TEMA 2 - Dimensionamento de concreto armado à flexão

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Dimensionamento de concreto armado à �exão
Profª. Larissa Camporez Araújo
Descrição
Dimensionamento de estruturas em concreto armado: conhecimento das regiões de colapso, ou seja, os
estádios, bem como dos domínios de deformação dos elementos componentes do sistema para a obtenção
de um bom dimensionamento das armaduras das peças estruturais.
Propósito
As construções, sejam elas de pequeno, médio ou grande porte, demandam cálculos estruturais específicos
para o dimensionamento dos elementos estruturais em concreto armado que devem ser realizados por
engenheiros estruturais; portanto, faz-se necessário o conhecimento dos estádios e dos domínios de
deformação, bem como a compreensão das equações e das tabelas utilizadas com o objetivo de
dimensionamento dos elementos.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
Objetivos
Módulo 1
Os estádios das estruturas em concreto armado
Identificar os processos de colapso da estrutura em concreto armado.
Módulo 2
Os domínios de deformação da estrutura
Reconhecer os domínios de deformação e suas classificações.
Módulo 3
Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Aplicar cálculos para o dimensionamento da armadura longitudinal.
Módulo 4
Análise de uso de tabelas adimensionais
Interpretar as tabelas adimensionais para o dimensionamento do elemento estrutural.

Introdução
Bem-vindo aos estudos de dimensionamento de estruturas de concreto armado à flexão.
AVISO: orientações sobre unidades de medidas
rientações sobre unidades de medidas
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e
didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25
km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de
separação dos números e das unidades.
1 - Os estádios das estruturas em concreto armado
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os processos de colapso da estrutura em
concreto armado.
Os estádios das estruturas em concreto armado
Processo de colapso: estádios
Para o correto dimensionamento dos elementos estruturais submetidos à flexão, é importante que o
engenheiro calculista tenha o domínio sobre o tipo de flexão que atua sobre o elemento e os níveis de
deformação que a flexão pode provocar. Tais deformações são conhecidas como estádios e determinam o
comportamento da peça até o seu colapso.
Dizemos que o elemento estrutural está submetido à flexão quando nele atua o momento fletor, e é com o
objetivo de resistir a esse momento que o engenheiro dimensiona as armaduras longitudinais. Esse
dimensionamento é realizado tendo em vista o Estado Limite Último a Momento Fletor (ELU-M) e considera
que, na seção mais solicitada (com o maior valor de momento), seja alcançada a deformação específica
limite do material (concreto ou aço), isto é, a ruptura pode ocorrer no concreto comprimido ou no aço
tracionado.
Vale lembrar que, para o dimensionamento de elementos em concreto armado no Estado Limite Último
(ELU), devemos considerar as:
omento �etor

Momento total gerado por aplicação de cargas perpendiculares à viga que causam tensões normais de tração e
compressão simultaneamente na estrutura, ou seja, causam flexão.
Solicitações de cálculo
São majoradas.
Resistências características de cálculo
São minoradas.
Se as solicitações de cálculo alcançarem as resistências de cálculo, consideraremos
que a estrutura entrou em colapso, ou seja, o dimensionamento ocorreu para o
estado limite último.
As vigas são exemplos clássicos de elementos submetidos à flexão simples. Com o objetivo de apresentar
um exemplo de projeto para armadura longitudinal de uma peça estrutural proveniente de esforços de flexão
dimensionada pelo ELU-M, está ilustrado na imagem a seguir o projeto de uma viga chamada de V1 com
dimensão da seção transversal, base de 14cm com 30cm de altura e comprimento de face a face dos
pilares P1 e P2 (apoios para a viga) de 410cm. À direita da viga, o corte A-A está demonstrado com o intuito
de apresentar a seção transversal da peça.
Imagem 1 - Projeto estrutural de uma viga.
Para a viga em questão (biapoiada), a Armadura Longitudinal Inferior (ALI) é a armadura utilizada para
combater os esforços de tração devido ao momento fletor positivo que atua no elemento. Vamos ver a
principal diferença entre a ALI e a Armadura Longitudinal Superior. Ambas serão dimensionadas e
explicadas no módulo 3.

Armadura Longitudinal Inferior (ALI)
Podemos afirmar que ela é uma armadura passiva utilizada para combater o esforço tração na flexão.
Armadura Longitudinal Superior (ALS)
Já a ALS pode tanto ser uma armadura de flexão para auxiliar o concreto no combate às tensões de
compressão devido ao momento fletor como ser apenas uma armadura de porta estribo.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão que podem atuar no elemento estrutural e os estádios em
que o elemento pode ser classificado.
Tipos de �exão
As tensões que surgem no elemento estrutural devido aos esforços de flexão provocados pelo momento
fletor (M) são tensões normais de tração ou compressão. Essas tensões surgem na seção transversal do
elemento, e o que separa a tração da compressão é a Linha Neutra (LN), que passa pelo centroide da seção
transversal. Nela, as tensões e as deformações são nulas.
A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a seção transversal de uma viga submetida a esforços de
flexão devido à ação do momento fletor positivo, com tensão normal de compressão acima da linha neutra e
tensão normal de tração abaixo dessa linha. Na linha neutra, a tensão é nula.
Imagem 2 - Esquema de viga submetida a tensão de flexão.

A seguir serão apresentados os tipos de flexão comuns que ocorrem em elementos estruturais.
É o exemplo clássico para o dimensionamento de armadura longitudinal em vigas e lajes. A flexão
normal simples ocorre quando o plano do carregamento, ou sua resultante, é perpendicular ao eixo
da Linha Neutra (LN). A imagem a seguir, lado esquerdo (a), ilustra um caso de flexão normal simples
no qual o carregamento distribuído uniforme é perpendicular ao eixo da viga biapoiada de
comprimento . O momento utilizado para o dimensionamento da armadura longitudinal de flexão
é o maior momento atuante na viga para este caso, , que ocorre no meio do vão, conforme
ilustra o diagrama de momento fletor no lado direito (b) da imagem.
Imagem 3 - Esquema de viga submetida à tensão de flexão. À esquerda (a), viga biapoiada com carregamento transversal. À direita (B),
diagrama de momento fletor da viga.
Ocorre quando, além da tensão normal provocada pelo momento fletor (M), existe a tensão de uma
força normal (N) agindo na seção transversal. Esse caso acontece com frequência em pilares, não
sendo comum ocorrer em vigas, pois elas, com exceção das protendidas, geralmente não são
submetidas de forma direta a ações normais. Em vigas protendidas, a força normal é de extrema
importância para o seu dimensionamento. A imagem a seguir mostra um pilar submetido à flexão
composta, ou seja, sob a ação de uma força normal e um momento fletor.
Flexão normal simples 
(q)
(L)
q⋅L2
8
Flexão normal composta 
Imagem 4 - Esquema de pilar submetido à flexão composta.
A flexão obliqua simples corre quando, na seção transversal, atuam dois momentos fletores, sendo
um em cada direção dos eixos que passam pelo centroide da peça. A flexão obliqua composta
ocorre quando, além dos dois momentos, há o esforço normal, provocando tensão na peça. Quando
existe uma alteração na seção transversal dos pilares entre pavimentos de uma edificação, tem-se a
flexão obliqua, que é consequência da excentricidade da carga normal. A imagem a seguir mostra
um pilar submetido à flexão obliqua simples, ou seja, sob a ação de dois momentos fletores
indicadospela seta dupla.
Imagem 5 - Esquema de pilar submetido à flexão obliqua simples.
A flexão pura é um caso particular de flexão e ocorre em trechos de vigas em que atua apenas o
momento fletor, ou seja, o esforço cortante é nulo. A imagem a seguir, na esquerda (a), ilustra uma
viga biapoiada com duas cargas pontuais (P) e comprimento (L). Já a direita (b) mostra o diagrama
de momento fletor para essa viga com a indicação do trecho com flexão pura.
