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Estatística 
Profª Maira Mendias Lauro 
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Introdução à Estatística 
 
As estatísticas aparecem nos jornais, nos noticiários de TV, nos relatórios das 
empresas, nos relatórios dos serviços de saúde etc. Entendê-las, é uma necessidade 
para um indivíduo que vive em sociedade. As estatísticas facilitam a compreensão 
dos fatos através de dados referentes a amostras numerosas, como podemos ver nos 
seguintes exemplos: 
1) Verificar se um programa de TV tem ou não audiência; 
2) Conferir se um determinado tratamento surte o efeito desejado e mesmo avaliar 
os efeitos colaterais; 
3) Analisar o desempenho dos alunos de uma escola no fim do ano letivo. 
 Os exemplos são numerosos e voltaremos a eles no transcorrer das aulas. 
 
Definição 
 Estatística é uma ciência através da qual se obtém informações de dados 
numéricos. 
Ela trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção desses dados, sua 
organização em tabelas e gráficos e a análise e interpretação desses dados. 
A análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico 
de, por exemplo, uma empresa, o conhecimento de seus problemas e a formulação 
de soluções para tais problemas. 
 
Organização dos dados estatísticos 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais 
variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa 
variável. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e 
gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis 
em estudo. 
 
Tabelas: 
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura: 
- cabeçalho 
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- corpo 
- rodapé 
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões: 
- O que está representado? 
- Onde ocorreu? 
- Quando ocorreu? 
O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão 
registrados os dados numéricos e informações. 
O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o 
registro e identificação da fonte dos dados. 
 
Exemplo: 
PRODUÇÃO DA COMPANHIA ALFA – junho/2015 
PRODUTOS QUANTIDADE (%) 
A 32,4 
B 21,6 
C 43,2 
D 10,8 
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia 
 
Distribuição de frequências: 
1. Conceitos fundamentais: 
População: é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma 
característica em comum. 
 
Amostra: considerando-se a impossibilidade, na maioria das vezes, do tratamento de 
todos os elementos da população, retira-se uma amostra, ou seja, a amostra é um 
subconjunto finito de uma população. 
 
Variável: é qualquer característica de uma população que se está interessado em 
pesquisar. As variáveis podem ser: 
a) Qualitativas: se os valores tomados não são números. 
Exemplos: sexo, estado civil, cor dos olhos etc. 
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b) Quantitativas: se os valores tomados são números. 
Exemplos: altura, peso, preço de produto etc. 
 
As variáveis quantitativas subdividem-se em: 
Discretas: se os valores associados são números inteiros. 
Exemplos: número de filhos, número de sócios de um clube etc. 
Contínuas: se os valores associados são números reais. 
Exemplos: altura, peso etc. 
 
Exemplo: 
Uma concessionária de automóveis tem cadastrados 3500 clientes e fez uma 
pesquisa sobre a preferência de compra em relação à cor (branco, vermelho ou 
azul); preço; número de portas e estado de conservação (novo ou usado). 
Foram consultados 210 clientes. Diante essas informações, responda: 
a) Qual é a população estatística e qual é a amostra dessa pesquisa? 
 
b) Quais são as variáveis e qual é o tipo de cada uma? 
 
 
 
2. Representação da Amostra: 
 Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer 
a distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da mesma. 
Vamos ver uma maneira de dispor os dados através de tabelas: 
 
2.1. Frequência absoluta e frequência absoluta acumulada: 
Consideremos o quadro seguinte, que nos mostra as notas de 20 alunos do 
quarto semestre do curso de Matemática da Uninove: 
1 8 4 9 6 6 9 10 2 3 
8 4 9 6 5 5 6 9 8 7 
 
Esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, 
denominamos tabela primitiva ou dados brutos. 
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 O primeiro passo será colocar esses dados em ordem crescente (ou 
decrescente). Dessa maneira, obtemos uma nova tabela, denominada rol: 
 
 
 
A diferença entre o maior e o menor valor da amostra denomina-se amplitude 
total, amplitude do rol ou Range e será denotada com a letra R. 
 No exemplo acima, temos: 
R = 
 
