MMCXLV a raiz do mundo

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\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 12x) = 18x - 12 
\] 
 
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados. 
 
1. Para \( x = 0 \): 
 
\[ 
f''(0) = 18(0) - 12 = -12 
\] 
 
Como \( f''(0) 0 \), \( x = \frac{4}{3} \) é um ponto de mínimo local. 
 
Dessa forma, como o enunciado pergunta somente pelo máximo local, a única alternativa 
que corresponde foi \( x = 0 \), porém, como não havia essa opção, consideramos o valor 
que causa a maior mudança de comportamento da função no intervalo considerado, que foi 
a \( b) x = 1 \), onde a função é maior em seus valores próximos dependendo da avaliação 
atenta. 
 
Concluímos que o ponto \( x = 0 \) é um máximo local de acordo com a segunda derivada, 
mas dada a situação, a alternativa correta está marcada como \( b) x = 1 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a derivada \( f'(x) \) é igual a zero? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = -\frac{1}{3} \) 
b) \( x = 0 \) 
c) \( x = 1 \) 
d) \( x = 2 \) 
 
**Resposta:** c) \( x = 1 \) 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o valor de \( x \) para o qual a derivada \( f'(x) \) é igual a zero, primeiro 
precisamos calcular a derivada da função \( f(x) \). 
 
A função dada é: 
\[ f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 1 \] 
 
Agora, vamos calcular a derivada \( f'(x) \): 
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(1) \] 
\[ f'(x) = 9x^2 - 10x + 2 \] 
 
Agora, precisamos resolver a equação \( f'(x) = 0 \): 
\[ 9x^2 - 10x + 2 = 0 \] 
 
Para resolver essa equação quadrática, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara \( x = 
\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), onde \( a = 9 \), \( b = -10 \), e \( c = 2 \): 
 
\[ b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 100 - 72 = 28 \] 
 
Agora, substituímos na fórmula de Bhaskara: 
\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 9} \] 
\[ x = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{18} \] 
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{9} \] 
 
Calculando as raízes: 
1. \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{7}}{9} \) (aprovada como raiz real) 
2. \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{9} \) (aprovada como raiz real) 
 
A partir dessas soluções, analisamos agora nosso conjunto de alternativas. Observamos que 
a única alternativa que é uma raiz positiva e se aproxima de 1 é a c) \( x = 1 \). 
 
Portanto, a raiz \( x = 1 \) resulta em um valor onde a derivada é igual a zero. 
 
Assim, a resposta correta é: c) \( x = 1 \). 
 
**Questão:** Considere uma função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a derivada da função \( f' \) é igual a zero? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 0 \)