Cálculo Integral II

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Disciplina: Cálculo diferencial e integral II
Professora: Deise Mara B. de Almeida
1 Revisão
2 Integração por partes
3 Frações parciais
4 Integrais trigonométricas
5 Substituição trigonométrica
6 Integrais impróprias
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Conteúdo programático
Técnicas de Integração
Integrais Impróprias
Aplicações da Integral Definida
Sucessões e Séries Numéricas
Séries de Potências
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Bibliografia
Bibliografia básica:
THOMAS, G. B. Cálculo. Volume 1 e 2, 11 ed. São Paulo: Addison
Wesley, 2009.
Bibligrafia Complementar:
STEWART, J. Cálculo. Volume 1 e 2, 5 ed., Editora Thomson, 2006.
SWOKOWSKI, E. Cálculo Com Geometria Analítica. Volume 1 e 2, 2
ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1995.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, Vol. 1 e 2, 5 ed. Rio de
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2002.
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Observações
Provas
1º estágio: 16/12/2024
2º estágio: 10/03/2025
3º estágio: 09/04/2025
Reposições: 14/04/2025
Final: 23/04/2025
Horário de atendimento (Sala 210-CX)
Segunda-feira das 10h às 12h
Quarta-feira das 08h às 10h
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Integrais definidas
Teorema:
Quando f e g forem integráveis no intervalo [a, b], a integral definida
satisfaz:
1
∫ a
b
f (x)dx = −
∫ b
a
f (x)dx .
2
∫ a
a
f (x)dx = 0.
3
∫ b
a
kf (x)dx = k
∫ b
a
f (x)dx .
4
∫ b
a
[f (x)± g(x)]dx =
∫ b
a
f (x)dx ±
∫ b
a
g(x)dx .
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Integrais definidas
5
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx =
∫ b
a
f (x)dx .
6 Se f tem o valor máximo max(f ) e o valor mínimo min(f ) em
[a, b] então
min(f )(b − a) ≤
∫ b
a
f (x)dx ≤ max(f )(b − a).
7 Se f (x) ≥ g(x) em [a, b] então
∫ b
a
f (x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx .
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Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema Fundamental do Cálculo: Parte 2
Se f for contínua em qualquer ponto de [a, b] e seF é qualquer primitiva
de f em [a, b], então ∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
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Integrais imediatas
1
∫
kdx = kx + c
2
∫
xndx =
xn+1
n + 1
+ c
3
∫
exdx = ex + c
4
∫
sen xdx = − cos x + c
5
∫
cos xdx = sen x + c
6
∫
sec2 xdx = tan x + c
7
∫
sec x tan xdx = sec x + c
8
∫
cosec2 xdx = − cotan x + c
9
∫
− cosec x cotan xdx = cosec x + c
10
∫ 1√
1 − x2
dx = arcsen x + c
11
∫ 1
1 + x2
dx = arctan x + c
12
∫ 1
x
√
x2 − 1
dx = arcsec x + c
13
∫ 1√
1 − x2
dx = − arccos x + c
14
∫ 1
1 + x2
dx = − arccotan x + c
15
∫ −1
x
√
x2 − 1
dx = arccosec x + c
16
∫
axdx =
ax
ln a
+ c, a > 0 e a ̸= 1
17
∫ 1
x
= ln |x| + c
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Revisão: regra da substituição
Regra da potência na forma integral
Se u é uma função derivável qualquer, então∫
undu =
un+1
n + 1
+ C (n ̸= −1, n qualquer número)
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Revisão: regra da substituição
Teorema
Se u = g(x) é uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f
é contínua em I , então∫
f (g(x))g ′(x)dx =
∫
f (u)du
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Revisão: regra da substituição
Para calcular
∫
f (g(x))g ′(x)dx
1 substitua u = g(x) e du = g ′(x) para obter a integral
∫
f (u)du;
2 integre em relação a u;
3 troque u por g(x) no resultado.
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Revisão: regra da substituição para integrais definidas
Teorema
Se g ′(x) é contínua em [a, b] e f é contínua na imagem de g , então∫ b
a
f (g(x))g ′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u)du.
