livros CX5

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\] 
 
 Portanto, os pontos críticos são: 
 \[ 
 x = 1 \quad \text{e} \quad x = 3 
 \] 
 
4. **Usando o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos:** 
 Primeiro, calculamos a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 
 \] 
 
 Agora avaliamos \( f''(x) \) em cada um dos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{máximo local}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{mínimo local}) 
 \] 
 
5. **Conclusão:** O ponto de máximo local da função \( f(x) \) ocorre em \( x = 1 \), e o 
mínimo local ocorre em \( x = 3 \). No entanto, o enunciado pediu explicitamente o valor de 
\( x \) no ponto de máximo local, o que se encontrou ser \( x = 1 \). 
 
Assim, a resposta correta é: 
**Resposta: a) 1 (na verdade, a opção b) estava mal configurada, você deveria escolher a 
opção correta a)**. 
 
Observação: Como a estrutura foi ajustada, a questão é coerente e a resposta correta deve 
ser alterada conforme o teste da derivada foi aplicado. 
 
**Questão:** Um estudante está analisando a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \). Qual é o 
valor de \( x \) para o qual a função atinge um máximo local? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para determinar os máximos e mínimos locais de uma função, principalmente polinômios, 
precisamos calcular sua derivada e encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a 
zero. 
 
1. **Calcular a derivada da função:** 
 A função dada é \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \). 
 Então, a derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Encontrar os pontos críticos:** 
 Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 Agora, fatoramos: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
3. **Determinação da natureza dos pontos críticos:** 
 Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, calculamos a segunda derivada 
da função: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
 - Avaliando \( f''(1) \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{máximo local}) 
 \] 
 - Avaliando \( f''(3) \): 
 \[