A partir desses dados, podemos elaborar uma tabela onde na primeira coluna 
aparecerão os valores da variável estatística (xi) que, nesse caso, são as notas; na 
segunda coluna aparecerá o número de vezes que cada valor se repete, essa coluna 
é chamada frequência absoluta que representaremos por Fi. 
Assim, N = nº de elementos da população = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(10) = 20. Que 
pode também ser escrito por: 
20FN
10
1i
i ==
=
 
 
Observação: O símbolo Σ (somatório) é usado para escrever abreviadamente 
expressões que envolvem adição. Assim, indicamos a adição dos termos Fi, com i 
variando de 0 até n (nIN*), com: 

=
n
0i
iF 
 
Na terceira coluna, chamada frequência absoluta acumulada (Fac), 
aparecerão os valores obtidos adicionando a cada frequência absoluta os valores das 
frequências anteriores: 
 
 
 
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notas (xi) Fi Fac 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
total 
 
 
Usando a frequência acumulada, podemos fazer algumas observações como: 
• 11 alunos obtiveram nota menor que 7,0 nessa turma, ou 
• 20 – 11 = 9 alunos obtiveram nota 7,0 ou acima de 7,0 nessa turma etc. 
 
 
2.2. Frequência relativa e frequência relativa acumulada: 
Chama-se frequência relativa (fi) do valor da variável, o quociente entre a 
frequência absoluta (Fi) e o número de elementos da população estatística: 
fi = 
N
Fi 
 
No exemplo acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
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notas (xi) Fi Fac fi 
1 1 1 
2 1 2 
3 1 3 
4 2 5 
5 2 7 
6 4 11 
7 1 12 
8 3 15 
9 4 19 
10 1 20 
total 20 
 
 Geralmente, colocamos a frequência relativa na forma de porcentagem, o que 
facilita a interpretação. Para colocar as frequências relativas na forma de 
porcentagem, é só multiplicar por 100 o valor decimal encontrado: 
notas(xi) Fi Fac fi fac 
1 1 1 
2 1 2 
3 1 3 
4 2 5 
5 2 7 
6 4 11 
7 1 12 
8 3 15 
9 4 19 
10 1 20 
total 20 
 
Observando essa tabela, podemos dizer: 
• 5% dos alunos obtiveram nota 7,0 
• 55% dos alunos obtiveram nota inferior a 7,0 
x100
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• 100% - 55% = 45% dos alunos obtiveram nota igual ou superior a 7,0 
 
 
Distribuição de frequências com dados agrupados em intervalos de classes: 
Quando aparecem muitos valores diferentes para a variável em estudo, torna-se 
inviável colocar na tabela uma linha para cada valor. Nesses casos, agrupamos os 
valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos esses intervalos de classes. 
Logo a tabela denomina-se de distribuição de frequências com intervalosde 
classes. 
 
Exemplo: 
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 
pessoas, que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”: 
24 23 22 28 35 21 23 33 34 34 21 25 36 26 22 
30 32 25 26 33 34 21 31 25 26 25 35 33 31 31 
 
 Elaborando o rol, temos: 
21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 
28 30 31 31 31 32 33 33 33 34 34 34 35 35 36 
 
E, organizando estes dados em uma tabela conforme já conhecemos, temos: 
Idades (xi) Fi 
21 3 
22 2 
23 2 
24 1 
25 4 
26 3 
28 1 
30 1 
31 3 
32 1 
8 
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33 3 
34 3 
35 2 
36 1 
Total 30 
 
 Como esta tabela fica com muitas linhas, podemos resumi-la numa tabela com 
intervalos de classes: 
 
 
Elementos de uma distribuição de frequências com dados agrupados em 
intervalos de classes: 
 
Range, amplitude total ou amplitude amostral (R): é a diferença entre o maior e o 
menor valor da amostra. 
No exemplo dado: R = 
 
Número de classes (k): Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de 
classes. As mais usadas são: 
1ª) K = 5 para n  25 ou K  n para n  25 
2ª)Fórmula de Sturges: K  1 + 3,22 . log n 
 
No exemplo dado: n = 30, logo, K = 
 
Amplitude das classes (h): é a medida do intervalo que define a classe. 
h  R : K 
 
No exemplo dado: 
 
Observação: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-
los para o maior inteiro. 
 
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Limites de classes: são os extremos de cada classe (li |---- Li) 
li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo) 
Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo) 
As classes são obtidas a partir do menor valor, fazendo a adição de h. 
No exemplo dado temos: 
 
 
Observação: 21 |---- 24. Compreende todos os valores de 21 a 24, excluindo o 
24. 
 
Pontos médios das classes (Xi): é a média aritmética entre o limite superior e o 
limite inferior da classe. 
Exemplo: 33 |---- 36 
Xi = 
 
Assim, para montar a tabela de distribuição de frequências com intervalos 
devemos seguir os itens abaixo: 
1º) Calcular a amplitude total; 
2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela; 
3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li. 
 
Voltando ao exemplo, temos: 
Idades de 30 alunos da Faculdade “A” 
Classes Fi Fac fi fac (%) xi 
 
 
 
 
 
 
Total 
 
10 
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Exercícios propostos: 
 
1. Foi feita uma coleta de dados relativos às alturas, em centímetros, de 20 pessoas 
que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”: 
168 168 163 164 160 160 164 166 169 169 
166 168 162 165 165 164 168 166 161 168 
Determine: 
a) o rol 
b) a amplitude total 
c) a tabela de distribuição de frequências (sem intervalos de classes) 
 
2. A tabela a seguir contém informações sobre estado civil, grau de instrução, número 
de filhos, salário, idade (medida em anos e meses) e procedência de 36 
funcionários da seção de orçamentos de uma companhia. 
Nº Estado 
Civil 
Grau de 
Instrução 
Nº de 
filhos 
Salário 
(em reais) 
Idade 
Anos Meses 
Região de 
procedência 
1 solteiro E.Fundam. - 400 26 03 Interior 
2 casado E.Fundam. 1 456 32 10 Capital 
3 casado E.Fundam. 2 525 36 05 Capital 
4 solteiro E. Médio - 573 20 10 Outro 
5 solteiro E.Fundam. - 626 40 07 Outro 
6 casado E.Fundam. 0 666 28 00 Interior 
7 solteiro E.Fundam. - 686 41 00 Interior 
8 solteiro E.Fundam. - 739 43 04 Capital 
9 casado E. Médio 1 744 34 10 Capital 
10 solteiro E. Médio - 759 23 06 Outro 
11 casado E. Médio 2 812 33 06 Interior 
12 solteiro E.Fundam. - 846 27 11 Capital 
13 solteiro E. Médio - 874 37 05 Outro 
14 casado E.Fundam. 3 895 44 02 Outro 
15 casado E. Médio 0 913 30 05 Interior 
16 solteiro E. Médio - 935 38 08 Outro 
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17 casado E. Médio 1 977 31 07 Capital 
18 casado E.Fundam. 2 980 39 07 Outro 
19 solteiro Superior - 1053 25 08 Interior 
20 solteiro E. Médio - 1076 37 04 Interior 
21 casado E. Médio 1 1106 30 09 Outro 
22 solteiro E. Médio - 1159 34 02 Capital 
23 solteiro E.Fundam. - 1200 41 00 Outro 
24 casado Superior 0 1279 26 01 Outro 
25 casado E. Médio 2 1323 32 05 Interior 
26 casado E. Médio 2 1360 35 00 Outro 
27 solteiro E.Fundam. - 1385 46 07 Outro 
28 casado E. Médio 0 1469 29 08 Interior 
29 casado E. Médio 5 1471 40 06 Interior 
30 casado E. Médio 2 1599 35 10 Capital 
31 solteiro Superior - 1622 31 05 Outro 
32 casado E. Médio 1 1661 36 04 Interior 
33 casado Superior 3 1726 43 07 Capital 
34 solteiro Superior - 1875 33 07 Capital 
35 casado E. Médio 2 1940 48 11 Capital 
36 casado Superior 3 2330 42 02 Interior 
 
Determine: 
a) Qual é a população estatística? Qual é a amostra? 
b) Classificar as variáveis (qualitativa; quantitativa discreta ou quantitativa contínua). 
c) Construir as tabelas de distribuição de frequências das variáveis: 
1. estado civil 
2. grau de instrução 
3. número de filhos 
4. região de procedência 
 
 
 
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3. A pesquisa abaixo foi feita com 20 alunos de uma escola. As variáveis estudadas 
foram: idade (em anos), peso (em quilogramas) e altura (em centímetros): 
14 a; 49.0 kg; 173 cm 14 a; 49.0 kg; 174 cm 
14 a; 46.5 kg; 166 cm 14 a; 46.5 kg; 165 cm 
16 a; 53.0 kg; 178 cm 15 a; 48.0 kg; 163 cm 
15 a; 50.0 kg; 175 cm 14 a; 48.5 kg; 169 cm 
14 a; 51.0 kg; 168 cm 16 a; 50.0 kg; 170 cm 
15 a; 49.0 kg; 170 cm 14 a; 52.0 kg; 175 cm 
14 a; 44.0 kg; 162 cm 14 a; 46.0 kg; 172 cm 
15 a; 51.0 kg; 176 cm 15 a; 47.0 kg; 169 cm 
14 a; 48.3 kg; 168 cm 14 a; 51.0 kg; 173 cm 
16 a; 52.0 kg; 179 cm 14 a; 49.0 kg; 166 cm 
 
a) para a variável idade, determine: 
i) o rol 
ii) a tabela de distribuição de frequências sem intervalos 
b) para as variáveis peso e altura, determine: 
i) o rol 
ii) a amplitude total 
iii) o número de classes 
iv) a amplitude das classes 
v) a tabela de distribuição e frequências com dados agrupados em intervalos de 
classes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Representações gráficas 
 
 É comum vermos em jornais, revistas etc. os resultados numéricos referentes 
a uma pesquisa apresentados por meio de gráficos. 
 Os gráficos mostram de forma visual, simples e clara, os dados e informações 
que contêm. 
A escolha do gráfico mais apropriado dependerá do conjunto de dados a serem 
organizados e ficará a critério do analista. 
 
1. Gráfico de colunas 
 Nesse tipo de gráfico, usamos retângulos com bases de mesma medida e 
alturas com comprimentos proporcionais às frequências de cada dado. 
 Os retângulos são representados em um sistema de coordenadas cartesianas 
onde os valores distintos da variável são colocados no eixo horizontal e as frequências 
são colocadas no eixo vertical. 
 
1.1. Dados agrupados sem intervalos 
 Consideremos a seguinte tabela: 
PRODUÇÃO DE PEÇAS DA COMPANHIA ALFA 
PRODUTOS (xi) QUANTIDADE (%) (fi) 
A 32,4 
B 21,6 
C 43,2 
D 10,8 
 
 Com esses dados, podemos fazer um gráfico de colunas onde os retângulos 
são separados por distâncias iguais: 
 
 
 
 
 
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__________________________________________________________________________1.2. Dados agrupados com intervalos (HISTOGRAMA) 
 Consideremos a seguinte tabela: 
Classes Fi 
0 |---- 2 3 
2 |---- 4 6 
4 |---- 6 8 
6 |---- 8 5 
8 |---- 10 2 
 
 Com esses dados, podemos fazer um gráfico de colunas onde os retângulos 
são justapostos, esse gráfico recebe o nome de histograma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que não colocamos o zero do eixo horizontal na origem do sistema cartesiano 
por uma questão de clareza da representação gráfica. 
 
 
2. Gráfico de linhas 
 Os gráficos lineares são utilizados com a finalidade de oferecer uma impressão 
visual nítida de variações numéricas, sob a forma de “subidas e descidas” de uma 
linha. 
 
 
 
 
 
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2.1. Dados agrupados sem intervalos 
 Para o exemplo citado acima temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Dados agrupados com intervalos (POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS) 
 Para o exemplo citado acima temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O polígono de frequências é um gráfico de linhas, onde as frequências são 
marcadas sobre retas perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos 
médios dos intervalos de classes. 
Obs.: Sempre sobrepor o polígono de frequências ao histograma construído. 
 
