CONTEÚDO UA9

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Materiais didáticos para geometria, 
grandezas e medidas nos ensinos 
fundamental e médio
Apresentação
Com o passar do tempo, com todas as mudanças vividas pela sociedade e pela escola e as 
persistentes dificuldades no ensino e aprendizagem dos conceitos básicos de matemática, nota-se 
cada vez mais a necessidade de oferecer um ensino significativo aos estudantes. Uma possibilidade 
de que esse ensino seja eficaz é considerar um local específico e apropriado, o laboratório de 
ensino de matemática (LEM). 
É importante ressaltar que o uso do laboratório e de materiais didáticos está de acordo com as 
recomendações e diretrizes da educação, bem como com as pesquisas recentes na área de 
educação matemática. Assim, o LEM tem como atributo conectar a prática à teoria, favorecendo o 
aprendizado de forma interdisciplinar. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá como se configura um laboratório de ensino de 
matemática e quais materiais didáticos podem ser usados. Acompanhará também 
algumas produções acadêmicas de ensino de matemática e a resolução de problemas envolvendo 
geometria, grandezas e medidas. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Descrever materias didáticos que podem ser usados no estudo de geometria, grandezas e 
medidas nos ensinos fundamental e médio. 
•
Analisar pesquisas em educação matemática, envolvendo materiais didáticos e o ensino de 
geometria, grandezas e medidas. 
•
Resolver problemas envolvendo geometria, grandezas e medidas com o uso de materiais 
didáticos. 
•
Desafio
No dia a dia, diferentes situações exigem que seja utilizado o conteúdo de geometria, basta olhar ao 
redor para perceber várias formas geométricas. Ao caminhar por uma praça (seja ela circular, 
retangular ou quadrada) e escolher o melhor caminho – a menor distância – para percorrê-la, 
utilizam-se habilidades elementares da geometria, como o da diagonal, ou do comprimento do arco 
da circunferência, ou até mesmo conceitos mais elaborados envolvendo análise de grandezas, como 
tempo e distância.
Suponha que você seja professor do 9o ano de ensino fundamental.
Nessa situação, responda:
a) Qual estratégia você adotaria?
b) Quais recursos didáticos podem ser utilizados?
c) Como você desenvolveria essa aula?
Infográfico
Grande parte da metodologia usada em sala de aula se baseia na exposição verbal e poucas vezes 
na demonstração. Tanto a análise quanto a exposição são feitas teoricamente pelo professor.
Segundo a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2018), apesar de a matemática ser, por 
excelência, uma ciência hipotético-dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam em um sistema 
de axiomas e postulados, é de fundamental importância também considerar o papel heurístico das 
experimentações na aprendizagem dessa disciplina. 
 
No Infográfico, conheça, de maneira sucinta, alguns aspectos do LEM.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para 
acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/ee88e6c1-bba7-4c53-8d4a-123d69dddaf8/be1c6127-5d9d-4ea0-9238-b6ce70d3b509.png
Conteúdo do livro
O LEM tem como público-alvo os professores de matemática dos ensinos fundamental e médio, 
mas existem também outros interessados no ensino e na aprendizagem da disciplina. Para os 
professores de matemática, os objetivos do laboratório podem ser resumidos em: 
desenvolver/difundir uma metodologia de ensino dos conteúdos de matemática que faça com que 
os alunos participem mais ativamente do processo de ensino e aprendizagem; e promover uma 
abordagem ampla da disciplina, bem como o aprimoramento do uso de ferramentas computacionais 
no processo de ensino.
No capítulo Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos fundamental e 
médio, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, saiba mais sobre o uso do laboratório para 
ensino de geometria, medidas e grandezas nos anos finais dos ensinos fundamental e médio, 
conheça pesquisas educacionais recentes na área e veja exemplos do uso de materiais para o 
ensino da disciplina.
Boa leitura.
LABORATÓRIO DE 
ENSINO DE 
MATEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Descrever materiais didáticos que podem ser usados no estudo de geometria, 
grandezas e medidas nos ensinos fundamental e médio. 
 > Analisar pesquisas em educação matemática, envolvendo materiais didáticos 
e o ensino de geometria, grandezas e medidas. 
 > Resolver problemas envolvendo geometria, grandezas e medidas com o uso 
de materiais didáticos.
Introdução
O mundo já não é mais o mesmo, pois a tecnologia e as revoluções trouxeram 
quebra de paradigmas importantes em todos os âmbitos, e você provavelmente 
notou que na educação não foi diferente. O ensino de matemática, em especial 
de geometria, grandezas e medidas, vem passando por transformações metodo-
lógicas, o que, talvez, se deva ao aprimoramento e/ou ressurgimento de práticas 
pedagógicas, metodologias com enfoque no aluno como o ponto-chave para uma 
aprendizagem significativa. Há uma gama de possibilidades de exploração da 
Materiais didáticos 
para geometria, 
grandezas e 
medidas nos ensinos 
fundamental e médio
Renata Gomes de Oliveira Martins
geometria, por meio de construções, representações e discussões. Problemas 
que envolvam geometria despertam o pensamento crítico e autônomo, desen-
volvem a habilidade de investigação e a capacidade de descrever e perceber 
propriedades. 
Neste capítulo, você vai conhecer como funciona o laboratório de ensino de 
matemática (LEM), bem como identificar materiais didáticos que podem ser usados 
no estudo de geometria, grandezas e medidas.
