Novas-726

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função reconhece-se é em \( x = 1 \); portanto, a opção correta é \( x = 1 \) como 
minimização. 
 
Portanto, a resposta correta é **b) \( x = 1 \)**. 
 
**Questão:** Qual é o valor da integral definida \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( \frac{1}{4} \) 
b) \( 1 \) 
c) \( \frac{5}{12} \) 
d) \( \frac{1}{3} \) 
 
**Resposta:** c) \( \frac{5}{12} \) 
 
**Explicação:** 
Para resolver a integral definida \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx \), primeiro 
precisamos encontrar a antiderivada da função \( 4x^3 - 3x^2 + 2x \). 
 
1. Calcular a antiderivada: 
 - A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( \frac{4}{4}x^4 = x^4 \). 
 - A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -\frac{3}{3}x^3 = -x^3 \). 
 - A antiderivada de \( 2x \) é \( \frac{2}{2}x^2 = x^2 \). 
 
Portanto, a antiderivada da função é: 
\[ 
F(x) = x^4 - x^3 + x^2 
\] 
 
2. Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida: 
\[ 
\int_{0}^{1} (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = F(1) - F(0) 
\] 
 
3. Calculamos \( F(1) \): 
\[ 
F(1) = 1^4 - 1^3 + 1^2 = 1 - 1 + 1 = 1 
\] 
 
4. Em seguida, calculamos \( F(0) \): 
\[ 
F(0) = 0^4 - 0^3 + 0^2 = 0 - 0 + 0 = 0 
\] 
 
5. Substituindo os valores: 
\[ 
\int_{0}^{1} (4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = 1 - 0 = 1 
\] 
 
Parece que houve uma falha no enunciado, a resposta correta deveria ser \( 1 \). 
 
Portanto, a alternativa correta na versão finalizada da questão seria: 
**Resposta:** b) \( 1 \) 
 
Correção das explicações e alternativas acima. 
 
Questão: Considere a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Qual é o valor de x para o qual a função f 
atinge seu valor máximo? 
 
Alternativas: 
a) 2 
b) 3 
c) 1 
d) 0 
 
Resposta: b) 3 
 
Explicação: Para encontrar os máximos e mínimos da função f(x), precisamos calcular a sua 
derivada e igualá-la a zero. 
 
1. Derivando f, temos: 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. 
 
2. Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 3x^2 - 12x + 9 = 0. 
 Dividindo toda a equação por 3, obtemos: 
 x^2 - 4x + 3 = 0. 
 
3. Agora, fatoramos essa equação quadrática: 
 (x - 1)(x - 3) = 0. 
 
4. As soluções dessa equação são x = 1 e x = 3. Agora, precisamos verificar se esses pontos 
são máximos ou mínimos. Para isso, utilizamos a segunda derivada da função f: