Cálculo de Derivadas e Limites

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3.6 – Aplicação das Derivadas 
3.6.1 – Determinação da Recta Tangente e Normal a Curva 
 
 
Recta tangente 
Seja 𝑓(𝑥) é continua em 𝑥0 , então: 
1. 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) – Recta Tangente: 𝒕 
𝑚 = 𝑦′(𝑥0) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
Se, 𝑦′(𝑥0) = ∞ ⇒ 𝑥 = 𝑥0 , recta vertical 
Recta normal 
A recta normal n ao gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto 
𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) é a recta perpendicular a recta tangente t. 
Duas rectas 𝑡 e n são perpendiculares se: 𝑚𝑛.𝑚𝑡 = −1. 
A equação da recta normal é dada por: 
𝑦 − 𝑦0 = −
1
𝑚
. (𝑥 − 𝑥0)- Recta Normal: 𝒏 
Se 𝑚 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑥0 ⇒ recta vertical 
Se 𝑚 = ∞ ⇒ 𝑦 = 𝑦0 recta horizontal 𝑦 = 𝑦0. 
 
 
Ex1: Encontre as equações das rectas tangente e normal à curva 𝑦 = 𝑥2 no ponto 𝑃(2; 4). 
Ex2: Encontre as equações das rectas tangente e normal à hipérbole 𝑦 = 3/𝑥 no ponto 𝑃(3; 1). 
3.6.2 – Cálculo De limites. Regra de L’Hospital 
Teorema (Regra de L’Hopital): Sejam f e g duas funções reais e deriváveis. Se o limite 
tiver a indeterminação 
0
0
 ou 
∞
∞
, podemos escrever: 
a) Indeterminação da forma 0.∞ 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 ∧ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ ⇒
|
|
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)
=
0
0
𝑜𝑢
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
=
∞
∞
 
b) Indeterminação da forma ∞−∞ 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ ∧ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ ⇒ |
|𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). (1 −
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
) =
{
 
 
 
 ∞. 0 𝑠𝑒: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= 1 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). 𝐿 𝑠𝑒: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= 1
 
 
DISCIPLINA CÁLCULO I TARDE 
CURSO ENGENHARIA CIVIL Duração: 
CAPITULO 3 Derivadas Data: 07/12/2020 
3.6 – Aplicação das Derivadas 
3.6.1 – Determinação da Recta Tangente e Normal a Curva 
3.6.2 – Cálculo De limites. Regra de L’Hospital 
3.6.3 – Problemas sobre taxa de Variação 
3.6.4 – Estudo Completo de funções 
3.6.5 – Problemas de Optimização (Máximos e Mínimos) 
3.7 – Teoremas sobre Derivadas 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 
 
c) Indeterminação da forma 1∞; 0∞; ∞0 𝑒 00 
 
 
|𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑙𝑛𝑔(𝑥) = ∞. 0 {Transformamos em indeterminação do tipo: 
0
0
 𝑜𝑢 
∞
∞
 
NOTA: Se 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 continuar a ser indeterminado, podemos aplicar a regra, derivando sucessivamente 
o numerador e o denominador. 
|
𝑆𝑒: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) é 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑢 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝑆𝑒: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ ⇒ 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜 
 
d) Relações entre Dois Infinitésimos 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 1 ⇒ 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) quando 𝑥 → 0 
|
|
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ~𝑥 
𝑡𝑎𝑛 𝑥 ~𝑥 
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ~
𝑥2
2
 
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ~𝑥 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ~𝑥 
1 − 𝑒𝑥~𝑥 
𝑙𝑛(1 + 𝑥)~𝑥 
 
Ex: Calcular os seguintes limites aplicando a regra de L’Hospital. 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
 
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
−
1
𝑥2
) 
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥. 𝑙𝑛 𝑥 
𝑑) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
(𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥) 
𝑒) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(1 − 𝑥)𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
2
) 
𝑓) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
[𝑡𝑔 (
𝜋𝑥
4
)]
𝑡𝑔(
𝜋𝑥
2
)
 
𝑔) lim
𝑥→0
(𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥)
1
ln𝑥 
ℎ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑙𝑛 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥 − 1) 
 
3.6.3 – Problemas sobre taxa de Variação 
O quociente ∆𝑦 ∆𝑥⁄ representa a “taxa média de variação” de 𝑦 em relação a 𝑥. A derivada 𝑓′(𝑥), é a 
“taxa instantânea de variação” ou simplesmente “taxa de variação” de 𝑦 em relação a 𝑥. 
Ex1: Um quadrado de lado 𝑎 (𝑐𝑚) está expandindo segundo a equação 𝑎 = 2 + 𝑡2, onde t representa 
o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo 𝑡 = 2𝑠. R: 48 cm2/s 
 
Ex2: O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do 
comprimento da circunferência em relação ao tempo? R: 42𝜋R 
Ex3: Achar a razão de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento da sua diagonal. 
Se a diagonal aumenta a uma taxa de 2m/s, qual a razão de variação do volume quando a diagonal 
mede 3𝑚? R: V=D3/(3√3); 6√3 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ⇒ 𝑙𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑙𝑛𝑔(𝑥) 
Δ a
|
|
𝐴 = 𝑎2 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑎2) 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2𝑎
𝑑𝑎
𝑑𝑡
= 2(2 + 𝑡2). 2𝑡|𝑡=2𝑠 = 2.6.4𝑐𝑚
2/𝑠 = 48𝑐𝑚2/𝑠
 
quando 𝑥 → 0
|
|
|
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 ~𝑥
 
 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 ~𝑥
 
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 ~𝑥
 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 ~𝑥
 