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Integrais definidas de funções simétricas
Teorema
Seja f é contínua no intervalo simétrico [−a, a]
1 Se f é par, então
∫ a
−a
f (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx ;
2 Se f é ímpar, então
∫ a
−a
f (x)dx = 0.
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Integrais imediatas
1
∫
kdx = kx + c
2
∫
xndx =
xn+1
n + 1
+ c
3
∫
exdx = ex + c
4
∫
sen xdx = − cos x + c
5
∫
cos xdx = sen x + c
6
∫
sec2 xdx = tan x + c
7
∫
sec x tan xdx = sec x + c
8
∫
cosec2 xdx = − cotan x + c
9
∫
− cosec x cotan xdx = cosec x + c
10
∫ 1√
1 − x2
dx = arcsen x + c
11
∫ 1
1 + x2
dx = arctan x + c
12
∫ 1
x
√
x2 − 1
dx = arcsec x + c
13
∫ 1√
1 − x2
dx = − arccos x + c
14
∫ 1
1 + x2
dx = − arccotan x + c
15
∫ −1
x
√
x2 − 1
dx = arccosec x + c
16
∫
axdx =
ax
ln a
+ c, a > 0 e a ̸= 1
17
∫ 1
x
= ln |x| + c
18
∫
tan xdx = ln | sec x| + c
19
∫
sec xdx = ln | sec x + tan x| + c
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Exercícios de Revisão
1
∫
x5 + 2x2 + 1
x4 dx
2
∫
sen(1/y)
3y2 dy
3
∫ 1
−1
3x2
√
x3 + 1 dx
4
∫ π/2
0
cos x
(1 + sen x)3 dx
5
∫
tan x dx
6
∫
secx dx
7
∫ 2
−2
x6 + 1dx
8
∫ 1
−1
tan x
1 + x2 + x4 dx
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Integração por partes
Fórmula de integração por partes
∫
udv = uv −
∫
vdu
Fórmula de integração por partes para integrais definidas
∫ b
a
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)
∣∣∣b
a
−
∫ b
a
f ′(x)g(x)dx
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Integração por partes: exemplos
1 y =
∫
xex dx
2 y =
∫
x sen x dx
3 y =
∫
x2 sen 4x dx
4 y =
∫
x6 ln xdx
5 y =
∫ 3
2
ln x dx
6 y =
∫ 1
0
arctan x dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 18 de 46
Frações parciais
Seja f (x) =
P(x)
Q(x)
onde P e Q são polinômios.
Se o grau de P é menor que o grau de Q a função racional é própria.
Caso contrário, a função racional é imprópria.
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Frações parciais
Alguns casos:
1 O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos;
2 Q(x) é um produto de fatores lineares, e alguns são repetidos;
3 Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum se repete;
4 Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos.
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Frações parciais: exemplos
1 y =
∫
x3 + x
x − 1
dx
2 y =∫
x2 + 4x + 1
(x − 1)(x + 1)(x + 3)
dx
3 y =
∫
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
dx
4 y =
∫
6x + 7
(x + 2)2 dx
5 y =
∫
4x
(x − 1)2(x + 1)
dx
6 y =
∫
2x + 1
x3 − x2 − x + 1
dx
7 y =
∫
2x2 − x + 4
x3 + 4x
dx
8 y =
∫
−2x + 4
(x2 + 1)(x − 1)2 dx
9 y =
∫
dx
x(x2 + 1)2
10 y =
∫
1 − x + 2x2 − x3
x(x2 + 1)2 dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 21 de 46
Integrais trigonométricas
Estratégia para calcular
∫
senm x cosn xdx
1 Se a potência do cosseno é ímpar, guarde um fator cosseno e use
cos2 x = 1 − sen2 x para expressar os fatores resultantes em
termos do seno. A seguir, substitua u = sen x .
2 Se a potência do seno é ímpar, guarde um fator seno e use
sen2 x = 1 − cos2 x para expressar os fatores resultantes em
termos do cosseno. A seguir, substitua u = cos x .
