aulas 3ª matéria - Gladston

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Funções de Várias Variáveis 
V =  r2h 
 
F = m.a 
 
 
V
nRT
P 
Volume de um cilindro 
Força para movimentar 
uma massa m 
Pressão de um gás 
Funções de duas Variáveis 
Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). Se cada 
ponto (x,y)  D associamos um único número real, representado 
por f(x,y). Essa função é chamada função de duas variáveis. O 
conjunto D é o domínio da função. 
Assim, 
D é o domínio da função em R2, 
f é a função 
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). 
Exemplos de valores de função de 2 variáveis: 
Ex1: se f(x, y) = x
2 + 2y, então f(2, 3) = 22 + 2.3 = 10 
Ex2: f(x, y) = (3x + y
3)1/2, então f(1, 2) = (3.1 + 23)1/2 = 3,32 
Função de duas Variáveis 
Z = f(x, y) 
f 
x1,y1 
x2,y2 
x3,y3 xi,yi 
xn,yn 
z1 
z2 
z3 
zi 
zn 
Domínio Imagem 
argumentos imagem 

 f (x1,x2)  2x1
4
 x2
2
 x1 1
 f (x,y)  ln
y
x 1






 f (b,c,d)  sen2(b  ) 
c
d
 f (a,b,c)  ab15c
Domínio das funções de duas variáveis 
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de 
funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D  R2, tal 
que os valores calculados da função, para todo (x,y)  D resultem 
em valores finitos e reais para f(x,y). 
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2. 
A condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, 
y)  R2 / y - x ≥ 0}. 
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x2 / (2x – y), 
Ex.3 - Ache o domínio da função 
yx
x
yxf


3
),(
2
A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y) 
 R2 / 3x - y > 0}. 
A função é finita quando 2x – y ≠ 0. 
Assim, domínio D  (x, y) é o conjunto de 
pontos, tais que, D = {(x, y)  R2 / y ≠ 2x }. 
Ache os domínios 

x2  y2

1
x2  y2

10x 5y

25 x2 y2
22 yx
xy

Representação Geométrica de uma f(x,y) 
y 
z 
(x,y) 
z = f(x,y) 
Uma f(x, y) é representada por planos ou 
superfícies no espaço. 
Já vimos que para as funções de uma variável (y = f(x)), o gráfico é o conjunto de 
todos os pontos (x,y)  R2, tais que (x,y)  D(f) e y=f(x). 
 
Para funções de 2 variáveis o gráfico é o conjunto de todos os pontos (x,y,z)  R3, 
tais que (x,y)  D(f) e z=f(x,y). 
Ex1: A função é z = f(x, y) = 5 
A superfície é um plano infinito, 
paralelo a x, y e passando por z = 5. 
Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y. 
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de 
um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só 
fazer : 
a) x = 0 e y = 0 → z = 6 
b) x = 0 e z = 0 → y = 2 
c) y = 0 e z = 0 → x = 3 
Ex3: Ex4: 
221),(
 é funçãoA 
yxyxfz 
22),(
 é funçãoA 
yxyxfz 
f(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4. 
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = sem (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4. 
Curvas de Nível 
• Seja k um número real. Uma curva de 
nível, Ck, de uma função z = f(x,y) é o 
conjunto de todos os pontos (x,y) D(f), 
tais que f(x,y)=k. 
Curvas de Nível 
Curvas de nível 
– As curvas de nível são maneiras de descrever, geometricamente, o 
comportamento das funções de duas variáveis. A idéia básica é 
semelhante ao mapeamento do relevo de um terreno. 
 
– Dando-se um valor particular para z, digamos z=c,obtemos uma 
equação em duas variáveis f(x, y) = c. 
 
– Esta equação define uma curva no plano xy, que se chama uma 
curva de nível da função f(x, y) referente ao valor c. 
 
– Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curva-
intersecção do plano z=c com o gráfico da função z = f(x, y) 
Curvas de nível 
– Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta 
esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para 
diferentes valores de c. 
Exemplo-1 
– Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função 
z = f(x,y) = x2 + y2. 
– Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c. 
Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção 
do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal 
equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e 
raio . 
– Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um 
parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 
em torno do eixo z. 
Exemplo 1 f(x,y)=x2+y2 
Exemplos de outras curvas 
Exemplos de outras curvas 
• O conceito de limite de funções ordinárias pode ser 
estendido para funções de várias variáveis. Assim, 
diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L 
(ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se 
aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) 
estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L. 
Lyxf
ou
Lyxf
yxyx
yy
xx
o
o
o





),(lim
 
),(lim
),(),( 0
Limite 
Limite de f(x,y) 
• Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim 
(x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M. 
• 1º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L 
• 2º) lim (x,y)(xo,yo)(f + g) = lim (x,y)(xo,yo)f + lim (x,y)(xo,yo) g = L + 
M 
• 3º) lim (x,y)(xo,yo)(f / g) = lim (x,y)(xo,yo) f / lim (x,y)(xo,yo) g = L / 
M, se M  0 
• 4º) ) lim (x,y)(xo,yo)(f . g) = lim (x,y)(xo,yo) f . lim (x,y)(xo,yo) g = L. M 
 
• 5º) , se L>0 
Lyxfyxf
yy
xx
yy
xx 



 ),(lim),(lim
0
0
0
0
Propriedades dos Limites 
Calculando Limites 














yzx
yzxxy
xyzyzx
z
y
x
22
33
1
2
2
2
75lim )1
106
)1(22
)1(2.22.2.2
)1(2.2.7)1.(2.2.5
22
33 



?
0
02
lim )2
22
)0,0(),( 


yx
xy
yx
Calculando Limites 
0
0
00
00
lim )3
3333
)0,0(),( 






yx
yx
yx
0
))((
lim
22
)0,0(),( 


 
yx
yxyxyx
yx
• Mostrar que não existe. 
 
• Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação 
22
22
0
0lim
yx
yx
y
x




Indeterminação 0/0 
• Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela 
reta y = x (“dois caminhos”). 
 
• (1º caminho) 
 
• (2º caminho) 0lim
1
0
0
lim
22
22
0
22
22
0
0










yy
yy
x
x
xy
x
y
x
Os limites são 
diferentes, logo não 
há o limite. 
y 
x 
z 
1°caminho 
22
0
0
22
4
3
32
1
0
2
lim)3
lim)2
5
3
lim)1
yx
xy
yx
yxyx
xyx
y
x
y
x
y
x










Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem: 
yx
xyx
y
x




2
0
0lim)4
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem: 
Calculando Limites 
• Para o cálculo de limites de funções polinomiais e 
“funções lineares” é só substituir os valores para 
os quais de x e y estão tendendo. Para funções 
racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer 
este procedimento, deve-se então usar a regra 
dos “dois caminhos”. 
Continuidade de Funções de 2 
Variáveis 
 
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é 
o número L (se existir) e é representado por 
Lyxf
yxyx

 ),(),( 00
),(lim
Se (x0,y0) está no domínio de f e o limite existir (resultar em um valor 
finito e real) no ponto (x0, y0), tal que L=f(x0,y0), dizemos que a função é 
contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no 
ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua 
num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse 
intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por 
simples inspeção da mesma. 
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições. 
 
Continuidade de Funções de Várias Variáveis 
• O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o 
mesmo já descrito para funções ordinárias. 
 
• Assim, diz-se que uma funçãof(x,y) é contínua em (xo,yo), 
se lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo). 
 
• EXEMPLO: 
• Mostrar que abaixo não é contínua em (x,y) = (0,0) 
 







0 se 0 
0 e se 
),( 24
2
yx
yx
yx
yx
yxf
Propriedades da Continuidade 
• f(x,y) + g(x,y) também é contínua. 
 
• f(x,y) . g(x,y) também é contínua. 
 
• f(x,y) / g(x,y) também é contínua. 
 
• u(x,y) = f[g(x,y)] também é contínua. 
 
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então: 
Derivada de Funções de Duas Variáveis 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
A curva z = f (x0, y) 
no plano x = xo 
Eixo horizontal no plano y = yo 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Reta tangente 
Eixo vertical no 
plano y = yo 
Eixo vertical no 
plano x = xo 
Reta tangente 
A curva z = f (x0, y) 
no plano x = xo 
Eixo horizontal no 
plano x = xo 
Derivadas de Funções de 2 Variáveis 
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma 
que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se 
tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá 
acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em 
relação a x é 
x
yxfyxxf
yxf xx


