Condições de Cauchy-Riemann

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Engenharia Elétrica
Disciplina: Variáveis Complexas
3º Semestre - Prof. MSc. Edson Silva
Unid. I Cap. 3 – Funções Analíticas
2
3.1 – Definição de Função Analítica.
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann.
3.2.1 – Condições de Cauchy - Riemann em 
Coordenadas Polares.
3.3 – Funções Analíticas.
3.3.1 – Equação de Laplace.
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares.
Unid. I Cap. 3 – Funções Analíticas
3
Se 𝑓! 𝑧 existe no ponto 𝑧" e em todos os pontos 
de uma dada vizinhança de 𝑧" , então 𝑓(𝑧) é 
denominada uma função analítica.
 Uma função 𝑓(𝑧) é analítica na região ℛ se ela é 
analítica em todos os pontos dessa região. 
 Se uma função 𝑓(𝑧) possui derivada no ponto 𝑧" 
ela é necessariamente contínua no ponto 𝑧". 
lim
∆$→"
𝑓 𝑧" + ∆𝑧 − 𝑓(𝑧") = lim
∆$→"
& $!'∆$ (&($!)
∆$
lim
∆$→"
∆𝑧 = 0
⟹ lim
∆$→"
𝑓 𝑧" + ∆𝑧 = 𝑓 𝑧"
3.1 – Definição de Função Analítica
4
Cauchy e Riemann criaram um método simples 
para testar a analiticidade de 𝑓 𝑧 , demonstrado abaixo.
 𝑓! 𝑧 = lim
∆$→"
& $'∆$ (& $
∆$
			e 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) +𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
 Fazendo o limite ao longo do eixo 𝑥, temos ∆𝑦 = 0.
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
𝑓’ 𝑧 = lim
∆"→$
∆%→$
𝑢 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑢 𝑥, 𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
+ 𝑖 lim
∆"→$
∆%→$
𝑣 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑣 𝑥, 𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
𝑓’ 𝑧 = lim
∆"→$
𝑢 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑢 𝑥, 𝑦
∆𝑥
+ 𝑖 lim
∆"→$
𝑣 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑣 𝑥, 𝑦
∆𝑥
𝑓’(𝑧) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(3.1)
5
 Fazendo o limite ao longo do eixo 𝑦, temos ∆𝑥 = 0.
 Igualando a Eq. (3.1) com a Eq. (3.2), temos:
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
𝑓’ 𝑧 = lim
∆"→$
∆%→$
𝑢 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑢 𝑥, 𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
+ 𝑖 lim
∆"→$
∆%→$
𝑣 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑣 𝑥, 𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
𝑓’ 𝑧 = lim
∆%→$
𝑢 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑢 𝑥, 𝑦
𝑖∆𝑦
+ 𝑖 lim
∆%→$
𝑣 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑣 𝑥, 𝑦
𝑖∆𝑦
𝑓’ 𝑧 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
− 𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑦 (3.2)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦 (3.3)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(3.4)
6
Condição necessária: 
 - A função 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) é analítica na 
região ℛ , então 𝑢(𝑥, 𝑦) e 𝑣(𝑥, 𝑦) satisfazem as 
condições de Cauchy-Riemann [Eq. (3.3) e Eq. (3.4)] 
em todos os pontos de ℛ. 
 Condição necessária e suficiente:
 - Se as derivadas parciais 𝑢+ , 𝑣+ , 𝑢, 	 e 𝑣, 	são 
contínuas em ℛ , então as condições de Cauchy-
Riemann são suficientes para 𝑓(𝑧) ser analítica em ℛ.
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
7
Ex. 3.1 – Verificar as condições de Cauchy-Riemann 
para 𝑓 𝑧 = 𝑧- = 𝑥- − 𝑦- + 2𝑥𝑦𝑖 e obter 𝑓’ 𝑧 .	
 Sol. Ex. 3.1. 
	 𝑢+ =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕(𝑥- − 𝑦-)
𝜕𝑥
= 2𝑥
	 𝑣, =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑦
= 2𝑥
	 𝑢, =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕(𝑥- − 𝑦-)
𝜕𝑦
= −2𝑦
	 𝑣+ =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑦
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
Eq. (3.3) satisfeita
Eq. (3.4) satisfeita
8
Cont. Sol. Ex. 3.1. 
