Lista_3___C_lculo_III

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Cálculo III - EB301 A
Lista 3
Séries de Potências, Séries de Taylor e MacLaurin
Profa Elaine Cristina Catapani Poletti
Monitor Aluízio Augusto Rocha Pires
Séries de Potências
Definição: A forma geral de uma série de potências é:∑+∞
n=1Cn[φ(x)]
n = C0 + C1φ(x) + C2[φ(x)]
2 + ...+ Cn[φ(x)]
n + ...
Onde os C’s são constantes quaisquer, e φ(x) é uma função qualquer de x . Nos exercícios a
seguir vocês utilizarão os mesmos testes de convergência já mostrados para determinar para
quais valores de x a série é convergente.E dentro desse caso de funções escritas como séries,
o intervalo de convergência visto no primeiro exercício será o domínio da função e, por isso,
às vezes é chamado de domínio de convergência. O módulo de x para o qual a série converge
é chamado de raio de convergência.
Obs. Derivar ou Integrar termo a termo uma série de potências não altera o raio de conver-
gência.
1. Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
(a)
∑+∞
n=1
xn
2+n2
(b)
∑+∞
n=1
2nxn
n2
(c)
∑+∞
n=1
xn
ln (n+1)
(d)
∑+∞
n=1
xn
nn
(e)
∑+∞
n=1(−1)n
xn
(2n−1)32n−1
2. Encontre o raio de convergência das seguintes séries e o domínio de f , escreva a série de potências
que define a função f ′ e ache seu raio de convergência e seu domínio.
(a) f(x) =
∑+∞
n=1
xn
n2
1
(b) f(x) =
∑+∞
n=1
xn√
n
(c) f(x) =
∑+∞
n=1(−1)n−1
xn
n
3. Ache a representação em série de potências para a integral dada e determine seu raio de convergên-
cia.
(a)
∫ x
0 e
tdt
(b)
∫ x
0
dt
t2+4
(c)
∫ x
2
dt
4−t
Série de Taylor e Série de MacLaurin
Definição: A forma geral da série de Taylor é : f(x) =
∑+∞
n=0
f (n)(a)
n! (x− a)
n
Desse modo, é possível escrever qualquer função f(x) como uma série, ou seja, uma
soma infinita de funções mais simples.
Obs. A série de MacLaurin é a série de Taylor para a = 0
4. Calcule, por meio de Série de Taylor, quanto ésin 47.
5. Expanda as seguintes expressões em uma Série de MacLaurin:
(a) f(x) = ex
(b) f(x) = sinx
(c) f(x) = cosx
Referência: Leithold, Cálculo com Geometria Analítica, vol 2
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