Exercícios de Cálculo Diferencial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Segunda lista de Exerćıcios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 122
Professor: Vińıcius V. P. de Almeida
1. Dada a função f(x) =
2x+ 2
x2 − 3x− 4
, determine: lim
x→−1+
f(x) e lim
x→−1−
f(x). Existe lim
x→−1
f(x)?
Justifique.
2. Existe lim
x→0
∣x∣
x
? Por quê?
3. Sendo 1− x2
4
≤ u(x) ≤ 1 +
x2
2
para qualquer x ∕= 0, determine lim
x→0
u(x).
4. Calcule lim
x→0
x3sen
(
2
x
)
. Podemos utilizar a propriedade que lim
x→a
f(x)g(x) = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x).
Por quê?
5. Sejam f e g duas funções com mesmo domı́nio D tais que lim
x→a
f(x) = 0 e ∣g(x)∣ ≤ M para todo x
em D, onde M > 0 é um número real fixo. Prove que lim
x→a
f(x)g(x) = 0.
6. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→−1
√
x2 + 8− 3
x+ 1
b) lim
x→−5
x2 + 3x− 10
x+ 5
c) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
d) lim
x→3
ln∣x− 4∣ e) lim
x→1
x3 − 6x2 + 11x− 6
x2 − 1
f) lim
x→0−
1
x2
g) lim
x→0
cos(x)− 1
x
ℎ) lim
x→0
sen(2x)
5x
i) lim
x→−√
2
x2 − 2
x+
√
2
j) lim
x→4
3−√
5 + x
1−√
5− x
k) lim
x→0
√
x+ 2−√
2
x
l) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
m) lim
y→5
y − 5
y2 − 25
n) lim
t→1
t4 − 1
t3 − 1
o) lim
x→0,5−
√
x+ 2
x+ 1
p) lim
x→−2+
{(
x
x+ 1
)(
2x+ 5
x2 + x
)}
q) lim
x→−2−
(x− 3)
∣x+ 2∣
x+ 2
r) lim
x→1−
√
2x(x− 1)
∣x− 1∣
s) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
t) lim
x→−3
x
√
x2 u) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
v) lim
x→−∞
2x+ 5√
2x2 − 5
w) lim
x→7
√
x−√
7√
x+ 7−√
14
x) lim
x→−¼−
x+ ¼√
(x+ ¼)2
7. Encontre, caso exista, os seguintes limites:
a) lim
x→0
x+ sen 3x√
4x2 − 5x6 + 3x8
b) lim
x→2
√
x2 − 3−√
x− 1
x− 2
c) lim
x→+∞
(x−
√
x2 + 1)
2
d) lim
x→−3−
x+ 3√
(x+ 3)2
e) lim
x→0
cos 5x− 1
1− cos 4x
f) lim
ℎ→0
tg (x+ ℎ)− tg x
ℎ
g) lim
x→0
4
√
x4 + 1−√
x2 + 1
x2
ℎ) lim
x→7
5−√
4 + 3x
x− 7
i) lim
x→−2
x3 + 3x2 + 2x
2x2 − 2x− 12
j) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 2
k) lim
x→0
tg 5x
x
l) lim
x→0
3
√
x+ 8− 2
x
m) lim
x→0+
elnx
x
n) lim
x→+∞
(
√
x2 + 5x−
√
x2 + x) o) lim
x→0
x2 cos(1/x)
p) lim
x→a
√
x−√
a√
x2 − a2
, a > 0 q) lim
x→2
cos(5x− 10)− 1
1− cos(4x− 8)
r) lim
x→0
cos 5x− cos 3x
sen 4x
s) lim
x→0
x− senx
x+ sen x
t) lim
x→¼/4
√
1− 2 sen x cosx
cos x− senx
u) lim
x→+∞
(arctg x− arctg 1)
v) lim
x→−∞
e−x2
w) lim
x→+∞
(ln(ln x)− ln(ln 2)) x) lim
x→+∞
x2
2x− 1
sen (1/x)
8. Determine se as funções abaixo são cont́ınuas ou descont́ınuas no ponto dado. No caso de descon-
tinuidade, verifique qual dos ı́tens da definição de continuidade não é satisfeito.
a) f(x) =
1
x− 3
z x0 = 3 b) g(x) =
1
x+ 3
x0 = −3
c) ℎ(x) =
{
−x+ 1 x ≤ 0
x2 x > 0
x0 = 0 d) ℎ(x) =
{
−x2 + 4 x ≥ 2
x2 − 4 x 0
2 x = 0
x+ 2 x 1
x0 = 1
i) f(x) = sen (x− sen x) x0 = 0 j) f(x) = tg
(¼
4
cos(sen µ
1
3 )
)
µ0 = 0
9. Dada a função f definida por f(x) =
⎧
⎨
⎩
3x2 − 5x− 2
x− 2
se x