Artigo sobre resistência ao Rolamento

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Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 33, n. 1, 1304 (2011)
www.sbfisica.org.br
Poteˆncia de trac¸a˜o de um ve´ıculo automotor
que se movimenta com velocidade constante
(Tractive power of a motor vehicle moving at constant speed)
Fernando Lang da Silveira1
Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil
Recebido em 11/8/2009; Aceito em 23/1/2011; Publicado em 21/3/2011
Um modelo para a poteˆncia de trac¸a˜o de ve´ıculos automotores como func¸a˜o da velocidade do ve´ıculo, da
resisteˆncia ao rolamento nas rodas e do arrasto aerodinaˆmico do ar e´ proposto. Um teste emp´ırico para o mo-
delo, baseado em dados sobre a poteˆncia nominal ma´xima e a velocidade ma´xima de 155 ve´ıculos e´ apresentado,
corroborando o modelo de que a poteˆncia ma´xima esta´ relacionada com o cubo da velocidade ma´xima.
Palavras-chave: poteˆncia de trac¸a˜o, velocidade ma´xima de automo´veis, resisteˆncia ao rolamento, arrasto do ar.
A model for a motor vehicles’ tractive power as a function of the speed, the rolling resistance on their wheels,
and the air’s aerodynamic drag force, is proposed. Based on both nominal top power and top speed data of
155 vehicles, an empiric test for this model is presented, and corroborates the assumption that the top power is
related to the cube of the top speed.
Keywords: tractive power, vehicle top speed, rolling resistance, air’s drag force.
1. Introduc¸a˜o
A poteˆncia de trac¸a˜o que o motor de um automo´vel de-
senvolve ao se movimentar, com velocidade constante
sobre uma pista horizontal, esta´ relacionada a`s re-
sisteˆncias ao movimento do automo´vel. De maneira
inapropriada tais resisteˆncias sa˜o usualmente denom-
inadas de atrito. Esta denominac¸a˜o e´ inadequada, pre-
judicando o entendimento da dinaˆmica de ve´ıculos au-
tomotores, pois as resisteˆncias a serem vencidas sobre
uma pista horizontal sa˜o aquelas devidas ao movimento
em relac¸a˜o ao ar - o arrasto aerodinaˆmico - e a` re-
sisteˆncia ao rolamento das rodas sobre a pista. A forc¸a
externa ao automo´vel que o impulsiona para frente e´
usualmente uma forc¸a de atrito esta´tico (exceto quando
as rodas patinam ou deslizam sobre a pista, quando
enta˜o vale o atrito cine´tico) entre as rodas de trac¸a˜o
e a pista de rolamento. Desta forma a forc¸a de atrito
nas rodas de trac¸a˜o, ao inve´s de se opor ao movimento
do automo´vel, desempenha o importante papel de forc¸a
motora. A forc¸a de arrasto aerodinaˆmico se deve pre-
ponderantemente a efeitos inerciais do ar sobre o au-
tomo´vel; o atrito viscoso do ar com as superf´ıcies do
automo´vel e´ desprez´ıvel frente aos efeitos inerciais do
ar conforme abordaremos adiante. Ou seja, e´ equivo-
cado denominar os efeitos do ar sobre o automo´vel de
atrito ja´ que o atrito viscoso na˜o e´ relevante neste caso.
Os objetivos desse artigo sa˜o os de discutir a mal
compreendida resisteˆncia ao rolamento (alia´s, assunto
omisso na maioria dos textos universita´rios de f´ısica
geral), o arrasto aerodinaˆmico e criar um modelo que
permita estabelecer as relac¸o˜es que estes efeitos teˆm
com a poteˆncia de trac¸a˜o de um automo´vel que se movi-
mente com velocidade constante. Adicionalmente, um
teste emp´ırico para o modelo proposto, conduzido a
partir de dados sobre a poteˆncia ma´xima e a velocidade
ma´xima de 155 ve´ıculos e´ apresentado.
