deve ser levado em conta que o fornecimento da energia 
elétrica em um ambiente competitivo está sujeito à existência 
de certas atividades associadas essencialmente com a rede de 
transmissão e de distribuição, cujo controle envolve um poder 
absoluto sobre o mercado de energia elétrica. Consequentemen-
te, essas redes e as atividades a elas associadas devem ser abso-
luta e totalmente independentes das atividades competitivas, ou 
seja, a produção e o fornecimento. Por esse motivo, e quando 
a maioria dos processos de liberação foi introduzido, a indús-
tria foi dominada por empresas verticalmente integradas, isto 
é, empresas conduzindo todos os estágios desde o negócio da 
produção	até	o	faturamento	ao	consumidor	final;	a	organização	
industrial e a estrutura de propriedade quase sempre tiveram de 
ser mudadas antes de implementar o mecanismo de competição. 
Naturalmente, após essa reforma, deve-se dar atenção especial 
para questões, como a concentração horizontal de empresas de 
produção e de fornecimento e a integração vertical entre elas 
para garantir uma competição livre e leal.
122
2 Representação do sistema de transmissão
Atividades	de	natureza	elétrica
Uma avaliação cuidadosa do processo integral do forne-
cimento	da	 energia	 elétrica	para	os	usuários	finais	permite	 a	
identificação	de	várias	atividades	de	natureza	técnica	e	econô-
mica muito distintas e, portanto, capazes de receber um trata-
mento	de	regulação	diferente.	A	divisão	clássica	em	geração,	
transmissão e distribuição é excessivamente simples e também 
contém erros grosseiros, como a integração da atividade de dis-
tribuição em uma categoria simples. No mínimo, a distribuição 
inclui duas atividades de natureza claramente diferentes: por 
um lado, existe o serviço de distribuição que permite que a 
energia	elétrica	chegue	fisicamente	da	rede	de	transmissão	para	
os	 usuários	 finais	 e	 tem	 a	 forma	 de	monopólio	 natural;	 por	
outro lado, existe o serviço de marketing dessa energia que é 
adquirida a granel e depois retalhada e pode ser realizada em 
um cenário competitivo.
Com	a	primeira	classificação	geral,	as	atividades	devem	ser	
categorizadas em classes básicas: produção (geração e serviços 
ancilares), rede elétrica (transmissão e distribuição), transação 
(mercado atacadista, mercado varejista, balanço de mercado) e 
coordenação (operação do sistema e do mercado), e em algumas 
outras	classificações	complementares	tais	como	medição	ou	fa-
turamento. Essa discriminação pode ser considerada excessiva; 
entretanto, é necessária para iniciar em um nível de projeto com 
a pretensão de realizar uma análise adequada da estrutura de re-
gulação. Como exemplo, o planejamento da expansão da rede de 
transmissão é uma atividade que deve ser regulada de uma for-
ma ou de outra, dadas suas características de monopólio natural 
e	sua	influência	significativa	sobre	as	condições	de	operação	do	
mercado elétrico. Inversamente, uma vez que as características 
e o início de operação de uma nova linha são decididos, a cons-
123
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
trução pode ser atribuída por algum processo de concorrência 
onde exista competição em preço e em qualidade.
Separação de atividades
O número de atividades indicadas não necessariamente im-
plica uma correspondente multiplicidade de entidades para sua 
execução. Existe uma sinergia e custos de transação que tornam 
inconveniente em certos casos que uma empresa simples em-
preenda	 várias	 atividades.	Também	deve	 ser	 especificado,	 en-
tretanto,	que	os	conflitos	de	interesses	podem	aparecer	em	uma	
entidade que é responsável por mais de uma atividade, quando 
a	execução	de	uma	atividade	pode	beneficiar	a	entidade	perante	
outros agentes na execução da outra atividade que se encontra 
aberta à competição. Podem ser aplicados diferentes níveis de 
separação, mas é necessário ajustá-los para cada caso particular. 
Basicamente, essas atividades podem ser separadas em quatro 
tipos: contabilidade, gerenciamento, norma legal (isto é, diferen-
tes empresas que podem pertencer aos mesmos donos através de 
um truste) e propriedade.
A	regra	básica	na	separação	de	atividades	sob	a	nova	regu-
lação é que uma empresa simples não pode executar atividades 
reguladas (por exemplo, distribuição) e atividades competitivas 
(tais como geração) ao mesmo tempo. O apoio potencial a ser 
fornecido para uma atividade regulada para uma competitiva é 
para esta uma vantagem evidente, e tal vantagem, é legalmen-
te inaceitável. Igualmente, o risco da atividade competitiva não 
pode ser transferido para uma regulada, já que certamente vai 
recair sobre os consumidores, que não têm opção de escolha.
Uma transparência adequada na atividade regulada tam-
bém requer pelo menos a separação de contas entre as corres-
pondentes unidades de negócio. Empregas engajadas em ati-
124
2 Representação do sistema de transmissão
vidades reguladas não estão autorizadas a conduzir atividades 
diversificadas	(isto	é,	atividades	não	relacionadas	à	eletricidade),	
ou devem pelo menos estar autorizadas pela agência reguladora. 
Tal autorização deve estar inicialmente amparada na não exis-
tência de impacto negativo sobre os negócios regulados que po-
dem	ser	finalmente	repassados	para	os	consumidores,	que	não	
têm opção de escolha.
O projeto do novo marco regulador deve considerar os vá-
rios benefícios e inconvenientes quando se atribuem atividades a 
entidades e se ordena a separação por níveis, e também deve levar 
em	conta	as	características	específicas	do	sistema	atual,	particu-
larmente a estrutura inicial de negócios. Geralmente são possíveis 
várias alternativas, como mostram as diversas experiências sub-
metidas em países que adotaram o novo marco elétrico regulado.
Atividades	de	geração
As	atividades	de	geração	incluem	a	geração	elétrica	ordiná-
ria e especial. Geração elétrica especial é tipicamente entendida 
como as tecnologias de cogeração e de produção que usam fon-
tes renováveis e, normalmente, diferem das ordinárias, porque 
recebem um tratamento mais favorável como forma de compen-
sação, prioridade na operação, entre outras, como acontece em 
muitos países. Os chamados serviços ancilares ou complemen-
tares devem ser incluídos quando são fornecidos por geradores, 
e contribuem com um nível adequado de qualidade e de segu-
rança no fornecimento da energia elétrica.
A	geração	ordinária	é	uma	atividade	não	regulada	condu-
zida em condições de competição, sem restrições de entrada e 
com	acesso	livre	para	a	rede.	A	venda	da	produção	pode	acon-
tecer através de diferentes processos de transação, basicamente 
no mercado spot, ou, através de contratos, quando se trata de 
125
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
atividades	de	transação.	A	geração	especial,	do	ponto	de	vista	
de	regulação,	não	tem	outra	diferença	da	geração	ordinária.	A	
razão fundamental para ajudar a geração especial é seu impacto 
ambiental menor quando comparado com a geração ordinária. 
A	incapacidade	de	considerar	explicitamente	os	custos	ambien-
tais nos preços do mercado elétrico atual é compensada pelo uso 
de padrões de regulação diferentes de forma a nivelar todas as 
tecnologias de produção, e permite que elas possam competir 
em condições parecidas reconhecendo implícita ou explicita-
mente os custos totais efetivamente realizados.
As	seguintes	regras	são	incluídas	nos	esquemas	de	regula-
çãoatualmente em uso, ou são propostas para promover a gera-
ção especial da energia elétrica:
•	 Obrigação para as empresas que vendem ou distri-
buem energia para oferece-las a preços administrati-
vamente	fixados;
•	 Um	prêmio,	fixado	ou	atribuído	por	meio	de	mecanis-
mos competitivos, por kWh produzido com geradores 
que são elegíveis para esse efeito;
•	 Isenção de certas taxas, particularmente aquelas que 
são aplicadas na produção de energia;
•	 Ajuda	 com	 investimentos	 ou	 programas	 de	 P&D	
(pesquisa e desenvolvimento) relacionados a essas 
tecnologias;
•	 Cotas obrigatórias para a compra de energia do setor 
especial por operadores autorizados e consumidores, 
encorajando assim a criação de um mercado paralelo 
para a compra e venda dessa energia;
•	 Compra voluntária da energia renovável pelos usuários 
finais	que	pagam	uma	quantidade	extra	para	financiar	
a atividade de geração especial.
126
2 Representação do sistema de transmissão
Quando se escolhe uma abordagem adequada, enquanto 
evita a interferência com a operação do mercado tanto quanto 
seja	possível,	a	eficiência,	isto	é,	o	grau	de	cumprimento	da	meta	
versus o custo adicional incorrido, será basicamente valorizada.
Além	 da	 produção	 de	 energia,	 os	 grupos	 engajados	 na	
produção contribuem na provisão de outros serviços que são 
essenciais	 no	 fornecimento	 eficiente	 e	 seguro	 da	 eletricidade:	
eles fornecem reservas para operações futuras possibilitando-
lhes atuarem em diferentes escalas de tempo e enfrentando os 
inevitáveis desequilíbrios entre geração e demanda; eles ajudam 
a regular a tensão na rede elétrica para diferentes condições de 
operação, ou permitem a recuperação rápida do serviço quando 
acontece	uma	falha	geral.	A	tendência	atual	em	regulação	adi-
cional, globalmente chamado de serviços ancilares, é resumida 
em duas visões básicas: o uso, se possível, de uma abordagem de 
mercado para a alocação e compensação do referido serviço, ou, 
em caso contrário, a aplicação direta de regulação e a atribuição 
de encargos decorrentes dos custos incorridos pelos agentes que 
causaram a demanda.
Atividades	da	rede
O fornecimento de energia elétrica requer necessariamente 
o	uso	de	redes	que,	dadas	suas	características	técnicas	e	econô-
micas, devem ser administradas e reguladas como um mono-
pólio natural. Tal exigência é uma condição básica para a nova 
regulação do setor.
As	 atividades	 da	 rede	 incluem	 planejamento	 dos	 investi-
mentos, construção, planejamento da manutenção, manutenção 
propriamente dita e operação. O processo de investimento em 
planejamento determina a disponibilidade de dados, a localiza-
ção, a capacidade e outras características dos novos ativos da 
127
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
uma rede. O processo de planejamento da manutenção determi-
na os períodos de inatividade para cada linha para fazer reparos 
e	ações	necessárias	para	manter	as	linhas	operativas	e	confiáveis.	
A	construção	e	a	manutenção	são	atividades	que	pode	ser	rea-
lizadas por empresas especializadas, não necessariamente por 
empresas	 elétricas.	A	operação	da	 rede	 é	o	 gerenciamento	do	
fluxo	de	energia	dentro	da	rede	através	de	ações	executadas	dire-
tamente nas instalações físicas da transmissão e na coordenação 
com ações executadas nas instalações de produção e de consu-
mo.	As	redes	também	podem	participar	na	provisão	de	certos	
serviços ancilares, que usualmente são diretamente reguladas, 
tais como a regulação de tensão.
O planejamento da expansão e da manutenção para a rede 
de transmissão tem um impacto sobre a forma como as ativida-
des são coordenadas que, por sua vez, afetam o mercado elétri-
co. Consequentemente, a independência da entidade competen-
te responsável, ou seja, o operador do sistema, em relação aos 
agentes	do	mercado	deve	ser	preservada.	Além	disso,	ambas	as	
atividades de planejamento têm efeitos evidentes sobre o plane-
jamento da construção de redes e a manutenção a ser realizada 
pelas empresas de transmissão. Da mesma forma, não se pode 
negar que a sinergia entre as diferentes redes sugere que elas 
devem ser dirigidas por uma única empresa; portanto, existem 
importantes motivos de regulação para separar a operação do 
sistema de qualquer empresa transmissora.
Por outro lado, a rede de distribuição não tem interferên-
cia	na	coordenação	do	mercado.	Assim,	todas	as	atividades	da	
rede em uma área podem ser facilmente executadas pela mesma 
empresa, ou seja, pelo distribuidor local. Dentro do contexto 
de regulação analisado, existem duas outras diferenças entre a 
atividade de transmissão e a atividade de distribuição: a grande 
128
2 Representação do sistema de transmissão
maioria	dos	usuários	finais	estão	conectados	à	rede	de	distribui-
ção, que é a razão par a importância particular da qualidade de 
serviços e o grande número de empresas distribuidoras torna 
impossível o tratamento individual da regulação, particularmen-
te em relação ao pagamento, o que resulta no uso global de pro-
cedimentos	simplificados.	A	nova	regulação	das	redes	elétricas	
pode ser reduzida a três aspectos principais: acesso, investimen-
to e preço.
Transmissão
Acesso:	os	sistemas	que	participam	na	nova	regulação	de-
vem ter acesso implícito à rede de transmissão e todos os agen-
tes	 autorizados	 a	 tomar	parte	no	mercado	atacadista.	A	capa-
cidade da rede obviamente impõe limites físicos para o acesso 
e existem várias restrições de procedimento de gerenciamento 
para	 resolver	os	potenciais	conflitos	que	podem	aparecer.	Es-
ses procedimentos vão desde a aplicação dos preços nodais ou 
zonas de preços em um mercado atacadista organizado (assim, 
implicitamente resolvem as restrições da rede) aos leilões reali-
zados para atribuir uma capacidade limitada entre os diferen-
tes	agentes.	Servem	ainda	para	modificar	o	despacho	feito	pelo	
operador do sistema de acordo com as regras estabelecidas e, até 
mesmo, para a atribuição prévia de direitos de uso de longo pra-
zo da rede, seja através de leilões, seja baseado em participação 
na construção da linha.
Investimento: o propósito da nova regulação a nível de 
projeto é obter uma rede que maximize os benefícios adicionais 
para consumidores e produtores, que são os que devem arcar 
com	os	custos	da	rede.	Certos	critérios	de	confiabilidade	explí-
citos geralmente são usados no planejamento da rede em vez de 
incluir todos eles nas funções de economia a serem otimizadas.
129
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
A	 abordagem	 usada,	 principalmente,	 é	 o	 planejamento	
centralizado, atribuída a uma entidade especializada, sujeita a 
critérios de seleção preestabelecidos, em relação às melhores al-
ternativas,	e	sempre	sob	uma	concordância	administrativa	final	
para cada empresa. Tradicionalmente, tal entidade é uma em-
presa verticalmente integrada, que é o operador do sistema sob 
a	nova	regulação.	O	pagamento	da	rede,	fixado	pelo	regulador	
ou para certas instalações, é determinado diretamente em um 
processo de licitação para a construção e a manutenção. Tal pro-
cedimento pode ser aberto para a participação e propostas das 
partes interessadas, com a intervenção do regulador para evitar 
a possibilidade de sobre investimento. Essa abordagem pode ter 
uma	dificuldade	em	um	ambiente	liberalizado,	visto	que,	é	mui-
to difícil prever o desenvolvimento futuro da geração de energia 
elétrica que pode ser também afetado pela expansão da rede.
A	segunda	abordagem	faz	de	uma	única	empresa	de	trans-
missão a única responsável pela operação e pelo planejamento 
da rede. Neste caso, a empresa pode também ser operadora do 
sistema, que deve: 
•	 Informar os usuários da previsão do congestionamento 
ou da capacidade remanescente da rede nas diferentes 
barras de acesso dentro de um limite de tempo razoável;
•	 Assegurar	que	a	 rede	cumpra	com	certos	padrões	de	
projeto e de serviço formalmente preestabelecidos;
•	 Assumir	a	expansão	das	instalações	da	rede,	se	neces-
sário, para atender a pedidos de acesso, desde que os 
padrõesde qualidade sejam preservados.
O	pagamento	da	transmissão	deve	ser	prefixado	pelo	regu-
lador	e	deve	cobrir	os	custos	de	uma	companhia	eficiente	que	
fornece o serviço dentro de condições estabelecidas. Esse méto-
do não garante uma expansão ótima da rede.
130
2 Representação do sistema de transmissão
A	terceira	abordagem	é	deixar	a	 iniciativa	de	 reforços	da	
rede para usuários reais, que podem ponderar a contribuição 
para os custos de investimento exigidos deles em relação aos 
benefícios decorrentes de cada possível reforço proposto e, se a 
avaliação for positiva, pode abrir um processo de licitação para a 
execução	de	sua	construção	e	manutenção.	A	empresa	de	trans-
missão ganhadora é compensada de acordo com os termos da 
licitação, deixando a operação da instalação para o operador do 
sistema. Esse procedimento é como uma orientação de mercado 
permitido pela regulação da rede; entretanto, sua administra-
ção é complexa e baseia-se, principalmente, na disponibilidade 
adequada de preços de rede para promover uma demarcação 
adequada de seus agentes.
Preços: como as atividades de transmissão na rede estão 
reguladas, os preços aplicados neste campo devem permitir 
fundos	suficientes	para	cobrir	o	custo	integral	(critério	de	equi-
dade ou viabilidade). É também fundamental que os agentes re-
cebam	sinais	econômicos	adequados	(critério	de	eficiência)	em	
relação a sua localização dentro da rede, no curto prazo, para 
uma correta operação do mercado, considerando as perdas e 
possíveis congestionamentos e, no longo prazo, incentivando 
uma adequada localização de futuros agentes produtores e con-
sumidores. Os preços não podem ser discriminatórios. Quatro 
conceitos de preços são frequentemente mencionados sob o tí-
tulo de preços na rede de transmissão que precisam ser dife-
renciados e tratados corretamente: custos de infraestrutura da 
rede,	 perdas	 ôhmicas,	 congestionamento	 e	 serviços	 ancilares.	
Os únicos custos da rede relevantes são os custos de investi-
mentos em expansão e os custos de manutenção das instala-
ções, e, na prática, nenhum deles está relacionado com o uso 
dos	ativos	da	transmissão	elétrica.	As	perdas	acontecem	na	rede,	
131
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
mas elas são atualmente repassadas aos custos de produção; o 
mesmo acontece com o excedente de custos de reprogramação 
que podem aparecer devido ao congestionamento ou a outras 
restrições relacionadas com a rede. Os serviços ancilares são, 
principalmente, uma atividade de geração e, como tal, devem 
ser regulados.
As	perdas	e	o	congestionamento	na	 rede	originam	os	si-
nais	econômicos	que	devem	ser	vistos	em	qualquer	tempo	como	
modificações	do	preço	do	mercado.	Assim,	o	único	preço	do	
mercado torna-se um preço nodal, isto é, um preço diferente 
em cada barra da rede que transmite adequadamente o impacto 
econômico	das	diferentes	localizações	dos	geradores	e	dos	con-
sumidores. Se o uso de um preço de mercado único é preferido, 
isso	não	deve	conduzir	a	uma	dispensa	dos	sinais	econômicos	de	
perdas	e	de	restrições.	As	perdas	são	imputáveis	para	cada	agen-
te, na forma de valor marginal ou de valor médio, que podem ter 
um efeito corretor nos preços de fornecimento, ou, preferivel-
mente, sobre a quantidade atual produzida ou gerada, de forma 
que os agentes possam absorver as perdas de seus fornecedores 
no mercado atacadista.
O uso de preços nodais, em lugar de um único preço de 
mercado origina um excedente que pode ser usado para cobrir 
uma parcela dos custos da rede, em geral não mais de 20%. Em 
qualquer caso, se um único preço de mercado ou preços nodais 
são aplicados, a questão de atribuir tudo ou a maior parcela dos 
custos da rede de transmissão para os usuários tem que ser re-
solvida. Vários métodos foram usados ou propostos para reali-
zar essa distribuição. O mais popular, especialmente em países 
onde existem redes muito bem desenvolvidas e distâncias não 
muito grandes entre a geração e a demanda, é simplesmente o 
método selo postal, que consiste em cobrar de forma unifor-
132
2 Representação do sistema de transmissão
me por kWh que é injetado ou retirado da rede, ou por kWh 
instalado, independentemente da localização na rede. Quando 
a localização de reforços em curto prazo indica uma melhoria 
da rede em relação às perdas e restrições, devem-se implemen-
tar procedimentos que levam em conta o uso elétrico da rede 
feito	pelos	 agentes	da	 rede,	ou	os	benefícios	 econômicos	que	
cada usuário dela recebe, ou, também, a responsabilidade de 
cada agente no desenvolvimento da rede existente. No contexto 
de vários sistemas interconectados, com esquemas de regula-
ção elétrica geralmente diferentes que permitam as transações 
entre seus respectivos agentes, um erro básico de regulação 
deve ser evitado: quando se determina o pedágio da rede para 
dois agentes envolvidos na transação, que estão localizados em 
sistemas diferentes. Nos Estados Unidos, esse erro é chamado 
pancaking	e	significa	que	são	aplicados	encargos	para	a	transação	
além dos encargos de pedágio pelas redes elétricas que devem 
ser usadas na execução da transação. Deve ser observado que, 
nesta situação, a quantidade do pedágio depende criticamente 
da estrutura territorial, das empresas elétricas, ou países, que 
têm pouco a ver com os custos reais impostos por tal transação 
sobre a rede elétrica do grupo de sistemas. Fracassando o nível 
de coordenação requerido para estabelecer um único pedágio 
regional para cobrir o custo global da rede, uma abordagem 
razoável e simples de aplicar pode ser que cada agente pague 
somente os encargos da rede correspondente à infraestrutura 
de rede de seu próprio país, como um direito único de conexão 
para a rede regional, com um encargo separado para as perdas e 
as restrições consideradas em conjunto. Procedimentos coorde-
nados podem também ser estabelecidos para atribuir os custos 
de perdas e de gerenciamento das restrições que afetam as tran-
sações internacionais. 
133
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Atividades	ancilares
Geralmente é o operador do mercado quem estabelece as 
transações	econômicas	realizadas	nos	diferentes	mercados	que	
controla. O operador pode também ser responsável pela liqui-
dação de outras transações e conceitos relacionados ao merca-
do atacadista, tais como os serviços ancilares, perdas, restrições 
técnicas,	 saldos	 dos	 desvios	 finais	 e,	 também,	 em	 alguns	 sis-
temas,	os	acordos	bilaterais	entre	os	agentes.	A	liquidação	das	
atividades reguladas, como, por exemplo, a transmissão, a distri-
buição e outras questões, como assistência à geração especial, é 
geralmente	confiada	à	gestão	central	ou	a	uma	entidade	especia-
lizada e independente, encarregada dessa atividade.
Tradicionalmente, a medida do consumo e o correspon-
dente faturamento faziam parte integrante da atividade de co-
mercialização, porque formavam um conjunto inseparável com 
a distribuição. Sob a nova regulação, é possível que essas ativi-
dades sejam realizadas de forma independente por empresas es-
pecializadas que competem pelo fornecimento desses serviços. 
Isso também acontece com as instalações para conexão de usu-
ários	finais,	uma	atividade	que	é	considerada	parte	da	distribui-
ção, mas que pode ser, e isso frequentemente acontece, realizada 
por competição de instaladores independentes. É possível que, 
no	futuro,	outras	atividades	sejam	identificadas,	que	logicamen-
te possam ser executadas de forma separada, ou novas ativida-
des possam aparecer, por exemplo, dentro da competência da 
filosofia	 reavivada	de	multiatividade,	 em	que	 as	 empresas	 co-
merciais oferecem outros serviços além de eletricidade.
O modelo de despacho baseados em 
fluxo de potência – operação ótima e 
segura do sistema de transmissão.
UNIDADE • 03
O MODELO DE DESPACHO BASEADOS EM 
FLUXO DE POTÊNCIA – OPERAÇÃO ÓTIMA E 
SEGURA DO SISTEMA DE TRANSMISSÃO.
Nos estágios iniciais dos estudos de engenharia elétrica, os 
sistemas de potência eram formados por geradoresisolados que 
forneciam energia a um número reduzido de cargas locais. Essas 
configurações, relativamente fáceis de controlar e supervisionar, 
deram lugar aos sistemas de potência atuais, constituídos de múl-
tiplos geradores e carga, conectados a uma rede de transmissão de 
alta tensão. Consequentemente, devido a sua topologia malhada 
e pela multiplicidade dos equipamentos, o planejamento e a ope-
ração dos sistemas de potência se tornaram muito complexos.
O crescimento da complexidade dos sistemas de potência, 
com uma clara tendência ao incremento das interconexões com 
sistemas adjacentes, é devido, principalmente, à importância da 
diminuição dos custos da eletricidade e à melhoria da confiabili-
dade no seu fornecimento. Além disso, a progressiva liberaliza-
ção das restrições realça a participação em diferentes atividades 
para facilitar a competição no mercado elétrico, e, com isso, adi-
ciona maior complexidade na operação dos sistemas de potência.
Como resultado, nos dias atuais, é obrigatório projetar um 
gerenciamento adequado dos sistemas de energia (SEM – Ener-
gy Management Systems) onde são coletadas as informações 
disponíveis e são levadas a cabo as tarefas tais como a supervi-
são e o controle. Por esse motivo, é também necessário pessoal 
qualificado em planejamento e operação para assegurar o forne-
cimento da energia elétrica.
Este capítulo apresenta os conceitos inerentes, as atividades 
e as ferramentas para a operação de sistemas de potência no 
138
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
moderno contexto do SEM. Deve ser dada especial atenção a 
ferramentas matemáticas e computacionais para formulação e 
solução de problemas de redes de transmissão e sua otimização.
Inicialmente, é apresentada uma classificação do estado do 
sistema de potência, como uma função do grau de segurança, 
para identificar as diferentes atividades envolvidas na operação 
do sistema. Na sequência, são apresentadas as técnicas de análi-
se de contingências para determinar o grau de segurança do sis-
tema de potência, constituindo a base de muitos estudos sobre 
planejamento ou operação em tempo real.
Posteriormente, é apresentada uma breve introdução do 
problema de fluxo de potência ótimo, com diferentes exemplos 
de problemas de operação formulados como problemas de oti-
mização com restrições.
Finalmente são apresentadas e discutidas algumas questões 
chaves de sistemas de potência relacionadas com a rede de trans-
missão com acesso aberto.
Os estados de um sistema de potência
Focado na operação de sistemas de potência, o objetivo do 
controle em tempo real é basicamente manter as grandezas elé-
tricas dentro de limites predeterminados. Essas grandezas são 
principalmente as tensões nas barras e os fluxos de potência. 
O processo envolve a correção ou o ajuste dos efeitos da va-
riação da demanda e a consequência de eventos possíveis, mas 
não previstos. Em consequência, para o operador responsável 
pelo sistema, a segurança do sistema pode ser quantificada em 
termos de sua capacidade em permanecer em um estado factí-
vel, sem violar nenhum dos limites operacionais especificados. 
Em outras palavras, a capacidade de manter o estado desejado 
139
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
na presença de mudanças esperadas (variação da geração e da 
demanda) e eventos não previstos e chamados contingências.
A correta compreensão do papel desempenhado pelas di-
ferentes atividades envolvidas na operação de um sistema de 
potência exige a classificação dos possíveis estados do sistema 
como uma função do grau de segurança. Esta classificação está 
baseada na proposta de DyLiacco. Usando essa proposta como 
ponto de partida, define-se os estados do sistema de acordo com 
a figura 3.1.
Figura 3.1: Estados de operação de um sistema de potência.
O sistema de potência está em estado normal quando se 
encontram atendidas a demanda e todas as restrições operacio-
nais, isto é, quando os geradores, assim como os equipamentos 
restantes, trabalham dentro de limites desejáveis.
Se não existe violação de limites, mas o critério de seguran-
ça acordado não está sendo cumprido, então se diz que a rede 
está em estado de alerta.
Se o sistema entra em um estado de emergência, definido 
como o estado em que aparecem algumas variáveis com os limi-
tes operacionais violados devido a uma variação inesperada da 
demanda, ou devido a uma contingência, então devem ser toma-
das ações corretivas para eliminar todas as violações dos limites 
140
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
e trazer o sistema de volta ao estado normal (controle corretivo). 
Em certas circunstâncias, é necessária a atuação de dispositivos 
de proteção ou a intervenção do operador para evitar maiores 
problemas (corte de carga) produzindo a interrupção do servi-
ço aos consumidores. Nesse novo estado, os operadores devem 
procurar restaurar o serviço interrompido (estado restaurativo).
O objetivo que guia as ações do operador depende do es-
tado do sistema. Por exemplo, se o sistema completo sofreu um 
blecaute, os operadores da rede de transmissão não devem ten-
tar restabelecer o sistema interrompido. Esse objetivo afeta não 
somente as ações de controle disponíveis, mas também a fase de 
concepção dos sistemas de geração, transmissão e distribuição 
para assegurar que as condições de operação sejam retomadas 
em um tempo razoável.
O objetivo do controle corretivo é a restauração do sistema 
para o estado normal, seguro ou inseguro, com prioridade ab-
soluta, já que em estado de emergência, as considerações econô-
micas são secundárias. Uma vez que as variáveis se encontram 
novamente dentro de seus limites, o objetivo é basicamente eco-
nômico: minimização dos custos de produção e da distribuição 
da geração total entre as unidades de geração mais econômicas. 
Se a segurança do sistema é considerada prioritária, o controle 
preventivo entre em cena para levar o sistema para um esta-
do seguro. A decisão de realizar ações de controle preventivo é 
sempre tratada como um compromisso entre economia e segu-
rança, objetivos que geralmente são conflitantes.
Portanto, a existência de prioridades deve guiar as ações 
de controle no sistema. Principalmente impostas pelo estado do 
sistema, as prioridades podem ser contraditórias, como acontece 
quando são necessárias ações de controle preventivo para ga-
rantir a segurança do sistema enquanto se move o sistema para 
141
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
longe do ponto de operação do estado ótimo em termos dos 
custos de produção.
Finalmente, deve ser enfatizada a importância dos sistemas 
de controle e supervisão (SCADA), junto com as ferramentas 
como estimadores de estado, para acompanhar a evolução das 
diferentes grandezas elétricas. 
O exemplo 3.1 ilustra um caso dos estados do sistema de 
potência.
Avaliação da segurança: análise de 
contingências
A avaliação do grau de segurança de um sistema de po-
tência é um problema crucial para o planejamento e a operação 
diária. Sem levar em conta aspectos dinâmicos, a segurança de 
um sistema de potência deve ser interpretada como a segurança 
contra uma série de contingências previamente definidas; por-
tanto, o conceito de segurança e sua quantificação estão con-
dicionados. Nesse sentido, um critério comum é considerar as 
seguintes contingências:
• Uma contingência simples de qualquer elemento de 
qualquer elemento do sistema (gerador, linha de trans-
missão, transformador ou reator) conhecido como cri-
tério de segurança N – 1;
• Saída simultânea de linhas de circuito duplo que par-
tilhem torres em uma parte significativa do percurso 
da linha;
• Em situações especiais, a saída do gerador de maior 
capacidade em uma área e a saída de algumas linhas de 
interconexão com o resto do sistema.
142
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Em estudos de planejamento, que são mais exigentes com 
relação à segurança que a própria operação, é considerada saída 
simultânea dedos elementos do sistema (critério N – 2). Além 
disso, a análise de confiabilidade do sistema, comumente usada 
em estudos de planejamento, está baseada em análise detalhada 
considerando saída simples ou simultânea de múltiplos circui-
tos, fazendo uso das probabilidades de ocorrência de falha e dos 
tempos de reparos.
Consequentemente a avaliação da segurança, mais conhe-
cida como análise de contingências, basicamente consistem em 
múltiplos estudos em que é determinado o estado da rede após a 
saída de um ou de múltiplos elementos. A análise de contingên-
cias implica, na verdade, realizar um cálculo completo de fluxo 
de carga para cada contingência selecionada. A questão é como 
selecionar as contingências para uma análise detalhada, de forma 
que nenhuma das contingências problemáticas seja deixada sem 
análise; também deve ser levada em conta a velocidade requerida 
para responder, de forma adequada, às exigências da operação 
em tempo real. As técnicas correntes para análise de contin-
gências sempre incluem uma seleção prévia dessas contingên-
cias, baseadas em modelos aproximados. Então, as contingên-
cias consideradas problemáticas são analisadas detalhadamente 
usando um algoritmo de fluxo de carga, geralmente um fluxo de 
carga desacoplado rápido devido à sua velocidade de resposta.
Os primeiros algoritmos para a seleção de contingência, 
ainda em uso regular, estão baseados na classificação das con-
tingências de acordo com uma ordem decrescente de severidade. 
Essa classificação é realizada usando um índice de ordenamento 
que trata de avaliar de forma aproximada o nível de carrega-
mento nas linhas e nos transformadores após uma contingência 
escolhida. Essas técnicas fazem uso de fatores de distribuição, 
143
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
isto é, fatores lineares que representam a mudança unitária do 
fluxo de potência em cada linha de transmissão ou transforma-
dor após a saída de um gerador ou de um circuito. Para calcular, 
de forma aproximada, o fluxo de potência ativa em cada ramo, 
após uma contingência especificada, é suficiente multiplicar o 
correspondente fator de distribuição pela potência do gerador 
perdido ou pelo fluxo perdido no ramo antes da contingência. 
Alguns autores propuseram o uso de fatores de distribui-
ção para detectar problemas de tensão anormal. Contudo, a 
característica fortemente não linear do problema, que relacio-
na tensões e potência reativa, permite questionar os resulta-
dos obtidos usando essa técnica. Esse fato, além de mascarar 
problemas inerentes ao uso de índices de ordenamento, justi-
fica o desenvolvimento de um segundo grupo de técnicas para 
detectar contingências problemáticas, conhecidas como filtra-
gem de contingência. As técnicas de filtragem de contingência 
encontram o estado aproximado do sistema de potência após 
uma contingência usando apenas um ou duas iterações de um 
algoritmo de fluxo de carga que é inicializado a partir do estado 
de pré-contingência, seguido de uma verificação dos ramos que 
estão sobrecarregados e das tensões fora de seus limites. Caso 
sejam verificados problemas, então encontra-se o estado pós-
contingência exato para confirmar as suspeitas. 
Análise de contingências baseada em fatores de 
distribuição
Em redes de transmissão, é possível usar um modelo linear 
aproximado que considera somente fluxos de potência ativa, o 
fluxo de carga CC. O fluxo de carga CC fornece uma relação 
linear entre a injeção de potência ativa e os ângulos de fase das 
tensões nas barras,
144
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Pi = θ θ θ
∑ = ∑ ≈ −
∑P VV
x
sen
x
jj
i j
ij
j ij
i j
ij
j (3.1)
onde xij é a reatância do ramo entre as barras i e j.
A equação anterior pode ser escrita na forma matricial 
como P = B θ. Então, os ângulos de fase podem ser removidos 
para obter uma relação linear entre os fluxos de potência, P1, e 
as potências injetadas nas barras P,
 
