Lista de Exercícios - EDO (1 ordem)

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI-URCA
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA-CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LISTA DE EXERCÍCIO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
PROF. RICARDO R. DE CARVALHO
EDO DE 1a ORDEM DO TIPO y0 + p(x)y = g(x)
1a) Prove que y é uma solução da Equação Diferencial Ordinária.
a) y0 + 3y = 0; y = Ce�3x; onde C =constante
b) 2xy3 + 3x2y2
dy
dx
= 0; y = Cx�
2
3 ; onde C =constante
c) x3y000 + x2y00 � 3xy0 � 3y = 0; y = Cx3; onde C =constante
d) y
dy
dx
= x; x2 � y2 = C; onde C =constante.
2a) Resolva cada Equação Diferencial Ordinária dada abaixo.
1) y0 + 3y = x+ e�2x
2) y0 � 2y = x2e2x
3) y0 + y = xe�x + 1
4) y0 +
1
x
y = 3 cos 2x; x > 0
5) y0 � y = 2ex
6) xy0 + 2y = sinx; x > 0
7) y0 + 2y = e2x
8) xy0 � 3y = x5; x > 0
9) y0 + y cot gx = cscx
10) xy0 + y + x = ex; x > 0
1
11) xy0 + (1 + x)y = 5; x > 0
12) y0 + y cot gx = 4x2 csc x
13) y0 + ytgx = sinx
14) xy0 + (2 + 3x)y = xe�3x; x > 0
15) (x+ 4)y0 + 5y = x2 + 8x+ 16
16) x�1y0 + 2y = 3; x > 0
17) y0 + 3x2y = x2 + e�x
3
18) y0 + ytgx = cos3 x:
3a) Resolva cada problema de valor inicial abaixo.
1) xy0 � y = x2 + x com y(1) = 2; x > 0
2) y0 + 2y = e�3x com y(0) = 2
3) xy0 + y + xy = e�x com y(1) = 0; x > 0
4) y0 + 2xy � e�x2 = x com y(0) = 1
5) xy0 + 2y = sinx com y(�) =
1
�
; x > 0
6) y0 � y = 2xe2x com y(0) = 1
7) y0 + 2y = xe�2x com y(1) = 0
8) y0 + y =
1
1 + x2
com y(0) = 0
9) y0 +
2
x
y =
cosx
x2
com y(�) = 0; x > 0
10) y0 � 2y = ex com y(0) = 2:
4a) Determine a solução de
dy
dx
=
1
ey � x (Sugestão: Considere x como a variável de-
pendente em lugar de y).
5a) Mostre que �(x) = e2x é solução de y0� 2y = 0; e que y = C�(x) é também solução
desta equação para qualquer valor da constante C:
2
6a) Mostre que �(x) =
1
x
é solução de y0 + y2 = 0; para x > 0; mas que y = C�(x) não
é solução desta equação: (Obs.: Note que a equação acima não é linear)
7a) Mostre que, se y = �(x) é solução de y0 + p(x)y = 0; então y = C�(x) é também
solução para qualquer valor da constante C:
8a) Seja y = y1(x) solução de y0+p(x)y = 0; e seja y = y2(x) solução de y0+p(x)y = g(x):
Mostre que y = y1(x) + y2(x) é também solução da equação y0 + p(x)y = g(x):
EDOs SEPARÁVEIS
9a) Resolva cada Equação Diferencial Ordinária dada abaixo.
1)
dy
dx
=
x2
y
2)
dy
dx
=
x2
y(1 + x3)
3) y0 + y2 sin x = 0
4) y0 = 1 + x+ y2 + xy2
5) xy0 = (1� y2) 12
6)
dy
dx
=
x� e�x
y + ey
7)
dy
dx
=
x2
1 + y2
8) sec xdy � 2ydx = 0
9) x2dy � csc(2y)dx = 0
10) xdy � ydx = 0
11) 3ydx+ (xy + 5x)dy = 0
12) (y + yx2)dy + (x+ xy2)dx = 0
13) ey sin xdx� cos2 xdy = 0
14) ex+2ydx� e2x�ydy = 0
3
15) ey sin xdx+ cos2 xdy = 0
16) cosxdy � ydx = 0
17) xtgy � y0 sec x = 0
18) sin y cosxdx+ (1 + sin2 x)dy = 0
19) y(1 + x3)y0 + x2(1 + y2) = 0
20) y0 = x� 1 + xy � y:
10a) Resolva cada problema de valor inicial abaixo.
1) 2y2y0 = 3y � y0 com y(3) = 1
2)
p
xy0 �py = xpy com y(9) = 4
3) xdy � (2x+ 1)e�ydx = 0 com y(1) = 2
4) sec 2ydx� cos2 xdy = 0 com y(
�
4
) =
�
6
5) (xy + x)dx+
p
4 + x2dy = 0 com y(0) = 1
6) xdy �
p
1� y2dx = 0 com y(1) =
1
2
7) cot gxdy � (1 + y2)dx = 0 com y(0) = 1
8) csc ydx� exdy = 0 com y(0) = 0
9) sin 2xdx+ cos 3ydy = 0 com y(
�
2
) =
�
3
10) xdx+ ye�xdy = 0 com y(0) = 1
11) y0 = xy3(1 + x2)�
1
2 com y(0) = 1
12)
dy
dx
=
2x
y + x2y
com y(0) = �2
13)
dy
dx
=
2x
1 + 2y
com y(2) = 0:
11a) Resolva a equação
dy
dx
=
ax+ b
cx+ d
; onde a; b; c e d são constantes.