 Como as derivadas parciais 𝑢+ , 𝑣+ , 𝑢, 	 e 𝑣, 	são 
contínuas em todo o plano 𝑧 e as condições de Cauchy-
Riemann são satisfeitas, então 𝑓’ 𝑧 existe e pode ser 
obtida pela Eq. (3.1) ou pela Eq. (3.2).
 Aplicando a Eq. (3.1), vem:
	 𝑓’ 𝑧 = 𝑢+ + 𝑖𝑣+ = 2𝑥 + 𝑖(2𝑦) = 2(𝑥 + 𝑖𝑦) = 2𝑧
 Aplicando a Eq. (3.2), temos:
	 𝑓’ 𝑧 = 𝑣, − 𝑖𝑢, = 2𝑥 − 𝑖(−2𝑦) = 2(𝑥 + 𝑖𝑦) = 2𝑧
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
9
Ex. 3.2 – Verificar as condições de Cauchy-Riemann 
para 𝑓 𝑧 = ̅𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 e obter 𝑓’ 𝑧 	se possível.	
 Sol. Ex. 3.2. 
	 𝑢+ =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕(𝑥)
𝜕𝑥
= 1
	 𝑣, =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕(−𝑦)
𝜕𝑦
= −1
	 𝑢, =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕(𝑥)
𝜕𝑦
= 0
	 𝑣+ =
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕(−𝑦)
𝜕𝑥
= 0
 Cauchy-Riemann não atendido, logo ∄	𝑓’ 𝑧 .
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
Eq. (3.3) não satisfeita
Eq. (3.4) satisfeita
10
Ex. 3.3 – Verificar as condições de Cauchy-Riemann 
para 𝑓 𝑧 = .
$
= .
+'/,
= +
+"',"
+ 𝑖 − ,
+"',"
	e obter 𝑓’ 𝑧 .
 Sol. Ex. 3.3. 
𝑢+ =
𝜕 𝑥
𝑥- + 𝑦-
𝜕𝑥 =
1 𝑥- + 𝑦- − 𝑥 2𝑥
𝑥- + 𝑦- - =
𝑦- − 𝑥-
𝑥- + 𝑦- -
𝑣, =
𝜕 − 𝑦
𝑥- + 𝑦-
𝜕𝑦 =
−1 𝑥- + 𝑦- − −𝑦 2𝑦
𝑥- + 𝑦- - =
𝑦- − 𝑥-
𝑥- + 𝑦- -
	
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
11
Cont. Sol. Ex. 3.3. 
	 𝑢, =
𝜕 𝑥
𝑥- + 𝑦-
𝜕𝑦 =
0 − 𝑥 2𝑦
𝑥- + 𝑦- - =
−2𝑥𝑦
𝑥- + 𝑦- -
	 𝑣+ =
𝜕 − 𝑦
𝑥- + 𝑦-
𝜕𝑥
=
0 − −𝑦 2𝑥
𝑥- + 𝑦- - =
2𝑥𝑦
𝑥- + 𝑦- -
 Cauchy-Riemann atendido. Aplicando a Eq. (3.1):
𝑓’ 𝑧 =
𝑦- − 𝑥-
𝑥- + 𝑦- - + 𝑖
2𝑥𝑦
𝑥- + 𝑦- - = −
𝑥- − 𝑦- − 𝑖2𝑥𝑦
𝑥- + 𝑦- -
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
12
Cont. Sol. Ex. 3.3. 
	 𝑓’ 𝑧 = −
𝑥& − 𝑦& − 𝑖2𝑥𝑦
𝑥& + 𝑦& & = −
𝑥& − 𝑦& − 𝑖2𝑥𝑦
𝑥& − 𝑦& & + 4𝑥&𝑦&
	 𝑓’ 𝑧 = −
1
𝑥& − 𝑦& + 𝑖2𝑥𝑦
= −
1
𝑥& + 𝑖2𝑥𝑦 + 𝑖𝑦 &
	 𝑓’ 𝑧 = −
1
𝑥 + 𝑖𝑦 & = −
1
𝑧&
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
𝑓’ 𝑧 = −
𝑥& − 𝑦& − 𝑖2𝑥𝑦
𝑥& − 𝑦& & − 𝑖2𝑥𝑦 & = −
𝑥& − 𝑦& − 𝑖2𝑥𝑦
𝑥& − 𝑦& − 𝑖2𝑥𝑦 𝑥& − 𝑦& + 𝑖2𝑥𝑦
13
Cont. Sol. Ex. 3.3. 