Flexão obliqua simples e composta 
Flexão pura 
Imagem 6 - À esquerda (a), viga biapoiada com cargas pontuais. À direita (b), diagrama de momento fletor com flexão pura.
Como as armaduras de flexão são dimensionadas para o Estado Limite Último, ou seja, considerando o
limite de resistência do elemento estrutural, além de conhecer a tensão de flexão ao qual o elemento está
submetido, é necessário identificar o estádio em que o elemento será dimensionado. Vamos apresentar os
estádios a seguir.
Estádios
Os conceitos apresentados aqui são referentes ao processo de colapso de vigas sob tensões normais. São
adotadas as vigas por serem elas elementos com cálculos de dimensionamento mais simples, o que facilita
a compreensão dos conceitos relacionados aos estádios.
Os estádios podem ser definidos como os vários estágios de tensão pelo qual um elemento fletido passa,
desde o carregamento inicial até a sua ruptura. Experimentalmente, a viga é instrumentada e submetida a
um carregamento crescente, de forma que seja possível a medição das deformações que ocorrem na parte
central ao longo da sua altura, conforme ilustra a imagem a seguir.
Imagem 7 - Parte central da viga onde são realizadas as medições de deformação.
Para a viga de concreto armado, são definidos três estádios de deformação: estádio I, estádio II e estádio III.
Eles serão descritos a seguir.
Estádio I
O estádio I corresponde ao início do carregamento; logo, as tensões normais que surgem são de baixa
magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às tensões de tração. Nesse estádio, o diagrama de
tensões é linear ao longo da seção transversal da peça, a lei de Hooke é válida e a peça se encontra no
estado elástico.
A imagem a seguir apresenta o estádio I de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MI) na
viga devido ao carregamento externo, surgem internamente as forças de compressão na parte superior
 e de tração na parte inferior a fim de obter o equilibrio das ações. Essas forças internas
provocam a tensão de compressão com a consequente deformação de encurtamento e a
tensão de tração com o consequente alongamento .
Imagem 8 - Forma esquemática do estádio I.
A linha neutra (LN) encontra-se a uma profundidade x I. A distância d é chamada de altura útil da seção e é
medida da extremidade da viga mais distante das barras de aço até o centroide dessas barras, já a altura h é
a altura total da viga. Neste estádio, a tensão de tração do concreto não ultrapassa sua resistência
característica à tração, logo não ocorrem fissuras de tração na peça. O estádio I encerra quando surgem as
primeiras fissuras.
Estádio II
No estádio II, a tensão de tração no concreto supera sua resistência característica à tração, ou seja, o
concreto não resiste mais à tração. Com isso, a seção se encontra fissurada na região de tração. Mesmo
com o aparecimento de fissuras, o diagrama de tensões se mantém linear, permanecendo válida a lei de
(Fco) (Ftr)
(σco) (εco)
(σtr) (εtr)
Hooke. Nesse estádio, conhecido como estádio de fissuração, se deve realizar a verificação da viga em
serviço (ELS).
A imagem a seguir apresenta o estádio II de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MII) na
viga devido ao carregamento externo surgem internamente, as forças de compressão na parte superior
 e de tração na parte inferior a fim de obter o equilíbrio das ações, como no estádio I. Porém o
M II apresenta intensidade superior ao M I, e a tensão de tração passa ser maior que a resistência
característica à tração; por isso, surgem as fissuras. As fissuras caminham no sentido da borda comprimida,
assim como a linha neutra. Com isso, x II passa a ser menor do que x I.
Imagem 9 - Forma esquemática do estádio II.
Nesse estádio, consideramos que apenas o aço resista aos esforços de tração por conta das fissuras que
surgem no concreto. A tensão na armadura cresce, podendo atingir o escoamento ou não. O estádio II
termina com o início da plastificação do concreto comprimido. Admite-se que a tensão de compressão no
concreto continue linear.
Estádio III
No estádio III, aumenta-se o momento fletor até um valor próximo de colapso, isto é, o concreto na zona
comprimida está na iminência de ruptura e encontra-se plastificado. O diagrama de tensões, também
conhecido como diagrama parábola retângulo, passa a ser da forma parabólico retangular. No entanto, a
norma brasileira permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama retangular equivalente.
Na forma esquemática do estádio III representada na imagem a seguir, verifica-se que a fibra mais
comprimida do concreto começa a plastificar a partir da deformação específica de , chegando a
atingir na extremidade, sem variação de tensão, a deformação específica última $. No
esquema, é possivel observar que a peça está com muitas fissuras e que a profundidade da linha neutra
(Fco) (Ftr)
0, 2%
$ (εcu = 0, 35%)
 diminui. Por consequência, há uma redução da região de concreto comprimida. O estádio 3 é a
situação extrema que corresponde ao dimensionamento pelo ELU.
Imagem 10 - Forma esquemática do estádio III.
O dimensionamento dos sistemas em concreto armado será realizado no estádio III, já que este se refere ao
Estado Limite Último, quando o elemento está na iminência de ruptura. O objetivo principal do engenheiro
estrutural é projetar estruturas que resistam, de forma econômica, aos esforços sem entrar em colapso. O
item a seguir apresenta algumas hipóteses básicas de dimensionamento que serão de extrema relevância
para os módulos seguintes.
Hipóteses básicas de dimensionamento
Vamos conhecer as hipóteses de cálculo de elementos estruturais lineares sob solicitações normais que
são apresentadas na ABNT NBR 6118:2014. As hipóteses são:
As seções transversais permanecem planas após a deformação. Ou seja, as deformações são, em cada
fibra de concreto, proporcionais à sua distância até a linha neutra da seção;
A deformação das barras de aço passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras de aço
ativas (para concreto protendido) aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em
seu entorno. Isto é, a deformação no aço é igual à deformação no concreto;
As tensões de tração no concreto, normais na seção transversal, devem ser desprezadas no ELU;
O colapso da seção transversal submetida a qualquer tipo de flexão no estado limite último é
caracterizado pelas deformações específicas de cálculo do concreto para as fibras mais comprimidas e do
(xIII)
aço próximo da borda mais tracionada. Os valores últimos das deformações vão definir os domínios de
deformação a serem apresentados no próximo módulo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um engenheiro calculista dimensionará algumas peças estruturais de uma pequena residência. Para
tanto, ele decidiu voltar às anotações que fez durante o curso de Concreto Armado I para relembrar
alguns conceitos. Ao verificar suas anotações, percebeu que, em uma delas, se equivocou e anotou o
conceito errado. Marque a opção que apresenta a anotação equivocada que estava em seu caderno.
A
Os elementos estruturais do tipo pilares são elementos caracterizados por suportar
apenas tensão normal devido às forças normais, não sendo necessário o estudo de
tensões de flexão.
B
Os elementos estruturais do tipo pilares são submetidos à flexão obliqua composta, em
que ocorre a excentricidade da resultante dos esforços normais, gerando momento em
duas direções.
C
As vigas, assimcomo as lajes, são, na maioria dos casos, submetidas à flexão simples,
ou seja, o carregamento das peças é perpendicular à seção transversal do elemento.
D
Em elementos estruturais do tipo vigas protendidas, atuam esforços normais na seção
transversal da viga. Esses esforços não podem ser desprezados no cálculo das tensões.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Os pilares são elementos submetidos a esforços normais e a momentos fletores que podem surgir por
causa da excentricidade do carregamento vertical, que é normal em sua seção transversal.
Questão 2
Para uma boa compreensão do dimensionamento de elementos estruturais, é necessária a
identificação dos domínios de deformação de peças de concreto armado. A seguir são apresentadas
afirmações a respeito dos estádios.