 
P X A B P = S Pf
-1 T -1
f
θ
θ
=
=  
=





=  
−
A X P
P X A
P A P
T
f
f
T
f
1 (3.2)
onde A é a matriz de incidência ramo-nó reduzida (reti-
rando a barra de folga), X é matriz de reatância diagonal dos 
elementos dos ramos, e Sf é a matriz de sensibilidade entre flu-
xos de potência dos ramos e as potências injetadas. Como se 
está analisando um sistema linear, o princípio de superposição 
pode ser aplicado, e, consequentemente, os fluxos de potência, 
após uma mudança nas potências injetadas, podem ser calcula-
dos como:
P S P+ P S P S Pf f f f f[ ]= = + =Pf
0 (3.3)
Os fatores de distribuição da injeção são definidos como o 
incremento do fluxo em um dado elemento (linha ou transfor-
mador), localizado entre as barras, m e n, após um incremento 
unitário da potência injetada na barra i:
Smniρ θ θ= = − =P
P x
mn
i mn
i
i
m n
mn
 (3.4)
Ressalta-se que os fatores de distribuição dependem somen-
te da topologia da rede; consequentemente, eles podem ser cal-
culados off-line usando técnicas de solução de matrizes esparsas.
145
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
O incremento de fluxo em um elemento de ramo, ∆Pmn, 
após a saída de um gerador na barra i, pode ser encontrado da 
seguinte forma:
Se a geração perdida é assumida pela barra de folga
P Pmn iρ= mx
i (3.5)
onde Pi = −PGi
0 , isto é, a geração de potência ativa antes 
da contingência.
Se a geração perdida é compartilhada entre os geradores 
restantes para modelar a resposta do controle automático de ge-
ração (CAG), os fatores de partilha γ j
i
 devem ser usados
P P P P mn i i iρ ρ γ ρ ρ γ( )= − ∑ = − ∑≠ ≠mn
i
mx
i
j i j
i
m
i
mx
i
j i j
i (3.6)
com γ∑ =≠ 1j
i
j i
No caso de contingências devido à saída de uma linha ou 
transformador, os fluxos pós-contingências podem ser encon-
trados usando o teorema da compensação para sistemas lineares, 
como descrito na figura 3.2. Dessa forma, as mudanças de fluxo 
pela saída de um ramo entre as barras i e j, transportando um 
fluxo de potência ativa Pij
0
 antes da saída, são encontradas como
Figura 3.2: Aplicando o teorema de compensação para a saída de um ramo.
Pi= + +P P Sf f f
0 ' (3.7)
onde a matriz S f
'
 é encontrada modificando o modelo ori-
ginal para eliminar a saída do ramo ij.
146
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
X (A ) B' ' -1 '= − −S ( ) ( )f
' 1 1 (3.8)
e ∆Pi contém apenas Pij
0
 na barra i e - Pij
0
 na barra j,
∆Pf = S f
'
 ∆Pi (3.9)
 0
 
= −




P P P0i
T
ij
i
ij
j
0 0
 (3.10)
Consequentemente, o fator de distribuição, correspondente 
ao elemento de ramo localizado entre as barras m e n, é encon-
trado da seguinte forma:
ρ = = −P
P
S Smn
ij mn
ij
ij
mn i mn j0 ,
'
,
'
 (3.11)
Uma alternativa ao uso do teorema da compensação para 
encontrar os fatores de distribuição está baseada no modelo de 
saída do ramo, usando duas injeções fictícias em ambas as extre-
midades do ramo. Esta técnica permite evitar a refatoração da 
matriz B para encontrar Sf
'
. As injeções fictícias devem coinci-
dir com o fluxo de potência após a saída (figura 3.3):
Figura 3.3: Modelagem de saída de um ramo usando injeções fictícias.
P P Pi j ij= + + = + −P P S S P S S( )ij ij ij i ij j ij ij i ij j
0
, ,
0
, , (3.12)
A equação anterior produz
147
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
P Pi j= − =
− +
P
S S1
ij
ij i ij j
0
, ,
 (3.13)
Então, o fluxo através do ramo mn, após a saída do ramo ij, 
é encontrado por:
Pmn = S P S P S - S Pmn,i i mn,j i mn,j mn,j ij+ + = +P P ( )mn mn
0 0 (3.14)
e o correspondente fator de distribuição, ρmn
ij
' ,
ρ = = −
− +
P
P
S S
S S1
mn
ij mn
ij
ij
mn i mn j
ij i ij j
0
, ,
, ,
 (3.15)
De forma semelhante, podem ser encontrados fatores de 
distribuição para contingências múltiplas, resolvendo um sis-
tema linear de equações para calcular as injeções fictícias nos 
extremos dos ramos sob contingência, levando em conta as in-
terações entre as saídas dos ramos.
Obviamente, ambos os métodos são equivalentese forne-
cem fatores de distribuição idênticos.
Um método comumente usado para detectar contingências 
críticas está baseado na determinação de um ordenamento de 
contingências em ordem decrescente de severidade. Um índice 
de ordenamento é usado para quantificar o nível de carregamen-
to do sistema após uma contingência dada, por exemplo
RI =




∑ =b
P
P
1 f k
f k
máxk
b
1 (3.16)
onde Pfk é o fluxo de ramo do elemento k, de um total 
de b linhas e transformadores, encontrado, aproximadamente, 
usando fatores de distribuição. Neste caso, o índice de ordena-
mento é apenas a taxa média de linhas e de transformadores.
Na prática, foram propostos vários índices de ordenamen-
to, incluindo fatores de ponderação para dar maior importância 
aos elementos relevantes.
148
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Uma vez encontrados os índices de ordenamento para to-
das as possíveis contingências, elas são classificadas em ordem 
decrescente. Dessa forma, a análise começa a priori com a con-
tingência mais crítica, descendo na lista até que uma contingên-
cia não problemática seja encontrada (figura 3.4).
Figura 3.4: Análise de contingências baseada no índice de ordenamento.
Os principais inconvenientes do método baseado no índi-
ce de ordenamento são os erros inerentes aos fatores de distri-
buição e a possibilidade do mascaramento de uma contingência 
problemática, como resultado da condensação das taxas de car-
regamento de todos os elementos do tipo ramo em apenas um 
valor, isto é, a técnica de ordenamento poderia dar prioridade a 
uma contingência que resulta em sobrecargas ligeiras em vários 
149
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
elementos em vez de uma contingência crítica em termos da 
magnitude da sobrecarga.
Análise de contingências baseada em fluxo de 
carga
Como discutido antes, o uso de fatores de distribuição for-
nece uma precisão razoável para análise de sobrecargas após 
uma contingência. Contudo, os fatores de distribuição não po-
dem ser usados para análise de tensão anormal a qual pode apa-
recer após uma contingência, devido a uma forte não linearida-
de do problema de tensão.
Uma técnica comum para detectar problemas de tensão 
pós-contingência é usar o programa de fluxo de carga desa-
coplado rápido, devido à sua velocidade de resposta para en-
contrar, aproximadamente, o estado de pós-contingência. As 
tensões complexas pré-contingência são usadas para inicializar 
a solução do fluxo de carga, e somente uma iteração completa 
é executada.
O método é baseado na verificação de sobrecargas e de 
problemas e de problemas de tensão no estado aproximado 
obtido após a primeira iteração do problema de fluxo de car-
ga. Caso sejam detectados problemas, o algoritmo iterativo 
continua até a convergência, verificando a existência de so-
brecargas ou violações de limites de tensão no estado exato 
pós-contingência.
As técnicas de filtragem de contingência, baseadas no fluxo 
de carga desacoplado (figura 3.5), são usualmente chamadas al-
goritmos 1P – 1Q, devido à solução sequencial das equações de 
potência ativa e reativa.
150
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Figura 3.5: Contingência de barreira usando o fluxo de carga desacoplado rápido.
Obviamente, a principal vantagem das técnicas de barreira 
em relação às técnicas de ordenamento está no fato de que todas 
as contingências são analisadas, mesmo que aproximadamen-
te, sem fazer nenhuma seleção prévia. Contudo, podem apare-
cer erros de identificação, já que os fluxos e tensões são valores 
aproximados, encontrados após somente uma iteração do algo-
ritmo de fluxo de carga.
Várias técnicas foram propostas baseadas no cálculo de 
apenas um subconjunto de variáveis par cada contingência. As 
técnicas de fronteira podem ser incorporadas não somete para 
ordenamento de contingências, mas também no algoritmo de 
fluxo de carga para analisar as contingências críticas.
151
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Fluxo de potência ótimo
Historicamente, os primeiros esforços de otimização em 
sistemas de potência surgem no despacho da geração, o clássico 
despacho econômico (DE). Isto é, como distribuir a demanda 
total entre as unidades de geração para minimizar o seu cus-
to de fornecimento. Logo, claramente aparece a necessidade de 
incluir as perdas da transmissão no objetivo econômico, assim 
como as restrições nos fluxos de potência.
A introdução das técnicas de matrizes esparsas e novos al-
goritmos de programação matemática tornou possível resolver 
problemas de otimização de sistemas de potência cada vez mais 
complexos. Essa evolução resultou no fluxo de potência ótimo 
(FPO), nos dias atuais uma ferramenta comumente usada nos 
centros de gerenciamento em energia, uma ferramenta que per-
mite otimizar diferentes funções objetivos sujeitas às restrições 
de igualdade do fluxo de carga e aos limites operacionais impos-
tos através das grandezas elétricas.
O FPO se tornou uma ferramenta essencial para a opera-
ção e o planejamento dos sistemas de potência. Na operação, 
o FPO permite determinar as ações de controle ótimas consi-
derando todas as restrições operacionais. No planejamento, o 
FPO é usado para determinar os cenários ótimos na evolução 
futura dos sistemas de potência.
As primeiras versões do FPO foram desenvolvidas no início 
da década de 1960, como uma consequência da introdução de 
novas técnicas de programação não linear. Desde então, as novas 
versões do FPO seguiram a evolução das técnicas da programa-
ção matemática, com algumas variantes devido às particularida-
des do problema FPO. A grande variedade de técnicas de otimi-
zação aplicada, que vão desde os métodos do gradiente reduzido 
generalizado, de Newton, programação matemática sequencial, 
152
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
programação linear sucessiva e, mais recentemente, os métodos 
de pontos interiores. A grande maioria de programas de FPO, 
atualmente comercializados, usa uma das quatro últimas técnicas.
Formulação do problema FPO
O problema FPO pode ser formulado como
Minimizaru, x f (x, u)
sujeito a
h(x, u) = 0 (3.17)
g(x, u) ≥ 0
onde u é o conjunto de variáveis de decisão, x é o conjunto 
de variáveis dependentes, f é a função objetivo escalar, h é o 
conjunto de equações de rede, e g é o conjunto de restrições 
operacionais.
Na prática, a formulação anterior não é fácil de obter, já 
que vários aspectos podem ser considerados atributos desejá-
veis do estado ótimo de um sistema de potência. Obviamente, 
o primeiro objetivo da operação desse sistema é eliminar possí-
veis violações de limites. Além disso, o sistema de potência deve 
permanecer no estado normal, mesmo se acontecer alguma 
contingência. Contudo, enquanto alguns sistemas elétricos são 
operados de forma mais econômica, impondo apenas restrições 
operacionais sobre o estado atual da rede (o caso base), alguns 
outros são operados de forma preventiva, e, portanto, o FPO 
deve incluir as restrições operacionais sobre o caso base e sobre 
um conjunto de cenários de pós-contingências selecionadas, as 
quais levam a um problema mais complexo, chamo de fluxo de 
potência ótimo com restrições de segurança (FPORS).
Além disso, as seguintes observações são pertinentes:
153
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
• Função objetivo: como é necessário formular o obje-
tivo do modelo de otimização do sistema de potência 
como uma função matemática, uma técnica comum é 
mudar a função objetivo de acordo com o estado do 
sistema de potência. Dessa forma:
• Em estado de emergência, o objetivo é determinar o 
número mínimo de ações de controle para trazer o 
sistema ao estado normal, seja seguro ou inseguro, o 
mais rapidamente possível. Se o sistema não pode ser 
retornado ao estado normal, então a função objetivo 
deve ser modificada para minimizar a magnitude da 
violação das restrições operacionais.
• Em estado normal:
• Se o sistema está inseguro (estado de alerta), 
o objetivo deve serlevar o sistema ao estado 
seguro com o mínimo de incremento possível 
no custo de produção.
• Se o sistema está seguro, o objetivo deve ser 
minimizar os custos de produção, despachan-
do a demanda entre os geradores de forma óti-
ma. Se o despacho da geração for previamente 
programado, então é possível acionar as fontes 
de potência reativa para minimizar as perdas 
de transmissão.
• Equações de rede: o estado do sistema de potência de 
n barras é determinado resolvendo as 2n equações de 
barra:
P V (G cos B sen i =1, , n
Q V (G sen B cos i =1, , n
i i ij ij ij ij
i i ij ij ij ij


θ θ
θ θ
= +∑
= +∑
=
=
V
V
)
)
jj
n
jj
n
1
1
 (3.18)P V (G cos B sen i =1, , n
Q V (G sen B cos i =1, , n
i i ij ij ij ij
i i ij ij ij ij


θ θ
θ θ
= +∑
= +∑
=
=
V
V
)
)
jj
n
jj
n
1
1 (3.17)
154
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Cada barra é representada por quatro variáveis: Pi, Qi, Vi e 
θi. se duas dessas variáveis são conhecidas, as equações (3.17) e 
(3.18) permitem determinar as outras duas variáveis. Além disso, 
o ângulo de fase da barra de referência deve ser escolhido (θr = 
0 para a barra de referência ou de folga), e um ou mais geradores 
de potência devem ser liberados, já que as perdas de potência são 
desconhecidas a priori. Finalmente, nota-se que as variáveis de 
decisão adicionam graus de liberdade para as equações de rede. 
É possível usar o modelo de fluxo de carga CC em estudos 
de otimização de potência ativa, se não interessa os tópicos de 
tensão e potência reativa. O modelo de rede CC introduz erros 
na solução do FPO, mas simplifica de forma significativa a 
formulação do FPO. O modelo de rede CC é determinado pelas 
seguintes n equações de barra:
P i =1, ni 
θ= ∑ = x
,ij
ij
j
n
1 (3.17)
onde xij é a reatância do ramo entre as barras i e j.
Na prática, o modelo de rede é normalmente constituído 
de uma área de interesse, modelado em detalhe, algumas barras 
de fronteira, também modeladas em detalhe, e algumas áreas 
externas que devem refletir a resposta do sistema restante às 
ações de controle na área interna. As áreas externas usualmente 
são modeladas usando equivalentes externos para reduzir núme-
ro de equações de rede e de variáveis.
• Restrições de desigualdade:
• Limites das variáveis de controle: geração de 
potências ativa e reativa, relação de transfor-
mação de transformadores, bancos de capaci-
tores e/ou reatores, FACTS, etc.;
155
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
• Restrições operacionais: limites de tensão de 
barras e fluxos de potência.
Ressalta-se que existe uma diferença fundamental entre es-
ses dois tipos de limite: enquanto os limites impostos sobre as 
variáveis de controle devem ser considerados como rígidos, as 
restrições operacionais podem ser consideradas flexíveis, já que 
elas podem ser excedidas, sempre por um período curto de tem-
po e somente em circunstâncias excepcionais.
• Tópicos adicionais de modelagem:
• Controle automático: a resposta do controle 
automático atuando no sistema de potência 
deve ser adequadamente modelada; por exem-
plo, dispositivos (transformadores, capacitores, 
reatores, FACTS) controladores de tensão ou 
fluxos de potência reativa e intercâmbio de po-
tência entre diferentes áreas;
• Equipamentos que trabalham em forma coor-
denada; por exemplo, transformadores e gera-
dores em paralelo na mesma usina;
• Preferências operacionais, com um forte com-
ponente heurístico, tais como a preferência 
pelo uso de certos dispositivos de controle, 
prioridades para certas restrições sobre outras, 
restrições em um número de ações de controle 
sobre um dispositivo em um determinado pe-
ríodo de tempo, e assim por diante.
Os tópicos de modelagem mencionados antes podem ser 
apropriadamente incorporados na formulação do FPO para que 
a solução fornecida pelo FPO seja útil para os operadores.
No exemplo 3.7, resolvido usando o software GAMS, ilus-
tra-se a complexidade do problema FPO.
156
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Classificação dos algoritmos de fpo
Foi mostrado que a aplicação de um algoritmo de otimi-
zação para um sistema de potência não é trivial com relação à 
implementação, já que a modelagem do objetivo e das restrições 
é uma tarefa difícil. Além disso, o número de variáveis e de 
equações aumenta com a dimensão do problema. Consequente-
mente, o uso do FPO em tempo real, e a importância de assegu-
rar a qualidade e a continuidade do serviço elétrico, leva-o a ter 
as seguintes características:
I) Confiabilidade, em relação à sua capacidade de fornecer 
soluções aceitáveis na maioria dos casos;
II) Velocidade de processamento;
III) Flexibilidade para ser adaptado aos novos sistemas e 
técnicas.
Também a necessidade de incluir restrições complexas e 
heurísticas operacionais obriga o uso iterativo do FPO, avalian-
do a adequação das soluções fornecidas pelo FPO e mudando o 
problema para resolvê-lo novamente, caso seja necessário.
Analisando os algoritmos de FPO aplicados com sucesso 
na prática, pode-se classifica-los da seguinte forma:
1 - Algoritmos que incluem um módulo de fluxo de carga 
claramente diferenciado do módulo de otimização. O 
módulo de fluxo de carga usa os valores correntes das 
variáveis de controle como dado de entrada, atualiza o 
estado do sistema e fornece informação útil ao módulo 
de otimização. O módulo de otimização, usualmente 
baseado em programação linear ou quadrática, encon-
tra novos valores para as variáveis de controle.
2 - Algoritmos em que as equações de rede são resolvidas 
completamente pelo processo de otimização, atualizan-
157
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
do ao mesmo tempo o estado do sistema e as variáveis de 
decisão e, consequentemente, satisfazendo as equações 
de rede somente quando for atingida a convergência
A principal diferença entre os dois grupos de FPO está na 
possibilidade de interromper o processo iterativo em qualquer 
iteração para encontrar um estado válido do sistema de potên-
cia, o que não é possível fazer no segundo grupo de FPO, já que 
os estados intermediários não satisfazem as equações de rede.
Operação do sistema de transmissão
Os objetivos e as possíveis ações de controle da operação do 
sistema de transmissão estão claramente condicionados pelo es-
tado da rede. Consequentemente, são fundamentais para a opera-
ção do sistema as ferramentas apropriadas para a sua supervisão 
(SCADA, estimador de estado) e para a avaliação de segurança.
Serão apresentados diferentes exemplos de aplicação do 
FPO como uma ferramenta de decisão na operação de um sis-
tema de potência. Esses exemplos podem ser facilmente resolvi-
dos usando ambientes computacionais como o GAMS.
Estado de emergência
O sistema de potência pode entrar em estado de emer-
gência devido a um acréscimo inesperado da demanda, ou pela 
ocorrência de uma contingência. Neste caso, os operadores de-
vem trazer o sistema de volta para o estado normal, o mais rapi-
damente possível, esquecendo os aspectos econômicos.
A urgência de tais situações implica a redução do núme-
ro de ações de controle ao mínimo necessário para corrigir o 
problema. Matematicamente, esse problema pode ser formulado 
como um FPO com o objetivo de minimizar as ações de con-
158
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
trole para trazer todas as variáveis dentro de seus limites. Este 
objetivo normalmente é realizado pela penalização linear qua-
drática das ações de controle na função objetivo.
Usando a vantagem do desacoplamento entre as equações 
de potência ativa e reativa, são realizados estudos separados de 
sobrecargas e de violação dos limites de tensão. Obviamente, 
alguns casos críticos podem exigir uma análise completa, por 
exemplo, uma formulação acoplada do FPO, quando seja ne-
cessário corrigir a tensão, reprogramando as gerações de po-
tência ativa.
Correção da sobrecarga
Para corrigir a sobrecarga nos ramos, os operadores devem 
realizar a reprogramaçãode potência ativa. Também devem ser 
considerados elementos de controle alternativos de fluxos de po-
tência ativa, como transformadores defasadores e dispositivos 
FACTS, caso estejam disponíveis. Além disso, se as variáveis de 
decisão disponíveis são insuficientes para eliminar a sobrecarga 
em um tempo razoável, deve-se executar o corte de cargas.
Usando o modelo de rede CC, o FPO assume a seguinte 
forma:
 P P-++c cu
T
d
T
sujeito a
P+ P P B
P P P P P
P X A P
P P
+ -
mín + - máx
f
-1 T máx
+ -
θ
θ
− =
≤ + − ≤
− ≤ = ≤
≥ ≥
P
0 0
f
máx
f
 (3.21)
onde cd e cu são vetores de custo associados com as variá-
veis de decisão dadas por ∆P+ e ∆P-.
159
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Uma alternativa para a formulação anterior é encontrada 
usando a matriz de sensibilidade Sf, para obter a seguinte formu-
lação de modelo de rede mais compacta:
 P P+ -+c cu
T
d
T
sujeito a
P S P
P P P
P P P
P P 0
f f
-
+ máx
- mín
+ -
( )− ≤ = + ≤
≤ −
≤ −
≥ ≥
P P P
0
f
máx
f f
máx0
 (3.22)
Uma alternativa adicional é o uso de técnicas heurísticas, já 
que os operadores normalmente devem lidar com somente uma 
ou duas sobrecargas. Em casos simples, o seguinte procedimen-
to é útil para encontrar rapidamente as medidas corretivas:
1 - Para cada linha sobrecarregada mn e gerador g determi-
ne o valor ∆Pg para corrigir a sobrecarga:
P Pmn gρ= mn
g
 (3.22)
Descartar qualquer gerador que seja necessário para, simul-
taneamente, aumentar ou diminuir a geração para corrigir as 
diferentes sobrecargas.
2 - Para cada gerador remanescente, determinar o custo 
de correção da pior sobrecarga, escolhendo aquele de 
menor custo ∆Pg.
3 - Atualizar o estado do sistema e continuar eliminando 
as outras sobrecargas.
Obviamente, é possível incluir fatores de mérito adicionais 
no processo heurístico.
No exemplo 3.8, o uso de um FPO, baseado em programa-
ção linear, determina as ações corretivas para as sobrecargas que 
foram apresentadas, juntamente com o uso alternativo de técni-
160
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
cas heurísticas baseadas em fatores de distribuição. Esta última 
estratégia é particularmente útil para encontrar ações corretivas 
em tempo real, de forma rápida e eficiente.
Por outro lado, uma solução factível baseada na reprogra-
mação da geração não pode ser usualmente encontrada em al-
guns casos críticos. Nessa situação, os operadores devem exe-
cutar as ações necessárias para mitigar a sobrecarga e, se ela 
não puder ser reduzida a um nível aceitável, deve-se proceder ao 
corte de carga. 
Correção de tensão
Quando algumas tensões violam os limites operacionais, 
os operadores podem determinar as ações de correção apropria-
das. Na verdade, são usadas regras heurísticas, como uma tensão 
excessivamente baixa é mais efetivamente corrigida com uma 
injeção de potência reativa local, ou modificando o tap de um 
transformador na vizinhança. Se o problema não é muito com-
plexo, o uso de regras básicas permite encontrar uma solução 
rápida e simples. Contudo, a complexidade do problema de ten-
são, devido ao comportamento não linear, recomenda o uso de 
ferramentas apropriadas para lidar com problemas sérios.
Como mencionado, vários problemas inerentes às ferra-
mentas atuais de FPO limitam seu uso em centros de controle. 
Um exemplo claro disso é a tendência em usar um grande nú-
mero de controles, tornando difícil a implementação de medi-
das corretivas. Além disso, os sistemas de potência atuais estão 
equipados com uma grande variedade de dispositivos que afe-
tam diretamente a tensão, tornando o problema de controle de 
tensão diferente do problema de controle de potência ativa.
Uma alternativa ao FPO como ferramenta de correção de 
problemas de tensão é usar regras heurísticas, incluindo algo-
161
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
ritmos numéricos para calcular a sensibilidade de tensão com 
relação às variáveis de controle.
No entanto, novas questões práticas aparecem, e suas solu-
ções dependem da filosofia particular de cada empresa, tais como:
• Como escolher entre os diferentes dispositivos de con-
trole de tensão, tendo em conta fatores tais como a efi-
ciência, a margem de reserva de controle, e a possibili-
dade de usar um ou vários controles para lidar com o 
mesmo problema, evitando um excesso de dispositivos 
desse tipo.
• Como integrar as ações drásticas para o controle cor-
retivo, por exemplo, abrir linhas com baixo carrega-
mento, conectar grandes reatores ou arrancar geradores 
para manter a tensão em áreas críticas.
O exemplo 3.11 ilustra o uso de técnicas heurísticas basea-
do em sensibilidade para corrigir problemas de tensão.
Estado de alerta
Um sistema está em estado de alerta se todas as variáveis 
estão entre os limites operacionais, e os operadores estão cien-
tes de que uma ou mais contingências podem levá-lo a um es-
tado inaceitável.
Uma vez que as contingências críticas foram identificadas, 
os operadores devem decidir se implementam ações preventi-
vas ou se preparam planos de emergência que devem ser usa-
dos após a contingência. Atenção especial é dada para os casos 
em que a contingência pode produzir um blecaute, ou quando 
circunstâncias anormais como mau tempo ou alerta terrorista 
aumentam os seus riscos.
162
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Matematicamente, para determinar as ações preventivas 
para uma contingência em particular, pode ser usado um FPO 
incluindo restrições de segurança, um problema de otimização 
conhecido como fluxo de potência ótimo com restrições de se-
gurança (FPORS):
minimizar uc, up, xc,xp f(u0, up, uc)
sujeito a
h(xp, up) = 0
hc (xc, uc) = 0 (3.24)
g(xp, xc) ≥ 0
gc (xc, uc) ≥ 0
onde:
u é o conjunto de variáveis de decisão, em que u0 representa 
o estado inicial, up representa as ações preventivas de pré-con-
tingência e uc representa as ações corretivas pós-contingência;
x é o conjunto de variáveis dependentes, xp são os valores 
de pré-contingência, e xc são os valores de pós-contingência
(u) é a função objetivo a minimizar, usualmente os custos 
associados com as diferentes ações de controle, por exemplo, 
uma penalização linear ou quadrática das mudanças de controle.
h(x, u) são as equações de rede; h(xp, up) = 0 corresponde 
ao estado de pré-contingência incluindo possíveis ações preven-
tivas e hc (xc, uc) = 0 representa o estado de pós-contingência 
incluindo também as ações corretivas de pós-contingência.
g(x, u) são os limites operacionais. Limites de emergência, 
gc (xp, up) ≥ 0, menos rígidos que os normais, são usualmente 
impostos sobre o estado de pós-contingência.
Obviamente, se a segurança do sistema pode ser restaurada 
de forma suficientemente rápida pela aplicação de medidas corre-
tivas pós-contingência, não são necessárias as medidas preventi-
163
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
vas (up = u0); portanto, devem ser evitados incrementos em custos 
de produção. Nesse caso, o problema de otimização é reduzido a 
um FPO para calcular as ações de controle corretivas no estado 
de pós-contingência. Quando as ações corretivas são insuficien-
tes, ou não podem ser implementadas de forma suficientemente 
rápidas, devem ser adotadas medidas preventivas, tratando de 
minimizar o inevitável incremento nos custos de produção.
Tradicionalmente, os problemas de tensão foram evitados 
devido à complexidade do modelo CA completo, assim como a 
crença equivocada de que existe sempre tempo suficiente para 
implementar ações corretivas pós-contingência no caso de pro-
blemas de tensão. Como consequência, os algoritmos FPORS, 
usados na prática, estão baseados nos modelos lineares da rede 
de transmissão. Contudo, a necessidade de recorrer às ações pre-
ventivas para evitar eventos catastróficos de tensão em casos 
críticos como o colapso da tensão, não pode ser esquecida.
Uma alternativa para a utilização de um FPO, bastante útil 
para determinar as ações preventivas no estado de pré-contin-
gência da rede,193
Exemplo 3.3 ............................................................................ 195
Exemplo 3.4 ............................................................................ 198
Exemplo 3.5 ............................................................................200
Exemplo 3.6 ............................................................................201
Exemplo 3.7 ............................................................................204
Exemplo 3.8 ............................................................................208
Exemplo 3.9 ............................................................................ 212
Exemplo 3.10 .......................................................................... 214
Exemplo 3.11 .......................................................................... 216
Exemplo 3.12 ..........................................................................220
Exemplo 3.13 ..........................................................................223
Exemplo 3.14 ..........................................................................227
Exemplo 3.15 ..........................................................................228
Exemplo 3.16 ..........................................................................230
Exemplo 3.17 ..........................................................................234
Exemplo 3.18 ..........................................................................236
Análise estática de segurança de sistemas 
elétricos de potência .............................................. 239
 Introdução à operação em tempo real de sistemas 
de potência ............................................................................. 241
Evoluções na operação de sistemas de potência .......... 241
 Restrições de carga, operação e segurança – 
estados de operação ............................................................243
 Funções componentes da operação em tempo 
real de sistemas de potência .............................................. 247
 Configurações típicas de sistemas computacionais 
para centros de operação ...................................................250
Requisitos ...............................................................................250
Sistemas não-redundantes ................................................ 252
Sistemas redundantes – configuração dual ...................254
 Evolução para utilização de sistemas distribuídos, 
redes locais e sistemas abertos ........................................256
Sistemas abertos ..................................................................258
 Estimação estática de estados em sistemas de 
potência...................................................................................259
Características da EESP ......................................................260
Aplicações dos resultados da EESP .................................. 261
Monitoração em tempo real de redes elétricas .............. 261
Vantagens da estimação de estados ................................263
Subproblemas da estimação de estados ........................264
Classificação dos estimadores de estado .......................265
O modelo de medição ..........................................................266
Observações .......................................................................... 267
Estimadores tipo batch ........................................................ 269
 Solução pelo método dos mínimos quadrados 
ponderados – método clássico .........................................269
O método de Gauss-Newton .............................................. 270
 Cálculo dos termos da matriz jacobiana e das 
quantidades medidas ........................................................... 274
Aspectos computacionais...................................................277
Estimador de estados linearizado ..................................... 278
Inclusão de restrições de igualdade ..................................280
Processamento de medidas com erros grosseiros .......283
 Uso dos resíduos de estimação no tratamento 
de erros grosseiros ...............................................................284
Detecção de erros grosseiros .............................................286
Teste de hipóteses ................................................................288
Detecção de erros grosseiros – base estatística ...........289
Algoritmo ................................................................................292
Identificação de erros grosseiros ......................................293
Método do máximo resíduo normalizado ........................293
Observações ..........................................................................297
 Recuperação de medidas portadoras de erro 
grosseiro .................................................................................298
Base teórica ...........................................................................298
Resíduo associado à medida recuperada ........................ 301
 Método B para processamento de erros grosseiros .....302
Descrição do método ...........................................................303
Algortimo ................................................................................297
Exemplos ................................................................................304
Exemplo 4.1 ............................................................................304
Desregulamentação e novos mercados de energia . 307
Coordenação hidrotérmica .................................................309
Introdução ..............................................................................309
Programação da operação a médio prazo ...................... 310
Estratégia baseada na curva-limite ................................... 311
Estratégia baseada no valor marginal da água ............... 312
Planejamento da operação de curto prazo ...................... 313
 Programação hidrotérmica com restrições de 
energia hidráulica .................................................................. 314
Programação hidrotérmica de curto prazo...................... 319
Formulação incluindo perdas de transmissão ................ 319
 Caso particular: perdas de transmissão 
desconsideradas ...................................................................321
 Solução computacional da coordenação 
hidro-térmica de curto prazo ..............................................323
Algoritmo da iteração λ - γ ..................................................323
Programação quadrática sequencial ................................ 324
Método primal-dual de pontos interiores ......................... 325
Formulação do problema ....................................................326
 Equações do método de Newton para o problema 
primal/dual usando ordenação por tipo de variável....... 327
 Equações do Método de Newton para o Problema Primal/
Dual usando ordenação por intervalo de tempo ............332
Inclusão de restrições hidráulicas .....................................333
 Programação de curto prazo em sistemas reais de 
base hidráulica .......................................................................337
Introdução ..............................................................................337
Modelagem detalhada das variáveis hidráulicas ............337
Reservatórios em cascata ..................................................338
 Potência gerada em função da vazão e da altura 
líquida de queda ....................................................................340
 Programação de curto prazo para atender metas
de volume ............................................................................... 341
 Programação de curto prazo considerando 
custo futuro ............................................................................342
Custo imediato e custo futuro ............................................342
 Formulação da programação de curto prazo com 
base na FCF............................................................................345é usar os fatores de distribuição de interrupção 
compensada, isto é, o incremento de fluxo de potência no ramo 
mn devido a um incremento na potência ativa injetada na barra 
g, quando o ramo ij está sob contingência, os quais podem ser 
encontrados da seguinte forma:
P P P g g
 
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= +
= = +
=
= =
P
P
mn
g
ij sob contingência mn
g
mn
ij
ij
g
mn
g
ij sob contingência
mn
g
ij sob contingência mn
g
mn
ij
ij
g
 (3.25)P P P g g
 
