Exercícios de Séries e Convergência

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Lista da semana 07 e 08 de Variáveis Complexas e Aplicações
Exercício 1.1 Determine o raio de convergência de cada uma das séries seguintes:
a)
𝑛=1
∞
∑ 𝑧𝑛
𝑛3 [1]
b)
𝑛=1
∞
∑ 𝑛𝑧𝑛 [1]
Exercício 1.2 Desenvolva em série de Taylor no ponto indicado; determine o raio de
convergência e o raio do maior disco no qual a série converge para a função:
a) em𝑒𝑧 𝑧 = 1
𝑛=0
∞
∑ 𝑒(𝑧−1)𝑛
𝑛! , 𝑅 = 𝑟* = ∞⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
b) em𝐿𝑜𝑔 𝑧 𝑧 =− 1 + 𝑖 𝑙𝑜𝑔 2 + 3
4 π𝑖 −
𝑛=1
∞
∑ 1+𝑖
2( )𝑛 (𝑧+1−𝑖)𝑛
𝑛 , 𝑅 = 1, 𝑟* = 2⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
Exercício 1.3 Desenvolva em série de Laurent ou Taylor como indicado:
a) 1
𝑧−2 , |𝑧| 2 [
𝑛=0
∞
∑ 2𝑛
𝑧𝑛+1 ]
c) 1
(𝑧−1)(𝑧−2) , |𝑧|