AD1-MD2-2021-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
2o Semestre de 2021
AD1
GABARITO
Questão 1: [2,5 pts] Encontre o domínio de cada função abaixo, explicitando todos os cálculos efetuados.
a) f (x) = 2x +1
x2 +x −2 b) h(x) =
p
4−x +
p
x2 −1 c) g (x) =p1−2x
Solução:
a) Observe que f está definida para todos os números reais, exceto para os valores de x que fazem com
que a expressão (x2 +x −2) seja nula. Portanto,
x2 +x −2 6= 0 ⇐⇒ (x −1)(x +2) 6= 0 ⇐⇒ x 6= −2 e x 6= 1.
Logo, Dom( f ) = {x ∈R; x 6= −2 e x 6= 1}. Em notação de intervalo, escrevemos o domínio de f como
sendo: Dom( f ) = (−∞,−2)∪ (−2,1)∪ (1,+∞).
b) Para que a função h esteja bem definida, devemos ter 4−x ≥ 0 e x2 −1 ≥ 0. Dessa forma,
4−x ≥ 0 ⇐⇒−x ≥−4 ⇐⇒ x ≤ 4 e x2 −1 ≥ 0 ⇐⇒ (x −1)(x +1) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤−1 ou x ≥ 1.
Portanto, Dom(h) = {x ∈R; x ≤−1 ou 1 ≤ x ≤ 4}.
Em notação de intervalo, escrevemos: Dom(h) = (−∞,−1]∪ [1,4].
c) De maneira análoga à feita no item (b) acima, para que a função g esteja bem definida, devemos ter
1−2x ≥ 0. Assim,
1−2x ≥ 0 ⇐⇒ 2x ≤ 1 ⇐⇒ 2x ≤ 20 ⇐⇒ x ≤ 0, pois a função s(x) = 2x é crescente.
Portanto, Dom(g ) = {x ∈R; x ≤ 0}. Em notação de intervalo, escrevemos: Dom(g ) = (−∞,0].
Questão 2: [1,0 pto] Se f (x) = 5x , mostre que a expressão f (x +h)− f (x)
h
é igual à expressão 5x
(
5h −1
h
)
.
Solução: Observe que f (x +h) = 5x+h = 5x ×5h . Portanto,
f (x +h)− f (x)
h
= 5
x ×5h −5x
h
= 5
x (5h −1)
h
= 5x
(
5h −1
h
)
.
Questão 3 [2,0 pts] Seja f (x) = ln(2+ ln(x)). Determine a expressão de f −1 e o domínio de f , justificando
todos os cálculos apresentados.
Solução: Para encontrar o domínio de f , devemos encontrar as soluções da desigualdade 2+ ln(x) > 0.
Assim,
2+ ln(x) > 0 ⇐⇒ ln(x) >−2 ⇐⇒ e ln(x) > e−2 ⇐⇒ x > 1
e2
.
Portanto, Dom( f ) =
{
x ∈R; x > 1
e2
}
. Em notação de invervalo, podemos escrever Dom( f ) =
(
1
e2
,+∞
)
.
Para determinar a expressão de f −1, fazemos y = f (x) e escrevemos: y = l n(2+ ln(x)). Trocando x por
y nesta última iguldade, obtemos que x = ln(2+ ln(y)) e basta isolar a variável y para encontrar f −1(x).
Assim,
x = ln(2+ l n(y)) ⇔ ex = e ln(2+ln(y) ⇔ ex = 2+ l n(y) ⇔ ln(y) = ex −2 ⇔ y = eex−2 ∴ f −1(x) = eex−2.
Logo, f −1(x) = eex−2 é a expressão procurada.
Questão 4: [2,0 pts] Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→−2
2−|x|
2+x b) limx→4
x2 −4x
x2 −3x −4
Importante: Respostas sem a apresentação dos cálculos efetuados não serão consideradas. Não utilize a
Regra de L’Hospital.
Solução :
a) Lembremos que |x| =
p
x2. Portanto,
lim
x→−2
2−|x|
2+x = limx→−2
2−
p
x2
2+x = limx→−2
2−
p
x2
2+x ·
2+
p
x2
2+
p
x2
= lim
x→−2
4−x2
(2+x)(2+
p
x2)
= lim
x→−2
(2−x)(2+x)
(2+x)(2+
p
x2)
=
lim
x→−2
2−x
2+
p
x2
= lim
x→−2
2−x
2+|x| =
2− (−2)
2+|−2| =
4
4
= 1 ∴ lim
x→−2
2−|x|
2+x = 1.
b) lim
x→4
x2 −4x
x2 −3x −4 = limx→4
x(x −4)
(x −4)(x +1) = limx→4
x
x +1 =
4
5
∴ lim
x→4
x2 −4x
x2 −3x −4 =
4
5
.