A geometria, as grandezas e as medidas
Na antiguidade, o homem tinha necessidade de resolver questões do 
seu cotidiano, como construções de casas, divisões de terra, prever mo-
vimento dos astros, para as quais a geometria era importante, pois era 
preciso quantificar medidas para essas tarefas. Ao pensar nisso, logo 
concluímos que a geometria que conhecemos hoje nem sempre foi as-
sim. Logo, como em outros ramos da matemática, ela teve origem de 
maneira intuitiva e se deu a partir da necessidade de sanar problemas 
cotidianos e da observação humana (LORENZATO, 2006). Muito antes de 
civilizações como a Egípcia ou a Suméria, houve descobertas extrema-
mente significativas: o homem aprendeu a semear grãos e armazenar 
cereais, na falta de frutos bons para a colheita o tempo todo; o carneiro 
foi entendido como animal de fertilidade periódica; e as colheitas, em 
sua maioria anuais, contribuíram para que o homem avançasse um passo 
no sentido do controle da periodicidade. Nesse período, o homem já 
sabia medir o tempo — logo, já havia se apropriado de alguns conceitos 
matemáticos que eram necessários e imprescindíveis em determinadas 
épocas históricas. Com o surgimento do comércio, percebeu-se a neces-
sidade de medir ângulos, comprimentos, superfícies, massa e volume. A 
partir disso, houve a necessidade de padronizar as unidades de medidas. 
Alguns autores, como Boyer (1996), Eves (1997) e Ifrah (1997), afirmam que 
as unidades de medida foram inicialmente baseadas em partes do corpo 
(medidas antropométricas): comprimento do pé, da palma, da passada; 
largura da mão; grossura do dedo etc. 
Contudo, não havia um padrão estabelecido e isso por muitas vezes gerava 
divergências com os valores adotados. A partir do século XII, Ricardo I, da 
Inglaterra, determinou unidades de comprimento e capacidade. Ainda assim, 
havia muita controvérsia sobre esses padrões; foi então que, em 1790, em 
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...2
plena Revolução Francesa, os franceses criaram o sistema métrico, já que era 
necessário reinventar a vida econômica e social. 
Muito tempo depois, em 1960, na XI Conferência Internacional de Pesos 
e Medidas, foi adotado o Sistema Internacional de Unidade (SI), quando 
foram reelaboradas as unidades de medida metro e segundoe estabe-
lecidas as grandezas fundamentais: Comprimento, volume, capacidade, 
superfície, massa, tempo, eletricidade, temperatura e intensidade luminosa 
(PEREIRA, 1987). 
De acordo com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâ-
metros Curriculares Nacionais, matemática deve ser entendida como ciência 
autônoma, que investiga relações, formas e eventos e desenvolve maneiras 
próprias de descrever e interpretar o mundo. A forma lógica dedutiva que a 
Geometria utiliza para interpretar as formas geométricas e deduzir proprie-
dades dessas formas é um exemplo de como a matemática lê e interpreta o 
mundo à nossa volta (BRASIL, 2002, p. 117). Grandezas e medidas, para BNCC, 
favorecem a integração da matemática a outras áreas de conhecimento, 
como ciências (grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) 
ou geografia (densidade demográfica, escalas de mapas e guias, etc.). Essa 
unidade temática contribui ainda para a consolidação e a ampliação da noção 
de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento 
algébrico (BRASIL, 2020a, p. 275).
Tanto no ensino fundamental como no médio, o estudo de geometria, 
grandezas e medidas é formativo e, muitas vezes, baseia-se apenas em 
axiomas e conceitos formais. Nessa fase, é imprescindível que esses co-
nhecimentos se solidifiquem, pois poderão, eventualmente, relacionar-se 
com a experiência intuitiva e com fatos que possam ser provados em outros 
níveis escolares.
Pierre Marie Van Hiele e sua esposa, Dina Van Hiele-Geldof, são referência 
no ensino de geometria; por meio da observação em aulas, identificaram 
dificuldades de aprendizagem em seus alunos e, após anos de estudos, 
desenvolveram o que hoje é conhecido como “os níveis de ensino dos Van 
Hiele”, que tratam de como os alunos aprendem e desenvolvem o pensamento 
geométrico. Por meio desse modelo de aprendizagem é possível perceber 
o processo de desenvolvimento do pensamento geométrico, levando os 
alunos a partirem de uma simples concepção holística das formas geomé-
tricas e chegarem a uma apurada compreensão de provas e demonstrações 
geométricas. 
3Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
Faça uma busca no YouTube pelo vídeo “História das Grandezas e 
medidas e sua necessidade” para entender um pouco mais. 
Laboratório de ensino de matemática: aprendizagem 
a partir da experimentação 
Paulo Freire, enquanto educador, foi um grande defensor do aluno. Tinha 
como foco a sala de aula quando escrevia ou falava sobre educação e por 
diversas vezes criticou o ensino tradicional, em que o professor era o detentor 
do saber e o aluno apenas ouvia. Muitos dos estudos atuais, que afirmam 
a necessidade de se reformular o ensino, sobretudo o de matemática, são 
baseados em seu pensamento. De acordo com os Parâmetros Curriculares 
Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2000, p. 47), “[...] é preciso que o aluno 
perceba a matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam 
uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e 
interpretá-la”. 
