Estatística Básica - Lista de Exercícios 5

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 2012
Profa.: Josiane Cordeiro
Varia´veis Aleato´rias Discretas
1. Exerc´ıcios da Apostila (Cunha & Peres): Cap´ıtulo 5, em particular: 5.4-5.7, 5.11,
5.13, 5.15, 5.18, 5.21, 5.25, 5.29.
2. Uma determinada pessoa possui 3 chaves em seu bolso. Como acabou a luz e esta´
escuro, ele na˜o consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa.
Ele testa cada uma das chaves ate´ encontrar a chave para abrir a porta.
a) Defina um espac¸o amostral para esse experimento.
b) Defina a varia´vel aleato´ria X = nu´mero de chaves testadas ate´ conseguir abrir a
porta (inclusive a chave correta). Quais sa˜o os valores de X?
c) Encontre a func¸a˜o de probabilidade para v.a. X.
d) Qual e´ nu´mero me´dio de tentativas que a pessoa deve realizar para abrir a porta?
3. Considere a v.a. X cuja func¸a˜o de probabilidade e´
pX(x) =

1
8
, se x = −3
1
6
, se x = 1
1
2
, se x = 3
p, se x = 5
0, c. c.
Encontre o valor de p e a fda da v.a. Y = X2 e, construa seu gra´fico.
4. Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas, sem
reposic¸a˜o, e defina a v.a. X igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a func¸a˜o de
probabilidade de X.
5. Numa urna ha´ 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas sa˜o extra´ıdas dessa
urna, sem reposic¸a˜o. Defina a v.a. X = nu´mero de bolas verdes. Quais sa˜o os
poss´ıveis valores de X? Calcule a probabilidade de X ≥ 3 e a probabilidade de
X = 2.
6. Dois concorrentes, Mateus e Lucas, disputam um projeto durante 4 entrevistas para
uma determinada empresa de seguros. A probabilidade de Mateus se sair melhor
numa entrevista e´ 0, 7 e na˜o ha´ possibilidade dos dois se sa´ırem iguais. Qual e´ a
probabilidade de Mateus ganhar o projeto?
7. Seja uma v.a. X com func¸a˜o de probabilidade dada na tabela a seguir:
1
x 0 1 2 3 4 5
pX(x) 0 p
2 p2 p p p2
(a) Encontre o valor de p.
(b) Calcule P (X ≥ 4) e P (X < 3).
(c) Calcule P (|X − 3| ≥ 2).
8. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indu´stria si-
deru´rgica tem alergia aos poluentes lanc¸ados ao ar. Admitindo-se que este percen-
tual de ale´rgicos esta´ correto, calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores
tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
9. A fda de uma v.a. X e´ dada por
FX(x) =

0 x < 0
1
32
0 ≤ x < 1
6
32
1 ≤ x < 2
16
32
2 ≤ x < 3
26
32
3 ≤ x < 4
31
32
4 ≤ x < 5
1 x ≥ 5
Encontre sua func¸a˜o de probabilidade.
10. Um atirador acerta na mosca o alvo, 20% dos tiros.
(a) Qual a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no 10o tiro?
(b) Se ele da´ 10 tiros, qual a probabilidade de ele acertar na mosca no ma´ximo 1
vez?
(c) Qual a probabilidade de ele ter de dar 10 tiros para acertar 6 vezes na mosca?
(d) Se ele da´ 10 tiros, qual a probabilidade de ele acertar na mosca 6 vezes?
11. Joga-se um dado equilibrado. Qual e´ a probabilidade de serem necessa´rios 10
lanc¸amentos ate´ a terceira ocorreˆncia de um seis?
12. Treˆs em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar
vestibular. Se 16 alunos sa˜o selecionados ao acaso, qual e´ a probabilidade de que:
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
2
b) No ma´ximo 13 tenham feito cursinho?
c) Exatamente 5 tenham feito cursinho?
d) Exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho?
e) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual e´ o nu´mero esperado de
alunos que fizeram cursinho? E a variaˆncia?
13. Durante um ano particular, 70% das ac¸o˜es ordina´rias negociadas na Bolsa de Nova
York tiveram aumentadas suas cotac¸o˜es, enquanto 30% tiveram suas cotac¸o˜es di-
minu´ıdas ou esta´veis. No comec¸o do ano, um servic¸o de assessoria financeira escolhe
10 ac¸o˜es como sendo “especialmente recomendadas”. Se as 10 ac¸o˜es representam
uma selec¸a˜o aleato´ria, qual a probabilidade de que (a) todas as 10 ac¸o˜es, (b) ao
menos 8 ac¸o˜es, (c) menos do que quatro ac¸o˜es terem suas cotac¸o˜es aumentadas?
14. De acordo com o Levantamento de Sau´de Nacional, 9, 8% da populac¸a˜o de 18 a 24
anos de idade nos Estados Unidos e´ canhota.
a) Qual e´ a probabilidade de que exatamente treˆs das dez pessoas sejam canhotas?
b) Qual e´ a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas?
c) Qual e´ a probabilidade de que no ma´ximo dois indiv´ıduos sejam canhotos?
15. Seja X ∼ Bin(n, p). Se E(X) = 12 e V ar(X) = 4, determine os valores de n e p.
16. Deseja-se produzir 5 pec¸as boas, em uma ma´quina que da´ 20% de pec¸as defeituosas.
Qual e´ a probabilidade de ser necessa´rio fabricar 8 pec¸as para se conseguir as 5
pec¸as boas?
17. Uma empresa de marketing direto foi contratada e envia cartas promocionais aos
clientes de uma rede de lojas. A taxa histo´rica de resposta e´ de 10%. Se a empresa
enviou 20 cartas, calcular a probabilidade de que:
a) ningue´m responda;
b) exatamente duas respondam;
c) menos que 20% das pessoas respondam.
18. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas nos carros que passam por
um peda´gio sa˜o, respectivamente, 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Seja X = nu´mero de
passageiros por ve´ıculo.
(a) Explicite a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
(b) Calcule o nu´mero me´dio de passageiros por ve´ıculo.
(c) Calcule a variaˆncia de passageiros por ve´ıculo.
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19. Na manufatura de certo artigo, e´ sabido que 1 entre 10 artigos e´ defeituoso. Uma
amostra de tamanho 4 e´ retirada com reposic¸a˜o, de um lote da produc¸a˜o. Qual a
probabilidade de que a amostra contenha
(a) nenhum defeituoso?
(b) pelo menos 2 defeituosos?
(c) exatamente 1 defeituoso?
20. Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que
apresentarem mais de uma semente sem germinar sera˜o indenizados. A probabili-
dade de uma semente na˜o germinar e´ de 2%.
a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
b) Se o produtor vender 1000 pacotes quantos espera indenizar.
21. Um cac¸ador, apo´s um dia de cac¸a, verificou que matou 5 andorinhas e 2 aves de
uma espe´cie rara, proibida de ser cac¸ada. Como todos os espe´cimes tinham o mesmo
tamanho, ele os colocou na mesma bolsa, pensando em dificultar o trabalho dos fis-
cais. No posto de fiscalizac¸a˜o ha´ dois fiscais, Manoel e Pedro, que adotam diferentes
me´todos de inspec¸a˜o. Manoel retira treˆs espe´cimes de cada bolsa dos cac¸adores.
Pedro retira um espe´cime, classifica-o e o repo˜e na bolsa, retirando em seguida um
segundo espe´cime. Em qualquer caso, o cac¸ador e´ multado se e´ encontrado pelo
menos um espe´cime proibido. Qual dos dois fiscais e´ mais favora´vel para o cac¸ador
em questa˜o?
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