Gabarito da 4ª Lista

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Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Projeto Newton
Resolução da Lista 04 de Calculo Diferencial e Integral
Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jerônimo Noronha Neto
Data: xx/05/2013
1. (a) Como é um limite indeterminado 0
0
, é necessário retirar a indeterminação.
Isto é feito multiplicando o numerador e o denominador por
√
x+ 13+4, ou seja:
√
x+13−4
x−3 =
√
x+13−4
x−3
√
x+13+4√
x+13+4
=
√
x+13
2−42
(x−3)(
√
x+13+4)
= x−3
(x−3)(
√
x+13+4)
= 1√
x+13+4
Logo
lim
x→3
√
x+ 13− 4
x− 3 = limx→3
1√
x+ 13 + 4
=
1√
3 + 13 + 4
=
1
8
.
(b) Como |sen( 1
x3
)| ≤ 1, a função é limitada e limx→0 x3 = 0, assim teremos
lim
x→0
x3sen(
1
x3
) = 0.
2. Como limx→a− f(x) = 3 e limx→a+ f(x) = 7 teremos que limx→a f(x) não
existe.
Como limx→b− f(x) = 4 e limx→a+ f(x) = 4 então limx→a f(x) = 4.
Como limx→c− f(x) = +∞ e limx→c+ f(x) = −∞ então limx→c f(x) não
existe.
3. Com exceção dos pontos 0 e 3 sabemos que a função g é continua em x ∈
R/{0, 3}, pois é obtida através de soma, diferença, produto e divisão de funções
contínuas. Vamos verificar o que ocorre no ponto 0:
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
x2 − 4
x− 2 =
02 − 4
0− 2 = 2;
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
(−x
3
+ 2) = (−0
3
+ 2) = 2.
1
Assim
lim
x→0
g(x) = 2 = g(0)
portanto g é contínua no ponto 0.
Agora no ponto 3:
lim
x→3−
g(x) = lim
x→3−
(−x
3
+ 2) = −3
3
+ 2 = 1;
lim
x→3+
g(x) = lim
x→3+
ex−3 = e3−3 = e0 = 1.
Assim
lim
x→3
g(x) = 1 6= 4 = g(3)
e g não é contínua no ponto 3.
Reunindo as informações obtemos que g é contínua em R/{3}.
4. Vamos determinar a derivada de f pela definição:
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
√
x−√a
x− a = limx→a
√
x−√a
(
√
x)2 − (√a)2 = limx→a
1√
x+
√
a
de onde
f ′(a) =
1√
a+
√
a
=
1
2
√
a
.
5. Como Q(t) = 8 − t3 para 0 ≤ t ≤ 2, teremos I(t) = Q′(t) = −3t2 e
I(1) = −3.12 = −3.
6. Considere a função f(x) = ex−x4, que é contínua, pois é obtida por operações
elementares em funções contínuas. Como f(1) = e1 − 14 = e− 1 > 0 e f(2) =
e2 − 24 = e2 − 16 < 0, teremos pelo Teorema do Valor Intermediário que existe
1 < x < 2 tal que f(x) = 0, ou seja ex = x4.
2