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
= +
= = +
=
= =
P
P
mn
g
ij sob contingência mn
g
mn
ij
ij
g
mn
g
ij sob contingência
mn
g
ij sob contingência mn
g
mn
ij
ij
g
 (3.26)
Os fatores de distribuição, usando o estado antes da contin-
gência, mostrados anteriormente, permitem formular um pro-
blema de otimização, o qual inclui as ações preventivas e incor-
pora as restrições sobre os fluxos de potência pós-contingência.
164
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
O estado seguro
Quando um sistema está no estado normal, o estado segu-
ro, todos os limites operacionais estão garantidos, e os critérios 
de segurança estipulados se encontram satisfeitos. Consequente-
mente, como objetivo da operação do sistema, deve-se preocu-
par com a redução dos custos de operação.
O problema de determinar as ações ótimas de controle em 
estado seguro é um caso particular do despacho econômico 
com restrições da rede e usando um modelo detalhado da rede 
de transmissão. Neste tipo de problema de FPO, a demanda e 
as perdas da rede são despachadas entre os geradores de forma 
ótima em função dos custos dos geradores. Além disso, o pro-
blema FPO fornece os pontos de ajuste ideais das variáveis de 
controle de tensão para minimizar as perdas da transmissão.
A otimização completa dos sistemas de geração e trans-
missão tem sido pouco usada na prática. A razão é a excessiva 
complexidade do problema, bem como os aspectos de sigilo as-
sociados com o mercado elétrico. A técnica comum é realizar 
primeiro a programação da geração, por um operador central 
com conhecimento pleno da geração econômica e os dados téc-
nicos, ou por um operador de mercado. Então, um programa de 
FPO é usado para corrigir os programas de geração para evi-
tar possíveis sobrecargas ou problemas críticos de tensão. Um 
FPORS deve ser usado para satisfazer os critérios de seguran-
ça, usualmente o critério N – 1. Finalmente, uma vez definida 
a programação da geração, é determinado um perfil ótimo de 
tensão para satisfazer os limites de tensão e depois reduzir as 
perdas de transmissão.
O exemplo 3.14 ilustra o uso de um FPO para encontrar 
um perfil ótimo de tensão.
165
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Em paralelo com o problema de uma programação a priori 
dos ajustes ótimos de todas as variáveis de controle de tensão, 
algumas ações de controle podem também ser implementadas 
para continuar diminuindo as perdas na operação em tempo 
real. Uma alternativa útil ao FPO completo para reduzir as per-
das é usar a sensibilidade dessas perdas às variáveis de controle 
de tensão, levando em conta o estado atual do sistema. Assim, 
usando sensibilidades e considerando a margem de reserva de 
cada controle, podem ser facilmente determinadas as ações de 
controle para reduzir essas perdas.
Redes de transmissão com acesso aberto
Nos mercados elétricos emergentes, os serviços de geração 
e de transmissão estão desagregados um do outro. Espera-se que 
o mercado de geração se torne plenamente competitivo quando 
muitos participantes independentes do mercado (geradores e 
consumidores) se envolvam nos negócios da energia elétrica. 
A energia elétrica tem algumas características peculiares 
que não permitem que ela seja considerada como um mercado 
de commodities normal. Essas características incluem a incapa-
cidade de armazenar energia elétrica em uma quantidade signi-
ficativa, as grandes variações diárias e sazonais da demanda, as 
exigências operacionais para o controle e a confiabilidade do 
sistema de potência, e as limitações da rede de transmissão que 
transporta energia elétrica dos pontos de geração para os seus 
pontos de consumo.
Os mercados elétricos competitivos precisam de que o 
acesso para o sistema de transmissão, pelos geradores e pelas 
cargas, seja gerenciado de forma equitativa e não discriminató-
ria; este conceito é conhecido como acesso aberto à transmissão. 
166
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Na prática, para assegurar que a transmissão seja aberta, uma 
entidade, muito frequentemente chamada operador indepen-
dente do sistema (ISO), foi usualmente estabelecida. Embora a 
responsabilidade e o escopo das atividades de uma ISO variam 
de um mercado para outro, espera-se que seja uma entidade 
responsável pela operação segura e eficiente de um sistema de 
transmissão de acesso aberto, entre outras coisas.
Quando os produtores e consumidores da energia elétrica 
desejam produzir e consumir em quantidades que fariam com 
que o sistema de transmissão operasse além de um ou mais de 
seus limites de transferência, o sistema é considerado como con-
gestionado. Controlar o sistema de transmissão de forma que 
os limites de transferência sejam respeitados é talvez o aspecto 
fundamental do gerenciamento da transmissão.
Em uma implementação eficiente do acesso aberto, três as-
pectos fundamentais do sistema de transmissão devem ser ade-
quadamente manejados pela ISO:
• O congestionamento da transmissão;
• As perdas da transmissão (perdas reais);
• Os serviços ancilares.
Como mencionado, o congestionamento pode acontecer 
na rede de transmissão devido às violações no limite de opera-
ção no fluxo de potência em uma ou mais linhas de transmissão. 
Além do congestionamento, o gerenciamento da rede envolve 
as tarifas de conexão, que são encargas que cada gerador e cada 
carga pagam à rede para que sejam conectados ao sistema. As-
sumindo como desprezíveis as perdas por efeito corona e no 
núcleo do transformador e sem roubo de energia, as perdas na 
rede de transmissão são iguais à diferença entre o fornecimento 
total e a demanda de potência ativa (MW) no sistema. Os servi-
167
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
ços ancilares são necessários para a operação confiável e segura 
de um sistema.
Como o congestionamento da transmissão e suas perdas, 
além dos serviços ancilares que devem ser pagos pelos partici-
pantes do mercado, existe obviamente um aumento integral dos 
custos da potência transmitida. Existem alguns métodos básico 
para calcular tais encargos.
Gerenciamento do congestionamento
Os sistemas de potência físicos são governados pela lei de 
tensões de Kirchhoff, a qual determina a quantidade de energia 
elétrica que é transferida de uma barra para outra através das 
linhas de conexão (ligações).
Vários fatores podem impor limites sobre a transferência 
de potência entre duas barras em uma rede de transmissão. Es-
ses fatores incluem limites térmicos, limites de tensão e limites 
de estabilidade que, naturalmente, são os mais restritivos e que 
são determinantes em qualquer instante de tempo. Os limites 
devem ser estabelecidos para levar em conta a operação normal 
e sob contingência. Um controle adequado de fluxo pode ser útil 
para manter dentro de seus limites a quantidade de potência que 
pode ser transferida entre duas barras.
A capacidade de controle do fluxo de potência elétrica so-
bre uma ligação de transmissão (ramo) que, por sua vez, conecta 
duas barras é limitada e difícil de executar quando o controle é 
diretamente aplicado aos geradores. Os dispositivos de controle 
de potência, tais como transformadores defasadores e sistemas 
de transmissão flexíveis CA (FACTS) oferecem algum controle 
moderado e, atualmente, são muito caros; portanto, eles não são 
muitos usados atualmente por todas as companhias de energia 
168
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
elétrica. Da mesma forma, a abertura das redes para controlar o 
fluxo de potência elétrica também oferece um sucesso limitado.O gerenciamento do congestionamento é um processo que 
garante a entrega de todas as transações de potência (entre ven-
dedores e compradores) sem violar os limites de operação do 
sistema de transmissão em qualquer tempo. Se existe congestio-
namento, a transmissão é um recurso escasso e, como tal, tem 
um custo adicional associado; se não houver custo para usar a 
transmissão, o comércio pode exceder a capacidade de transmis-
são de algumas linhas e produzir danos ao sistema. O método 
usado para o gerenciamento do congestionamento é dependente 
da forma do mercado de energia; além disso, o próprio geren-
ciamento desse congestionamento não pode ser separado das 
considerações de mercado. Um dos aspectos mais importantes 
no seu gerenciamento é a alocação de custos/receitas para os 
participantes do mercado.
Em geral, os mercados elétricos emergentes incorporam, 
pelo menos, os três tipos principais de transações:
• Transações em pool: a transação em pool é uma oferta 
de venda baseada em preço e quantidade dentro de um 
pool (representado por seu ISO) por um gerador, ou a 
compra dentro de um pool por um comprador (consu-
midor ou distribuidor); tal operação é também conhe-
cida como transação de licitação/venda.
• Transações bilaterais: estas são realizadas entre um ge-
rador e um comprador sem a intervenção de terceiros; 
este conceito pode ser estendido para transações mul-
tilaterais em que um terceiro (corretor ou contratante) 
está envolvido. Nessas transações, as quantidades co-
mercializadas e os preços acordados são decididos pe-
169
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
los participantes do mercado; o ISO somente fornece 
as facilidades de transporte de energia elétrica.
• Serviços ancilares: como mencionado, esses serviços 
são necessários para a operação segura e confiável do 
sistema de transmissão; tais serviços incluem o forneci-
mento de potência reativa para o controle de tensão, a 
potência ativa para o controle de frequência, a compen-
sação das perdas de transmissão, e assim por diante. O 
ISO contrata esses serviços do mercado de geradores e 
os distribui de forma adequada entre os compradores.
O desempenho de um mercado de energia elétrica é medido 
por seu benefício social, que, por sua vez, é definido como uma 
combinação do custo da energia e o benefício que a energia traz 
à sociedade (medido pela boa vontade da sociedade em pagar 
por ela). Se a demanda da energia tem um preço inelástico, isto é, 
se ela é independente do preço dessa energia, então o benefício 
social é simplesmente o negativo da quantidade de dinheiro pago 
por ela. Quando a demanda da energia tem um preço elástico, 
isto é, sensível ao preço da energia, então o benefício social é 
uma função negativa da carga, que um consumidor está disposto 
a pagar. A maximização do benefício social pode ser represen-
tada como um problema FPO com limites de fluxo de potência 
e cuja solução fornece as gerações ótimas e as cargas elásticas.
Maximizar o lucro de um gerador requer ofertar seu cus-
to incremental. Um gerador para incrementar seu lucro realiza 
ofertas estratégicas, diferentes de seus custos incrementais, com 
esforço para aproveitar as imperfeições do mercado. Se diz que 
um gerador tem poder de mercado quando pode incrementar 
com sucesso seu lucro através de ofertas estratégicas. O poder 
de mercado leva a um mercado ineficiente. Uma das possíveis 
170
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
causas desse poder é o congestionamento, como pode ser visto 
no exemplo 3.15.
Esquemas de gerenciamento do congestionamento
Vários esquemas de gerenciamento do congestionamento 
foram considerados na prática ao redor do mundo. Entre eles, 
pode-se mencionar os seguintes:
• Modelo de preço-spot nodal: o objetivo do preço noda 
é ajustar o preço da energia em um pool para refletir 
seu valor posicional nas barras, que deve ser levado em 
conta para o congestionamento (se existe) e para as per-
das de transmissão.
• Modelo baseado em transação: este método de preço 
do congestionamento está baseado na competição em 
mercado livre, que é a melhor forma de alcançar a com-
petição em um mercado elétrico. É um dos melhores 
métodos para atingir o objetivo de fornecer aos con-
sumidores acesso direto para os fornecedores de sua 
escolha. Os fornecedores e consumidores organizam 
de forma independente as transações de potência entre 
eles, de acordo com suas próprias estratégias financei-
ras. A eficiência econômica é promovida pelos consu-
midores ao escolher os geradores que ofertam os me-
nores custos.
Uma vez que o ISO recebe todas as transações bilaterais 
acordadas, três problemas devem ser adequadamente contorna-
dos pelo ISO para uma aplicação bem-sucedida desse método:
I) As restrições da transmissão (os custos e sua distribui-
ção para os participantes como um encargo adicional 
de transmissão);
II) As perdas de transmissão;
171
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
III) Os serviços ancilares.
• Modelo baseado em preço por área: esse método de 
congestionamento, principalmente usado no pool 
nórdico (Noruega, Suécia e Dinamarca), é regido por 
três técnicas diferentes:
I) Tarifas;
II) Preço por áreas;
III) Energia com compra posterior (para controlar o con-
gestionamento na operação em tempo real).
Cada um dos métodos propostos na literatura tem vanta-
gens e desvantagens; nenhum permanece como favorito.
Gerenciamento do congestionamento por preço-spot 
nodal
Este método de gerenciamento do congestionamento está 
baseado nos preços spot nodais nas transações do pool. O méto-
do baseia-se nas ações do pool do ISO:
I) Receber ofertas de preços e quantidade dos geradores;
II) Selecionar as fontes mais eficientes para satisfazer às 
restrições vigentes;
III) Realizar as transações financeiras relacionadas com o 
pagamento dos consumidores e o pagamento para os 
fornecedores.
Os preços que regem esses pagamentos estão baseados 
nas propostas apresentadas pelos geradores despachados e nos 
ajustes realizados pelo ISO para refletir o valor posicional dos 
fornecedores em relação à sua contribuição para as perdas do 
sistema e às restrições de transmissão. Em geral, esses preços 
ajustados, chamados preços spot nodais posicionais, são maio-
res nos locais de consumo que nos locais de geração. A diferença 
172
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
do preço posicional entre uma barra de envio e recepção produz 
um lucro líquido ou excedente para o ISO.
A estratégia de preço spot nodal foi, inicialmente, introdu-
zida por Schweppe e outros e depois desenvolvida por Hogan 
e outros.
Os preços nodais são calculados como variáveis duais (ou 
multiplicadores de Lagrange) do cálculo do FPO. Para processar 
um FPO, devem ser conhecidas as curvas de custo dos gera-
dores e as funções de benefício dos consumidores, o que, em 
um ambiente desregulado, é difícil de dispor, porque representa 
uma informação privada. De forma alternativa, um pool ISO tem 
disponíveis as curvas de oferta dos geradores despacháveis e dos 
consumidores. Em um ambiente suficientemente competitivo, 
os participantes do mercado têm um incentivo para revelar suas 
verdadeiras informações privadas na forma de suas curvas de 
oferta. Se a transmissão é irrestrita, cada participante tem mui-
tos competidores, incentivando, assim, a verdadeira revelação 
da informação privada. Além disso, se um participante do mer-
cado tem apenas poucos competidores, ou não tem competido-
res, as curvas de oferta podem ser manipuladas para obtenção 
de um lucro adicional a expensas da sociedade (sem verdadeiras 
revelações da informação privada). Como visto no exemplo 3.15, 
tais situações não competitivas acontecem mais frequentemente 
em uma área onde as restrições da transmissão estão ativas e, 
como consequência, os geradores estão essencialmente isolados 
da competição com outras áreas.
Para calcular de forma mais simples os encargos do con-
gestionamento, é suficiente uma representação simplificada do 
sistemade potência quando se formula o problema FPO. A for-
mulação do fluxo de potência CC, que ignora as perdas de po-
tência ativa (rij / xijo pedido de que a 
transmissão seja concedida. Se uma análise de rede indica que 
não existe congestionamento no sistema, o ISO simplesmente 
despacha todas as solicitações de transação e faz uma taxação 
justa pelo serviço. Se existe congestionamento, o ISO solicita 
aos participantes que apresentem propostas de redespacho para 
aliviar o congestionamento. Com as propostas recebidas, o ISO 
determina o redespacho mais econômico (ou menos corrigido) 
178
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
das propostas das geradoras usando, por exemplo, um FPO ou 
um DE (despacho econômico) com restrições de transmissão. 
Se for encontrado um despacho factível, o ISO recupera o custo 
desse despacho alocando os custos de alívio do congestiona-
mento de forma equitativa entre todas as transações que contri-
buíram para o congestionamento.
O alívio econômico ótimo do congestionamento pode ser 
formulado como:
c P c P+ + -{ }= ++ −
−mín fP P,
sujeito a
S P P
P = P P
P P
f
+ -
+ -
≤ −
−
≥ ≥
P
0, 0
f
máx (3.45)
onde
∆P 
+ e ∆P 
- são vetores de injeção de potência de dimensão 
(n – 1) x 1 que representam o aumento e a diminuição na geração;
c+ e c- são vetores de dimensão 1 x n e representam a oferta 
de aumento ou de diminuição, respectivamente, que são envia-
dos pelos geradores para redespacho em caso de congestiona-
mento; +ci é o preço pelo qual o gerador i está propenso a 
incrementar sua produção, e −ci é o preço pelo qual o gerador 
i está disposto a comprar para diminuir sua produção (para ali-
viar o congestionamento);
S é a matriz de sensibilidade de dimensão m x (n – 1) dos 
fluxos de potência com relação às injeções líquidas de potência;
Pf é o vetor de fluxos de potência de dimensão m x 1 que 
corresponde ao conjunto de transações bilaterais programadas;
Pf
máx é o vetor de limites de fluxo de potência de dimensão 
m x 1;
179
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Pf
máx – Pf é o vetor de redução de fluxos de potência 
programados.
A função de Lagrange dos problemas 3.45 pode ser escrita 
da seguinte forma:
λ
µ α β
( )
( )
+ + +
− + +Pf
máx
(y) = c P c P P - P P
 S P + P P P
+ + - - T + -
T
f
T + T -
L
 (3.46)
onde:
λ é o vetor de multiplicadores de Lagrange de dimensão n 
x 1 para as restrições de igualdade, seus componentes não têm 
restrição de sinal;
µ é o vetor de multiplicadores de Lagrange de dimensão 
m x 1 para as restrições de desigualdade, é também chamado 
vetor de preços sombra ou marginais; seus componentes têm 
restrições de sinal: µk ≥ 0;
α e β são vetores de multiplicadores de Lagrange de 
dimensão n x 1 para as restrições de não negatividade de ∆P+ e 
∆P-, respectivamente; eles devem ser não positivos.
Tarifas da transmissão
A tarifa da transmissão está relacionada com a questão de 
quanto pagar, e para quem, pelo uso do sistema de transmissão. 
Existem três aspectos relacionados com o gerenciamento da ta-
rifa da transmissão.
Receitas suficientes: deve ser desenvolvido um procedi-
mento para assegurar que existe receita suficiente para cobrir 
os custos dos operadores do sistema de transmissão e dos pro-
prietários do sistema de transmissão. Enquanto a cobertura dos 
custos de operação geralmente não é um problema, o fluxo de 
180
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
receitas deve também motivar uma construção adequada do sis-
tema de transmissão.
Utilização das tarifas: as tarifas de transmissão podem ser 
usadas de várias formas para gerenciar o congestionamento. 
Elas podem ser enviadas como sinal de preços em tempo real 
aos usuários do sistema de transmissão para controlar operacio-
nalmente o congestionamento, e podem ser enviados os sinais 
de preço de longo prazo para motivar a implantação de novos 
geradores ou cargas grandes.
Levar em conta as perdas de transmissão: as tarifas da 
transmissão podem também ser usadas para influenciar o pro-
cesso de otimização descentralizado e irrestrito no mercado de 
energia para levar em conta as perdas de transmissão.
Direitos de transmissão
O excedente de congestionamento da transmissão s pode 
dar origem a um sistema de direitos de contratos de rede. A ideia 
por trás de um direito de contrato de rede é fornecer um meca-
nismo para controlar os riscos financeiros devido às variações 
de preço induzidas pelo congestionamento.
A capacidade efetiva de uma rede é uma função das restri-
ções físicas e do padrão das transações.
Os direitos de transmissão são usados principalmente para 
facilitar o comércio que acontece muito antes da programação 
física, que é usualmente feito pelo ISO somente com um dia de 
antecedência. Existem dois tipos de direitos de transmissão:
I) Financeiro,
II) Físico.
O direito de transmissão financeiro não confere direito 
à transmissão de potência, mas somente para a cobrança dos 
pagamentos; o clássico direito financeiro da transmissão é um 
181
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
contrato do congestionamento da transmissão (CCT) que paga 
a diferença de preços, entre duas localizações (barras), para uma 
quantidade de potência fixada. O direito de transmissão físico 
(DTF), entretanto, outorga algum direito ou prioridade para a 
transmissão física.
Perdas de potência ativa na transmissão
Na operação tradicional dos sistemas elétricos (vertical), as 
perdas ativas de potência na transmissão são empregadas para 
penalizar os geradores usando um critério de otimização, pro-
duzindo um custo adicional que é diretamente repassado aos 
consumidores. Em mercado elétrico competitivo, as perdas de 
potência ativa na transmissão são cobradas aos diversos agen-
tes do mercado, geradores e consumidores. Será revisado alguns 
métodos para calcular essas perdas e comentado sobre algumas 
opções para distribuir os encargos associados com as perdas en-
tre os participantes do mercado.
Avaliação das perdas da transmissão
As perdas de potência ativa em cada linha de transmissão 
dependem de forma quadrática do fluxo de potência na linha. 
Dependendo do tipo de sistema (transmissão ou distribuição) 
e de sua topologia, as perdas de potência ativa em uma linha 
variam de 3% a 10% da carga total.
O método mais simples para calcular as perdas de potência 
ativa (MW) em um sistema elétrico de potência é somar todas as 
injeções líquidas de potência ativa nas barras, isto é
P e PL
t= ∑ == Pii
n
1 (3.47)
onde P é um vetor de injeção de potência ativa da barras 
de dimensão n x 1, e e é um vetor com elementos unitários de 
182
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
dimensão n x 1. O inconveniente desse método simples é que 
não temos informação sobre a contribuição de cada linha nas 
perdas de potência ativa.
Essas perdas podem também ser encontradas usando a 
corrente e a resistência de cada ramo da rede, isto é,
P L f= ∑ == R I I R Ikk
m
k f
t
f1
2 * (3.48)
onde If é o vetor de corrente complexa de ramo de dimen-
são m x 1, Rf é uma matriz de resistências de ramo de dimensão 
m x m, e o superíndice indica o operador complexo conjugado. 
Caso sejam conhecidos a estrutura da rede do sistema de potên-
cia e os dados, podem ser encontradas as correntes complexas 
em cada linha através da resolução de um problema de fluxo de 
carga simples.
Para conhecer as perdas de potência ativa total do sistema, 
devem-se adicionar as perdas de potência ativa devido ao efeito 
corona e dos núcleos de magnetização dos transformadores, às 
perdas encontradas usando a equação (3.47) ou a equação (3.48). 
Alternativamente, para correlacionar as perdas com as 
transações individuais ou as cargas, é mais conveniente encon-
trar PL pelas seguintes expressões que são funções das tensões 
de barra ou correntes de barra:
PL = V t G V * (3.49)
PL = I t R I * (3.49)
onde V e I são vetores de tensões nodais e correntes nodais 
de dimensão n x 1; e F e R são matrizes de dimensão n x n cor-
respondentes à parte real da matriz de admitância nodal Y e da 
impedância nodal Z, respectivamente.
Asexpressões anteriores encontram as perdas exatas; elas 
não incorporam aproximações. Entretanto, para aliviar o esfor-
ço computacional nos cálculos, podem ser incluídas algumas 
183
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
aproximações, tais como aquelas do fluxo de carga CC; com este 
modelo, as perdas de potência ativa e os fluxos de potência rea-
tiva são ignorados. Além disso, ignorar as resistências séries no 
modelo CC implicaria que as perdas de potência ativa são iguais 
a zero (aparentemente), ou seja, a soma das injeções de potência 
ativa de todas as barras da rede é zero; assim, qualquer injeção 
de potência é uma combinação linear das outras, ou seja, para 
a barra de referência (barra número 1), a injeção de potência é
P 1 = −∑ = −= P e Pˆ ˆii
n T
2 (3.50)
onde P̂ = [P2 P3 Pn] e ê é um vetor de elementos unitá-
rios de dimensão (n - 1) x 1.
Conhecendo os fluxos de potência ativa do modelo CC, 
pode-se agora assumir que as resistências séries não são iguais a 
zero, e calcular as perdas de potência ativa da rede atual usando 
a seguinte expressão, encontrada na equação 3.48:
P Rf L f≈ =  P R P P S S P M Pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆf
T
f
T T T*
 (3.50)
onde Pf = [X-1 Â T −B̂ 1 ] P̂ = Ŝ P̂ , Ŝ = X-1 Â T −B̂ 1
 é a 
matriz de sensibilidade, B̂ = Â X-1 Â T é uma matriz simétrica 
e M̂ = ŜT Rf Ŝ é também uma matriz simétrica. O símbolo ∧ 
indica um vetor ou matriz que foram adequadamente reduzidos 
pela eliminação da barra de referência.
Quando existem transações bilaterais (ou multilaterais) en-
tre os participantes do mercado, é conveniente representar as 
perdas em função dessas transações. A transação Ti é especifica-
da por um vetor de injeções nodais, cujos elementos diferentes 
de zero são a carga e a geração nodal incluídos na transação. No 
modelo clássico, as perdas devido a tais transações são tidas em 
conta pela barra de referência, mas também é possível distribuir 
essas perdas entre todos os geradores. Em qualquer caso, o ve-
184
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
tor de injeção total deve coincidir com o vetor que inclui a soma 
de todas as transações, isto é,
P T . = ∑ =τ
= T eii 1 (3.53)
onde T = [T1 T2 Tτ ] é a matriz de transação de dimen-
são n x τ e é um vetor de elementos unitários de dimensão τ x 1.
Substituindo a equação (3.53) nas equações de perdas (3.47) 
e (3.52), as perdas da transmissão, em termos de transação, são 
dadas por
PL = eT TT e (3.54)
PL ≈ eT TT MT e (3.55)
Distribuição dos custos das perdas
Uma vez que as perdas da transmissão são calculadas, de-
ve-se decidir quem vai pagar pelo seu custo. Em outras palavras, 
deve-se decidir em que grau as cargas, as geradoras ou as tran-
sações são responsáveis por tais perdas. Esse processo é difícil, 
e inda está em discussão uma metodologia razoável de solução 
que deve satisfazer com alguns requisitos, tais como:
I) Refletir a posição relativa de cada barra de rede;
II) Levar em conta a magnitude da injeção em cada barra;
III) Ser consistente com o estado e a topologia da rede,
IV) Ser simples de entender e implementar.
A primeira exigência é fundamental para enviar sinais econô-
micos adequados aos geradores e consumidores em relação à sua 
posição geográfica. Neste sentido, pode-se fazer três propostas:
Atribuir os custos das perdas para os geradores, somente 
para aqueles que as incluem em suas ofertas. Isso seria um pro-
cedimento lógico em um mercado em que as tarifas de distribui-
ção não estão geograficamente discriminadas (isto é equivalente 
a ratear as perdas entre os consumidores).
185
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Atribuir custos das perdas somente para os consumidores; 
este método não fornece incentivos para que os novos geradores 
escolham seus lugares mais adequados.
Atribuir os custos das perdas aos geradores e aos consu-
midores, usando uma proporção preestabelecida ou (prefe-
rencialmente) uma proporção calculada pelo próprio processo 
de distribuição.
Obviamente, o esquema mais simples para atribuir as per-
das é ratear; esse procedimento, contudo, é muito controverso. 
O método mais popular consiste na aplicação dos coeficientes 
incrementais de perdas (conforme o exemplo 3.14) que são usa-
dos no despacho econômico clássico para penalizar o custo in-
cremental dos geradores. Esses coeficientes são definidos como 
a derivada da perda total em relação à potência ativa injetada 
em cada barra. A aplicação dessa definição para o fluxo de carga 
CC (equação 3.52) produz o seguinte vetor de coeficientes de 
perdas incrementais:
 β = ∂
∂
≈P
P
M Pˆ
ˆ 2 ˆ ˆL
 (3.56)
Um vetor mais exato para o vetor β pode ser obtido usan-
do o fluxo de carga CA. O principal inconveniente no cálculo 
analítico de β, no fluxo de carga CC e CA, está no fato de que 
nenhuma perda é atribuída para a barra de referência (balan-
ço) (na verdade, essa barra não aparece no vetor na equação 
3.56). Se esse método não é aceitável, é sempre possível usar 
uma metodologia com distribuição adequada nas barras. Neste 
caso, o cálculo das perdas incrementais, resumidamente, seria 
da seguinte forma:
• Para a barra consumidora i, é considerado um peque-
no incremento na potência da carga, ∆P; a potência 
na barra de balanço é então ajustada de acordo com 
186
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
um esquema proporcional previamente decidido (por 
exemplo, em proporção à sua potência base ou à sua 
contribuição para a regulação dos serviços complemen-
tares). É processado um fluxo de carga, e as perdas in-
crementais são calculadas em relação ao caso base:
β = P
P
i
L
i
 (3.57)
• Para a geração na barra k, se trabalha de forma seme-
lhante, com ajustes negativos da potência na barra de 
balanço (para compensar o excesso de potência gerada).
Esses cálculos podem ser feitos usando o fluxo de carga CC 
ou CA. O método CC tem o inconveniente da baixa precisão no 
cálculo do fluxo nas linhas, especialmente nas linhas altamente 
carregadas. Entretanto, o uso do modelo CC oferece algumas 
vantagens tais como:
I) O modelo permite o uso do princípio da superposição, 
que torna possível calcular adequadamente um fluxo de 
linha como a soma de contribuições devido a cada bar-
ra ou transação;
II) Como não são assumidas as perdas, o fluxo de cada 
linha não dependa da barra de balanço escolhida;
III) Pode ser feito um desenvolvimento analítico para redu-
zir o esforço de processamento.
Nos mercados elétricos regulados por transações bilaterais, 
a distribuição das perdas, em relação à transação pode ser imple-
mentada por vários métodos propostos. Por exemplo, as perdas 
atribuídas à transação i são obtidas do termo correspondente na 
equação (3.55), isto é
P MTL(trans i) i( )≈ ∑τ
= Tkk
T
1 (3.58)
187
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
O problema com termos mútuos em PL
Por simplicidade, considera-se as perdas de potência ativa 
apenas em uma linha de transmissão, isto é, a linha que liga as 
barras i e j. também se assume que apenas duas transações usam 
essa linha (em geral, essa análise pode ser realizada para cada 
par de contribuições individuais). As perdas totais de fluxo de 
potência ativa na linha são dadas por
P R P P R P PLij i j i j( )( )= ± = + ±P P 2i j
2 2 2 (3.59)
Pode ser considerado lógico atribuir os termos RPi2 e RPj
2
para as transações i e j, respectivamente. Contudo, não é óbvio 
quem deve ser responsável pelo termo mútuo ± 2 Pi Pj. Tentan-
do encontrar uma forma de atribuir as perdas na linha, nota-se 
que PLij pode ser escrito como
P R
R R P P
Lij
Li Ljρ ρ( )
= + ± ±
±




