DXXVIII estrutura da dados

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b) \( \frac{x}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4} \) 
c) \( x + y + z = 0, \; x - y + z = 3 \) 
d) \( x^2 + y^2 + z^2 = 1, \; 6y + 4z = 12 \) 
 
**Resposta:** b) \( \frac{x}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4} \) 
 
**Explicação:** Dois vetores são paralelos se existem escalares \( k \) tal que \( \mathbf{u} 
= k\mathbf{v} \). Isso implica que as componentes de \( \mathbf{u} \) devem estar na 
mesma razão que as componentes de \( \mathbf{v} \). 
 
Para que os vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) sejam paralelos, podemos expressar 
essa condição como: 
 
\[ 
\frac{x}{3} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4} 
\] 
 
Caso contrário, se escolhermos qualquer outra alternativa, não estabelecemos essa relação 
linear característica que indica que um vetor pode ser expresso como um múltiplo escalar 
do outro. As outras alternativas não representam relações diretas entre as componentes dos 
vetores que confirmariam sua paralelidade. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 \). Qual é o valor mínimo da 
função? 
 
**Alternativas:** 
a) 4 
b) 7 
c) -4 
d) 1 
 
**Resposta:** b) 7 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor mínimo da função quadrática \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 
\), podemos usar a fórmula do vértice, já que a função representa uma parábola que abre 
para cima (o coeficiente de \( x^2 \) é positivo). 
 
O x do vértice da parábola é dado pela fórmula: 
 
\[ 
x_v = -\frac{b}{2a} 
\] 
 
onde \( a = 3 \) e \( b = -12 \). Substituindo os valores: 
 
\[ 
x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 
\] 
 
Agora substituímos \( x_v \) na função \( f(x) \) para encontrar o valor mínimo: 
 
\[ 
f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 
\] 
\[ 
f(2) = 3 \cdot 4 - 24 + 7 
\] 
\[ 
f(2) = 12 - 24 + 7 = -12 + 7 = -5 
\] 
 
Assim, o valor mínimo de \( f(x) \) é \( -5 \). No entanto, nenhuma das opções corresponde 
a esse valor. Ao final, percebemos um erro nas opções já que o correto é que o valor mínimo 
é, de fato, \( -5 \) e não \( 7 \). Portanto, sugerimos reavaliar a interpretação do problema 
ou as opções dadas. 
 
**Questão:** Um tanque cilíndrico possui um raio de 5 metros e uma altura de 10 metros. 
Qual é o volume do tanque em metros cúbicos, considerando \( V = \pi r^2 h \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 250π 
b) 500π 
c) 750π 
d) 1000π 
 
**Resposta:** b) 500π 
 
**Explicação:** Para calcular o volume de um cilindro, usamos a fórmula \( V = \pi r^2 h \), 
onde \( r \) é o raio da base e \( h \) é a altura do cilindro. 
 
1. Identificamos os valores dados: 
 - Raio (\( r \)) = 5 metros 
 - Altura (\( h \)) = 10 metros