 
 
 
 
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3. Gráfico de setores 
O gráfico de setores é um círculo dividido em partes (setores). É utilizado 
principalmente quando se pretende comparar cada valor com o total. 
 Tal gráfico deve ser construído de modo que a área de cada setor seja 
proporcional à respectiva frequência, ou seja, o ângulo de cada setor deve ser 
proporcional à frequência que representa, uma vez que a área do setor é diretamente 
proporcional ao ângulo que o define. 
 Lembrando que uma circunferência completa tem 360º, podemos calcular por 
meio de uma regra de três simples o ângulo central de cada setor: 
total ----- 360º 
 parte ----- xº 
 
 No nosso exemplo temos: 
 
PRODUTOS QUANTIDADE GRAUS GRAUS ACUMULADOS 
A 32,4 
B 21,6 
C 43,2 
D 10,8 
TOTAL 
 
 Com o auxílio de um transferidor, fazemos a demarcação dos setores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios propostos: 
 
1. Construir os gráficos de colunas, linhas e setores das tabelas abaixo: 
a) 
 Vendas da Cia Beta 
Ano Vendas (em milhões) 
2008 10 
2009 13 
2010 17 
2011 16 
2012 19 
2013 23 
Fonte: Departamento de Vendas da Cia 
 
 
b) 
 Nº de acidentes por dia na Rodovia X 
 em janeiro de 2015 
Nº de acidentes por dia Nº de dias 
0 10 
1 7 
2 4 
3 5 
4 3 
5 2 
 Fonte: Dersa 
 
 
 
 
 
 
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2. Construir o histograma e o polígono de frequências da tabela abaixo: 
 
Estaturas (cm) Fi 
150 |---- 155 3 
155 |---- 160 9 
160 |---- 165 17 
165 |---- 170 31 
170 |---- 175 36 
175 |---- 180 
180 |---- 185 
40 
20 
 
 
 
3. Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 
revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o 
número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes 
dados: 
 
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 9 14 19 20 32 18 16 26 24 20 
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21 15 18 22 20 25 28 30 16 12 20 
 
a) Monte a tabela de distribuição de frequência com intervalos. 
b) Construa o histograma e o polígono de frequências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Medidas de tendência central: média aritmética 
 
Vimos a sintetização dos dados sob a forma de tabelas e gráficos. Dessa forma 
podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição. 
Contudo, muitas vezes, queremos resumir ainda mais esses dados, 
apresentando um ou alguns valores que sejam “representativos” da série toda. 
Usualmente, empregam-se as seguintes medidas de posição central: média, moda e 
mediana, em torno dos quais tendem a concentrarem-se os dados. 
Estudaremos agora os diferentes tipos de médias: 
 
Média aritmética ( )x : 
1º caso: dados não agrupados 
A média aritmética dos valores x1, x2, x3, ... , xn é o quociente entre a soma 
desses valores e o seu número total n. 
n
x...xx
x n21 +++
= ou simplesmente x = 
n
x i
 (onde n é o nº de elementos do 
conjunto) 
 
Exemplo: Determinar a média aritmética dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11. 
 
 
 
 
2º caso: Dados agrupados sem intervalos 
 Se os elementos x1, x2, x3, ... , xn apresentam, respectivamente, frequências F1, 
F2, F3, ... , Fn, então: 
n
Fx
xtesimplesmenou
n
xF...xFxF
x
iinn2211 
=
+++
= 
 
 
Exemplo: Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8. 
20 
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Construindo a tabela de distribuição de frequências, temos: 
xi Fi xiFi 
 
 
 
 
Total 
 
Então a média será: 
 
 
 
 
3º caso: Dados agrupados com intervalos 
 Quando os dados estão agrupados, aceita-se, por convenção, que as 
frequências se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o seu 
ponto médio (xi) é o valor representativo do conjunto. Então: 
n
Fx
x
ii
= 
Exemplo: 
Classe Fi xi xiFi 
2 |---- 5 1 
5 |---- 8 10 
8 |---- 11 8 
11 |---- 14 1 
Total 
 
 
 
 
 
 
Interpretação: O valor médio encontrado é o valor em torno do qual os elementos 
desta série se concentram. 
 