± + ± ≡ +
P P PP P P
P P
P P
2
(1 ) 1
i j i j
i j
i j
i j j i
2 2
2 2
 (3.60)
onde PLi e PLj são as parcelas das perdas na linha devido às 
injeções de potência (Pi e Pj), respectivamente; e ρi = 2Pi / (Pi 
+ Pj) e ρj = 2Pj /(Pi + Pj) são os coeficientes de contribuição 
mútuos das barras i e j, respectivamente.
serviços ancilares
Os serviços ancilares ou complementares são definidoscomo aquelas atividades que são necessárias para sustentar a 
transmissão elétrica de forma que a operação do sistema de po-
tência seja segura e confiável. Entre outros, podem ser conside-
rados serviços complementares:
• Controle de frequência e controle de fluxo de potência 
entre as áreas;
188
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
• Manutenção de uma reserva de geração adequada;
• Controle de tensão e de potência reativa;
• Garantia da estabilidade do sistema de potência.
Em empresas elétricas verticalmente estruturadas, os servi-
ços complementares formam parte integrante do fornecimento 
da energia elétrica; portanto, eles não são separados das outras 
atividades. Entretanto, em empresas elétricas que operam no 
mercado competitivo o operador não controla diretamente os 
geradores e tem que comprar os serviços complementares das 
empresas que oferecem esse serviço. Em tal ambiente, os me-
canismos de fixação de preços desses serviços desempenham 
um papel importante na operação do sistema de potência. Os 
mercados que fornecem os serviços complementares têm dife-
renças entre eles, dependendo das funções do ISO e do desenho 
do próprio mercado. Além disso, uma característica é comum 
a todos eles: cada um procura fornecer um serviço importante 
para a operação segura e confiável da operação do sistema de 
potência. Admite-se que os participantes do mercado oferecem 
serviços complementares para o ISO (de forma semelhante que 
a energia elétrica), e que o ISO faz um gerenciamento dessas 
ofertas de acordo com as regras estabelecidas pelo mercado.
Serviços de regulação
A regulação é o ajuste da geração em todo instante de tem-
po para assegurar o balanço entre geração e carga, de forma que 
a frequência seja mantida em um nível preestabelecido (frequ-
ência nominal). A resposta rápida exigida da usina de geração 
é conseguida usando sinais de controle automático que corres-
pondem ao ACE (a área de controle de erro, no caso do con-
trole da frequência primária) ou ao CAG (controle automático 
da geração, no caso do controle de frequência secundária). A 
189
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
capacidade de regulação de um gerador deve ser movimentada 
e sincronizada com a rede do ISO, pronta para ser usada em 
qualquer instante.
Serviços de reserva de potência
A reserva de operação se refere à capacidade de geração 
disponível para responder aos desequilíbrios inesperados do sis-
tema, tais como um incremento rápido da carga, a perda de um 
gerador ou de uma linha de transmissão. Para cada hora do dia 
seguinte, os participantes do mercado oferecem ao ISO o forne-
cimento de energia (ou redução de sua demanda) para compen-
sar parte ou toda a reserva requerida, a um preço de oferta ($/
MW). O ISO precisa garantir que a reserva girante seja unifor-
memente distribuída em todo o sistema, de forma que as reser-
vas disponíveis não sejam afetadas pelas restrições de operação. 
O tipo de reserva disponível e sua definição depende do sistema. 
Por exemplo, elas podem estar sincronizadas com o sistema, co-
nhecidas como reserva girante, ou não sincronizadas, chamadas 
reserva não girante. Além disso, as reservas de potência podem 
ser classificadas de acordo com a quantidade de tempo que elas 
requerem para se tornarem disponíveis. Por exemplo, tem-se:
i. A reserva girante de dez minutos, que pode imediata-
mente iniciar o envio de energia, estando totalmente 
disponível em dez minutos e manter seu nível por pelo 
menos trinta minutos;
ii. Reserva não girante de dez minutos que pode enviar 
energia e estar totalmente disponível em dez minutos, 
mantendo seu nível por mais trinta minutos;
iii. Reserva de operação de trinta minutos, que pode en-
viar energia e estar totalmente disponível em trinta mi-
nutos, mantendo seu nível por mais de uma hora, etc. 
190
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
As reservas (ii) e (iii) são suplementares e podem ser ofe-
recidas por geradores de partida rápida, tais como os gerado-
res movidos por turbinas a gás, por turbinas a óleo, ou por 
usinas hidráulicas. Os consumidores podem participar do for-
necimento de reservas suplementares através de contratos de 
cargas desligáveis.
Vários métodos para fornecer os serviços complementares 
aparecem na literatura técnica. Uma característica dessas propos-
tas de fornecimento do serviço é a natureza sequencial dos ser-
viços de regulação, a reserva girante e as reservas suplementares.
Serviços de potência reativa
O ISO, para manter as tensões das barras do sistema dentro 
de certos limites, pode solicitar geradores para injetar ou absor-
ver potência reativa para manter a tensão do sistema barra den-
tro de certos limites em todo instante. É importante para o ISO 
identificar suas necessidades de potência reativa e desenvolver 
critérios adequados para escolher os fornecedores dessa potên-
cia. Assim, por exemplo, se o fornecimento implica pagamento 
pelo ISO, o ISO deve encontrar fornecedores que minimizem o 
custo total. Embora isso seja visto como um objetivo saudável, 
pode também produzir um incremento nos fluxos de potência 
reativa que leve a um incremento das perdas de transmissão e 
exija a redução de energia nos contratos de venda. Também se o 
ISO solicita um gerador independente para incrementar sua po-
tência reativa, dependendo de seu ponto de operação, o gerador 
pode ser obrigado a reduzir sua geração de potência ativa para 
satisfaze os limites de corrente de campo do rotor.
O preço a ser pago pelos serviços de potência reativa de-
pende da estrutura estabelecida para o mercado elétrico. Em 
alguns mercados, se o gerador tem que reduzir a potência ativa 
191
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
para permitir a unidade geradora gerar ou consumir a potência 
reativa, então esse gerador deve receber uma compensação eco-
nômica para cobrir as perdas por redução da potência ativa.
O controle de tensão pode ser primário ou secundário. O 
controle primário é necessário para compensar variações rápidas 
que podem acontecer em poucos minutos; esse serviço é auto-
mático e pode ser fornecido pelos geradores síncronos, compen-
sadores síncronos, dispositivos SVC, ou transformadores com 
mudança de tap. O controle secundário, por outro lado, com-
pensa as baixas variações de tensão em uma escala de tempo de 
várias horas; esse serviço pode ser fornecido pelos geradores sín-
cronos, compensadores síncronos, reatores e capacitores shunt, 
capacitores em séries ou transformadores com mudança de tap.
Os mercados de serviços complementares para a potência 
reativa têm algumas características peculiares, entre as quais po-
de-se mencionar:
• Os serviços complementares para a potência reativa 
devem ser localmente atendidos para evitar problemas 
associados com a transmissão desse tipo de potência;
• O preço do serviço complementar para a potência rea-
tiva depende da localização, isto é, o preço de 1 MVAr 
pode ser diferente para cada barra do sistema;
• Portanto, a posição estratégica de um fornecedor desse 
serviço pode dar uma vantagem excessiva para alguns 
participantes;
• Devido ao número limitado de participantes no merca-
do da potência reativa, existe a possibilidade da criação 
de mecanismos de poder de mercado;
• Neste mercado, pode acontecer que vários participan-
tes ofereçam potência reativa que é necessária para 
apensas um comprador.
192
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
EXEMPLOS
Exemplo 3.1
Considera-se dois geradores alimentando uma carga de 
200 MW, como mostrado na figura 3.6. Ambos os gerado-
res estão operando em despacho econômico a um custo total 
de $ 2.800/h.
Figura 3.6: Rede de três barras do exemplo 3.1.
Gerador 
(Barra)
Custo 
($/h)
PG
máx
(MW)
PG
mín
(MW)
VG
sp
(pu)
QG
máx
(MVAr)
QG
mín
(MVAr)
1
100 + 20 
PG
200 50 1,0 150 -150
3
200 + 10 
PG
200 50 1,0 150 -150
Tabela 3.1: Dados dos geradores do exemplo 3.1.
Linha Reatância pu (Sbase = 100 MVA) Pf
máx
 (MW)
1 – 2 0,1 200
2 – 3 0,1200
1 – 3 0,1 100
Tensões 0,95 ≤ V ≤ 1,05
193
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Tabela 3.2: Dados do sistema do exemplo 3.1.
O sistema está em um estado inseguro porque a saída da 
linha 2 – 3 produziria uma sobrecarga na linha 1 – 3, e também 
produziria um problema de limite de tensão na barra de carga, 
como é mostrado na figura 3.6, item b). Se essa saída acontece, 
então, devem ser tomadas ações corretivas: incrementar a gera-
ção de potência na barra 1 em 50 MW e diminuir a geração da 
barra 3 nesse mesmo valor; adicionalmente, as tensões especifi-
cadas nas barras de geração devem ser aumentadas.
Se as ações corretivas se tornam ineficientes por alguma 
ração, é necessário adotar ações preventivas sobre o caso base 
(figura 3.6, item a), levando o sistema ao estado seguro mos-
trado na figura 3.6, item c). Obviamente, a adoção das ações 
corretivas (incrementando PG1 em 50 MW e diminuindo PG3 
na mesma quantidade, e também aumentando a tensão pro-
gramada para 1,03 pu) implica aumentar os custos de produ-
ção ($ 3.300/h) quando comparados com o despacho econô-
mico ($ 2.800/h). Este é um exemplo do estados do sistema 
de potência.
Exemplo 3.2
Para se considerar um modelo de a análise de contingência 
segundo os critérios N – 1 e N – 2 para o exemplo 3.1 deve-se 
realizar um estudo detalhado dos seguintes estados:
• Análise N – 1: saída simples de n = 5 elementos (2 gera-
dores e 3 linhas), como mostrado na figura 3.7.
• Análise N – 2: saída simultânea de dois elementos ar-
bitrários dentre os n elementos, isto é n . (n – 1)/2 = 10 
casos de contingência dupla (figura 3.8)
194
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Figura 3.7: Análise N – 1 para o exemplo 3.2.
Figura 3.8: Análise N – 2 para o exemplo 3.2.
195
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Pode ser observado a existência de vários casos críticos:
Os estados 6, 7, 11 e 13 produzem blecaute: nos casos 6 e 
13, há insuficiência de geração e recursos de transmissão, res-
pectivamente. Nos casos 7 e 11, o blecaute é causado por insufi-
ciência de fontes de potência reativa.
Os casos 1, 2, 8, 9, 10, 12, 14 e 15 apresentam problemas de 
baixa tensão: no caso 2 existe ainda sobrecarga na linha 1 – 3.
Exemplo 3.3
Considerando-se que o sistema da figura 3.9 sofre a saída 
do gerador da barra 3.
Figura 3.9: Rede de cinco barras para o exemplo 3.3.
Barra
PL 
(MW)
QL 
(MVAr)
PG 
(MW)
PG
máx
(MW)
PG
mín
(MW)
VG
sp
(pu)
QG
máx
(MVAr)
QG
mín
(MVAr)
1 1.500 750 - - - - - -
2 500 250 - - - - - -
3 0 0 1.000 1.500 250 1,05 750 - 750
4
0
0
750 1.500 250 1,05 750 - 750
5 0 0 309 1.000 250 1,05 500 - 500
196
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Tabela 3.3: Dados de geração para o exemplo 3.3.
Linha 
i, j
Resistência Reatância
Susceptância 
Shunt
Q f
máx
 
(MW)
Pf
pu (Pbase = 100 MVA)
i → 
j
j → 
i
L1 1 - 2 0,002 0,01 0,002 1.000 96 - 96
L2 1 – 3 0,004 0,02 0,004 1.000
- 
699
721
L3 1 – 4 0,002 0,01 0,002 1.000
- 
897
920
L4 2 – 5 0,004 0,02 0,004 1.000
- 
404
414
L5 3 – 4 0,004 0,02 0,004 1.000 279
- 
276
L6 4 - 5 0,004 0,02 0,004 1.000 106
- 
105
Tabela 3.4: Dados do circuito do exemplo 3.3.
As matrizes A, X e B são as seguintes
A = −
−
− −












1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1
X =


















0,01 0 0 0 0 0
0 0,02 0 0 0 0
0 0 0,01 0 0 0
0 0 0 0,02 0 0
0 0 0 0 0,02 0
0 0 0 0 0 0,02
197
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
B =
− − −
−
− −
− −












250 100 50 100
100 150 0 0
50 0 100 50
100 0 50 200
e a matriz de sensibilidade, Sf, é a seguinte:
S X A Bf
-1 T -1= =
−
− −
−
−


















0,4828 0,3448 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,4828 0,0689
0,4138 0,2759 0,0689 0,2759
0,4828 0,6552 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,5172 0,0689
0,5172 0,3448 0,5862 0,6552
Se a barra de folga compensa totalmente a geração perdida,
∆P T
i = [0 0 -1.000 0]
produzindo
∆P T
i = [-414 483 -69 -414 -517 -586]
Os fluxos de potência pós-contingência são mostrados na 
tabela 3.5, juntos com os valores verdadeiros encontrados usan-
do um programa de fluxo de carga comercial. Como pode ser 
verificado, os erros são aceitáveis, ao menos para detectar a exis-
tência de problemas.
Linha
Caso 
Base
Desequilíbrio assumido 
pelo gerador 5
Fluxo de carga
Desequilíbrio assumido 
pelos geradores 5
Fluxo de carga
Pij Pji Pij Pji ∆Pij ∆Pji
DF
Pij Pji ∆Pij ∆Pji
DF
∆Pij ∆Pij
1 – 2 96 -96 -294 296 -390 392 -414 -104 104 -200 201 -207
1 – 3 -699 721 -241 245 458 -476 483 -279 284 420 -438 441
1 – 4 -897 920 -965 994 -68 74 -69 -1117 1152 -219 231 -234
198
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Linha
Caso 
Base
Desequilíbrio assumido 
pelo gerador 5
Fluxo de carga
Desequilíbrio assumido 
pelos geradores 5
Fluxo de carga
2 – 5 -404 414 -796 830 -392 416 -414 -604 626 -201 212 -207
3 - 4 279 -276 -245 248 -524 524 -517 -284 288 -562 564 -559
4 - 5 106 -106 -492 502 -598 608 -586 -89 90 -195 196 -193
Tabela 3.5: Fluxo de potência para o exemplo 3.3.
Na prática, no caso da saída de um gerador, vários gera-
dores assumem o desequilíbrio devido à ação do controlem 
automático da geração. Neste exemplo, o gerador da barra de 
folga não é capaz de fornecer 1.250 MW após a saída do ge-
rador da barra 3. Portanto, assume-se que o desequilíbrio de 
potência é partilhado pelos geradores restantes de forma pro-
porcional à . Assim, 600 MW são repassados para o gerador da 
barra 4 (PG4
 máx = 1.500 MW) e 400 MW para o gerador da barra 
5 (PG5
 máx = 100 MW). Isso produz
= −


P 0 0 1.000 600i
T
e, consequentemente,
= − − − − −


P 207 441 234 207 559 193i
T
Os fluxos de potência pós-contingência usando os fatores 
de partilha γ = 0,64
3 e γ = 0,45
3 também são mostrados na ta-
bela 3.5. Ressalta-se a sobrecarga da linha 1 – 4 que não pode ser 
detectada se o modelo não considera o efeito do CAG (Controle 
Automático de Geração) no desequilíbrio de potência.
Exemplo 3.4
No sistema do exemplo 3.3, supõe-se a saída repentina da linha 
1 – 3. Modificando as matrizes A, X e B para levar em conta a 
199
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
saída da linha, a nova matriz de sensibilidade é encontrada da 
seguinte forma:
= =
−
− −






S ( ( (
0,5 0,3333 0,3333 0,3333
0,5 0,3333 0,3333 0,3333
0,5 0,667 0,3333 0,3333
0 0 1 0
0,5 0,333 0,6667 0,6667
f
' X') A') B')-1 T -1
Os novos fatores de distribuição são
ρ = −


 = − −


S 1 0 1 0 0,1667 0,8333 0,1667 1 0,1667f
1,3 ' T T
Então, multiplicando os fatores de distribuição pelo fluxo 
na linha antes da contingência, P1,2 = - 699, medido na barra 1, 
os fluxos de potência pós-contingência podem ser encontrados 
na tabela 3.6.
Linha Caso Base
Saída da linha L2 (1-3)
Fluxo de carga
Pij Pji Pij Pji ∆Pij ∆Pji
DF
∆Pij
1 – 2 96 -96 -53 53 -149 149 -109
1 – 3 -699 721 0 0 699 -721 -
1 – 4 -897 920 -1447 1506 -550 586 -545
2 – 5 -404 414 -553 576 -149 162 -109
3 - 4 279 -276 1000 -964 721 -688 655
4 - 5 106 -106 207 -204 102 -98 109
Tabela 3.6: Fluxos de potência no exemplo 3.4
Alternativamente, em lugar de modificar todas as matrizes 
para considerar a saída da linha, os fatores de distribuição po-
dem ser obtidos usando duas injeções fictícias de potência nas 
barras 1 e 3.
200
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
P P1 3= − =
− +
=
S S
1
1
2,417
L L2,1 2,3
com =P 1L2
0 . Então os fatores de distribuição são obtidos 
da matriz de sensibilidade original Sf , como 
ρ = −


 = − −


2,417 0 2,417 0 0,1667 1,417 0,8333 0,1667 1 0,16672 SfL
T T
Nota-se que o ramo sob contingência está virtualmente em 
serviço quando se usa essa técnica, com um fator de distribuição 
inútil de =P 1,417L2
0
.
Exemplo 3.5
Supõe-se que um índice de ordenamento (RI de contingên-
cias), como dado por (3.16), é adotado para a rede do exemplo 
3.3. O RI do caso base é 0,413.
Considerando todas assaídas, exceto o gerador da barra de 
folga, já que esse gerador é responsável pelo fornecimento devi-
do a qualquer desequilíbrio da geração. Então, usando como os 
fluxos do caso base, e encontrando os fluxos pós-contingência 
através dos correspondentes fatores de distribuição para cada 
uma das oito contingências N – 1, os seguintes índices de orde-
namento são encontrados e descritos na tabela 3.7: 
Contingência G3 G4 L1 L2 L3 L4 L5 L6
RI 0,506 0,480 0,417 0,537 0,504 0,499 0,367 0,410
Tabela 3.7: Índices de ordenamento para o exemplo 6.5.
Em consequência, os estados de pós-contingência podem 
ser classificados em ordem decrescente de RI: L2, G3, L3, L4, G4, 
L1, L6 e L5.
Uma análise detalhada dos estados pós-contingência usando 
o fluxo de carga fornece os resultados apresentados na tabela 3.8.
201
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Caso
L1 L2 L3 L4 L5 L6 Sobrecarga
1 2 1 3 1 4 2 5 3 4 4 5
L2 -53 53 0 0 -1447 1506 -553 576 1000 -963 207 204 L3, (L5)
G3 -294 296 -241 245 -965 994 -796 830 -245 248 -492 502 -
L3 -352 359 -1148 1240 0 0 -859 918 -240 243 507 -497 L2
L4 508 -500 -782 818 -1226 1271 0 0 182 -180 -341 345 L3
G4 -153 153 -655 681 -692 705 -653 677 319 -314 -392 399 -
L1 0 0 -680 701 -820 841 -500 513 299 -296 205 -203 -
L6 198 -197 -720 743 -979 1004 -302 310 257 -254 0 0 (L3)
L6 138 -137 -960 -1000-677 695 -362 372 0 0 55 -55 -
Tabela 3.8: Análise detalhada dos estados pós-contingência.
Nota-se que a análise por ordenamento teria parado após 
detectar o caso não sobrecarregado (G3 ), deixando sem atenção 
algumas contingências críticas: saídas L3 e L4. Esse problema é 
usualmente conhecido como efeito de mascaramento e é ineren-
te aos métodos de ordenamento.
 Exemplo 3.6
Neste exemplo, todas as contingências, N – 1, do exemplo 
3.3 serão analisadas usando o fluxo de carga desacoplado rápido, 
com exceção da saída do gerador da barra de folga. Após a pri-
meira iteração completa, e sempre iniciando do estado pré-con-
tingência, a primeira verificação dos problemas é feita usando os 
valores aproximados dos fluxos. O processo iterativo continua 
se são detectados problemas como mostra a figura 3.4.
Para avaliar a precisão dos resultados encontrados após 
apenas uma iteração do fluxo de carga, a tabela 3.9 mostra os 
fluxos e as tensões após a primeira iteração e após a conver-
gência final com uma tolerância de erro de 0,1 MVA. São apre-
sentados os resultados das saídas da linha L2 e do gerador G3 e, 
ambos os casos, foram necessárias três iterações.
202
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Potências
Saída de L2 Saída de G3
Uma iteração Convergido Uma iteração Convergido
Origem Destino Origem Destino Origem Destino Origem Destino
L1 -52 53 -52 53 -257 258 -293 295
L2 0 0 0 0 -214 217 -239 243
L3 -1376 1428 -1447 1506 -971 1000 -962 991
L4 -543 564 -553 576 -782 811 -797 831
L5 1020 -982 1000 -963 -278 282 -245 249
L6 171 -169 207 -203 -481 490 -495 505
Tensões
1 0,9165 0,9095 0,9609 0,9201
2 0,9354 0,9297 0,9622 0,9342
3 1,0500 1,0500 1,0034 0,9612
4 1,0164 1,0144 1,0500 1,0044
5 1,0500 1,0500 1,0500 1,0500
Tabela 3.9: Estado pós-contingência após a primeira iteração e após a convergência.
Nota-se que a primeira iteração fornece uma boa estima-
tiva dos valores finais, permitindo identificar as sobrecargas 
nas linhas L3 e L5 quando a linha L2 está sob contingência, e 
possíveis problemas na linha L3 devido à saída do gerador G3. 
Analisando as tensões, nota-se que somente uma iteração não é 
suficiente para detectar de forma correta os problemas de ten-
são nas barras 1 e 2 como consequência da saída do gerador G3. 
Este fato nos traz à mente a conveniência de realizar duas itera-
ções para detectar possíveis problemas de tensão, especialmente 
quando algum gerador atinge o limite de potência reativa após 
uma contingência.
203
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Elemento 
Desacoplado
Primeira Iteração
Após a 
Convergência
Nº de 
Iterações
G3 L3 sobrecarga
Baixa tensão nas 
barras 1 e 2
3
G4
Baixa tensão na 
barra 1
2
L1 - - 1
L2
L3 e L5 
sobrecarregadas
Baixa tensão nas 
barras 1 e 2
G4 no limite 
reativo
L3 e L5 
sobrecarregadas
Baixa tensão nas 
barras 1 e 2
G4 no limite 
reativo
3
L3
L2 sobrecarregada
Tensões críticas 
nas barras 1 e 2
L2 sobrecarregada
Tensões críticas 
nas barras 1 e 2
G3 no limite 
reativo
5
L4
L3 sobrecarregada
Baixa tensão nas 
barras 1 e 2
L3 sobrecarregada
Baixa tensão nas 
barras 1 e 2
G4 no limite 
reativo
4
L5 -
L2 próximo do 
limite
2
L6 L3 no limite L3 no limite 1
Tabela 3.10: Informação fornecida pela análise de contingências do exemplo 3.6.
A análise de contingência fornece a informação mostrada 
na tabela 3.10. Pode ser verificado que a análise preliminar de 
violação de limites, após a primeira iteração, permite identificar 
problemas na maioria das contingências, com exceção de alguns 
problemas de tensão (G3) e de limites de geração de potência 
reativa (L3 e L4).
204
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Exemplo 3.7
Neste exemplo, será encontrado o estado ótimo em relação 
aos custos de geração do sistema apresentado na figura 3.10.
Figura 3.10: Sistema de cinco barra do exemplo 3.7.
Barra
PD 
(MW)
QD 
(MVAr)
PG 
(MW)
PG
máx
(MW)
PG
mín
(MW)
VG
sp
(pu)
QG 
(MVAr)
QG
máx
 
(MVAr)
QG
mín
 
(MVAr)
1 1.000 250 - - - - - - -
2 1.000 250 - - - - 0 200 0-
3 0 0 - - - - - - -
4 0 0 1.000 1.500 500 1,00 833 1.000 -1.000
5 0 0 1.069 1.500 500 1.00 54 1.000 -1.000
Tensões 0,95 ≤ V ≤ 1,05
Tabela 3.11: Características de geração do sistema do exemplo 3.7.
Linha Resistência Reatância Susceptância
Sf
máx
 
(MVA)
Sij 
(MVA)
pu (Pbase = 100 MVA) i → j
L1 1 - 2 0,010 0,010 0,020 500 230,7
205
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Linha Resistência Reatância Susceptância
Sf
máx
 
(MVA)
Sij 
(MVA)
L2 1 – 3 0,001 0,015 0,000 2.000 804,0
L3 1 – 4 0,001 0,010 0,000 2.000 1.266,4
L4 2 – 5 0,005 0,020 0,020 1.500 221,3
L5 3 – 4 0,005 0,010 0,020 1.500 724,1
L6 4 - 5 0,005 0,020 0,020 1.500 326,3
Tabela 3.12: Dados de rede para o sistema do exemplo 3.7.
Os custos de geração são os seguintes:
G4: 100 + 10,5 PG4 $/MWh G5: 100 + 10,5 PG5 $/MWh
Além disso, o sistema tem elementos de controle de tensão: 
controle de tensão no gerador, um banco de capacitores de 200 
MVAr com 20 degraus de 10 MVAr, e o transformador 1 – 3 
com 21 tapes para regulação para mudar a relação de transfor-
mação em ± 10%, com incremento de 1%. Inicialmente, o ban-
co de capacitores está desligado e o tap do transformador está 
no ponto central.
As matrizes G e B são as seguintes:
=
+ − −
− −
− − −
− − −
− −






=
− +
− −
−
−
−






a a
a
a a
a
50 4,4248 / 50,0 4,4248 / 0,0 0,0
50,0 59,9010 0,0 9,9010 0,0
4,4248 / 0,0 56,1895 11,7647 40,0
0,0 9,9010 11,7647 33,4304 11,7647
0,0 0,0 40,0 11,7647 51,7647
49,99 4,4248 / 50,0 66,3717 / 0,0 0,0
50,0 148,9999 0,0 99,0099 0,0
66,3717 / 0,0 193,4105 47,0588 80,0
0,0 99,0099 47,0588 193,1076 47,0588
0,0 0,0 80,0 47,0588 127,0388
2
2
A
B
onde a é relação de transformação do transformador em pu.
206
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Nota-se que a matriz B também depende da susceptância 
do banco de capacitores. Entretanto, neste exemplo, o capacitor 
é modelado como uma injeção de potência reativa na barra 2.
O objetivo da FPO é minimizar os custos de produção,
C = C1 + C2 =200 + 10,5 PG4 + 10,5 PG5
e as restrições são:
• Equações de rede:


θ θ θ θ
θ θ θ θ
( ) ( )
( ) ( )
= − = ∑
− + − 
= − = ∑
− − − 
=
=
VV
VV
i jj
i jj
1
5
1
5
 P P P
G cos B sen i =1, , 5
 Q Q Q
G sen B cos i =1, , 5
i Gi Di
ij i j ij i j
i Gi Di
ij i j ij i j
onde as variáveis de decisão são PG4, PG5, QG4, QG5, assim 
como a potência reativa injetada pelo banco de capacitores QG2, 
e a relação de transformação do transformador, a, incluída nasmatrizes G e B. Por outro lado, a barra 5 e de folga, θ5 = 0.
• Limites nos dispositivos de controle
• Geração ativa e potência reativa:
500 ≤ PG4 ≤ 1500 -1000 ≤ QG4 ≤ 1000
500 ≤ PG5 ≤ 1500 -1000 ≤ QG5 ≤ 1000
• Banco de capacitores: 0 ≤ QG2 ≤ 200, em pas-
sos discretos de 10 MVAr.
• Relação de transformação do transformador: 
0,9 ≤ a ≤ 1,1; com incremento de 0,01 pu.
A natureza discreta do tap do transformador e do banco de 
capacitores, considerando a pequena magnitude dos passos em 
ambos os casos, é levada em conta arredondando as variáveis 
para o valor discreto mais próximo e atualizando o estado do 
sistema através da solução de um problema de fluxo de carga.
207
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
• Limites operacionais:
V i =1, , 5
S i, j =1, , 5
i
ij


≤ ≤
= + ≤P Q S
0,95 1,05
ij ij ij
máx2 2
onde
P V V G cos B sen G
Q V V G sen B cos B
ij i j ij i j ij i j ij
ij i j ij i j ij i j ij
θ θ θ θ
θ θ θ θ
( ) ( )
( ) ( )
= − + −  −
= − + −  + − 
V
b V
i
ij
p
i
2
2
A solução do FPO anterior leva ao estado mostrado na fi-
gura 3.13.
Figura 3.11: Estado ótimo em relação aos custos de geração da rede de cinco barras.
Podem ser feitos os seguintes comentários em relação à so-
lução ótima:
O custo de produção é reduzido para $ 21.289/h, com uma 
diminuição de $ 101/h comparado com o caso base;
As perdas também foram reduzidas de 69,2 para 65,2 MW. 
Ressalte-se que o gerador 4 é favorecido pela melhor localiza-
ção. Na verdade, uma estratégia de despacho econômico (DE) 
exclusivamente baseado em custos levaria esse gerador ao seu 
limite térmico inferior.
208
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Todas as variáveis são otimizadas para minimizar o custo, 
sujeito a todas as restrições. Na verdade, os problemas de tensão 
presentes no caso base são corrigidos.
A relação de transformação do transformador foi arredon-
dada para 1,03 pu, e os módulos do capacitor são plenamente 
utilizados (200 MVAr de capacidade nominal), que injetam 206 
MVAr, a uma tensão de 1,014 pu.
Os multiplicadores de Lagrange correspondentes às equa-
ções de potência ativa fornecem o custo incremental da barra, 
isto é, a sensibilidade do custo de produção em relação à deman-
da de potência ativa de barra.
λT = [11,08 10,70 10,76 10,50 10,00] $/MWh
Ressalta-se que podem ser encontrados custos incremen-
tais semelhantes para as demandas de potência reativa.
Exemplo 3.8
O sistema de potência do exemplo 3.3, apresentado na fi-
gura 3.14, está no estado de emergência, onde a linha L3 está 
sobrecarregada.
Figura 3.12: Sistema de cinco barras para o exemplo 3.8.
209
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Barra PD (MW)
QD 
(MVAr)
PG (MW)
QG 
(MVAr)
V pu
1 1.250 500 - - 0,96
2 1.250 500 - - 0,93
3 0 0 1.150 366 1,05
4 0 0 1.100 682 1,04
5 0 0 351 456 1,03
Tabela 3.13: Dados de geração do sistema do exemplo 3.8.
Os fluxos de potência podem ser facilmente encontrados 
usando o modelo de rede CC como no exemplo 3.3:
=
−
− −
−
−






−
−






=
−
−
−






0,4828 0,3448 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,4828 0,0689
0,4138 0,2759 0,0689 0,2759
0,4828 0,6552 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,5172 0,0689
0,5172 0,3448 0,5862 0,6552
12,5
12,5
11,5
11,0
6,82
8,47
10,86
5,67
3,03
3,17
Pf
Nota-se que a linha L3 está sobrecarregada em 86 MW 
(Pf
máx 
 = 1.000 MW e Sbase = 100 MVA).
Adotando o modelo linear da equação (3.3), o problema 
FPO pode ser formulado como:
• Função objetivo
+ = 









+ 









≥ ≥
+
+
+
−
−
−
c c
P
P
P
P
P
P
10 10 20 10 10 20
0 0
u
T
d
T
G
G
G
G
G
G
3
4
5
3
4
5
P P
P P
+ -
+ -
Ressalta-se que foram usados custos de penalidade por re-
programação de $ 10 MW para os geradores 3 e 4, e $ 20/MW 
para o gerador 5.
• Equações de rede: P + ∆P+ - ∆P- = B θ 
210
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
θ
θ
θ
θ
−
−
+ −
+ −






=
− − −
−
− −
− −












+ −
+ −
P
P
12,5
12,5
11,5
11,0
250 100 50 100
100 150 0 0
50 0 100 50
100 0 50 200
G G
G G
3 3
4 4
1
2
3
4
P
P
Como o modelo anterior não inclui a operação de barra da 
barra de folga, uma equação adicional é necessária no FPO para 
incorporar a variável de decisão desse gerador:
( ) ( ) ( )+ − + + − + + − =+ − + − + −P P P P P P11,5 11,0 2,5 25,00G G G G G G3 3 4 4 5 5
onde 250 MW é a geração inicial do gerador 5, sem con-
siderar as perdas. Esta última equação não seria necessária se 
fosse usada a matriz de susceptância B̂ de dimensão n x (n – 1) 
no lugar da matriz B.
θ
θ
θ
θ






≥
+ −
+ −
+ −






≥






−
−
−
−
−
−






≤
−
−
−
−












≤






+ −
+ −
+ −
P P
P P
P P
15,0
15,0
10,0
11,5
11,0
2,5
2,5
2,5
2,5
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
100 100 0 0
50 0 50 0
100 0 0 100
0 50 0 0
0 0 50 50
0 0 0 0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
G G
G G
G G
3 3
4 4
5 5
1
2
3
4
A solução do problema de programação linear fornece a 
seguinte reprogramação e fluxos:
∆P+ = [2,5 0 0]T ∆P- = [0 2,5 0]T
Pf = [7,0 -9,5 -10,0 -5,5 4,5 3,5]T
com um custo total de $ 50.
211
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Uma alternativa é formular o problema de FPO na forma 
compacta eliminando os ângulos de fase
( ) ( )= − = + −
=
−
−
−






+
−
− −
−
−






−
−






+ −
+ −
P
P P
P P
6,82
8,47
10,86
5,67
3,03
3,17
0,4828 0,3448 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,4828 0,0689
0,4138 0,2759 0,0689 0,2759
0,4828 0,6552 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,5172 0,0689
0,5172 0,3448 0,5862 0,6552
0
0
f
G G
G G
0
3 3
4 4
 P S P+ P P Sf P Pf f
+ - + -
Obviamente, ambos os problemas de FPO fornecem solu-
ções idênticas.
Uma técnica heurística alternativa para o FPO consiste em 
usar os fatores de distribuição da linha sobrecarregada L3,
P P
 P - P
L3 i
3 4
ρ
ρ ρ
( )= − = − − − = =
= = = = −
P P 10,0 10,86 0,86
0,0689 12,48 0,2789 3,12
L
i
L L
i
L
i
L
G
3 3
0
3
3 3
4
que significa aumentar a geração de potência ativa em 1.248 
MW, ou alternativamente, diminuir a geração do gerador 4 em 
312 MW. Em ambos os casos, o desequilíbrio é compensado 
pelo gerador da barra de folga.
Também pode-se incluir considerações econômicas no 
processo anterior. Como um exemplo, considera-se que deva ser 
evitado um incremento de geração na barra de folga devido ao 
seu custo elevado. Nesse caso, a potência não fornecida pelo 
gerador 4 deve ser fornecida pelo gerador 3:
 P P P PL3 4 3 4ρ ρ= = + = − =P 0,86 2,49L
i
L
i
L
G
3 3 3
4
Observa-se que esta última solução heurística coincide com 
a solução do FPO.
212
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Exemplo 3.9
Considera-se que o sistema de cinco barras do exemplo 3.8 
está no estado apresentado na figura 3.13.
Figura 3.13: Sistema de cinco barras do exemplo 3.9.
Os fluxos de potência neste estado, calculados usando o 
modelo CC, são os seguintes:
=
−
− −
−
−






−
−






=
−
−
−
−






0,4828 0,3448 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,4828 0,0689
0,4138 0,2759 0,0689 0,2759
0,4828 0,6552 0,4138 0,3448
0,1034 0,0689 0,5172 0,0689
0,5172 0,3448 0,5862 0,6552
25,0
3,0
13,0
12,5
1,35
9,93
13,72
4,35
3,07
1,85
Pf
Ressalta-se que existe uma sobrecarga elevada na linha L3, 
e que L2 está praticamente no limite (1.000 MW).
Barra PD (MW)
QD 
(MVAr)
PG (MW)
QG 
(MVAr)
V pu
1 2.500 750 - - 0,95
2 300 100 - - 0,96
3 0 0 1.300 479 1,05
213
DESPACHO ECONÔMICODE ENERGIA
Barra PD (MW)
QD 
(MVAr)
PG (MW)
QG 
(MVAr)
V pu
4 0 0 1.250 597 1,03
5 0 0 356 299 1,03
Tabela 3.14: Dados de geração do sistema do exemplo 3.9.
Neste caso, um corte de carga ∆Pd é necessário para eli-
minar a sobrecarga. Obviamente, esse corte de carga deve ser 
o mínimo necessário para eliminar a sobrecarga e, consequen-
temente, um custo muito maior que o maior custo de despacho 
de um gerador deve ser atribuído a este corte de carga. Assim, o 
problema FPO pode ser formulado como:
• Função objetivo
+ = 









+










+ 









≥ ≥ ≥
+
+
+
+
−
−
−
c c c
P
P
P
P
P
P
P
P
10 10 20
10 10 20 100 100
0 0 0
u
T
d
T
ls
T
G
G
G
G
G
G
D
D
3
4
5
3
4
5
1
2
 P P
 
P P P
- d
+ -
D
• Equações de rede: P + ∆P+ - ∆P- = B θ 
θ
θ
θ
θ
− +
− +
+ −
+ −






=
− − −
−
− −
− −












+ −
+ −
P
P
P P
P P
25,00
3,0
13,0
12,5
250 100 50 100
100 150 0 0
50 0 100 50
100 0 50 200
D
D
G G
G G
1
2
3 3
4 4
1
2
3
4
e a equação adicional para a geração na barra de folga.
214
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
( ) ( ) ( )+ − + + − + + −
= − −
+ − + − + −P P P P P P13,0 12,5 2,5
28
G G G G G G
D
3 3 4 4 5 5
1 P PD2
• Limites
θ
θ
θ
θ






