MMLXVIII linguagem 2

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um da discussão dos extremos), mas a análise correta deve ser realizada indicando x = 5 
como máximo dentro do entorno discutido. 
 
**Questão:** Considere a função f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12. Qual é o valor do ponto de 
máximo local da função? 
 
**Alternativas:** 
a) x = 1 
b) x = 2 
c) x = -1 
d) x = 3 
 
**Resposta:** b) x = 2 
 
**Explicação:** Para encontrar os pontos de máximo local de uma função, devemos 
primeiro calcular a derivada da função e, em seguida, encontrar os pontos críticos, que 
ocorrem quando a derivada é igual a zero. 
 
1. Vamos calcular a derivada da função f(x): 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 4x - 12) = 6x^2 - 12x + 4 
 \] 
 
2. Agora, definimos a derivada igual a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 6x^2 - 12x + 4 = 0 
 \] 
 Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2: 
 \[ 
 3x^2 - 6x + 2 = 0 
 \] 
 
3. Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática: 
 \[ 
 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 
 \] 
 Onde \( a = 3 \), \( b = -6 \) e \( c = 2 \): 
 \[ 
 x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} 
 \] 
 \[ 
 x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 
2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} 
 \] 
 
4. Os pontos críticos são \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) e \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \). 
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, usamos a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x + 4) = 12x - 12 
 \] 
 
5. Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \): 
 \[ 
 f''\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 12\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 12 = 
12\frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} > 0 \quad (\text{mínimo local}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \): 
 \[ 
 f''\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 12\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - 12 = -
4\sqrt{3}