UFF Provas Cálculo III -A- Marlene 2012.1 e 2013.1

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Marlene/Provas Marlene 2012-1/gabarito_VR calc-III-A turma I1-marlene 2012-1.pdf
Marlene/Provas Marlene 2012-1/VE1 calc-03-A turma I1-marlene 2012-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2012-1
Nome 26/04/2012 Nota:
1a VE de CA´LCULO III-A
Turma I1 - Profa Marlene
Questa˜o 1 (valor: 3,5)
(a) Seja
∫ ∫
Dxy
f(x, y)dxdy, onde a regia˜o Dxy esta´ situada no 1o. quadrante, acima da
para´bola de equac¸a˜o y2 = x e abaixo da para´bola de equac¸a˜o y = 2− x2.
Esboce a regia˜o Dxy e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas poss´ıveis
ordens de integrac¸a˜o.
(b) Se Dxy = {(x, y) ∈ R2; 3 ≤ x+ 2y ≤ 6 e 0 ≤ y ≤ 1}, use a mudanc¸a de varia´veis
u = x+ 2y, v = y e calcule
∫ ∫
Dxy
(x+ 2y)e(xy+2y
2)dxdy.
Questa˜o 2 (valor: 2,0)
Sabendo-se que z = H
R
√
x2 + y2 e´ a equac¸a˜o da superf´ıcie coˆnica que delimita um cone de
raio R e altura H, use coordenadas cil´ındricas para provar que a fo´rmula do volume V do cone
e´ V = 1
3
piR2H.
Questa˜o 3 (valor: 2,5)
Calcule o centro de massa do tronco de cone que tem densidade constante, e´ delimitado
pela superf´ıcie de equac¸a˜o z =
√
x2 + y2 e esta´ compreendido entre os planos z = 1 e z = 2.
Obs. se quiser, pode usar a fo´rmula do volume V do cone de raio da base R e altura H.
Questa˜o 4 (valor: 2,0)
Calcule a massa do fio delgado no formato da curva C, se ρ(x, y, z) = √4 + x2 e´ a densidade
de massa e C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica de equac¸a˜o x2+ y2 = 4y com o plano y = z.
Marlene/Provas Marlene 2012-1/VE2 calc-03-A turma I1-marlene 2012-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2012-1
Nome 03/07/2012 Nota:
2a VE de CA´LCULO III-A
Turma I1 - Profa Marlene
Questa˜o 1 (valor: 2,5)
Seja C a curva de intersec¸a˜o da superf´ıcie de equac¸a˜o x2 + y2 = 4y, y ≥ 2 com o plano
y = z, desde o ponto (2, 2, 2) ate´ o ponto (0, 4, 4). Parametrize a curva C e calcule o trabalho
realizado pela forc¸a ~F = (x, z − y, 2y) para deslocar uma part´ıcula atrave´s da curva C.
Questa˜o 2 (valor: 2,5)
Calcule
∫
C
(
x2 + g(x+ y)− g(x)) dx + (2x+ g(x+ y)) dy, sabendo-se que g e´ de classe C1
e a curva C e´ a unia˜o dos dois segmentos de reta de (2, 0) a (1, 1) e de (1, 1) a (0, 0).
Sugesta˜o: complete a curva C com uma nova curva para obter uma curva fechada e aplique
o teorema de Green.
Questa˜o 3 (valor: 2,0)
Seja S a porc¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica de equac¸a˜o x2+ y2 = 9 situada no primeiro octante,
dentro da superf´ıcie cil´ındrica de equac¸a˜o x2+9z2 = 9. Se a densidade de massa em cada ponto
de S e´ diretamente proporcional ao quadrado de sua distaˆncia ao plano xy, com constante de
proporcionalidade igual a 12, calcule a massa total da superf´ıcie S.
Questa˜o 4 (valor: 3,0)
Seja ~F (x, y, z) = (3x− e(y−z), 2y + e(x−z), z).
(a) Verifique
∫∫
S1
~F · ~n dS = 0, onde S1 e´ a regia˜o do plano z = 0 delimitada pela curva de
equac¸a˜o x2 + y2 = 4, com normal ~n apontando para baixo.