≥
+ −
+ −
+ −






≥






−
−
−
−
−
−






≤
−
−
−
−












≤






+ −
+ −
+ −
P P
P P
P P
15,0
15,0
10,0
13,0
12,5
2,5
2,5
2,5
2,5
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
100 100 0 0
50 0 50 0
100 0 0 100
0 50 0 0
0 0 50 50
0 0 0 0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
G G
G G
G G
3 3
4 4
5 5
1
2
3
4
A solução do problema de programação linear anterior for-
nece as seguintes ações corretivas e fluxos de potência:
∆P+ = [2,00 0 6,00]T ∆P- = [0 10,00 0]T 
∆Pd = [2,0 0]T
Pf = [-3,0 -10,0 -10,0 -6,0 5,0 -2,5]T
Os geradores G3 e G5 incrementam suas potências ativas, 
enquanto o gerador G4 diminui a geração. Também existe um 
corte de carga de 200 MW na barra 1,
Observa-se que diferentes custos de corte de carga podem 
ser atribuídos a cada barra, introduzindo discriminação entre 
consumidores.
Exemplo 3.10
O sistema do exemplo 3.7 está no estado mostrado na figu-
ra 3.10. Nota-se que as tensões excessivamente baixas nas barras 
1 e 2 (0,91 e 0,94 em pu, respectivamente) devem ser corrigidas.
215
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Para evitar grandes desvios nas variáveis de decisão em re-
lação aos valores iniciais, deve-se usar uma penalização quadrá-
tica nas ações de controle como função objetivo:
F = (∆V4)
2 + (∆V5)
2 + (∆a)2 + (∆Qc)
2
Onde V4 = 1,0 + ∆V4, V5 = 1,0 + ∆V5, a = 1,0 + ∆a e 
Qc = 0,0 + ∆Qc.
As restrições são as mesmas do exemplo 3.7, com duas 
exceções:
PG4 = 10,0, isto é, a potência ativa é fixada em 1.000 MW, 
e PG5 (a barra de folga) deve assumir qualquer desequilíbrio 
de potência.
A solução para o problema de otimização, arredondando a 
posteriori o valor das variáveis de controle discretas, fornece o 
estado mostrado na figura 3.14.
Figura 3.14: Rede de cinco barras do exemplo 3.10 após corrigir os limites de tensão violados.
Os seguintes comentários sobre a solução do FPO podem 
ser feitos:
A função objetivo é uma combinação de diversas variáveis 
de magnitudes físicas diferentes (tensões de geração, relação de 
transformação de transformador e potência reativa de um ban-
216
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
co de capacitores) com diferentes escalas e margens, ainda que 
sejam representadas em pu. Nota-se que o banco de capacitores 
não foi usado, apesar de ser uma fonte local de potência reativa 
localizada em uma barra de baixa tensão, como o resultado da 
escala das variáveis de controle nessa função.
O uso da penalização quadrática das ações de controle na 
função objetivo não evita um elevado número dessas ações. Na 
verdade, todas essas ações de controle foram usadas, exceto o 
banco de capacitores.
As medidas corretivas produzem uma redução do custo 
devido a uma redução das perdas, como resultado das tensões. 
O novo custo de produção é de $ 21.370/h, representando uma 
economia de $ 20/h quando comparado com o custo inicial.
Exemplo 3.11
Neste exemplo, os problemas de tensão do exemplo 3.7 (fi-
gura 3.10), corrigidos no exemplo 3.10 usando um FPO, serão 
corrigidos usando sensibilidade. Inicialmente, as sensibilidades 
de tensões problemáticas com relação às ações de controle dis-
poníveis são encontradas usando uma aproximação linear das 
equações de potência reativa da barra,
G sen B cos ij ij ij ijθ θ[ ]= = −∑ ≈ −∑I Qi
Vi
V B Vri jj ij jj
onde Iri é a corrente reativa injetada na barra i. a expres-
são anterior pode ser escrita na forma matricial, separando as 
barras de geração e demanda: 
�
� � �
�
�
�
�
�
� � � � � �
�
�
�






=


















=
− −
− −
− − −
− − −
− −












I
I
B B
B B
V
V
I
I
I
I
I
V
V
V
V
V
116,3616 50,0 66,3716 0 0
50,0 148,9999 0 99,0099 0
66,3717 0 193,4105 47,0588 80,0
0 99,0099 47,0588 193,1075 47,0588
0 0 80,0 47,0588 127,0388
rD
rG
D D D G
D G
T
G G
D
G
r
r
r
r
r
, ,
, ,
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
217
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA�
� � �
�
�
�
�
�
� � � � � �
�
�
�






=


















=
− −
− −
− − −
− − −
− −












I
I
B B
B B
V
V
I
I
I
I
I
V
V
V
V
V
116,3616 50,0 66,3716 0 0
50,0 148,9999 0 99,0099 0
66,3717 0 193,4105 47,0588 80,0
0 99,0099 47,0588 193,1075 47,0588
0 0 80,0 47,0588 127,0388
rD
rG
D D D G
D G
T
G G
D
G
r
r
r
r
r
, ,
, ,
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Em seguida, analisa-se o efeito de cada variável de controle 
sobre as tensões problemáticas.
• Banco de capacitores: a conexão do banco de capaci-
tores significa a injeção de uma corrente reativa Ir2 , 
enquanto as tensões dos geradores permanecem cons-
tantes (∆V4 = ∆V5 = 0). Consequentemente, 
 I I r D r G= =− −V B B B I;D D D D G
T
D D rD,
1
, ,
1
200 MVAr (a potência reativa na tensão nominal) estão dis-
poníveis na barra 2. Os termos de interesse são:






=












=
−
−






V
V
V
I I
I
I
0,00437
0,00818
0,00150
; 0,88021
0,11994
r
r
r
r
1
2
3
2
4
5
2
A corrente reativa fornecida pelo banco de capacitores de-
penda da tensão de barra:
Q V V V2 2 2 2= = =I V/ 2,0 / 2,0r2 2
2
Considerando que, antes de conectar o banco de capacito-
res, V2 = 0,942,
∆V2 = 0,00818 x 2,0 x (0,942 + ∆V2)
produzindo V e 2 = =I0,0157 1,9154r2 . Então



 = 






 = − −


I I 1,686 0,23r r
1 2 3
4 5
V V V 0,0084 0,0157 0,0029
 
218
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Nota-se que a conexão de 200 MVAr na barra 2 corrigiria 
a tensão V2 (V2 = 0,958) e também melhoraria V1 (V1 = 0,917). 
Além disso, os geradores injetariam menos potência reativa.
• Geradores nas barras 4 e 5: considerando ∆ = 0,
V B V B Vc C,G G C,G G= = −− −B I B B;C C rG C G
T
C C,
1
, ,
1
produzindo






=


















=
−
−












V
V
V
V
V
I
I
V
V
0,64283 0,35743
0,88021 0,11994
0,46391 0,53629
84,12692 84,17143
84,17143 84,13593
r
r
1
2
3
4
5
4
4
4
5
Nota-se que levar V1 para dentro dos limites (∆V1 = 0,041) 
produz uma variaçãoExemplos ................................................................................347
Exemplo 5.1 ............................................................................347
Exemplo 5.2 ............................................................................348
Exemplo 5.3 ............................................................................348
Exemplo 5.4 ............................................................................350
O despacho no contexto dos novos mercados de 
energia ................................................................... 353
Despacho econômico ..........................................................355
Despacho econômico básico .............................................357
fundamentos de despacho econômico ............................358
Despacho econômico com demanda elástica ............... 362
Despacho econômico com limites de geração ..............363
Despacho econômico com perdas ...................................366
Despacho econômico com restrições de rede ............... 373
Fluxo de potência ótimo ...................................................... 375
Programação de unidades geradoras .............................. 376
Operações do mercado de eletricidade ............................380
Fundamentos .........................................................................380
 Despacho centralizado versus operação de 
mercado ..................................................................................382
Procedimentos de liquidação no mercado ......................383
Leilão monoperíodo ..............................................................383
Leilão multiperíodo ...............................................................386
Leilão multiperíodo com restrições de rede ....................388
Atribuição de preços .............................................................389
Programação do produtor e estratégias de ofertas .......390
Produtores sem poder de mercado ..................................390
Produtor com poder de mercado ......................................393
Estratégias de lances ...........................................................395
 Pontos de vista do consumidor e do comercializador ..395
Exemplos ................................................................................397
Exemplo 6.1 ............................................................................397
Exemplo 6.2 ............................................................................399
Exemplo 6.3 ............................................................................399
Exemplo 6.4 ............................................................................400
Exemplo 6.5 ............................................................................401
Exemplo 6.6 ............................................................................403
Exemplo 6.7 ............................................................................404
Exemplo 6.8 ............................................................................405
Exemplo 6.9 ............................................................................407
Exemplo 6.10 ..........................................................................408
Exemplo 6.11 .......................................................................... 411
Exemplo 6.12 .......................................................................... 415
Exemplo 6.13 .......................................................................... 421
Exemplo 6.14 .......................................................................... 426
Exemplo 6.15 .......................................................................... 427
Exemplo 6.16 ..........................................................................429
Exemplo 6.17 ..........................................................................431
BIBLIOGRAFIA ........................................................ 433
LiSta de figuraS
 Figura 1.1: Representação de N unidades térmicas 
conectadas a uma única barra. .......................................... 23
 Figura 1.2: Condição de mínimo custo de operação 
quando nenhum limite de geração é atingido. ................. 26
 Figura 1.3: Valores relativos dos custos incrementais 
quando o gerador 1 atinge seu limite superior. ................ 27
 Figura 1.4: Valores relativos dos custos incrementais 
quando o gerador 2 atinge seu limite inferior. .................. 27
 Figura 1.5: Condições de otimalidade para várias 
unidades geradoras. .............................................................. 29
 Figura 1.7: Aproximação linear por partes de 
função-custo (acima) e da função de custo incremental 
correspondente (abaixo). ...................................................... 32
 Figura 1.8: Projeção de um novo λ a partir dos dois 
últimos valores calculados. ................................................. 35
 Figura 1.9: Interpretação gráfica da condição de folga 
complementar e sua relaxação 
através do parâmetro μ. ........................................................ 40
 Figura 1.10: Duas maneiras distintas de se considerar as 
perdas de transmissão: a) Representação da rede 
elétrica em detalhes, b) Extensão do despacho 
econômico clássico. .............................................................. 46
 Figura 1.11: Despachos obtidos na ausência e na presen-
ça de perdas de transmissão para uma situação com 
penalidade. .............................................................................. 49
 Figura 1.12: Características de custos incrementais 
constantes por partes de duas unidades térmicas. ........ 63
 Figura 1.13: Sistema de 2 barras com perdas de 
transmissão. ........................................................................... 67
 Figura 2.1: Exemplo e grafo correspondente à 
matriz A (6 x 6). ....................................................................... 77
 Figura 2.2: Matriz esparsa diagonal e grafo 
correspondente à matriz esparsa bloco-diagonal. ......... 78
Figura 2.3: Ilustração do enchimento na fatoração LU. 90
 Figura 2.4: Acesso às colunas de l durante 
substituição direta. ................................................................ 92
 Figura 2.5: Sistema de potência para exemplificar 
a ordenação. ........................................................................... 94
 Figura 2.6: Estrutura da matriz a e grafo associado para: 
(a1, b1) ordenação natural e (a2, b2) 
ordenação {4, 1, 3, 5, 6, 2}. .................................................... 94
 Figura 2.7: Interpretação do enchimento usando 
sequência de grafos reduzidos. .......................................... 96
 Figura 2.8: Enchimento total e grafo correspondente 
para o exemplo 2.11. .............................................................. 96
Figura 2.9: Ilustração do método de Tinney-II. ............... 98
 Figura 3.1: Estados de operação de um sistema 
de potência. ............................................................................ 139
 Figura 3.2: Aplicando o teorema de compensação 
para a saída de um ramo. .................................................... 145
 Figura 3.3: Modelagem de saída de um ramo 
usando injeções fictícias. .................................................... 146
 Figura 3.4: Análise de contingências baseada no 
índice de ordenamento. ....................................................... 148
 Figura 3.5: Contingência de barreira usando o 
fluxo de carga desacoplado rápido. .................................. 150
Figura 3.6: Rede de três barras do exemplo 3.1. ............ 192
Figura 3.7: Análise N – 1 para o exemplo 3.2. ................ 194
Figura 3.8: Análise N – 2 para o exemplo 3.2. ................ 194
Figura 3.9: Rede de cinco barras para o exemplo 3.3. .. 195
Figura 3.10: Sistema de cinco barra do exemplo 3.7. ....204
 Figura 3.11: Estado ótimo em relação aos custos 
de geração da rede de cinco barras. ................................. 207
 Figura 3.12: Sistema de cincode V4, ∆V1 = 0,064, e o gerador ficaria 
sobrecarregado ( =I 5,366r4 ). Alternativamente, ∆V5 = 0,115 
seria necessário, e V5 ficaria fora de seu limite superior. No en-
tanto, uma ação combinada de ambos os geradores é necessária.
• Relação de transformação de transformadores: a ação 
executada sobre a relação de transformação do trans-
formador pode ser modelada como a injeção de potên-
cia reativa em ambos os extremos:
G sen B cos 
G sen B cos 
ij ij ij ij
ji ji ji ij
θ θ
θ θ
( )
( )
∂
∂
= − −
∂
∂
= − −
Q
a
VV
a
B V
a
Q
a
VV
a
2ij i j ij i
ij i j
2
Utilizando algumas aproximações usuais, as equações an-
teriores assumem a seguinte forma:
 
a a= −





=I B V
a
V B
a
I B V
a
2 ;ri
ij j i ij
ri
ji i
219
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
produzindo






=





 −





 −






V
V
V
0,01302 0,00437 0,00447
0,00437 0,00818 0,00150
0,00447 0,00150 0,00670
57,4115
0
60,3319
0,4779
0,1604
0,1479
1
2
3
a = a
Como consequência, um incremento de ∆a ≈ 0,086 ≈ 0,09 
seria requerido para corrigir V1. Contudo, tal ação reduziria V3 
em ∆V3 = -0,013, no extremo oposto do transformador, criando 
um novo problema nessa barra.
Nenhuma das ações corretivas possíveis, discutidas antes, 
é capaz de corrigir a tensão na barra 1 sem violar outros limi-
tes operacionais. Assim, são necessárias várias ações corretivas. 
Neste exemplo, parece razoável conectar o conjunto de banco 
de capacitores, desde que V2 seja também baixa. Após esta ação, 
as tensões assumem os valores:
[V1 V2 V3] = [0,917 0,958 0,956]
Depois, é necessário escolher entre os dois geradores e o 
transformador. Como o gerador G5 tem a maior margem de po-
tência reativa, sua tensão deve ser elevada, V5 = (0,95 – 0,917) / 
0,35743 ≈ 0,093, produzindo
[V1 V2 V3] = [0,950 0,969 1,001]
A figura 3.15 mostra o estado final do sistema encontrado 
usando um programa de fluxo de carga, após realizar ambas as 
ações de controle. Nota-se que os erros de linearização são acei-
táveis e que a maior potência reativa é fornecida pelo banco de 
capacitores devido a um maior incremento da tensão V2.
220
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Figura 3.15: Rede de cinco barras do exemplo 3.11. Estado após a correção de problemas de 
tensão.
Exemplo 3.12
O sistema do exemplo 3.3 é vulnerável para uma saída da 
linha L2, conectada entre as barras 1 e 3. Neste exemplo, são 
necessárias ações corretivas pós-contingência, assim como me-
didas preventivas, que devem ser executadas para que o sistema 
se sustente após essa contingência. 
As ações de controle são o redespacho da geração no esta-
do pré-contingência e ( )+ −P Ppi pi , o redespacho da geração no 
estado pós-contingência e ( )+ −P Pci ci e o corte de carga pós 
contingência (∆Pdi).
Usando o modelo CC para as equações de rede, o FPORS 
pode ser formulado como a seguir.
Função objetivo: é realizada uma penalização linear da mu-
dança de geração ($ 10/MW para os geradores 3 e 4, e $ 20/MW 
para o gerador 5). A reprogramação da geração pós-contingên-
cia não é penalizada, e uma elevada penalização é dada para o 
corte de carga pós-contingência ($ 100/MW).
221
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA










+ 









+ 









≥ ≥ ≥
+
+
+
−
−
−
+ −
P
P
P
P
P
P
P
P
P P P
10 10 20 10 10 20 1000 1000
0 0 0
P
P
P
P
P
P
d
d
P P
3
4
5
3
4
5
1
2
 d










+ 









+ 









≥ ≥ ≥
+
+
+
−
−
−
+ −
P
P
P
P
P
P
P
P
P P P
10 10 20 10 10 20 1000 1000
0 0 0
P
P
P
P
P
P
d
d
P P
3
4
5
3
4
5
1
2
 d
Restrições:
Equações da rede antes da contingência: P+ B pθ− =+ −P PP P 
P+ B pθ− =+ −P PP P
θ
θ
θ
θ
−
−
+ −
+ −






=
− − −
−
− −
− −












+ −
+ −
P P
P P
15,0
5,0
10,0
7,5
250 100 50 100
100 150 0 0
50 0 100 50
100 0 50 200
P P
P P
p
p
p
p
3 3
4 4
1
2
3
4
e a equação adicional para incluir o gerador da barra de 
folga
( ) ( )
( )
+ − + + − +
+ − =
+ − + −
+ −
P P P P
P P
10,0 7,5
2,5 20,00
P P P P
P P
3 3 4 4
5 3 
Equações de rede após a contingência: P+ P B d c cθ− + − + =+ + + +P P P PP P C C 
P+ P B d c cθ− + − + =+ + + +P P P PP P C C
θ
θ
θ
θ
− +
− +
+ − + −
+ − + −






=
− −
−
−
− −












+ − + −
+ − + −
P
P
P P P P
P P P P
15,0
5,0
10,0
7,5
200 100 0 100
100 150 0 0
0 0 50 50
100 0 50 200
d
d
P P C C
P P C C
p
p
p
p
1
2
3 3 3 3
4 4 4 4
1
2
3
4
e
( ) ( )
( )
+ − + − + + − + − +
+ − + − = − −
+ − + − + − + −
+ − + −
P P P P P P P P
P P P P
10,0 7,5
2,5 20
P P C C P P C C
P P C C
3 3 3 3 4 4 4 4
5 5 5 5 P Pd1 d2
Limites de geração
222
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 






≥
+ −
+ −
+ −






≥












≥
+ − + −
+ − + −
+ − + −






≥






+ −
+ −
+ −
+ − − −
+ − + −
+ − − −
P P
P P
P P
P P P P
P P P P
P P P P
15,0
15,0
10,0
10,0
7,5
2,5
2,5
2,5
2,5
15,0
15,0
10,0
10,0
7,5
2,5
2,5
2,5
2,5
P P
P P
P P
P P C C
P P C C
P P C C
3 3
4 4
5 5
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5
Limites de fluxo de potência: P X A f
-1 T θ− ≤ = ≤P Pf
mín
f
mín
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
−
−
−
−
−






≤
−
−
−
−












≤






−
−
−
−
−






≤
−
−
−












≤






10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
100 100 0 0
50 0 50 0
100 0 0 100
0 50 0 0
0 0 50 50
0 0 0 50
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
100 100 0 0
50 0 50 0
0 50 0 0
0 0 50 50
0 0 0 50
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
p
p
p
p
p
p
p
p
1
2
3
4
1
2
3
4
A solução do FPORS anterior fornece o seguinte plano de 
emergência:
= =
= =
+
+
P
P
300 500
750 300
C
C
1 4
5 1
P MW MW
MW P MW
d
d
Observa-se que não são necessárias ações preventivas.
Os fluxos de potência ativa após as ações de emergência 
são mostrados na tabela 3.15:
223
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Barra
Fluxo de carga 
CC
Fluxo de carga CA
Pf Pij Pji 
L1 1 - 2 -200 -202,1 203,0
L2 1 - 3 - - -
L3 1 - 4 -1000 -997,9 1027,6
L4 2 - 5 -700 -703,0 728,0
L5 3 - 4 450 450,0 -442,7
L6 4 - 5 -300 0334,9 339,1
Tabela 3.15: Dados do fluxo de potência para o exercício 3.12.
As ações de emergência pós-contingência encontradas in-
factíveis, já que elas requerem elevada reprogramação da gera-
ção, e pode ser difícil ou às vezes impossível implementá-las 
em um tempo razoável. Em consequência, o problema pode ser 
reformulado incorporando restrições adicionais sobre as ações 
de pós-contingência. Isso supõe que pode ser considerado im-
possível implementar mudanças na geração para valores maiores 
que 200 MW em um tempo aceitável. A solução do FPORS, 
incluindo as restrições adicionais (∆Pci ≤ 2,0 pu), produz os se-
guintes resultados:
Ações preventivas: MW e MW= =+ − +P P P, 350 300c p p5 4 3 .
Ações corretivas pós-contingência: MW=+P 100c5 ; 
 MW=−P 200c4 ; MW=−P 200c3 e MW=−P 300d1 .
Exemplo 3.13
O sistema de cinco barras, mostrado na figura 3.5, é vulne-
rável com a saída da linha L3, conectada entre as barras 1 e 4. O 
objetivo deste exemplo é encontrar as ações preventivas usando 
fatores de distribuição.
224
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
A ação preventiva possível é a reprogramação dos geradores 
 e ( )+ −P Pp p . Além disso, os fatoresde distribuição devem ser 
usados para incorporar restrições no problema de otimização:
Fluxos de potência pré-contingências: ∆Pf = Sf ∆Pg


















=
− −
−
−


















−
−








+ −
+ −
P
P
P
P
P
P
P P
P P
0,4138 0,3448
0,4828 0,0690
0,0690 0,2759
0,4138 0,3448
0,5172 0,0690
0,5862 0,6552
P P
P P
1,2
1,3
1,4
2,5
3,4
4,5
3 3
4 4
Fluxos de potência pós-contingência: Pg=P Sf f
' '




















=
− −
−


















−
−








+ −
+ −
P
P
P
P
P
P
P P
P P
0,4444 0,2222
0,4444 0,2222
0,0 0,0
0, 4444 0,2222
0,5556 0,2222
0,5556 0,778
P P
P P
1,2
'
1,3
'
1,4
'
2,5
'
3,4
'
4,5
'
3 3
4 4
Em consequência, o problema FPORS pode ser formulado 
como a seguir:
Função objetivo: penalização linear das mudanças de ge-
ração ($ 10/MW para os geradores 3 e 4, e $ 20/MW para o 
gerador 5).














+ 













+
+
+
−
−
−
P
P
P
P
P
P
10 10 20 10 10 20
P
P
P
P
P
P
3
4
5
3
4
5
≥ ≥+ −P P0 0P P
Restrições:
225
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Sobre os fluxos de potência pós-contingência Pf− ≤ ≤P Pf
máx
f
máx
 Pf− ≤ ≤P Pf
máx
f
máx , onde
P P S Pf f f g= + = +P Pf f0 0
Os fluxos de potência iniciais, Pf 0 , encontrados usando o 
fluxo de carga CC, são
 MW
T
= − − −


P 120,7 724,1 896,6 379,3 275,9 129,3f 0
Sobre os fluxos de potência pós-contingência − ≤ ≤P P Pf
máx
f f
máx'
− ≤ ≤P P Pf
máx
f f
máx' , onde
 PL
gρ= + = + +P P P P P Sf f f f f
L
f
'
0
' '
0
3
0
3 '
Pf 0
' são os fluxos de potência após a contingência sem 
mudanças na geração, e ρL3 são os fatores de distribuição para a 
saída da linha L3.
Balanço de potência na rede sem levar em conta as perdas, 
necessárias para incluir o gerador da barra de folga,
 
( ) ( )
( )
+ − + + − +
+ − =
+ − + −
+ −
P P P P
P P
10,0 7,5
2,5 20
P P P P
P P
3 3 4 4
5 5
Limites de geração
P P
P P
P P
15,0
15,0
15,0
10,0
7,5
2,5
2,5
2,5
2,5
P P
P P
P P
3 3
4 4
5 3










≥
+ −
+ −
+ −










≥










+ −
+ −
+ −
O problema FPORS anterior produz a seguinte reprogra-
mação preventiva: MWP 500P3 =− e MWP 500P4 =+ , com 
um custo adicional de operação de $ 15.000/h
Os fluxos de potência para o caso base, após a implanta-
ção das medidas preventivas e após a contingência, encontrados 
usando um fluxo de carga CC (Pf) e um fluxo de carga CA (Pij e 
Pji) em todos os casos, são mostrados na figura 3.16.
226
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Linha
Caso base Ações preventivas
Estado 
pós-contingência
Pf Pij Pji Pf Pij Pji Pf Pij Pji 
L1 1 - 2 120 96 -96 -86 -92 -92 -500 -530 541
L2 1 - 3 -724 -699 721 -482 -476 488 -1000 -969 1043
L3 1 - 4 -896 -897 920 -931 -931 955 0 0 0
L4 2 - 5 -379 -403 414 -586 -592 609 -1000 -1041 1118
L5 3 - 4 275 278 -275 17 11 -11 -501 -543 556
L6 4 - 5 129 105 -105 -164 -193 195 249 194 -192
Tabela 3.16: Tabela de fluxos de potência para o exemplo 3.13.
Figura 3.16: Rede de cinco barras após a saída da linha L3.
As seguintes observações na solução do FPORS podem ser 
consideradas:
A solução encontrada usando o modelo CC é uma aproxi-
mação adequada para propósitos práticos. Entretanto, o efeito 
das simplificações realizadas deve ser considerado. Nota-se, por 
exemplo, que o estado pós-contingência apresenta sobrecargas 
nas linhas L2 e L4, já que elas representam um corredor com 
227
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
uma capacidade total de 2.000 MW, e devem transmitir 2.000 
MW mais as perdas em ambas as linhas, e na linha L1.
O modelo CC considera somente as potências ativas, e, 
consequentemente, a viabilidade dos diferentes estados deve ser 
verificada em relação às tensões e aos fluxos de potência re-
ativa. Observa-se que o estado pós-contingência (figura 3.16) 
apresenta tensões excessivamente baixas, colocando em dúvida 
a viabilidade desse estado.
Exemplo 3.14
Neste exemplo, deve ser calculado o perfil ótimo de tensão 
para minimizar as perdas da transmissão do sistema mostrado 
na figura 3.10. A programação da geração é escolhida previa-
mente (PG4 = PG5 = 1.000 MW). Além disso, o gerador G5 as-
sume o desequilíbrio de potência, e o custo de produção inicial 
é de $ 21.390/h.
As variáveis de decisão são os pontos de operação dos ge-
radores, do banco de capacitores de 200 MVAr (em 20 passos de 
10 MVAr) e da relação de transformação do transformador (em 
21 passos com incremento de 0,01 pu).
A função objetivo é a soma das perdas individuais em to-
das as linhas e transformadores:
P V V cos perdas i j ijG V V 2ij i ji j
2 2
, θ( )= − + −∑
que é equivalente, neste caso, à potência gerada na barra de 
folga, considerando que PG5 = 1000 + Pperdas.
a solução do problema FPO, sujeito às mesmas restrições 
do exemplo 3.7, produz o estado mostrado na figura 3.17.
228
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Figura 3.17: Perfil ótimo de tensão para o sistema de cinco barras e dois geradores.
Os seguintes comentários podem ser feitos em relação à 
solução do FPO:
As variáveis de controle discretas foram arredondadas a 
posterior, atualizando o estado final, através do uso de um pro-
grama de fluxo de carga.
As perdas diminuíram para 9,3 MW, de 69,2 MW para 59,5 
MW, representando uma economia de $ 95/h comparada com 
o caso base. Observa-se que o ótimo em relação aos custos de 
geração (exemplo 3.10) produz um redução de custos de $ 10/h.
Os multiplicadores de Lagrange correspondentes às equa-
ções de fluxo de potência ativa fornecem os coeficientes de per-
das incrementais,
λT = [1,103 1,062 1,071 1,041 1,000]
Ressalta-se que o coeficiente de perda incremental da barra 
de folga, a única que assume as perdas, é igual a um.
Exemplo 3.15
Considerando-se um sistema simples de duas barras, onde 
em cada barra há um gerador e uma carga constante (esta confi-
guração pode representar duas áreas de um sistema). As barras 
229
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
se encontram interconectadas por uma linha com impedância 
igual a zero. O gerador 1 tem uma capacidade de 120 MW e um 
custo incremental de $ 15/MWh; o Gerador 2 tem uma capaci-
dade de 200 MW e um custo incremental de $ 25/MWh. Cada 
carga é de 60 MW. Assumindo que ambos os geradores ofertam 
seus custos incrementais, se quer conhecer o custo da cara for-
necida para os dois casos seguintes:
i. Sem limites de fluxo de potência;
ii. Com limite de fluxo de potência de 40 MW.
Sem limites de fluxo de potência de transferência: neste 
caso, as duas cargas (um total de 120 MW) são atendidas pelo 
Gerador 1, que é o de menor custo, a um custo de Ca = 120 x 
5 = $ 1.800/h. O fluxo de potência, através da linha é P1,2 = 60 
MW, como é mostrado na figura 3.18, item a).
Figura 3.18: Sistema elétrico de duas barras: a) Não existe limite sobre o fluxo de potência, b) 
Existe um limite de fluxo de potência de 40 MW.
Com limite de 40 MW no fluxo de potência de transferên-
cia: o gerador 1 fornece os 60 MW para a carga 1 e, devido ao 
limite no fluxo de potência na linha, fornece apenas 40 MW 
para a carga 2; o gerador 2 fornece 20 MW para atender com-
pletamente a carga 2. O custo total neste caso é Cb = 100 x 15 + 
20 x 250 = $ 2.000/h, como é mostrado na figura 3.18, item b).
230
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
Para o caso em que existe limite na potência de transferên-
cia, nota-se que
O custo de congestionamento (isto é, o custo para evitar 
o congestionamento) é igual a CC = Cb – Ca = $ 200/h; isto é, 
o congestionamento originou uma ineficiência do mercado de 
11,11% em relação ao caso de fluxo de potência sem limite.
O gerador 2 tem agora um poder de mercado ilimitado 
e pode aumentar o custo de sua oferta como quiser, e ainda a 
Carga 2, que é inelástica, deve precisar de 20 MW desse gerador.
Se a carga 2 forelástica (isto é, sensível ao custo da energia), 
então essa carga deve ser reduzida para 40 MW.
Exemplo 3.16
Considerando-se o sistema de três barras mostrado na figu-
ra 3.19. As barras 1 e 2 são barras geradoras, e a barra 3 pode ser 
uma carga inelástica (isto é, carga constante com preço elástico 
igual a zero em relação ao preço), ou uma carga com preço elás-
tico dado por PD3 = PC3 + PE3. As reatâncias indutivas das linhas 
são iguais a x12 = 0,25, x23 = 0,20 e x13 = 0,45; as reatâncias das 
linhas são insignificantes.
Figura 3.19: Sistema de potência de três barras do exemplo 3.16.
231
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Os custos de produção dos geradores e o benefício do con-
sumidor na barra 3 são os seguintes:
C P C P W 1 1 1 2 2 2 3P P P, , ES1 1
2
2 2
2
3α β α β α= + = + =
Assim, a função benefício social a ser maximizada é W3 - 
(C1 + C2); ou, equivalentemente, deve-se minimizar
C C W P P 1 2 3 1 2f P P PES1 1 1
2
2 2 2
2
3α β α β α( )= + − = + + + −
Assumindo-se os seguintes dados adicionais: α1 = α2 = 0, 
β1 = 1, β2 = 1,675, α3 = 30 e PC3 = 5.
Primeiro caso: sem restrições de fluxo. Define-se as suscep-
tâncias de linhas e de transformadores como bij = -1/xij; assim a 
matriz de susceptância de barra é a seguinte:
B =
− −
− −
− −






=
− −
− −
− −






b b b b
b b b b
b b b b
6,2222 4,0 2,2222
4,0 9,0 5,0
2,2222 5,0 7,2222
12 13 12 13
12 12 23 23
13 23 22 13
As equações de fluxo de carga CC P θ= B( ˆ ˆ ) são
 
 
 
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
( )
( )






=
− −
− −
− −












=
+
− + +
− +






P
P
P
b b b b
b b b b
b b b b
b b
b b b
b b b
1
2
3
12 13 23 13
12 12 23 23
13 23 23 13
2
3
12 2 13 3
12 23 2 23 3
23 3 23 13 3
onde P P P3 D3 C3 PES= − = − −
O lagrangiano pode ser escrito da seguinte forma:
P P
b b P b b b P
 b b b P
 
12 13 1 2
E 3
L α β α β α
λ θ θ[ ] ( )
( )
= + + + − +
+ − + λ − + θ + θ −  +
λ θ − + θ − 
 
 
 
P P PE1 1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
3 3
1 2 13 2 12 13 2 23 3
3 23 2 23 13 3
Neste caso, não existem limites de fluxo (ou não existem 
restrições de fluxo ativas); portanto, os multiplicadores de La-
grange µk são iguais a zero.
232
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
As condições de otimalidade de KKT produzem o sistema 
linear de equações H1 y1 = q1, onde
H1
β
β
=
−
−
− −
− −
−
− − −
− −






b b b b
b b b b
b b
b b b
b b b
2 0 0 0 0 1 0 0
0 2 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1
2
12 12 23 23
13 23 13 23
12 13
12 23 23
23 13 23
y P P 
 q
1 2
T
1
T
= θ θ λ λ λ



= −α −α −α −



2 3 1 2 3
1 2 3
P
P
,
0 0 0 0
E
C
1 3
3
Após a substituição, o sistema de equações H1 y1 = q1 
produz os seguintes resultados: P1 = 15,0, P2 = 8,9552, PE 3 = 
18,9552, θ2 = -1,3775, θ3 = -4,2705, λ1 = 30, λ2 = 30 e λ3 = 30. 
O valor da função objetivo minimizada é f * = -2.209,3284.
O preço elástico da carga na barra 3 é PD3 = PC3 = PE 3 = 
23,9552. Os fluxos de potência ativa são P12 = 5,51, P13 = 9,4900 
e P23 = 14,4652.
Nota-se que todas as variáveis λi têm o mesmo valor, λi = 
30. Portanto, os custos de transmissão são iguais a zero, isto é, 
t12 = t23 = t13 = 0.
Segundo caso: com restrição de fluxo na linha (2, 3), Pmáx
23 
= 10. O lagrangiano neste caso assume a seguinte forma:
b b 1 23 23L L µ ( )= + − θ + θ −2 3 Pmáx
2 23 23
As condições de otimalidade de KKT produzem o sistema 
linear, H2 y2 = q2, onde a matriz H2 é a matriz H1 do caso ante-
rior, aumentada na última linha e coluna, isto é,
233
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
=








