Lista 8 - Cálculo III

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8a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Calcule
∫∫
S
F · dS, onde S é a superfície x2 + y2 + z2 ≤ 1, z = 0 e F = (x+ 3y5, y +
10xz, z − xy). Considere ~n apontando para o exterior.
2. Calcule
∫∫
S
(F · ~n) dS
(a) F (x, y, z) = (x, y,−2z) e S é a esfera x2+ y2+ z2 = 4, com vetor normal ~n exterior.
(b) F (x, y, z) = (x, y, z) e S é o triângulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), onde o
vetor normal ~n tem componente z não negativa.
(c) F (x, y, z) = (y, z, xz) e S é a superfície do sólidoW , ondeW = {(x, y, z) ∈ R3 / x2+
y2 ≤ z ≤ 1}, com vetor normal ~n exterior.
(d) F (x, y, z) = (z2 − x,−xy, 3z) e S é a superfície do sólido limitado por z = 4 − y2,
x = 0, x = 3 e o plano xy, com vetor normal ~n exterior.
3. Calcule a integral do campo vetorial F (x, y, z) = (x, y, z2), sobre o lado exterior do
cilindro x2 + y2 = a2, a > 0, 0 ≤ z ≤ 1 incluindo a base e a tampa.
4. Calcule a integral de F (x, y, z) = (0, 2y−2x,−2y−1) sobre o lado exterior da superfície
S que é a interseção dos cilindros x2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2 no primeiro octante.
5. Calcule a integral de F (x, y, z) = 1√
x2+y2
(y,−y, 1) sobre o parabolóide z = 1−x2 = y2,
0 ≤ z ≤ 1.
6. Calcule a integral de F (x, y, z) = (y,−x, 1) sobre a superfície S parametrizada por
ϕ(u, v) = (u cos v, u sen v, v), (u, v) ∈ [0, 1]× [0, 2pi].
7. Calcule a integral de F (x, y, z) = (x2, y2, z2) sobre a superfície S parametrizada por
ϕ(u, v) = (u+ v, u− v, u), onde (u, v) ∈ [0, 2]× [1, 3].
8. Calcule a integral de F (x, y, z) = (x, y, z) sobre a porção da esfera x2 + y2 + z2 = 1
entre os planos z = 1/
√
2 e z = −1/√2.
9. Verifique o teorema de Stokes para o hemisferio superior z =
√
1− x2 − y2, z ≥ 0, e o
campo vetorial F (x, y, z) = (x, y, z).
10. Seja α formada pelos segmentos que unem os pontos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)
e seja S o triângulo de vértices A, B e C. Verifique o teorema de Stokes para o campo
F (x, y, z) = (yz, xz, xy).
11. Calcule
∫∫
S
(∇ × F ) · dS, onde S é a porção da esfera dada por x2 + y2 + z2 = 1 e
x+ y + z ≥ 1, onde F (x, y, z) = r × (1, 1, 1) e r(x, y, z) = (x, y, z).
12. Calcule
∫∫
S
(∇ × F ) · dS, onde S é a elipsoide x2 + y2 + 2z2 = 10 e F (x, y, z) =
(sen xy, ex,−yz).
13. Seja F (x, y, z) = (y,−x, zx3y2). Calcule
∫∫
S
(∇ × F ) · ~n dS, onde S é a superfície
x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0.
14. Verifique o teorema de Stokes para F (x, y, z) = (y,−x, 0) sobre a superfície S dada
por x2 + y2 = 1, z = 1 e z = x2 + y2.
15. Verifique o teorema de Stokes Para o campo vetorial F (x, y, z) = (2yz, 2−x−3y, x2+z)
sobre o lado exterior da superfície S dada pela interseção dos cilindros x2 + y2 = a2 e
x2 + z2 = a2, (a > 0) no primeiro octante.
16. Seja S a superfície dada por ϕ(u, v) = (u cos v, u sen v, v), onde (u, v) ∈ [0, 1]×[0, pi/2].
Verifique o teorema de Stokes sobre S para F (x, y, z) = (z, x, y) com normal exterior
apontando para cima.
17. Calcule a integral de linha do campo vetorial F (x, y, z) = (− y
x2+y2
, x
x2+y2
, z2) ao longo:
(a) da circunferência x2 + y2 = a2, z = 2 em sentido anti-horário.
(b) da curva C que é interseção das superfícies x2 + y2 = 1, y = z com a orientação
induzida pela sua projeção no plano xy em sentido anti-horário.
(c) da curva C que é interseção das superfícies x2+ y2+ z2 = 4, z = y com a orientação
da curva do item anterior.
18. Seja F (x, y, z) = (y, z, xz). Calcule
∫∫
∂W
F · ~ndS para cada uma das seguintes regiões
(a) x2 + y2 ≤ z ≤ 1
(b) x2 + y2 ≤ z ≤ 1 e x ≥ 0
(c) x2 + y2 ≤ z ≤ 1 e x ≤ 0
2
19. Calcule
∫∫
∂W
F · ~ndS, onde F (x, y, z) = (x− y, y − z, z − x) e W é a região dada por
x2 + y2 ≤ z ≤ 1 e x ≥ 0.
20. Calcule
∫∫
∂W
F · ~ndS, onde F (x, y, z) = (2x+ xy,−zy, z22 − y2z) e ∂W é a superfície
cilíndrica fechada limitada pelos planos z = 0 e z = 1, cuja base no plano xy é limitada
pelas curvas de equações: x2 + (y − 1)2 = 4, y ≥ 1; x2 + (y + 1)2 = 4, y ≤ −1;
(x− 2)2 + y2 = 1, x ≥ 2; (x+ 2)2 + y2 = 1, x ≤ −2, e ~n é a normal exterior a ∂W
21. Calcule
∫∫
S
F · ~ndS, onde F (x, y, z) = (x,−2y + ex cos z, z + x2) e S é definida por

z = 9− (x2 + y2), 0 ≤ z ≤ 5
z = 5, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4
z = 8− 3(x2 + y2), x2 + y2 ≤ 1,
com campo de vetores normais exterior a S.
22. Encontre o fluxo do campo F (x, y, z) = (xy, y2 + exz2 , sen xy) através da superfície
S, orientada positivamente, dada por z = 1− x2, z = 0, y = 0, y + z = 2.
23. Verifique o teorema de Gauss para o campo vetorial F (x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2(x, y, z)
e a esfera x2 + y2 + z2 = 9.
24. Encontre o fluxo do campo F (x, y, z) = (0, esen xz + tan z, y2) através da superfície
2x2 + 3y2 + z2 = 6, z ≥ 0, onde o vetor normal ~n tem componente z não negativa.
25. Use o teorema de Gauss para calcular
∫∫
S
(2x+2y+ z2)dS, onde S é a esfera de raio
1 com centro na origem.
26. Calcule
∫∫
S
(rot F · ~n) dS, onde F (x, y, z) = (−y, x2, z3) e S é a porção superior da
esfera x2 + y2 + z2 = 1 cortada pelo plano z = −1/2.
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