Resumo Matemática: Conjuntos, Medidas, Equações

Prévia do material em texto

M
AT
ÉR
IA
sumário
Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais ............................................. 1
Sistema legal de medidas .............................................................................................. 14
Razões e proporções: divisão proporcional ................................................................... 19
Regras de três simples e compostas ............................................................................. 26
Matemática financeira: porcentagens. Juros simples e compostos ............................... 28
Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente ............. 32
Equações e inequações de 1º e de 2º graus ................................................................. 42
Sistemas lineares ........................................................................................................... 50
Funções e gráficos ......................................................................................................... 54
Progressões aritméticas e geométricas ......................................................................... 65
Princípios de contagem e noções de probabilidade ....................................................... 70
Geometria plana: polígonos, perímetros e áreas; semelhança de triângulos; trigono-
metria do triângulo retângulo .......................................................................................... 77
Geometria espacial: áreas e volumes de sólidos ........................................................... 87
Noções de estatística: gráficos e tabelas; médias, moda, mediana e desvio-padrão .... 92
Questões ........................................................................................................................ 105
Gabarito .......................................................................................................................... 112 Ma
te
má
ti
ca
Embrapa
Matemática
1
Conjuntos numéricos: números inteiros, racionais e reais
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra maiúscula ℤ e compreende os números inteiros 
negativos, positivos e o zero.
ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
ℤ- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
ℤ*
+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
ℤ*
- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica 
inteira. Ele é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua soma resulta em zero; dessa forma, os pontos 
que os representam na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o 
oposto, ou simétrico, de “a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio zero.
2
Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a ideia de ganhar aos números inteiros positivos 
e a ideia de perder aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3) = 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser omitido, mas o sinal (–) antes do número 
negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que subtrair dois números inteiros é equivalente a 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, etc., precedidos de sinal negativo têm seu 
sinal invertido, ou seja, representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. 
Podemos entender essa situação como ganhar repetidamente uma determinada quantidade. Por exemplo, 
ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas significa ganhar 15 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Na multiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum 
sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro (diferente de zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
No conjunto dos números inteiros ℤ, a divisão não é comutativa, não é associativa, e não possui a propriedade 
da existência do elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por zero. Quando dividimos zero 
por qualquer número inteiro (diferente de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
3
Regra de sinais
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado 
a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a , ou seja, a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
4
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro 
a. Esse processo resulta em outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à 
potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz é representado por n, e o número a é conhecido como 
radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo 
quadrado é igual ao número original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto 
dos números inteiros.
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um 
número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, 
quando elevado ao cubo, é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, 
não restringimos nossos cálculos apenas a números não negativos.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c em ℤ
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
5
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elementoextraindo a raiz quadrada de ambos os lados.
48
Exemplo: Resolver 3x2 −12 = 0.
Passo 1: Isolamos o termo x2:
3x2 = 12
Passo 2: Dividimos ambos os lados por 3:
x2 = 4
Passo 3: Extraímos a raiz quadrada dos dois lados. Lembrando que existem duas soluções possíveis para 
x, uma positiva e outra negativa:
x = ±√4
x = ±2
Portanto, as soluções são x1 = 2 e x2 = −2.
2) Quando c = 0
Neste caso, a equação tem a forma:
ax2 + bx = 0
Aqui, o coeficiente c está ausente, o que nos permite colocar o fator comum x em evidência. Isso transforma 
a equação em um produto de dois termos iguais a zero. Em seguida, resolvemos cada fator separadamente.
Exemplo: Resolver 2x2 + 5x = 0.
Passo 1: Colocamos x em evidência:
x(2x + 5) = 0
Passo 2: Agora, para que o produto seja zero, um dos fatores deve ser igual a zero. Assim, temos duas 
possibilidades:
x = 0 ou 2x +5 = 0
Passo 3: Resolva a segunda equação para encontrar a outra solução:
2x = −5
x = −5/2 
Portanto, as soluções são x1 = 0 e x2 = −5/2
3) Quando b = 0 e c = 0
Neste caso, a equação tem a forma mais simples de todas:
ax2 = 0
Aqui, tanto b quanto c são iguais a zero. A solução é ainda mais direta, pois basta dividir ambos os lados por 
a e, em seguida, extrair a raiz quadrada de zero.
Exemplo: Resolver 3x2 = 0.
Passo 1: Dividimos ambos os lados por 3:
x2 = 0
Passo 2: Extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:
x = √0
x = 0
Portanto, a única solução é x = 0.
49
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma inequação é do 2º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 2. Podem assumir as seguintes 
formas:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + cdas Funções
Em uma função f: A → B o conjunto A é chamado de domínio (D) e o conjunto B recebe o nome de 
contradomínio (CD).
Um elemento de B relacionado a um elemento de A recebe o nome de imagem pela função. Agrupando 
todas as imagens de B temos um conjunto imagem, que é um subconjunto do contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a 
relação entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do conjunto A é transformado 
em 2x no conjunto B.
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, “multiplicar por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 
6, 8}, que se ligam aos elementos de A, são os valores de saída.
Portanto, para essa função:
- O domínio é {1, 2, 3, 4};
- O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
- O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}.
56
TIPOS DE FUNÇÕES
As funções recebem classificações de acordo com suas propriedades. Confira a seguir os principais tipos.
— Função Sobrejetora
Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Portanto, todo elemento de B é imagem 
de pelo menos um elemento de A.
Notação: f: A → B, ocorre a Im(f) = B
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-4, -2, 2, 3};
- O contradomínio é {12, 4, 6};
- O conjunto imagem é {12, 4, 6}.
— Função Injetora
Na função injetora todos os elementos de A possuem correspondentes distintos em B e nenhum dos 
elementos de A compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, podem existir elementos em B que 
não estejam relacionados a nenhum elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {0, 3, 5};
- O contradomínio é {1, 2, 5, 8};
- O conjunto imagem é {1, 5, 8}.
57
— Função Bijetora
Na função bijetora os conjuntos apresentam o mesmo número de elementos relacionados. Essa função 
recebe esse nome por ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Para a função acima:
- O domínio é {-1, 1, 2, 4};
- O contradomínio é {2, 3, 5, 7};
- O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}.
— Função Inversa
A inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. 
Vejamos a figura abaixo:
Destacamos que:
– A função f “leva” o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f-1, “traz de volta” o valor - 16 até o 
valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2.
– Outra maneira de entender essa ideia é a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a inversa, 
f-1, associa o valor -2 ao valor -16.
– Dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, invertendo 
as colunas x e y.
– Se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número de volta. 
Seja f: A → B uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f -1 é a função f -1: B → A , 
com domínio B e imagem A tal que: 
f-1(f(a)) = a para a ∈ A e f(f-1(b)) = b para b ∈ B
58
 Assim, podemos definir a função inversa f -1 por: x = f -1(y) ↔ y = f(x), para y em B.
Fonte: https://lh3.googleusercontent.com
FUNÇÃO PAR
Quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos f(x)=f(-x), ∀ x ∈ D(f). Ou seja, os valores simé-
tricos devem possuir a mesma imagem. 
FUNÇÃO ÍMPAR
Quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ D(f). Ou seja, os elementos 
simétricos do domínio terão imagens simétricas.
FUNÇÃO AFIM
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais3. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa 
de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.
3 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
59
Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e 
calcular o valor correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois 
pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente 
angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois 
sendo x = 0, temos:
y = a.0 + b → y = b
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
60
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos 
iguais, conforme indicado na imagem abaixo:
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).
61
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se 
a for negativo, a função será decrescente.
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é 
decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
62
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela 
seguinte expressão4:
f(x) = ax² + bx + c
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = 2x² + 3x + 5,
sendo,
a = 2
b = 3
c = 5
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.
— Como resolver uma função quadrática
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:
Exemplo: Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax² + bx + c, sendo:
f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:
f (-1) = 8
a (-1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)
f (0) = 4
a . 0² + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)
f (2) = 2
a . 2² + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e 
b):
(Equação I)a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:
4 https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/
63
(Equação III)
4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:
(Equação I)
a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:
a = 1
b = - 3
c = 4
— Raízes da Função
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da 
função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:
f(x) = ax² +bx + c = 0
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é 
aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:
Exemplo: Encontre os zeros da função f(x) = x² – 5x + 6.
Sendo:
a = 1
b = – 5
c = 6
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
64
Portanto, as raízes são 2 e 3.
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: 
Δ = b² – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.
Assim,
- Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
- Se Δ 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
- Se Δ 0, PA crescente
r = 0, PA constante
Propriedades das Progressões Aritméticas
-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.