1. Os estádios de deformação são estudados experimentalmente por meio de um carregamento inicial
até a ruptura do elemento estrutural. 
2. O estádio I é o primeiro e corresponde ao início do carregamento. As tensões são pequenas, e o
concreto resiste aos esforços de tração, não ocorrendo fissuração do elemento. 
3. No estádio II, o elemento ainda se comporta segundo a lei de Hooke e se encontra fissurado. A
profundida da linha neutra nesse estádio é menor que no estádio I.
4. No estádio III, ocorre o momento fletor com valor próximo de colapso, ou seja, o concreto na zona
comprimida está na iminência de ruptura e encontra-se plastificado. O diagrama de tensões passa a
ser da forma parabólico retangular.
São corretas:
E
A flexão pura é um caso específico de flexão em que se atua no elemento estrutural, ou
em parte dele, apenas o momento fletor, sendo todos os demais esforços nulos.
A Apenas I e III.
B Apenas II e IV.
C Apenas I e II.
Parabéns! A alternativa E está correta.
Os estádios são estágios de deformação verificados em estudo experimental por intermédio de um
aumento de carregamento em uma viga até perto da tensão de ruptura da peça. No estádio I, as
tensões são pequenas, e ele se encerra com o início do aparecimento de fissuras. No estádio II, embora
a peça ainda se comporte segunda a lei de Hooke, ela já apresenta algumas fissuras. Já no estádio III,
com carga próximo da ruptura, o diagrama de tensão passa a ser da forma parabólico retangular.
2 - Os domínios de deformação da estrutura
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os domínios de deformação e suas
classi�cações.
D Apenas II, III e IV.
E I, II, III e IV.
Os domínios de deformação da estrutura
Domínios de deformação
Os domínios de deformação são situações em que pelo menos um dos materiais, aço ou concreto, atinge o
seu estado limite último, ou seja, corresponde à ruína de uma seção transversal por ruptura do concreto ou
deformação excessiva da armadura (aço).
Para a melhor compreensão deste módulo, primeiramente serão apresentadas as situações de deformações
últimas dos materiais, os diagramas de tensões do concreto no estado limite último, para então serem
abordados os domínios de deformação. Inicialmente, vamos conhecer as classes.
Concretos de classes até C50
; ocorre nas seções totalmente comprimidas.
; ocorre nas seções sob flexão.
Concretos de classes C50 até C90
ocorre nas seções totalmente comprimidas.

εc2 = 2, 0 ⋅ 10
−3 = 2, 0%∘
εcu = 3, 5 ⋅ 10
−3 = 3, 5%∘
εc2 = 2%0 + 0, 085% ⋅ (fck − 50)
0,53;
ocorre nas seções sob flexão.
Para o alongamento último da armadura, que é o alongamento máximo permitido ao longo da armadura
tracionada, é dado por:
para prevenir deformação plástica excessiva.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tensão de cálculo na armadura é obtida a partir do diagrama de tensão deformação do aço e é
dada pela divisão da resistência última do aço pelo seu coeficiente de ponderação , obtendo-se a
seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição das tensões dos concretos até a classe C50 é realizada de acordo com o diagrama parábola-
retângulo para o qual é permitida (pela ABNT NBR 6118:2004) a transformação para o diagrama tensão-
deformação simplificado do concreto. A tensão máxima do concreto no diagrama parábola-retângulo é:
. Esse diagrama é formado por uma parábola do grau com vértice na fibra correspondente à
deformação de compressão de e um trecho reto entre as deformações e .
Como citado anteriormente, a norma permite a utilização do diagrama simplificado em substituição ao
diagrama parábola-retângulo esquematizado na imagem 11. Nesse caso, considera-se a profundidade da
linha neutra igual , e as seguintes tensões são consideradas:
εcu = 2, 6%0 + 35% ⋅ [(90 − fck)/100]
4;
(εcu)
εcu = 10, 0 ⋅ 10
−3 = 10, 0%0
(fyd) x
(fyk) (γs)
fyd =
fyk
γs
0, 85 ⋅ fcd 2
∘
2% 2% 3, 5%
(y) a : 0, 8 ⋅ x;
 para zonas comprimidas de largura constante ou crescente no sentido das
fibras mais comprimidas a partir da linha neutra;
 para zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais
comprimidas a partir da linha neutra.
Imagem 11 - Diagramas de tensões no concreto no estado limite último para concretos até a classe C50.
Na imagem 11, é a área de aço na zona comprimida; , a área de aço na zona tracionada; , a
distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do
elemento estrutural; e , o alongamento do aço.
Já a distribuição das tensões para concretos das classes C50 a C90 se faz de acordo com um diagrama
curvo e retangular com tensão de pico igual a: . Esse diagrama, conforme a ABNT NBR
6118:2014, pode ser substituído por um retângulo com profundidade da linha neutra dada pela seguinte
equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesta equação:
0, 85 ⋅ fcd =
0,85⋅fck
γc
:
0, 80 ⋅ fcd =
0,80⋅fck
γc
:
A′s As d
′
εs
0, 85 ⋅ fcd
(y)
y = λ ⋅ x
λ = 0, 8 :  para fck ≤ 50MPa
λ = 0, 8 − (fck − 50)/400 : para fck > 50MPa (fckemMPa)
A tensão pode ser admitida constante até a profundidade da linha neutra, sendo igual a:
 quando a largura da seção, medida paralelamente em relação à linha neutra, não diminuir a
partir desta para a borda comprimida;
 Quando ocorre o contrário.
Em que:
Para concretos de classes até
C50.
Para classes C 50 até C90.
Entendidas as deformações e as tensões últimas, seguiremos para o próximo item com o objetivo de
compreender os domínios de deformação dos sistemas de concreto armado.
Domínios de deformação na seção transversal
Os domínios de deformação representam diversas possibilidades de ruína da seção do elemento estrutural.
Podemos ter deformação excessiva da armadura, esmagamento do concreto em seções parcialmente
comprimidas ou esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas.
Para um bom dimensionamento e desempenho da estrutura, é essencial que o
engenheiro calculista identifique em qual domínio o elemento estrutural está
trabalhando.
Vejamos a representação gráfica dos domínios de deformação.
αc ⋅ fcd :
0, 9 ⋅ αc ⋅ fcd :
αc = 0, 85
αc = 0, 85 ⋅ [1 −
fck−50
200
]
Imagem 12 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos até C50.
Tem-se seis domínios de deformação para os conjuntos de deformações específicas do concreto e do
aço ao longo da seção transversal retangular com armadura apenas na região de tração em elementos
submetidos a esforços normais, conforme ilustra a Imagem 12 para concretos de classe até C50.
Imagem 13 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos de todas as classes.
Já a imagem 13 apresenta os domínios de deformação para uma situação genérica com concretos de
todas as classes.
Cada trecho do diagrama apresentado nas Imagens 12 e 13 será descrito e explicado nas seções seguintes.
Com objetivo esclarcer melhor esse tópico, as dimensões altura de seção transversal , distância do
centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais comprimidade concreto, também
chamada de altura útil da seção , e a distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal
comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural comprimido são apresentadas na imagem
14, assim como a largura da seção transversal de vigas de seção retangular. Vale citar que é comum no pré-
projeto utilizar .
(h)
(d)
(d′)
d = 0, 9.h
Imagem 14 - Representação das dimensões em uma viga com seção retangular.
É preciso saber em qual domínio está situado o diagrama de deformações ( imagem 12 e imagem 13) do
elemento a ser dimensionado com a finalidade de determinar a resistência de cálculo de uma dada seção
transversal. O engenheiro calculista deve buscar o dimensionamento das vigas e lajes nos domínios 2 e 3 e,
para o dimensionamento de pilares, os domínios 4, 4a e 5. Essa busca é importante para evitar rupturas.
