EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
 
Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação 
algébrica à igualdade P(x) = 0. Portanto, as raízes da 
equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). 
O grau do polinômio será também o grau da equação. 
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º 
grau. 
 
PROPRIEDADES 
 
Toda equação algébrica de grau n possui exatamente 
n raízes. 
Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - 
b. 
Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, 
então o conjugado a - bi também será raiz. 
Se x1, x2, x3,... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 
+ a2xn-2 ++... + an = 0, então ela pode ser escrita na 
forma fatorada : 
ao (x - x1) . (x - x2). (x - x3). ... . (x - xn) = 0 
Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m 
então dizemos que m é uma raiz de grau de 
multiplicidade k. 
Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica 
P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 
é raiz). 
Toda equação de termo independente nulo, admite um 
número de raízes nulas igual ao menor expoente da 
variável. 
 
 
RELAÇÔES DE GIRARD 
 
𝑮𝑹𝑨𝑼 𝑷𝑨𝑹 
 
Para uma equação do 2º grau, da forma ax2 + bx + c = 
0, já conhecemos as seguintes relações entre os 
coeficientes e as raízes x1 e x2: 
 
 
 
 
 
 
𝑮𝑹𝑨𝑼 𝑰𝑴𝑷𝑨𝑹 
 
Para uma equação do 3º grau, da forma ax3 + bx2 + cx 
+ d = 0, sendo x1, x2 e x3 as raízes, temos as 
seguintes relações de Girard: 
 
 
 
01.(UEM) Considere o polinômio 
 em que os coeficientes 
são todos reais. Assinale o que for CORRETO. 
 
01) Se é não nulo, então o zero nunca será raiz 
desse polinômio. 
02) Se então esse polinômio poderá ser 
fatorado na forma em que e são 
raízes do polinômio. 
04) Se e e são as únicas raízes reais 
de multiplicidade 1 do polinômio, então teremos que 
 e 
08) Se então é possível que esse polinômio 
tenha apenas duas raízes reais de multiplicidade 
16) Se e são raízes do polinômio, então 
 
 
02. (UEL) Considere a equação polinomial a seguir. 
 
 
 
Sabe-se que cada uma das raízes dessa equação 
corresponde a uma das medidas, em do 
comprimento, da largura e da altura de um 
paralelepípedo retângulo. 
 
Com base nessa informação, determine a área total e 
o volume desse paralelepípedo. 
 
Justifique sua resposta, apresentando os cálculos 
realizados na resolução desta questão. 
3 2
3 2 1 0p(x) a x a x a x a ,   
0a
3a 0,
1 2(x r )(x r ),  1r 2r
2a 1 4 5
3a 0 0a 20.
3a 0,
1.
1, 2 3
1 3a 11a .
3 22x 15x 34x 24 0   
cm,
 
 
 
03. (UNIOESTE) As raízes do polinômio 
 são iguais a e 
 Sobre pode-se então afirmar que: 
 
a) a soma dos coeficientes é igual a 
7
2
 
b) os coeficientes e são números inteiros 
pares. 
c) o coeficiente e é múltiplo de 
d) os coeficientes e são números 
racionais. os coeficientes e não são 
números reais. 
 
04. (UEPG) Considerando que a equação 
 admite pelo menos uma raiz 
inteira, assinale o que for CORRETO. 
 
01) A soma das raízes é um número par e natural. 
02) As quatro raízes são distintas. 
04) Se n é a maior das raízes não inteiras, então 
 
08) Apenas duas das raízes são negativas. 
16) A soma das raízes não inteiras é um número 
inteiro negativo. 
 
05. (UEM) Acerca do polinômio 
assinale o que for CORRETO. 
 
01) Uma das raízes desse polinômio é 
02) Ele é divisível pelo polinômio 
04) A soma de suas raízes é 
08) Todas as raízes desse polinômio são reais. 
16) Ele não pode ser fatorado como produto de 
três polinômios de grau com coeficientes racionais. 
 
06. (UNIOESTE) Suponha que P(x) é um polinômio 
com coeficientes reais de modo que P(x) tem 
exatamente 3 raízes e o coeficiente do termo de maior 
grau é igual a 1. Considere que o número real -1 e o 
número complexo a + bi são duas raízes de P(x). Com 
relação ao polinômio P(x), pode-se afirmar que: 
 
a) se então todos os coeficientes são 
positivos. 
b) se então todos os coeficientes são 
positivos. 
c) o coeficiente do termo quadrático é sempre nulo. 
d) o termo independente é sempre um número 
negativo. 
e) o coeficiente do termo linear é sempre menor 
que o termo independente. 
 