Jesus e Fini (2005, p. 144) buscam dar significado à matemática por meio da 
manipulação de materiais, especificamente de jogos, pois “[...] esses recursos 
poderão atuar como catalisadores do processo natural de aprendizagem, 
aumentando a motivação e estimulando o aluno, de modo a aumentar a 
quantidade e a qualidade de seus estudos”.
Vários autores discorrem sobre a temática da aprendizagem significativa 
na Matemática, e foi assim que surgiu o LEM. Para Gonçalves e Silva (2011), 
o laboratório é classificado em duas categorias: equipamento tecnológico 
(computadores, softwares, calculadora, etc.) e material didático (sólidos, 
círculo trigonométrico, compasso, régua, esquadro, balança, transferidor, 
paquímetro, etc.). É importante salientar que existem outros materiais de 
baixo custo (inclusive recicláveis) que podem ser usados.
O ensino por meio de atividades práticas na matemática tem como obje-
tivo a promoção do raciocínio e das habilidades cognitivas dos educandos. 
O cerne é permitir que os alunos adotem procedimentos de investigação e 
possam propor soluções para as diferentes situações-problemas por meio 
da experimentação. 
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...4
A geometria fortalece a capacidade de resolver determinados proble-
mas que envolvem a observação e a representação, e fazer uso de material 
concreto contribui para a dinamização da aula e potencializa o processo de 
ensino e aprendizagem.
Para fazer demonstrações, podemos utilizar softwares educativos, como o 
Cabri Geometry, desenvolvido pelo Institut d’Informatique et Mathématiques 
Appliquées de Grenoble (IMAG), sendo o menu de construção em linguagem 
clássica da geometria e os desenhos de objetos a partir das propriedades 
que os definem. Esse software é adequado aos conteúdos para ensino fun-
damental, ensino médio e superior (Figura 1). 
Figura 1. Exemplo de contrução usando Cabri.
Fonte: Barreto e Gravina ([20--?], documento on-line).
Outro software é o GeoGebra, gratuito, multiplataforma e destinado a 
todos os níveis de ensino, ele reúne os conteúdos de geometria, cálculo, 
álgebra, estatística e tabelas em uma única aplicação. Foi desenvolvido 
em 2001 como tese de Markus Hohenwarter e atualmente é usado em 190 
países. Em seu site, é possível ver materiais, baixar o aplicativo e fazer 
simulações (Figura 2). 
5Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
Figura 2. Página de materiais do GeoGebra.
Fonte: GeoGebra (c2021, documento on-line).
No site Conteúdos Digitais da Universidade Federal Fluminense 
(Figura 3), encontramos diversos jogos feitos utilizando os softwares 
já mencionados. 
Figura 3. Página com jogos sobre geometria.
Fonte: Conteúdos Digitais ([20--?], documento on-line).
Outra forma de fazer experimentação do conteúdo de geometria é a 
utilização de materiais de baixo custo, como canudos plásticos para refresco 
(cortados ao meio), linha, agulha e tesoura; com esses materiais é possível 
trabalhar a ideia de linhas poligonais e polígonos (Figura 4). 
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...6
Figura 4. Linhas poligonais e polígonos.
Fonte: Brito ([20--?], documento on-line).
O kit geometria plana com palitos e tubos de látex natural é um material 
que proporciona a construção de diversas figuras planas e espaciais. Os 
materiais necessários são: palito de churrasco de tamanho médio, régua, 
tubo de látex natural com diâmetro externo de 12 cm, diâmetro interno de 6 
mm e a espessura 3 mm, cola cianoacrílica. 
Figura 5. Kit geometria plana com palitos.
Fonte: Andrade e Braga (2016, documento on-line). 
7Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
Com este material é possível abordar conceitos de geometria plana, 
como área e perímetro, número de lados, classificação quanto ao número 
de lados, número de ângulos, diagonais, altura, ângulos, mediana e bissetriz 
das figuras geométricas. Com jornais também é possível construir figuras 
planas (Figura 6). 
Figura 6. Formas com jornais.
Fonte: Andrade e Braga (2016, documento on-line). 
Ainda existe a possibilidade de construir um geoplano (Figura 7), criado 
pelo matemático inglês Calleb Gattegno em 1961. O material utilizado é uma 
madeira como base, uma folha de papel milimetrado para fixar na madeira 
e pregos para serem fixados na mesma altura com a distância desejada.
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...8
Figura 7. Geoplano. 
Fonte: Rede Escola Digital ([2011], documento on-line).
Todas essas ideias e recursos nos ajudam a tornar o ensino de geometria 
mais palpável aos alunos. A partir do ensino fundamental, “[...] a expectativa 
é que alunos já reconheçam que medir é comparar uma grandeza com uma 
unidade e expressar o resultado da comparação por meio de um número” 
(BRASIL, 2020, p. 275). Diante disso, os alunos já têmnoção de grandezas e 
medidas utilizando a própria geometria e são capazes de resolver problemas 
envolvendo essas grandezas com o uso de unidades de medida padronizadas 
mais usais. 
No artigo “Os níveis de Van Hiele com o auxílio de ferramentas com-
putacionais”, é possível conhecer mais sobre a aplicação desses 
níveis na computação. 
