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Resumo Geral de Cálculo Diferencial e Integral 1 
Conjuntos numéricos: 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., ∞} 
Z = {∞, ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., ∞} 
Q = {
𝑎
𝑏
 com a e b ϵ Z e b ≠ 0} 
I = {..., √3 , √2 , 𝑒, 𝜋, …} 
IR = {Q U I} 
C = a + bi 
 
Funções: 
 É toda relação de A em B tal que todo elemento x ϵ A tem um único correspondente y ϵ B. 
Representação: f : A → B 
Exemplo: com os conjuntos A = {1, 4, 7} e B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} 
Cria-se uma função f: A → B, definida por f(x) = x + 5 ou y = x + 5 
A → B A B 
 
f(x) = x + 5 
f(1) = 1 + 5 = 6 
f(4) = 4 + 5 = 9 Im (f) = relaciona com 6,9,12 
f(7) = 7 + 5 = 12 
 
 D(f) = A CD = B 
Tipos de funções: 
Função constante: para qualquer valor de x o valor de y é único, sempre o mesmo. 
 
 
 f(x) = b 
 
 
Função linear ou função do primeiro grau: 
 
É toda função do tipo f(x) = mx + n onde m e n ϵ IR com m ≠ 0. 
Definição de coeficiente angular (m): 
m = 
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
 tg 𝛼 = 
co
ca
 
 
 tg 𝛼 = 
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
 
 
 tg 𝛼 = m 
 
 
 
 
 
Função quadrática ou do segundo grau: 
 
É toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c ϵ IR com a ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆ corta o eixo x 
 
b² - 4ac Xv = 
− 𝑏
2𝑎
 Yv = 
−∆
4𝑎
 
 
Para determinar a intersecção: 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
Função polinomial: 
 
É toda funcao do tipo f(x) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 
 
Exemplos: 
f(x) = 2x³ + 4x² - 5x + 6 → completa 
f(x) = 5𝑥7+ 4x³ + 2x → incompleta 
f(x) = x³ + 2x² - x – 4 
 
(
−3
2
)
3
+ 2 (
−3
2
)
2
− (
−3
2
) − 4 
 
−27
8
 + 
18
4
 + 
3
2
 – 4 
 
= 1,37 
 
 
 
 
X 0 1 2 -1 -2 
Y -4 -2 10 -2 -2 
 
Função racional: 
 
É toda funcao do tipo f(x) = 
𝑃 (𝑥)
𝐺(𝑥)
 com g(x) ≠ 0. 
 
Exemplos: 
f(x) = 
𝑥+1
𝑥2−4
 
 f(x) = 
1
𝑥
 → no gráfico: x ≠ 0 
f(x) = 
3
𝑥+2
 
 
 
 
Função modular: 
É toda função do tipo f(x) = |x|. Somente números positivos. 
Exemplos 
 f(x) = |x| f(x) = |x - 2| f(x) = |x²- 4| 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função exponencial: 
 
É toda função do tipo f(x) = ax onde a ≠ 1 e a > 0 
 
Exemplos: 
 f(x) = 2x 
a > 1 
 
função crescente! 
 
 
 
 
 
 
f(x) = (
1
2
)
𝑥
 
0 0, x > 0 
Exemplo: 
 
f(x) = log2 𝑥 
 
funcao crescente 
 
base > 1 
 
 
 
 
Função seno: 
 
É a funcao do tipo f(x) = sex (x) 
 
 
 
1 𝑔𝑟𝑎𝑢
60`
 e 
1 𝑚𝑖𝑛
60``
 
 
X é o arco!!! 
 