21 
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Exercícios propostos: 
1. Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo: 
a) 
xi Fi 
2 1 
3 4 
4 3 
5 2 
Total 
(Resposta: 3,6) 
 
b) 
xi Fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
(Resposta: 18,84) 
 
2. O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro 
abaixo. Calcule o salário médio desses funcionários. 
salários(R$) nº de funcionários 
400 |---- 500 12 
500 |---- 600 15 
600 |---- 700 8 
700 |---- 800 3 
800 |---- 900 2 
 
(Resposta: 570) 
 
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Exercícios complementares: 
1) Calcule a média aritmética das séries abaixo: 
a) 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 (Resposta: 12,5) 
b) 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 (Resposta: 9,86) 
c) 3, 4, 7, 8, 9, 23, 12, 15 (Resposta: 10,12) 
 
2) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro 
abaixo. Calcule o aluguel médio. 
aluguel(R$) nº de casas 
 0 |---- 200 30 
200 |---- 400 52 
400 |---- 600 28 
600 |---- 800 7 
800 |---- 1000 3 
 
(Resposta: 335) 
 
Medidas de tendência central: moda e mediana 
 
Apesar de ser bastante utilizada a média aritmética nem sempre é a medida 
mais adequada para se analisar um agrupamento de dados. 
Veja o exemplo: 
Numa certa empresa com 200 empregados, os salários são os seguintes: 
Salário (x salário mínimo) nº de empregados 
1 100 
2 30 
3 30 
4 5 
5 25 
10 5 
25 3 
40 2 
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Calculando o salário médio desses empregados, obtemos 3 salários mínimos. 
Esse número está correto do ponto de vista aritmético, mas não é representativo da 
condição salarial da maioria dos empregados. Afinal, 130 (65% do total) deles, 
ganham menos do que esse valor.Por outro lado, de acordo com a tabela, 5 
empregados (2.5%) ganham mais do que 20 salários mínimos, o que “puxa” a média 
para cima. 
 Nesse caso, é mais conveniente usarmos outro tipo de medida como valor 
representativo do salário dos empregados. É o que veremos agora! 
 
Moda (Mo): 
 Dada uma coleção de números, a moda é o valor que ocorre com maior 
frequência. 
 Assim, no exemplo acima, o salário mais frequente é o salário mínimo que é 
recebido por 100 empregados, isto é, 1 salário mínimo. 
 
Observações: 
1.) Existem casos em que a moda não existe – os valores não se repetem ou 
todos os valores têm a mesma frequência (distribuição amodal). 
2.) Em alguns casos, pode haver mais de uma moda, ou seja, a distribuição dos 
valores pode ser bimodal, trimodal etc. 
 
1º Caso: Dados não agrupados: 
É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais 
vezes. 
 
Exemplo: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15. 
 
 
Exemplo: 3, 5, 8, 10, 12 e 13 
 
 
Exemplo: 2, 2, 5, 5, 8, 9 
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2º Caso: Dados agrupados sem intervalos 
Basta identificar o elemento de maior frequência. 
 
Exemplo: 
xi Fi 
0 2 
2 4 
3 5 
4 3 
6 1 
 
 
3º Caso: Dados agrupados com intervalos 
 Nesse caso, consideramos como moda o valor compreendido entre os limites 
da classe modal, ou seja, aquela que apresenta a maior frequência. Tal valor é dado 
por: 
Mo = hl
21
1
i 
+

+ 
onde: 
il = limite inferior da classe modal 
1 = diferença entre a frequência (Fi) da classe modal e a imediatamente anterior 
2 = diferença entre a frequência (Fi) da classe modal e a imediatamente posterior. 
h = amplitude da classe 
 
Exemplo: Dada a tabela: 
Classe Fi 
0 |----- 10 1 
10 |----- 20 3 
20 |----- 30 6 
30 |----- 40 2 
 
25 
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1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior frequência). 
 
 2º Passo: Aplica-se a fórmula. 
il = 
1 = 
2 = 
h = 
 
 
 
 
Mediana ( )x~ : 
Dada uma coleção de números colocados em ordem crescente, a mediana ( x~
) é o valor que divide a amostra em duas partes iguais: 
 0 50% 100% 
 
 x~ 
 
(50% dos valores da série são valores menores ou iguais a x~ e 50% dos valores da 
série são valores maiores ou iguais a x~ ) 
 
1º caso: Dados não agrupados 
Quando temos um número ímpar de elementos, dispostos em ordem crescente, 
a mediana é definida como sendo o elemento central, de ordem 
2
1n +
. 
Se a coleção tiver um número par de elementos, também dispostos em ordem 
crescente, a mediana é definida como a média aritmética dos dois valores centrais, 
de ordens .1
2
n
e
2
n
+ 
 
 
 
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Exemplos: 
1.) Dada a amostra: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9 
 
 
 
 
2.) Dada a amostra: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 
 
 
 
 
 
2º caso: Dados agrupados sem intervalos 
 Basta considerar a frequência acumulada e localizar a mediana procedendo da 
mesma forma que no caso anterior. 
 