3 Se as potências do seno e cosseno forem pares, utilizamos as
identidades dos ângulos-metade
sen2 x =
1
2
(1 − cos 2x) e cos2 x =
1
2
(1 + cos 2x)
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 22 de 46
Integrais trigonométricas: exemplos
1 y =
∫
cos5 x dx
2 y =
∫
sen4 x dx
3 y =
∫
sen3 x cos2 x dx
4 y =
∫
sen2 x cos4 x dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 23 de 46
Integrais trigonométricas
Potências de tangente e secante
Para potências de tangente e secante maiores que dois usa-se
tan2 x = sec2 x − 1 e sec2 x = tan2 x + 1
Se necessário usa-se integração por partes para reduzir potências
maiores a potências menores.
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 24 de 46
Integrais trigonométricas
Estratégia para calcular
∫
tanm x secn xdx
1 Se a potênciada secante é par (n ≥ 2), guarde um fator de sec2 x e
use sec2 x = tan2 x + 1 para expressar os fatores restantes em
termos de tan x . A seguir, substitua u = tan x .
2 Se a potência da tangente for ímpar (m > 2), guarde um fator
sec x tan x e use tan2 x = sec2 x − 1 para expressar os fatores
restantes em termos de sec x . A seguir, substitua u = sec x .
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 25 de 46
Integrais trigonométricas
Para o cálculo de integrais de potências de tangente e de secante, com
expoente natural n ≥ 2, tem-se
1
∫
tann xdx =
tann−1 x
n − 1
−
∫
tann−2 x dx
2
∫
secn xdx =
secn−2 x tan x
n − 1
+
n − 2
n − 1
∫
secn−2 x dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 26 de 46
Integrais trigonométricas: exemplos
1 y =
∫
tan4 x dx
2 y =
∫
sec3 x dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 27 de 46
Integrais trigonométricas
Para calcular as integrais (a)
∫
senmx sen nxdx ,
(b)
∫
senmx cos nxdx ou (c)
∫
cosmx cos nxdx , use a identi-
dade correspondente:
(a) senmx sen nx =
1
2
[cos(m − n)x − cos(m + n)x ]
(b) senmx cos nx =
1
2
[sen(m − n)x + sen(m + n)x ]
(c) cosmx cos nx =
1
2
[cos(m − n)x + cos(m + n)x ]
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 28 de 46
Integrais trigonométricas: exemplos
1 y =
∫
sen 3x cos 5x dx
2 y =
∫
sen 5x sen x dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 29 de 46
Integrais trigonométricas: eliminando raízes quadradas
y =
∫ π
4
0
√
1 + cos 4xdx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 30 de 46
Substituição trigonométrica
As substituições trigonométricas ocorrem quando trocamos a variável
de integração por uma função trigonométrica.
As substituições mais comuns são x = a tan θ, x = a sen θ e
x = a sec θ.
Essas substituições são eficazes na transformação de integrais que
envolvem
√
a2 + x2,
√
a2 − x2 e
√
x2 − a2 em integrais que
podemos calcular diretamente.
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 31 de 46
Substituição trigonométrica
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 32 de 46
Substituição trigonométrica
Tabela de substituição trigonométrica
Expressão Substituição Identidade√
a2 − x2 x = a sen θ,−π/2 ≤ θ ≤ π/2 1 − sen2 θ = cos2 θ√
a2 + x2 x = a tan θ,−π/2 1 e diverge se p ≤ 1.
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 39 de 46
Integrais impróprias
Definição:
Integrais de funções que se tornam infinitas em um ponto dentro do
intervalo de integração são integrais impróprias do tipo II.
1 Se f (x) é contínua em (a, b] e descontínua em a, então∫ b
a
f (x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f (x)dx
2 Se f (x) é contínua em [a, b) e descontínua em b, então∫ b
a
f (x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f (x)dx
18 de novembro de 2024 | Professora: Deise Mara | | página 40 de 46
Integrais impróprias
3 Se f (x) é descontínua em c , onde a