H h
h 0T
1 2
2
H2
= −


h 0 0 0 0 0 02 b b23 23
T
= θ θ λ λ λ µ


2 3 1 2 3 23PE 3y P P2 1 2
T
α α α= − − − −


P P0 0 0 0 C
máx
1 2 3 3 23q2
T
Após a substituição, o sistema de equações H2 y2 = q2 
produz os seguintes resultados: P1 = 11,3470, P2 = 5,5627, 
=P 11,9096E 3 , θ2 = -1,1093, θ3 = -3,1096, λ1 = 22,6939, λ2 = 
18,9350, λ3 = 30 e µ23 = 14,6122. O valor da função objetivo 
minimizada é f * = -176,7054.
O preço elástico da carga na barra 3 é PD3 = PC3 = PE 3 = 
16,9096. Os fluxos de potência ativa são P12 = 4,4373, P23 = 10,0 
e P13 = 6,9096.
Os custos de transmissão são iguais t12 = -4,0589, t23 = 
11,3665 e t13 = 7,3061.
O pagamento total para os geradores, TG, e a despesa to-
tal da carga, TD, são, respectivamente, TG = λ1 P1 + λ2 P2 = 
361,1668 e TD = λ1 PD3 = 507,2888. Assim, a renda do conges-
tionamento é s = TD – TG = 146,1220.
Para uma pequena variação de Pmáx
23 , por exemplo, 0,05, 
pode ser encontrado um valor aproximado de µ23 usando a 
equação (3.44):
Lµ = ∂
∂
− + =
P
= 177, 4319 176, 7054
0,05
14,5300máx23
23
que é um valor bastante próximo de µ23 = 14,6122, encon-
trado através do processo de otimização.
234
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
É interessante observar a variação da solução devido às 
mudanças no coeficiente de benefício do consumidor α3. Para 
fins de ilustração, vai-se reduzir esse valor para α3 = 22 (do valor 
original de 30), então, a nova solução é
y = [10,5028 6,1054 11,6081 -0,9737 -2,9737 21,0055 
20,4530 22,00 1,9890]T
PD3 = 16,6081, P12 = 3,8946, P13 = 6,6081, P23 = 10,00
t12 = -0,5525, t13 = 0,9945, t23 = 1,5470,
TG = 344,4888 TD = 365,3788 s = 19,8900
O valor da função minimizada é = −f 82,6344* .
Exemplo 3.17
Considerando-se outra vez o mesmo problema do sistema 
do exemplo 3.16 e também duas transações bilaterais (1) entre o 
gerador 1 e a carga 3: P1,3 = 15; (2) entre o gerador 2 e a carga 3: 
P2,3 = 8,9552. Considera-se um limite de fluxo de 10, essa pro-
posta de despacho produz uma congestão na linha (2, 3), como 
foi visto no exemplo 3.16.
=










P̂
5,5100
9,4900
14,4652
f
Se quer redespachar a transação bilateral para aliviar o 
congestionamento.
Para fins de ilustração, se considera os seguintes custos c+ 
= [0,80 1,00]T e c- = [0,80 1,00]T.
Solução encontrada usando um software de PL
A matriz de sensibilidade barra-injeção é a seguinte
235
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
=
−









Ŝ
0,50 0,2222
0,50 0,2222
0,50 0,7778
O problema de alívio econômico ótimo do congestiona-
mento pode ser formulado através do seguinte PL:
min {f = cT y  G y ≤ g}
onde 
= 



+ + − −P P P P1 2 1 2y
T
c = [0,8 1,0 0,8 1,0]T
g = [4,4900 0,5100 4,4652 0 0 0 0]T
− −
− −
− −
−
−
−
−






















0,50 0,2222 0,50 0,2222
0,50 0,2222 0,50 0,2222
0,50 0,7778 0,50 0,778
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
G = 
Usando um software de PL, se encontra a seguinte solução:
y = [0 0 0 5,7409]T
A função de custo no ponto ótimo é f * = 5,7409. As novas 
injeções de geração, de carga e de fluxos são
=








Ŝ
15,00
3,2143
, PD3 = 18,2143, =










6,7857
8,2143
10,00
Pf
Nota-se que a transação bilateral entre o Gerador 2 e a Car-
ga 3 é diminuída para 3,2143. Além disso, a transação bilateral 
236
3 O modelo de despacho baseados em fluxo de potência 
entre o Gerador 1 e a Carga 3 permanece em 15,00. A linha (2, 
3) transfere a máxima potência permitida de 10,0.
Exemplo 3.18
Considerando-se o sistema elétrico de três barras e de três 
linhas mostrado na figura 3.19, com os seguintes dados Z12 = 
0,03 + j 0,3, Z23 = 0,06 + j 0,2, Z13 = 0,06 + j 0,2, P3 = -0,4 e 
θ1 = 0.
A matriz de incidência nó-ramo e sua forma reduzida são
A =
− −
−






= −





A
1 0 1
1 1 0
0 1 1
ˆ 1 1 0
0 1 1
A matriz de sensibilidade , dada por X-1 AT B-1 onde 
 = −B A X Aˆ ˆ ˆ T1 , é a seguinte:
=
−
−
−






−






−
−






= −






−
−
Ŝ
3,3333 0 0
0 5,0 0
0 0 5,0
1 0
1 1
0 10,5 0,2
0,2 0,4
0,7500 0,3750
0,2500 0,3750
0,2500 0,6250
1
1
A matriz é
Rf= =






M S Sˆ ˆ ˆ 0,0244 0,0122
0,0122 0,0361
T
As perdas de potência ativa são
P L ≈ = −








 −






=P M Pˆ ˆ ˆ 0,4 0,4 0,0244 0,0122
0,0122 0,0361
0,4
0,4
0,0058T
Análise estática de segurança de 
sistemas elétricos de potência
UNIDADE • 04
241
ANÁLISE ESTÁTICA DE SEGURANÇA DE 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Introdução à operação em tempo real de 
sistemas de potência
Evoluções na operação de sistemas de potência
Em meados da década de 60, a operação de sistemas elétri-
cos de potência havia evoluído a ponto de se ter reconhecido a 
necessidade de um controle central para todo o sistema sob a ju-
risdição de uma dada empresa. Este estágio foi alcançado a partir 
do desenvolvimento de dois sistemas de controle e telecomando 
que, por suas características, necessitavam de uma estrutura cen-
tralizada para sua implementação: o controle automático de gera-
ção e o controle supervisório. Na então nova estratégia centrali-
zada, os controles locais anteriormente desenvolvidos (regulação 
de tensão e velocidade, chaveamentos, proteção, etc.) passaram a 
integrar o nível mais baixo na hierarquia de controle, enquanto 
que os controles centrais ocupavam o nível mais alto. Tornava-
se assim importante que fossem criados canais de comunicação 
entre os níveis mais altos de controle e os controles locais.
O controle automático de geração, destinado a controlar 
a geração das principais usinas do sistema de modo a manter a 
frequência constante e igual a seu valor nominal, havia se de-
senvolvido significativamente na década de 50. Com a crescente 
tendência à interligação entre sistemas de potência vizinhos, o 
controle automático de geração passou também a controlar o 
fluxo de potência nas linhas de interligação. Mais tarde, foi in-
corporado um laço mais externo a fim de otimizar os custos de 
geração, o que se tornou conhecido como controle para despa-
242
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
cho econômico. Por sua natureza global, o controle automáti-
co de geração, com ou sem características econômicas, requeria 
uma estrutura centralizada.
O controle supervisório, por sua vez, evoluiu de uma atu-
ação no nível regional/distrital para abranger todo o sistema. 
Tradicionalmente este controle incorpora funções como o con-
trole remoto de abertura e fechamento de disjuntores e de dis-
positivos para regulação de tensão, tais como variadores de taps 
de transformadores, capacitores, etc.
Ao final da década de 60, questões relacionadas à seguran-
ça de operação dos sistemas, como consequência de alguns bla-
ckouts ocorridos na costa leste americana, tornaram-se relevantes 
a ponto de provocar uma mudança significativa na filosofia de 
operação. A esta altura, o grau de interligação dos sistemas de 
potência era tal que a tarefa dos operadores se tornava crescen-
temente difícil sem a disponibilidade de ferramentas adicionais 
que processassem a grande quantidade de dados disponíveis e as 
apresentassem ao operador de forma organizada. Coincidente-
mente, o mesmo período testemunhava um grande desenvolvi-
mento na área de computação, com o surgimento dos minicom-
putadores, e também na área de telecomunicações. A conjunção 
destes fatores, quais sejam, as dificuldades para a operação de 
sistemas de potência cada vez mais interligados e os importantes 
desenvolvimentos tecnológicos em computação e telecomuni-
cações, propiciou o surgimento das funções ligadas à monito-
ração e análise de segurança. Ao final dos anos 60, os projetos 
de sistemas de potência, motivados pela evidente necessidade de 
se dispor de estratégias de controle e operação mais globais, co-
meçavam a englobar o problema de um ponto de vista sistêmico. 
Deste reconhecimento, surgiu o novo conceito de operação de 
sistemas de potência com considerações de segurança. Este con-
243
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
ceito partiu da constatação de que as ferramentas então disponí-
veis para auxiliar o operador do sistema nos complexos proces-
sos de tomada de decisão relativos à segurança do sistema eram 
inadequadas. O objetivo do controle de segurança é manter o 
sistema de potência operando, sem sobrecargas de equipamento 
e atendendo a todos os consumidores, em qualquer condição 
de operação. Para melhor caracterizar o conceito, é necessário 
introduzir as noções de estados de operação.
Restrições de carga, operação e segurança – 
estados de operação
A operação de um sistema de potência obedece a certas 
condições que podem ser expressas sob a forma de dois conjun-
tos de restrições:
1 - Restrições de carga: estas restrições simplesmente tra-
duzem o fato de que o sistema de potência deve satis-
fazer a demanda da carga. Portanto, são restrições de 
igualdade, expressas matematicamente como:
g (x, u) = 0 (4.1)
onde x e u são vetores de variáveis dependentes e de 
variáveis de controle, respectivamente, e g é um vetor de fun-
ções não-lineares. A equação (4.1) corresponde na verdade às 
equações de fluxo de potência em regime permanente para o 
sistema considerado.
2 - Restrições de operação: as restrições de operação refle-
tem a necessidade de que os limites operacionais dos 
equipamentos do sistema (linhas de transmissão, trans-
formadores, geradores, etc.) devem ser respeitados. 
Como tal, são restrições de desigualdade, representadas 
matematicamente por
h (x, u) ≤ 0 (4.2)
244
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
onde h é um vetor de funções não-lineares.
Se ambas as restrições de carga e operação são satisfei-
tas, diz-se que o sistema de potência está no estado normal de 
operação. Ao responder às pequenas variações de carga usuais, 
pode-se considerar que o sistema está passando de um estado 
normal para outro, e que cada estado normal corresponde a uma 
condição de regime permanente. Quando as restrições de car-
ga são satisfeitas, mas alguma restrição de operação está sendo 
violada, diz-se que o sistema está no estado de emergência. O 
estado de emergência é atingido como consequência da ocor-
rência de uma perturbação no sistema, tal como uma grande 
variação de carga, um curto-circuito, uma perda de geração, etc. 
como decorrência das ações de controle para aliviar um estado 
de emergência, é possível que se atinja uma condição em que 
as sobrecargas em equipamentos são aliviadas (e, portanto, as 
restrições de segurança voltam a ser satisfeitas), porém às expen-
sas do não-atendimento de parte dos consumidores. Ou seja, as 
restrições de carga deixam agora de ser atendidas. Esta situação 
caracteriza o chamado estado restaurativo de operação.
O objetivo do controle de segurança é manter o sistema 
operando no estado normal de operação, isto é, minimizar as 
transições deste estado para os estados de emergência ou res-
taurativo. O que se costuma chamar de segurança do sistema é 
a capacidade de um sistema de potência normal sofrer uma per-
turbação sem passar ao estado de emergência. Face a um dado 
conjunto de perturbações, ou contingências, mais prováveis, o 
estado normal de operação pode então ser adicionalmente ca-
racterizado como seguro ou inseguro. Na prática, esta carac-
terização requer que seja inicialmente elaborada uma lista das 
contingências mais prováveis nas condições de operação corren-
te. Tais contingências podem incluir saídas de linhas, saídas de 
245
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
geradores, etc., e são resultado de um processo chamado seleção 
de contingências. Perante esta lista de contingências em poten-
cial, pode-se verificar se o sistema resiste ou não ao impacto de 
cada uma das contingências da lista sem ingressar nos estados 
de emergência ou restaurativo. Se s é um vetor de funções que 
consiste de todas as restrições de operação e de carga para cada 
contingência da lista, é possível caracterizar matematicamente 
as restrições desegurança como:
s (x, u) ≤ 0 (4.3)
Assim, quando a desigualdade (4.3) é satisfeita, conclui-se 
que o sistema não sairá do estado normal de operação na even-
tualidade de ocorrência de qualquer contingência da lista pré-
selecionada. Neste caso, diz-se que o sistema está no estado nor-
mal seguro. Se, por outro lado, for verificado que o sistema sairá 
do estado normal na hipótese da ocorrência das contingências 
da lista, diz-se que o estado de operação é normal inseguro ou 
de alerta. A figura 4.1 representa um diagrama de transição en-
tre os diversos estados de operação de um sistema de potência.
Figura 4.1: Diagrama de transição de estados de operação de um sistema de potência.
246
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
Tendo em vista sua implementação prática, a análise de se-
gurança de sistemas de potência é composta de três etapas:
1 - Monitoração de segurança: esta etapa tem por objetivo 
identificar qual o estado operativo corrente do sistema, a 
partir de dados que abrangem todo o sistema de potên-
cia. A intervalos regulares de tempo, os dados obtidos 
em tempo real são processados para se determinar as 
condições de operação do sistema e possíveis violações 
nas restrições de operação dadas pela equação (4.2). A to-
pologia atual da rede também é determinada nesta etapa.
2 - Análise de contingências: visa determinar a segurança 
do sistema através do conjunto pré-selecionado de con-
tingências mais prováveis. Isto normalmente é realiza-
do através de alguma forma de simulação, ainda que 
aproximada, destas contingências, utilizando-se para 
isto do modelo do sistema de potência determinado em 
tempo real. Embora seja desejável se realizar tanto a 
análise estática de contingências quanto a análise dinâ-
mica de contingências (que detectaria possíveis tendên-
cias do sistema à instabilidade dinâmica em decorrência 
das contingências), as dificuldades práticas de imple-
mentação desta última praticamente a inviabilizam.
3 - Controle preventivo: se, na etapa de análise de seguran-
ça, for detectado que o sistema está no estado inseguro 
ou de alerta, a próxima providência é determinar como 
levá-lo ao estado seguro, se isto for possível. Trata-se de 
um problema de otimização onde se busca encontrar a 
melhor condição de operação que satisfaz os três tipos 
de restrições (4.1), (4.2) e (4.3). Assim, busca-se encon-
trar a melhor ação corretiva a ser sugerida ao operador 
para tornar o sistema seguro.
247
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Funções componentes da operação em tempo 
real de sistemas de potência
A implementação da Monitoração de Segurança requer a 
disponibilidade de um sistema de aquisição de dados que per-
mita a monitoração de variáveis de todo o sistema no centro 
de operações. Este sistema conhecido pela sigla SCADA (Su-
pervisory Control and Data Acquisition), deve fornecer não apenas 
telemedidas das variáveis relevantes do sistema (magnitudes de 
tensão, fluxos e injeções de potência, etc.), as chamadas medi-
das analógicas. Informações relativas ao status de disjuntores 
e chaves das subestações também devem ser transmitidas pelo 
SCADA ao centro de operação do sistema. Estes dados são de-
nominados medidas digitais, já que traduzem apenas a condição 
de abertura e fechamento de chaves e disjuntores.
Os aplicativos que constituem a monitoração em tempo 
real de sistemas de potência estão representados na figura 4.2 e 
são descritos a seguir:
1 - Configurador da rede elétrica: processa as medidas 
digitais transmitidas pelo SCADA para determinar a 
topologia atual da rede (isto é, o diagrama unifilar do 
sistema de potência);
2 - Pré-filtragem: conjunto de testes de compatibilidade re-
alizados sobre os dados analógicos do sistema com o 
objetivo de detectar as medidas flagrantemente errône-
as, que são em seguida descartadas para não comprome-
ter a modelagem em tempo real do sistema de potência;
3 - Estimação de estados: os dados de entrada para o es-
timulador de estados são: a topologia da rede, previa-
mente determinada pelo configurador, o conjunto de 
telemedidas analógicas pré-filtradas e os parâmetros 
da rede, armazenados em um banco de dados estático. 
248
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
A estimação de estados é um conjunto de programas 
computacionais que processam dados analógicos re-
dundantes e contaminados por ruído com a finalidade 
de fornecer a melhor estimativa para as tensões com-
plexas nas barras do sistema. Para cumprir este obje-
tivo, a estimação de estados é composta de diversos 
aplicativos destinados a: verificar se as informações 
contidas nas telemedidas permitem o cálculo dos esta-
dos (análise de observabilidade), detectar e identificar a 
possível presença de medidas espúrias (processamento 
de erros grosseiros) e a estimação de estados propria-
mente dita.
4 - Monitoração de segurança: a partir da condição de ope-
ração corrente determinada pelo estimador de estados, 
é possível se identificar se o estado de operação é nor-
mal, de emergência ou restaurativo. Isto é feito através 
da verificação do comprimento das restrições de carga 
(equação 4.1) e de operação (desigualdade 1.2). Se for 
verificado que o sistema está no estado de emergência, 
deve ser acionado o Controle de Emergência, que visa 
aliviar a sobrecarga detectada em elementos da rede 
através de medidas tais como manobras na rede, entra-
da em operação de geradores ou alívio de carga. Caso 
o estado de operação identificado seja o estado restau-
rativo, as providências a serem tomadas devem ser no 
sentido de se recompor o sistema de modo que todos 
os consumidores voltem a ser atendidos. Finalmente, 
se for verificado que o sistema está no estado normal, 
o próximo passo é se realizar a análise de segurança.
5 - Análise de segurança: visa a segurança do estado de 
operação face a um conjunto de contingências pré-se-
249
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
lecionadas. Como em geral o sistema de potência em 
questão está interligado com outros sistemas (perten-
centes, por exemplo, a outras concessionárias de ener-
gia elétrica) e como a reação deste sistema externo é 
relevante na avaliação do impacto das contingências, 
torna-se necessário modelar, pelo menos aproximada-
mente, o sistema externo. Portanto, a análise de segu-
rança é composta de aplicativos com as seguintes fina-
lidades específicas:
• Seleção de contingências de ocorrência mais provável 
para a condição de operação recém-determinada pelo 
estimador de estados;
• Modelagem do sistema externo, seja através de um 
equivalente, seja através de um modelo explícito apro-
ximado, de forma a representar aproximadamente a re-
ação do sistema externo a contingências no sistema de 
potência sob análise;
• Análise de contingências: através da qual é verificado 
o efeito de cada contingência da lista pré-selecionada 
através de métodos aproximados, como análise de sen-
sibilidade, ou através de um programa de fluxo de po-
tência desacoplado rápido.
6 - Controle preventivo: o controle preventivo é acionado 
no caso em que a análise de segurança concluir que o 
sistema de potência é inseguro em razão de uma ou 
mais contingências da lista selecionada. As ações pre-
ventivas são determinadas a partir de programas de oti-
mização (programação linear ou não-linear) que visam 
determinar a melhor condição de operação que satisfa-
ça simultaneamente as restrições de carga, de operação 
e de segurança.
250
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
Figura 4.2: Principais aplicativos da operação em tempo real.
Configurações típicas de sistemas 
computacionais para centros de operação
Requisitos
O sistema central de qualquer centro de operação de siste-
mas de potência é formado pelo sistema central de computado-
res e pelo equipamento para interface homem-máquina (IHM). 
Vários elos de comunicação convergem para o sistema central, 
que coleta os dados adquiridos pelas unidades terminais remo-tas, analisa-os e apresenta os resultados para o operador, que 
tem a decisão final e a responsabilidade de operar o sistema. 
Assim, espera-se que o sistema central tenha a capacidade de 
251
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
subsidiar, com informações confiáveis e adequadamente apre-
sentadas, as decisões a serem tomadas pelo operador.
Embora vários requisitos específicos possam ser impostos 
ao sistema central, de acordo com as exigências e as necessi-
dades da empresa usuária, existem alguns requisitos que são 
gerais e fundamentais para qualquer sistema. Estes requisitos 
que afetam significativamente o projeto do sistema central e a 
estrutura e desempenho do sistema de controle como um todo 
são os seguintes:
• Tempo de resposta: é definido como o intervalo de 
tempo entre o instante em que a função é requisitada e 
o instante em que a resposta correspondente torna-se 
disponível. Como se espera que o ambiente de opera-
ção seja um ambiente em tempo real, normalmente se 
exige que o sistema computacional responda suficiente-
mente rápido a uma variação em seu ambiente de forma 
a refletir adequadamente tal variação. Entre os princi-
pais fatores que afetam o tempo de resposta, pode-se 
citar: carga de trabalho dos computadores, arquitetura 
do sistema computacional, sistema operacional, base de 
dados e software de acesso correspondente, estrutura e 
organização do software.
• Disponibilidade: este requisito se origina do fato de 
que se espera que o sistema central esteja sempre em 
operação. A disponibilidade é definida como a percen-
tagem do tempo em que o sistema está efetivamente 
em operação. Em geral, espera-se que os valores de dis-
ponibilidade sejam altos, de ordem de 99%. Este nível 
de disponibilidade exige duplicação de equipamento.
• Manutenção e desenvolvimento do sistema: correspon-
de à necessidade de que o sistema esteja projetado de 
252
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
modo que o hardware e principalmente o software pos-
sa sofrer manutenção e atualização.
Uma função fundamental do sistema central é a IHM. 
Além disso, o computador central também está conectado aos 
computadores de comunicação ( front-ends) e sistemas de apoio 
para desenvolvimento de programas e manutenção do sistema. 
A figura 4.3 representa as principais funções do sistema central.
Figura 4.3: Configuração típica de um sistema central.
Sistemas não-redundantes
Esta configuração considera apenas um computador cen-
tral em um sistema central, e corresponde ao sistema SCADA 
típico. No sistema central, apenas um computador principal co-
necta o sistema IHM com os sistemas de comunicação e locais. 
A figura 4.4 representa esquematicamente esta configuração. 
Embora tradicionalmente centrado em um minicomputador, 
este sistema pode hoje ser baseado em um microcomputador.
253
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Figura 4.4: Sistema não-redundante.
Dois projetos básicos podem ser utilizados para sistemas 
não-redundantes. O esquema mais simples usa o computador 
central como o componente de interconexão de todo o equipa-
mento no sistema de controle. A principal desvantagem deste 
esquema é que o processamento do computador central é inter-
rompido sempre que um dispositivo periférico realiza uma ope-
ração de pedido de informação, envia dados a serem armazena-
dos no computador central ou solicita dados disponíveis neste 
computador. Disto resulta um sistema normalmente lento, em 
que há pouco tempo disponível para operações que não sejam 
ligadas à transferência de dados com o equipamento periférico.
O esquema para contornar estas dificuldades baseia-se na 
utilização de sistemas dedicados às tarefas de controle de comu-
nicação e IHM. Um computador front-end faz a interface com o 
sistema de comunicação e realiza certas operações de manipu-
lação de dados. Através de recursos de acesso direto à memória 
(DMA), os dados são transferidos com alta velocidade para a 
memória do computador central, de modo que este é interrom-
pido com frequência muito menor. O computador dedicado à 
IHM, por outro lado, encarrega-se da apresentação de dados e 
254
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
troca informações com as unidades de vídeo, e também utiliza 
acesso DMA à memória do computador central. Contudo, per-
manece a vulnerabilidade do sistema à falha de qualquer com-
ponente crítico, o que implicará no colapso de todo o sistema. A 
figura 4.5 representa esquematicamente esta configuração.
Figura 4.5: Sistema não-redundante com front-end e computador para IHM.
As funções básicas das configurações descritas são as se-
guintes: aquisição de dados, operações de controle, tais como 
abertura/fechamento de disjuntores, partida de geradores, 
envio de pulsos para controle automático de geração, etc.; su-
pervisão da informação adquirida nas remotas para detectar a 
transgressão de limites, etc., e a apresentação de resultados para 
o operador.
Sistemas redundantes – configuração dual
O aumento da disponibilidade do sistema de supervisão 
e controle em tempo real necessariamente exige a duplicação 
255
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
de equipamento. Embora fosse desejável a duplicação de todos 
os componentes do sistema, em geral isto se aplica na prática 
apenas ao sistema central, ou seja, ao computador central, ao 
front-end e à unidade de comando da IHM. 
Na configuração redundante os computadores duais são 
funcionalmente idênticos e operam continuamente em modo 
primário/backup ou modo paralelo. No primeiro caso a base 
de dados é continuamente transferida do computador primá-
rio para a máquina backup, a qual assume o papel de compu-
tador primário automaticamente em caso de falha da máquina 
primária original. No modo paralelo, ambos os computadores 
utilizam suas próprias bases de dados. A figura 4.6 ilustra a con-
figuração dual. Deve ser observado que o sistema central é com-
posto de três subsistemas funcionalmente diferentes: o subsiste-
ma da IHM, o subsistema formado pelo computador principal e 
o subsistema front-end.
Figura 4.6: Configuração dual.
Uma diferença importante entre a configuração dual e a 
configuração não-redundante é a possibilidade oferecida pela 
256
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
primeira para a incorporação de funções adicionais, resultante 
da duplicação. Assim, aplicativos para treinamento de opera-
dores, por exemplo, podem ser integrados facilmente quando 
o modo de operação utilizado é o primário-backup. A disponi-
bilidade da máquina back-up pode ser utilizada para este fim. 
O mesmo se aplica a outras funções, tais como implementação 
off-line do modo de estudos usando dados reais provenientes 
do SCADA. Abre-se ainda a possibilidade de implementação de 
aplicativos avançados. Finalmente, a maior capacidade de arma-
zenamento e de processamento propiciadas pela configuração 
dual pode ser aproveitada para realizar apanhados estatísticos 
e relatórios.
Quando a capacidade dos computadores permite a incor-
poração dos aplicativos avançados de análise de redes elétricas 
que hoje caracterizam a operação em tempo real de sistemas de 
potência – configurador de redes, estimador de estados, análise 
de contingências, fluxo de potência do operador, etc. – os siste-
mas de operação em tempo real passam a ser denominados Sis-
temas de Gerenciamento de Energia (Energ y Management Systems) 
e frequentemente são referidos por sua sigla em inglês, EMS.
Evolução para utilização de sistemas distribuídos, redes lo-
cais e sistemas abertos 
Devido aos impressionantes avanços tecnológicos dos úl-
timos 15 anos na área de informática os centros de operação de 
sistemas existentes no mundo inteiro têm enfrentado sérios pro-
blemas de obsolescência. Isto também se deve aos longos perí-
odos normalmente decorridos entre a compra de um sistema e 
sua efetiva instalação em uma empresa de energia elétrica, que 
normalmente resultam no uso de computadores cuja tecnologiajá tem pelo menos 5 a 6 anos quando do início de sua operação 
257
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
efetiva. A atualização de sistemas centrais baseados em compu-
tadores de grande porte nem sempre é viável pois, mais uma vez 
em consequência dos rápidos avanços da informática, frequente-
mente a linha de computadores a que pertence as máquinas origi-
nalmente adquiridas pela empresa foram descontinuadas. Por ou-
tro lado, mesmo que seja possível melhorar a configuração, isto 
provavelmente não será competitivo com os recursos oferecidos 
por computadores mais atuais, de desempenho muito superior.
Em virtude de constatações como estas, verifica-se hoje 
forte tendência à utilização de redes locais e processamento 
distribuído para monitoração, análise e controle em tempo real 
de sistemas de potência. O uso de redes locais (ou local area ne-
tworks – LANs) implica em que os computadores, a IHM e os 
processadores de comunicação acessam um mesmo barramen-
to ou anel de alta velocidade. Assim, a incorporação de novos 
processadores de comunicação, novas consoles de IHM e novos 
aplicativos é possível sob a forma da adição de novos disposi-
tivos conectados àquele barramento. Adicionalmente, qualquer 
equipamento pode ser substituído ou atualizado de forma vir-
tualmente independente dos outros equipamentos existentes. O 
sistema pode então evoluir continuamente e ter um ciclo de vida 
muito maior, contanto que o barramento ou anel de comunica-
ção suporte a configuração desejada. Por outro lado, a crescen-
te disponibilidade de estações de trabalho de alto desempenho, 
com cada vez maior capacidade de memória e custo relativa-
mente baixo tem consolidado tendência à utilização de proces-
samento distribuído. Um sistema de processamento distribuído 
pode ser definido como um sistema em que múltiplos proces-
sadores estão conectados conjuntamente de modo que possam 
compartilhar as mesmas informações. A configuração típica de 
um SEM distribuído conta com uma rede local (ou redes locais 
258
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
duais para redundância), à qual estão conectadas várias estações 
de trabalho, cada uma das quais é responsável pela execução de 
um dos aplicativos em tempo real, tais como a análise de redes, 
o gerenciamento de banco de dados, o controle da geração, etc. 
A principal vantagem desta estrutura é a flexibilidade e a capa-
cidade de expansão. Além disso, as estações de trabalho não 
necessitam ficar confinadas em uma mesma sala do SEM. Com 
o uso da rede local os processadores e consoles podem ser fisica-
mente distribuídos pelas dependências mais apropriadas da em-
presa. A figura 4.7 representa o conceito de sistema distribuído.
Figura 4.7: Sistema distribuído para Centros de Operação (EMS).
Sistemas abertos
Outra tendência mais recente que tem se verificado na 
tecnologia de Centros de Controle aponta para a adoção do 
conceito de Sistemas Abertos. Nos SEM tradicionais, tanto o 
hardware quanto o software são fornecidos pelo mesmo fabri-
259
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
cante/fornecedor. Assim, esta empresa fornece à concessionária, 
a partir de especificações deste último, os algoritmos, o softwa-
re (incluindo sistema operacional, protocolos de comunicação 
e interfaces, nem sempre padrões) e o hardware. Isto restringe 
o desenvolvimento e atualizações de software, por exemplo, ao 
próprio fornecedor ou à própria empresa.
A tendência à adoção de sistemas computacionais distribu-
ídos, nos quais os processadores podem ser heterogêneos e estar 
fisicamente distantes, tem levado as concessionárias de países 
mais desenvolvidos a considerarem a incorporação da filoso-
fia de Sistemas Abertos. Um sistema aberto pode ser definido 
como um sistema que pode ser substituído, no todo ou em par-
te, sem que isto configure dependência em relação a um dado 
fornecedor. De fato, o conceito de independência é fundamental 
em sistemas abertos. Exige-se, por exemplo, que o software seja 
independente do hardware; que as aplicações independam do 
sistema operacional; a IHM deve ser independente da base de 
dados, etc. Evidentemente, estes objetivos só poderão ser atin-
gidos se houver um certo nível de padronização das interfaces 
envolvidas. Prevê-se que, com a disseminação da filosofia de 
Sistemas Abertos para EMSs, as empresas de energia elétrica 
poderão selecionar o melhor hardware e o melhor software para 
cada etapa da evolução do seu sistema, sem ficarem restritas a 
uma única empresa fornecedora, nem a projetos que não se ba-
lizem por padrões largamente aceitos.
Estimação estática de estados em sistemas de 
potência
Nas últimas décadas, a filosofia para a operação de sis-
temas de potência tem se caracterizado pela incorporação de 
funções que visam a avaliação em tempo real da segurança do 
260
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
sistema. A implementação e coordenação destas funções são 
realizadas nos modernos Centros de Operação dos Sistemas 
(COS), cujo emprego para controlar a operação em tempo real 
vem se tornando prática consagrada na maioria das concessio-
nárias de energia elétrica.
A avaliação da segurança da operação de sistemas de po-
tência é feita basicamente a partir da execução de duas fun-
ções básicas, que são Monitoração da Segurança e Análise de 
Segurança. O desempenho dessas funções depende da dispo-
nibilidade de informações confiáveis a respeito do ponto de 
operação atual do sistema. Em outras palavras, é muito im-
portante que se disponha de meios para atualizar em tempo 
real o banco de dados do sistema. A função encarregada de 
desempenhar este papel é a Estimação de Estados em Sistemas 
de Potência (EESP).
O Estimador de Estados consiste em um conjunto de algo-
ritmos para processar telemedidas realizadas em todo o sistema. 
Essas telemedidas são em geral redundantes e corrompidas por 
erros de medição, erros de conversão analógico-digital e ruídos 
de transmissão. O estimador processa essas observações com o 
objetivo de fornecer estimativas confiáveis para os estados (de-
finidos como as amplitudes e os ângulos das tensões nas barras) 
da rede elétrica. A partir dos estados é possível determinar ou-
tras variáveis, como o fluxo de potência nas linhas de transmis-
são, injeções de potência nas barras, etc.
Características da EESP
A função da Estimação de Estados em Sistemas de Po-
tência é fornecer uma base de dados em tempo real confiável a 
partir de telemedidas redundantes e corrompidas por erros de 
várias espécies. Basicamente, o estimador de estados processa 
261
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
essas medidas (geralmente magnitude das tensões, injeções de 
potência ativa e reativa nas barras, fluxos de potência ativa e rea-
tiva nas linhas de transmissão, e excepcionalmente correntes) de 
forma a estimar valores para a tensão complexa em todas as bar-
ras, o que descreve completamente o estado do sistema em re-
gime permanente. Além dessas telemedidas, outras quantidades 
não medidas diretamente, mas que também contém informa-
ções relevantes sobre o estado do sistema podem ser processadas 
pelo estimador. Essas quantidades, devido ao fato de que seus 
valores podem ser estimados sem a utilização de instrumentos 
de medição (injeções de potência ativa e reativa em barras de 
transferência, por exemplo), são chamadas pseudomedidas.
Aplicações dos resultados da EESP
Dentre as principais aplicações dos resultados fornecidos 
pelo estimador de estados, os três de maior relevância são:
• Monitoração da segurança, cujo objetivo é observar a 
condição corrente de operação do sistema e verificar se 
esta é normal, de emergência, ou restaurativa;
• Análise de segurança (Fluxo de potência on-line, aná-
lise de contingências, etc.), cuja função é determinar os 
efeitos de eventuais contingências no sistema;
• Previsão de carga para as barras do sistema.
Monitoração em tempo real de redes elétricas
Diferentes alternativas foram propostas no passado para 
processardados em tempo real a fim de monitorar o sistema de 
potência. Algumas dessas abordagens são:
• Sistema de supervisão baseado na medição de quanti-
dades que permitam a monitoração de variáveis con-
262
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
sideradas básicas de rede elétrica, associadas a certas 
instalações chaves do sistema. Esta prática de monito-
ração é obviamente considerada incompleta, além de 
entrar em conflito com o planejamento do sistema de 
potência. Em outras palavras, nos estudos de planeja-
mento qualquer instalação pode se tornar chave, de-
pendendo da coordenação da operação.
• Utilização direta dos dados oriundos do sistema SCA-
DA (Sistema Supervisório e de Aquisição de Dados). 
Este procedimento também é considerado incompleto 
em virtude das seguintes características:
1 - Os resultados apresentados ao operador são medidas 
brutas;
2 - Não são fornecidas informações sobre variáveis 
não-monitoradas;
3 - A detecção e a identificação dos eventuais erros gros-
seiros são prejudicadas.
• Fluxo de potência on-line, usando como medidas ape-
nas injeções de potência ativa P e reativa Q. Apesar de 
superior aos dois procedimentos anteriormente men-
cionados, este método apresenta diversas limitações 
quando comparado as metodologias que utilizam o 
estimador de estados como ferramenta computacional 
de análise. Essas limitações advêm dos seguintes fatos:
1 - A técnica restringe os tipos de medidas que podem ser 
utilizadas. Isto é, desde que o algoritmo computacional 
básico é a solução do fluxo de potência, os dados de 
entrada são limitados as injeções de potência ativa e 
reativa nas barras de carga (PQ), e injeções de potência 
ativa e magnitudes da tensão nas barras PV.
263
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
2 - A perda de uma medida de injeção de potência ativa 
ou de potência reativa, ou de magnitude da tensão 
implica na impossibilidade de solução, já que as equa-
ções utilizadas na solução do fluxo de potência são 
independentes;
3 - Uma medida de injeção incorreta implica na obtenção 
de resultados incorretos;
4 - Não é possível se determinar o nível de confiança dos 
resultados em virtude da falta de redundância nos da-
dos de entrada.
Vantagens da estimação de estados 
Quanto às técnicas de estimação de estados, os seguintes 
aspectos positivos podem ser visualizados em relação às meto-
dologias para controle em tempo real referidas anteriormente:
1 - Reconhecimento da existência de erros inerentes nas 
medidas;
2 - Possibilidade de processamento de diversos tipos de 
medidas;
3 - Exploração da redundância entre as quantidades me-
didas. Como se trabalha com medidas redundantes, é 
possível:
• Obter estimativas para os estados mesmo 
quando algumas medidas são perdidas;
• Detectar a presença de erros grosseiros e iden-
tificar sua localização;
1 - Possibilidade de se avaliar o nível de confiança dos 
resultados;
2 - Possibilidade de se determinar quantidades que não fo-
ram monitoradas (definição de estado).
264
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
Subproblemas da estimação de estados
Os seguintes subproblemas estão associados ao problema 
de Estimação de Estados em Sistemas de Potência:
• Observabilidade: subproblema que consiste em verifi-
car se o número e a localização das medidas a serem 
processadas pelo estimador permite a determinação do 
estado do sistema;
• Estimação de estados: processo que consiste no côm-
puto da estimativa dos estados a partir do conhecimen-
to da estrutura e dos dados do sistema e de telemedidas 
tomadas ao longo do mesmo;
• Identificação de erros grosseiros: procedimento para se 
determinar quais são as medidas portadoras de erros 
grosseiros, ou que parte da estrutura não está correta-
mente modelada;
• Recuperação de medidas portadoras de erros grossei-
ros: processo consistindo no tratamento de medidas es-
púrias, tal que elas possam ser utilizadas na estimação 
de estados.
Além destes, outros problemas ligados à modelagem em 
tempo real de sistemas de potência são a pré-filtragem de medi-
das e o configurador da rede elétrica:
• Pré-filtragem: consiste em um pré-processamento no 
qual as medidas são submetidas a uma seleção tal que 
aquelas mais claramente portadoras de erros grosseiros 
são descartadas;
• Configurador: determina um modelo barra-ramo para 
a rede elétrica a partir do processamento das posições 
(status) de disjuntores e chaves de subestações.
265
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Classificação dos estimadores de estado
Quanto ao modo de processar os dados, os estimadores de 
estado podem ser classificados em:
• Estimadores tipo batch, no qual todas as medidas dis-
poníveis são processadas simultaneamente;
• Estimadores tipo sequenciais, no qual as quantidades 
medidas são processadas uma por vez.
Os estimadores que processam o conjunto de medidas si-
multaneamente (tipo batch podem ainda ser classificados sob o 
ponto de vista de formulação, o que resulta nos seguintes tipos 
de estimadores:
• Estimador usando o método dos mínimos quadrados 
ponderados;
• Estimadores baseados no algoritmo de mínimo valor 
absoluto;
• Outros métodos.
• Quanto ao método de solução, os estimadores tipo mí-
nimos quadrados podem ser classificados em:
• Solução via Equação Normal (método clássico);
• Solução via Métodos Ortogonais (Reflexões de Golub, 
Rotações de Givens);
• Solução via Métodos Híbridos (fatoração ortogonal, 
solução do sistema linear não-ortogonal);
• Solução via Método da Matriz Aumentada (ou Tableau 
esparso);
• Solução explorando o desacoplamento Pδ - QV (Esti-
madores desacoplados).
266
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
Os Estimadores Sequenciais, por sua vez, são baseados no 
método dos mínimos quadrados recursivos e podem ser basica-
mente de dois tipos:
• Método baseado no Filtro Kalman;
• Métodos Ortogonais (filtro de informação do tipo raiz 
quadrada – via rotações de Givens).
O modelo de medição
Considerando-se um sistema de potência com N barras, no 
qual m quantidades são medidas. Supõe-se ainda, que a topologia 
e os parâmetros da rede elétrica são conhecidos. Sob estas con-
dições, é possível determinar os fluxos de potência em qualquer 
linha de transmissão e/ou a injeção de potência em qualquer bar-
ra, a partir do conhecimento das tensões complexas nas barras 
do sistema. Esta é a razão pela qual as tensões complexas nas 
barras são chamadas variáveis de estado do sistema de potência.
O conjunto de medidas tomadas ao longo da rede elétrica, 
as variáveis de estado do sistema e os erros de medição estão 
relacionados através do seguinte modelo de medição:
z = z0 + η (4.4)
onde:
z = vetor das quantidades medidas (isto é, magnitude da 
tensão nas barras, injeções de potência ativa e reativa, fluxos de 
potência ativa e reativa, corrente, etc.), de ordem (m x 1);
z0 = vetor com os valores verdadeiros das quantidades me-
didas, o qual é função do estado verdadeiro, de ordem (m x 1);
η = vetor aleatório que modela os erros de medição (isto 
é, imprecisão de medidores, erros de transformadores de ins-
trumentos, efeitos de conversão analógico-digital A-D, etc.), de 
ordem (m x 1).
267
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
É suposto que η tem média zero e que os erros de medi-
ção são não-correlacionados, isto é, a matriz de covariância dos 
erros de medição R é suposta diagonal. Isto é expresso com 
auxílio da equação:
E(η) = 0 E(ηηT) = R (diagonal) (4.5)
As grandezas medidas podem ser expressas como funções 
não-lineares dos estados, resultantes da aplicação das leis de 
Kirchhoff e Ohm, isto é,
z0 = h(x) (4.6)
de modo que a equação (4.4) pode ser escrita como:
z = h(x) + η (4.7)
tal que, 
E(η) = 0 E(ηηT) = R (diagonal) (4.8)
Observações
Fluxos de corrente nas linhas de transmissão, assim como 
injeções de correntes nas barras, podem ser também monitora-
dos. Entretanto esta prática não é usualmente adotada.
Além das medidasefetivas que compõem o conjunto de 
medidas tomadas ao longo do sistema, alguns componentes do 
vetor das quantidades medidas z podem ser pseudo-medidas, 
obtidas por um outro processo diferente de telemedição (estu-
dos de previsão de carga, por exemplo).
O grau de redundância global entre as medidas tomadas na 
rede elétrica é definido como:
m
n
m
N2 1
Redundância: η = =
−
 (4.9)
Da definição de redundância é possível observar que uma 
condição necessária para que o problema de estimação de es-
tados tenha solução é que: m ≥ n, ou ρ ≥ 1,0; naturalmente, 
268
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
é também necessário que a localização das quantidades me-
didas seja estabelecida de forma a propiciar não apenas que o 
estado do sistema de potência possa ser estimado (estudos de 
observabilidade) como também que as medidas eventualmen-
te contaminadas com erro grosseiro possam ser detectadas 
e identificadas;
O vetor de funções não lineares h(x), da equação (4.7) 
representa a relação entre os estados e as quantidades medidas, 
e é obtido através da aplicação das leis de Ohm e Kirchho-
ff. Rigorosamente este vetor deveria ser denotado como uma 
função não apenas dos estados como também dos parâmetros 
da rede elétrica. Todavia, conforme mencionado anteriormen-
te, para fins de estimação de Estados é suposto que tanto a 
topologia como os parâmetros do sistema de potência são co-
nhecidos com precisão, tal que o uso da notação simplificada 
é justificado;
Os erros de medição são representados no modelo de me-
dição pelo vetor η. Estes erros são provenientes de uma va-
riedade de fontes tais como: imprecisão dos medidores, erros 
de transformadores como instrumentos, erros de comunicação, 
efeitos de conversão analógico-digital, etc. Os erros são supos-
tos serem não-correlacionados, tal que a matriz de covariância, 
R, da equação (4.8), é assumida ser diagonal. Os elementos não
-nulos dessa matriz são as variâncias dos erros de medição, os 
quais podem ser expressos como uma função do valor do fundo 
de escala dos instrumentos de medição;
Se pseudo-medidas são utilizadas, suas variâncias devem 
refletir o grau de incerteza associada a correspondente quan-
tidade. Esse grau de incerteza é, sob circunstâncias normais, 
269
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
maior do que aquele associado as medidas normais. A variância 
das pseudo-medidas é, portanto, maior do que a das quantida-
des telemedidas.
Estimadores tipo batch
Solução pelo método dos mínimos quadrados 
ponderados – método clássico
No método dos Mínimos Quadrados Ponderados (MQP) 
o estado x̂ é calculado de forma a minimizar a função custo re-
ferente aos modelos das equações (4.7) e (4.8). O problema a ser 
resolvido consiste, portanto na minimização da função de custo
J( x̂ ) = [z – h( x̂ )]T R-1 [z – h( x̂ )] (4.10)
com relação ao vetor de estados . Ou seja, deseja-se mini-
mizar o índice representado pela somatória dos quadrados dos 
resíduos ponderada pelo inverso das variâncias dos erros de me-
dição. A utilização da matriz de ponderação R implica em que 
medidas supostamente mais precisas recebem maior peso do 
que aquelas nas quais se espera maior imprecisão.
Apesar de que a minimização da função de custo mos-
trada na equação (4.10) não envolve restrições, o processo de 
busca do custo ótimo implica em um problema não-linear, de 
difícil solução. Por outro lado, o índice a ser otimizado é re-
presentado por uma função quadrática, a qual é por sua vez, 
expressa em termos do vetor de equações não-lineares h(x). 
Vários métodos poderiam ser aplicados na resolução de um 
problema deste tipo. Entretanto, as características da nature-
za quadrática da função objetivo e a ausência de restrições), 
tornam este problema de otimização bastante apropriado para 
a solução pelo método de Newton. Esta técnica consiste em 
270
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
obter a solução do problema não-linear com função objetivo 
quadrática através de um algoritmo iterativo, com correções no 
vetor de estados dada por
x̂ k+1 = x̂ k + ∆ (4.10)
1.1.1.1 O método de Gauss-Newton
O método de Gauss-Newton, para a solução do proble-
ma não-linear de mínimos quadrados, consiste em determinar 
a correção ∆ x̂ , da equação (4.11) primeiro expandindo J( x̂ ) da 
equação (4.10) em série de Taylor em torno do ponto x̂
k, ao lon-
go da direção x̂ ∆, até o termo de segunda ordem, isto é
 J J
T
x x x J x
x
x x
x x J x
x x x
x
( ˆ ˆ) ( ˆ ) ( ˆ)
ˆ
ˆ ˆ
ˆ 1
2
ˆ ( ˆ)
ˆ ˆ ˆ
ˆ
k k
T
k k
2
2
+ = + ∂
∂
=
+ ∂
∂