 Sen x = 
𝑎 
1
 
 
 
Características: 
 Ciclo único 
 Período → 1P = 360° = 2𝜋 rad. 
 Imagem = amplitude (ponto máximo e mínimo) 
 Se for multiplicado por um número entre 0 e 1 aumenta 
o período, maior que um diminui. 
 180° = 𝜋 rad. 
 Senóide 
 
≈ 5 
≈ 5 ≈ 5 
 
Função cosseno: 
É toda função do tipo f(x) = cos (x) 
 
cos 𝛼 = 
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 Cossenoide 
 Im (f) = {x ϵ IR/ -1 ≤ x ≤ 1} 
cos 𝛼 = 
𝑐 . 𝑎
1
 
 
cos 𝛼 = ca 
 
 
 
 
Função tangente: 
f(x) = tg (x) 
 
tg 𝛼 = 
𝑐𝑜
𝑐𝑎 
 
 
tg 𝛼 = 
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
 
 
 
 
 
 
Consequências: 
tg (x) = 
𝑐𝑜
𝑐𝑎 
 = 
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
 → identidade trigonométrica. 
 
Pitágoras: (hip)² = (co)² + (ca)² 
 ou seja: 
 1² = (sen)² + (cos)² 
 sen² (x) + cos² (x) = 1 
 
 
Limites: 
Limite de uma sucessão: 
1, 2, 4, 9, 16... → a sucessão tende a + ∞ 
 x → + ∞ 
 
1
2
 , 
2
3
 , 
3
4
 , 
4
5
 → a sucessão tende a 1 (mas NUNCA será 1, o resultado sempre se aproximará de 1) 
 x → 1 
 
1
2
+ 
1
4
+ 
1
8
+ 
1
16
+ 
1
32
 → a soma infinita tende a 1 
 x → 1 
 
Limite de uma função: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿  Substituição de valores 
Propriedades: 
 O limite de uma função é único. Uma função não possui dois limites. 
 O limite de uma função constante quando x tende a a é igual a própria constante. 
lim
𝑥→2
7 = 7 
 O limite da função identidade quando x tende a a é igual a a lim
𝑥→3
𝑥 = 3 
 O limite da soma ou subtração de uma função é: 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 O limite do produto de funções é: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 O limite de uma divisão lim
𝑥→𝑎
 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 
= 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 
 O limite de uma função com raiz lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)𝑛
= lim
𝑥→𝑎
√lim 𝑓(𝑥)𝑛
 
Indeterminações 
 
0
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 = 0 (com constante ≠ 0) 
±
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
0 
 = ± ∞ (com constante ≠ 0) 
 
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
∞ 
 = 0 ( com constante ≠ ∞) 
±
∞
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 = ± ∞ ( com constante ≠ 0) 
Limites laterais 
 Se o limite da função y = f(x) quando x tende a a por valores superiores a a é L: 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟷ lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝐿 
 Se o limite da função y = f(x) quando x tende a a por valores inferiores a a é L: 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟷ lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 − ℎ) = 𝐿 
 
Obs.: quanto menor o valor de h mais próximo de a estará. 
Continuidade em um ponto x = a 
Uma função y = f(x) é dita continua em x = a se 3 afirmações foram satisfeitas 
 f (a) ϵ R a imagem de a deve ser um número real 
 
 lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) o valor do limite deverá ser igual a imagem. 
 
Derivadas: 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 Técnicas de derivação: 
 
f (x) f' (x) 
𝑘 0 
𝑥 1 
𝜇 ± 𝑣 𝜇′ ± 𝑣′ 
𝐶 . 𝜇 𝐶 . 𝜇′ 
𝜇 . 𝑣 𝜇 . 𝑣′ + 𝜇′. 𝑣 
𝜇
𝑣
 𝑣 . 𝜇′ − 𝜇 . 𝑣′
𝑣²
 
𝑥𝑚 𝑚 . 𝑥𝑚−1 
𝜇𝑚 𝑚 . 𝜇𝑚−1. 𝜇 
𝑒𝜇 𝜇′. 𝑒𝜇 
𝑎𝜇 𝜇′. 𝑎𝜇 . 𝑙𝑛 𝑎 
𝑙𝑛 𝜇 𝜇′
𝜇
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝜇 𝜇′
𝜇
 . 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 
 
sen 𝜇 𝜇′ . 𝑐𝑜𝑠 𝜇 
𝑐𝑜𝑠 𝜇 −𝜇 . 𝑠𝑒𝑛 𝜇 
tg 𝜇 𝜇′. 𝑠𝑒𝑛2𝜇 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜇 −𝜇′ . 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²𝜇 
𝑠𝑒𝑐 𝜇 𝜇′. 𝑠𝑒𝑐 𝜇 . 𝑡𝑔 𝜇 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝜇 −𝜇 . 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜇 . 𝑡𝑔 𝜇 
arc sen 𝜇 𝜇′
√1 − 𝜇²
 
arc cos 𝜇 −𝜇′
√1 − 𝜇²
 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝜇 𝜇′
1 + 𝜇²
 
