CEHFW escolas a

Prévia do material em texto

Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de \( n \), denotada por 
\( \sigma(n) \), se \( n \) é da forma \( p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \)? 
A) \( \prod_{i=1}^{m} \frac{p_i^{k_i + 1} - 1}{p_i - 1} \) 
B) \( \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \) 
C) \( \prod_{i=1}^{m} (k_i + 1) \) 
D) \( \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i + 1} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A soma dos divisores de um número \( n \) que é o produto de primos 
elevados a potências é dada pela fórmula \( \sigma(n) = \prod_{i=1}^{m} \frac{p_i^{k_i + 1} 
- 1}{p_i - 1} \). 
 
Questão 42: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a quantidade de números primos \( p \) tal 
que \( p \leq n \) e \( p \equiv 3 \mod 8 \)? 
A) Sempre é par. 
B) Sempre é ímpar. 
C) Pode ser zero. 
D) Sempre é maior que \( \sqrt{n} \). 
Resposta: C) 
Explicação: Assim como nas questões anteriores, não há garantia de que existam 
números primos da forma \( p \equiv 3 \mod 8 \) para todos os \( n \), portanto, pode haver 
casos em que a quantidade é zero. 
 
Questão 43: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de \( n \), denotada por 
\( \sigma(n) \), se \( n \) é da forma \( p^k \), onde \( p \) é primo e \( k \) é um inteiro 
positivo? 
A) \( \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1} \) 
B) \( p^{k+1} \) 
C) \( \frac{p^{k} - 1}{p - 1} \) 
D) \( p^{k} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A soma dos divisores de um número primo elevado a uma potência é dada 
por \( \sigma(n) = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1} \). 
 
Questão 44: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a quantidade de números primos \( p \) tal 
que \( p \leq n \) e \( p \equiv 4 \mod 8 \)? 
A) Sempre é par. 
B) Sempre é ímpar. 
C) Pode ser zero. 
D) Sempre é maior que \( \sqrt{n} \). 
Resposta: C) 
Explicação: Assim como nas questões anteriores, não há garantia de que existam 
números primos da forma \( p \equiv 4 \mod 8 \) para todos os \( n \), portanto, pode haver 
casos em que a quantidade é zero. 
 
Questão 45: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de \( n \), denotada por 
\( \sigma(n) \), se \( n \) é da forma \( p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \)? 
A) \( \prod_{i=1}^{m} \frac{p_i^{k_i + 1} - 1}{p_i - 1} \) 
B) \( \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \) 
C) \( \prod_{i=1}^{m} (k_i + 1) \) 
D) \( \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i + 1} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A soma dos divisores de um número \( n \) que é o produto de primos 
elevados a potências é dada pela fórmula \( \sigma(n) = \prod_{i=1}^{m} \frac{p_i^{k_i + 1} 
- 1}{p_i - 1} \). 
 
Questão 46: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a quantidade de números primos \( p \) tal 
que \( p \leq n \) e \( p \equiv 5 \mod 8 \)? 
A) Sempre é par. 
B) Sempre é ímpar. 
C) Pode ser zero. 
D) Sempre é maior que \( \sqrt{n} \). 
Resposta: C) 
Explicação: Assim como nas questões anteriores, não há garantia de que existam 
números primos da forma \( p \equiv 5 \mod 8 \) para todos os \( n \), portanto, pode haver 
casos em que a quantidade é zero. 
 
Questão 47: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de \( n \), denotada por 
\( \sigma(n) \), se \( n \) é da forma \( p^k \), onde \( p \) é primo e \( k \) é um inteiro 
positivo? 
A) \( \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1} \) 
B) \( p^{k+1} \) 
C) \( \frac{p^{k} - 1}{p - 1} \) 
D) \( p^{k} \) 
Resposta: A) 
Explicação: A soma dos divisores de um número primo elevado a uma potência é dada 
por \( \sigma(n) = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1} \). 
 
Questão 48: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a quantidade de números primos \( p \) tal 
que \( p \leq n \) e \( p \equiv 6 \mod 8 \)? 
A) Sempre é par. 
B) Sempre é ímpar. 
C) Pode ser zero. 
D) Sempre é maior que \( \sqrt{n} \). 
Resposta: C) 
Explicação: Assim como nas questões anteriores, não há garantia de que existam 
números primos da forma \( p \equiv 6 \mod 8 \) para todos os \( n \), portanto, pode haver 
casos em que a quantidade é zero. 
 
Questão 49: 
Seja \( n \) um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de \( n \), denotada por 
\( \sigma(n) \), se \( n \) é da forma \( p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \)? 
A) \( \prod_{i=1}^{m} \frac{p_i^{k_i + 1} - 1}{p_i - 1} \) 
B) \( \prod_{i=1}^{m} p_i^{k_i} \) 
C) \( \prod_{i=1}^{m} (k_i + 1) \)