-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2
66
Termo Geral da PA
Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo 
menos uma unidade.
an = a1 + (n - 1)r
Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
Considerando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).
6 e 34 são extremos, cuja soma é 40
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética.
Sn - Soma dos primeiros termos
a1 - primeiro termo
an - enésimo termo
n - número de termos
Exemplo
Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o 
primeiro termo?
67
Solução
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à sua 
esquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão:
Sabemos também que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma 
dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o 
valor de metade da soma dos extremos.
Em notação matemática temos:
Assim sendo:
O primeiro termo desta sucessão é igual a -14.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Denomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, 
multiplicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG.
Exemplo
Dada a sequência: (4, 8, 16)
a1 = 4
a2 = 4 . 2 = 8
a3 = 8 . 2 = 16
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 0 e 0 1.
68
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q 1
A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a série é divergente
3º Caso: |q| = 1
Também não possui soma finita, portanto divergente
Produto dos termos de uma PG finita
70
Princípios de contagem e Noções de probabilidade
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que 
permitem resolver problemas relacionados com contagem5.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações 
possíveis entre um conjuntode elementos.
— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o 
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco 
de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, 
cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras 
um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, 
conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos 
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes 
possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
5 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
71
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número 
de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
72
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
73
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer6.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a 
medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
6 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
74
— Fórmula da Probabilidade
Em umfenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
— Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
— Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos 
amostrais, ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
75
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
— Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
— Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o 
evento “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
— Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
76
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face 
superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
— Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada 
por:
— Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher 
(evento A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
77
Geometria plana: polígonos, perímetros e áreas; semelhança de triângulos; trigonome-
tria do triângulo retângulo
POLÍGONOS 
Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Ou seja, são 
figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.
Elementos de um polígono
• Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos.
• Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos.
• Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos
• Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos
• Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo.
Classificação 
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela.
Fórmulas
Diagonais de um vértice: dv = n – 3.
Total de diagonais: 
Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°.
78
Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma constan-
te, isto é, Se = 360°.
Polígonos Regulares
Um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes (iguais) e todos os ângulos 
congruentes. Para os polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das quatro acima:
Ângulo interno: 
Ângulo externo: 
Semelhança de Polígonos
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados corres-
pondentes são proporcionais. 
Exemplo:
Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número de diago-
nais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia:
(A) Triangular
(B) Quadrangular
(C) Pentagonal
(D) Hexagonal
(E) Decagonal
Resolução:
Sendo d o número de diagonais e n o número de lados, devemos ter:
Resposta: C
79
PERÍMETROS E ÁREAS
A seguir, exploraremos as fórmulas necessárias para calcular o perímetro e a área de diferentes figuras 
geométricas planas, como triângulos, quadrados, retângulos, círculos e outros polígonos, aprofundando nosso 
entendimento dessas importantes propriedades.
− Perímetro: Medida total do contorno de uma figura geométrica, somando o comprimento de todos os seus 
lados.
− Área: Medida da superfície interna de uma figura geométrica, indicando seu tamanho.
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é um polígono que satisfaz as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
80
Tipos de quadriláteros
• Trapézio: 2 lados paralelos. Nesse caso abaixo, AB é paralelo a DC.
Área = [(B + b) . h]⁄2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura.
• Losango: 4 lados congruentes
Área = (D . d)⁄2, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor.
• Retângulo: 4 ângulos retos (90º graus)
Área = b.h, ondeb é a medida da base e h é a medida da altura.
• Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Área = L2, onde L é a medida do lado
Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse-
trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
TRIÂNGULOS
Um triângulo é uma figura geométrica planas formada por três segmentos de reta que se encontram em três 
pontos não alinhados, chamados vértices, e que formam três ângulos internos.
81
Elementos
• Mediana
A mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo 
triângulo tem três medianas.
Na figura, AM é uma mediana do ∆ABC.
• Bissetriz interna
A bissetriz interna de um triângulo é o segmento que divide um ângulo interno em duas partes iguais e se 
estende do vértice desse ângulo até o ponto de interseção com o lado oposto. Todo triângulo tem três bissetri-
zes internas.
Na figura, AS é uma bissetriz interna do ∆ABC.
• Altura
A altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é 
perpendicular a esse lado. Todo triângulo tem três alturas.
Na figura, AH é uma altura do ∆ABC.
82
• Mediatriz 
A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de AB.
Logo, a mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo que é mediatriz de um dos seus lados. 
Todo triângulo tem três mediatrizes.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado BC do ∆ABC.
Classificação
- Quanto aos lados
• Triângulo escaleno: três lados desiguais.
• Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
83
• Triângulo equilátero: três lados iguais.
- Quanto aos ângulos
• Triângulo acutângulo: tem os três ângulos agudos.
• Triângulo retângulo: tem um ângulo reto.
• Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. 
Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.
84
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as 
mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
• 1º Caso: AA(ângulo - ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices correspondentes, então esses triângulos são 
congruentes.
 
• 2º Caso: LAL(lado - ângulo - lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles 
congruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
• 3º Caso: LLL (lado - lado - lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcionais, então esses dois triângulos são seme-
lhantes.
85
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo ABC.
AB : hipotenusa = c
BC: cateto oposto a A e adjacente a B = a
AC: cateto adjacente a A e oposto a B = b
Temos:
86
Fórmulas Trigonométricas
Existe uma importante relação entre seno e cosseno de um ângulo, conhecida como relação fundamental. 
Considere o triângulo retângulo ABC.
Neste triângulo, temos que: c² = a² + b²
Dividindo os membros por c²
Como
Todo triângulo que tem um ângulo reto é denominado triangulo retângulo.
O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
87
Geometria espacial: áreas e volumes de sólidos
O volume é uma propriedade fundamental dos sólidos geométricos, representando o espaço que ocupam. 
Este conceito é essencial tanto para aplicações práticas quanto teóricas, permitindo-nos calcular a capacidade 
de recipientes, a eficiência de embalagens e muito mais.
Cilindros
Considere dois planos, α e β, paralelos, um círculo de centro O contido num deles, e uma reta s concorrente 
com os dois.
Chamamos cilindro o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a s, com extremida-
des no círculo e no outro plano.
Classificação
Reto: Um cilindro se diz reto ou de revolução quando as geratrizes são perpendiculares às bases. 
Quando a altura é igual a 2R(raio da base) o cilindro é equilátero.
Oblíquo: faces laterais oblíquas ao plano da base.
Área
Área da base: Sb=πr²
88
Volume
Cones
Na figura, temos um plano α, um círculo contido em α, um ponto V que não pertence ao plano.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade no pon-
to V e a outra num ponto do círculo denomina-se cone circular.
Classificação
-Reto: eixo VO perpendicular à base;
Pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone 
reto é também chamado de cone de revolução.
Quando a geratriz de um cone reto é 2R, esse cone é denominado cone equilátero.
g2 = h2 + r2
-Oblíquo: eixo não é perpendicular
89
Área
Volume
Pirâmides
As pirâmides são também classificadas quanto ao número de lados da base. 
Área e Volume 
Área lateral: Sl = n. área de um triângulo
Onde n = quantidade de lados
Stotal = Sb + Sl
Prismas
Considere dois planos α e β paralelos, um polígono R contido em α e uma reta r concorrente aos dois.
90
Chamamos prisma o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremida-
des no polígono R e no plano β.
Assim, um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas cujas outras faces são paralelo-
gramos obtidos ligando-se os vértices correspondentes das duas faces paralelas.
Classificação
Reto: Quando as arestas laterais são perpendiculares às bases
Oblíquo: quando as faces laterais são oblíquas à base.
PRISMA RETO PRISMA OBLÍQUO
Classificação pelo polígono da base
TRIANGULAR QUADRANGULAR
E assim por diante...
91
Paralelepípedos
Os prismas cujas bases são paralelogramos denominam-se paralelepípedos.
PARALELEPÍPEDO RETO PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO
Cubo é todo paralelepípedo retângulo com seis faces quadradas.
Prisma Regular
Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o prisma é dito regular.
As faces laterais são retângulos congruentes e as bases são congruentes (triângulo equilátero, hexágono 
regular,...)
Área
Área cubo: St = 6a2
Área paralelepípedo: St = 2(ab + ac + bc)
A área de um prisma: St = 2Sb + St
Onde: St = área total
Sb = área da base
Sl = área lateral, soma-se todas as áreas das faces laterais.
Volume
Paralelepípedo: V = a . b . c
Cubo: V = a³
Demais: V = Sb . h
92
Noções de Estatística: gráficos e tabelas; médias, moda, mediana e desvio-padrão
TABELAS E GRÁFICOS
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em formas 
de tabelas e gráficos7, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, entre outros. 
Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão desses elementos é 
fundamental para a leitura de informações e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões é 
chamada de Estatística.
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor leitura e 
interpretação. Exemplo:
Fonte: SEBRAE
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado para 
evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos.
Tipos de Gráficos
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo perío-
do de tempo.
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por segmen-
tos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a linha oferecem 
informaçõessobre o comportamento da amostra. Exemplo:
7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . https://www.infoenem.com.br
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br
93
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há uma 
grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem ser coloca-
dos acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e horizontais.
Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos de-
terminados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de barras 
verticais. Exemplo:
Gráfico de barras horizontais: as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os pontos 
determinados pelos pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por meio de barras 
horizontais. Exemplo:
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela represen-
tada.
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo.
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências de 
classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é dada por:
Onde:
Ft = frequência total
94
Exemplo
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples:
400 --- 100%
160 --- x
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente.
Aplicando a fórmula teremos:
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção da 
área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico será de-
marcada da seguinte maneira:
95
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico:
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais, revistas e 
outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são desenhos ilustrativos. 
Exemplo:
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área 
igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densida-
de de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns 
autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar 
distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. 
Exemplo:
96
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das clas-
ses. Exemplo:
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascenden-
te utilizando os pontos extremos.
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políti-
cas.
97
Interpretação de tabelas e gráficos
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações:
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal, para 
então fazer a leitura adequada do gráfico;
- Fazer a leitura isolada dos pontos.
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado.
Exemplos
(Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a 
essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comer-
cialização dos produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agrone-
gócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006.
D) 2003 e 2007.
E) 2003 e 2008.
Resolução
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no PIB 
brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta do gráfico: 
em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 
2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar.
Resposta: C
98
(Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros qua-
drados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de 
junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo 
do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. 
Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionan-
do derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em
(A)1995. 
(B)1998. 
(C) 2000.
(D)2005.
(E)2007.
Resolução
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a resolução 
da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e consequentemente ao res-
friamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor será o resfriamento e portanto 
maior será o aquecimento global.
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007.
Resposta: E
99
Mais alguns exemplos:
01. Todos os objetos estão cheios de água.
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no caso, o 
litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
02. No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos federais 
no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais.
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais.
(C) manteve-se constante nos quatro anos.
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos.
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais.
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são estatísticas que resumem um conjunto de dados, representando o 
ponto central em torno do qual os dados estão distribuídos. Essas medidas são fundamentais na análise esta-
tística, pois fornecem uma visão concisa da informação contida em uma grande quantidade de dados. As três 
medidas de tendência central mais comuns são a média aritmética, a mediana e a moda. 
100
Média aritmética (x)
A média aritmética nos permite resumir um conjunto de números em um único valor representativo. Existem 
dois tipos principais de média: a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. 
– Média simples
A média aritmética simples é calculada somando todos os valores de um conjunto e dividindo essa soma 
pelo número total de elementos. Ela é utilizada quando todos os valores têm a mesma importância.
Fórmula:
Onde:
− x é a média aritmética.
− ∑xi é a soma de todos os valores do conjunto.
− n é o número total de elementos.
Exemplo: Calcule a média das notas de cinco alunos em uma prova. As notas são:
ALUNO NOTA
Aluno 1 6,0
Aluno 2 7,5Aluno 3 8,0
Aluno 4 9,0
Aluno 5 7,0
Passo 1: Somar todas as notas
6,0 + 7,5 + 8,0 + 9,0 + 7,0 = 37,5
Passo 2: Dividir a soma pelo número de alunos
x = = 7,5.
Portanto, a média simples das notas é 7,5.
– Média Ponderada
A média ponderada é usada quando cada valor possui um “peso” diferente, representando a sua importân-
cia relativa. Cada valor é multiplicado pelo seu peso antes de somar e dividir pelo total dos pesos.
Fórmula:
101
Onde:
− xp é a média ponderada.
− xi são os valores do conjunto.
− pi são os pesos atribuídos a cada valor.
− ∑(xi ⋅ pi) é a soma dos produtos dos valores pelos seus respectivos pesos.
− ∑ pi é a soma dos pesos.
Exemplo: Um aluno realizou três avaliações em uma disciplina, e cada avaliação tem um peso diferente na 
composição da média final. Calcule a média ponderada:
AVALIAÇÃO NOTA PESO
Avaliação 1 7,0 2
Avaliação 2 8,5 3
Avaliação 3 9,0 5
Passo 1: Multiplicar cada nota pelo seu peso
7,0 × 2 = 14,0 
8,0 × 3 = 24,0 
9,0 × 5 = 45,0
Passo 2: Somar os produtos obtidos
14,0 + 24,0 + 45,0 = 83,0
Passo 3: Somar todos os pesos
2 + 3 + 5 = 10
Passo 4: Dividir a soma dos produtos pela soma dos pesos
xp = = 8,3
Portanto, a média ponderada é 8,3.
Mediana (Md)
A mediana é um valor estatístico que representa o ponto médio de um conjunto de dados organizados em 
ordem crescente ou decrescente. Ela divide o conjunto ao meio, de forma que metade dos elementos é menor 
ou igual à mediana e a outra metade é maior ou igual à mediana. Existem duas situações a serem consideradas 
ao determinar a mediana: quando o número de elementos (n) é ímpar e quando é par.
– Conjunto com n Ímpar: Quando o número de elementos do conjunto é ímpar, a mediana é o elemento 
que se encontra no meio do conjunto, ou seja, aquele que tem o mesmo número de valores à sua frente e atrás.
– Conjunto com n Par: Quando o número de elementos do conjunto é par, a mediana é a média aritmética 
dos dois valores centrais do conjunto.
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados {12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente
3,7,10,12,18,21,23
Passo 2: Determinar a mediana
Neste conjunto, temos 7 elementos (n = 7), que é um número ímpar. O valor que está no meio é 12.
Portanto, a mediana é Md = 12.
102
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados {10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente
3,7,10,12,18,21,23,25
Passo 2: Determinar a mediana
Neste conjunto, temos 8 elementos (n = 8), que é um número par. Os valores centrais são 12 e 18.
Passo 3: Calcular a média dos valores centrais
Md = = 15
Portanto, a mediana é 15.
Moda (Mo)
A moda é o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. Dependendo da distribuição 
dos valores, um conjunto pode ter:
– Nenhuma moda: Quando todos os valores ocorrem com a mesma frequência.
– Uma moda: Quando um único valor se destaca por aparecer mais vezes que os demais.
– Múltiplas modas: Quando dois ou mais valores têm a mesma frequência máxima, caracterizando um 
conjunto multimodal.
Exemplo: Considere o conjunto de dados {3, 8, 8, 8, 6, 9, 31}.
Aqui, o número 8 aparece três vezes, que é mais do que qualquer outro valor no conjunto. 
Portanto, a moda é 8
Exemplo: Considere o conjunto de dados {1, 2, 9, 6, 3, 5}. 
Neste caso, cada número aparece exatamente uma vez, sem nenhuma repetição. 
Portanto, a moda não existe
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão são estatísticas que indicam o grau de variação ou espalhamento dos dados em 
torno de uma medida de tendência central, como a média. Elas são fundamentais para a análise de conjuntos 
de dados, uma vez que duas distribuições com médias idênticas podem apresentar dispersões muito diferen-
tes. As principais medidas de dispersão são: amplitude, variância, desvio padrão, desvio médio e coeficiente 
de variação.
Amplitude Total
A amplitude é a medida mais simples de dispersão. Ela calcula a diferença entre o maior e o menor valor 
de um conjunto de dados.
Fórmula:
Onde:
− A é a amplitude total.
− xmáx é o maior valor do conjunto de dados.
− xmín é o menor valor do conjunto de dados.
103
Exemplo: Considere o conjunto de dados: {3, 4, 5, 4, 7, 8, 8}.
A = 8 − 3 = 5
Portanto, a amplitude total é 5.
Variância (σ² ou s²)
A variância quantifica o quão distantes os valores estão em relação à média. Ela calcula a média dos qua-
drados das diferenças entre cada valor e a média do conjunto.
Fórmulas:
 − Para uma população:
 − Para uma amostra:
Onde:
− σ2 é a variância populacional.
− s2 é a variância amostral.
− xi são os valores individuais do conjunto de dados.
− x é a média aritmética dos dados (populacional ou amostral).
− n é o número total de elementos do conjunto (para a população).
− n−1 é o número de graus de liberdade (para a amostra).
Exemplo: Considere as pontuações de um jogador de basquete em 8 jogos, representadas pelo conjunto: 
{22, 18, 13, 24, 26, 20, 19, 18}.