2. A resisteˆncia ao rolamento nas rodas
livres ou na˜o tracionadas
Para discutir o papel dinaˆmico da resisteˆncia ao rola-
mento e da forc¸a de atrito esta´tico nas rodas, vamos
considerar inicialmente uma bicicleta. Em uma bici-
cleta todo o mecanismo nas duas rodas esta´ acess´ıvel
a uma simples inspec¸a˜o visual, diferentemente de um
automo´vel onde na˜o se tem, externamente, a visa˜o de
tais mecanismos. Por isto optamos por considerar o que
ocorre nas rodas de uma bicicleta e depois generalizar
para quaisquer rodas de ve´ıculos automotores. Admi-
tiremos que as rodas da bicicleta rolem sem deslizar
sobre a pista, valendo enta˜o o atrito esta´tico entre elas
e a pista.
1E-mail: lang@if.ufrgs.br.
Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ısica. Printed in Brazil.
1304-2 Silveira
Consideremos a roda dianteira de uma bicicleta (a
roda livre ou na˜o tracionada) que trafega com veloci-
dade constante sobre uma pista horizontal. Se o pavi-
mento e´ como o asfalto ou o concreto, as deformac¸o˜es
ocorrem quase que exclusivamente na regia˜o da roda em
contato com a pista (sendo desprez´ıveis as deformac¸o˜es
da pro´pria pista de rolamento) e tais deformac¸o˜es no
pneu, apesar de serem ela´sticas (pois a parte defor-
mada do pneu retoma a forma original quando perde
o contato com a pista), dissipam internamente ao pneu
energia mecaˆnica, aumentando a sua energia interna; a
evideˆncia dessa perda de energia mecaˆnica e, por con-
sequeˆncia, o aumento da energia interna, e´ o aqueci-
mento que o pneu sofre ao rodar. A resisteˆncia ao ro-
lamento esta´ associada a` perda de energia mecaˆnica na
roda devido a essas deformac¸o˜es com histerese mecaˆnica
[1], isto e´, devido ao fato que em um ciclo de deformac¸a˜o
de uma dada regia˜o da roda ha´ um trabalho na˜o nulo
e resistivo realizado. Quando a bicicleta trafega sobre
uma pista deforma´vel, como e´ o caso da areia ou do
cascalho, a dissipac¸a˜o de energia mecaˆnica sera´ devida
tambe´m (e preponderantemente) a`s deformac¸o˜es per-
manentes da pista.
As ac¸o˜es sobre a roda dianteira, de acordo com a
Fig. 1, quando ela rola se trasladando com veloci-
dade constante v, sa˜o aquelas exercidas pela pista de
rolamento (a forc¸a normal a` pista - N - e a forc¸a de
atrito esta´tico - A), pelo eixo que empurra a roda di-
anteira para frente - F - e para baixo, bem como o
peso da roda dianteira. Estas duas u´ltimas forc¸as na˜o
esta˜o nomeadas na Fig. 1 apesar de estarem repre-
sentadas em u´nico vetor; encontram-se nomeadas ape-
nas as forc¸as que interessam ao desenvolvimento sub-
sequente da teoria. Desprezam-se as forc¸as que o ar
exerce na roda dianteira, admitindo-se que ela possa
girar sem atrito no eixo central, com velocidade angu-
lar w constante.
Figura 1 - Forc¸as exercidas na roda dianteira e representac¸a˜o da
distribuic¸a˜o da pressa˜o na regia˜o de contato da roda com a pista
de rolamento.
Quando a roda rola, devido a`s deformac¸o˜es ela´sticas
amortecidas, a pressa˜o na regia˜o de contato com a pista
na˜o e´ uniforme, crescendo dentro dessa regia˜o no sen-
tido do movimento [1]. Na Fig. 1 esta´ representada a
distribuic¸a˜o da pressa˜o na regia˜o de contato com a pista
com aux´ılio de um diagrama que indica a forc¸a sobre
uma pequena a´rea elementar ao longo dessa regia˜o. As-
sim sendo a forc¸a normal resulta deslocada para frente
em relac¸a˜o ao centro da regia˜o de contato por uma
distaˆncia d, conforme indicado na Fig. 1. Caso as de-
formac¸o˜es fossem ela´sticas sem amortecimento e na˜o
houvesse qualquer outro efeito de histerese, a pressa˜o
estaria distribu´ıda de maneira sime´trica em relac¸a˜o ao
centro da regia˜o de contato com a pista, resultando que
a forc¸a normal se localizaria exatamente abaixo do eixo
da roda dianteira e, consequentemente, a distaˆncia d
seria nula.
