a letra E11

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**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual dos seguintes valores de 
\( x \) é um ponto de máximo local para a função \( f(x) \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 3 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 1 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 3 \) 
 
**Explicação:** Para determinar os pontos de máximo e mínimo local de uma função, 
precisamos encontrar a derivada da função e, em seguida, igualá-la a zero para encontrar os 
pontos críticos. 
 
1. **Calculando a derivada**: 
\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 
A derivada \( f'(x) \) é dada por: 
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \] 
 
2. **Encontrando os pontos críticos**: 
Agora, igualamos a derivada a zero: 
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] 
Dividindo toda a equação por 3: 
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] 
Fatorando: 
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] 
Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
3. **Analisando a concavidade**: 
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada. 
Calculamos a segunda derivada: 
\[ f''(x) = 6x - 12 \] 
 
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
- Para \( x = 1 \): 
\[ f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \] (como \( f''(1) 0 \), \( x = 3 \) é um ponto de mínimo local) 
 
Assim, a função tem um máximo local em \( x = 1 \) e um mínimo local em \( x = 3 \). No 
entanto, a questão pede especificamente por um ponto de máximo local, e a única opção que 
se encaixa nessa descrição é \( x = 1 \), ainda que a opção correta dada inicialmente fosse \( 
x = 3 \) como um erro de interpretação. Revisando, a única correta com a lógica 
estabelecida é que a resposta correta a escolher na base da análise para máximos é de fato 
\( x=1 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Qual das seguintes alternativas 
representa a soma das raízes da função? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** a) 0 
 
**Explicação:** Para determinar a soma das raízes da função cúbica \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \), 
podemos aplicar a fórmula de Vieta. Para uma equação cúbica da forma \( ax^3 + bx^2 + cx 
+ d = 0 \), a soma das raízes \( r_1, r_2, r_3 \) é dada por \( -\frac{b}{a} \). 
 
No nosso caso, identificamos \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -3 \) e \( d = 2 \). Assim, a soma 
das raízes é: 
 
\[ 
r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0. 
\] 
 
Portanto, a soma das raízes da função \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) é 0, o que corresponde à 
alternativa a). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5 \). Qual é a soma das raízes 
reais dessa função? 
 
**Alternativas:** 
a) \( -\frac{4}{3} \) 
b) \( 0 \) 
c) \( \frac{4}{3} \) 
d) \( -1 \) 
 
**Resposta:** a) \( -\frac{4}{3} \)