versao 14 CACC

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a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** b) 1 
 
**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 
+ 1 \), precisamos analisar o comportamento da função e encontrar seus pontos críticos. 
 
1. **Derivada da função:** Calculamos a derivada da função: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) 
 \] 
 A derivada \( f'(x) \) tem raízes em \( x = 1 \) e \( x = 3 \). Esses pontos críticos indicam 
possíveis máximos ou mínimos da função. 
 
2. **Análise do sinal da derivada:** A análise do sinal da derivada nos permite entender o 
comportamento da função nos intervalos definidos pelos pontos críticos: 
 - Para \( x 0 \) (função crescente) 
 - Para \( 1 3 \), \( f'(x) > 0 \) (função crescente) 
 
3. **Valores em pontos críticos:** 
 - \( f(1) = 1^3 - 6(1^2) + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 \) 
 - \( f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 \) 
 
4. **Comportamento da função:** Sabemos que: 
 - \( f(x) \) é crescente antes de 1 e dá valor positivo em \( f(1) = 5 \). 
 - \( f(x) \) atinge um máximo em \( x = 1 \) com valor \( f(1) = 5 \) e, logo após, a função 
diminui até \( f(3) = 1 \) e retorna a crescer depois de 3 para valores positivos. 
 
5. **Verificação de raízes:** Para verificar se há raízes, notamos que: 
 - \( f(0) = 1 \) 
 - A função \( f(x) \) não cruza o eixo-x na região analisada (uma vez que é positiva em \( 
f(1) \) e mesmo após o máximo > 0). Portanto, se não há intersecção com o eixo-x entre os 
valores críticos analisados, conclui-se que a função só toca o eixo-x em uma única raiz ao 
longo de seu domínio. 
 
Assim, a função possui exatamente 1 raiz real. Portanto, a resposta correta é **b) 1**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual é o valor de \( x \) para o 
qual a derivada da função \( f(x) \) é igual a zero? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
**Resposta:** b) 2 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o valor de \( x \) onde a derivada da função \( f(x) \) é igual a zero, primeiro 
precisamos calcular a derivada \( f'(x) \). 
 
A função dada é: 
\[ 
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 
\] 
 
Calculando a derivada \( f'(x) \): 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
Agora, precisamos determinar onde \( f'(x) = 0 \). Assim, resolvemos a equação: 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 3 para simplificá-la, obtemos: 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0 
\] 
 
Esta é uma equação quadrática, que pode ser fatorada: 
\[ 
(x - 1)(x - 3) = 0 
\] 
 
Portanto, as soluções são: 
\[