2- Números Complexos-2024

Prévia do material em texto

ou 
 
É um número composto de uma Real e uma parte
Imaginária.
Sendo:
Como, na realidade, a raiz quadrada de um número
negativo não existe, i é chamado de Imaginário.
Na eletricidade adota-se:
Prof. Mario F. G. Boaratti
2024
 
Quando um número real é multiplicado por i ou j, este 
se torna imaginário. Exemplo :
 ou 
� Forma Cartesiana ou Retangular
� a e R são reais
� b e I são imaginários
Exemplo: Z = 5,3 + j 3,5
1 / 9
y
x
Z = 5,3 + j3,5
Pponto
R = 5,3
I = j3,5
� Forma Cartesiana ou Retangular
R no eixo x e I no eixo y
Prof. Mario F. G. Boaratti
� Forma polar
O número é representado pelo módulo e o ângulo de 
um vetor.
y
x
P
R = 5,3
I = j3,5
| Z |
θ
Ângulo entre o segmento OP e o eixo x
Módulo: comprimento do segmento
que liga a origem ao ponto P
 
 
 
O
2 / 9
� Da forma Cartesiana para a Polar
Usando o teorema de Pitágoras.
 ou, 
 
 
Argumento
 
 ou 
 ou 
Exemplo:
Atenção, quando:
a- e b+ : some 180° ou p
a- e b- : subtraia 180° ou p
Obs.: a tecla Pol 
das calculadoras 
Casio ou Hp 
equivalente já 
cuidam destes 
ajustes.
Prof. Mario F. G. Boaratti
a
b
-b
-a
y
x
P
a
b
| Z |
θ
 e 
 e 
 ou, 
 
� Da forma Polar para a Cartesiana
3 / 9
1. Converta de retangular para polar (θ em graus e rad).
2. Converta de polar para retangular.
a) 
b) 
c) 
d) 
a) 
b) 
c) 
d) 
Prof. Mario F. G. Boaratti
e = 2,71828182 ...
 
 
 
Também:
4 / 9
 
 
 
 
Sabendo que:
Usando Euler temos:
(Número complexo na forma exponencial)
Exemplo:
Exercícios: a) Demonstre que je
j
=
p
2
b) Resolva
Prof. Mario F. G. Boaratti
 
 
 
� Forma retangular
Sendo
� Forma polar: Pela fórmula de Euler:
Logo:
5 / 9
 
 
 
� Soma algébrica de números complexos:
 
 
 
 
 
� Multiplicação:
a) Forma retangular:
Exemplo:
Prof. Mario F. G. Boaratti
b) Forma polar:
Multiplicam-se os módulos e somam-se os ângulos.
Exemplo:
c) Forma exponencial:
Multiplicam-se os módulos e somam-se os expoentes.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
 
 
 
 
 
 
 
6 / 9
� Multiplicação pelo seu conjugado:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma exponencial
Forma Polar
Forma Cartesiana
Prof. Mario F. G. Boaratti
� Divisão de números complexos:
a) Forma retangular:
b) Forma polar:
 
 
 
 
 
 
Multiplica e divide
pelo conjugado do
denominador
Formas Polar e 
Exponencial:
Divide os módulos e 
subtrai os argumentos
c) Forma exponencial:
 
( )
7 / 9
 
 
 
 
 
Exemplo:
Ou,
Prof. Mario F. G. Boaratti
 
 
A parte real do resultado de uma soma de
números complexos é igual a soma das partes reais das
parcelas, ou seja:
Na forma exponencial ou polar:
Prof. Mario F. G. Boaratti
8 / 9
 
 
 
1. Qual o módulo e o argumento de ?
2. Converter para a forma exponencial:
3. Qual a forma polar em graus de ?
4. Repetir o exercício 3 colocando na forma exponencial
em radianos.
Prof. Mario F. G. Boaratti
 
 
 
 
 
 
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Faça as operações em números complexos
Prof. Mario F. G. Boaratti - 2024
9 / 9