 Utilizando o MATLAB®
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
Eq. (3.3) 
atendida
Eq. (3.4) 
atendida
14
Ex. 3.4 – Verificar as condições de Cauchy-Riemann 
para as funções abaixo e calcular 𝑓’ 𝑧 , se possível.
a 	𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥 + 𝑖𝑦 = 2𝑥 + 𝑖𝑥𝑦-
b 	𝑓 𝑧 = 𝑧0 = (𝑥 + 𝑖𝑦)0= 𝑥0 − 3𝑥𝑦- + 3𝑥-𝑦 − 𝑦0 𝑖
c 	𝑓 𝑧 = 𝑒$ = 𝑒+'/, = 𝑒+𝑒/, = 𝑒+ cos 𝑦 + 𝑖 sen 𝑦
Ex. 3.5 – Obter os valores dos números reais 𝑎 e 𝑏 que 
tornam 𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥- + 𝑎𝑦- + 𝑦 + 𝑖(𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑥) 
uma função analítica da variável complexa 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
15
Ex. 3.6 – Se 𝑢 𝑥, 𝑦 = 4𝑥0𝑦 − 4𝑥𝑦0 , existe alguma 
função 𝑣 𝑥, 𝑦 tal que 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 é analítica?
 Sol. Ex. 3.6. 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
	⟹
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕 4𝑥0𝑦 − 4𝑥𝑦0
𝜕𝑥
= 12𝑥-𝑦 − 4𝑦0
⟹ 𝑣 = J12𝑥-𝑦 − 4𝑦0𝑑𝑦 = 6𝑥-𝑦- − 𝑦1 + 𝑔(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
	⟹
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −
𝜕 4𝑥0𝑦 − 4𝑥𝑦0
𝜕𝑦
= −4𝑥0 + 12𝑥𝑦-
⟹ 𝑣 = J12𝑥𝑦- − 4𝑥0𝑑𝑥 = 6𝑥-𝑦- − 𝑥1 + ℎ(𝑦)
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
16
Cont. Sol. Ex. 3.6. 
 Igualando os dois resultados de 𝑣, temos:
	 𝑣 = 6𝑥-𝑦- − 𝑦1 + 𝑔 𝑥 = 6𝑥-𝑦- − 𝑥1 + ℎ 𝑦
	⟹ 	 O
𝑔 𝑥 = −𝑥1
ℎ 𝑦 = −𝑦1
	 ∴ 𝑣 = 6𝑥-𝑦- − 𝑥1 − 𝑦1
 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦
⟹ 	 𝑓 𝑧 = 4𝑥0𝑦 − 4𝑥𝑦0 + 𝑖 6𝑥-𝑦- − 𝑥1 − 𝑦1
 Desenvolvendo 𝑧1 = 𝑥 + 𝑖𝑦 1 é possível observar 
que 𝑓 𝑧 	 é dada por:
	 𝑓 𝑧 = −𝑖𝑧1
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
17
Fig. 3.1 – Gráficos de 𝑢 = ℜe −𝑖𝑧! 	e 𝑣 = ℑm −𝑖𝑧! .
3.2 – Condições de Cauchy-Riemann
18
Coordenadas polares: 𝑥 = 𝑟cos𝜑 e 𝑦 = 𝑟sen𝜑.
	 𝑢2 =
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
= 𝑢+cos𝜑 + 𝑢,sen𝜑
	 𝑣3 =
𝜕𝑣
𝜕𝜑
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜑
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜑
= −𝑣+𝑟sen𝜑 + 𝑣,𝑟cos𝜑
	 𝑢2 = 𝑢+cos𝜑 + 𝑢,sen𝜑
	 𝑣3 = −𝑣+𝑟sen𝜑 + 𝑣,𝑟cos𝜑
	 𝑟𝑢2 − 𝑣3 = 𝑢+ − 𝑣, 𝑟cos𝜑 + 𝑢, + 𝑣+ 𝑟sen𝜑
	 𝑢+ − 𝑣, = 𝑢, + 𝑣+ = 0 
𝑟𝑢2 − 𝑣3 = 0	 ⟹ 	 𝑟𝑢2 = 𝑣3 
3.2.1 – Condições de Cauchy-Riemann em 
Coordenadas Polares
×	𝑟
+
×	(−1)
∴ 𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝜕𝑣
𝜕𝜑 (3.5)
19
Coordenadas polares: 𝑥 = 𝑟cos𝜑 e 𝑦 = 𝑟sen𝜑.