Passo 1: Calcule a média:
Passo 2: Calcule a variância:
Portanto, a variância é 10,5.
Desvio Padrão (σ ou s)
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e expressa a dispersão dos dados em unidades do con-
junto original, tornando a interpretação mais fácil. Um desvio padrão alto indica que os dados estão espalha-
dos em torno da média, enquanto um desvio padrão baixo indica que estão mais concentrados.
104
Fórmulas:
 − Para uma população:
 − Para uma amostra:
Onde:
− σ é o desvio padrão populacional.
− s é o desvio padrão amostral.
− xi são os valores individuais do conjunto de dados.
− x é a média aritmética dos dados (populacional ou amostral).
− n é o número total de elementos do conjunto (para a população).
− n−1 é o número de graus de liberdade (para a amostra).
Exemplo: Considere o conjunto de estaturas: {2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m; 2,05 m}.
Passo 1: Calcule a média:
Passo 2: Calcule o desvio padrão:
Portanto, o desvio padrão é 0,07 m.
Desvio Médio
O desvio médio é a média das distâncias absolutas de cada valor até a média. Ele é uma medida intuitiva 
de dispersão, embora seja menos utilizada que o desvio padrão.
Fórmula:
Essa fórmula pode ser aplicada da mesma maneira que o desvio padrão, mas sem elevar as diferenças ao 
quadrado.
105
Coeficiente de Variação (CV)
O coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão que expressa a variabilidade em termos 
percentuais em relação à média. Ele é especialmente útil para comparar a dispersão entre diferentes conjun-
tos de dados com unidades ou escalas diferentes.
Fórmula:
Onde:
− σ é o desvio padrão.
− x é a média.
Exemplo: Considere um conjunto de dados com média x = 50 e desvio padrão σ = 10
Isso significa que os dados variam 20% em torno da média.
Intervalo Interquartil (IQR)
O intervalo interquartil mede a dispersão dos valores dentro do intervalo que contém os 50% centrais dos 
dados. Ele é definido como a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1) de um conjunto de 
dados.
Fórmula:
Exemplo: Considere o conjunto de dados: {3, 7, 10, 15, 18, 21, 23, 27, 30}. O primeiro quartil Q1 = 10 e o 
terceiro quartil Q3 = 23. Assim:
Portanto, o intervalo interquartil é 13.
Questões
1. CESPE / CEBRASPE - 2023
Julgue o item seguinte, relativo a grandezas e medidas.
Se, em uma festa de despedida de ano de uma escola, tiver 12 garrafas de 1,5 L de refrigerante, então será 
possível encher 72 copos de 250 mL de refrigerante.
( ) CERTO
( ) ERRADO
106
2. CESPE / CEBRASPE - 2023
O preço por metro cúbico Pn, em centenas de reais, a ser cobrado no dia n pelo serviço de transporte de gás 
em determinado gasoduto é definido com base no seguinte modelo: Pn = A×n + B, em que A e B são constantes 
que refletem as condições do mercado na época da análise. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte.
Uma vez fixados os valores de A e B, a sequência numérica formada pelos preços P1, P2, P3, P4, ... constitui 
uma progressão aritmética, quaisquer que sejam ossinais das constantes A e B. 
( ) CERTO
( ) ERRADO
3. CESPE / CEBRASPE - 2023
Um grupo de estagiários do setor de atendimento ao público de uma empresa deve ser avaliado em relação 
ao tempo de duração do atendimento. Um estagiário é considerando eficiente quando todos os seus atendi-
mentos duram, no máximo, 9 minutos. Todas as pessoas que procuram esse setor buscam a solução de um 
mesmo tipo de problema, demandando, assim, um mesmo tempo aproximado.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte.
Suponha-se que, em 2022, a quantidade de atendimentos no setor tenha crescido mensalmente em pro-
gressão aritmética com razão igual a 75. Nesse caso, se, em julho de 2022, tiverem sido registrados 2.500 
atendimentos, então, em janeiro de 2022, o número de atendimentos terá sido superior a 2.100.
( ) CERTO
( ) ERRADO
4. CESPE / CEBRASPE - 2024
Considere que a seguinte sequência numérica, crescente e infinita, tenha sido criada com determinado 
padrão.
5 9 17 33 65 129 257 (...)
Com relação a essa sequência, julgue o próximo item.
O 9.º termo da sequência é igual a 1.025.
( ) CERTO
( ) ERRADO
5. CESPE / CEBRASPE - 2024
Considere que a seguinte sequência numérica, crescente e infinita, tenha sido criada com determinado 
padrão.
5 9 17 33 65 129 257 (...)
Com relação a essa sequência, julgue o próximo item.
O primeiro termo da sequência com valor superior a 60.000 é o 15.º.
( ) CERTO
( ) ERRADO
107
6. CESPE / CEBRASPE - 2023
Em uma turma, a nota final da prova de matemática do primeiro trimestre é diretamente proporcional à quan-
tidade de horas estudadas pelo estudante e inversamente proporcional à quantidade de faltas do estudante.
A partir da situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.
Se um estudante que faltou 5 aulas no trimestre tiver tirado nota 80, então um estudante que faltou 8 aulas 
no trimestre terá tirado uma nota superior a 60.
( ) CERTO
( ) ERRADO
7. CESPE / CEBRASPE - 2022
Com relação a porcentagem e proporcionalidade, julgue o item subsequente. 
Se, em uma empreiteira de obras, 18 trabalhadores, trabalhando 8 h por dia, forem capazes de construir 
um trecho de uma obra em 3 dias, então, esse mesmo trecho poderá ser construído por 6 trabalhadores, traba-
lhando 12 h por dia, em 6 dias.
( ) CERTO
( ) ERRADO
8. CESPE / CEBRASPE - 2024
A respeito de regra de três, julgue o item subsequente. 
Um restaurante vende marmitas pequenas, que pesam 300 g cada, e marmitas grandes, que pesam 500 g 
cada, sendo que o preço de cada marmita é diretamente proporcional ao seu peso. Sabendo-se que o preço de 
uma marmita grande é R$ 28,00, conclui-se que o preço da marmita pequena é R$ 16,80. 
( ) CERTO
( ) ERRADO
9. CESPE / CEBRASPE - 2024
Na tabela precedente, é apresentado o tempo de serviço, em anos, de seis funcionários de determinada 
empresa. A título de bônus de fim de ano, serão distribuídos entre esses funcionários R$ 12.000, valor que 
será repartido de forma que cada funcionário receba um valor diretamente proporcional ao respectivo tempo 
de serviço. 
108
Com base nessas informações, julgue o item a seguir.
Se dois funcionários forem aleatoriamente selecionados, então a probabilidade de no máximo um deles ter 
mais de 5 anos de tempo de serviço será igual a 3/5. 
( ) CERTO
( ) ERRADO
10. CESPE / CEBRASPE - 2024
Considere as seguintes informações. 
I. Se o candidato estuda com afinco e não cola na prova, ele tem 80% de chance de ser aprovado. 
II. Se o candidato não estuda com afinco e não cola na prova, sua chance de ser aprovado é de 5%.
III. Se o candidato não estuda com afinco, mas cola na prova e não é pego, ele tem 95% de chance de ser 
aprovado.
IV. Se o candidato for pego colando, ele é reprovado.
V. Se o candidato cola na prova, a chance de ele ser pego é de 90%.
VI. Se o candidato estuda com afinco, ele não cola na prova.
VII. 20% dos candidatos estudam com afinco.
VIII. 10% dos candidatos colam na prova.
A partir das informações apresentadas, julgue o próximo item. 
Ao escolher um candidato ao acaso, a probabilidade de ele não ter estudado com afinco, ter colado e ter 
sido pego é de 10%. 
( ) CERTO
( ) ERRADO
11. CESPE / CEBRASPE - 2024
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito 
de noções de probabilidade, de regra de três simples, de proporções, das quatro operações fundamentais e de 
sequências.
A fim de cobrir certo evento em Cachoeiro de Itapemirim, 6 guardas civis municipais serão escalados para 
auxiliar na segurança do evento; e estão à disposição 5 homens e 5 mulheres. Se os guardas forem escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de que a equipe seja formada por 4 mulheres e 2 homens é superior a 20%.
( ) CERTO
( ) ERRADO
12. CESPE / CEBRASPE - 2024
Certo tribunal de contas é composto por sete conselheiros, identificamos como C1, C2, C3, C4, C5, C6 e 
C7. Cada um deles será designado, de maneira aleatória, para ocupar uma destas sete funções: presidente; 
vice-presidente; corregedor; ouvidor; diretor da escola de contas; presidente da 1.ª câmara; presidente da 2.ª 
câmara. 