 
),(),(
lim),( 0
y
yxfyyxf
yxf yy


 
),(),(
lim),( 0
1) Derivada parcial em x: 
2) Derivada parcial em y: 
• Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em 
relação a x escreve-se: 
fDyxffD
x
f
yxf xx 11 ),(),( 



fDyxffD
y
f
yxf yy 22 ),(),( 



parciais? derivadas as Encontre
 .3),( 2 xyyxyxf 
Interpretação Geométrica da Derivada Parcial 
 A derivada parcial em relação a x de f, no ponto 
(xo,yo) é a inclinação da reta tangente à curva 
formada pela intersecção do gráfico de f com o plano 
y=yo, no ponto (xo,yo, f(xo,yo)). 
 A derivada parcial em relação a y de f, no ponto 
(xo,yo) é a inclinação da reta tangente à curva 
formada pela intersecção do gráfico de f com o plano 
x=xo, no ponto (xo,yo, f(xo,yo)). 
Interpretação geométrica 
Interpretação geométrica 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Esta reta tangente tem 
coeficiente angular fy (x0, y0) 
A curva z = f (x, y0) 
no plano x = xo 
Esta reta tangente tem 
coeficiente angular fx (x0, y0) 
?)48,2,3( ponto no
,2 plano o com xy-y4 superfície à ointersecçã
 curva, à tangentereta da inclinação aCalcular 
32  yxz
?)0,1,1( ponto no
,1 xplano o com2xy -y superfície à ointersecçã
 curva, à tangentereta da inclinação aCalcular 
23  xz
Derivadas Parciais de Funções de 
Várias Variáveis 
Derivadas Parciais de ordens superiores 
– Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando 
as derivadas parciais das funções já derivadas. 
Exemplo 
– Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) 
= 2x3.e5y. 
– Temos que: 
 
 
yexyx
x
f 52.6),( 


yexyx
y
f 53.10),( 


– Portanto, a segunda derivada, em relação a x é: 
 
 
– E a segunda derivada, em relação a y é: 
 
 
 
yexyx
x
f 5
2
2
.12),( 


yexyx
y
f 53
2
2
.50),( 


– Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial 
em relação a y, calculada agora em relação a x: 
 
 
 
– E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, 
calculada agora em relação a y: 
 
 
yy exex
x
yx
yx
f 5253
2
.30)10(),( 





yy exex
y
yx
xy
f 5252
2
.30)6(),( 





Notação 
– Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de 
segunda ordem com suas respectivas notações de acordo 
com as expressões abaixo: 
 
 ),(),(2
2
yxfyxz
x
z
xx
z
xxxx 







),(),(
2
2
yxfyxz
y
z
yy
z
yyyy 







),(
2
yxf
y
z
xyx
z
xy







),(
2
yxf
x
z
yxy
z
yx







Derivadas Parciais de ordens superiores 
– Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram 
o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre 
desde certas condições sejam satisfeitas. 
Proposição 
– Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal 
que as derivadas existem e são contínuas nessa 
vizinhança, então . 
 
 
xy
f
e
yx
f
y
f
x
f







 22
,,
xy
f
yx
f




 22
Diferenciabilidade de funções de duas 
variáveis 
• Se as derivadas parciais e existem numa 
vizinhança de e forem contínuas em 
 , então é diferenciável em . 
xf yf
( , )a b
( , )a b f ( , )a b
Exemplo 
2 2
 se ( , ) (0,0)
( , )
0 se (x,y)=(0,0)
xy
x y
x yf x y


 


(0,0) (0,0) 0x yf f 
( , ) 0f x y 
1
mas ( , ) para 
2
f x y y x 
 e não são contínuas em (0,0).x yf f
Plano Tangente 
• Suponha que f tenha derivadas parciais 
contínuas. 
• Uma equação do plano tangente à superfície 
z=f(x,y) no ponto P(x0,y0,z0) é dada por 
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y    
• Determine o plano tangente ao parabolóide 
elíptico no ponto (1,1,3). 2 22z x y 
Aproximação Linear 
• Seja f uma função de duas variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas em um ponto (a,b,f (a,b)). Então 
 
• é chamado linearização de f em (a,b). 
 
 
• é chamada aproximação linear ou aproximação pelo 
plano tangente de f em (a,b). 
 