(b) Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo de ~F atrave´s da superf´ıcie S2 de equac¸a˜o
z = 4− x2 − y2 e z ≥ 0, com normal ~n apontando no sentido de afastamento da origem.
Marlene/Provas Marlene 2012-1/VR calc-03-A turma I1-marlene 2012-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2012-1
Nome 10/07/2012 Nota:
VR de CA´LCULO III-A
Turma I1 - Profa Marlene
Questa˜o 1 (valor: 3,0)
Seja D a regia˜o do plano delimitada pelas curvas de equac¸o˜es x = y2, x = −y2 e y = 1.
(a) Calcule
∫∫
D
ey
3
dxdy.
(b) Seja C = C1 ∪ C2, onde C1 e´ a curva de equac¸a˜o x = −y2 percorrida de (−1,−1) para
(0, 0) e C2 e´ a curva de equac¸a˜o x = y
2 percorrida de (0, 0) para (1, 1).
Calcule o trabalho realizado por uma part´ıcula que esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ~F =
(y + x)~i + (x + g(y) + xey
3
)~j, g de classe C1 em R, quando a mesma esta´ se deslocando
ao longo da curva C.
Questa˜o 2 (valor: 3,0)
Calcule as duas integrais do Teorema de Stokes para ~F (x, y, z) = (0, 4x+ z, y + 3z) se C e´
a fronteira da superf´ıcie de equac¸a˜o y + 2z = 4 situada no interior da superf´ıcie cil´ındrica de
equac¸a˜o x2 + y2 = 4y, com projec¸a˜o no plano xy percorrida no sentido anti-hora´rio.
Questa˜o 3 (valor: 4,0)
Seja W o so´lido delimitado inferiormente pela superf´ıcie coˆnica de equac¸a˜o z =
√
x2 + y2
3
e superiormente pela superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 9.
(a) Indique
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
dxdydz em coordenadas cil´ındricas;
(b) Indique
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
dxdydz em coordenadas esfe´ricas;
(c) Calcule
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
dxdydz.
(d) Se ~F (x, y, z) =
(
x3 + z2
9
,
y3 + z2
9
, x2 + y2
)
, calcule o fluxo de ~F atrave´s da fronteira de
W , com normal ~n apontando para fora de W .
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VE1 calc 03 A turma G1-marlene 2013-1_GABARITO.pdf
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VE1 calc-03-A turma G1-marlene 2013-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2013-1
Nome 11/06/2013 Nota:
Matr´ıcula
1a VE de CA´LCULO III-A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem e podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
BOA PROVA!
Questa˜o 1 (valor: 2,0)
Seja I =
∫ 0
−1
∫ 1
√−x
3 cos
(
y3
)
dydx+
∫ 1
0
∫ 1
√
x
3 cos
(
y3
)
dydx.
Esboce a regia˜oDxy correspondente a`s duas integrais iteradas, inverta a ordem de integrac¸a˜o
e calcule o valor de I.
Questa˜o 2 (valor: 2,0)
Determine a massa da laˆmina delgada na forma da regia˜o D exterior a` circunfereˆncia
x2 + y2 = 9 e interior a` circunfereˆncia x2 + y2 = 6x, se a densidade de massa em cada
ponto P (x, y) e´ inversamente proporcional a` distaˆncia de P a` origem e se a constante de
proporcionalidade e´ igual a 6.
Questa˜o 3 (valor: 2,0)
Calcule o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y do so´lido homogeˆneo W com densidade
igual a 1, delimitado pelos planos z = 0, x = 0, x = 1, y + z = 1 e −y + z = 1.
Questa˜o 4 (valor: 2,5)
Seja W a parte da esfera limitada pela superf´ıcie esfe´rica x2 + y2 + z2 = 4z, situada no
primeiro octante, acima do plano z = 2. Indique (na˜o calcule!) a integral
∫∫∫
W
x2
z2
dxdydz
como integral iterada em coordenadas esfe´ricas.
Questa˜o 5 (valor: 1,5)
Seja C a curva intersec¸a˜o do cilindro parabo´lico z = 4−x2 com o plano y = x , de (0, 0, 4)
a (2, 2, 0). Parametrize C e calcule
∫
C
xds.