	 𝑢3 =
𝜕𝑢
𝜕𝜑
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜑
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜑
= −𝑢+𝑟sen𝜑 + 𝑢,𝑟cos𝜑
	 𝑣2 =
𝜕𝑣
𝜕𝑟
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
= 𝑣+cos𝜑 + 𝑣,sen𝜑
	 𝑢3 = −𝑢+𝑟sen𝜑 + 𝑢,𝑟cos𝜑
	 𝑣2 = 𝑣+cos𝜑 + 𝑣,sen𝜑
	 𝑢3 + 𝑟𝑣2 = 𝑣, − 𝑢+ 𝑟sen𝜑 + 𝑣+ + 𝑢, 𝑟cos𝜑
	 𝑢+ − 𝑣, = 𝑢, + 𝑣+ = 0 
	 𝑢3 + 𝑟𝑣2 = 0	 ⟹ 𝑢3 = −𝑟𝑣2
3.2.1 – Condições de Cauchy-Riemann em 
Coordenadas Polares
+
×	𝑟
∴
𝜕𝑢
𝜕𝜑
= −𝑟
𝜕𝑣
𝜕𝑟 (3.6)
20
Teorema
Seja 𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑟𝑒/3 = 𝑢 𝑟, 𝜑 + 𝑖𝑣 𝑟, 𝜑 definida
em uma vizinhança de um ponto 𝑧" = 𝑟"𝑒/3!, com as
funções 𝑢2 =
45
42
, 𝑢3 =
45
43
, 𝑣2 =
46
42
e 𝑣3 =
46
43
	 existindo
nessa vizinhança, contínuas em 𝑟", 𝜑" e com 𝑓 𝑧
diferenciável em 𝑧", temos:
3.2.1 – Condições de Cauchy-Riemann em 
Coordenadas Polares
𝑓! 𝑧" = 𝑒(/3! 𝑢2 𝑟", 𝜑" + 𝑖𝑣2 𝑟", 𝜑" (3.7)
𝑓! 𝑧" = 7#$%!
2
𝑣3 𝑟", 𝜑" − 𝑖𝑢3 𝑟", 𝜑" (3.8)
crpolar.pdf
21
Ex. 3.7 – Verifique as condições de Cauchy-Riemann 
para 𝑓 𝑧 = .
$"
= .
2"7$"%
=89: -3
2"
− 𝑖 :; com 𝑘 = 1, 2,⋯ , 𝑛 são funções analíticas, as 
constantes 𝑎> são funções analíticas, o produto e a 
soma de funções analíticas é uma função analítica.
 Uma função racional (quociente de duas funções 
polinomiais) é analítica em ℛ ⊂ ℂ se os pólos de 𝑟 𝑧 , 
isto é, as raízes de 𝑞 𝑧 = 0, estão fora da região ℛ .
3.3 – Funções Analíticas
𝑟 𝑧 =
𝑝(𝑧)
𝑞(𝑧)
(3.9)
https://www.youtube.com/watch?v=PybGMXKTp7c
28
Ex. 3.10 – Determine se a função definida por 𝑓 𝑧 =
(2 + 5𝑧)/(𝑖 − 3𝑧) é analítica no disco aberto ℛ: 𝑧 0 
tal que o círculo 𝑧 − 𝑧" = 𝛿 circunde apenas o ponto 
singular z0. 
 Caso não seja possível encontrar um 𝛿 > 0 , o 
ponto é denominado ponto singular não isolado.
 Ex.: 𝑓 𝑧 = 1/sen(1/𝑧), tem pólos em 𝑧 = 1/(𝑚𝜋) 
com distância entre polos sucessivos diminuindo, logo 
𝑧" = 0 é um ponto singular não isolado.
 
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
𝛿 > 0
𝑧"
35
 Pólos: pode-se encontrar um número positivo 
inteiro 𝑛 tal que lim
$→$!
𝑧 − 𝑧" =𝑓 𝑧 = 𝑎, onde 𝑎	 é um 
complexo não nulo, então 𝑧 = 𝑧" é um pólo de ordem 𝑛.