 
 
3.6.4 – Estudo Completo de funções 
 
Esquema geral para o esboço de um gráfico 
 
a) Domínio. 
b) Periodicidade e simetrias da função. 
c) Pontos de intersecção com os eixos. 
d) Intervalos de monotonia e Extremos da função. 
e) Intervalos de concavidade e convexidade e pontos de inflexão da função. 
f) Assimptotas. 
g) Esboço do gráfico. 
 
a) Domínio. 
É o conjunto de valores de 𝑥 para os quais o valor da função 𝑦 é determinada 
𝐷𝑓 = {∀(𝑥 ∈ 𝑅): 𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
b) Periodicidade e simetrias da função. 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 é 𝑃á𝑟, 𝑙𝑜𝑔𝑜 é 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦𝑦 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 é Í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑙𝑜𝑔𝑜 é 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑂𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 
c) Pontos de intersecção com os eixos. 
𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑓(0): 𝑂𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦𝑦 
𝑦 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 0: 𝑂𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥𝑥 
 
d) Intervalos de monotonia e Extremos da função. 
 
Definição: Seja f uma função real de variável real definida num intervalo I, e 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓. 
1. A função f tem um “mínimo local” 𝑓(𝑥0) em 𝑥0, se e só se 𝑓’(𝑥0) = 0, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0), ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 
2. A função f tem um “máximo local” 𝑓(𝑥0) em 𝑥0, se e só se 𝑓’(𝑥0) = 0, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0), ∀ 𝑥 ∈ 𝐼; 
Se f tem um máximo ou um mínimo local em 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓, então diz-se que f tem um extremo 
local em 𝑥0. 
 
 
 
𝑥1 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 (𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑥2 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 
𝑥3𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜) 
 
𝑥1 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 (𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑥2 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 (𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝑂𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑎 
 𝑓 𝑠ã𝑜 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 “𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓”. 
 
 
Método de intervalo fechado Para Determinação de Extremos 
Se f é uma função contínua no intervalo I e derivável lateralmente num ponto inerior 𝑥0 ∈ 𝐼, então: 
1.𝑆𝑒 𝑓’(𝑥0
−) 0 então f tem um “mínimo local” em 𝑥0. 
2. 𝑆𝑒 𝑓’(𝑥0
−) > 0 𝑒 𝑓’(𝑥0
+) 0, ∀𝑥 ∈]𝑎; 𝑏[, então f é “crescente” em ]𝑎; 𝑏[. 
2.Se 𝑓’(𝑥) 0, ∀𝑥 ∈]𝑎; 𝑏[, então f tem a concavidade voltada para cima em ]𝑎; 𝑏[; 
2. 𝑆𝑒 𝑓”(𝑥)𝐷𝑓, diz-se “ponto de inflexão” se o gráfico de 𝑓 muda o 
sentido da concavidade nesse ponto. 
Um ponto de abcissa 𝑥0, 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓, diz-se “ponto crítico de segunda espécie” (ou ponto estacionário 
de segunda espécie) de 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑓”(𝑥0) = 0 ou 𝑓”(𝑥0) não existe. 
Nota: Os pontos críticos de segunda espécie são pontos onde a função poderá ou não mudar o sentido 
de concavidade. 
 
f) Assimptotas. 
 
Definição: Uma recta chama-se assimptota de uma curva se a distância de um ponto qualquer da 
curva a essa recta se aproxima cada vez mais de zero à medida que o ponto percorre a curva. 
 Assimptotas verticais: 
Diz-se que a recta de equação 𝑥 = 𝑎 é uma assimptota vertical da curva de 𝑓 se: 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = ±∞ ou lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = ±∞ ou lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ 
 Assimptotas oblíquas: Diz-se que a recta de equação 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 é uma assimptota oblíqua 
da curva de f se existem e são finitos os limites: 
𝑘 = lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
 𝑒 𝑏 = lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥] 
Nota 1: Só se calcula 𝑏, se 𝑘 for uma constante real. 
Nota 2: Se 𝑘 = 0 tem-se 𝑦 = 𝑏 que é a equação de uma assimptota horizontal. 
 
Ex. Faça o estudo completo das seguintes funções: 
 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 
𝑏) 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥
𝑥
 
𝑐) 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑛(𝑥 + 1)
𝑥 + 1
 
𝑑) 𝑓(𝑥) =
𝑒−(𝑥+2)
𝑥 + 2
 
𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑥(𝑥+1) 
𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥 
 
𝑔) 𝑓(𝑥) =
𝑥
√𝑥2 − 1
3 
ℎ) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
√𝑥2 − 1
 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 
g) Esboço do gráfico. 
Conjunto dos pares ordenados (𝑥, 𝑦) que permite a representação visual de 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
 
3.6.5 – Problemas de Optimização (Máximos e Mínimos) 
 
Usando a aplicação das derivadas em determinados problemas, deve-se conhecer a função a 
maximizar (ou minimizar). Esta será a função a derivar, e deverá ser igualada a zero. 
Etapas Para Resolução de problemas de optimização: 
 
1º Passo: Compreender o problema 
2º Passo: Faça diagramas 
3º Passo: Use as Informações dadas Para encontrar as Relações entre as variáveis 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
4º Passo: Encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de 𝑓(𝑥) pelo método de 
intervalo fechado. 
 
Ex. Dentre todos os rectângulos de perímetro igual a 80𝑐𝑚, quais as dimensões do rectângulo de área 
máxima?