109
Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
Existem 6!5! maneiras distintas de distribuir os conselheiros entre as funções citadas, considerando-se que 
o conselheiro C3 seja designado como vice-presidente e o conselheiro C5 seja designado como ouvidor.
( ) CERTO
( ) ERRADO
13. CESPE / CEBRASPE - 2024
Token, em inglês, significa ficha ou símbolo. Na área da tecnologia, o nome se refere a um dispositivo eletrô-
nico ou sistema gerador de senhas bastante utilizado por bancos, os chamados códigos token. Considerando 
que um código token seja formado por seis dígitos escolhidos aleatoriamente entre os algarismos de 0 a 9 e 
que, nesse código, seja permitida a repetição de algarismos, julgue o item a seguir. 
Há mais de 1,2 milhão de códigos token possíveis.
( ) CERTO
( ) ERRADO
14. CESPE / CEBRASPE - 2024
Em determinado órgão público, 10 servidores, trabalhando 8 horas por dia, atendem em média 300 pesso-
as por semana. A idade média desses servidores é 40 anos. Para se somar a esse efetivo de atendimento ao 
público, foram contratados 6 novos servidores.
A partir da situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir.
Se, na apresentação dos servidores, cada um dos novos servidores tiver apertado a mão de cada um de 
seus colegas, tanto os novos quanto os antigos, então, nessa situação, a quantidade de apertos de mão foi 
inferior a 100.
( ) CERTO
( ) ERRADO
15. CESPE / CEBRASPE - 2024
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito 
de noções de probabilidade, de regra de três simples, de proporções, das quatro operações fundamentais e de 
sequências.
Ao executar tarefas administrativas, Regina é 30% mais eficiente que seu colega Marcos. Se Regina execu-
tar suas tarefas administrativas semanais em 4 horas e 30 minutos ao total, então Marcos levará 5 horas e 51 
minutos para executar as mesmas tarefas que Regina.
( ) CERTO
( ) ERRADO
16. CESPE / CEBRASPE - 2024
Julgue o item seguinte, referente a razões e proporções, juros simples, trigonometria, geometria e funções.
Se, em certo município, o PIB per capita no ano de 2018 foi igual a R$ 23.956,00 e se, em todo o intervalo de 
2018 a 2021, esse valor cresceu 20%, então o PIB per capita desse município em 2021 foi igual a R$ 28.747,20. 
( ) CERTO
( ) ERRADO
110
17. CESPE / CEBRASPE - 2023
João tomou um empréstimo a ser pago, em um pagamento único, após três meses. A taxa de juros mensal 
cobrada varia a cada mês, sendo 6% no primeiro mês, 8% no segundo mês e 13% no terceiro mês. Para reali-
zar uma análise comparativa, João decidiu calcular a taxa média mensal de juros nesse período.
Com base nessa situação hipotética, julgue o seguinte item. 
Caso o empréstimo tenha sido tomado sob o regime de juros simples, conclui-se quea taxa média é a média 
aritmética das taxas mensais, ou seja, 6%+8%+13%/3.
Alternativas
( ) CERTO
( ) ERRADO
18. CESPE / CEBRASPE - 2024
Julgue o item a seguir, a respeito de algoritmos e técnicas supervisionadas e não supervisionadas de apren-
dizado de máquina e aprendizagem profunda. 
Se os números em um conjunto estiverem igualmente espaçados, então a mediana e a média desse con-
junto serão iguais. 
( ) CERTO
( ) ERRADO
19. CESPE / CEBRASPE - 2023
Com base no conjunto de dados D = {0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 6}, julgue o item seguinte.
A média, a moda e a mediana do conjunto de dados são iguais a 2.
( ) CERTO
( ) ERRADO
20. CESPE / CEBRASPE - 2024
Julgue o item a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U,V), cuja função de densidade 
conjunta é dada por f(u,v) = 12/11 (u2 + uv + v2), em que c é uma constante positiva, 0inverso da multiplicação: para todo inteiro a ≠ 0, existe um inverso a–1 = 1/a em ℤ, tal que, a 
. a–1 = a . (1/a) = 1
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos: 
1) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e 
dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica 
elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que 
cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e 
(-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total 
de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: Resposta: A.
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
2) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco 
recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
6
Solução: Resposta: D.
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominador pertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representados por frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*
- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
7
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Uma forma decimal infinita com período de UM dígito pode ser associada a uma soma com infinitos termos 
deste tipo:
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3/9.
2) Seja a dízima 1, 2343434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
8
 → temos uma fração mista, então transformando-a 
→ 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
— Operações com números Racionais
Soma (Adição) de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: 
b
a
e 
d
c , da mesma forma que a soma de frações, através de:
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
b
a - 
d
c = 
bd
bcad −
9
Multiplicação (produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, ou seja, q aparece n vezes.
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
10
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q,que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a em Q, q diferente de zero, existe :
q-1 = 
a
b em Q: q × q-1 = 1 
b
a x 
a
b = 1
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1) Na escola onde estudo, 1/4 dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: Resposta: B.
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
11
2) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: Resposta: B.
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
O conjunto dos números reais, representado por R, é a fusão do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Vale ressaltar que o conjunto dos números racionais é a combinação dos 
conjuntos dos números naturais e inteiros. Podemos afirmar que entre quaisquer dois números reais há uma 
infinidade de outros números. 
R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R- = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*
- = {x ∈ R│x ;sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre ou-
tras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
CAPACIDADE
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e 
seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Exemplo: 
(FCC - 2012 - SEE-MG - Assistente Técnico Educacional - Apoio Técnico) Uma forma de gelo tem 21 
compartimentos iguais com capacidade de 8 mL cada. Para encher totalmente com água três formas iguais a 
essa é necessário
Alternativas
(A) exatamente um litro.
(B) exatamente meio litro.
(C) mais de um litro.
(D) entre meio litro e um litro.
Resolução:
21 x 3 x 8 = 504 ml = 0,504 L (entre 0,5 e 1L)
Resposta:D
17
MASSA
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio 
é usado como o padrão universal do quilograma.
UNIDADES DE MASSA
kg hg dag g dg cg mg
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Exemplo: 
(FUNCAB - 2014 - SEE-AC - Professor EJA I (1º Segmento)) Assinale a alternativa que contém a maior 
dentre as massas representadas a seguir.
25kg / 42.000g / 1.234,3 dg / 26.000 cg / 2.000 mg
Alternativas
(A) 25 kg
(B) 42.000 g
(C) 1.234,3 dg
(D) 26.000 cg
(E) 2.000mg
Resolução: Primeiramente você deve passar todas as medidas diferentes para a mesma unidade de medi-
das, pois só assim você conseguirá fazer a comparação de quem é maior
25 kg = 25000g
42.000g= 42000g
26.000 cg = 260g
2.000 mg = 2g
1.234,3 dg = 123,43g
Resposta:B
TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
18
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao ginásio às 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 
25 segundos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
--------------------------------------------------
15h 66 minutos 25 segundos
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. Quanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o es-
tudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos 
OU
5h 20 minutos
19
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
Exemplo:
(CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, 
em horas, minutos e segundos a
Alternativas
(A) 4 h 1 min 5 s.
(B) 4 h 15 min 0 s.
(C) 4h 9 min 0 s.
(D) 4 h 10 min 5 s.
(E) 4 h 5 min 1 s. Matemática
Resolução: Transformando 4,15h em minutos = 4,15x60 = 249 minutos.
249min = 4h + 9 minutos
Resposta:C
Razões e proporções: divisão proporcional
Frequentemente nos deparamos com situações em que é necessário comparar grandezas, medir variações 
e entender como determinadas quantidades se relacionam entre si. Para isso, utilizamos os conceitos de razão 
e proporção, que permitem expressar de maneira simples e eficiente essas relações.
RAZÃO
A razão é uma maneira de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Se temos dois números a e 
b (com b≠0), a razão entre eles é expressa por a/b ou a:b. Este conceito é utilizado para medir a relação entre 
dois valores em diversas situações, como a comparação entre homens e mulheres em uma sala, a relação 
entre distâncias percorridas e tempo, entre outros.
Exemplo:
Em uma sala de aula há 20 rapazes e 25 moças. A razão entre o número de rapazes e moças é dada por:
Portanto, a razão é 4:5.