Geometria e a pesquisa na educação 
matemática
A geometria, as grandezas e as medidas são uma área em que podemos 
utilizar vários recursos didáticos para uma melhor aprendizagem. Em 1987, 
aconteceu o I Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), que se 
estende até a atualidade com o intuito de promover a troca de experiências 
9Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
entre professores da educação básica e pesquisadores da matemática; é 
comum aparecerem relatos de experiências envolvendo o uso de materiais 
didáticos. Na página do ENEM, existem muitos trabalhos interessantes sobre 
geometria, grandezas e medidas. Veja alguns a seguir.
 � Noções básicas de geometria espacial através da manipulação de 
origamis modulares – minicurso, de José Erildo Lopes Júnior. O autor 
apresenta o passo a passo da construção de dois modelos de origamis 
e oportuniza a construção da própria figura geométrica e a discussão 
dos conteúdos relacionados abordados em sala de aula. 
 � A geometria de forma lúdica: uma experiência com materiais manipula-
tivos em turma do ensino médio, dos autores: Wllian Colares Destefani, 
Janacélia Andrade Lacerda Destefani e Bárbara de Medeiros Marinho. O 
estudo apresenta estratégias simples que possibilitam a compreensão 
de conceitos geométricos. 
 � Medidas em geometria espacial, de Fábio Simas e Letícia Rangel. Neste 
minicurso, o objetivo é discutir o ensino de áreas e volumes dentro do 
contexto de geometria espacial para o ensino médio. 
Além destes, é possível encontrar uma gama extensa de artigos, estudos 
e minicursos sobre o tema; ao fazer uma rápida busca pela internet e até 
mesmo por livros é possível constatar que o ensino de geometria mudou 
muito ao longo do tempo. Normalmente, as pessoas têm uma concepção de 
que a matemática é feita apenas de ‘continhas’ chatas e que nunca poderá 
ser concreta, pois é abstrata demais — um argumento contraditório, pois, 
segundo pesquisa feita pela Ipsos Media CT, em 2014 (apud Redação Bem Pa-
raná, 2014), a matéria preferida pelas crianças entre 6 e 9 anos é a matemática. 
O que se perdeu nesse tempo? Analisando a realidade das escolas e o que se 
ouve falar, a maioria dos alunos tem dificuldades de entender a matemática 
e sua aplicabilidade nas tarefas diárias. De acordo com os Parâmetros Cur-
riculares Nacionais do ensino médio (BRASIL, 2020b, p. 16), a educação deve 
ser estruturada em quatro alicerces: aprender a conhecer, aprender a fazer, 
aprender a viver e aprender ser. O Quadro 1, a seguir, mostra o que pensam 
alguns autores sobre as vantagens de se trabalhar com a experimentação 
dos conteúdos em um laboratório de ensino de matemática.
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...10
Quadro 1. Vantagens de se trabalhar com a experimentação dos conteúdos 
em um laboratório de ensino de matemática
Autor Objetivo Metodologia 
Produto/
conclusão
Lorenzato 
(2009) 
Mostrar concepções, 
possibilidades e 
limites do LEM 
Descrição de todos 
os elementos 
referentes ao LEM
Sugestão de 
atividades, 
juntamente 
com análise dos 
possíveis erros dos 
estudantes
Barreto 
(2014)
Mostrar as atuações 
e contribuições 
dos laboratórios e 
elaborar a construção 
de um LEM
Visitas aos 
laboratórios e 
aplicação de 
questionários
Proposta de 
laboratórios em dois 
campi do Instituto 
Federal da Bahia
Gonçalves, 
Silva (2008)
Propor a implantação 
de LEM nas escolas
Forte revisão 
bibliográfica, 
análise da 
utilização do LEM 
pelos professores e 
discussões
Aplicações de 
atividades, 
compartilhamento 
de experiências, 
vantagens e 
dificuldades acerca 
do LEM
Silva, Silva 
(2004)
Argumentar sobre 
a importância do LEM
Definição do LEM; 
estruturação da 
argumentação em 
itens: aspectos 
gerais, objetivos do 
LEM, implicações 
na didática, e 
apresentação do 
ambiente do LEM
O LEM é um 
ambiente 
privilegiado para o 
processo de ensino 
e aprendizagem; 
se usado 
adequadamente, 
promove melhoria 
no aprendizado dos 
alunos
Turrioni 
(2004)
Discutir abordagens 
para a formação 
de professores de 
matemática e como o 
LEM contribui nessas 
abordagens
Pesquisa 
qualitativa em 
um laboratório, 
com finalidade 
exploratória
O laboratório 
estudado foi 
inicialmente 
utilizado para o 
desenvolvimento 
profissional 
dos alunos da 
licenciatura; e depois 
foi usado para o 
desenvolvimento de 
pesquisas
(Continua)
11Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
Autor Objetivo Metodologia 
Produto/
conclusão
Refosco, 
Bassoi 
(2008)
Investigar a existência 
e o uso do LEM nas 
escolas; identificar 
a concepção de 
professores acerca do 
laboratório; averiguar 
o uso dos materiais 
didáticos
Aplicação de 
questionário para 
uma amostra de 
93 professores de 
matemática
Raras escolas 
possuem LEM; a 
concepção mais 
presente foi de uma 
sala-ambiente; os 
professores declaram 
fazer uso de 
materiais concretos
Ribas, 
Barone, 
Basso (2007)
Apresentar uma 
reflexão sobre o 
processo de ensino 
e aprendizagem 
de matemática e o 
uso de materiais; 
levantar a utilização 
de tecnologias 
computacionais 
nesse processo
Abordagem da 
resolução de 
problemas, com 
ênfase em desafios 
lógicos
Apresenta um 
protótipo de 
laboratório virtual 
de matemática para 
ser utilizado na 
abordagem
Fonte: Adaptado de Fonseca (2018). 