Vejamos:
Imagem 12 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos até C50.
Imagem 13 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos de todas as classes.
Domínio 2
Em elementos estruturais, subarmados e dimensionados no domínio 2, a ruptura ocorre por deformação
excessiva da armadura, uma ruptura convencional, sem haver o esmagamento do concreto. Nesta situação,
consideramos a ruptura como dúctil.
Limite do domínio 3 e 4
Em peças normalmente armadas, a ruptura ocorre no limite do domínio 3 e 4, havendo o esmagamento do
concreto e o escoamento da armadura.
Domínio 4
Já em elementos superarmados, dimensionados no domínio 4, o aço não escoa e a ruptura ocorre por
esmagamento do concreto. Nesse caso, temos a ruptura frágil, que ocorre de forma brusca, ou seja, sem
aviso prévio.
úctil
Tem aviso prévio identificado pela presença de intensa fissuração na peça.
Essas situações devem ser evitadas. Para isso, fazemos o emprego de armadura
dupla.
Com o objetivo de explicar cada um desses domínios, nos itens seguintes eles serão abordados de forma
individualizada. Vale ressaltar que, neste conteúdo, serão considerados apenas concretos para classes até
C50.
Domínio 1
O domínio 1 tem início com e , na reta "a", com a profundidade da linha neutra
. Nessa situação, a seção encontra-se sob tração uniforme. Para , a deformação no
concreto devido à tração diminui, enquanto a deformação no aço permanece . O término ocorre com
 e . A linha neutra se encontra no limite superior da seção transversal; com isso, temos
.
Nesse domínio, a reta de deformação gira em torno do ponto A, a linha neutra fica fora da seção transversal
e a seção resistente é composta pelo aço, não havendo participação do concreto, pois ele se encontra
totalmente fissurado devido às tensões de tração. Todas as situações descritas acima são ilustradas de
forma esquemática na imagem 15, sendo que o último desenho do esquema mostra o giro em torna do
ponto A e a faixa do domínio 1 (para uma melhor compreensão, vale ver novamente a Imagem 12. Não há
ocorrência de compressão na seção transversal do elemento.
εs = 10% εc = 10%0
x = −∞ x < 0
10%
εs = 10% εc = 0
x1 = 0
Imagem 15 - Características do domínio 1.
Domínio 2
O domínio 2 tem início no término do domínio 1, ou seja, com e , e . O término
ocorre com , , e , com a linha neutra cortando a seção
transversal. Com isso, temos a parte superior comprimida e a parte inferior tracionada, conforme representa
a imagem 16. A reta também gira em torno do ponto A. A determinação de é realizada pela semelhança
de triângulos:
O concreto não alcança a ruptura, pois: . Já o aço está no limite último caracterizado por
, com grandes deformações. A seção resistente é composta de aço tracionado e concreto
comprimido, e apenas o aço atinge o seu limite máximo. colapso ocorre com aviso prévio, grande de
formação e intensa fissuração, acontecendo em peças com flexão simples ou composta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
εs = 10%0 εc = 0 x1 = 0
εs = 10% εc = −3, 5% x2 = 0, 259. d
x2
εc < −3, 5%
εs = 10%
O
0,0035
x2
=
0,01
d−x2
→ x2 = 0, 259 ⋅ d
Imagem 16 - Características do domínio 2.
Domínio 3
O domínio 3 tem início no término do domínio 2, ou seja, com e 
 O término ocorre com (deformação específica de escoamento do aço),
 (deformação de ruptura do concreto) e , que varia com o tipo de aço empregado e a
linha neutra cortando a seção transversal. Com isso, temos tração e compressão na seção transversal. As
características do domínio 3 são ilustradas na Imagem 17. Nesse domínio, a reta gira em torno do ponto B.
A semelhança de triângulos, realizada para determinar , é a seguinte:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido. Ocorre uma grande deformação
no aço e ruptura do concreto, que se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso se dá com aviso
prévio. Até o domínio 3, as peças estruturais sãosub armadas. O ideal, com peças normalmente armadas,
ocorre em dimensionamentos no domínio 3 perto do domínio 4.
Imagem 17 - Características do domínio 3.
Domínio 4
εs = 10%0 εc = −3, 5%∘, e
x2 = 0, 259. d. εs = εyd
εc = −3, 5% x = x3
x3
0,0035
x3
=
εyd
d−x3
→ x3 =
0,0035⋅d
εyd+0,0035
O domínio 4 tem início no término do domínio 3, ou seja, com , e e . Já o
término ocorre com , , e . Com a linha neutra cortando a seção
transversal, temos uma seção resistente com aço tracionado e concreto comprimido. As características do
domínio 4 são ilustradas na imagem 18: nesse domínio, a reta gira em torno do ponto B.
Apenas o concreto alcança a ruptura: . A ruptura é frágil, pois o concreto rompe sem que a
armadura atinja seu valor máximo. Com isso, o colapso ocorre sem aviso prévio. Os elementos estruturais
dimensionados nesse domínio são superarmados, sendo, portanto, antieconômicos.
Imagem 18 - Características do domínio 4.
Domínio 4a
O domínio 4a tem início no término do domínio 4, ou seja, com , , e O
término ocorre com (compressão), e . Com a linha neutra no limite
inferior da seção transversal, temos uma seção resistente com aço e concreto comprimidos. As
características do domínio 4a estão ilustradas na imagem 19. Nesse domínio, a reta também gira em torno
do ponto B.
Apenas o concreto alcança a ruptura: . As armaduras se encontram comprimidas. O colapso
ocorre com ruptura frágil, sem aviso prévio, ou seja, sem a ocorrência de fissuração. Os pilares normalmente
são dimensionados nesse domínio.
Imagem 19 - Características do domínio 4a.
εs = εyd εc = −3, 5%0 x = x3
εs = 0 εc = −3, 5% x = x4 = d
εc = −3, 5%
εs = 0 εc = −3, 5%0 x = x4 = d.
εs < 0 εc = −3, 5% x = x4a = h
εc = −3, 5%
Domínio 5
O domínio 5 tem início no término do domínio 4a, ou seja, com , e . O
término ocorre com: , e , ou seja, na reta "b" com compressão
uniforme. A reta gira em torno do ponto C e apenas o concreto alcança a ruptura: (na
flexocompressão). Dessa forma, a ruptura é frágil e o colapso ocorre sem aviso prévio, ou seja, sem
fissuração. A linha neutra não corta a seção transversal, sendo essa seção composta de aço e concreto
comprimidos. As características desse domínio são ilustradas na imagem 20. A semelhança de triângulos
para determinar a distância do ponto C é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem 20 - Características do domínio 5.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
εs < 0 εc = −3, 5%0 x = x4a = h
εs = −2%0 εc = −2%0 x = x5 = +∞
εc = −3, 5%
0,0035−0,0020
a
=
0,0020
h−a
→ a =
3
7
⋅ h
Questão 1
O engenheiro estrutural, ao fazer o cálculo do elemento de concreto armado dentro dos domínios de
deformação, precisa considerar quais tipos de deformações e tensões?
Parabéns! A alternativa B está correta.
A classificação do domínio de deformação para peças de concreto armado é realizada considerando o
estado limite último, isto é, as deformaçõese tensões últimas.
Questão 2
Os domínios de deformação classificam as diversas possibilidades de colapso da seção do elemento
estrutural, que podem ser por deformação excessiva da armadura, por esmagamento do concreto em
seções parcialmente comprimidas ou por esmagamento dele em seções totalmente comprimidas. A
seguir é apresentada uma frase que caracteriza um desses domínios:
Nesse domínio, a linha neutra corta a seção transversal; logo, a seção resistente é composta de aço
tracionado e concreto comprimido, e a reta gira em torno do ponto B. Ocorre grande deformação no aço
e ruptura do concreto, que se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso ocorre com aviso
prévio.
