MCDXLI aprendendo do inicio

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\] 
 Dividindo a equação por 3, temos: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 Fatorando, obtemos: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Assim, \( x = 1 \) e \( x = 3 \) são os pontos críticos. 
 
3. **Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:** 
 Calculamos \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(3) \) e \( f(5) \): 
 
 - \( f(0) = 0^3 - 6(0^2) + 9(0) + 15 = 15 \) 
 - \( f(1) = 1^3 - 6(1^2) + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19 \) 
 - \( f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15 \) 
 - \( f(5) = 5^3 - 6(5^2) + 9(5) + 15 = 125 - 150 + 45 + 15 = 35 \) 
 
4. **Comparar os valores obtidos:** 
 Assim, temos: 
 - \( f(0) = 15 \) 
 - \( f(1) = 19 \) 
 - \( f(3) = 15 \) 
 - \( f(5) = 35 \) 
 
O maior valor encontrado é \( 35 \) em \( x = 5 \). Portanto, a resposta correta é que o valor 
máximo da função no intervalo \( [0, 5] \) é 35, mas como há um erro nas alternativas, a 
resposta correta teria que ser a que corresponde ao valor máximo calculado 
adequadamente. Portanto, é necessário corrigir as alternativas para incluir os valores 
corretos de \( 15, 19, 35\) e adicionar o máximo correto que deveria ser a que corresponde 
ao valor final de \( 35\). 
 
Lamentavelmente, as opções dadas não têm o resultado correto; o verdadeiro valor máximo 
é 35. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual dos seguintes valores de \( 
x \) é um ponto crítico da função? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 1 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 3 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 1 \) 
 
**Explicação:** 
Primeiro, para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) \), devemos calcular a primeira 
derivada \( f'(x) \) e igualá-la a zero. 
 
A função dada é: 
\[ 
f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 
\] 
 
A primeira derivada é calculada da seguinte forma: 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4) = 3x^2 - 6x 
\] 
 
Agora, para determinar onde a derivada é igual a zero, resolvemos a equação: 
\[ 
3x^2 - 6x = 0 
\] 
Fatorando essa expressão, obtemos: 
\[ 
3x(x - 2) = 0 
\] 
 
Assim, temos duas soluções: 
\[ 
x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2 
\] 
 
Além dos pontos onde a derivada é zero, também precisamos considerar se existe um ponto 
crítico em \( x = 1 \) ao avaliar a continuidade e a derivabilidade de \( f(x) \). Calculando \( 
f'(1) \): 
\[ 
f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \quad (\text{não é zero, mas é contínuo}) 
\] 
 
Para esclarecer, a pergunta solicita um ponto crítico como aqueles onde a derivada é zero. 
Portanto, revisando as opções, notamos que o ponto crítico correto quando \( f'(x) = 0 \) 
são \( x = 0 \) e \( x = 2 \), enquanto \( x=1 \) não é um ponto crítico de acordo com nossa