 
07. (UFSC) É CORRETO afirmar que: 
 
01) O polinômio não possui duas 
raízes complexas. 
02) O resto da divisão do polinômio 
por é 
04) Existem números reais e tais que o 
quociente da divisão exata do polinômio 
 por é 
 
08) Se e são as raízes da equação 
 então 
16) Na equação algébrica os 
valores de e são inteiros. Se e são 
raízes dessa equação, então 
 
08. (IFSC) Dado o polinômio é 
CORRETO afirmar que: 
 
a) Trata-se de um polinômio de grau 
b) A fatoração do polinômio é 
c) Se dividirmos o polinômio por o polinômio 
quociente é 
d) O grau do polinômio é 
e) Podemos dividir o polinômio por 
e obteremos como resposta o monômio 
 
09. (UFMS) Observe a equação polinomial a seguir: 
 
𝑎3𝑥3 + 2𝑎2𝑥3 − 𝑎𝑥3 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 1 = 0. 
 
A soma dos valores do coeficiente 𝑎 que torna essa 
expressão em uma equação polinomial do 
segundo grau é igual a: 
a) −2. 
b) −1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 
10. (UFRGS) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 
– 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é 
a) -1. 
b) -0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 
4 3 2P(x) x bx cx dx e,     i, i, 3
1
.
2
P(x),
b, c, d e
3.
b, c, d e
b, c, d e
4 3 2x 4x 4x 1 0   
1
n 2 2.
n
 
3 22x 3x 3x 2,  
1
.
2
2x x 2. 
3.
1
1
a
2

a 0,
3p(x) x x 
np(x) x 1 
(x 1) ( 2).
a b
4 2p(x) x 5x ax b     2(x 5x 6) 
2q(x) x 5x 14.   
,α β γ
3 2x 4x 2x 3 0,    2 2 2 20.α β γ  
3 2x kx tx 4 0,   
k t (1 i) 2
k t 2. 
2 36 11x 6x x ,   
6.
(x 1) (x 2) (x 3).    
x 3,
2x 2x 3. 
11.
5 2x 6x 11x 6  
2x .
 
 
11. (UEPG) Sabendo que e são as 
soluções da equação 
assinale o que for CORRETO. 
01) A soma das raízes é um número ímpar. 
02) O produto das raízes é um número negativo. 
04) é um número real menor que zero. 
08) é um número real. 
16) O módulo de é três. 
 
12.(UEM) Dado o polinômio 
 assinale o que for 
CORRETO: 
 
01) O polinômio é divisível por e por 
 portanto P(x) é divisível por 
02) O polinômio é divisível por e por 
 portanto P(x) é divisível por 
04) O quociente do polinômio por tem 
 e como raízes. 
08) O quociente do polinômio por é 
 
16) O polinômio tem duas raízes complexas 
conjugadas e uma raiz real. 
 
13. (UEM) Durante um período de anos, a taxa de 
predação de uma determinada população 
biológica pôde ser representada por 
indivíduos/ano, em que representa o ano e 
 
 
Assinale a(s) alternativa(s) CORRETA(S). 
 
01) Em a taxa de predação desta população foi 
nula, sendo este o único ano em que isso aconteceu. 
02) A predação é o único fator limitante que impede o 
crescimento de uma população. 
04) O resto da divisão de por é zero, 
pois é uma raiz desse polinômio. 
08) O gráfico de indica que a taxa de predação 
desta população foi sempre crescente, no período 
considerado, a partir de 
16) é uma raiz de multiplicidade 1, ou raiz 
simples, da equação polinomial 
 
14. (UNIOESTE) Considere o polinômio 
onde: 
 
 
 
Se e são as raízes de p(x) e 
 então é CORRETO afirmar que a é 
igual a: 
 
a) 4. 
b) 0. 
c) 
d) 
e) –13. 
 
15.(UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 
4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é 
a) - 5 
b) - 4 
c) 5 
d) 6 
e) 8 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
21 ** D 30 11 B 28 B A B 
11 12 13 14 15 
11 13 20 A E 
 
02. 34 e 12 
 
 
 
2,1, a b
4 3 2x x 6x 14x 20 0,    
a b
a b
a
3 2P(x) 2x 17x 41x 30,   
P(x) (2x 3)
(x 2), (2x 3)(x 2). 
P(x) (2x 3)
(4x 6), (2x 3)(4x 6). P(x) (2x 3)
x 2 x 5
P(x) (x 5)
22x 7x 6. 
P(x)
9
(T)
T | P(t) |
t [1, 9]
3 2P(t) t 13t 52t 60.   
t 2,
P(t) D(t) t 2 
2
P(t)
t 2.
t 2
P(t) 0.
 p x det A,
2
x 2x x
A 13 2x 15 .
1
0 2x
2
 
 
  
 
 
 
1x , 2x 3x
1 2 3a x x x ,  
2 3i.
2 6i.