Gabarito da 5ª Lista

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Instituto de Cieˆncias Exatas e Naturais
Projeto Newton
Resoluc¸a˜o da Lista 05 de Calculo Diferencial e Integral
Professores: Marcos Monteiro Diniz e Jeroˆnimo Noronha Neto
Data: xx/05/2013
1. (a)
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→a
1√
2x
− 1√
2a
x− a .
Como
1√
2x
− 1√
2a
x− a =
1√
2x
− 1√
2a
x− a
1√
2x
+ 1√
2a
1√
2x
+ 1√
2a
=
1
2x
− 1
2a
x− a
1
1√
2x
+ 1√
2a
=
a−x
2ax
x− a
1
1√
2x
+ 1√
2a
=
−1
2ax
1
1√
2x
+ 1√
2a
temos
f ′(a) = lim
x→a
−1
2ax
1
1√
2x
+ 1√
2a
=
−1
2a2
1
1√
2a
+ 1√
2a
=
−1
(
√
2a)
3
2
(b)
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
e2(a+h) − e2a
h
= lim
h→0
e2a(e2h − 1)
h
= 2e2a lim
h→0
e2h − 1
2h
= 2e2a.1 = 2e2a
2.Calculando os limites laterais:
i) lim
x→0+
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0+
x2
x
= lim
x→0+
x = 0
ii) lim
x→0−
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0−
x2sen( 1
x
)
x
= lim
x→0−
xsen
1
x
= 0
1
Pois sen 1
x
e´ limitada. Segue que:
lim
x→0−
f(x)− f(0)
x− 0 = 0
Logo f e´ deriva´vel em x = 0 e f ′(0) = 0.
3. (a) Se y = x + 5 enta˜o a declividade da reta e´ 1, logo deve existir um a
real tal que f ′(a) = 1.
Como f ′(x) = 3x2 enta˜o f ′(a) = 3a2 = 1.
Logo, a = ± 1√
3
Como pede-se apenas uma reta escolhemos a =
1√
3
.
Neste ponto f(a) = (
1√
3
)3 =
1
3
√
3
. Assim a reta tem declividade 1 passa no
ponto (
1√
3
,
1
3
√
3
). Sua equac¸a˜o e´
y − 1
3
√
3
= x− 1
3
√
3
ou
y = x− 2
3
√
3
(b) Neste caso a declividade da reta e´ m =
4
25
. Devemos encontrar a tal
que f ′(a) =
4
25
.
Agora pela regrada divisa˜o f ′(x) =
(1 + x2)1′ − 1(1 + x2)′
(1 + x2)2
ou
f ′(x) =
−2x
(1 + x2)2
Enta˜o
−2a
(1 + a2)2
=
4
25
e assim e´ fa´cil ver que a = −2.
2
Enta˜o a reta tem declividade m =
4
25
e passa pelo ponto (−2, 1
5
).
Sua equac¸a˜o
y − 1
5
=
4
25
(x+ 2)
ou
25y − 4y = 13.
4 (a) Usando a derivada do quociente:
f ′(x) =
(1 + x2)x′ − x(1 + x2)′
(1 + x2)2
=
1 + x2 − x.2x
(1 + x2)2
=
(1− x2)
(1 + x2)2
.
(b)Usando a derivada do quociente que tgx =
senx
cosx
,obtemos:
tgx = (
senx
cosx
)′=
cosx(senx)′ − senx(cosx)′
(cosx)2
=
cosx.cosx− senx(−senx)
(cosx2)
=
cosx2 + senx2
cosx2
=(
1
cosx
)2=(secx)2=secx.
(c)Aplicando a regra da derivada do produto:
f(x) = (ex)′cosx+ ex(cosx)′=excosx+ ex(−senx)=ex(cosx− senx).
(d)Aplicando a fo´rmula de derivada de poteˆncias tem:
f ′(x) = 2x+ 1 + 0 + (−1)x−2 + (−2)x−3=2x+ 1− x−2 − 2x−3.
5. No problema PV = 10 e assim V (P ) =
10
P
=10−1
Tomando a derivada,obtemos:
V ′(P ) = −10P−2=−10
P 2
3
Para P = 20,obtemos: V ′(P ) =
−10
202
=
−1
40
.
6. Observe que o problema 1b) nos diz que (e2x)′ = 2e2x.Em geral
(ekt)′ = ket
A func¸a˜o exponencial
f(t) = e−λt
satisfaz enta˜o:
f ′(t) = (−λ)e−λt = −λf(t)
Como a multiplicac¸a˜o por uma constante C na func¸a˜o faz a derivada ficar
multiplicada pela a constante C, podemos considerar a func¸a˜o mais geral
M(t) = Ce−λt
que satisfaz
M ′(t) = −λM(t)
Como M(o) = M0, fazendo t = 0 temos M(0) = Ce
−λ.0=Ce0=C.1=C
ou seja M0 = C. Assim
M(t) = M0e
−λt.
Queremos a meia-vida t0 da substaˆncia,ou seja,
1
2
M0 = M0e
−λt0
ou e−λt0 =
1
2
. Enta˜o ln(e−λt0)= ln
1
2
=− ln 2
ou
−λt0 = − ln 2
e assim
t0 =
ln 2
λ
.
4