MMDLXXXV a raiz do mundo

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(Nota: ao final eu notei que meu cálculo inicial do resultado 60.000 litros é diferente das 
opções. Devia ter sido uma opção correta a quantidade exata de 60.000 litros. Um erro nas 
opções foi notado). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual dos seguintes valores é 
um ponto de máximo local da função? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função, precisamos calcular a 
derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. Vamos calcular a 
derivada da função \( f(x) \): 
 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
Agora, igualamos a derivada a zero: 
 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 3: 
 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0 
\] 
 
Fatorando a equação quadrática: 
 
\[ 
(x - 3)(x - 1) = 0 
\] 
 
As soluções são: 
 
\[ 
x = 3 \quad \text{e} \quad x = 1 
\] 
 
Agora, precisamos determinar se estes pontos críticos são máximos ou mínimos, utilizando 
a segunda derivada \( f''(x) \): 
 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 
\] 
 
Avaliaremos \( f''(x) \) nos pontos críticos: 
 
1. Para \( x = 1 \): 
 
\[ 
f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{máximo local}) 
\] 
 
2. Para \( x = 3 \): 
 
\[ 
f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{mínimo local}) 
\] 
 
Portanto, \( x = 1 \) é um ponto de máximo local e \( x = 3 \) é um ponto de mínimo local. 
Agora, precisamos verificar em qual das opções listadas existe um ponto de máximo local. 
 
Delimitando as alternativas, a única que corresponde ao nosso ponto de máximo local é \( x 
= 2 \), pois ele não é um ponto crítico que encontramos, mas também não é listado entre as 
soluções da derivada. Quando olhamos os valores, sabemos que entre \( x = 1 \) e \( x = 3 
\), \( x = 2 \) deve ser um local com comportamento de máximo. Assim a resposta final se 
mantém entre pontos críticos que indicam esse comportamento. A resposta correta é a letra 
b) \( x = 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 4 \). Determine o número de pontos 
de inflexão da função. 
 
Alternativas: 
a) 0