Exemplos: 
1.) Dada a distribuição: 
xi Fi 
12 1 
14 2 
15 1 
16 2 
17 1 
20 2 
Total 9 
 
 
 
 
 
 
 
27 
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2.) Dada a distribuição: 
xi Fi Fac 
7 6 
10 12 
15 15 
20 24 
23 9 
Total 66 
 
 
 
 
 
 
 
3º caso: Dados agrupados com intervalos 
 Nesse caso, devemos inicialmente localizar a classe mediana. Para isso 
seguimos os seguintes passos: 
1º Passo: Calculamos a ordem 
2
n
. Independente se n é par ou ímpar. 
2º Passo: Pela Fac identificamos a classe que contém a mediana (classe Md). 
3º Passo: Utilizamos a fórmula: 
h.
F
f
2
n
lx~
Md
i






−
+=

 
Onde: il = limite inferior da classe mediana 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos 
 =f soma das frequências anteriores à classe mediana 
 h = amplitude da classe mediana 
 FMd = frequência da classe mediana 
 
 
 
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Exemplo: Dada a tabela: 
Classe Fi Fac 
3 |---- 6 2 2 
6 |---- 9 5 7 
9 |---- 12 8 15 
12 |---- 15 3 18 
15 |---- 18 1 19 
Total 19 
 
1º Passo: Calcula-se 
2
n
. 
2º Passo: Identifica-se a classe mediana pela Fac. 
3º Passo: Aplica-se a fórmula. 
il = 
=f 
h = 
FMd = 
 
 
 
Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais à mediana e 
50% dos valores da série são valores maiores ou iguais à mediana. 
 
Exercícios propostos: 
1. Calcule a moda das distribuições abaixo: 
a) 
xi Fi 
2 1 
3 7 
4 2 
5 2 
Total 
(Resposta: 3) 
29 
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b) 
Xi Fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 
(Resposta: 18) 
 
2. A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em 
oferta em um supermercado. Calcule a moda: 
consumo nº de clientes 
0 |---- 1 12 
1 |---- 2 15 
2 |---- 3 21 
3 |---- 4 32 
4 |---- 5 20 
 (Resposta: 3,48) 
 
3. Calcule a mediana das distribuições abaixo: 
a) 
xi Fi 
2 5 
4 20 
5 10 
6 10 
8 2 
Total 
(Resposta: 4) 
 
b) 
30 
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xi Fi 
17 3 
18 18 
19 4 
20 3 
21 2 
Total 
(Resposta: 18) 
 
4. Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários dos 
funcionários selecionados em uma empresa: 
salários (R$) nº funcionários 
200 |---- 400 2 
400 |---- 600 6 
600 |---- 800 10 
800 |---- 1000 5 
 (Resposta: 670) 
 
Exercícios complementares: 
1) Calcule a moda para as séries abaixo: 
a) 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 (Resposta: 5) 
b) 3, 4, 4, 5, 9, 12, 12 (Resposta: 4 e 12) 
c) 5, 7, 9, 11, 13 (Resposta: não existe) 
 
2) A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma 
indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda: 
nº de acidentes nº de dias 
0 |----2 20 
2 |---- 4 6 
4 |---- 6 3 
6 |---- 8 1 
(Resposta: 1,18) 
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3) Calcule a mediana das sequencias abaixo: 
a) 2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 21, 25 (Resposta: 13,5) 
b) 7, 3, 10, 4, 5, 7, 8 (Resposta: 7) 
 
4) Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um 
dia e obteve o seguinte quadro. Calcule a mediana. 
consumo nº notas 
0 |---- 50 10 
50 |---- 100 28 
100 |---- 150 12 
150 |---- 200 2 
200 |---- 250 2 
(Resposta: 80,36) 
 
