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6. Qual das seguintes afirmações sobre o espaço topológico ℝ com a topologia usual é verdadeira? a) ℝ é compacto. b) ℝ é conexo. c) ℝ é discreto. d) ℝ é finito. Resposta: b) ℝ é conexo. Explicação: ℝ não pode ser dividido em dois conjuntos abertos disjuntos.
a) ℝ é compacto.
b) ℝ é conexo.
c) ℝ é discreto.
d) ℝ é finito.

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Vamos analisar as alternativas sobre o espaço topológico ℝ com a topologia usual: a) ℝ é compacto. - FALSO. O espaço ℝ não é compacto, pois não é possível cobri-lo com um número finito de conjuntos abertos que o cubram. b) ℝ é conexo. - VERDADEIRO. O espaço ℝ é conexo, pois não pode ser dividido em dois conjuntos abertos disjuntos que sejam não vazios. c) ℝ é discreto. - FALSO. A topologia usual em ℝ não é discreta, pois não cada ponto é um conjunto aberto. d) ℝ é finito. - FALSO. ℝ é um conjunto infinito. Portanto, a alternativa correta é: b) ℝ é conexo.

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2. Se f: X → Y é uma função contínua entre espaços topológicos, qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) A imagem de um conjunto fechado em X é sempre fechada em Y. b) A imagem de um conjunto aberto em X é sempre aberta em Y. c) A pré-imagem de um conjunto aberto em Y é sempre aberta em X. d) A pré-imagem de um conjunto fechado em Y é sempre fechada em X. Resposta: c) A pré-imagem de um conjunto aberto em Y é sempre aberta em X. Explicação: A continuidade de f garante que a pré-imagem de conjuntos abertos em Y é aberta em X.
a) A imagem de um conjunto fechado em X é sempre fechada em Y.
b) A imagem de um conjunto aberto em X é sempre aberta em Y.
c) A pré-imagem de um conjunto aberto em Y é sempre aberta em X.
d) A pré-imagem de um conjunto fechado em Y é sempre fechada em X.

3. Qual das seguintes propriedades é verdadeira para um espaço topológico X que é Hausdorff? a) Todo conjunto compacto em X é fechado. b) Todo conjunto aberto em X é denso. c) Todo conjunto fechado em X é compacto. d) Todo espaço Hausdorff é conexo. Resposta: a) Todo conjunto compacto em X é fechado. Explicação: Em um espaço Hausdorff, conjuntos compactos são sempre fechados.
a) Todo conjunto compacto em X é fechado.
b) Todo conjunto aberto em X é denso.
c) Todo conjunto fechado em X é compacto.
d) Todo espaço Hausdorff é conexo.

4. Se A e B são subconjuntos de um espaço topológico X, qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a interseção A ∩ B? a) Se A é aberto e B é fechado, então A ∩ B é aberto. b) Se A e B são ambos fechados, então A ∩ B é fechado. c) Se A é denso e B é fechado, então A ∩ B é denso. d) Se A é aberto e B é aberto, então A ∩ B é fechado. Resposta: b) Se A e B são ambos fechados, então A ∩ B é fechado. Explicação: A interseção de conjuntos fechados é sempre fechada.
a) Se A é aberto e B é fechado, então A ∩ B é aberto.
b) Se A e B são ambos fechados, então A ∩ B é fechado.
c) Se A é denso e B é fechado, então A ∩ B é denso.
d) Se A é aberto e B é aberto, então A ∩ B é fechado.

5. O que caracteriza um espaço topológico como conexo? a) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos abertos disjuntos. b) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos fechados disjuntos. c) Todo conjunto aberto é denso. d) Todo conjunto fechado é compacto. Resposta: a) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos abertos disjuntos. Explicação: Um espaço é conexo se não pode ser dividido em duas partes abertas disjuntas.
a) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos abertos disjuntos.
b) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos fechados disjuntos.
c) Todo conjunto aberto é denso.
d) Todo conjunto fechado é compacto.

7. Se X é um espaço topológico e A ⊆ X é um conjunto denso, qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) O fechamento de A é igual a A. b) A interseção de A com qualquer conjunto aberto é não vazia. c) A é compacto. d) A é fechado. Resposta: b) A interseção de A com qualquer conjunto aberto é não vazia. Explicação: Um conjunto denso intersecta qualquer conjunto aberto.
a) O fechamento de A é igual a A.
b) A interseção de A com qualquer conjunto aberto é não vazia.
c) A é compacto.
d) A é fechado.

8. O que é um espaço topológico totalmente desconexo? a) Todo subconjunto é aberto. b) Cada conjunto com mais de um ponto é desconexo. c) Não contém conjuntos abertos não vazios. d) É um espaço com exatamente dois pontos. Resposta: b) Cada conjunto com mais de um ponto é desconexo. Explicação: Em um espaço totalmente desconexo, não existem conjuntos conexos com mais de um ponto.
a) Todo subconjunto é aberto.
b) Cada conjunto com mais de um ponto é desconexo.
c) Não contém conjuntos abertos não vazios.
d) É um espaço com exatamente dois pontos.

9. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a topologia discreta em um conjunto X? a) Todos os subconjuntos são fechados. b) Todos os subconjuntos são abertos. c) O conjunto vazio é o único conjunto fechado. d) O conjunto X não é conexo. Resposta: b) Todos os subconjuntos são abertos. Explicação: Na topologia discreta, todos os subconjuntos são considerados abertos.
a) Todos os subconjuntos são fechados.
b) Todos os subconjuntos são abertos.
c) O conjunto vazio é o único conjunto fechado.
d) O conjunto X não é conexo.

10. Se f: X → Y é uma função contínua e Y é compacto, qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) A imagem de f é sempre compacta. b) A imagem de f é sempre aberta. c) A pré-imagem de um conjunto fechado em Y é sempre fechada em X. d) A imagem de f é sempre conexa. Resposta: a) A imagem de f é sempre compacta. Explicação: A imagem de um conjunto compacto sob uma função contínua é compacta.
a) A imagem de f é sempre compacta.
b) A imagem de f é sempre aberta.
c) A pré-imagem de um conjunto fechado em Y é sempre fechada em X.
d) A imagem de f é sempre conexa.

11. Qual das seguintes propriedades é verdadeira para um espaço topológico que é metrizável? a) É sempre compacto. b) É sempre Hausdorff.
a) É sempre compacto.
b) É sempre Hausdorff.