A Específicas; de flexão.
B Últimas; últimas.
C Características; específicas.
D Características; características.
E Últimas; características.
Marque a opção que apresenta o domínio correspondente à frase descrita acima.
Parabéns! A alternativa C está correta.
No domínio 3, há grande deformação no aço, além de haver a ruptura da armadura de concreto. Essa
ruptura acontece quando a deformação atinge o limite de escoamento do aço; por esse motivo, obtém-
se uma fratura frágil.
A Domínio 1
B Domínio 2
C Domínio 3
D Domínio 4
E Domínio 5
3 - Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para o dimensionamento da
armadura longitudinal.
Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Cálculo da armadura longitudinal
O cálculo da armadura longitudinal é utilizado para a determinação da área de aço em elementos
submetidos à flexão normal, como as vigas. No dimensionamento da quantidade de armadura longitudinal
para seções transversais retangulares, são conhecidos a resistência do concreto , a largura da seção
, a altura útil e o tipo de aço (sua tensão e sua deformação específica ). Ele é realizado
a partir do equilíbrio de forças e momentos na seção transversal.
A ABNT NBR 61118:2014, a fim de garantir a ductilidade do elemento estrutural (no caso de vigas e lajes),
afirma que a posição da linha neutra no ELU deve ser limitada aos valores:
 para concretos com 
 para concretos com 
Portanto, para o estudo do dimensionamento da armadura longitudinal, este módulo será subdividido em:
equações para concretos de classes até C50 e equações para concretos de classes entre C50 e C90, além

(fck)
(b) (d) −fyd− −εyd
x
d
≤ 0, 45 → fck ≤ 50MPa;
x
d
≤ 0, 35 → 50MPa < fck < 90MPa
de dimensionamentos específicos para o máximo momento resistente na seção, a altura mínima de uma
seção com armadura simples e o cálculo de armadura dupla.
Equacionamento para concretos de classe até C50
Em um elemento de seção retangular, os diagramas de deformações e tensões na seção solicitada para
flexão simples para concretos até C50, sem considerar a ductilidade , são apresentados na
imagem a seguir. Nesse caso, depende da deformação específica de cálculo do aço Para
considerar o aumento de ductilidade proposto pela ABNT NBR 6118: 2014, basta substituir o por 
(deformação específica limite), que corresponde ao valor de .
Imagem 21 - Elemento de seção retangular e diagramas na seção solicitada para flexão simples em concretos até C50 sem considerar a
ductilidade.
As equações para o cálculo da armadura longitudinal são obtidas por meio do equilibrio de forças e
momentos na seção transversal do elemento. Com o objetivo de obter equaçốes padronizadas, vamos
adotar como conhecidos os parâmetros: e Além disso, consideraremos o momento de
cálculo igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo o momento atuante na seção devido aos esforços solicitantes. A seguir, será apresentado o
passo a passo para o dimensionamento da armadura longitudinal tracionada .
Equilíbrio da seção
(
x
d
≤ 0, 45)
x
d
(εyd).
εyd εlim
x
d
= 0, 45
fck, b, d, fyd εyd.
Md = γc ⋅ M = 1, 4 ⋅ M
M
(As)
O equilíbrio de esforços na seção transversal, forças e momentos, será realizado considerando o esquema
apresentado na imagem a seguir.
Como não há força externa, o equilibrio de forças é realizado levando-se em consideração apenas as forças
internas. Logo, o somatório de forças considerará a resultante da força atuante no concreto e a
resultante da força atuante no aço , como mostra esta equação:
Imagem 22 - Ações externas e internas na seção transversal para o cálculo de equilíbrio de esforços.
As resultantes das forças do concreto e do aço são obtidas graças à relação entre força, tensão e área
. Vamos considerar que a peça esteja trabalhando no domínio 2 ou 3
(caso de vigas); por isso, e Assim chegamos às seguintes equaçốes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o equilíbrio de momentos no ponto (indicado na imagem 22), temos:
É importante conhecer a posição da linha neutra para poder identificar o domínio em que a peça está
trabalhando e calcular a resultante de força no concreto e o braço de alavanca dado pela equação:
(Fc)
(Fs)
∑F→+ = 0 : Fc − Fs = 0 → Fc = Fs
(Força = Tensão × Área)
εs = εyd fs = fyd.
Fs = fyd ⋅ As
Fc = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ Ac = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x
c
(∑Mc) = 0 : Md − Fc ⋅ z = 0 → Md = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x ⋅ z
(x)
(z)
Substituindo a equação do braço de alavanca na equação do momento de cálculo, temos:
Imagem 22 - Ações externas e internas na seção transversal para o cálculo de equilíbrio de esforços.
Resolvendo a equação acima, obtém-se o valor de , que é fundamental para o dimensionamento da
armadura longitudinal. Verifica-se que não varia de forma linear com o , mas segue um polinômio de
segundo grau, como mostra esta equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar a área de aço da armadura longitudinal, é feito o somatório de momento no ponto a
(veja a imagem 22), como mostra a seguinte equação:
z = d −
0,8
2
⋅ x = d − 0, 4 ⋅ x
Md = 0, 85fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x ⋅ (d − 0, 4x)
Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272 ⋅ x2) ⋅ b ⋅ fcd
x
x Md
x =
0, 68 ⋅ d ± √(0, 68 ⋅ d)2 − 4.0, 272 ⋅ ( Md
b⋅fcd
)
0, 544
(As)
(∑Mb) = 0 : Md − Fs ⋅ z = 0 → Md = fyd ⋅ As ⋅ z
Logo:
Após calcular a profundidade da linha neutra, é possível determinar qual o domínio a peça atingirá no seu
estado limite último. Na flexão simples, que está sendo considerada neste tópico, os domínios possíveis são
o 2, o 3 e o 4. Sendo a melhor opção que a peça trabalhe no domínio 3, o 2 é aceitável, enquanto o 4 tem de
ser evitado devido à ruptura frágil, entre outros motivos.
Como as seções permanecem planas após a deformação, podemos relacionar a profundidade da linha
neutra com a altura útil, utilizando, para tal, a semelhança de triângulos ABC e ADE apresentada a seguir. A
relação entre x e d é dada pela equação:
Imagem 23 - Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil.
No término do domínio 2 e em todo o domínio 3 , a deformação específica do concreto é dada por:
 Substituindo na equação acima, temos a posição da linha neutra dada por esta
equação:
Portanto, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra no domínio 3 dependerá apenas da
deformação específica do aço. De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, não devemos usar valores do
domínio 3 que sejam superiores a ; sendo assim, também não cabe o estudo para o limite
entre o domínio 3 e o 4.
Exemplo de aplicação da teoria
As =
Md
fyd⋅z
x
εc
=
d
εc+εs
∴
x
d
=
εc
εc+εs
εc = 3, 5%0 = 0, 0035.
x
d
=
0,0035
0,0035+εs
x = 0, 45 ⋅ d
Para a resolução de exercícios, vale lembrar que o limite entre os domínios 2 e 3 é dado pelos valores
 e , com , e que o limite de utilização do domínio 3 é
.
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um
momento fletor solicitante de , determine a área de aço necessária.
Dados:
Aço CA .
Veja a solução em três etapas:
O valor de não pode ser solução para o problema, pois indica que a linhaneutra está fora da
seção transversal, não atendendo ao caso de flexão simples. O limite do valor de
. Logo, será adotado .