Perceba que a pesquisa no ensino de geometria tem por objetivo investigar 
os trabalhos produzidos no processo de ensino e aprendizagem da geometria 
escolar, no que se refere às suas contribuições para o trabalho do professor 
da educação básica. Existe uma necessidade de o professor considerar a 
utilização de diferentes recursos metodológicos, incluindo tecnologia da 
informação e conhecimento. 
No site do ENEM, é possível encontrar diversas sugestões de conteúdo 
de pesquisa com o enfoque em materiais didáticos.
Materiais didáticos de geometria 
na sala de aula
Normalmente, geometria é um dos tópicos que mais desafia o processo 
de ensino e aprendizagem de matemática na educação básica, pois 
(Continuação)
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...12
tradicionalmente o ensino do tema se baseia em aplicação de fórmulas 
e resolução de forma muito abstrata. A BNCC propõe que, por meio 
da articulação de seus diversos campos, o ensino de geometria seja 
eficiente no sentido de dar oportunidades de utilização dos conteúdos 
para resolução de problemas, “[...] aplicando conceitos, procedimentos 
e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos 
das situações” (BRASIL, 2020, p. 267). Incentivar o aluno por meio de jogos, 
planificação de sólidos e utilização de softwares otimiza a aprendiza-
gem e contribui para o desenvolvimento de competências e habilidades 
requeridas na BNCC. 
A BNCC é um documento de caráter normativo que define o 
conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais 
que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas da educação 
básica. Você pode acessá-la na página oficial do Ministério da Educação e 
aprofundar seus conhecimentos a respeito do que é esperado dos alunos 
em competências e habilidades para que você consiga traçar a melhor 
estratégia de ensino lançando mão dos materiais didáticos para geometria, 
grandezas e medidas. 
A seguir, apresentaremos dois exemplos da utilização de materiais didá-
ticos para o ensino de geometria, grandezas e medidas.
Exemplo 1 — O quadrado da hipotenusa
Materiais:
 � lápis de colorir;
 � tesoura;
 � cola;
 � papel quadriculado.
Objetivos: provar experimentalmente o teorema de Pitágoras. 
Organização da turma/tempo estimado:os alunos deverão desenvolver a 
prova experimental individualmente. O tempo estimado de duração é de 
duas horas-aula (1:40). 
Ano de escolaridade: nono ano do ensino fundamental. 
13Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
Conteúdo abordado: relações métricas no triângulo retângulo — teorema 
de Pitágoras. 
Desenvolvimento: 
Primeira etapa: o professor inicia o experimento verificando se os alunos 
compreendem a necessidade de uma demonstração matemática. Em seguida, 
utiliza o artigo Mania de Pitágoras, de Euclides Rosa. O texto descreve alguns 
acontecimentos históricos relacionados à “descoberta” do teorema de Pitá-
goras e apresenta quatro demonstrações para ele sob diferentes pontos de 
vista, intituladas: “A mais bela prova”; “A prova mais curta”; “A demonstração 
do presidente” e “A demonstração de Leonardo da Vinci”. 
É importante que, em vários momentos da leitura, o professor faça 
uma pausa para que os alunos possam manifestar suas interpretações 
ou dúvidas. Esse tipo de abordagem potencializa a produção do conhecimento, 
pois permite que o aluno estabeleça conexão entre os saberes teóricos e práticos. 
Segunda etapa: na etapa seguinte, partindo da importância de ter o aluno 
como centro da própria ação de aprendizagem, o professor solicita que 
escrevam, com suas palavras, o “teorema de Pitágoras”, por meio de uma 
hipótese seguida de uma tese.
Na sequência, propõe-se aos alunos que, com base no texto Mania de 
Pitágoras, construam argumentos que “provem” a veracidade da afirmação 
apresentada. Por se tratar de uma prática investigativa, é importante que o 
professor não interfira no desenvolvimento desse processo. Nesse momento, 
ele deve agir como mediador do conhecimento que está sendo construído. 
Justificativa: a prova experimental “Demonstrando o Teorema de Pitágoras” 
possibilita o desenvolvimento de habilidades relacionadas à elaboração de 
hipóteses, à construção de teses e à verificação destas por meio de testes. 
Ao final do experimento, com intuito de identificar fatores utilizados nessa 
abordagem metodológica, que contribuem de forma significativa com a pro-
dução desse conhecimento, faz-se a socialização dos argumentos construídos 
pelos alunos. 
Sugestões: caso os alunos apresentem muita dificuldade em “construir” 
um processo de “demonstração”, com base no texto Mania de Pitágoras, o 
professor pode sugerir que utilizem o método de comparação de áreas para 
construir o argumento de “prova”. Os procedimentos são os seguintes: com o 
auxílio do papel quadriculado, tomando cada quadradinho como unidade de 
Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...14
medida, construa três quadrados com áreas respectivamente iguais 9 u.a, 1 
6 u.a e 25 u.a. Verifique se esses quadrados se encaixam formando um triân-
gulo retângulo. Agora, verifique se é possível sobrepor os quadrados menores 
no quadrado maior de forma que não sobre espaços em branco. Com base 
na experimentação feita, enuncie o “teorema de Pitágoras”.