 =
 (4.12)
ou seja, 
J J g MT T
Kx x x x x x x x( ˆ ˆ) ( ˆ ) ( ˆ ) ˆ 1
2
ˆ ( ˆ ) ˆk k k+ ≈ + + (4.13)
onde
M( x̂ k) =
J x
x x x
( ˆ)
ˆ ˆ ˆk
2
2
∂
∂





 =
 (4.14)
é a matriz de segundas derivadas de J( x̂ ) em relação a x̂ k, 
chamada matriz Hessiana de J( x̂ ), e 
g( x̂ k) =
J x
x x x
( ˆ)
ˆ ˆ ˆ
T
k
∂
∂ =
 (4.15)
é o vetor de primeira derivada de J( x̂ ) com relação a x̂ k, 
chamado vetor gradiente de J( x̂ ).
271
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
O mínimo da função J( x̂ k + ∆ x̂ ) em relação a ∆ x̂ é obti-
do diferenciando-se J em relação a ∆ x̂ e igualando o resultado 
a zero,
J
x( )
∂
∂
 = 0 (4.16)
Isto resulta em 
g( x̂ k) + 1
2
 × 2 × M( x̂ k) ∆ = 0 (4.17)
e portanto em 
M( x̂ k) ∆ x̂ = – g( x̂ k) (4.18)
A obtenção do vetor gradiente g( x̂ k) em termos analíticos 
é mais facilmente compreendida expressando-se inicialmente a 
função de custo como
J( x̂ ) = r × R-1 × r (4.19)
onde r = z – h( x̂ ).
A derivada primeira desta função em relação a é dada por
g K
TJ x
x x
x r
x
J x
r x x
( ˆ)
ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ
( ˆ)
ˆ ˆk
∂
∂
= = ∂
∂





 × ∂
∂





 = (4.20)
ou, em termos das grandezas envolvidas na representação 
da função original
RR zz hh ( 
h x
r
x x x( ˆ) 2 ( ˆ)) ˆ ˆk1∂
∂
= × − =− (4.21)
ou seja,
g( x̂ ) = 2 HT ( x̂ k) × R-1 × ∆z (4.22)
Aplicando-se o mesmo procedimento para o cálculo da 
matriz de segundas derivadas de J( x̂ ) obtém-se
272
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
 M
 
k
k
k
k
x J x
x x x x
h x
r
x R x z h x
x x
( ˆ ) ( ˆ )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ˆ) 2 ( ( ˆ)) ˆ ˆ
T
2
2
1
= ∂
∂





 =
= ∂
∂
− ∂
∂





 −





 =
−
 (4.23)
Supondo-se que, nas proximidades da solução, 
h x
x
( ˆ)∂
∂
 ≈ cte = H ( x̂ k) (4.24)
M( x̂ k) ≈ - 2 HT ( x̂ k) x R-1 x - H ( x̂ k) = 2 HT ( x̂ k) x R-1 H ( x̂ k) (4.25)
então é possível escrever
M( x̂
k) × ∆ x̂ = – g ( x̂
k) (4.26)
isto é,
2 HT ( x̂
k) x R-1 H ( x̂
k) x ∆ x̂ = 2 x HT ( x̂
k) x R-1 x ∆z (4.27)
e finalmente
HT ( x̂
k) x R-1 x H ( x̂
k) x ∆ = HT ( x̂
k) x R-1 x ∆z (4.28)
A equação (4.28) é conhecida como Equação Normal de 
Gauss. O vetor ∆ x̂ é obtido resolvendo-se a equação (4.28). 
Então, uma estimativa melhorada para o estado é obtida através 
da relação iterativa
x̂ k+1 = x̂ k + ∆ x̂ (4.29)
O processo iterativo é iniciado a partir de uma estimativa 
inicial x̂
0. A cada iteração os incrementos nas variáveis de esta-
do ∆ x̂ são obtidos através da equação
∆ x̂ = [HT ( x̂
k) x R-1 x H ( x̂
k)]
-1 x HT ( x̂
k) x R-1 x ∆z (4.30)
até que o critério de parada representado pela equação 
(4.31) seja satisfeito
maxi |∆ x̂ | ≤ ε (4.31)
onde ε é uma tolerância pré-estabelecida. Ou seja, o pro-
cesso é encerrado quando a magnitude dos ajustes nas variáveis 
de estado for desprezível.
ˆ
273
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Algumas características da equação normal são:
• A matriz [HT x R-1 x H], denominada Matriz Ganho 
ou Matriz de Informação é aproximadamente 2 vezes 
mais densa que a matriz H, se a matriz R é diagonal, 
ou seja, desde que a matriz H é esparsa, a matriz de in-
formação possui também um número reduzido de ele-
mentos não-nulos, o que possibilita o uso de técnicas 
de compactação e esparsidade na solução do sistemalinear da equação (4.28).
• Observa-se também que a matriz [HT x R-1 x H] é si-
métrica em estrutura e valores numéricos, o que facilita 
a sua fatoração. Adicionalmente, é possível garantir que 
esta matriz é positiva semidefinida. No caso particular 
de Estimação de Estados em Sistemas de Potência, en-
tretanto, o plano de medição deve ser tal que o número 
e a configuração das quantidades medidas assegurem a 
não-singularidade da matriz de informação (neste caso 
o sistema é dito observável).
• Os elementos da matriz Jacobiana H ( x̂
k) são obtidos 
derivando-se as expressões de h(x) (as quais são as co-
nhecidas equações dos fluxos de potência nas linhas 
de transmissão, injeções de potência ativa e reativa nas 
barras, magnitude das tensões, etc.) em relação ao vetor 
de estados x (magnitude e ângulo da tensão nas barras 
do sistema). Apesar da simplicidade com que se pode 
expressar essas derivadas analiticamente, a sua deter-
minação em termos numéricos requer considerável es-
forço computacional. 
274
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
Cálculo dos termos da matriz jacobiana e das 
quantidades medidas
Apesar de que as equações que descrevem a equação nor-
mal em termos de variáveis do sistema elétrico são expressas 
na forma polar, os termos da matriz Jacobiana e as quantidades 
medidas são computadas utilizando-se a forma complexa retan-
gular das variáveis envolvidas no cálculo. Desde que o cômputo 
explícito das funções trigonométricas é evitado, este procedi-
mento resulta em considerável economia de cálculo.
A tensão complexa na barra i, em coordenadas retangula-
res, é expressa como
Vi = ei + j fi (4.32)
e a admitância série da linha de transmissão conectando as 
barras i e k é denotada por
Gik + j Bik (4.33)
onde G0ik e j B0ik representa a metade da admitância total 
shunt.
Definindo as variáveis intermediárias
Gii = Gik + G0ik (4.34)
Bii = Bik + B0ik (4.35)
aik = ek Gik - fk Bik (4.36)
cik = - ek Bik + fi bik (4.37)
dik = ei bik - fi aik (4.38)
As quantidades medidas são a magnitude das tensões, vi, 
os fluxos de potência ativa e reativa nas linhas de transmissão, 
tik e uik, e as injeções de potência ativa e reativa nas barras, pi e 
qi, respectivamente. Usando as equações (4.32) a (4.38), essas 
quantidades podem ser expressas como
vi = e fi i
2 2 + (4.39)
tik = vi
2 Gii + cik (4.40)
275
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
uik = - vi
2 Bii + dik (4.41)
pi = k t ik ∑ ∈ Ω (4.42)
qi = k uik ∑ ∈ Ω (4.42)
onde Ω denota o conjunto de barras diretamente conecta-
das a barra i.
A matriz Jacobiana utilizada no modelo de medição line-
arizado para a Estimação de Estado em Sistemas de Potência 
pode ser particionada como
H =
v
v
t t
v
u u
v
p p
v
q q
v
0
r
r
r
r
δ
δ
δ
δ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂






 (4.44)
onde, v é o vetor da magnitude das tensões nas barras; δr 
é o vetor do ângulo das tensões nas barras, t e u são os vetores 
das medidas de fluxos de potência ativa e reativa nas linhas 
de transmissão, respectivamente; e p e q são os vetores das 
medidas de injeções de potência ativa e reativa nas linhas de 
transmissão, respectivamente.
Considerando que é computacionalmente vantajoso dividir 
as correções na magnitude das tensões no modelo linearizado 
(∆vi ) por vi, os elementos da matriz Jacobiana mostrados na 
equação (4.44) podem ser expressos, em termos das quantidades 
representadas nas equações (4.32) a (4.43), como
276
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
vk
 v
v
i
k
∂
∂
 = 0, k ≠ i (4.45)
vi 
v
v
i
i
∂
∂
 = vi (4.46)
tik
k δ
∂
∂
 = dik, k ≠ i (4.47)
vk 
t
v
ik
k
∂
∂
 = cik, k ≠ i (4.48)
δ
∂
∂
uik
k
 = - cik, k ≠ i (4.49)
vk 
u
v
ik
k
∂
∂
 = dik, k ≠ i (4.50)
δ
∂
∂
tik
i
 = - uik - vi
2 Bii, k ≠ i (4.51)
vi 
∂
∂
t
v
ik
i
 = tik + vi
2 Gii, k ≠ i (4.52)
uik
iδ
∂
∂
 = tik - vi
2 Gii, k ≠ i (4.53)
vi 
u
v
ik
i
∂
∂
 = uik - vi
2 Bii, k ≠ i (4.54)
pi
kδ
∂
∂
 = dik, k ≠ i e k ∈ Ω (4.55)
vk 
p
v
ik
k
∂
∂
 = cik, k ≠ i e k ∈ Ω (4.56)
qik
kδ
∂
∂
 = - cik, k ≠ i e k ∈ Ω (4.57)
277
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
vk 
q
v
ik
k
∂
∂
 = dik, k ≠ i e k ∈ Ω (4.58)
pi
iδ
∂
∂
 = - qi - vi
2 Bii, k≠ i (4.59)
vi 
p
v
i
i
∂
∂
 = pi + vi
2 Gii, k≠ i (4.60)
qi
iδ
∂
∂
 = pik - vi
2 Gii, k≠ i (4.61)
vi 
q
v
i
i
∂
∂
 = qi - vi
2 Bii, k≠ i (4.62)
Estas equações mostram que os elementos da matriz Jaco-
biana podem ser obtidos usando as mesmas variáveis utilizadas 
no cálculo das quantidades medidas, o que permite considerável 
economia nos requisitos computacionais para a determinação 
destas quantidades.
Aspectos computacionais
As características da equação normal permitem a obtenção 
da solução do sistema linear da equação (4.28) pelo método de 
Cholesky utilizando, para a ordenação da matriz de informação, 
2º método de Tinney (também referido como Algoritmo da Va-
lência Mínima);
A equação normal é resolvida executando-se os seguintes 
passos:
1 - Decomposição da matriz de informação A = [HT x R-1 
x H] (suposta simétrica e positiva-definida), via método 
de Cholesky, em
278
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
A = LT × L (4.63)
2 - Substituição inversa no sistema
LT × y = b (4.64)
para obtenção de y, onde b = HT × R-1 × ∆z;
3 - Substituição direta no sistema
L × ∆z = y (4.65)
para obtenção de ∆x
Desde que a estrutura da matriz de informação não é mo-
dificada durante o processo iterativo, a ordenação e a estrutura 
da matriz L podem ser determinadas apenas uma vez, o que im-
plica em melhoria da implementação, já que o método é iterativo 
e requer várias soluções da equação normal;
Verifica-se ainda, que nas últimas iterações do processo as 
variações nos valores numéricos da matriz H são praticamente 
desprezíveis, o que permite manter esta matriz constante durante 
algumas iterações e assim reduzir o esforço computacional 
necessário para a estimação do vetor de estados.
Estimador de estados linearizado
Embora de escasso interesse para aplicação prática, o es-
timador de estados linearizado é importante como ferramenta 
auxiliar no aprendizado dos métodos e técnicas ligados à esti-
mação de estados em sistemas de potência. As hipóteses simpli-
ficadoras em que se baseia, embora limitem bastante a abran-
gência e validade de seus resultados, permitem a simplificação 
do problema para uma forma não-iterativa que facilita o enten-
dimento dos diversos métodos de solução da estimação de esta-
dos. Além disso, o estimador linearizado é útil na interpretação 
de técnicas de processamento de erros grosseiros, de análise de 
observabilidade, etc.
279
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
O estimador de estados linearizado baseia-se nas hipóteses 
simplificadoras utilizadas para o chamado fluxo de potência dc, 
ou seja:
1 - As magnitudes de tensão nas barras do sistema de po-
tência são todas consideradas iguais;
2 - As resistências e admitância transversais das linhas de 
transmissão são supostas desprezíveis;
3 - As aberturas angulares das linhas são supostas peque-
nas o suficiente para justificar a aproximação:
sen (δi- δj) ≈ (δi- δj) rads (4.66)
Considerando-se estas hipóteses, as relações entre os flu-
xos e injeções de potência ativa com os ângulos das tensões nas 
barras são dadas por:
tij = γij (δi- δj) (4.67)
e
pi = tk i ik ∑ ∈ Ω (4.68)
onde
γij = x
1
ij
 (4.69)
é a capacidade de transmissão da linha i – j e Ωi é o conjun-
to de barras adjacentes à barra i.
Desde que as magnitudes das tensões nas barras são su-
postas constantes, as únicas variáveis a serem estimadas são os 
ângulos das tensões, ou seja, o vetor de estados reduz-se ao ve-
tor δ. Pelo mesmo motivo, o vetor de medidasbarras para o 
exemplo 3.8. ...........................................................................208
Figura 3.13: Sistema de cinco barras do exemplo 3.9. . 212
 Figura 3.14: Rede de cinco barras do exemplo 3.10 
após corrigir os limites de tensão violados. .................... 215
 Figura 3.15: Rede de cinco barras do exemplo 3.11. 
Estado após a correção de problemas de tensão. .........220
 Figura 3.16: Rede de cinco barras após a saída 
da linha L3. .............................................................................226
 Figura 3.17: Perfil ótimo de tensão para o sistema 
de cinco barras e dois geradores.......................................228
 Figura 3.18: Sistema elétrico de duas barras: a) Não existe 
limite sobre o fluxo de potência, b) Existe um limite de flu-
xo de potência de 40 MW. ...................................................229
 Figura 3.19: Sistema de potência de três barras do 
exemplo 3.16. .........................................................................230
 Figura 4.1: Diagrama de transição de estados de operação 
de um sistema de potência. ................................................245
 Figura 4.2: Principais aplicativos da operação em tempo 
real............................................................................................250
Figura 4.3: Configuração típica de um sistema central. 252
Figura 4.4: Sistema não-redundante. ...............................253
 Figura 4.5: Sistema não-redundante com front-end e 
computador para IHM. .........................................................254
Figura 4.6: Configuração dual. ...........................................255
 Figura 4.7: Sistema distribuído para Centros de 
Operação (EMS). ...................................................................258
 Figura 4.8: Sistema exemplo para construção do modelo 
de medição linear. ................................................................. 281
 Figura 5.1: Curva-limite para programação hidrotérmica 
de médio prazo. ..................................................................... 311
 Figura 5.2: Variação do valor marginal da água com a ten-
dência hidrológica e o nível de armazenamento dos reser-
vatórios.................................................................................... 313
 Figura 5.3: Sistema hidrotérmico formado por hidrogera-
dor e turbogerador equivalentes. ....................................... 314
 Figura 5.4: Curva de carga e participação térmica e hi-
dráulica em problema de programação com restrição de 
energia. .................................................................................... 318
 Figura 5.5: Variáveis hidráulicas associadas a uma usina 
hidrelétrica. .............................................................................334
 Figura 5.6: Usinas em cascata em uma mesma bacia hi-
drográfica. ..............................................................................339
Figura 5.7: Funções de custo imediato e futuro. ............343
 Figura 5.8: Custo futuro como uma função linear por par-
tes. ............................................................................................344
 Figura 6.1: Exemplo de função de custo: a) quadrática 
convexa e b) linear por partes. ...........................................357
 Figura 6.2: Três exemplos de despacho econômico com 
limites de geração. ................................................................365
Figura 6.3: Rede de três barras para o exemplo 6.5. ....401
 Figura 6.4: Leilão monoperíodo (exemplo 6.11): a) Com li-
mites de rampa e sem mínimo de potência gerada; b) Com 
mínimo de potência gerada mas sem limites de rampa. 413
 Figura 6.5: Leilão monoperíodo sem incluir restrições 
(exemplo 6.11): a) Um bloco de geração no extremo, 
b) Um bloco de demanda no extremo. ............................. 415
 Figura 6.6: Leilão multiperíodo (exemplo 6.12). Com limites 
de potência mínima e limites de rampa: a) Hora 1 e b) 
Hora 2. .....................................................................................420
 Figura 6.7: Rede para o leilão multiperíodo com 
restrições de rede (exemplo 6.13). ..................................... 421
 Figura 6.8: Leilão multiperíodo com restrições de 
rede (exemplo 6.13): a) Hora 1 e b) Hora 2. ...................... 425
 Figura 6.9: Programação própria ótima do produtor sem 
poder de mercado: a) Produção e preços e 
b) Rendimentos, custos, lucros e preços. ........................ 427
 LiSta de tabeLaS
Tabela 1.1: Dados das unidades para o exemplo 1.1. ..... 58
Tabela 1.2: Funções-custo em $/h para o exemplo 1.1. 58
 Tabela 1.3: Custos Incrementais para despacho de 
duas unidades térmicas. ...................................................... 63
Tabela 3.1: Dados dos geradores do exemplo 3.1. ......... 192
Tabela 3.2: Dados do sistema do exemplo 3.1. .............. 193
Tabela 3.3: Dados de geração para o exemplo 3.3. ...... 196
Tabela 3.5: Fluxo de potência para o exemplo 3.3. ....... 198
Tabela 3.6: Fluxos de potência no exemplo 3.4 ............. 199
 Tabela 3.7: Índices de ordenamento 
para o exemplo 6.5. ..............................................................200
 Tabela 3.8: Análise detalhada dos estados 
pós-contingência. ................................................................. 201
 Tabela 3.9: Estado pós-contingência após a primeira 
iteração e após a convergência. ........................................202
 Tabela 3.10: Informação fornecida pela análise de 
contingências do exemplo 3.6. ...........................................203
 Tabela 3.11: Características de geração do sistema do 
exemplo 3.7. ............................................................................204
 Tabela 3.12: Dados de rede para o sistema 
do exemplo 3.7. ......................................................................205
 Tabela 3.13: Dados de geração do sistema 
do exemplo 3.8. .....................................................................209
 Tabela 3.14: Dados de geração do sistema 
do exemplo 3.9. ..................................................................... 213
 Tabela 3.15: Dados do fluxo de potência para 
o exercício 3.12. .....................................................................223
 Tabela 3.16: Tabela de fluxos de potência para 
o exemplo 3.13. ......................................................................226
 Tabela 4.1: Valores percentis para a distribuição 
qui-quadrada. ........................................................................292
Tabela 5.2: Dados das unidades geradoras. ...................349
Tabela 5.3: Variação da demanda por horário. ...............349
 Tabela 6.1: Parâmetros das funções de custo 
quadráticas. ............................................................................397
 Tabela 6.2: Níveis de geração, custos incrementais 
e os custos para o exemplo 6.1. .........................................398
Tabela 6.3: Demandas elásticas para o exemplo 6.2. ...399
 Tabela 6.4: Níveis de geração, custos incrementais 
e os custos para o exemplo 6.2. ........................................399
 Tabela 6.5: Níveis de geração, custos incrementais 
e os custos para o exemplo 6.3. ........................................400
Tabela 6.6: Sistema de três barras. ...................................400
Tabela 6.7: Sistema de três barras. ...................................402
Tabela 6.8: Casos sem perdas. ..........................................402
Tabela 6.9: Casos com perdas ...........................................402
 Tabela 6.10: Resultados sem perdas e sem limites 
de transmissão na linha 1 – 3. ...........................................403
 Tabela 6.11: Resultados sem perdas e com limites 
de transmissão na linha 1 – 3. ...........................................403
 Tabela 6.12: Resultados sem perdas e sem 
limite de capacidade de transmissão, mas com limites 
de geração. .............................................................................404
 Tabela 6.13: Resultados semz envolve apenas 
medidas de fluxo e de injeção de potência ativa. Assim, toman-
do-se a barra 1 como barra de referência:
δ = [δ2, ..., δN]T (4.70)
e
z = [zt zP]
T (4.71)
280
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
onde N é o número de barras do sistema, zt é o vetor de 
medidas de fluxo de potência ativa e zp é o vetor de medidas de 
injeção de potência ativa. Assim, o modelo de medição para o 
estimador de estados linearizado é dado por:
z = Hδ + η (4.72)
E {η} = 0 (4.73)
E {ηηT} = R = diag {σ1
2 ,…, σm
2 } (4.74)
onde m é o número total de medidas. É importante se 
observar que, segundo as equações (4.67) e (4.68), as relações 
entre as quantidades medidas e os estados são lineares. Conse-
quentemente a matriz de observação H do modelo de medição 
(4.74) é constante. Além disso, ainda a partir das equações (2.67) 
e (2.68), verifica-se que os elementos de H são combinações 
lineares das capacidades das linhas. Estas características do 
modelo de medição simplificado permitem que as estimativas 
δ para os estados sejam obtidas de forma não iterativa. Utili-
zando-se, por exemplo, o método da equação normal, as esti-
mativas para os estados podem ser calculadas resolvendo-se o 
sistema linear:
(HT R-1 H) δ = HR-1 z (4.75)
Inclusão de restrições de igualdade
Sistemas de potência típicos geralmente contém um núme-
ro de barras, denominadas barras de transferência, cujas injeções 
de potência ativa e reativa são nulas. Nessas barras, informações 
precisas sobre o valor das injeções de potência são disponíveis, 
sem o custo da telemedição, ruído ou erro associado às medidas 
convencionais. Esse tipo de barra fornece, portanto, um conjun-
to de medidas adicionais a ser explorado na monitoração do es-
tado do sistema. Seja a figura 4.8 onde é mostrado um exemplo 
para ajudar na construção do modelo de medição linear.
281
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Figura 4.8: Sistema exemplo para construção do modelo de medição linear.
As barras de transferência podem ser modeladas de duas 
formas:
• Considerando as injeções nulas como pseudomedidas 
de injeção de potência de alta precisão. Isto implica na 
atribuição de ponderação elevada para estas medidas 
na solução do problema de mínimos quadrados. En-
tretanto, o uso de fatores de ponderação de diferentes 
magnitudes para as medidas pode ocasionar problemas 
numéricos no processo iterativo, e assim prejudicar a 
convergência do algoritmo.
• Considerando as injeções nulas como restrições de 
igualdade a serem incluídas no problema de otimização 
de mínimos quadrados. Neste caso, a estimativa dos 
estados é obtida minimizando-se a função de custo
J(x) = 
1
2
 [z – h(x)]T R-1 [z – h(x)] (4.76)
com relação ao vetor de estados x, tal que as restrições
g(x) = 0 (4.76)
que representam as injeções de potências nulas, sejam sa-
tisfeitas. Este procedimento Alternativo para modelar as barras 
de transferência, possui as vantagens de melhorar a convergên-
cia do processo iterativo além de evitar problemas de instabili-
dade numérica.
282
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
A solução do problema de mínimos quadrados com restri-
ções de igualdade através do método da equação normal pode 
ser sumarizada nos seguintes passos:
• Formação da função Lagrangeana
L(x, λ) = 
1
2
 [z – h(x)]T R-1 [z – h(x)] + λT g(x) (4.76)
onde λ é o vetor dos multiplicadores de Lagrange corres-
pondentes às restrições de igualdade;
• Aplicação das condições de otimalidade de primeira or-
dem, a qual resulta no conjunto de equações não lineares
x
∂
∂
L (x, λ) = - HT (x) R-1 [z – h(x)] + GT (x) λ = 0
x
∂
∂
L (x, λ) = g(x) = 0 
 (4.79)
onde,
h x
x
g x
x
( ) ( )
( ) ( )
H x
G x
∂
∂
=
∂
∂
=
 (4.80)
Solução das equações não lineares através do método de 
Newton. Isto requer a solução do sistema linear
- HT (x) R-1 [z – h(x) – H(x) ∆x] + GT(x) λ = 0
g(x) – G(x) ∆x = 0 
(4.81)
que é escrito na forma matricial como
H x R H x G x
G x
x
H x R z h x
g x
( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) [ ( )]
( )
T T
T
1
1
 