𝜇𝑣 𝑣 . 𝜇𝑣−1 . 𝜇′ + 𝜇𝑣 . 𝑙𝑛𝜇 . 𝑣′ 
 
 Aplicação de derivadas 
Derivadas sucessivas: 
A derivada da derivada primeira de uma funcao y = f(x) é chamada de derivada segunda e é indicada por y’’ 
ou f’’(x) ou ainda 
d²y
dx
 
A derivada da derivada 2ª de uma função é a derivada 3ª e é representada por y’’’, f’’’(x) ou 
d³y
dx
 
Seja f(x) = 4x³ - 7x determine f’’(x) e f’’’(x) 
 
f’(x) = 12x² - 7 f’’(x) = 24x f’’’(x) = 24 
 
Reta tangente: 
A inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x) no ponto P(x1 , y1) é dada por: 
 
mrt = y’ = lim
∆x→0
 
𝐟 (𝐱 + ∆𝐱)−𝐟(𝐱) 
∆𝐱
 
Reta normal: 
É a reta que forma um ângulo de 90° com a reta tangente no ponto P(x1 , y1) 
mrn = 
−1
mrt
 
Para determinar a equação da reta tangente e reta normal: 
1. Calcula-se mrt. 
2. Aplica-se em mrt = 
y−y1
x− x1
. 
 
3. Aplica-se 
−1
mrt 
= 
y− y1
x−x1
. 
 
4. Grafica-se. 
 
Teorema de Rolle: 
Seja f uma função tal que 
1. É continua no intervalo fechado [a,b]. 
2. É derivável no intervalo aberto (a,b) 
3. f(a) = f(b) = 0 
Então existe um número no intervalo aberto (a,b) tal que f’ (c) = 0 
Interpretação geométrica: 
 
Imagem de (a) = imagem de (b) = 0 
 
Taxa de variação média: 
f(x) é baseada na reta secante 
taxa de variação média = 
f(b)−f(a)
b−a
 
Seja f(x) = x², determine a variação média entre x = 3 e x = 5 
tm = 
52−3²
5−3
 → 
35−9
2
 .: 
Taxa de variação instantânea: 
ti = f’(a) 
Determine a ti da função f(x) x² para x = 3, x = 4 e x = 5 
f(x) = x² → f’(x) = 2x 
 
 ti (3) = 2 . 3 = , ti(4) = 2 . 4 = , ti(5) = 2 . 5 = 
 
tm = 8 
6 8 10 
Regra de L’ Hôpital – Bertoveli: 
Quando um limite do tipo lim
x→t
f (x)
g (x)
 apresenta uma forma indeterminada do tipo 
0
0
 ou 
∞
∞
 aplica-se a 
derivada tanto no numerados quanto no denominador, independente um do outro para levantar tais 
indeterminações. Se as indeterminações persistirem trabalha-se com a segunda derivada e assim 
sucessivamente. 
lim
x→t
f (x)
g (x)
 → lim
x→t
f′ (x)
g′(x)
 → lim
x→t
f′′(x)
g′′(x)
 → ... 
Calcule o limite: 
lim
x→6
x2−8𝑥+12
x−6
 = 
62−8 .6+12
6−6
 = OU 
2x−8
1
 → 
2 . 6−8
1
 .: 
 
Taxa de variação – regra da cadeia: 
Seja u = 3x² + 2x e f = u³ 
Determinar a 
df
dx
 
 
df 
dx 
= 
du
dx
 . 
df
du
 → 
du
dx
 = (6x + 2) e 
df
du
 = 3u² .: 
df 
dx 
 = (6x + 2) . (3u²) → (6x + 2) . 3(3x² + 2x)² 
df 
dx 
 = (18x + 6) . (3x² + 2x)² 
 