20
Razões Especiais
Algumas razões são usadas em situações práticas para expressar comparações específicas:
− Velocidade Média: A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, representada por: 
− Densidade Demográfica: A razão entre o número de habitantes e a área de uma região, dada por: 
− Escalas: Usada para representar a proporção entre o tamanho real de um objeto e sua representação em 
um mapa ou desenho, como: 
PROPORÇÃO
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Se temos duas razões A\B e C\D , dizemos que elas 
estão em proporção se:
Esse conceito é frequentemente utilizado para resolver problemas em que duas ou mais relações entre 
grandezas são iguais. A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios, ou seja:
Exemplo:
Suponha que 3/4 esteja em proporção com 6/8 . Verificamos se há proporção pelo produto dos extremos e 
dos meios:
3 × 8 = 4 × 6
Como 24 = 24, a proporção é verdadeira.
Exemplo:
Determine o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6 . Montando a proporção:
21
Multiplicando os extremos e os meios:
6X = 3 × 4
6X = 12
X = 2
Propriedades das Proporções
Além da propriedade fundamental, as proporções possuem outras propriedades que podem facilitar a reso-
lução de problemas. Algumas das mais importantes são:
− Soma ou diferença dos termos: A soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou segundo) termo assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou quarto) 
termo. Por exemplo: 
− Soma ou diferença dos antecedentes e consequentes: A soma (ou diferença) dos antecedentes está 
para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conse-
quente: 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Além de compreender razão e proporção, é importante entender como diferentes grandezas se relacionam 
entre si, conforme o comportamento das variáveis envolvidas.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre seus valores é constante, ou seja, 
quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta proporcionalmente. O exemplo clássico é a relação 
entre distância percorrida e combustível gasto:
Distância (km) Combustível (litros)
13 1
26 2
39 3
52 4
Nessa situação, quanto mais distância se percorre, mais combustível é gasto. Se a distância dobra, o com-
bustível também dobra.
Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Quando queremos decompor um número M em partes X1,X2,…,Xn que sejam diretamente proporcionais a 
p1,p2,…,pn , a regra geral é distribuir M de acordo com as proporções p1,p2,…,pn . A fórmula geral para cada parte 
Xi é:
22
Exemplo:
Considere que uma empresa precisa distribuir um bônus de R$1.200,00 entre três funcionários, Ana, Bru-
noe Carla. Os salários mensais de cada um são R$2.000,00, R$3.000,00 e R$5.000,00, respectivamente. O 
bônus será distribuído de forma diretamente proporcional aos salários.
Primeiro, somamos os salários:
2.000 + 3.000 + 5.000 = 10.000
Agora, calculamos as partes correspondentes de cada um:
Parte de Ana:
Parte de Bruno:
Parte de Carla:
Portanto, Ana receberá R$240,00, Bruno R$360,00 e Carla R$600,00. 
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é 
igual ao inverso da razão dos valores correspondentes da segunda. Um exemplo clássico é a relação entre 
velocidade e tempo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Aqui, quanto maior a velocidade, menor o tempo necessário para percorrer uma distância. Se a velocidade 
dobra, o tempo cai pela metade.
Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em partes X1,X2,…,Xn inversamente proporcionais a p1,p2,…,pn, usamos o 
inverso das proporções. A ideia é que as partes maiores Xi corresponderão aos menores pi, e vice-versa.
23
A fórmula para a decomposição inversamente proporcional é:
Exemplo:
Suponha que três operários estão trabalhando em uma obra e precisam dividir igualmente uma tarefa que 
envolve 120 horas de trabalho. A produtividade de cada operário (medida em horas para realizar a mesma 
tarefa) é de 12 horas, 24 horas e 36 horas, respectivamente. Desejamos dividir as horas de trabalho de forma 
inversamente proporcional à produtividade, ou seja, quem tem maior produtividade trabalhará menos horas.
Primeiro, calculamos os inversos das produtividades:
Somamos esses inversos:
Agora, calculamos as partes correspondentes para cada operário:
Parte do 1º operário:
Parte do 2º operário:
Parte do 3º operário:
Nesse exemplo, o operário com maior produtividade (1º operário) trabalhará menos horas, enquanto o ope-
rário com menor produtividade (3º operário) trabalhará mais horas.
24
Mais exemplos:
1. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 
deve ser repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O 
mais velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
Resolução:
5x + 8x + 12x = 750.000
25x = 750.000
x = 30.000
O mais velho receberá: 12⋅30000=360000
Resposta: C
2. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente proporcio-
nais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcio-
nários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos trabalhados 
e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o número de anos dedicados 
para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a
(A) 5.
(B) 7.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.
Resolução:
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000
15x = 30000
x = 2000
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 6000
Resposta: D
3. (SABESP – ATENDENTE A CLIENTES 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus 
de R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. Fortes traba-
lhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. Matilde trabalhou 
durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que o Sr. Fortes é
(A) 17.100,00.
(B) 5.700,00.
(C) 22.800,00.
(D) 17.250,00.
(E) 15.000,00.
25
Resolução:
Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses
Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses
Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses
TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses
Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M.
Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam:
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00
Resposta: A
4. (SESP/MT – PERITO OFICIAL CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL/ENGENHARIA ELÉTRICA/FÍSICA/
MATEMÁTICA – FUNCAB/2014) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em partes inversamente propor-
cionais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia,12 e Carla, 24, determine quanto receberá quem 
ficar com a maior parte da divisão.
(A) R$ 36.000,00
(B) R$ 60.000,00
(C) R$ 48.000,00
(D) R$ 24.000,00
(E) R$ 30.000,00
Resolução:
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional).
26
Assim:
8.M = 288 000 
M = 288 000 / 8 
M = R$ 36 000,00
M + J + C = 72000
Resposta: A
Regras de três simples e compostas
A regra de três é uma ferramenta matemática essencial que permite resolver problemas que envolvem a 
proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Seja no planejamento de uma receita de cozinha, no cál-
culo de distâncias em um mapa ou na gestão financeira, a regra de três surge como um método prático para 
encontrar valores desconhecidos a partir de relações conhecidas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é utilizada quando temos duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamen-
te proporcionais entre si.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2) Identificação do tipo de relação:
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
27
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
• Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão neces-
sários para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
28
Matemática financeira: porcentagens. juros simples e compostos
PORCENTAGEM
O termo porcentagem se refere a uma fração cujo denominador é 100, representada pelo símbolo (%). Seu 
uso é tão comum que a encontramos em praticamente todos os aspectos do dia a dia: nos meios de comunica-
ção, em estatísticas, nas etiquetas de preços, nas máquinas de calcular, e muito mais.
A porcentagem facilitaa compreensão de aumentos, reduções e taxas, o que auxilia na resolução de exer-
cícios e situações financeiras cotidianas.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor multipli-
cando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e 
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 0,90 = R$ 9,00
29
Desconto Composto
O desconto composto é aplicado de forma que a taxa de desconto incide sobre o valor já descontado no 
período anterior. Para calcular o novo valor após vários períodos de desconto, utilizamos a fórmula:
Vn = V0 × (1 - taxa)n
Onde:
• Vn é o valor após n períodos de desconto.
• V0 é o valor original.
• Taxa é a taxa de desconto por período em forma decimal.
• n é o número de períodos. 
DESCONTO FATOR DO 1º PERÍODO FATOR DO 2 º PERÍODO FATOR DO 3º PERÍODO
10% 0,90 0,81 0,729
25% 0,75 0,5625 0,4218
34% 0,66 0,4356 0,2872
60% 0,40 0,16 0,064
90% 0,10 0,01 0,001
Exemplo: Se aplicarmos um desconto composto de 10% ao valor de R$100,00 por dois períodos, teremos:
100 × 0,90 × 0,90 = R$ 81,00
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro = preço de venda - preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
30
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
JUROS
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo1.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
— Diferença entre Juros Simples e Compostos
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros 
compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
1 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
31
— Fórmula de Juros Simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
32
— Fórmula de Juros Compostos
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente
TAXA NOMINAL
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão: 
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor 
monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por: 
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50%
33
Sem dúvida, se tem um assunto que gera muita confusão na Matemática Financeira são os conceitos de 
taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente. Até na esfera judicial esses assuntos geram muitas dúvidas nos 
cálculos de empréstimos, financiamentos, consórcios e etc. 
Vamos tentar esclarecer esses conceitos, que na maioria das vezes nos livros e apostilas disponíveis no 
mercado, não são apresentados de uma maneira clara. 
Temos a chamada taxa de juros nominal, quando esta não é realmente a taxa utilizada para o cálculo dos 
juros (é uma taxa “sem efeito”). A capitalização (o prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial) 
será dada através de outra taxa, numa unidade de tempo diferente, taxa efetiva.
Como calcular a taxa que realmente vai ser utilizada; isto é, a taxa efetiva?
