CAp Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal

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HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Analisar o cálculo diferencial e integral nas perspectivas de Newton e Leibniz.
 > Identificar as contribuições de Newton e Leibniz no desenvolvimento do 
cálculo diferencial e integral ensinado atualmente.
 > Demonstrar técnicas do cálculo de Newton e Leibniz na sala de aula de 
Matemática.
Introdução
O desenvolvimento do cálculo diferencial e integral provocou um grande impacto na 
matemática e na ciência de forma geral. Com essa ferramenta, uma grande classe 
de problemas foi solucionada e novos resultados importantes na matemática 
surgiram como sua consequência. 
Grandes personagens da matemática foram responsáveis pela descoberta e 
evolução do cálculo diferencial e integral. Alguns deles são bastante populares 
até por descobertas em outras áreas, como Isaac Newton. Conhecer a história 
desses personagens e como eles desenvolveram esses importantes conceitos trará 
uma compreensão plena da essência do cálculo, além de auxiliar o professor da 
educação básica a ter uma visão mais ampla dos conteúdos a serem trabalhados 
em sala de aula com seus alunos.
Desenvolvimento do 
cálculo diferencial 
e infinitesimal
Alex Rodrigo dos Santos Sousa
Neste capítulo, você vai estudar o desenvolvimento do cálculo com base 
na história de seus dois principais autores, Isaac Newton e Gottfried Leibniz. 
As semelhanças e diferenças em seus estudos que resultaram na estrutura e na 
generalização do cálculo, assim como as suas influências na prática e no ensino 
dessa importante área da matemática também serão abordadas. 
O desenvolvimento do cálculo
O surgimento do cálculo ou cálculo infinitesimal como entendemos hoje 
ocorreu por meio de dois problemas importantes na matemática e na física 
dos séculos XVI e XVII, de acordo com Boyer e Merzbach (2012). O primeiro 
estava relacionado à obtenção da taxa de variação instantânea de uma 
quantidade em um dado instante, ou, em termos geométricos, a obtenção 
da reta tangente a uma curva em um dado ponto. Este problema levou ao 
desenvolvimento do cálculo diferencial. Já o segundo problema se preocupava 
com o que era chamado de quadratura, ou cálculo de áreas sob uma dada 
curva, e levou ao desenvolvimento do cálculo integral. Esses problemas estão 
ilustrados nas Figuras 1 e 2. 
Diversos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento do cálculo, 
mas dois personagens foram de destacada importância por terem realizados 
trabalhos independentes que fundamentaram a área: Isaac Newton e Gottfried 
Wilhelm Leibniz.
Figura 1. O problema de obter a reta tangente a uma curva motivou o de-
senvolvimento do cálculo diferencial.
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal2
Figura 2. O problema de obter a área sob uma curva (qua-
dratura) motivou o desenvolvimento do cálculo integral.
O cálculo por Isaac Newton
O britânico Sir Isaac Newton (1642–1727) foi um dos mais conhecidos e in-
fluentes matemáticos e físicos de todos os tempos. Ocupou a cadeira de 
Matemática do Trinity College e na Universidade de Cambridge, e suas con-
tribuições na Física, desde as leis da mecânica, a teoria das cores até a teoria 
da gravitação universal, revolucionaram a área e serviram como alicerces de 
muitos desenvolvimentos nos séculos seguintes, a ponto de a física clássica 
ser muitas vezes denominada física newtoniana. 
Na matemática, entre outras contribuições, Newton desenvolveu a análise 
das séries infinitas, que impactaram no seu estudo sobre fluxões (taxas de 
variação) posteriormente. Foi fortemente influenciado pelo seu mentor, 
Isaac Barrow (1630–1677), e pela obra de John Wallis (1616–1703), Arithmetica 
infinitorum. Na época, as séries infinitas eram consideradas ferramentas de 
aproximação de funções. Newton descobriu que a análise e a álgebra neces-
sárias para lidar com séries infinitas eram as mesmas de séries finitas, e a 
noção de convergência de uma série infinita permitiu que tais séries deixassem 
de ser utilizadas apenas como ferramentas de aproximação. 
