MDLXXXIV estrutura da dados

Prévia do material em texto

**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da equação \( f(x) = g(x) \), 
podemos reescrever a equação como \( f(x) - g(x) = 0 \). Assim, temos: 
 
\[ 
h(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 3x - 5) - (x^3 - 3x + 2) = -x^3 + 2x^2 + 6x - 7 
\] 
 
Agora, precisamos analisar a função \( h(x) = -x^3 + 2x^2 + 6x - 7 \). Para encontrar as 
raízes reais, aplicaremos o Teorema de Bolzano que afirma que se uma função contínua 
muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. 
 
Primeiro, vamos calcular os valores de \( h(x) \) para \( x = -2, -1, 0, 1, 2, 3 \) para observar 
a mudança de sinal: 
 
\[ 
h(-2) = -(-2)^3 + 2(-2)^2 + 6(-2) - 7 = -(-8) + 8 - 12 - 7 = 8 + 8 - 12 - 7 = -3 \quad 
(\text{negativo}) 
\] 
 
\[ 
h(-1) = -(-1)^3 + 2(-1)^2 + 6(-1) - 7 = 1 + 2 - 6 - 7 = -10 \quad (\text{negativo}) 
\] 
 
\[ 
h(0) = 0^3 + 2(0)^2 + 6(0) - 7 = -7 \quad (\text{negativo}) 
\] 
 
\[ 
h(1) = -(1)^3 + 2(1)^2 + 6(1) - 7 = -1 + 2 + 6 - 7 = 0 \quad (\text{zero}) 
\] 
 
\[ 
h(2) = -(2)^3 + 2(2)^2 + 6(2) - 7 = -8 + 8 + 12 - 7 = 5 \quad (\text{positivo}) 
\] 
 
\[ 
h(3) = -(3)^3 + 2(3)^2 + 6(3) - 7 = -27 + 18 + 18 - 7 = 2 \quad (\text{positivo}) 
\] 
 
Observamos que: 
 
- \( h(-2) 0 \), pelo que há outra raiz entre (1, 2). 
 
Assim, concluímos que \( h(x) \) tem duas raízes reais (uma no intervalo (-2, 1) e outra no 
intervalo (1, 2)). Portanto, a resposta correta é **c) 2**. 
 
**Questão:** Um professor deseja distribuir 120 livros entre seus 5 alunos de forma que 
cada aluno receba uma quantidade diferente de livros. Qual a quantidade mínima de livros 
que o aluno que receber menos livros pode ter? 
 
Alternativas: 
a) 20 
b) 21 
c) 22 
d) 23 
 
**Resposta:** c) 22 
 
**Explicação:** Para resolver a questão, precisamos determinar a quantidade mínima de 
livros que o aluno que receber menos livros pode ter, respeitando a condição de que cada 
aluno deve receber uma quantidade diferente de livros. 
 
Suponha que os alunos recebam \(x_1, x_2, x_3, x_4\) e \(x_5\) livros, onde \(x_1