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VE2 calc 03 A turma G1-marlene 2013-1_GABARITO.pdf
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VE2 calc-03-A turma G1-marlene 2013-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2013-1
Nome 01/07/2013 Nota:
Matr´ıcula
2a VE de CA´LCULO III-A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem e podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
BOA PROVA!
Questa˜o 1 (valor: 2,0)
Calcule a integral de linha
∫
C
(
xy − ex2
)
dx+
(
x2 − y) dy se a curva C e´ o triaˆngulo
de ve´rtices (1, 0), (0, 1), (0,−1), percorrida no sentido anti-hora´rio.
Questa˜o 2 (valor: 2,0)
Calcule
∫
C
~F ·d~r , sendo ~F (x, y, z) = (2y−3z, 2x+2z, 2y−3x) e C a curva parametrizada
por ~r(t) = (f(t) cos t, f(t)) sen (t), t
pi
), 0 ≤ t ≤ 2pi, se sabemos que f e´ de classe C1, f(0) = 1
e f(2pi) = 2.
Questa˜o 3 (valor: 2,0)
Seja S a porc¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 = 1, no primeiro octante, situada abaixo do
plano x+ z = 1. Esboce S, parametrize-a e calcule sua a´rea.
Questa˜o
4 (valor: 2,0)
Considere a superf´ıcie esfe´rica S de equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 2az, z ≤ a, a constante, a > 0,
com vetor normal ~n tendo componente em z negativa. Seja o campo vetorial ~F (x, y, z) =
y5~i+ x5~j + 2zk. Calcule o fluxo de ~F atrave´s de S.
Questa˜o 5 (valor: 2,0)
Calcule
∫
C
~F · d~r , sendo ~F (x, y, z) = (2yz − x2, 2xz − y2, cos(y2 + z2)) e C a curva
fechada de intersec¸a˜o do plano y + 2z = 4 com a superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 = 4, com
projec¸a˜o no plano xy percorrida no sentido anti-hora´rio.
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VR calc 03 A turma G1-marlene 2013-1_GABARITO.pdf
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VR calc-03-A turma G1-marlene 2013-1(corrigida na sala).pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2013-1
Nome 08/07/2013 Nota:
Matr´ıcula
VR de CA´LCULO III-A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem e podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
BOA PROVA!
Questa˜o 1 (valor: 3,0)
(a) Seja D a regia˜o interior ao c´ırculo de equac¸a˜o x2 + y2 = 2x, compreendida entre a retas y = x e y = −x.
Indique
∫∫
D
f(x, y)dxdy como integral iterada nas duas poss´ıveis ordens e como integral iterada em
coordenadas polares.
(b) Considere a curva C = C1 ∪C2, onde C1 e´ o semic´ırculo x2 + y2 = 2x, percorrido no sentido anti-hora´rio,
de (1,−1) [o ponto foi corrigido durante a prova] para (1, 1) e C2 e´ o segmento de reta de (1, 1) para (0, 0).
Calcule a integral de linha
∫
C
(
x2 + y2
)3/2
dx+ x dy.
Questa˜o 2 (valor: 2,0)
Calcule a massa do so´lido W interior a` superf´ıcie esfe´rica x2+y2+z2 = 4, compreendida entre o plano z = 0
e a superf´ıcie coˆnica z =
√
x2 + y2, se a densidade de massa em cada ponto P de W e´ diretamente proporcional
a distaˆncia de P ao plano xy.
Questa˜o 3 (valor: 1,5)
Considere a curva C intersec¸a˜o da superfic´ıe cil´ındrica z = 4−x2 com o plano x+y = 1, no primeiro octante,
percorrida no sentido decrescente da varia´vel x. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F (x, y, z) = (−z, 2x, 3y)
para deslocar uma part´ıcula ao longo de C.
Questa˜o 4 (valor: 2,0)
Sejam ~F (x, y, z) = (−2x,−2y, 4z) e a superf´ıcie S de equac¸a˜o x + y + z = 4 situada no interior de
x2 + y2 = 4.
(a) Parametrize S e calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, ~n com componente z positiva.