Sabemos que o limite do domínio 2 e o início do domínio 3 são dados por esta equação:
εs = 10%0 εc = −3, 5%0 x = 0, 259 ⋅ d;
x = 0, 45 ⋅ d
b = 14 cm d = 36 cm
(M) 20kN. m; (As)
fck = 25MPa
50 (fyk = 500MPa)
Determinar a profundidade da linha neutra x 
x =
0,68⋅d±√(0,68⋅d)2−4⋅0,272⋅(
Md
b⋅fcd
)
0,544
x =
0,68⋅0,36±√(0,68⋅0,36)2−4⋅0,272⋅( 1,4.20
0,14⋅25000/1,4
)
0,544
x =
0,2448±0,2184
0,544
→ x1 = 0, 851mex2 = 0, 049 m
x1
x = 0, 45 ⋅ 36 = 16, 20 cm x = x2 = 4, 90 cm
Verificar o domínio de trabalho da viga 
Como: , a viga está trabalhando no domínio 2.
Como a viga se encontra no domínio 2, temos:
E a área de aço é igual a:
Equacionamento para concretos de qualquer classe
O equacionamento para o cálculo da armadura longitudinal é realizado da mesma forma que para concretos
de classes até , porém aparecem os termos e . As equaçőes a serem utilizadas para o
dimensionamento são:
x = 0, 259 ⋅ d = 0, 259 ⋅ 36 = 9, 32 cm
4, 90 cm < 9, 32 cm
Cálculo de As 
fs = fyd =
fyk
γs
=
50
1,15
= 43, 478kN/cm2
As =
Md
fyd⋅z
=
1,4.20
43,478⋅(0,36−0,4.0,049)
As = 1, 89 cm
2
C50 αc λ
Fc = Fs
Md = Fc∗z = Fs′z
Fc = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ λ ⋅ x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo que e devem ser empregados em função da classe do concreto e das condiçốes de
ductilidade. As equações para e foram apresentadas no módulo 2.
Cálculo do máximo momento resistente na seção
Conhecidas a armadura longitudinal, a seção e as propriedades do material, o cálculo do momento máximo
resistente na seção se torna uma situação comum na prática. Para o cálculo, consideramos que a seção
trabalhará entre o início do domínio 2 até o limite do domínio 3 e que o aço tracionado estará
escoando, ou seja, e , assim como o concreto com classe até . Sabendo que:
z = d −
1
2
⋅ λ ⋅ x
Md = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ λ ⋅ x ⋅ (d − 0, 5 ⋅ λ ⋅ x)
Md = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ (λ ⋅ x, d − 0, 5 ⋅ λ2 ⋅ x2)
x =
d ± √d2 − 2 ⋅ ( Md
b⋅αc⋅fcd
)
λ
As =
Md
fyd ⋅ z
x
d
=
εcu
εcu + εs
εcu,αc λ
αc λ
x = 0, 45 ⋅ d
fs = fyd εs = εyd 50MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que o momento máximo resistido na seção, conhecida , é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale lembrar que a profundidade da linha neutra deve atender ao limite e que, caso isso não
ocorra, deve-se aumentar a altura útil da viga ou utilizar uma armadura de compressão (armadura dupla).
Contudo, esse assunto não será abordado em nosso estudo.
Exemplo prático
Obtenha o momento máximo resistente que pode ser aplicado a uma viga de seção retangular de concreto
armado, com largura e altura útil , para uma área de aço .
Dados:
Veja a solução em três etapas:
Consideramos que a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3; assim, podemos assumir e
calcular 
Fs = As′fyd;Md = Fs ⋅ z; z = d − 0, 4 ⋅ xex =
As ⋅ fyd
0, 68 ⋅ b ⋅ fcd
As
Md = As′fyd⋅(d − 0, 4 ⋅ x)
x = 0, 45 ⋅ d.
b = 14 cm d = 36 cm As = 1, 5 cm
2
fck = 25MPa;
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa)
Calcular a profundidade da linha neutra e verificar o domínio de trabalho 
fs = fyd
x :
Verificando o domínio:
O término do domínio 2 ocorre em
Como , a viga está trabalhando no domínio 2.
Cálculo do máximo momento resistente da seção com armadura
simples
Quando a viga apresenta armadura longitudinal apenas na região tracionada, não sendo necessária uma
armadura na região comprimida, dizemos que se trata de uma viga com armadura simples. Para uma viga
x =
As⋅fyd
0,68⋅b⋅fcd
=
1,5⋅50/1,15
0,68⋅0,14⋅25000/1,4
= 0, 0384 m = 3, 84 cm
x = 0, 259. d = 0, 259.36 = 9, 32 cm
3, 84 cm < 9, 32 cm
Calcular o momento resistente de cálculo 
Md = As ⋅ fyd ⋅ (d − 0, 4 ⋅ x) = 1, 5 ⋅ (
50
1,15
) ⋅ (0, 36 − 0, 4 ⋅ 0, 038
Md = 22, 48kN ⋅ m
Calcular o momento máximo resistido pela viga 
M =
Md
γc
=
22,48
1,4
M = 16, 06kN ⋅ m
com essa armadura, determinada seção e submetida à ação de um momento fletor, podemos determinar a
menor altura útil necessária a partir destas equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, temos que:
Impondo o limite de , a altura última mínima ocorre quando ; logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor
solicitante de determinar a altura útil mínima e a área de aço necessária.
(dmin)
Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272 ⋅ x2) ⋅ b ⋅ fcd,
e
ξ =
x
d
=
εc
εc + εs
Md = (0, 68 ⋅ ξ ⋅ d2 − 0, 272 ⋅ ξ2 ⋅ d2) ⋅ b ⋅ fcd
ξ = x/d ≤ 0, 45 ξ = 0, 45
dmin = 2, 0 ⋅ √
Md
b ⋅ fcd
b = 14cm
(M) 20 kN ⋅ m; (dmin) (As)
Dados:
Veja a solução em duas etapas:
Calculando pelo limite imposto pela norma, temos:
Logo:
fck = 25MPa
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa)
Determinar dmin 
dmin = 2, 0 ⋅ √
Md
b⋅fcd
= 2, 0 ⋅ √ 1,4.20
0,14⋅25000/1,4
= 0, 2117 m
dmin = 21, 17 cm
fck = 25MPa
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa).
Calcular a armadura necessária para dmin = 21, 17 cm 
x
x = 0, 45 ⋅ d = 0, 45 ⋅ 21, 17 = 9, 53 cm
z = d − 0, 4 ⋅ x = 21, 17 − 0, 4 ⋅ 9, 53 = 17, 358 cm
As =
Md
z⋅fyd
=
1,4⋅20
0,1736⋅50/1,15
Cálculo de seções com armadura dupla
O engenheiro estrutural poderá encontrar situações em que, por imposição de projeto, seja ele arquitetônico
ou até mesmo estrutural, será necessário dimensionar uma viga para uma altura menor do que a mínima
determinada por e exigida pelo momento fletor atuante de cálculo .
Para essas situações, será necessário determinar o momento de cálculo máximo suportado pela seção
transversal da viga utilizando a armadura simples Esse momento será limitado pela profundidade
limite da linha neutra (domínio 3). A diferença entre o momento de cálculo aplicado à
estrutura e o momento limite, é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já será resistida por uma armadura longitudinal posicionada na região de compressão da seccão
transversal , a qual, para essa situação, chamamos de armadura dupla. Em busca do equilíbrio de
forças no elemento estrutural, a área de armadura longitudinal comprimida deverá ser somada à armadura
longitudinal tracionada. Dessa forma, será dado por:
Em que corresponde à armadura longitudinal tracionada que resiste ao momento fletor .
As = 3, 71 cm
2
dmin (Md)
(Md,lim).
xlim = 0, 45 ⋅ d
ΔM,
ΔM = Md − Md,lim
ΔM
(A′s)
As
As = As,lim + A′s
As,lim Md,lim
Imagem 24 - Seção transversal e esquema de cálculo para seção transversal com armadura dupla.