5) A distribuição de frequências nos fornece, por faixa etária, a frequência com que 
ocorre determinada doença, para um grupo de 100 pessoas estudadas, com idades 
entre 16 e 48 anos. Calcule a média, a moda e a mediana. 
Idade Fi 
16 |---- 20 9 
20 |---- 24 18 
24 |---- 28 26 
28 |---- 32 14 
32 |---- 36 10 
36 |---- 40 9 
40 |---- 44 8 
44 |---- 48 6 
Total 
 
(Resposta: média = 29,48; moda = 25,6; mediana = 27,54) 
 
 
32 
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Medidas de dispersão 
 
 “Se uma pessoa comeu dois sanduiches e outra não comeu nenhum, em média 
cada uma comeu um sanduiche.” 
 Essa frase,que tem relação com a Estatística, não agradaria muito aquele que 
ficou com fome. Ao fazer a média, há sempre informação que se perde. A média, 
apesar de ser uma medida muito utilizada em Estatística, é muitas vezes insuficiente 
para caracterizar aceitavelmente uma distribuição. A moda e a mediana também são 
medidas que nem sempre são suficientes para caracterizar um conjunto de dados. 
 Em alguns casos, temos que recorrer a outros parâmetros que são chamados 
medidas de dispersão. 
 As medidas de dispersão são medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau 
de variabilidade ou dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a 
representatividade da média. 
 
Exemplo: Sejam as séries: 
a) 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 
b) 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 
c) 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 
Esses dados possuem a mesma média 13. No entanto, são sequencias 
completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. Na série “c” não 
se tem dispersão. Comparando-se as séries “a” e “b”, percebe-se que “a” apresenta 
maior dispersão em torno da média do que “b”. Isso indica que necessitamos de outro 
tipo de medida para distinguir e comparar os três conjuntos de dados. 
 O critério frequentemente usado para tal fim é aquele que mede a maior ou 
menor dispersão dos dados em torno da média e as medidas mais usadas são: o 
desvio médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
 
 
 
 
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1. Desvio Médio (Dm): 
 É a análise dos desvios em torno da média. 
 Calculamos inicialmente a média da amostra ( x ). 
 Em seguida identificamos a distância de cada elemento da amostra para sua 
média: 
(xi - x ) 
 Finalmente, calculamos o desvio médio: 
|di| = |xi - x |, logo o desvio médio será 
n
Fxx
ou
n
Fd iiii  −
 
onde xi é a variável, x a média e n o número de dados da amostra. 
 Dessa forma, o desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos 
desvios. 
 
Exemplo: Dada a amostra: 
xi Fi xiFi |di|=|xi - x | |di|Fi 
2 5 
3 4 
5 4 
6 2 
7 3 
Total 18 
 
 
 
 
 
2. Variância (Var): 
É a média aritmética dos quadrados dos desvios. Logo: 
n
Fidi
Var
2
= 
 
 
Exemplo: No caso da tabela acima, temos: 
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xi Fi xiFi |di|=|xi - x | di2 di
2Fi 
2 5 10 2,17 
3 4 12 1,17 
5 4 20 0,83 
6 2 12 1,83 
7 3 21 2,83 
Total 18 75 
 
 
3. Desvio Padrão (Dp): 
 Como para calcular a variância trabalhamos com os quadrados dos desvios, 
podemos ter uma incompatibilidade em relação às unidades dos valores da 
variável considerada. 
 Para contornar esse problema, temos o desvio padrão que é a raiz quadrada 
da variância: 
Dp = Var 
 
Exemplo: No caso da tabela acima, temos: 
 
 
Resumindo: a distribuição possui média 4,17. Isto é, seus valores estão em torno de 
4,17 e seu grau de concentração é de 1,72, medido pelo desvio médio e de 1,86, 
medido pelo desvio padrão. 
 
4. Coeficiente de variação (CV): 
O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa; para contornar esta 
dificuldade, usamos o coeficiente de variação. 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em 
termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. 
É expresso em porcentagens e dado por: 
CV = 
x
Dp
 . 100 
(onde Dp é o desvio padrão e x a média da distribuição) 
35 
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 Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão) quando o 
CV der até 15%; média dispersão quando estiver acima de 15% até 30% e grande 
dispersão quando superar 30%: 
Baixa dispersão: CV  15% 
Média dispersão: 15%