É importante que o professor entenda que a utilização de atividades 
experimentais abre caminhos para a investigação e o desenvolvimento do 
raciocínio lógico. Assim como é comum em todo o processo de aprendiza-
gem, o resultado final é apenas uma parte de todo o caminho que deverá 
ser percorrido. Os questionamentos que surgem durante esse processo e 
as eventuais tentativas de respostas tornam-se mais importantes do que a 
resposta correta no final do procedimento.
Exemplo 2 — A matemática do quadrante Náutico
Materiais:
 � compasso;
 � régua não graduada;
 � lápis; 
 � papel;
Segundo Pereira (2000), o quadrante é uma forma simplificada do astro-
lábio e seu nome é devido ao fato de utilizar somente um quarto de circun-
ferência, sendo graduado de 0 a 90°. 
Objetivos: trabalhar conceitos de medidas e grandezas. Pode ser utilizado 
tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio. 
Desenvolvimento: primeiro devemos tomar um quarto da circunferência, que 
é 90°, e, com o compasso, dividimos o ângulo de 90° em três ângulos medindo 
30° cada e traçamos a bissetriz de cada um destes. Assim, o quadrante estará 
dividido em seis ângulos medindo 15° cada. Para fazer o quadrado de sombras 
podemos tomar como lado do quadrado à medida que nos for conveniente, 
atentando sempre para o fato de que um dos vértices do quadrado deve ser 
o vértice do ângulo de 90° que traçamos primeiramente. A terceira etapa é 
marcar o segmento de reta que vai da extremidade de cada ângulo de 15° até 
o vértice do quadrado de sombras. Esse procedimento dividirá o quadrado 
em doze partes iguais. Para finalizarmos a construção do quadrante, fixare-
mos em um dos seus lados duas pínulas para que possamos mirar o objeto 
15Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
desejado, e, partindo do vértice do quadrado, fixaremos uma alidade que 
nos permitirá saber a inclinação do objeto para o qual estamos apontando. 
E assim o quadrante náutico já está pronto para utilização.
Sugiro a você que vivencie as atividades que compõem a unidade curri-
cular geometria, grandezas e medidas colocando-se na perspectiva de seus 
alunos. Reflita sobre a importância de se usar um laboratório de ensino de 
matemática. A utilização de materiais manipuláveis no ensino de geometria, 
grandezas e medidas é uma possibilidade muito enriquecedora para o de-
senvolvimento das habilidades que esses conteúdos exigem, relacionando-
-os com situações mais concretas e promovendo uma aprendizagem sem os 
transtornos comuns nesse ensino. Também procure fazer uso das pesquisas 
em educação matemática para saber como melhorar a prática pedagógica. 
Este é o grande desafio da educação matemática. 
Referências
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básica utilizando materiais concretos. 2016. Disponível em: https://propi.ifto.edu.br/
ocs/index.php/jice/7jice/paper/viewFile/7791/3584. Acesso em: 5 abr. 2021.
BARRETO, M. M.; GRAVINA, M. A. Cabry-Geometry. [20--?]. Disponível em: http://www.
edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/ativ12/cabri.htm. Acesso em: 5 abr. 2021.
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard, 1996.
BRASIL. Base Nacional comum curricular. Brasília: Ministério da Educação, 2020a. 
(E-book).
BRASIL. Orientações educacionais complementares aos parâmetros curriculares na-
cionais: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da 
Educação, 2002.
BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio: ciências da natureza, 
matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2000.
BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio: ciências da natureza, 
matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2020b.
BRITO, J. Geometria com canudos. [20--?]. Disponível em: http://objetoseducacionais2.
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CONTEÚDOS DIGITAIS. Softwares educacionais. [20--?]. Disponível em: http://www.
cdme.im-uff.mat.br/. Acesso em: 5 abr. 2021.
EVES, H. W. Introdução à história da matemática. 2. ed. Campinas: Unicamp, 1997.
FONSECA, N. P. Laboratório de ensino de matemática no processo de ensino- aprendi-
zagem. 2018. 65 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Setor de Ciências Exatas, 
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ponível em: http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/
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através de jogos. In: BRITO, M. R. F. (org.). Psicologia da educação matemática: teoria 
e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2005. p. 129-145.
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láveis. In: LORENZATO, S. A. (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação 
de professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 3-37.
PEREIRA, J. M. M. Experiências com instrumentos e métodos antigos de navegação. 
Lisboa: Editora da Academia de Marinha, 2000. 
PEREIRA, T. M. et al. Matemática nas séries iniciais. Ijuí: Livraria Unijuí, 1987.
REDE ESCOLA DIGITAL. Geoplano perímetro e área. In: INTERATIVANDO. [2011]. Disponível 
em: https://interativando-ma-gov-br.escoladigital.org.br/odas/geoplano-perimetro-
-e-area. Acesso em: 5 abr. 2021.
Leituras recomendadas
CEDRO, W. L. O espaço de aprendizagem e a atividade de ensino: o clube de matemática. 
2004. 171 f. Dissertação (Mestrado em Educação) — Faculdade de Educação, Universidade 
de São Paulo, São Paulo, 2005. 
CENTURIÓN, M. Conteúdo e metodologia da matemática: números e operações. São 
Paulo: Scipione, 1994. 