 Se 𝑎 = 0, então o pólo é de ordem inferior a 𝑛 ou 
𝑓 𝑧 é analítica. 
 Se 𝑎 → ∞, então o pólo é de ordem superior a 𝑛.
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
𝑧 = 0: ponto	singular	não	isolado	de	𝑓 𝑧 =
1
sen 1/𝑧
36
Ex. 3.14 – Calcule os pólos e zeros de 𝑓 𝑧 = .
$
+ ?($
$(- ".
 Sol. Ex. 3.14.
	 𝑓 𝑧 =
𝑧 − 2 - + 6 − 𝑧 𝑧
𝑧 𝑧 − 2 - =
2𝑧 + 4
𝑧 𝑧 − 2 -
	 𝑎 = lim
$→$!
𝑧 − 𝑧" =𝑓 𝑧 = lim
$→"
𝑧=(2𝑧 + 4)
𝑧 𝑧 − 2 -
𝑛 = 1	 ⟹ 𝑎 = lim
$→"
2𝑧 + 4
𝑧 − 2 - =
4
−2 - ≠ 0	(𝑧 = 0	ordem	1)
	𝑎 = lim
$→$!
𝑧 − 𝑧" =𝑓 𝑧 = lim
$→-
𝑧 − 2 =(2𝑧 + 4)
𝑧 𝑧 − 2 -
𝑛 = 2	 ⟹ 𝑎 = lim
$→-
(2𝑧 + 4)/𝑧 = 8/2 ≠ 0 𝑧 = 2	ordem	2
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
37
Cont. Sol. Ex. 3.14.
 Cálculo dos zeros:
𝑓 𝑧 = 0	 ⟹ 	2𝑧 + 4 = 0	 ⟹ 	𝑧 = −2	(ordem	1)
lim
$→@
𝑓 𝑧 = lim
$→@
2𝑧/𝑧0 = lim
$→@
2/𝑧- = 0	(𝑧 = ∞	ordem	2)
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
𝑓 𝑧 =
1
𝑧
+
6 − 𝑧
𝑧 − 2 - =
2𝑧 + 4
𝑧 𝑧 − 2 -
pólos 𝑧 = 0	ordem	1	e	𝑧 = 2	ordem	2
zeros 𝑧 = −2	ordem	1	e	𝑧 = ∞	ordem	2
38
Se lim
$→$!
𝑧 − 𝑧" =𝑓 𝑧 = 𝑎 ≠ 0 não pode ser 
satisfeita para nenhum valor positivo inteiro 𝑛, então 𝑧 =
𝑧" é chamado singularidade essencial.
 A função 𝑓 𝑧 = exp(1/𝑧) possui uma 
singularidade essencial em 𝑧 = 0.
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
Fig. 3.2 – O relevo da função exp(1/𝑧) 
centrada em 𝑧 = 0 com mapeamento de 
fase (visão panorâmica).
39
 Uma singularidade é dita removível se 𝑓 𝑧 toma a 
forma 0/0, mas lim
$→$!
𝑓 𝑧 existe e independe da direçãona qual aproxima-se de 𝑧". 
 Ex. 3.15 – Mostre que a função 𝑓 𝑧 = sen(𝑧)/𝑧 
possui uma singularidade removível em 𝑧 = 0.
 Sol. Ex. 3.15. 
𝑓 𝑧 =
sen 𝑧
𝑧
=
1
𝑧
𝑧 −
𝑧0
3!
+
𝑧A
5!
− ⋯ = 1 −
𝑧-
3!
+
𝑧1
5!
− ⋯
	 lim
$→$!
𝑓 𝑧 = lim
$→"
sen 𝑧
𝑧
= 1
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
40
Singularidades isoladas.
 - Singularidades removíveis:
sen 𝑧
𝑧
;
1 − cos 𝑧
𝑧
;
𝑒$ − 1
𝑧
 - Pólos de ordem finita:
1
𝑧
;
1
𝑧-
;
1
(𝑧 − 1)B
;
2𝑧 + 3
𝑧 − 1 -(𝑧 + 2)
 - Singularidades essenciais (pólos de ordem infinita): 
sen 1/𝑧 ; 	𝑒 ./$
3.3.2 – Tipos de Pontos Singulares
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