Desenvolvimento do Cálculo Integral

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Comando da atividade:
Sabendo disso, faça uma pesquisa sobre como ocorreu o desenvolvimento do cálculo integral ao longo do tempo, com destaque para os nomes notáveis que contribuíram e considerando o contexto histórico em que foram desenvolvidos. Se possível, também é interessante abordar os conceitos de limites e derivação. 
Inclua na sua pesquisa uma abordagem sobre os problemas da velocidade que deram origem aos conceitos de limites, considerando o contexto histórico em que foram desenvolvidos. 
Conclua com uma reflexão sobre o estudo do conceito de velocidade que é visto no ensino médio. Você acredita que se soubesse a teoria dos limites teria compreendido melhor sobre velocidade?
O relatório precisa ser fluído e objetivo. Apresente claramente quais teorias e conceitos abordados nesta UC Digital estão relacionados à atividade. Lembre-se de redigir sua pesquisa com as suas palavras para não configurar plágio e se não se esqueça de elencar todas as referências utilizadas.
Enunciado da atividade:
A ideia básica do cálculo é a capacidade de quantificar como o limite de outras quantidades facilmente calculáveis. O conceito de limite surgiu ainda na antiguidade e apresenta conexão direta com o cálculo diferencial e o cálculo integral. Enquanto o cálculo diferencial surgiu de problemas tais como encontrar a tangente a uma curva, a velocidade de um carro, o cálculo integral surgiu para determinar a área de uma região ou a soma de uma série. Na realidade, poderíamos definir o cálculo como o ramo da matemática que trata de limites (STEWART, 2013).
STEWART, J. Cálculo, volume 1 . 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e o problema para encontrar a velocidade de um objeto envolvem a determinação do mesmo tipo de limite.
O desenvolvimento do cálculo integral ao longo do tempo foi um processo gradual que envolveu o trabalho de vários matemáticos e cientistas ao longo dos séculos. Aqui estão alguns marcos importantes nesse desenvolvimento:
1. Antiguidade: Os gregos antigos, como Arquimedes e Eudoxo, desenvolveram métodos para calcular áreas e volumes usando a aproximação por figuras geométricas. No entanto, eles não tinham uma teoria formal do cálculo integral.
2. Séculos XVII e XVIII: Isaac Newton e Gottfried Leibniz são considerados os pais do cálculo integral moderno. Newton desenvolveu um método chamado "fluxões", que permitia calcular as áreas sob curvas e as taxas de variação de grandezas. Leibniz introduziu o conceito de integral e desenvolveu a notação diferencial, que é amplamente usada até hoje.
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3. Século XIX: Durante o século XIX, o cálculo integral foi formalizado e aprofundado. O trabalho de matemáticos como Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass ajudou a estabelecer as bases teóricas do cálculo integral, definindo rigorosamente conceitos como limite, continuidade e integral.
4. Século XX: No século XX, o cálculo integral continuou a ser refinado e expandido. Novas técnicas, como a integral de Lebesgue, foram introduzidas para lidar com funções mais gerais e complicadas. Além disso, o cálculo integral foi aplicado em diversas áreas, como física, engenharia, economia e ciências da computação.
Atualmente, o cálculo integral é uma ferramenta fundamental em várias disciplinas científicas. Sua importância é evidente em problemas de modelagem matemática, na análise de funções e em cálculos de áreas, volumes, médias e estatísticas.
Os conceitos de limites em matemática foram desenvolvidos como uma abordagem para lidar com problemas e paradoxos relacionados à velocidade. No contexto histórico em que esses conceitos surgiram, houve uma necessidade de compreender melhor o movimento e suas propriedades.
Durante a antiguidade, várias tentativas foram feitas para entender o problema da velocidade. Aristóteles, por exemplo, propôs uma teoria do movimento contínuo, em que ele argumentava que um objeto em movimento era constantemente impulsionado e, portanto, poderia teoricamente percorrer infinitas distâncias em um período finito de tempo. Essa visão contradizia a intuição e gerava paradoxos, como o chamado "paradoxo de Aquiles e a tartaruga".
No entanto, foi apenas no século XVII que as bases matemáticas dos limites começaram a ser estabelecidas. O matemático e físico inglês Isaac Newton foi pioneiro na criação do cálculo diferencial, um ramo da matemática que lida especificamente com a noção de limite.
Newton introduziu o conceito de fluxão, que era uma abordagem primitiva para tratar a velocidade como uma grandeza que estava em constante mudança. Ele reconheceu que para entender o movimento, era necessário considerar a velocidade média de um objeto em intervalos cada vez menores de tempo. Essa noção de subdividir o tempo em intervalos infinitesimais foi uma precursora do conceito de limite.
Posteriormente, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveu uma notação mais conveniente para o cálculo diferencial, usando o que se tornou conhecido como notação do cálculo infinitesimal.
Os problemas da velocidade foram um dos principais impulsionadores para o desenvolvimento dos conceitos de limites e cálculo diferencial. A noção de limites permitiu uma abordagem mais rigorosa e precisa para compreender o comportamento de funções e quantidades em constante mudança, como a velocidade.
Assim, os problemas da velocidade e os paradoxos associados a eles desempenharam um papel significativo no desenvolvimento dos conceitos de limites e cálculo diferencial, fornecendo uma base matemática sólida para a compreensão do movimento e permitindo avanços significativos em várias disciplinas científicas. 
A teoria dos limites é essencial para compreender conceitos como velocidade. A velocidade é definida como a taxa de variação de posição em relação ao tempo, o que pode ser representado matematicamente como o limite da variação de posição dividido pela variação de tempo. Portanto, ao compreender os conceitos da teoria dos limites, seria mais fácil entender como a velocidade é calculada e como ela está relacionada à taxa de variação de posição ao longo do tempo.
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