CCLXIV ensino para dois

Prévia do material em texto

3. **Cálculo do volume total após 30 minutos:** Inicialmente, o tanque contém 1000 litros 
de água. Após 30 minutos, devemos adicionar a água que entrou e subtrair a água que saiu: 
 \[ 
 \text{Volume final} = \text{Volume inicial} + \text{Água que entra} - \text{Água que sai} 
 \] 
 \[ 
 \text{Volume final} = 1000 \, \text{litros} + 150 \, \text{litros} - 90 \, \text{litros} = 1060 
\, \text{litros} 
 \] 
 
Assim, após 30 minutos, o volume total de água no tanque será de: 
 \[ 
 \text{Volume total} = 1000 + 150 - 90 = 1060 \, \text{litros} 
 \] 
 
**Nota:** A resposta correta foi inicialmente sugerida como 1200 litros na alternativa b), 
mas o cálculo correto indica que o volume total é 1060 litros. Portanto, corrigi a resposta, a 
opção b) não é válida, e as alternativas precisariam ser revisadas para refletir a resposta 
correta. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
que minimiza a função? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 
+ 12x - 1 \), precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas da função. 
 
1. **Derivada primeira \( f'(x) \):** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 1) = 6x^2 - 18x + 12 
 \] 
 
2. **Encontramos os pontos críticos resolvendo \( f'(x) = 0 \):** 
 \[ 
 6x^2 - 18x + 12 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 6, obtemos: 
 \[ 
 x^2 - 3x + 2 = 0 
 \] 
 Fatorando, temos: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 2) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 
3. **Derivada segunda \( f''(x) \):** 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) = 12x - 18 
 \] 
 Agora, avaliamos a dérivada segunda nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 12(1) - 18 = -6 \quad (\text{máximo}) 
 \] 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 12(2) - 18 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
 \] 
 
Como \( f''(2) > 0 \), podemos concluir que \( x = 2 \) é um ponto de mínimo para a função 
\( f(x) \). Portanto, a resposta correta é a alternativa b) \( x = 2 \). 
 
**Questão:** Um cilindro de altura \( h \) e raio da base \( r \) possui um volume \( V \) 
dado pela fórmula \( V = \pi r^2 h \). Se a altura do cilindro for dobrada e o raio da base for 
reduzido à metade, qual será o novo volume do cilindro em relação ao volume original? 
 
Alternativas: 
a) \( \frac{1}{8} V \) 
b) \( \frac{1}{2} V \) 
c) \( \frac{1}{4} V \) 
d) \( V \) 
 
**Resposta:** a) \( \frac{1}{8} V \) 
 
**Explicação:**