Uma série infinita convergente pode ser vista como uma soma de uma 
quantidade infinita de números que progridem de acordo com um padrão 
matemático definido. Esta soma, à medida que mais termos são adicionados, 
se aproxima de um certo valor, de modo que se esse processo de adicionar 
termos for realizado infinitamente, a soma tornar-se-á igual a esse dado 
valor. A noção fundamental desse processo é de limites, que estruturam o 
cálculo diferencial e integral. 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 3
1. Uma série infinita convergente
Considere a progressão geométrica com termos =� �1
2 , n = 
1, 2, 3…. A soma dos termos dessa sequência constitui uma série infinita con-
vergente, uma vez que:
�1
2
∞
=1
= 1cálculo diferencial e infinitesimal 5
como está descrito em Bardi (2008). Acredita-se que Newton descobriu o 
método cerca de dez anos antes do que Leibniz, mas este fez seus avanços 
de forma independente do primeiro. No entanto, enquanto Newton reservava 
suas descobertas a manuscritos e cartas que circulavam restritamente entre 
amigos, Leibniz publicava seus resultados, como na revista científica que ele 
mesmo contribuiu para criar, intitulada Acta eruditorum. Em relação à Newton, 
a primeira publicação que menciona o cálculo ocorre apenas em sua famosa 
obra Philosophiae naturalis principia mathematica, ou Princípia, de 1687, 
embora suas descobertas do cálculo remontem ao período de 1665–1666. 
Newton apresentava seus resultados apenas para amigos em cartas ou ma-
nuscritos, como De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, 
de 1669, Methodus fluxionum et serierum infinitorum, de 1671, e De quadratura 
curvarum, de 1676. Para mais detalhes sobre os avanços matemáticos de 
Newton e Leibniz, procure pelos estudos de Boyer e Merzbach (2012) e Flood 
e Wilson (2013).
Embora Newton e Leibniz sejam considerados os inventores do cálculo 
diferencial e integral, diversos matemáticos fizeram contribuições 
importantes à área, como a família Bernoulli, Leonhard Euler, L’Hospital, entre 
outros, como pode ser visto em Rooney (2012). 
Influências de Newton e Leibniz 
no ensino do cálculo 
Ao estudar cálculo diferencial e integral atualmente, pode-se observar as 
influências de Newton e Leibniz em diversos aspectos, a começar pelas no-
tações utilizadas. Como já mencionado, as notações dx para diferencial, 
assim como ∫ dx para integrais, foram estabelecidas por Leibniz. Além disso, 
o matemático alemão publicou em seu artigo na revista Acta eruditorum 
(Figura 3) algumas das regras de diferenciação que constituem as tabelas 
de derivadas utilizadas atualmente, como por exemplo:
 � se a é constante, da = 0;
 � dx = 1;
 � d (y + z) = dy + dz;
 � d (yz) = ydz + zdy.
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal6
Figura 3. Artigos de Leibniz publicados no Acta eruditorum.
Fonte: Tavora (2020, documento on-line).
Essas e outras regras permitiram à Leibniz derivar diversos tipos de fun-
ções, como as polinomiais, as exponenciais ou as composições destas, por 
exemplo, o que conferiu generalidade à solução do problema das tangentes 
(Figura 4). Além disso, propôs o anulamento da derivada, isto é, f ’(x) = 0, para 
obtenção de pontos críticos de uma função f(x).
Figura 4. Uma função com dois pontos ótimos locais, um de máximo e um 
de mínimo. Observe que as retas tangentes à função nesses pontos são 
horizontais, isto é, paralelas ao eixo x.
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 7
Já Newton abordou os problemas da tangente e da quadratura sob olhar 
físico, relacionando os problemas à cinemática e à dinâmica. Por exemplo, 
a posição de um objeto correspondia ao fluente e suas velocidades eram as 
fluxões. Essa abordagem física é utilizada até hoje nos primeiros contatos com 
o cálculo diferencial e integral. Além disso, deve ser destacada a utilização 
das séries infinitas por Newton, que conferiu uma forma de lidar com funções 
mais complicadas por meio de expansão em séries. 