(b) Sejam S1 o plano z = 0 no interior de x
2 + y2 = 4, com normal apontando para baixo e S2 a superf´ıcie
x2 + y2 = 4 entre os planos z = 0 e x+ y + z = 4, com normal exterior. Calcule
∫∫
S1∪S2
~F · ~n dS.
Questa˜o 5 (valor: 1,5)
Considere a curva C formada pelos quatro lados do retaˆngulo sobre o plano x+ y = 1, percorrida no sentido
A,B,C,D,A, sendo A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 1, 1), D = (1, 0, 1).
Calcule
∫∫
C
~F · d~r, sendo F (x, y, z) = (2x, f(y), 2y), f uma func¸a˜o de classe C1.
Marlene/Provas Marlene 2013-1/VS calc 03 A turma G1-marlene 2013-1_GABARITO.pdf
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- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2013-1
Nome 13/08/2013 Nota:
Matr´ıcula
VS de CA´LCULO III-A
Turma G1 - Profa Marlene
Questa˜o 1 (valor: 3,0)
(a) Seja D a regia˜o no primeiro quadrante limitada superiomente pela curva de equac¸a˜o 3x2 + y = 4 e
inferiormente pela reta y = x.
Indique
∫∫
D
f(x, y)dxdy como integral iterada nas duas poss´ıveis ordens e como integral iterada em
coordenadas polares.
(b) Calcule a integral de linha
∫
C
(2y − f(x)) dx + (6x− y3) dy, sendo f de classe C1 e a curva C =
C1 ∪ C2 ∪ C3, onde C1 e´ a curva de equac¸a˜o 3x2 + y = 4, percorrida no sentido crescente de y, C2 o
segmento de reta de (0, 4) para (0, 0) e C3 o segmento de reta de (0, 0) para (1, 1).
Questa˜o 2 (valor: 2,0)
Considere o so´lido W delimitado inferiormente pela superf´ıcie coˆnica z =
√
x2+y2
3 , superiormente pelo plano
z = 1 e a densidade de massa em cada ponto P de W diretamente proporcional a distaˆncia de P ao eixo z.
Indique (na˜o calcule!) a massa de W como integral tripla em coordenadas retangulares, em coordenadas
cil´ındricas e em coordenadas esfe´ricas.
Questa˜o 3 (valor: 1,5)
Considere a curva C parametrizada por ~r(t) = (cos t, 1+ sen t, sen t+cos t), 0 ≤ t ≤ pi2 e o campo vetorial
~F (x, y, z) = (2xy − z2, x2,−2xz).
O campo ~F e´ conservativo? justifique a resposta. Calcule
∫
C
~F · d~r
Questa˜o 4 (valor: 1,5)
Considere a curva C intersec¸a˜o da super´ıcie cil´ındrica x2 + z2 = 4, com o plano x + y = 1, no primeiro
octante, percorrida no sentido crescente da varia´vel z, e o campo vetorial ~F (x, y, z) = (2, 3, x+ y + z).
O campo ~F e´ conservativo? justifique a resposta. Calcule
∫
C
~F · d~r
Questa˜o 5 (valor: 2,0)
Sejam ~F (x, y, z) = (x, 2y, 3z) e S a parte da superf´ıcie plana de equac¸a˜o x+ z = 2, situada no primeiro
octante e delimitada pelo plano 2x+ y = 2.
(a) Parametrize S e calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, ~n com componente z positiva.
(b) Sejam S1, S2, S3, S4 superf´ıcies no primeiro octante, S1 e´ a parte do plano 2x+ y = 2 tal que x+ z ≤ 2;
S2 e´ a parte do plano z = 0 tal que 2x+y ≤ 2; S3 e´ a parte do plano x = 0 tal que 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2;
S4 e´ a parte do plano y = 0 tal que x+ z ≤ 2 e 0 ≤ x ≤ 1.
Seja W o so´lido aberto no primeito octante delimitado pelas superf´ıcies S1, S2, S3, S4, todas com normal
apontando para fora de W . Usando o teorema de Gauss, calcule
∫∫
S1∪S2∪S3∪S4
~F · ~n dS.