A imagem 24 apresenta uma seção transversal com armadura dupla para um momento fletor positivo e o
esquema de cálculo utilizado para obter as equações do dimensionamento de vigas em que se faz
necessária a armadura dupla. O dimensionamento é separado em duas partes. Primeiramente, calcula-se o
momento fletor limite para a armadura simples e a área de aço para essa armadura Em seguida,
calcula-se a armadura necessária para resistir ao momento .
Nesse caso, não se considera a resistência do concreto, pois ela já foi considerada no primeiro cálculo.
Resolvendo de forma análoga ao procedimento para determinar a armadura longitudinal simples
(equacionamento para concretos de classe até C50), chega-se às seguintes equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesta equação:
É a distância do centro da armadura comprimida à borda comprimida da
seção transversal.
É a tensão de compressão na armadura longitudinal.
Para peças trabalhando até o limite no domínio 3 estabelecido pela ABNT
NBR 6118:2014.
Portanto:
(As,lim).
ΔM
Md,lim = 0, 25092 ⋅ b ⋅ d
2 ⋅ fcd
As,lim = 0, 306 ⋅ b ⋅ d ⋅
fcd
fyd
A′s =
Md − Md,lim
σ′
sd
(d − d′)
d′
σ′
sd
σ′
sd
= fyd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize arolagem horizontal
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O engenheiro estrutural da obra de uma casa unifamiliar, ao verificar seu projeto, ficou em dúvida sobre
a área de aço adotada em determinada viga. Ele retirou do projeto da viga as seguintes
informações:
Concreto: 
Aço da armadura longitudinal: CA 50
Largura da viga: 
Altura útil da seção: 
Momento fletor atuante de cálculo: 
Em seguida, ele refez o cálculo. Marque a opção que apresenta o valor que mais se aproxima da 
encontrada pelo engenheiro ao recalcular a viga.
As = As,lim +
Md−Md,lim
fyd(d−d′)
(As)
fck = 20MPa
b = 12 cm
d = 27 cm
M = 12kN ⋅ m
As
A 0,57cm²
B 1,57cm²
Parabéns! A alternativa B está correta.
O limite do valor dex é dado por:
Logo, será adotado
Como a viga está trabalhando no domínio 2 ou 3:
Questão 2
Dois anos após a conclusão da obra de uma residência, os proprietários chamaram o engenheiro
calculista para saber se poderiam acrescentar um carregamento em uma viga na garagem. O
engenheiro, de posse dos projetos, obteve as seguintes informações:
Concreto: 
C 2,57cm²
D 3,57cm²
E 4,57cm²
x =
0,68⋅0,27±√(0,68⋅0,27)2−4⋅0,272⋅( 1,4⋅12
0,12⋅20000/1,4
)
0,544
x =
0,1836±0,1518
0,544
→ x1 = 0, 617 mex2 = 0, 058 m
x = 0, 45 ⋅ 0, 27 = 12, 15 cm.
x = x2 = 5, 8 cm.
As =
Md
fyd⋅z
=
1,4⋅12
50/1,15⋅(0,27−0,4⋅0,058)
= 1, 57 cm2
fck = 25MPa
Aço da armadura longitudinal: CA 50
Área de aço da armadura longitudinal: 
Armadura simples
Largura da viga: 
Altura útil da seção: 
A partir dessas informações, ele calculou o momento máximo que poderia ser aplicado na viga em
questão. Indique a opção que apresenta o valor mais próximo do obtido pelo engenheiro.
Parabéns! A alternativa C está correta.
O limite do valor de é dado por:
Logo, a viga está trabalhando no domínio 2 ou 3.
Sendo assim:
3, 0 cm2
b = 14 cm
d = 36 cm
A 16,4kN.m
B 22,3kN.m
C 30,7kN.m
D 42,9kN.m
E 54,6kN.m
x =
As⋅fyd
0,68⋅b⋅fcd
=
3,0⋅50/1,15
0,68⋅0,14⋅25000/1,4
= 0, 0767 m = 7, 67 cm
x
x = 0, 45 ⋅ 36 = 16, 20 cm.
Já o momento máximo que pode ser aplicado à viga é:
4 - Análise de uso de tabelas adimensionais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de interpretar as tabelas adimensionais para o
dimensionamento do elemento estrutural.
Como buscar os valores para o dimensionamento nas
Md = As ⋅ fyd ⋅ (d − 0, 4 ⋅ x) = 3, 0 ⋅ (
50
1,15
) ⋅ (0, 36 − 0, 4 ⋅ 0, 0767) = 42, 95kN ⋅ m
M =
Md
γc
=
42,95
1,4
= 30, 68kN ⋅ m

tabelas adimensionais
Uso de tabelas adimensionais
As tabelas adimensionais são utilizadas como facilitadoras para o dimensionamento de estruturas de
concreto armado. Elas permitem o emprego de diversos sistemas de unidades e a utilização de quadros e
gráficos. Como consequência, essas tabelas simplificam os cálculos de dimensionamento dos elementos.
As equações que utilizam tabelas adimensionais para concretos de classe até C50 serão apresentadas a
seguir.
Equações de dimensionamento utilizando as tabelas adimensionais
Neste item, serão apresentadas as equações de dimensionamento nos casos em que são utilizadas as
tabelas adimensionais para o cálculo de elementos estruturais.
Dada a equação:
Dividiremos ambos os lados por , obtendo, assim, a igualdade:
Equação para obter o Md 
Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272.x2) ⋅ b ⋅ fcd
b ⋅ d2 ⋅ fcd
Fazendo:
 e 
Chegamos à expressão:
A expressão acima passa a ser composta apenas por elementos adimensionais, e KX só pode variar
entre 0 e e pois:
Dada a equação:
Dividiremos ambos os lados por , obtendo, assim, a igualdade:
Fazendo:
Chegamos à expressão:
Md
b⋅d2⋅fcd
= (0, 68 ⋅ x
d
− 0, 272 ⋅
x2
d2
)
Md
b⋅d2⋅fcd
= KMD,
x
d
KX
KMD =
Md
b⋅d2⋅fcd
= 0, 68 ⋅ (KX) − 0, 272 ⋅ (KX)2
1(x = 0) (x = d),
x = 0 →  início do domínio 2 : KX =
x
d
= 0 ⇒ KMD = 0
x = d →  fim do domínio 4: KX =
x
d
= 1 ⇒ KMD = 0, 408
Equação para obter z 
z = d − 0, 4 ⋅ x
d
z
d
=
d−0,4⋅x
d
= 1 − 0, 4 ⋅
x
d
z
d
= KZ
Dada a equação:
Substituindo teremos a equação:
A equação que relaciona as deformações com a profundidade da linha neutra é dada por:
E como:
Temos:
As tabelas adimensionais
Como só admite valores de 0 a 1, constitui-se uma tabela variando o valor de dentro dessa
intervalo. Cada valor arbitrário de corresponde a um valor de e outro de , ambos
KZ = 1 − 0, 4 ⋅ KX
Equação para o cálculo de As 
As =
Md
z⋅fs
z = (KZ) ⋅ d,
As =
Md
KZ⋅d⋅fs
Equação para determinar x 
x
d
=
εc
εc+εS
x
d
= KX
KX =
εc
εc+εS
KX KX
KX KMD KZ
calculados pelas equações apresentadas no item anterior. Conhecendo , é possível determinar e,
como par das deformações, identificar o domínio no qual a peça está trabalhando.
A tabela 1 é uma tabela adimensional com valores de , além da indicação do
domínio de deformação para aço CA 50 e concretos de classe até C50 (apenas para os domínios de
deformação 2 e 3).
0,005 0,010 0,015 0
0,07 0,015 0,022 0
0,997 0,994 0,991 0
0,07 0,15 0,23 0
10,00 10,00 10,00 1
Domínio 2 2 2 2
Tabela 1 - Tabela adimensional para o dimensionamento de armadura longitudinal para aço CA 50 e concreto até C50.