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yL x y f a b f a b x a f a b y b    
( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yf x y f a b f a b x a f a b y b    
• Mostre que é diferenciável em 
(1,0) e determine sua linearização ali. Em 
seguida, use a linearização para aproximar 
. 
( , ) xyf x y xe
(1,1 , 0,1)f 
Regra da cadeia(caso 1) 
• Suponha que z = f (x,y) seja uma função 
diferenciável de x e y, onde x = x(t) e 
y = y(t) são funções diferenciáveis em t. 
• Então z é uma função diferenciável em t e 
dz f dx f dy
dt x dt y dt
 
 
 
dz z dx z dy
dt x dt y dt
 
 
 
Exemplo 1 
2 4Se 3 , onde sen e cos ,
determine quando 0.
z x y xy x t y t
dz
t
dt
   

dz z dx z dy
dt x dt y dt
 
 
 
0 0 e y=1t x  
)sen)(12())(cos32( 324 txyxtyxy 
3
Exemplo 2 
• A pressão P (em quilopascais), o volume V (em 
litros) e a temperatura T (em kelvins) de um 
mol de um gás ideal estão relacionados por 
meio da fórmula PV=8,31T. 
• Determine a taxa de variação da pressão 
quando a temperatura é de 300K e está 
aumentado com a taxa de 0,1k/s e o volume é 
de 100 l e está aumentando com a taxa de 0,2 
l/s 
Exemplo 2 
 
Regra da cadeia (2º caso) 
• Suponha que z = f (x,y) seja uma função 
diferenciável de x e y, onde x = x(s,t) e 
• y = y(s,t) são funções diferenciáveis de s e t. 
• Então 
 
z z x z y
s x s y s
    
 
    
z z x z y
t x t y t
    
 
    
Exemplo 3 
2 2Se sen , onde e , determine
 e .
xz e y x st y s t
z z
s t
  
 
 
Exemplo 3 
Exemplo 4 
• Escreva a regra da cadeia para o caso onde 
( , , , ) e ( , ), ( , ), ( , )
e ( , ).
w f x y z t x x u v y y u v z z u v
t t u v
   

Exemplo 5 
4 2 3 2
2
Se , onde ,
e sen , determine o valor de / 
quando 2, 1, 0.
t tu x y y z x rse y rs e
z r s t u s
r s t
   
  
  
Exemplo 5 
Derivada direcional 
 A derivada direcional de f em (x0,y0), na 
 direção do vetor unitário 
b)(a,u 

h
yxfhbyhaxf
yxf h
),(),(
lim),(D 0000000u

 
Teorema 
• Se é uma função diferenciável em x e y então f 
tem derivada direcional na direção de 
qualquer vetor unitário e 
 
 
b)(a,u 

byxfayxfyxf yx ),(),(),(Du 
Exemplo 
• Determine a derivada direcional se 
 
 
 
• e u é o vetor unitário dado e . 
• Qual será? 
3 2( , ) 3 4f x y x xy y  
(1,2)uD f
(1,0)u 

(0,1)u 

( , )uD f x y
Vetor Gradiente 
Se é uma função de duas variáveis e ,
o gradiente de é a função vetorial 
definida por
( , ) ( , ), ( , )x y
f x y
f f
f f
f x y f x y f x y i j
x y

 
   
 
Exemplo 
Se ( , ) sen , entãoxyf x y x e 
( , ) ,x yf x y f f cos ,
xy xyx ye xe 
(0,1) 2,0f 
Derivada direcional e gradiente A derivada parcial de na direção do vetor 
pode ser expressa por
( , ) ( , )u
f u
D f x y f x y u  
Exemplo 
2 3
Determine a derivada direcional da função
( , ) - 4 no ponto (2,1) na direção
 do vetor 2 5
f x y x y y
v i j

 
– Determine a derivada direcional de 
 
 
 
),(D 00 yxff
Funções de três variáveis 
Exemplo Se ( , , ) sen , (a) determine o gradiente de e
(b) a derivada direcional de no ponto (1,3,0) na
direção e sentido de 2 - .
f x y z x yz f
f
v i j k

 
• Suponha que f seja uma função diferenciável 
de duas variáveis. 
• O valor máximo da derivada direcional 
 
 
• e ocorre quando u tem mesma direção e 
sentido que o vetor gradiente . 
 
 
 
),(),(D yxfyxfu 
),( yxf
(a) Se , determine a taxa de variação de 
f no ponto P(2,0) na direção 
 
de P a . 
 
 
 
 
(b) Em que direção f tem a máxima taxa de 
variação? Qual é a máxima taxa de variação? 
 
( , ) yf x y xe
1
,2
2
Q
 
 
 
Importância do vetor gradiente 
f (x,y) = x2 – y2