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. A. Investigação em educação matemática: percursos 
teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.
GERON, A. C. Atividades geométricas com o software Cabri Géomètre II na licenciatura em 
matemática do CEUCLAR. 2005. Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/erpm2005/
anais/c15.pdf. Acesso em: 5 abr. 2021.
HOGBEN, L. O homem e a ciência: o desenvolvimento científico em função das exigências 
sociais. Porto Alegre: Globo, 1952.
IMENES, L. M. P.; LELLIS, M. C. T. A matemática e o novo ensino médio. Educação Mate-
mática em Revista, ano 8, nº 9/10, p. 10-16. 2001.
MOURA, A. R. L. A medida e a criança pré-escolar. 1995. 221 f. Tese (Doutorado em Edu-
cação) — Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1995.
ROSA, E. Mania de Pitágoras. [20--?]. Disponível em: https://rpm.org.br/cdrpm/2/5.
htm. Acesso em: 5 abr. 2021.
17Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...
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Materiais didáticos para geometria, grandezas e medidas nos ensinos...18
Dica do professor
O desenvolvimento da matemática está relacionado com o desenvolvimento da humanidade. É 
possível perceber que quanto mais a humanidade se desenvolve, mais a matemática é necessária 
em diversos ramos, mesmo sem ser notada pela maioria das pessoas.
Porém a forma como essa ciência vem sendo ensinada nas salas de aula, com métodos puramente 
dedutivos, não está correspondendo às necessidades atuais, pois o ensino ainda ocorre da mesma 
maneira como há cem anos (OLIVEIRA, 2010).
Nesta Dica do Professor, conheça algumas aplicabilidades de grandezas e medidas utilizando o 
laboratório de matemática. 
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Exercícios
1) A matemática tem uma parcela importante na construção da autonomia dos alunos, que 
assim podem agir como produtores de conhecimento, tomando decisões, interferindo na 
realidade, vendo aplicação concreta nos conteúdos escolares, não apenas a teoria. Para 
tanto, os conteúdos escolares são regidos pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC).
A partir do que já foi estudado, assinale a alternativa que corresponde ao que diz 
a BNCC sobre grandezas e medidas: 
A) Para a construção de autonomia, é importante propor, por meio de situações significativas, 
sucessivas ampliações dos campos numéricos. No estudo desses campos numéricos devem 
ser enfatizados gráficos, registros, significados e operações.
B) No tocante aos cálculos, espera-se que os alunos desenvolvam diferentes estratégias para a 
obtenção dos resultados, sobretudo por estimativa e cálculo mental, além de algoritmos, 
relatórios e uso de calculadoras.
C) Merece destaque o uso de tecnologias, como as calculadoras, para avaliar e comparar 
resultados, e de planilhas eletrônicas, que ajudam na construção de gráficos e nos cálculos 
das medidas de tendência central.
D) A expectativa é que os alunos saibam planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas 
descritivas, incluindo medidas de tendência central, construção de tabelas e diversos tipos de 
gráfico. Esse planejamento inclui a definição de questões relevantes e da população a ser 
pesquisada.
E) Os alunos devem reconhecer comprimento, área, volume e abertura de ângulo como 
grandezas associadas a figuras geométricas e resolver problemas envolvendo essas grandezas 
com o uso de unidades de medida padronizadas mais usuais.
2) Em educação, considera-se que os alunos devem ser preparados para conviver numa 
sociedade em constante mudança, sendo construtores do seu conhecimento, e a BNCC 
direciona em qual sentido a aprendizagem e a preparação devem acontecer.
A partir do que já foi estudado, assinale a alternativa que corresponde ao que diz 
a BNCC sobre a geometria: 
A geometria é essencial para utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e 
análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações e estruturas 
A) 
matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos.
B) A geometria envolve o estudo de um amplo conjunto de conceitos e procedimentos 
necessários para resolver problemas do mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento.
C) A geometria não deve ser utilizada no contexto das representações no plano cartesiano, 
como a representação de sistemas de equações do 1o grau, articulando, para isso, 
conhecimentos decorrentes da ampliação dos conjuntos numéricos.
D) As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser 
desenvolvidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, 
e não como objetos de estudo em si.
E) A geometria deve ficar reduzida à mera aplicação de fórmulas de cálculo de área e de volume, 
a aplicações numéricas imediatas de teoremas sobre relações de proporcionalidade em 
situações relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de 
Pitágoras.
3) A escola, hoje consolidada na sociedade como espaço de produção e transmissão de 
conhecimento, se vê diante do desafio de buscar constantemente novos caminhos para 
cumprir o papel que dela se espera. Os professores, parte integrante dessa escola, têm a 
obrigação de mergulhar na busca por esses caminhos, planejando, estudando e aprimorando 
técnicas e métodos, desenvolvendo valores de afetividade que contribuam para o processo 
de evolução que a sociedade está vivendo.
Você está elaborando uma aula para o ensino médio. Para uma aprendizagem eficaz, 
quais habilidades devem estar envolvidas no ensino de geometria, grandezas e medidas em 
uma aula no LEM?
A) Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias que empregam 
unidades de medida de diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas 
ou não pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), como as de armazenamento e velocidade 
de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos. 
 
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície 
(reconfigurações, aproximação por cortes, etc.).