Elaborado por Larissa Camporez Araújo.
Exemplos de aplicação
Agora veremos alguns exemplos de dimensionamento utilizando a tabela unidimensional.
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e altura útil sob a ação de
um momento fletor solicitante de , determine a área de aço longitudinal necessária.
Utilize a tabela adimensional.
Dados:
Aço CA 
Veja a solução em três etapas:
εc oεs
KMD,KX,KZ, εc, εs
KMD
KX
KZ
εc
εs
b = 14 cm d = 36 cm
(M) 20kN ⋅ m (As)
fck = 25MPa;
50 (fyk = 500MPa)
Interpolando a tabela 1, temos: e .
A viga está trabalhando no domínio 2.
0,085 0,132 0,947 1,52
0,090 0,140 0,944 1,63
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor
solicitante de determine a área de aço longitudinal necessária considerando 
Utilize a tabela adimensional.
Dados:
Calcular KMD 
KMD =
Md
b⋅d2⋅fcd
=
1,4⋅20
0,14⋅0,362⋅25000/1,4
= 0, 086
Determinar e o dominio a partir da tabela adimensionalKX,KZ, εc, εs 
KX = 0, 134,KZ = 0, 946, εc = 1, 54% εs = 10, 00%
KMD KX KZ εc
Determinar a área de aço As 
As =
Md
KZ⋅d⋅fs
=
1,4⋅20
0,946⋅0,36⋅50/1,15
As = 1, 89 cm
2
b = 14cm
(M) 20kN ⋅ m (As) dmin.
Aço CA 
Solução:
Interpolando a tabela 1, temos: e A
viga está trabalhando no domínio 3.
0,255 0,459 0,816 3,50
0,260 0,471 0,812 3,50
fck = 25MPa
50 (fyk = 500MPa).
Determinar dmin 
dmin = 2, 0 ⋅ √
Md
b⋅fcd
= 2, 0 ⋅ √ 1,4⋅20
0,36⋅2500/1,4
= 0, 209m
Calcular KMD 
KMD =
Md
b⋅d2⋅fcd
=
1,4⋅20
0,14⋅0,2092⋅25000/1,4
= 0, 256
Determinar e o dominio a partir da tabela adimensionalKX,KZ, εc, εs 
KX = 0, 461,KZ = 0, 817, εc = 3, 5% εs = 4, 08%0.
KMD KX KZ εc
Determinar a área de aço As 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um jovem, com o intuito de ampliar sua residência, contratou um engenheiro estrutural para elaborar o
projeto de expansão. O engenheiro concluiu que, nessa expansão, será necessária uma viga para
suportar um momento atuante de cuja seção transversal tem e altura
útil Para o dimensionamento, ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais e optou por
usar concreto de e aço . Sendo assim, ele obteve a área de aço de armadura
longitudinal, , igual a:
As =
Md
KZ⋅d⋅fs
=
1,4⋅20
0,817⋅0,209⋅1,15
As = 3, 77 cm
2
30kN ⋅ m largura = 14 cm
d = 36 cm.
fck = 30MPa CA50
As
A 0,88cm²
B 1,22cm²
C 1,88cm²
D 2,22cm²
Parabéns! A alternativa E está correta.
Cálculo de KMD
Interpolando a tabela 1, temos:
 e 
A viga está trabalhando no domínio 2.
0,105 0,165 0,934 1,98
0,110 0,174 0,930 2,10
Tabela: Larissa Camporez Araújo
A área de aço 
Questão 2
Durante a fase de armação dos elementos estruturais de uma obra, o cliente decidiu paralisá-la para
solicitar o aumento de esforços em determinada região do projeto. O engenheirocalculista, responsável
pelo projeto da obra, concluiu que o aumento dos esforços resultaria em um momento atuante de
 em uma viga. A fim de obter a menor altura para essa viga, o engenheiro fez o cálculo da
E 2,88cm²
KMD =
Md
b⋅d2⋅fcd
=
1,4⋅30
0,14⋅0,362⋅30000/1,4
= 0, 108
KX = 0, 170, KZ = 0, 932, εc = 1, 91%0 εs = 10, 00%.
KMD KX KZ εc
As :
As =
Md
KZ⋅d⋅fs
=
1,4⋅30
0,932⋅0,36⋅50/1,15
As = 2, 88 cm
2
35kN ⋅ m
armadura longitudinal utilizando a altura útil mínima e mantendo a largura da viga
 Sabendo que a resistência característica de projeto do concreto para essa obra é
 e que o aço utilizado é o CA 50, a obtida nos cálculos do engenheiro, sabendo que
ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais, foi de:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Cálculo de KMD
Utilizando a tabela 1, temos: e A viga
está trabalhando no domínio 3.
0,250 0,448 0,821 3,50
(As) (dmin)
b = 16 cm.
fck = 25MPa As
A 2,26cm²
B 3,52cm²
C 4,68cm²
D 5,74cm²
E 6,23cm²
dmin = 2, 0 ⋅
√ Md
b⋅fcd
= 2, 0 ⋅ √ 1,4.42
0,16.25000/1,4
= 0, 287 m
KMD =
Md
b⋅d2⋅fcd
=
1,4⋅42
0,16⋅0,2872⋅25000/1,4
= 0, 250
KX = 0, 448, KZ = 0, 821, εc = 3, 5%0 εs = 4, 32%.
KMD KX KZ εc
A área de aço é:
Considerações �nais
Como vimos neste conteúdo, o dimensionamento da área de aço necessária para armaduras longitudinais
submetidas à flexão faz parte do cotidiano do engenheiro estrutural. Saber não apenas dimensionar a partir
de um projeto novo, mas também proporcionar soluções para projetos já realizados ou em andamento, faz
parte do escopo do engenheiro calculista.
Estabelecemos também a compreensão dos tipos de flexão e a identificação do estádio e de como ocorre o
colapso de elementos submetidos à momento fletor são indispensáveis para a elaboração do
dimensionamento de um projeto estrutural que atenda aos requisitos de norma. Conhecemos ainda as
formas de classificar o domínio de trabalho ao qual a peça está submetida e o comportamento dela nesse
domínio, como, por exemplo, se o elemento está sendo dimensionado para um colapso dúctil com aviso
prévio, ocorrência de fissuras e deformação excessiva do aço, ou para uma ruptura frágil, sem aviso prévio e
colapso do concreto, o que também é extremamente relevante para a correta elaboração do
dimensionamento à flexão.
O principal objetivo do estudo do dimensionamento das estruturas de concreto armado submetidas à flexão
é proporcionar ao engenheiro civil conhecimentos básicos de uso rotineiro para apresentar soluções
estruturais às peças submetidas a um esforço de momento fletor.
Podcast
Agora a especialista Larissa Camporez Araújo fará um resumo do conteúdo abordado.
As
As =
Md
KZ⋅d⋅fs
=
1,4⋅42
0,821⋅0,287⋅50/1,15
=
As = 5, 74 cm
2

Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118: projeto de estruturas de concreto –
procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8953: Concreto para fins estruturais. Rio de
Janeiro: ABNT, 2015.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR ISO 6892-2: materiais metálicos – ensaio
de tração. Rio de Janeiro: ABNT, 2013.
CARVALHO, R. C., FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo
a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2014. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
PARIZOTTO, L. Concreto armado [recurso eletrônico]. Porto Alegre: SAGAH, 2017.
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ductilidade e veja como os autores Caio G. Nogueira e Isabela D. Rodrigues apresentam um novo roteiro de
dimensionamento de peças submetidas à flexão simples considerando o fator de ductilidade, que quantifica
a capacidade da estrutura de suportar deslocamentos antes de se romper. 
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flexão composta obliqua em pilares.