λ












=
−





−
−
 
(4.82)
283
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
A matriz de coeficientes deste sistema linear não é positiva 
definida, o que requer na fatoração o uso de pivôs 2 x 2, para 
preservar a simetria. Esta matriz é decomposta como A = LT 
DL, onde L é uma matriz bloco triangular inferior e D é uma 
matriz bloco diagonal.
Processamento de medidas com erros 
grosseiros
No contexto da Estimação de Estados em Sistemas de Po-
tência, medidas portadoras de erros grosseiros são aquelas com 
grau de imprecisão muito maior do que é suposto no modelo 
de medição. Nos casos práticos, as medidas espúrias são resul-
tantes de uma variedade de causas, tais como erro nos canais 
de comunicação, instrumentos de medição defeituosos, erro na 
modelagem das pseudo-medidas, etc.
Os dados mais flagrantemente errôneos são rejeitados du-
rante o processo de pré-filtragem das medidas. Este procedimen-
to consiste em verificar se as quantidades medidas estão dentro 
de certos limites, efetuando testes baseados na comparação de 
medidas redundantes. Dentre os vários testes que são efetuados 
no estágio do pré-processamento, os seguintes podem ser citados:
• Comparação do valor medido com o valor nominal da 
quantidade;
• Comparação do valor medido em uma coleta de dados 
com o valor medido na coleta precedente;
• Teste de consistência baseado nas leis de Kirchhoff, 
comparação entre os valores medidos nas duas extre-
midades de um circuito, verificação do estado das cha-
ves/disjuntores do circuito onde as medidas são efetu-
adas, etc.
284
4 Análise estática de segurança de sistemas elétricos de potência
Apesar de que este processo facilita tanto a estimação do 
vetor de estados como a detecção e identificação das medidas 
espúrias, os testes de pré-filtragem não são capazes de detectar 
os erros grosseiros de maior magnitude. O processamento de 
erros de magnitude entre 3 e10 desvios-padrão normalmente 
requerem técnicas mais elaboradas.
A presença de erros grosseiros no conjunto de medidas 
processadas pelo estimador de estados é obviamente prejudicial 
ao desempenho do estimador, devido a deterioração causada no 
estado estimado. Esta deterioração acontece porque o estima-
dor baseado no Método dos Mínimos Quadrados minimiza a 
soma ponderada do quadrado dos resíduos, portanto, os resídu-
os com grandes magnitudes associadas as medidas portadoras 
de erros grosseiros terão um grande efeito sobre o resultado 
final da estimação.
É necessário desenvolver procedimentos tanto para detec-
tar a existência de medidas espúrias no conjunto de medidas 
como para identificar essas medidas, tal que elas possam ser re-
movidas ou substituídas por pseudo-medidas.
Uso dos resíduos de estimação no tratamento de 
erros grosseiros
As técnicas de detecção e identificação de erros grosseiros 
apresentadas nesta seção, são baseadas na análise dos resíduos 
de estimação ou em uma função dos mesmos. A razão para este 
procedimento é que os resíduos fornecem informações úteis 
sobre eventuais violações das suposições feitas em relação ao 
modelo de medição.
Seja um conjunto de m medidas tomadas ao longo de um 
sistema de potência de N barras. O vetor m x 1 dos resíduos de 
medição é definido como
285
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
r = z – ẑ (4.83)
onde z é o vetor das quantidades medidas e é o vetor dos 
valores estimados para as quantidades medidas.
A análise da equação (4.83) mostra que os resíduos repre-
sentam as diferenças entre as medidas reais e os valores esti-
mados para as quantidades medidas. Estas diferenças podem 
ser vistas como os valores que o modelo de medição não pode 
explicar. Considerando-se que: 
• A topologia da rede é conhecida perfeitamente;
• Os parâmetros da rede são conhecidos;
então r pode ser considerado como uma estimativa para operdas, mas com limites 
de capacidade de transmissão e geração. ......................404
 Tabela 6.14: Resultados com perdas e limites de 
capacidade de transmissão e geração. ............................405
Tabela 6.15: Resultados com contratos bilaterais. ........406
Tabela 6.16: Resultados para o exemplo 6.9. ..................407
 Tabela 6.17: Dados adicionais das unidades 
geradoras para o exemplo 6.10. .........................................408
 Tabela 6.18: Dados adicionais das unidades geradoras 
para o exemplo 6.10. .............................................................409
 Tabela 6.19: Caso A, exemplo 6.10. UC sem incluir os 
custos de partida e os limites de rampa. .........................409
 Tabela 6.20: Caso B, exemplo 6.10. UC incluindo os 
custos de partida mas sem os limites de rampa. ..........409
 Tabela 6.21: Caso C, exemplo 6.10. UC incluindo os 
custos de partida e os limites de rampa. ......................... 410
 Tabela 6.22: Caso D, exemplo 6.10. UC incluindo os 
custos de partida, os limites de rampa e as 
restrições de reserva. ........................................................... 410
 Tabela 6.23: Características técnicas das unidades 
geradoras. ............................................................................... 411
Tabela 6.24: Ofertas dos geradores. ................................ 411
Tabela 6.25: Lances das demandas. ................................ 412
 Tabela 6.26: Caso A, exemplo 6.11. Sem limites de 
rampa e sem mínimo de potência gerada. ...................... 412
 Tabela 6.27: Caso B, exemplo 6.11. Com limites de 
rampa e sem mínimo de potência gerada. ...................... 412
 Tabela 6.28: Caso C, exemplo 6.11. Sem limites de 
rampa e com mínimo de potência gerada. ...................... 413
Tabela 6.29: Lances de demandas. .................................. 414
Tabela 6.30: Lances de demandas. .................................. 415
Tabela 6.31: Ofertas aceitas. .............................................. 416
Tabela 6.32: Lances aceitos. .............................................. 416
 Tabela 6.33: Preços, receitas, pagamentos e 
benefício comum. ................................................................. 417
Tabela 6.34: Ofertas aceitas. ............................................. 417
Tabela 6.35: Lances aceitos. .............................................. 417
 Tabela 6.36: Preços, receitas, pagamentos e 
benefício comum. ................................................................. 418
Tabela 6.37: Ofertas aceitas. ............................................. 418
Tabela 6.38: Lances aceitos. .............................................. 418
 Tabela 6.39: Preços, receitas, pagamentos e 
benefício comum. ................................................................. 419
Tabela 6.40: Dados da rede da figura 6.7. ........................ 421
Tabela 6.41: Ofertas e lances aceitos. .............................. 422
 Tabela 6.42: Preços, receitas, pagamentos e 
benefício comum. ................................................................. 423
Tabela 6.43: Ofertas e lances aceitos. ............................. 423
 Tabela 6.44: Preços, receitas, pagamentos e 
benefício comum. ................................................................. 424
 Tabela 6.45: Dados da unidade geradora do 
exemplo 6.14. ......................................................................... 426
 Tabela 6.46: Horizonte de programação e previsão de 
preço do exemplo 6.14. ........................................................ 426
Tabela 6.47: Produção, custos e lucros. .......................... 426
 Tabela 6.48: Horizonte de programação e previsão de 
preço do exemplo 6.15. ........................................................ 427
Tabela 6.49: Dados do sistema hidrelétrico. ................... 428
Tabela 6.50: Produção ótima para o exemplo 6.15........ 428
Tabela 6.51: Níveis dos reservatórios do exemplo 6.15. 428
Tabela 6.52: Receitas do exemplo 6.15. ........................... 429
Tabela 6.53: Dados das unidades de geração. ...............430
 Tabela 6.54: Produção, preços, receitas, custos e 
lucros do exemplo 6.16. .......................................................430
 Tabela 6.55: Previsões de preços e demandas para o 
exemplo 6.17. ..........................................................................431
 Tabela 6.56: Cogeração, compras, receitas, custos e 
lucros para o exemplo 6.17. .................................................432
O despacho econômico
UNIDADE • 01
22
UNIDADE 01
O despacho econômico
Este capítulo abordará o problema do despacho econômico de 
unidades térmicas convencionais. Inicialmente, será discutido o 
problema do despacho econômico clássico sem consideração 
das perdas de transmissão e, depois da apresentação da base 
teórica do problema, serão introduzidos alguns métodos com-
putacionais de solução. A seção final do capítulo mostra como 
a abordagem clássica pode ser estendida para levar em conta, de 
forma aproximada, os efeitos das perdas de transmissão, e apre-
senta algoritmos de solução para o despacho com consideração 
de perdas.
23
DESPACHO ECONÔMICO DE UNIDADES 
TÉRMICAS 
Modelagem do problema em barra única
Considere um sistema de potência formado por N unidades 
geradoras térmicas alimentando NL cargas conectadas a barras 
da rede elétrica. Se PLi é a potência da i-ésima carga, então a 
carga total do sistema é dada por:
∑ =P pL i
NL
Li1 (1.1)
Neste capítulo, a rede elétrica não é explicitamente represen-
tada. Ao invés disso, será utilizado um modelo simplificado no 
qual supõe-se que tanto a carga total PL quanto as unidades ge-
radoras estão conectadas a uma única barra, como indica a figura 
1.1. As perdas de transmissão serão inicialmente desprezadas. 
Figura 1.1: Representação de N unidades térmicas conectadas a uma única barra.
Seja Fi (Pi) a função custo da i-ésima unidade geradora, 
expressa em $/h, onde Pi é a potência gerada pela unidade i. A 
função custo total do sistema é então dada por:
 ∑= =F P P P F P( , , .., ) ( )T N i
N
i i1 2 1 (1.2)
24
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Observa-se que a função custo (equação 1.2) FT é separá-
vel por unidade geradora. 
Desprezando-se as perdas de transmissão, um despacho 
viável das unidades geradoras deve satisfazer à equação de ba-
lanço de potência:
 = P∑
=
Pi L
i
N
1 (1.3)
Além disso, cada unidade geradora está sujeita a seus limi-
tes mínimo e máximo de geração, ou seja:
≥
P P P P
P P P P
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 (1.12)
Tem-se os seguintes casos particulares do problema
Caso 1: Nenhum limite de geração é atingido
Neste caso não há restrição de desigualdade ativa, e portan-
to π i e π i , i = 1, 2, são todos iguais a zero. Da equação (1.10), 
observa-se, portanto, que a solução ótima é obtida quando:
P , P , , , , , = F P + F P + P – P – P 
 P – P -P– P P – P -P – P
1 1 2 2 L 1 2
1 1 1
λ π π π π λ
π π π π+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 2 2 2 2
26
1 Despacho econômico de unidades térmicas
 = = ' ' λF P F P( ) ( )1 1 2 2 (1.13)
Isto é, os custos incrementais dos geradores são iguais en-
tre si e iguais a λ . A figura 1.2 ilustra esta condição para se 
obter o mínimo custo de geração.
Figura 1.2: Condição de mínimo custo de operação quando nenhum limite de geração é 
atingido.
Caso 2: P1 está no limite superior (P1 = P1)
Para esta situação, as condições da equação (1.12) preco-
nizam que π1 > 0 e que os demais multiplicadores de Lagrange 
das restrições de desigualdade sejam todos nulos. Consequente-
mente, as equações (1.10) fornecem:
λ π λ π λ+ = − 0 , e os demais π i ’s são todos nulos. Por-
tanto, tem-se:
 – = 
 – = 
 ' * 
 ' * 
 
 
λ π λ π λ
λ λ
+ = − >
=
F P F P
F P F P
( ) 0 ( )
( ) 0 ( )
1 1
*
1
*
1
'
1
* *
1
2 2
*
2
'
2
*
 (1.15)
Conclui-se que, quando um gerador atinge seu limite infe-
rior, seu custo incremental tenderá a ser maior que λ . Esta é a 
situação mostrada na figura 1.4.
Figura 1.4: Valores relativos dos custos incrementais quando o gerador 2 atinge seu limite 
inferior.
28
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Caso 4: Ambos os geradores estão em (algum de) 
seus limites
 
 
 '
 '
π π
π π π
λ π
λ π
= ≥ =
= ≥ ≥ =
= −
= −
P P
P P
F P
F P
0, 0
0, 0, 0
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 (1.16)
Neste caso, os valores para λ , π1 e π 2 são indeterminados.
 Generalização para o caso de N unidades ge-
radoras
No caso de N unidades geradoras, o problema de despacho 
econômico é formulado como:
min F1 (P1) + F2 (P2) + ... + FN (PN)
s.a.
Pl – P1 – P2 - ... – Pn = 0 (1.17)
 ..., N
− ≤
− + ≤



=
P P
P P
i
0
0
1,i i
i i
A partir das análises feitas e supondo que ao menos um 
gerador não atinge nenhum limite, pode-se sumarizar as condi-
ções para se obter o despacho econômico como:
Se e ' λP P F P( )i i i i
*
A figura ilustra as condições de otimalidade para o caso de 
três unidades geradoras.
29
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Figura 1.5: Condições de otimalidade para várias unidades geradoras.
Interpretação do multiplicador de Lagrange
Considera-se novamente o problema de despacho de N 
unidades geradoras. Por simplicidade (porém, sem perda de ge-
neralidade), nesta seção não serão representados os limites de 
geração. Neste caso, o problema é formulado como:
min Ft (P) = ∑ = F P( )i
N
i i1
s.a.
eTP – PL = 0 (1.19)
onde: eT = [1 1 ... 1] e PT = [P1 P2 ... PN].
A função Lagrangeana correspondente é:
L = FT (P) + λ (PL - e TP) (1.20)
e as condições de otimalidade (KKT) são:
1 - Condição de factibilidade dual 
 F TL λ
∂
= =
P
P e0 ( )* *
 (1.21)
ou, equivalentemente:
 i = 1, ..., Nλ∂
∂
=F P
P
( ) ,i i
i
*
*
 (1.22)
2 - Condição de factibilidade primal 
30
1 Despacho econômico de unidades térmicas
P 
LL
λ∂
= =e P0 T *
 (1.23)
isto é,
∑ == Pi
N
i1
* P 
L (1.24)
Considera-se uma variação de carga de PL para PL + ΔPL. 
Em consequência, o despacho variará desde o valor ótimo P* 
para P* + ΔP. Para garantir o balanço de potência, tem-se que:
eT (P* + ΔP) = PL + ΔPL (1.25)
ou utilizando a equação (1.23),
eT ΔP = ΔPL (1.26)
A consequente variação do custo total será:
ΔFT = FT (P* + ΔP) – FT (P*) ≈ 
ΔT FT (P*) ΔP (1.27)
Utilizando a equação (1.21), pode-se escrever:
ΔFT ≈ λ* eT ΔP (1.28)
ou ainda, usando (1.26) em (1.28):
ΔFT ≈ λ* ΔPL (1.29)
Portanto, dentro da precisão de primeira ordem, tem-se:
λ = T
L
* F
P (1.30)
ou seja, λ* é o incremento de custo em relação ao despacho 
ótimo para se gerar o próximo MW de potência. Isto é, λ* é o 
custo marginal de operação do sistema. Esta conclusão se aplica 
mesmo quando as restrições de desigualdade referentes aos limi-
tes de geração estão presentes.
Fatores de Participação
A carga de um sistema de potência varia ao longo do tem-
po, mas o DE só é resolvido para certos instantes de tempo. Nos 
intervalos entre os instantes em que as soluções do problema 
de DE são determinadas, os fatores de participação permitem 
31
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
extrapolar os resultados da solução mais recente, a qual define 
o chamado ponto-base. Através desses fatores, o despachante 
pode calcular como o despacho de cada unidade geradora deve 
ser alterado para uma dada variação de carga, de modo que a 
nova carga seja atendida da forma mais econômica possível. 
Se partirá da suposição de que tanto a primeira derivada, 
F’, quanto a segunda derivada, F”, da função-custo podem ser 
calculadas. Considera-se, portanto, a curva de custo incremental 
da figura 1.6. Um aumento do custo marginal do sistema de λ0 
para λ0 + Δλ implica em um aumento de geração da unidade i; 
de magnitude ΔPi: Supondo que estas variações são pequenas, 
pode-se inferir da figura 1.5 que:
λ = F P( )i i
0 P " 
i (1.31)
Para cada uma das N unidades geradoras, tem-se, portan-
to, que:
λ= =
F P( )
, 1,
i i
0P i ..., NL " 
 (1.32)
Figura 1.6: Relação entre Δλ e ΔP:
Logo:
∑ ∑λ= =



= =P
F P
1
( )i
N
i i
N
i i
1 1 0P L " 
 (1.33)
32
1 Despacho econômico de unidades térmicas
ou, usando a equação (1.31):
∑=









 ×=F P x
F P
( ) 1
( )i i i
N
i i
0
1 0P PL
 " 
 " i
 (1.34)
A partir da equação (1.34) define-se o Fator de Participação 
para a unidade i como:
∑
=




=







=
f P
P
F P
F P
1
( )
1
( )
part
i
L
i i
i
N
i i
0
1 0
 
 " 
 " 
 (1.35)
 Despacho econômico com funções-custo 
lineares por partes
Algumas empresas representam as funções-custo de seus 
geradores como funções formadas por múltiplos segmentos li-
neares, como mostrado no gráfico superior da figura 1.7. Neste 
caso, o procedimento para determinar o despacho econômico 
pode ser consideravelmente simplificado. Os passos abaixo su-
marizam o procedimento a ser seguido, que é frequentemente 
referido como empilhamento.
Figura 1.7: Aproximação linear por partes de função-custo (acima) e da função de custo 
incremental correspondente (abaixo).
33
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
• Considerando todas as unidades que estão em serviço, 
começa-se com a de menor custo incremental a partir 
de P (Pmin); 
• Quando o custo da unidade de menor custo incremen-
tal atinge o limite superior de seu segmento linear, ou 
se atinge P, procura-se a unidade com o próximo custo 
incremental mais baixo e aumenta-se sua geração; 
• Chega-se finalmente à situação em que a geração de uma 
unidade está sendo aumentada e o total de toda a potên-
cia gerada iguala a carga (ou carga + perdas de transmis-
são). Neste ponto, esta última unidade é parcialmente 
carregada (sobre o segmento respectivo). Se houver duas 
unidades com o mesmo custo incremental, simplesmen-
te divide-se igualmente a carga entre as mesmas. 
Este procedimento pode ser operacionalizado com o au-
xílio de uma tabelacontendo cada segmento de cada unidade 
e sua respectiva contribuição em MW (isto é, a potência do 
extremo direito do segmento menos a potência do extremo es-
querdo). Em seguida, esta tabela é organizada em ordem cres-
cente dos custos incrementais de todas as unidades disponíveis 
para despacho. A busca de cima para baixo na tabela propor-
ciona a solução do problema de despacho econômico de forma 
bastante eficiente.
34
1 Despacho econômico de unidades térmicas
MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA O 
DESPACHO ECONÔMICO
Para a solução de problemas de despacho econômico realís-
ticos, envolvendo grande número de unidades geradoras, torna-
se necessário o uso de algoritmos especializados. Serão vistos 
nesta seção três algoritmos: o método da secante, o método do 
gradiente reduzido e uma especialização do método Primal-Du-
al de Pontos Interiores para a solução do despacho econômico 
de unidades térmicas.
Método da secante
Trata-se do método clássico para a solução do despacho 
econômico. A partir de duas sugestões iniciais para o custo mar-
ginal λ, projeta um novo valor de λ. O procedimento se repe-
te iterativamente, sempre projetando um novo valor de custo 
marginal a partir dos dois últimos valores calculados para esta 
variável. O critério de convergência baseia-se no cumprimento 
da equação de balanço de potência e o algoritmo não permite 
a violação dos limites de geração. As etapas do algoritmo são 
descritas abaixo.
Algoritmo 1: Método da Secante
1 - Supor um λ inicial, λ(1); e fazer k = 0;
2 - K ← k + 1;
3 - Com o valor de λ(k), obter Pi
(k) das curvas de custo in-
cremental, i = 1, ... , N. Caso Pi caia fora dos limites, 
fixa-lo no valor do limite ultrapassado;
4 - Somar ∑ == P Pi
N
i
k
L
k
1
( ) ( ) 
35
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
Se k = 1, sugerir outro valor para λ, λ(2), e retornar ao pas-
so 2 (O procedimento usual é utilizar um valor de λ(2) cerca de 
10% acima ou abaixo do valor de partida, dependendo do sinal 
de erro ξ;
5 - Seja ξ = PL - PL
(k). Se |ξ| > δ, com δ fixado em um 
valor pequeno, projetar λ usando o método da secante:
6 - 
∑ == P Pi
N
i
k
L
k
1
( ) ( ) 
 (1.36)
e retornar ao passo 2. Por outro lado, se |ξ| ≤ δ a conver-
gência foi atingida, FIM.
A figura 1.8 ilustra o mecanismo de projeção de um novo λ 
a partir dos dois últimos valores calculados. A ordenada de λ(i) 
é o resíduo da equação de balanço de potência ξ(i) correspon-
dente. Supõe-se, por exemplo, que os pontos (λ(1), ξ(1)) e (λ(2), ξ(2)) 
tenham sido determinados. O novo valor de λ(3) é obtido através 
da equação (1.36), que neste caso fornece uma interpolação dos 
dois pontos anteriores. Em seguida, os pontos (λ(2), ξ(2)) e (λ(3), 
ξ(3)) são utilizados para determinar λ(4), e assim por diante.
Figura 1.8: Projeção de um novo λ a partir dos dois últimos valores calculados.
36
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Método do gradiente reduzido
O método do gradiente reduzido é um procedimento prá-
tico para explorar as condições de Karush-Kuhn-Tucker. O 
método considera que as variáveis Pi são divididas em 2 gru-
pos: dependentes e de controle. Há tantas variáveis dependentes 
quantas forem as restrições de igualdade. Como no problema de 
DE só há uma restrição de igualdade (que é a equação de balan-
ço de potência), usa-se uma das potências geradas como variável 
dependente. Chama-se esta variável dependente de Pj.
Originalmente, a função Lagrangeana (sem considerar, por 
enquanto, os limites de geração) é:
L = ∑ Fi (Pi ) + λ (PL - ∑Pi ) (1.37)
Porém, se for calculado Pj a partir das variáveis de controle 
Pi, i ≠ j, como:
Pj = PL – ∑ i≠j Pi (1.38)
assegura-se o cumprimento da restrição de igualdade, de 
modo que o problema de otimização torna-se irrestrito, com 
função-objetivo dada por
FT = ∑ i≠j Fi (Pi ) + Fj (P1, ... , Pj-1, Pj+1, ... , PN) (1.39)
Algoritmo 2: Método do gradiente reduzido
1 - Estimar valores iniciais para os Pi de controle, que es-
tejam dentro dos limites (logo, π i = π i = 0 para as 
variáveis de controle);
2 - Da restrição de igualdade (equação 1.38), calcular a va-
riável dependente, Pj;
3 - De dF
dP
j
j
 , calcular λ (supõe-se que Pj não atinge limites);
4 - Todos os demais componentes de 
ΔL:
37
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
λ∂
∂
− ≠=
P
dF
dPi
i
i
 i iL (1.40)
formam o gradiente reduzido (por não incluir 
dF
dP
j
j
 ). Este 
define a direção de máxima variação de L quando referido às 
variáveis de controle Pi. Usando o gradiente reduzido, calcular:
α λ= − −




≠P P
dF
dP
,i
novo
i
velho j
j
( ) ( ) i j 
 (1.41)
onde α > 0 controla a magnitude do passo;
5 - Os Pi
(novo) não são permitidos de exceder seus limites, de 
forma a manter os π i e π i nulos;
Retornar ao passo 2 e iterar até que L não mais se reduza.
No algoritmo acima, verifica-se que as únicas restrições 
não consideradas são as relativas aos limites de Pj. Estas podem 
ser incluídas como termos penalizantes, do tipo:
... + r (Pj – Pj )
2 + r (Pj - Pj )
2 (1.42)
que devem ser adicionadas a L , mas apenas quando hou-
ver violação dos limites de Pj. Os parâmetros r e r podem ser 
aumentados após o passo 2 se a violação tender a aumentar a 
cada iteração.
Solução pelo método primal/dual de pontos 
interiores 
Interpretação do método
A principal dificuldade dos dois algoritmos apresentados 
nas seções anteriores é o tratamento das restrições de desigual-
dade. O método apresentado nesta seção contorna esta dificul-
38
1 Despacho econômico de unidades térmicas
dade pois estabelece e resolve iterativamente as condições de 
otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT).
O problema completo de despacho econômico é reenun-
ciado abaixo, agora introduzindo variáveis de folga para con-
verter as restrições de desigualdade em restrições de igualdade. 
Nota-se que estas variáveis, Si e Si; devem ser necessariamente 
não-negativas. Chama-se este problema de Problema DE.
min Ft (P) = ∑ = F P( )i
N
i
N
i1 
 
s.a.
PL – ∑ = F P( )i
N
i
N
i1 
 = 0
Pi + Si =- Pi i = 1, ... , N (1.43)
Pi + Si
 = Pi i = 1, ... , N
Si , Si ≥ 0, i = 1, ... , N
A função Lagrangeana correspondente é:
F P P P
P S -P S
T
T
L
T T
λ π π λ
π π
= + −
+ + − + + +
L P s s e
P P
( , , , , , ) ( ) ( )
( ) ( )
T
 (1.44)
onde π e π são os vetores N x 1 dos multiplicadores de La-
grange das restrições de limites superiores e inferiores das uni-
dades geradoras, respectivamente. Para simplificar o lado direito 
da equação (1.44), nota-se que, se definirmos:
   F S PP limπ π
π−





















 −








I
I
S
S
P
P (1.45)
a função Lagrangeana torna-se:
λ π λ π= + − + + −P s e( , , , ) ( ) ( ) ( )TF P P P F P S PT
T
L
T
P limL (1.46)
 As condições de KKT para o Lagrangeano da equação 
(1.46) são:
39
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
λ π= − + =e F 0P
T F P T
 L
= − =λ e 0T P PLL
= + − =π 0 F P S PP limL (1.47)
e as condições de folga complementar:
π
π
=
≥
≥




=
S
S
0
0
0
1,
i i
i
i
i ..., 2N
 (1.48)
Como se sabe, a solução ótima deve obedecer simultane-
amente às condições (1.47) e (1.48). Os fatores complicadores 
são as condições de folga complementar (1.48) e em particular 
as condições de não-negatividade de si e πi: Poder-se-ia pensar 
em resolver apenas o sistema de equações formado por (1.47) 
e a equação em (1.48), mas não se teria nenhuma garantia de 
que as desigualdades seriam cumpridas. Artifícios para manter 
a não-negatividade de si e πi, tais como através da imposição de 
penalidades, não têm sido bem-sucedidos na prática. 
A figura 1.9 ilustra mais claramente o problema. Represen-
tando si e πi sobre eixos ortogonais, conforme indicado na fi-
gura, verifica-se que as condições de complementaridade (1.48) 
exigem que a solução esteja ou sobre o semieixo vertical po-
sitivo, ou sobre o semieixo horizontal positivo. Esta condição 
não-analítica é muito severa para os algoritmos iterativos con-vencionais baseados no método de Newton. Como se sabe, o 
desempenho desses métodos depende fortemente da condição 
inicial, e é difícil prever uma condição inicial que leve ao cum-
primento automático da não-negatividade de si e πi.
40
1 Despacho econômico de unidades térmicas
Figura 1.9: Interpretação gráfica da condição de folga complementar e sua relaxação através 
do parâmetro μ.
O método primal-dual de pontos interiores (MPDPI) re-
solve este impasse relaxando as condições de complementarida-
de, através da introdução de um parâmetro positivo. A primeira 
das condições (1.48) assim relaxada torna-se:
si πi = μ, i = 1, ... , 2N (1.49)
Conforme observado da figura 1.9, para um valor relativa-
mente alto de μ (curva pontilhada da figura), a função corres-
pondente à condição de folga complementar relaxada é suave e 
analítica, o que facilita a obtenção de uma solução. Denota-se 
por Problema DEμ o problema de otimização relaxado através 
de um dado valor de μ. 
Embora seja mais fácil resolver DEμ, observa-se que a re-
laxação da folga complementar altera o problema original DE. 
As soluções dos dois problemas só se aproximam para valores 
de μ próximos a zero. O procedimento adotado é então o se-
guinte: o valor inicial sugerido para μ é grande o suficiente para 
facilitar a obtenção de uma solução do sistema composto pelas 
equações. (1.47) e (1.49). Em seguida, μ é reduzido, e a solução 
do problema anterior é usada como condição inicial para o se-
gundo problema. O processo de redução de μ é repetido, sempre 
41
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
se utilizando o resultado do problema anterior como condição 
inicial para o problema atual. Quando μ tender a zero, se terá 
alcançado a solução do Problema DE. Pode-se representar esta 
solução sequencial como:
DEμ1 → DEμ2 → ... → DEμk →... → DE (1.50)
onde:
μ1 > μ2 > ... > μk > 0 (1.51)
Solução do problema relaxado
Para que se possa expressar matricialmente a condição de 
folga complementar relaxada dada pela equação (1.49), define-se 
a matriz S, de dimensão 2N x 2N, como:
= S S S S, }i N N1S diag { , ..., , ..., (1.52)
Lembrando que e representa um vetor em que todos os ele-
mentos são iguais à unidade, de dimensão apropriada, pode-se 
reescrever a equação (1.49) como:
S π - μ e = 0 (1.53)
Desta forma, o sistema de equações a ser resolvido para 
um valor genérico de μ é formado pelas equações (1.47) e (1.53):
λ π− + =e F 0P
TF T
 
PL - e
TP = 0 (1.54)
FP P + s - Plim = 0
S π - μk e = 0
Supondo que se dispõe de estimativas iniciais (p0, s0, π^0) 
que satisfazem:
s0 = 0
π0 = 0
P0 + s0 = P (1.55)
-P0 + s0 = P
42
1 Despacho econômico de unidades térmicas
isto é, que o ponto de partida para esta iteração é interior 
à região viável, então as equações do método de Newton para 
gerar uma direção de busca Δx, onde
Δx = [∆P, ∆λ, ∆π, ∆s]T (1.56)
são obtidas de 
L L= −k k
2 l l (1.57)
onde a notação lk indica que a função à esquerda é calculada 
no ponto k. Calculando a Hessiana de L , este sistema torna-se:
λ π− + =e F bP
T
P
k( )G PK 
– e ΔP = bλ
(k )
FP ΔP + Δs = bπ
(k ) (1.58)
S Δπ + Π ΔS = bs
(k)
onde
 ( )2G F PK
T
k
e
 L−buk k
( ) lP
 L−λ λb k
k
( ) l
 L−π πb k
k
( ) l
 L−bsk s k
( ) l (1.60)
Matricialmente, as equações (1.60) são escritas como:
λ
π
−
−
Π








































λ
π
G e F
e
F I
S
P
S
b
b
b
b
0
0 0 0
0 0
0 0
k
P
T
T
P
u
k
k
k
S
k
( )
( )
( )
( )
 
 
(1.61)
onde 
Π diag {π1, ..., πN, π1, ..., πN}
43
DESPACHO ECONÔMICO DE ENERGIA
atualização das variáveis
A cada passo k, a equação (1.61) deve ser resolvida e os in-
crementos Δx calculados para atualizar as variáveis primais (P e 
s) e as variáveis duais (λ e π). Entretanto, os tamanhos de passo 
devem ser dimensionados de modo a preservar as condições 
de não-negatividade de si e πi. Esta preocupação é justificada 
pelo fato que componentes de Δs e Δπ podem evidentemente 
ser negativos (se nenhum componente for negativo, então um 
passo pleno do método de Newton pode ser adotado). Portan-
to os tamanhos de passo para as variáveis primais e duais são 
dados por:
α
α
π
π
=








=








π