A1 calculos avançado

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José Weyverton Santos Campina
FMU – ENGENHARIA ELÉTRICA 
Contextualização
Prezado(a) Estudante,
Como já é sabido o teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema de Green (que trata de integrais sobre contorno fechados, em que se é necessário distinguir entre as duas orientações possíveis do contorno, uma das quais é escolhida como a orientação positiva), para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformar determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa.
Proposta
Com base no teorema de Stokes ou no processo de cálculo direto (sem o teorema de Stokes), calcule, apresentando os cálculos, o valor da integral:
Onde:
Com:
Sendo , a normal apontando para cima.
Submeta o arquivo de sua resposta para avaliação docente.
Bons estudos!
Para calcular diretamente a integral de superfície
 
onde e a superfície é dada por para , com a normal apontando para cima, seguimos os seguintes passos:
1. Parametrização da Superfície
A superfície pode ser parametrizada como:
para 
2. Vetores Tangentes
Os vetores tangentes são:
 
O vetor normal é obtido pelo produto vetorial:
Calculando:
3. Cálculo do Elemento de Área
O elemento de área é:
Onde
Portanto,
 
4. Produto Escalar
Calculamos agora o produto escalar :
Substituindo :
Expandindo:
5. Integral
Agora integramos sobre a região :
 
Mudança para Coordenadas Polares
Como a região de integração é o disco , é conveniente usar coordenadas polares:
 
Substituindo os valores na expressão obtida anteriormente:
 
Em coordenadas polares:
O módulo do vetor normal continua sendo:
Então a integral se torna:
Separação e Avaliação das Integrais
A integral dupla pode ser avaliada separadamente em e . Devido à simetria trigonométrica, algumas dessas integrais se anulam. Assim, ao realizar a integração, encontramos o resultado.
Após resolver os cálculos integrais detalhados (incluindo substituições e mudanças de variável), o valor final da integral é zero (0).
Isso acontece porque os termos no integrando são simétricos em relação ao eixo e se cancelam na integração sobre o disco.