2
Questão 5: [2,5 pts] Sejam f e g funções de números reais.
Se lim
x→a[ f (x)+ g (x)] = 2 e limx→a[ f (x)− g (x)] = 1, encontre limx→a[ f (x)g (x)], explicando cada etapa do desenvol-
vimento e apresentando todos os cálculos necessários.
Solução 1: Primeiramente, observe que:
[ f (x)+ g (x)]2 = f 2(x)+2 f (x)g (x)+ g 2(x), (1)
e também
[ f (x)− g (x)]2 = f 2(x)−2 f (x)g (x)+ g 2(x). (2)
Subtraindo a equação (2) da equação (1), obtemos:
[ f (x)+ g (x)]2 − [ f (x)− g (x)]2 = f 2(x)+2 f (x)g (x)+ g 2(x)− ( f 2(x)−2 f (x)g (x)+ g 2(x))
= f 2(x)+2 f (x)g (x)+ g 2(x)− f 2(x)+2 f (x)g (x)− g 2(x)
= 2 f (x)g (x)+2 f (x)g (x)
= 4 f (x)g (x).
Portanto, f (x)g (x) = [ f (x)+ g (x)]
2 − [ f (x)− g (x)]2
4
. Dessa forma,
lim
x→a[ f (x)g (x)] = limx→a
[ f (x)+ g (x)]2 − [ f (x)− g (x)]2
4
. (3)
Aplicando as propriedades dos limites em (3), segue que:
lim
x→a[ f (x)g (x)] = limx→a
[ f (x)+ g (x)]2 − [ f (x)− g (x)]2
4
=
lim
x→a[ f (x)+ g (x)]
2 − lim
x→a[ f (x)− g (x)]
2
4
=
(
lim
x→a[ f (x)+ g (x)]
)2 − ( lim
x→a[ f (x)− g (x)]
)2
4
=
(2)2 − (1)2
4
=
3
4
.
Assim, lim
x→a f (x)g (x) =
3
4
.
Solução 2: Observe que:
[ f (x)+ g (x)]+ [ f (x)− g (x)] = f (x)+ g (x)+ f (x)− g (x) = 2 f (x) (4)
e também
3
[ f (x)+ g (x)]− [ f (x)− g (x)] = f (x)+ g (x)− f (x)+ g (x) = 2g (x). (5)
Portanto, pela equação (4), concluímos que
[ f (x)+ g (x)]+ [ f (x)− g (x)] = 2 f (x) ⇒ lim
x→a
[ f (x)+ g (x)]+ [ f (x)− g (x)]
2
= lim
x→a f (x). (6)
Analogamente, da afirmação (5), temos:
[ f (x)+ g (x)]− [ f (x)− g (x)] = 2g (x) ⇒ lim
x→a
[ f (x)+ g (x)]− [ f (x)− g (x)]
2
= lim
x→a g (x). (7)
Utilizando as propriedades dos limites, segue de (6) que:
lim
x→a f (x) = limx→a
[ f (x)+ g (x)]+ [ f (x)− g (x)]
2
=
lim
x→a[ f (x)+ g (x)]+ limx→a[ f (x)− g (x)]
2
= 2+1
2
= 3
2
. (8)
Por outro lado, de (7) obtemos que:
lim
x→a g (x) = limx→a
[ f (x)+ g (x)]− [ f (x)− g (x)]
2
=
lim
x→a[ f (x)+ g (x)]− limx→a[ f (x)− g (x)]
2
= 2−1
2
= 1
2
. (9)
Dessa forma, multiplicando os resultados obtidos em (8) e (9), segue que
lim
x→a f (x)g (x) =
(
lim
x→a f (x)
)
·
(
lim
x→a g (x)
)
= 3
2
× 1
2
= 3
4
.
Observação: Se lim
x→a[ f (x)+ g (x)] existe, não é verdade, em geral, que existem limx→a f (x) e limx→a g (x).
Por exemplo: se tomarmos f (x) = 1x e g (x) = − 1x , então limx→0[ f (x)+ g (x)] = limx→0
[
1
x
− 1
x
]
= 0,
mas lim
x→0
1
x
e lim
x→0−
1
x
não existem.
No entanto, se lim
x→a[ f (x)+ g (x)] e limx→a[ f (x)− g (x)] existem simultaneamente, então podemos
provar que lim
x→a f (x) e limx→a g (x) existem e isso valida a solução 2 apresentada aqui.
4