Por fim, o teorema fundamental do cálculo, que tanto Newton quanto Lei-
bniz alcançaram com maestria, pode ser visto como um dos grandes legados 
para o ensino do cálculo. De fato, o teorema fundamental do cálculo enuncia 
que se uma função f: [a, b] → ℝ é contínua e F é tal que: 
( ) =� ( ) , 
então ′ ( ) = ( ), ∀ ∈ [ , ], isto é,
( ) = ( ). 
A compreensão da relação de inversão entre as operações de derivadas e 
integrais é um dos mais importantes resultados da área, uma vez que diversos 
problemas matemáticos passam a ser resolvidos com a aplicação do teorema. 
Para mais detalhes históricos sobre os avanços de Newton e Leibniz no cálculo, 
ver Bardi (2008), e para detalhes técnicos, ver Stewart (2013).
A derivada também é aplicada para detectar pontos de mudança na 
curvatura (concavidade) de uma função. Esses pontos são chamados 
de pontos de inflexão de uma função (Figura 5).
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal8
Figura 5. Gráfico de uma função com seu ponto de inflexão destacado 
em verde. Observe que neste ponto há mudança de concavidade 
da curva.
Contexto histórico do cálculo na 
sala de aula
As motivações para o estudo do cálculo diferencial e integral, em muitas situa-
ções, são semelhantes às que levaram ao desenvolvimento da metodologia há 
séculos. O interesse no cálculo diferencial para cálculo de taxas instantâneas 
aparece em problemas físicos, biológicos, econômicos, estatísticos, entre 
outras áreas. O mesmo acontece para o estudo do cálculo integral, motivado 
pelo cálculo de áreas. 
Apesar da importante presença de recursos computacionais atualmente, 
com diversas implementações de ferramentas de cálculo que facilitaram 
aplicações e práticas, o olhar teórico e a interpretação dos elementos do 
cálculo desenvolvidos por Newton e Leibniz são fundamentais para uma 
completa compreensão da metodologia. 
Como já mencionado na seção anterior, Newton utilizou da abordagem 
física para chegar aos importantes resultados em cálculo diferencial, como 
no estudo do movimento. Essa abordagem é aplicada nos dias de hoje para 
trazer um cenário cotidiano para quem está com seus primeiros contatos 
na disciplina, uma vez que o impacto do cálculo é extremamente evidente 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 9
na cinemática. Na física do ensino médio, modelos de movimento retilíneo 
e uniforme (MRU) e retilíneo uniformemente variado (MRUV) são estudados. 
Neles, estuda-se o movimento sob a suposição de que a velocidade é constante 
no MRU ou varia com uma aceleração constante no MRUV. Quando ambas as 
taxas variam no decorrer do tempo, os modelos estabelecidos não descrevem 
o movimento na sua realidade. Nesse caso, a aplicação de derivadas torna-se 
uma importante saída para modelar tais movimentos. Dessa forma, fica bas-
tante evidente o impacto da ferramenta do cálculo diferencial nesse contexto, 
que foi utilizado como ponto de partida pelo próprio Newton no século XVII. 
Já Leibniz enfatiza a relação entre derivadas e integrais com diferenças e 
somas. A derivada é a razão de infinitésimos, isto é, variações ou diferenças 
muito pequenas de uma certa variável. Por outro lado, a integral pode ser 
vista como uma soma das partes infinitesimais que, no limite, resulta na área 
inteira dessas partes. Essa visão da integral é fundamental para a compreen-
são de sua definição e dos papéis da soma e do limite nesse procedimento. 
Portanto, apesar dos diversos avanços tecnológicos alcançados ao longo 
dos últimos séculos e dos diversos novos desafios matemáticos que surgiram 
com eles, o cálculo permanece como uma importante ferramenta matemática 
em diversas áreas, e as ideias de Newton e Leibniz estão sempre presentes 
tanto nos usos da metodologia como no seu ensino em sala de aula. 
