CDLXXIII geometrica

Prévia do material em texto

\text{det} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 
1 & c \\ 
3 & c 
\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 
2 & c \\ 
-1 & c 
\end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} 
2 & 1 \\ 
-1 & 3 
\end{vmatrix} 
\] 
 
Calculando cada um dos determinantes internos: 
 
1. \( \begin{vmatrix} 
1 & c \\ 
3 & c 
\end{vmatrix} = 1c - 3c = -2c \) 
 
2. \( \begin{vmatrix} 
2 & c \\ 
-1 & c 
\end{vmatrix} = 2c + c = 3c \) 
 
3. \( \begin{vmatrix} 
2 & 1 \\ 
-1 & 3 
\end{vmatrix} = 6 + 1 = 7 \) 
 
Substituindo na expressão do determinante: 
 
\[ 
\text{det} = 1(-2c) - 2(3c) + c(7) = -2c - 6c + 7c = -c 
\] 
 
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, temos: 
 
\[ 
-c = 0 \implies c = 0 
\] 
 
Se \( c = 0 \), precisamos considerar a combinação dos outros dois vetores \( \mathbf{u} \) 
e \( \mathbf{v} \) que deve ser igual a \(\mathbf{w}\). Assim, \( \mathbf{w} \) pode ser 
escrito como uma combinação linear dos vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \): 
 
\[ k_1(1, 2, -1) + k_2(2, 1, 3) = (x, y, z) \] 
 
Analisando essa combinação e igualando os componentes, chegamos à condição envolvendo 
\( x \), \( y \) e \( z \) que se reflete na alternativa a) \( x + 3y - z = 0 \). 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa a). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \). Qual é o valor de \( x \) 
quando \( f'(x) = 0 \)? 
 
**Alternativas:** 
 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( -1 \) 
 
**Resposta:** b) \( 1 \) 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o valor de \( x \) quando \( f'(x) = 0 \), precisamos primeiro calcular a 
derivada da função \( f(x) \). 
 
A função dada é: 
\[ 
f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 
\] 
 
Calculando a derivada \( f'(x) \): 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(5) 
\] 
\[ 
= 6x^2 - 6x + 1 
\] 
 
Agora, queremos encontrar onde \( f'(x) = 0 \): 
\[ 
6x^2 - 6x + 1 = 0