Como a roda se desloca com velocidade v constante,
girando em torno do seu eixo com velocidade angular
w constante, tanto o somato´rio das forc¸as quanto dos
torques (em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o da roda) devem
ser nulos. Da´ı resulta que
F = A (1)
A . R = N . d . (2)
Da Eq. (2) obte´m-se que a forc¸a de atrito esta´tica
necessa´ria para que acontec¸a o rolamento sem desliza-
mento vale
A =
d
R
N. (3)
A raza˜o d por R e´ denominada coeficiente de re-
sisteˆncia ao rolamento - α - e portanto
α =
d
R
=
A
N
. (4)
A expressa˜o (4) tem como consequeˆncia que, se
d = 0, na˜o ha´ resisteˆncia ao rolamento (α = 0).
Em disciplinas de F´ısica Geral o rolamento de umcorpo r´ıgido sobre uma superf´ıcie r´ıgida e´ usualmente
o u´nico modelo abordado teoricamente, implicando que
na auseˆncia de deformac¸o˜es valha trivialmente d = 0.
Este modelo de corpo r´ıgido na˜o da´ conta de que um ob-
jeto que role possa parar, somente grac¸as ao atrito com
o pavimento, pois ao se admitir uma forc¸a de atrito na˜o
nula para retardar o movimento de rolamento, o torque
da forc¸a de atrito aumentaria, paradoxalmente (!), a
velocidade angular w.
A expressa˜o (4) implica que a diminuic¸a˜o do coefi-
ciente de resisteˆncia ao rolamento pode ser conseguida
por aumentar o raio R da roda (ve´ıculos utilita´rios e
“fora de estrada” usualmente tem rodas maiores do que
ve´ıculos convencionais, resistindo menos ao rolamento,
principalmente em terrenos irregulares) ou/e diminuir
a distaˆncia d. Uma forma de diminuir d e´ por diminuir
Poteˆncia de trac¸a˜o de um ve´ıculo automotor que se movimenta com velocidade constante 1304-3
a regia˜o de contato do pneu com a pista e, para tal
ser concretizado, deve-se aumentar a pressa˜o do pneu.
Da´ı se entende a raza˜o pela qual os pneus das bicicle-
tas de corrida operarem com alta pressa˜o manome´trica
(seis ou mais atmosferas). Por outro lado, pneus de
automo´vel que rodem abaixo da pressa˜o recomendada,
sofrem maior resisteˆncia ao rolamento pois tem a regia˜o
de contato com a pista expandida, consequentemente
determinando um acre´scimo em d. Enta˜o a energia
mecaˆnica dissipada em maior quantidade produz um
aquecimento do pneu acima do normal e acarreta um
maior consumo de combust´ıvel.
O coeficiente de resisteˆncia ao rolamento para pneus
de automo´vel, rodando sobre pista com pavimento duro
como o asfalto ou o concreto, usualmente e´ da ordem
de 0,01, enquanto que o coeficiente de atrito esta´tico
(borracha e asfalto ou concreto secos) situa-se entre
0,85 e 1,0 [2]. Lembremos que o coeficiente de atrito
esta´tico, quando multiplicado pelo valor da forc¸a nor-
mal, informa sobre o valor ma´ximo da forc¸a de atrito,
na˜o expressando qual e´ efetivamente a forc¸a de atrito
em uma particular situac¸a˜o do pneu. Ja´ o coeficiente de
resisteˆncia ao rolamento, quando multiplicado pela in-
tensidade da forc¸a normal, resulta no valor da forc¸a de
atrito esta´tico que acontece no rolamento sem desliza-
mento da roda na˜o tracionada. Portanto, a resisteˆncia
ao rolamento equivale a uma forc¸a com intensidade
cerca de 1% da intensidade da forc¸a normal a` pista,
enquanto a forc¸a de atrito ma´xima poss´ıvel poderia ser
cerca de cem vezes maior. Assim justifica-se teorica-
mente o fato bem conhecido de que as rodas permitem o
deslocamento de um ve´ıculo com pequena resisteˆncia ao
rolamento,2 possibilitando que o esforc¸o de uma ou duas
pessoas movimente um automo´vel sobre pavimento ho-
rizontal duro.
3. Rodas de trac¸a˜o: resisteˆncia ao ro-
lamento, forc¸a de atrito com o pavi-
mento, torque e poteˆncia de trac¸a˜o
Passamos agora a analisar a roda de trac¸a˜o da bicicleta.
