Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - Avaliação Online AO2

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Avaliação Online AO2 
1 - Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são 
espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. 
Baseado neste conceito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais. 
( ) Um plano é um subespaço de R². 
( ) Um ponto é um subespaço de R. 
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R². 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - F - F - V. 
V - V - F - F. 
F - F - V - V. 
F - V - V - F. 
 
2 - A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço 
A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com 
extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na 
imagem, assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
AC. 
AE. 
AD. 
AB. 
 
3 - Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão 
na mesma direção. Ao trabalhar com a noção de Espaço Vetorial, duas retas são paralelas se 
existir um plano que as contém, e se essas retas não se tocarem. Assim, elas estão na mesma 
direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o 
mesmo. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos. 
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos. 
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos. 
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças I e III estão corretas. 
As sentenças I e IV estão corretas. 
As sentenças II e III estão corretas. 
Somente a sentença IV está correta. 
 
4 - Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços 
vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar 
se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisto, assinale 
a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do vetor (1, -2, 4) quando aplicado na 
transformação a seguir: 
 
 
(3, -2). 
(-3, 2). 
(-3, -2). 
(-5, 2). 
 
5 - Na álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente 
independentes, que geram esse espaço. Uma razão importante para utilizar uma base B para 
um espaço vetorial qualquer V e, em particular para o Rn, é poder estabelecer um sistema de 
coordenadas no espaço vetorial. Baseado nisto, analise o conjunto de vetores a seguir e 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
B = {(1,2),(-1,3)} 
O conjunto é uma base para R. 
Não é base, pois não é LI. 
O conjunto é uma base para R³. 
O conjunto é uma base para R². 
 
6 - Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se 
pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD: 
{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}. 
{(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}. 
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. 
{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}. 
 
7 - De acordo com o teorema da diagonalização, um operador linear é diagonalizável, se e 
somente se a matriz da transformação linear (n x n) possuir "n" autovetores linearmente 
independentes. Baseado nisto, calcule os autovalores da transformação a seguir e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
8 - No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se 
relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse 
conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. 
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 2. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - V. 
V - F - V - V. 
V - F - F - F. 
F - F - V - V. 
 
9 - Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto 
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta 
operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em 
particular, o módulo deste resultado calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três 
vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - F - F - V. 
F - F - V - F. 
F - V - F - F. 
V - F - F - F. 
 
10 - O núcleo e a imagem de uma transformação linear são dois subespaços de seu domínio e 
de seu contradomínio, respectivamente, que nos fornecem informações operatórias valiosas 
sobre a transformação. Baseado nisto, utilizando seus conceitos sobre núcleo e imagem de 
uma transformação, dada a transformação a seguir, verifique a imagem do vetor (4,1,2) para 
esta transformação e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
A imagem é o vetor (0,0,0) e, desta forma, pertence ao núcleo da transformação. 
A imagem é o vetor (1,0,0) e, desta forma, pertence ao núcleo da transformação. 
A imagem é o vetor (0,0,0) e, desta forma, não pertence ao núcleo da transformação. 
A imagem é o vetor (1,0,0) e, desta forma, não pertence ao núcleo da transformação.