Aula 21 - Lancamento Obliquo PDF Trajetoria Velocidade

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2p,=2cs0
Voy=Casen
ส้้
Vox MU
Mov.HorizontalMU
4,70 Vx=Vpx(cte)
x=vox•t
0
Mov.Vertical MUV
a,8 7y"Doy8
y="oy.1-B.p
H
D
D-Va
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2=2，+20,Asg
0=番y-2gH=
(equaçãodeTorricelli)
H=Tig⼆！(0,sene)
28 2g
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0=Хоу-8.1.
T=2•1, →
D=0,T
2-0g・sen6
D=(U,cos0)..
D=-2-2•sene-cose
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T=2・t=2- Voy
D=v,-T → max (para8-45°)
0
 
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!"./0 1-*$0# 2#".30 405%6 '
Aula 21. Lançamento Oblíquo
1. Movimentos Componentes 
Quando lançamos obliquamente um corpo, com uma
velocidade inicial ( ), inclinada de um ângulo com a
horizontal, notamos que ele descreve uma trajetória
parabólica em relação ao solo, caso a resistência do ar
seja desprezível. 
Para estudar esse movimento, procuramos dividi-lo em
dois: num movimento horizontal e num vertical. Como
ponto de partida, fazemos a decomposição de sua
velocidade inicial ( ), descobrindo as intensidades de
suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). 
Observando-se que a aceleração da gravidade local atua
na vertical e, portanto, afeta apenas a velocidade vertical,
o móvel passa a executar simultaneamente dois
movimentos: uniforme na horizontal e uniformemente
variado na vertical (típico de um lançamento vertical para
cima). 
Os quadros a seguir resumem as características desses
movimentos componentes. 
2. Cálculos Usuais
Considere um objeto disparado do solo com velocidade
inclinada de um ângulo com a horizontal. Sob a ação
exclusiva da gravidade (g), o objeto atinge uma altura
máxima (H ) quando sua velocidade vertical se anula , ou
seja, quando sua velocidade é horizontal (v  x ). Retorna ao
solo com velocidade de módulo v 0  , após ter cumprido um
alcance horizontal (D) durante um tempo de vôo (T ). 
O estudo de seu movimento vertical (M.U.V.) permite
obtermos a altura máxima e o tempo de vôo, em função
de v 0  , e g. 
Lembrando que no final da subida a velocidade vertical se
anula ( = 0), temos: 
Como o tempo de subida (t s) é igual ao de descida, basta
dobrarmos o tempo de subida para obtermos o tempo de
vôo (T ). Ou seja: 
O alcance horizontal (D) corresponde ao deslocamento do
movimento horizontal uniforme, durante o tempo de vôo.
 Assim: 
Pela expressão do alcance (D), nota-se que dentre todos
os ângulos de disparo ( ) aquele que propicia o maior
alcance horizontal é 45°, pois sen 2 será máximo e igual
a 1 quando 2 for 90°, ou seja, quando = 45°. Devido a
isso, o alcance horizontal máximo ( = 45°) para uma
dada velocidade inicial ( ) é obtido por: 
Observação
Para ângulos de lançamentos complementares, isto é, 1 
+ 2 = 90°, os respectivos alcances serão iguais (D1 =
D2 ).
Resumo
Movimentos Componentes
• Movimento Horizontal: M.U. (a x  = 0)
• Movimento Vertical: M.U.V. (ay  = - g) 
Componentes de v0
 
Altura máxima e Tempo de vôo
Alcance Horizontal
 
 
!"#$% ' ( )%*+,-*"
!"./0 1-*$0# 2#".30 405%6 7
Exercícios Resolvidos
01. Ao bater um tiro de meta, um goleiro imprime à bola
uma velocidade de módulo v 0  = 25 m/s inclinada de um
ângulo com a horizontal, tal que sen = 0,8 e cos =
0,6. Admita que no local a resistência do ar seja
desprezível e adote g = 10 m/s
2
. 
Supondo que a bola retorne ao solo sem ser interceptada
por qualquer jogador, determine: 
a) a altura máxima (H ) atingida por ela;
b) a velocidade da bola no ápice do vôo;
c) o seu tempo total de vôo (T ) ;
d) o seu alcance horizontal (D). 
Resolução 
a) Para esse cálculo é necessário obtermos, inicialmente,
a componente vertical de v 0  . Ou seja:
= v 0  · sen = (25m/s) · 0,8 = 20m/s
Lembrando que no final da subida a velocidade vertical da
bola se anula, podemos determinar sua altura máxima
usando a equação de Torricelli. 
b) No ponto mais alto do vôo parabólico, a velocidade da
bola é horizontal, isto é, corresponde à componente
horizontal ( ) de sua velocidade inicial (v 0  ). Ou seja: 
v = v 0x  = v 0  · cos = (25m/s) · 0,6 =
c) Calculemos o tempo de subida:
v 0  = v 0y  – g · t (m.u.v vertical)
0 = v 0y  – g · t s 
Como a altura subida é a mesma descida, o tempo de
subida é igual ao de descida. Logo, o tempo de vôo será o
dobro do tempo de subida. Isto é:
T = 2·t s = 2 · 2s
Pode-se também obter o tempo de vôo duplicando-se o
tempo de queda, ou seja:
d) O alcance horizontal representa o deslocamento total
do movimento horizontal uniforme. Logo:
D = V 0x  ·T
D = (15m/s) · (4,0s)
02. Um canhão dispara projéteis com velocidade v0 = 200
m/s, a partir do solo horizontal. Considere que no local de
disparos a aceleração da gravidade seja de 10 m/s
2
 
despreze a resistência do ar.
a) Qual o ângulo ( ) de disparo, com a horizontal, que
permite o maior alcance horizontal de um projétil?
b) Qual o maior alcance horizontal, em quilômetros, que
um projétil disparado por esse canhão pode atingir?
Resolução
a)
b)
03. A figura a seguir mostra a trajetória parabólica de um
 jato d’água, disparado do solo segundo um ângulo de 30°,
numa operação de combate ao incêndio localizado num
apartamento a 5,0 m de altura do solo.
Sabendo-se que o jato d’água penetra no apartamento
horizontalmente e adotando-se g = 10 m/s
2
, pede-se:
a) a intensidade da velocidade (v0) com que a água sai da
mangueira;
b) a distância (d ) entre o bocal da mangueira e o prédio. 
Resolução
a) A altura do apartamento (5,0 m) corresponde à altura
máxima atingida pela água, pois sua velocidade, nessa
altura, tem direção horizontal. Usando a equação de
Torricelli para o M.U.V. vertical, vem: 
0 
2 
 = – 2gH
= 2gH = 2·10·5 = 10m/s
v 0y  = v 0  · sen 30 
o
 
10 = v 0 · 0,5
b) Pelo movimento horizontal uniforme, temos:
d = · t s  (t s: tempo de subida)
d = (v 0 · cos 30 
o
 ) · = ·
d = (20 · ) ·
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