 
Deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e adistribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
B) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais 
(ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas 
representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de 
aplicativos de álgebra e geometria.
 
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da matemática e de outras áreas do 
conhecimento que envolvam equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e 
gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
 
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1o ou 2o grau para resolver 
problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
 
Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo de probabilidade de eventos em 
experimentos aleatórios sucessivos.
C) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da matemática e de outras áreas do 
conhecimento que envolvam equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e 
gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
 
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário 
compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da 
matemática financeira, entre outros.
 
Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo 
as noções de algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda 
medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
D) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas 
de luz, água, gás, etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de 
validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma 
para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais. 
 
Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas determinadas pela razão ou pelo 
produto de outras (velocidade, densidade demográfica, energia elétrica, etc.).
Investigar e registrar por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve 
um problema.
E) 
 
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano 
cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar 
algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função 
polinomial de 1o grau. 
4) As pessoas são capazes de receber informações por todos os sentidos, porém os olhos são a 
porta principal para a entrada do conhecimento geométrico e das atividades que ajudarão a 
organizar, sistematizar e ampliar esse conhecimento.
Sendo assim, é possível que o laboratório de ensino de matemática (LEM) venha a fazer com 
que os alunos criem gosto e compreendam a matemática de forma simultânea e precisa.
Nesse sentido, quais materiais são adequados para se trabalhar no LEM?
A) Balão de fundo chato
Balão de destilação
Balão volumétrico
Béquer ou Becker
Erlenmeyer 
Tubos de ensaio 
Bureta
Bastão de vidro
B) Balança de precisão 0,01g 300g BN 300 Coleman
Becker em polipropileno PP 2000-250 Nalgon
Macro centrífuga 12 tubos de 15ml 90-1 Coleman 
Funil 
Lâmina para microscopia
Lamínula para microscopia
Pipetadores
Pipeta graduada
C) Livros didáticos
Livros paradidáticos
Calculadora 
Softwares
Paquímetro
Compasso, régua e transferidor
Ciclo trigonométrico
Modelos de sólidos geométricos
D) Paquímetro
Compasso, régua e transferidor
Ciclo trigonométrico
Modelos de sólidos geométricos
Funil
Lâmina para microscopia
Lamínula para microscopia
Pipetadores
Pipeta graduada
E) Livros didáticos
Livros paradidáticos
Calculadora
Softwares
Balão de fundo chato
Balão de destilação
Balão volumétrico
Béquer ou Becker
5) Observando a realidade das escolas de um modo geral, a maioria dos alunos tem muita 
dificuldade em entender a matemática e ver sua aplicabilidade nas tarefas 
diárias. O professor também se vê numa situação difícil quando precisa convencer seus 
alunos, sem encontrar algo palpável para servir de referência e sustentação.
Sobre a utilização do LEM, assinale a alternativa correta: 
A) Para que a aprendizagem significativa ocorra, é necessária a disposição do aluno para 
aprender e que o professor deixe a turma fazer tudo sem nenhuma orientação.
B) Para que a aprendizagem significativa ocorra, o material deve ser de difícil manuseio, de 
forma que os alunos pouco compreendam a atividade proposta. 
C) Para que a aprendizagem significativa ocorra, o professor deve deixar que os alunos façam 
tudo sem nenhuma orientação, e o material deve ser de difícil manuseio, de forma que os 
alunos pouco compreendam a atividade proposta. 
D) Para que a aprendizagem significativa ocorra, o aluno, como protagonista da aprendizagem, 
deve dizer como devem ser feitas as atividades, e os materiais didáticos devem ter custos 
elevados para embelezar o laboratório de matemática. 
E) Para que a aprendizagem significativa ocorra, deve haver a disposição do aluno para 
aprender, e o material didático desenvolvido deve ser, sobretudo, significativo para o aluno, 
de forma que ele consiga pôr em prática o conteúdo abordado.
Na prática
O laboratório de matemática tem papel relevante para a formação de uma base de conteúdo sólida 
e uma aprendizagem mais significativa. Ao oferecer materiais de ensino e espaço para tratar de 
atividades práticas, criam-se oportunidades para que os alunos reflitam sobre as ideias já prontas e 
estimulem sua própria criatividade para atingir os objetivos de uma aula.
Na Prática, acompanhe como é possível utilizar o laboratório de matemática para o ensino de 
geometria.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja a seguir as sugestões do professor:
O laboratório de matemática como espaço de formação de 
professores
Acompanhe, neste artigo, uma importante discussão sobre a importância do laboratório de 
matemática na formação docente.
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Laboratórios escolares, bibliotecas e ambientes de convivência
Neste livro, conheça a definição e os tipos de laboratório escolar.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Cadernos do Mathema – Ensino médio – v. 3
Neste livro, encontre indicações de atividades de aprendizagem de matemática por meio de jogos 
para o ensino médio.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0100-15742018000300802
https://viewer.bibliotecaa.binpar.com/viewer/9786556900063/capa
https://viewer.bibliotecaa.binpar.com/viewer/9788536317281/1
Cadernos do Mathema – Ensino fundamental – v. 2 – Jogos de 
matemática de 6o a 9o ano
Neste livro, encontre indicações de atividades de aprendizagem de matemática por meio de jogos 
para os anos finais do ensino fundamental.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://viewer.bibliotecaa.binpar.com/viewer/9788536311487/1