4
12a) Resolva a equação
dy
dx
=
ay + b
cy + d
; onde a; b; c e d são constantes.
13a) Mostre que a equação
dy
dx
=
y � 4x
x� y não é separável, mas se a variável y é substituida
por uma nova variável v; de�nida por v =
y
x
; então a equação se torna separável em x e v:
Determine a solução da equação dada usando esta técnica.
EDOs EXATAS
14a) Determine se cada uma das equações abaixo é ou não exata. Se for exata, encontre
a solução.
1) (y � x2)� (y2 � x)y0 = 0
2) (4x2y3 � 2y) + (4x3y2 � 2x)y0 = 0
3) (cos y + y cosx) + (sinx� x sin y)y0 = 0
4) (3y + 1) + (3y2 + 3x)y0 = 0
5) (4x3 + y2exy
2
) + (2xyexy
2 � 3y2)y0 = 0
6) (
y2
2
� 2yex) + (xy � 2ex)y0 = 0
7) 2xy3 + 3x2y2y0 = 0
8) (3x2 + 4xy) + (xy � 2ex)y0 = 0
9) (3xy + y2) + (
3x2
2
+ 2xy)y0 = 0
10) (8xy2 + 3x2y) + (12y2 + 8x2y + x3)y0 = 0
11) (
y2ex
2
+ 2ye2x) + (yex + e2x)y0 = 0
12) (3x2y + 2x cos y) + (x3 � y � x2 sin y)y0 = 0
13) (2x+ x4exey + 4x3exey) + (x4exey + 2y)y0 = 0
14) (2x+ 3) + (2y � 2)y0 = 0
15) (2x+ 4y) + (2x� 2y)y0 = 0
5
16) (9x2 + y � 1)� (4y � x)y0 = 0
17) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y0 = 0
18)
dy
dx
= �ax+ by
bx+ cy
19)
dy
dx
= �ax� by
bx� cy
20) (ex sin y � 2y sin x)dx+ (ex cos y + 2 cosx)dy = 0
21) (ex sin y + 3y)dx� (3x� ex sin y)dy = 0
22) (yexy cos 2x� 2exy sin 2x+ 2x)dx+ (xexy cos 2x� 3)dy = 0
23) (
y
x
+ 6x)dx+ (lnx� 2)dy = 0; x > 0
24) (x ln y + xy)dx+ (y lnx+ xy)dy = 0; x > 0; y > 0
25)
xdx
(x2 + y2)
3
2
+
ydy
(x2 + y2)
3
2
= 0:
15a) Determine o valor de b que torna cada uma das seguintes equações exatas e então
as resolva, usando este valor de b:
1) (xy2 + bx2y)dx+ (x+ y)x2dy = 0
2) (ye2xy + x)dx+ bxe2xydy = 0.
16a) Mostre que qualquer equação separável da forma M(x) + N(y)y0 = 0 é também
exata.
FATORES INTEGRANTES
17a) Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas se tornam exatas quando
multiplicadas pelo fator integrante dado. Resolva então as equações.
1) x2y3 + x(1 + y2)y0 = 0; �(x; y) =
1
xy3
2) (
sin y
y
� 2e�x sin x)dx+ (cos y + 2e
�x cosx
y
)dy = 0; �(x; y) = yex
3) ydx+ (2x� yey)dy = 0; �(x; y) = y:
6
18a) Mostre que, se (Nx �My)=M = Q; onde Q é função de y apenas, então a equação
diferencial M +Ny0 = 0 tem um fator integrante da forma �(y) = exp
Z y
Q(t)dt.
19a) Mostre que, se (Nx�My)=(xM �yN) = R; onde R depende apenas da quantidade
xy, então a equação diferencial M + Ny0 = 0 tem um fator integrante da forma �(t) =
exp
Z
R(t)dt, onde t = xy:
20a) Em cada um dos problemas abaixo, determine o fator integrante e resolva a equação
dada.
1) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0
2) y0 = e2x + y � 1
3) dx+ (
x
y
� sin y)dy = 0
4) ydx+ (2xy � e�2y)dy = 0
5) exdx+ (ex cot gy + 2y csc y)dy = 0
6) (3x+
6
y
) + (
x2
y
+ 3
y
x
)
dy
dx
= 0:( Sugestão: Use a questão 19a) )
EDOs HOMOGÊNEAS
21a) Resolva as equações abaixo mostrando, inicialmente, que elas são homogêneas.