Vamos acompanhar através do exemplo
TAXA EFETIVA
Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00 (mil reais), aplicados durante 18 (dezoito) meses, capita-
lizados mensalmente, a uma taxa de 12% a.a. Explicando o que é taxa Nominal, efetiva mensal e equivalente 
mensal: 
Respostas e soluções:
1) A taxa Nominal é 12% a.a; pois o capital não vai ser capitalizado com a taxa anual.
2) A taxa efetiva mensal a ser utilizada depende de duas convenções: taxa proporcional mensal ou taxa 
equivalente mensal.
a) Taxa proporcional mensal (divide-se a taxa anual por 12): 12%/12 = 1% a.m.
b) Taxa equivalente mensal (é aquela que aplicado aos R$ 1.000,00, rende os mesmos juros que a taxa 
anual aplicada nesse mesmo capital). 
Cálculo da taxa equivalente mensal:
onde:
iq : taxa equivalente para o prazo que eu quero
it : taxa para o prazo que eu tenho
q : prazo que eu quero
t : prazo que eu tenho
iq = 0,009489 a.m ou iq = 0,949 % a.m.
3) Cálculo do montante pedido, utilizando a taxa efetiva mensal
a) pela convençãoda taxa proporcional:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,01) 18 = 1.000 x 1,196147
M = 1.196,15
34
b) pela convenção da taxa equivalente:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,009489) 18 = 1.000 x 1,185296
M = 1.185,29
NOTA: Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equivalente a taxa de 12% a.a, basta calcular o mon-
tante utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transformar 18 (dezoito) meses em anos para fazer o 
cálculo, ou seja : 18: 12 = 1,5 ano. Assim:
M = c (1 + i)n
M = 1000 (1 + 0,12) 1,5 = 1.000 x 1,185297
M = 1.185,29
Conclusões:
– A taxa nominal é 12% a.a, pois não foi aplicada no cálculo do montante. Normalmente a taxa nominal vem 
sempre ao ano!
– A taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela que foi utilizado para cálculo do montante. Pode 
ser uma taxa proporcional mensal (1 % a.m.) ou uma taxa equivalente mensal (0,949 % a.m.).
– Qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tratando de concursos públicos, a grande maioria 
das bancas examinadoras utilizam a convenção da taxa proporcional. Em se tratando do mercado financeiro, 
utiliza-se a convenção de taxa equivalente.
TAXA EQUIVALENTE
Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, 
produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos 
de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual 
ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. Uma expressão matemática básica e de 
fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas é:
1 + ia = (1 + ip)n, onde:
ia = taxa anual
ip = taxa período
n: número de períodos
Observe alguns cálculos:
Exemplo 1
Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?
Temos que: 2% = 2/100 = 0,02
1 + ia = (1 + 0,02)12
1 + ia = 1,0212
1 + ia = 1,2682
ia = 1,2682 – 1
ia = 0,2682
ia = 26,82%
35
A taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês é de 26,82%.
As pessoas desatentas poderiam pensar que a taxa anual nesse caso seria calculada da seguinte forma: 
2% x 12 = 24% ao ano. Como vimos, esse tipo de cálculo não procede, pois a taxa anual foi calculada de forma 
correta e corresponde a 26,82% ao ano, essa variação ocorre porque temos que levar em conta o andamento 
dos juros compostos (juros sobre juros).
TAXA REAL
A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros, é que elas 
podem ser inclusive, negativas.
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um deter-
minado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a certa taxa nominal in 
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).
Consideremos agora que durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual 
a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montanteS2 = P (1 + j). 
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela aplicada ao montante S2, produzirá o montante S1. Podere-
mos então escrever: S1 = S2 (1 + r)
Substituindo S1 e S2 , vem:
P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período
r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são 
coincidentes. 
Exemplo
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um 
ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se calcular as 
taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25%
Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
36
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa.
Exemplo
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período 
foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
Resposta: 25%
TAXAS PROPORCIONAIS
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer que toda operação 
envolve dois prazos: 
– o prazo a que se refere à taxa de juros; e 
– o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. (ASSAF NETO, 2001).
Taxas Proporcionais: duas (ou mais) taxas de juro simples são ditas proporcionais quando seus valores 
e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporção. (PARENTE, 
1996). 
Exemplos
Prestação = amortização + juros
Há diferentes formas de amortização, conforme descritas a seguir. 
Para os exemplos numéricos descritos nas tabelas, em todas as diferentes formas de amortização, utiliza-
remos o mesmo exercício:uma dívida de valor inicial de R$ 100 mil, prazo de três meses e juros de 3% ao mês.
Pagamento único
É a quitação de toda a dívida (amortização + juros) em um único pagamento, ao final do período. Utilizamos 
a mesma fórmula do montante:
Nos juros simples:
M = C (1 + i×n)
M = montante
C = capital inicial
i= taxa de juros
n = período
Nos juros compostos:
M = C (1+i)n
M = montante
C = capital inicial
i = taxa de juros
37
n = período
Nos juros simples:
N° Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 - - 103.000,00 
2 3.000,00 - - 106.000,00 
3 3.000,00 100.000,00 109.000,00 - 
Nos juros compostos:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 - - 103.000,00 
2 3.090,00 - - 106.090,00 
3 3.182,70 100.000,00 109.272,70 - 
Sistema Price (Sistema Francês)
Foi elaborado para apresentar pagamentos iguais ao longo do período do desembolso das prestações. A 
fórmula para encontrarmos a prestação é dada a seguir:
PMT = VP . _i.(1+i)n_ (1+i)n -1
PMT = valor da prestação
VP = valor inicial do empréstimo
i = taxa de juros
n = período
A fórmula foi desenvolvida, considerando-se apenas a capitalização por juros compostos. O resultado é 
listado a seguir:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 32.353,04 35.353,04 67.646,96 
2 2.029,41 33.323,63 35.353,04 34.323,33 
3 1.029,71 34.323,33 35.353,04 - 
Sistema de Amortização Misto (SAM)
É a média aritmética das prestações calculadas nas duas formas anteriores (SAC e Price). É encontrado 
pela fórmula:
PMTSAM = (PTMSAC + PMTPRICE) / 2
38
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 32.843,19 35.843,19 67.156,81 
2 2.014,70 33.328,49 35.343,19 33.828,32 
3 1.014,87 33.828,32 34.843,19 -
Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
Este sistema, criado pela Caixa Econômica Federal (CEF), é uma das formas utilizadas para o cálculo das 
prestações dos financiamentos imobiliários. Usa-se, para o cálculo do valor das prestações, a metodologia do 
sistema de amortização constante (SAC) anual, desconsiderando-se o valor da Taxa Referencial de Juros (TR). 
Esta é incluída posteriormente, resultando em uma amortização variável. Chamar de “amortização crescente” 
parece-nos inadequado, pois pode resultar em amortizações decrescentes, dependendo da ocorrência de TR 
com valor muito baixo.
Sistema Alemão
Neste caso, a dívida é liquidada também em prestações iguais, exceto a primeira, onde no ato do emprés-
timo (momento “zero”) já é feita uma cobrança dos juros da operação. As prestações, a primeira amortização e 
as seguintes são definidas pelas três seguintes fórmulas:
PMT = _ Vp.i_ 
1- (1+i)n
PMT = valor da prestação
VP = valor inicial do empréstimo
i = taxa de juros
n = período
A1 = PMT. (1- i)n-1
A1 = primeira amortização
PMT = valor da prestação
i = taxa de juros
n = período
An = An-1_ 
(1- i)
An = amortizações posteriores (2º, 3º, 4º, ...)
An-1 = amortização anterior
i = taxa de juros
n = período
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 3.000,00 - 3.000,00 100.000,00 
1 2.030,30 32.323,34 34.353,64 67.676,66 
2 1.030,61 33.323,03 34.353,64 34.353,63 
3 - 34.353,64 34.353,64 (0,01)
39
OBS: os resíduos em centavos, como saldo devedor final na tabela anterior, são resultados de arredonda-
mento do cálculo e serão desconsiderados. 
Sistema de Amortização Constante – SAC
Consiste em um sistema de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescen-
tes em progressão aritmética, em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente 
decrescente e outra de amortização que permanece constante.
Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um empréstimo por prestações 
que incluem os juros, amortizando assim partes iguais do valor total do empréstimo.
Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema 
SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização 
é calculado dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos imobiliários. A principal ca-
racterística do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. 
Esse percentual de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja 
maior no início do financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros 
mecanismos de amortização. 