A Fig. 2 representa as ac¸o˜es na roda de trac¸a˜o (apenas
as forc¸as que interessam ao ulterior desenvolvimento
teo´rico esta˜o nomeadas com letras maiu´sculas). A cor-
rente exerce sobre a engrenagem solida´ria a` roda uma
forc¸a tensora - T - que e´ responsa´vel pelo torque de
trac¸a˜o τTrac¸a˜o. O quadro traseiro (na˜o representado na
figura), onde o eixo central da roda esta´ fixo, empurra
a roda para baixo e para tra´s; adicionalmente a roda de
trac¸a˜o e´ pressionada contra a pista de rolamento pelo
seu peso. A pista exerce a forc¸a normal - N t - e a forc¸a
de atrito esta´tico - At. Nota-se que tanto a forc¸a nor-
mal, quanto a forc¸a de atrito, produzem torques, em
relac¸a˜o ao eixo central da roda traseira, em oposic¸a˜o ao
torque de trac¸a˜o; entretanto a forc¸a de atrito na roda
de trac¸a˜o e´ a u´nica forc¸a externa a` bicicleta que age
no mesmo sentido da sua velocidade de translac¸a˜o v,
portanto desempenhando o importante papel de forc¸a
motora da bicicleta. A roda se desloca com velocidade v
constante, girando com velocidade angular w constante
em torno do seu eixo e, desta forma, decorre da equac¸a˜o
de equil´ıbrio dos torques na roda traseira que
τTrac¸a˜o = At . R + Nt . d. (5)
Mas como pela expressa˜o (4) d = α . R,
substituindo-se na Eq. (5) obte´m-se
τTrac¸a˜o = At . R + Nt . α . R (6)
τTrac¸a˜o = (At + α . Nt) . R. (7)
Como a poteˆncia de trac¸a˜o - PTrac¸a˜o - e´ o produto da
intensidade do torque de trac¸a˜o τTrac¸a˜o pela velocidade
angular w e, substituindo-se o torque de trac¸a˜o dado
na Eq. (7), obte´m-se
PTrac¸a˜o = τTrac¸a˜o . w = (At + α . Nt) . R .w. (8)
Como R.w resulta no valor da velocidade v de
translac¸a˜o da roda, enta˜o
PTrac¸a˜o = τTrac¸a˜o . w = (At + α . Nt) . v (9)
Figura 2 - Forc¸as exercidas na roda de trac¸a˜o da bicicleta.
As expresso˜es (8) ou (9), deduzidas para a roda
de trac¸a˜o de uma bicicleta, sa˜o va´lidas para qualquer
roda de trac¸a˜o de ve´ıculos automotores que se utilizem
da forc¸a de atrito esta´tico com a pista de rolamento
2Rodas de ac¸o sobre trilhos de ac¸o possuem coeficiente de resisteˆncia ao rolamento entre 0,0002 e 0,001 (http://en.wikipedia.org/
wiki/Rolling resistance; acessado em 27/7/2010), permitindo a mobilidade de grandes cargas pela aplicac¸a˜o de forc¸as com intensi-
dades iguais ou inferiores a uma parte em mil do peso de tais cargas! Pneus de automo´vel com baixa resisteˆncia ao rolamento possuem
coeficiente de resisteˆncia ao rolamento na faixa de 0,004 a 0,008 (http://en.wikipedia.org/wiki/Low-rolling resistance tires; aces-
sado em 8/8/2010) e pneus especiais para bicicletas de corrida, que operam com pressa˜o manome´trica de 8 atm, podem ter coeficientes
entre 0,002 e 0,005.
1304-4 Silveira
para impulsiona´-la com velocidade constante. As ex-
presso˜es (8) ou (9) explicitam que a poteˆncia de trac¸a˜o
depende de duas componentes: uma relacionada a` forc¸a
de atrito nas rodas de trac¸a˜o e a outra relacionada a` re-
sisteˆncia ao rolamento. Desta forma evidencia-se que a
resisteˆncia ao rolamento na˜o pode ser confundida com
o atrito entre a roda de trac¸a˜o e a pista de rolamento.