1)
dy
dx
=
y2 + 2xy
x2
2)
dy
dx
=
x+ y
x
3) 2ydx� xdy = 0
4)
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
5)
dy
dx
=
x2 + 3y2
2xy
6)
dy
dx
=
4y � 3x
2x� y
7)
dy
dx
=
�4x� 3y
2x+ y
7
8)
dy
dx
=
x+ 3y
x� y
9) (x2 + 3xy + y2)dx� x2dy = 0
10)
dy
dx
=
x2 + y2
x2
:
EQUAÇÕES DE BERNOULLI
22a) Resolva as equações abaixo:
1) x
dy
dx
+ y =
1
y2
2)
dy
dx
� y = exy2
3)
dy
dx
= y(xy3 � 1)
4) x
dy
dx
� (1 + x)y = xy2
5) x2
dy
dx
+ y2 = xy
6) 3(1 + x2)
dy
dx
= 2xy(y3 � 1):
APLICAÇÕES
23a) Um corpo a 100oC é posto numa sala, onde a temperatura ambiente se mantém
constante a 25oC: Após 5min a temperarura do corpo caiu para 90oC: Decorrido quanto
tempo estará o corpo a 50oC ?
24a) Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20oC; é colocada em
um recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para a barra atingir 90oC se sua
temperatura aumentar 2oC em 1 seg ? Quanto tempo levará para a barra atingir 98oC ?
25a) Um corpo a 100oC é posto numa sala de temperatura desconhecida, mas que é
mantida constante. Sabendo que após 10min o corpo está a 90oC e após 20min a 82oC;
calcule a temperatura da sala.
8
26a) Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temper-
atura era contante em 70oF: No instante da descoberta a temperatura do corpo foi medido e
era 85oF: Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que a temperatura do corpo era
80oF: Suponha que o momento da morte corresponde a t = 0 e que a temperatura naquele
momento era 98; 6oF: Determine quantas horas se passaram antes da descoberta do corpo.
[Sugestão: Faça t1 > 0 denotar o instante em que o corpo foi descoberto].
27a) Um reator regenerador converteurânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio
239: Depois de 15 anos determinou-se que 0; 043% da quantidade inicial A0 de plutônio
desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração for proporcional
à quantidade presente.
28a) Einsteinio 253 decai numa taxa proporcional à quantidade presente. Determine a
meia-vida, se este material perde um terço de sua massa em 11; 7 dias.
29a) O rádio 226 tem a meia-vida de 1600 anos. Achar o intervalo de tempo durante o
qual uma amostra deste nuclídeo se reduz a três quartos da sua massa original.
30a) Foi encontrado um osso fossilizado que contém um milésimo da quantidade original
de C� 14: Sabendo-se que a meia-vida do carbono C� 14 é de aproximadamente 5600 anos,
determine a idade do fóssil, se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade presente.
31a) Arqueologistas usaram pedaços de madeira queimada ou carvão encontrados em
um sítio para datar pinturas pré-históricas e desenhos nas paredes e no teto de uma caverna
em Lascaux, França. Sabendo-se que a meia-vida do carbono C � 14 é de aproximadamente
5600 anos, determine a idade aproximada de um pedaço de madeira queimado, se tivesse
sido descoberto que 85; 5% do C � 14 encontrado em árvores vivas da mesma espécie havia
decaído.
32a) Sabe-se que a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao
número de pessoas presentes no instante t: Se a população dobrou em 5 anos, quanto levará
para triplicar ?
9
33a) A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao
número de bactérias presentes no instante t: Após três horas, observou-se a existência de
400 bactérias. Após dez horas, observou-se 2000 bactérias. Qual era o número inicial de
bactérias ?
34a) Uma cultura tem inicialmente P0 bactérias. Em 1h; o número medido de bactérias
é de
3
2
P0: Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias presente no
instante t; P (t); determine o tempo necessário para triplicar o número de bactérias.
35a) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população presente
em um instante t: A população inicial de 500 cresce em 15% em 10 anos. Qual será a
população em 30 anos ?
36a) Suponha que um estudante portador de um vírus da gripe retorne para um campus
isolado de 1000 estudantes. Supondo que a taxa segundo a qual o vírus se espalha seja
proporcional não somente ao número x de estudantes infectados, mas também ao número de
estudantes não infectados, determine o número de infectados após 6 dias se for observado
que após 4 dias x(4) = 50:
37a) Quando juros são compostos continuamente, o valor em dinheiro cresce a uma taxa
proporcional à quantia S presente no instante t; isto é,
dS
dt
= rS; onde r é a taxa de juros
anual.
(a) Determine a quantia acumulada ao �m de cinco anos quandoR$ 5000 for deposi-
tado em uma poupança com rendimento de 5% de juros anuais compostos continuamente.
(b) Em quantos anos a quantia inicial depositada dobrará ?
38a) Considere a equação
dP
dt
= 0; 5P � 450; que descreve a interação de determinadas
populações de ratos do campo e corujas, onde t é medido em meses.
(a) Encontre o instante em que a população é extinta se P (0) = 850:
(b) Encontre o instante de extinção se P (0) = P0; onde 0