Critério da derivada 2ª para determinar os extremos de uma função: 
Seja f uma função derivável num intervalo (a,b) e c um ponto crítico de f nesse intervalo, isto f’(c) = , com a 0 tem um valor mínimo relativo em c 
Determine os máximos e mínimos relativos de f, sendo f (x) = 18x + 3x – 4x³ 
f’ (x) = 18 + 6x – 12x² 
0 = 18 + 6x – 12x² 
x =
−b±√b2−4ac
2a
 
x =
−6±√62−4(−12).18
2 (−12)
 
 
x =
−6±√36+864
−24
 
 
x = 
−6±30 
−24
 
 
x1 = 
−6+ 30 
−24
 = 
 
x2 = 
−6− 30 
−24
 = 
 
C1 = -1 e C2 = 
3
2
 CONFIRMAÇÃO 
 
f’’ (x) = 6 – 24x → f’ (x) = 6x – 12x² 
f’’(-1) = 6 – 24 . (-1) 
 Para x = -1 implica que f tem valor mínimo! 
 
f’’ (
3
2
) = 6 – 24 . (
3
2
) Para x = (
𝟑
𝟐
) implica que f tem valor máximo 
 
0
0
 4 
-1 
3
2
 
f’’ (-1) = 30 
f’’ (
3
2
) = -30 
 
 
 P.C = Ponto Crítico 
x = 
3
2
 
.: f(x) = 18x + 3x² - 4x³ 
 
f(
3
2
)= 18 . (
3
2
) + 3 . (
3
2
)² - 4 . (
3
2
)³ 
 
f(
3
2
) = 
81
4
 
 
 
Diferencial e acréscimo: 
 
 Acréscimo: 
Seja y = f(x) uma função. Podemos sempre considerar uma 
variação da variável independente x. se x varia de x1 para x2 
define-se acréscimos de x, como ∆x = x2 – x1. 
A variação de x origina uma correspondente variação de y, 
denotada por ∆y. 
∆y = f (x2) – f (x1) OU ∆y = f (x1 + ∆x) – f (x1) 
 
 Diferencial: 
Seja y = f(x) uma função diferencial e ∆x um acréscimo de x, define-se: 
1. A diferencial da variável independente x, denotada por dx, com dx = ∆x para ∆x pequenos. 
2. A diferencial da variável y, denotada por dy, como dy = f’ (x) . ∆x → 
dy
dx
 = f’ (x). 
 Seja y = 
1
2x²
 e ∆x = 0,01 para x = 1, determine ∆y e dy. 
∆y = f (x + ∆x) – f (x) Cálculo auxiliar 
∆y = 
1
2(1,01)²
 - 
1
2(1)²
 
∆y = 
1
2,04
− 
1
2
 
∆y = - 0,00998 ≅ 
dy = f’(x) . dx → como ∆x é pequeno, tem-se que dx ≅ ∆x. 
dy = f’(x) . ∆x 
.: dy = 
−1
x³
 . 0,01 
dy = 
 
 
Derivada de uma função na forma implícita (Regra da Cadeia): 
Suponha-se que f (x,y) = 0 define implicitamente uma função derivável y = f (x) 
x² + y² = 4 → determinar y’ 
(x² + y²)’ = 4’ 
(x²)’ + (y²)’ = (4)’ Deriva-se ambos os lados da igualdade!!! 
2x + 2y . y’ = 0 
2y . y’ = -2x 
y’ = 
−2x
2y
 
 
 
 
f(x) = 
1
2
 . x² 
f’(x) = 
1
2
 . (-2) . x−2−1 
f’ (x) = 
−1
x³
 
- 0,01 
- 0,01 
Cálculo auxiliar 
(y²) = 
dy
dy
 .
dy
dx
 
Onde 
dy
dx
 = y’ 
.: logo (y²)’ = 
dy
dy
 . y’ y’ = 
−x
y