É possível deduzir as fórmulas de velocidade e aceleração do MRU 
e MRUV por meio de derivadas. Vejamos:
1. (MRU) Considere a função posição de um objeto pontual em movimento 
retilíneo e uniforme (MRU):
S(t) = S0 + vt,
em que S0 é a posição inicial, v é a velocidade constante e t é o tempo. Observe 
que:
S' (t) = v,
isto é, a derivada da função posição do objeto é igual à sua velocidade, que 
nesse modelo é constante. 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal10
2. (MRUV) Considere agora a função posição de um objeto em movimento 
retilíneo uniformemente variado (MRUV)
( ) = 0 + 0 +
²
2 , 
em que v0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante. Sendo assim, 
temos que
′ ( ) = 0 +
2
2
= 0 + = ( ) 
ou seja, a partir da função posição, obtemos a fórmula da função velocidade 
por meio da primeira derivada de S(t). Além disso, 
S'' (t) = v' (t) = a,
isto é, a segunda derivada da função posição é a aceleraçãodo objeto, que 
neste modelo é constante. 
Considere um móvel em movimento retilíneo cuja posição S é de-
terminada em função do tempo t pelo modelo: 
S(t) = 7t3.
Assim, sua velocidade é dada pela derivada da função posição, 
v(t) = S' (t) = 21t²,
e sua aceleração é dada pela derivada da função velocidade ou segunda derivada 
da função posição
a(t) = v' (t) = S'' (t) = 42t.
Observe que tanto velocidade quanto aceleração variam ao longo do tempo, 
o que difere dos modelos de movimentos estudados no ensino médio, como 
MRU e MRUV. 
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Assim como em diversos conteúdos da física, fórmulas importantes da 
matemática também podem ser obtidas por derivação. O exemplo a seguir 
mostra como o vértice do gráfico de uma função quadrática pode ser calculado 
por meio de derivada.
Considere uma função quadrática genérica:
y = ax2 + bx + c,
a ≠ 0. Vamos deduzir as fórmulas do vértice (xv, yv) da parábola que descreve 
graficamente a função dada. Note que o vértice é um ponto ótimo (máximo ou 
mínimo) do gráfico. Obtendo a derivada da função, temos que:
y' = 2ax + b
Para obter o ponto ótimo, fazemos:
′ = 0 ⇒ 2 + = 0 ⇒ =
−
2
, 
que é a fórmula da abscissa do vértice, isto é, = −
2 . 
A ordenada pode ser obtida substituindo a expressão da abscissa na função 
genérica, 
=
−
2
2
+
−
2 + =
²
4 ² −
2
2 + =
2 − 2 2 + 4
4 =
− 2 + 4
4 ⇒ = −
∆
4 � � � �
em que ∆ = b2 – 4ac. Assim, obtemos a fórmula da ordenada do vértice, = − ∆
4 . 
Os exemplos anteriores ilustram bem a presença do cálculo em tópicos 
de matemática e física que são ensinados na educação básica. Outras situ-
ações em diversas áreas podem ser citadas, como o estudo da velocidade 
de reações químicas ou a taxa de variação do volume de um gás em química, 
ou a taxa de infecção de uma doença contagiosa na biologia, e assim por 
diante. Esses exemplos apresentam a importância e o alcance das ideias de 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal12
Newton e Leibniz no século XVII que culminaram na consolidação do cálculo 
diferencial e integral como ferramental matemático fundamental nas mais 
diversas áreas do conhecimento.
Referências
BARDI, J. S. A guerra do cálculo. Rio de Janeiro: Record, 2008.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
FLOOD, R.; WILSON, R. Os grandes matemáticos. São Paulo: M. Books, 2013.
ROONEY, A. A história da matemática. São Paulo: M. Books, 2012.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1.
TAVORA, M. The calculus according to Leibniz. 2020. Disponível em: https://towardsda-
tascience.com/the-calculus-according-to-leibniz-5ee1e485a5a2. Acesso em: 5 fev. 2021.
Leitura recomendada
SILVA, W. M. A descoberta do cálculo sob as perspectivas de Newton e Leibniz. 2015. 
Trabalho de Conclusão de Curso (Especialização em Matemática) – Programa de Pós-
-Graduação em Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 
2015. Disponível em: https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/BUOS-A44GV3/1/
monografia_warley.pdf. Acesso em: 5 fev. 2021.
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