Exemplo: 
Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses, a uma taxa de juros de 
1% ao mês (em juros simples). Aplicando a fórmula para obtenção do valor da amortização, iremos obter um 
valor igual a R$ 10.000,00 (dez mil reais). Essa fórmula é o valor do empréstimo solicitado divido pelo período, 
sendo nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 meses = R$ 10.000,00. Logo, a tabela SAC fica:
Nº Prestação Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 120000
1 11200 1200 10000 110000
2 11100 1100 10000 100000
3 11000 1000 10000 90000
4 10900 900 10000 80000
5 10800 800 10000 70000
6 10700 700 10000 60000
7 10600 600 10000 50000
8 10500 500 10000 40000
9 10400 400 10000 30000
10 10300 300 10000 20000
11 10200 200 10000 10000
12 10100 100 10000 0
Note que o juro é sempre 10% do saldo devedor do mês anterior, já a prestação é a soma da amortização 
e o juro. Sendo assim, o juro é decrescente e diminui sempre na mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo 
comportamento tem as prestações. A soma das prestações é de R$ 127.800,00, gerando juros de R$ 7.800,00.
Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressão aritmética (PA) de r=100.
Sistema Americano
O tomador do empréstimo paga os juros mensalmente e o principal, em um único pagamento final.
Considera-se apenas o regime de juros compostos:
40
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00
1 3.000,00 - 3.000,00 100.000,00
2 3.000,00 - 3.000,00 100.000,00
3 3.000,00 100.000,00 103.000,00 -
Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês
O tomador do empréstimo amortiza o saldo devedor em valores iguais e constantes ao longo do período. 
Considera-se apenas o regime de juros compostos:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 33.333,33 36.333,33 66.666,67 
2 2.000,00 33.333,33 35.333,33 33.333,34 
3 1.000,00 33.333,34 34.333,34 -
Qual a melhor forma de amortização?
A tabela abaixo lista o fluxo de caixa nos diversos sistemas de amortização discutidos nos itens anteriores.
N
Pgto único 
(jrs comp.)
Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00
1 - (3.000,00) (36.333,33) (35.353,04) (35.843,19) (34.353,64)
2 - (3.000,00) (35.333,33) (35.353,04) (35.343,19) (34.353,64)
3 (109.272,70) (103.000,00) (34.333,34) (35.353,04) (34.843,19) (34.353,64)
As várias formas de amortização utilizadas pelo mercado brasileiro, em sua maioria, consideram o regime 
de capitalização por juros compostos. A comparação entre estas, por meio do VPL (vide item 6.2), demonstra 
que o custo entre elas se equivale. Vejam: no nosso exemplo, todos, exceto no sistema alemão, os juros efeti-
vos cobrados foram de 3% ao mês (regime de juros compostos) ou 9,27% no acumulado dos três meses.
n
Pgto único 
(jrs comp.)
Sistema Americano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 
1 - (2.912,62) (35.275,08) (34.323,34) (34.799,21) (33.353,04)
2 - (2.827,79) (33.305,05) (33.323,63) (33.314,35) (32.381,60)
3 (100.000,00) (94.259,59) (31.419,87) (32.353,04) (31.886,45) (31.438,44)
VPL - - - - - (173,09)
OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 3% ao 
mês.
41
Considerando o custo de oportunidade de 2% ao mês, isto é, abaixo do valor do empréstimo, teríamos a 
tabela abaixo. Isso seria uma situação mais comum: juros do empréstimo mais caro que uma aplicação no mer-
cado. Neste caso, quanto menor (em módulo) o VPL, melhor para o tomador do empréstimo, ou seja, o sistema 
SAC seria o melhor sob o ponto de vista financeiro.
n
Pgto único
 (jrs comp.)
Sistema Ameri-
cano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 
1 - (2.941,18) (35.620,91) (34.659,84) (35.140,38) (33.680,04)
2 - (2.883,51) (33.961,29) (33.980,24) (33.970,77) (33.019,64)
3 (102.970,11) (97.059,20) (32.353,07) (33.313,96) (32.833,52) (32.372,20)
VPL (2.970,11) (2.883,88) (1.935,28) (1.954,04) (1.944,67) (2.071,88)
OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 2% ao 
mês. 
Outra situação seria considerarmos um empréstimo com taxa de juros abaixo do mercado. Neste exemplo 
a seguir, teremos como custo de oportunidade a taxa de 4% ao mês. Isso, na vida real, não será comum: juros 
do empréstimo mais barato do que uma aplicação no mercado. Assim, como no exemplo anterior, quanto maior 
o VPL, melhor para o tomador do empréstimo, ou seja, o sistema de pagamento único, sob o ponto de vista 
financeiro, é o melhor, como no caso abaixo.
n
Pgto único
 (jrs comp.)
Sistema Ameri-
cano SAC PRICE SAM Alemão
0 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 97.000,00 
1 - (2.884,62) (34.935,89) (33.993,31) (34.464,61) (33.032,34)
2 - (2.773,67) (32.667,65) (32.685,87) (32.676,77) (31.761,87)
3 (97.143,03) (91.566,62) (30.522,21) (31.428,72) (30.975,47) (30.540,26)
VPL 2.856,97 2.775,09 1.874,24 1.892,10 1.883,16 1.665,53 
OBS: tabela com as prestações dos sistemas anteriores, descontada da taxa (juros compostos) de 4% ao 
mês. 
M = C (1+i)n
M = montante
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = período
Nos juros simples:
n Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 100.000,00 
1 3.000,00 - - 103.000,00 
2 3.000,00 - - 106.000,00 
3 3.000,00 100.000,00 109.000,00 - 
42
Equações e inequações de 1º e de 2º graus
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Na Matemática, uma equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. O grau de uma equação 
é determinado pelo maior expoente da incógnita. Assim, se o maior expoente for 1, a equação será de 1º grau; 
se o maior expoente for 2, será de 2º grau; e se o maior expoente for 3, será de 3º grau. 
Exemplos:
4x1 + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
No caso da equação do 1º grau, a forma geral é:
ax + b = 0
Onde: 
• a e b são números reais, com a ≠ 0 (ou seja, a não pode ser zero);
• x é a incógnita, o valor que queremos encontrar.
É importante ressaltar que uma equação é composta por dois membros:
• O primeiro membroé o lado esquerdo da igualdade
• O segundo membro é o lado direito da igualdade.
Como resolver equações do 1º grau
Para resolver uma equação do 1º grau, nosso objetivo é isolar a incógnita (x) em um dos lados da equação. 
Para isso, devemos realizar operações inversas nos dois lados da equação, garantindo que x fique sozinho em 
um dos membros.
Passo a passo:
• Identifique o número que está no mesmo lado que a incógnita e veja qual operação está sendo realizada
• Realize a operação inversa no outro lado da igualdade para isolar a incógnita.
Exemplo: x + 4 = 12
Começamos eliminando o número 4, que está somando no mesmo lado da incógnita x. A operação inversa 
será subtrair 4 de ambos os lados da equação.
x + 4 - 4 = 12 - 4
x = 8
Portanto, o valor de x é 8.
Exemplo: x - 12 = 20
Aqui, temos x menos 12. Para isolar a incógnita, somamos 12 aos dois lados.
x - 12 + 12 = 20 + 12
x = 32
Portanto, o valor de x é 32.
43
Exemplo: 4x + 2 = 10
Vamos eliminar o número 2, que está somando no mesmo lado da incógnita x, subtraindo 2 de ambos os 
lados da equação:
4x + 2 - 2 = 10 - 2
4x = 8
Agora, x está sendo multiplicado por 4. A operação inversa será dividir ambos os lados da equação por 4:
x = 2
Portanto, o valor de x é 2.
Exemplo: −3x = 9
Aqui, temos -3x, onde o coeficiente de x é negativo. Será necessário tornar o coeficiente positivo, multiplicando 
ambos os lados por -1:
−3x . (−1) = 9 . (−1)
3x = −9 
Agora, x está sendo multiplicado por 3. Para isolar a incógnita, dividimos ambos os lados por 3:
x = -3
Portanto, o valor de x é -3.
Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações, também chamada de regra da balança, diz que podemos realizar 
qualquer operação em um lado da equação desde que façamos a mesma operação no outro lado. Isso mantém 
a equação “equilibrada” e preserva a igualdade. Essa técnica é especialmente útil, pois resume todas as 
operações possíveis em uma única regra simples: o que você faz em um lado da equação, deve ser feito no 
outro. Essa regra foi aplicada em todos os exemplos anteriores, onde somamos, subtraímos, multiplicamos ou 
dividimos ambos os lados da equação para isolar a incógnita.
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo menos um valor desconhecido (incógnita) e 
representa uma desigualdade2.
Nas inequações usamos os símbolos:
> maior que
 62
b) 10 + 2x ≤ 20
Uma inequação é do 1º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 1. Podem assumir as seguintes 
formas:
ax + b >0
ax + b