O valor da forc¸a de atrito esta´tico, para uma dada ve-
locidade angular da roda, cresce conforme aumenta a
poteˆncia de trac¸a˜o, sendo o seu valor ma´ximo limitado
pelo produto do coeficiente de atrito esta´tico - µ - pela
intensidade da forc¸a normal. Ou seja
PTrac¸a˜o ≤ (µ .Nt + α . Nt) . v =
(µ + α) . Nt . v. (10)
4. Forc¸a de arrasto do ar
Quando um corpo se movimenta atrave´s do ar, esse lhe
opo˜e uma forc¸a de resisteˆncia ou de arrasto. A forc¸a
de arrasto depende do atrito viscoso do ar com as su-
perf´ıcies sobre as quais escoa e de efeitos inerciais de-
vido a` ‘colisa˜o’ do ar com o corpo em movimento. A
forc¸a de atrito viscoso e´ proporcional a` velocidade do
ar em relac¸a˜o ao corpo; entretanto ela e´ para corpos
razoavelmente grandes (com dimenso˜es superiores a al-
guns cent´ımetros), movimentando-se com velocidades
iguais ou superiores a metros por segundo, desprez´ıvel
frente a` forc¸a de arrasto inercial [3]. A forc¸a de arrasto
inercial cresce com o quadrado da velocidade do ar em
relac¸a˜o ao corpo.
A intensidade da forc¸a de arrasto inercial - F a -
depende da densidade do ar - ρ - (aproximadamente
1,22 kg/m3 ao n´ıvel do mar), da a´rea frontal do corpo
- S - (a´rea do corpo na direc¸a˜o perpendicular ao movi-
mento do ar em relac¸a˜o ao corpo), do coeficiente de
arrasto - C - (paraˆmetro adimensional que depende da
forma do corpo) e da velocidade do ar - v - em relac¸a˜o
ao corpo de acordo com a seguinte expressa˜o [2]
Fa =
1
2
. ρ. . C . S . v2 (11)
Os automo´veis possuem coeficiente de arrasto - C -
entre 0,25 e 0,45, e a´rea frontal - S- entre 1,5 e 3 m2. O
automo´vel atual com o menor coeficiente de arrasto e´
o Aptera, sendo C =0,11 (http://en.wikipedia.org/
wiki/Aptera 2 series;acessado em 1/8/2010).
5. Poteˆncia de trac¸a˜o em func¸a˜o da re-
sisteˆncia ao rolamento e do arrasto
do ar
A expressa˜o (9) fornece a relac¸a˜o entre a poteˆncia de
trac¸a˜o com as intensidades da forc¸a de atrito e da
forc¸a normal a` pista de rolamento nas rodas de trac¸a˜o,
quando o ve´ıculo automotor trafega com velocidade
constante. As forc¸as de atrito esta´tico nas rodas de
trac¸a˜o, em uma pista horizontal, sa˜o as u´nicas forc¸as ex-
ternas ao automo´vel que possuem a mesma orientac¸a˜o
da velocidade do ve´ıculo em relac¸a˜o a` pista, portanto,
impulsionando-o “para frente”. Resistindo ao avanc¸o
do automo´vel encontramos as forc¸as de atrito nas rodas
livres (na˜o-tracionadas) e a forc¸a de arrasto do ar. Se
denominarmos de At a intensidade da resultante das
forc¸as de atrito nas rodas de trac¸a˜o, A a intensidade
da resultante das forc¸as de atrito nas rodas livres, Fa a
forc¸a de arrasto do ar, e considerando que o ve´ıculo se
desloque com velocidade v constante, enta˜o a seguinte
condic¸a˜o decorre da primeira lei de Newton
At = A + Fa. (12)
Como pela Eq. (3) A = α . N (onde N e´ a in-
tensidade da resultante das forc¸as normais nas rodas
na˜o tracionadas) e dado que a velocidade do automo´vel
em relac¸a˜o a` pista e´ a mesma que em relac¸a˜o ao ar
(admite-se que na˜o haja vento e portanto o ar esteja
parado em relac¸a˜o a` pista), substituindo as Eqs. (3) e
(11) na Eq. (12) obte´m-se
At = α .N +
1
2
. ρ . C . S . v2. (13)
A substituic¸a˜o da Eq. (13) na Eq. (9) fornece para
a poteˆncia de trac¸a˜o
PTrac¸a˜o =
(
α .N +
1
2
. ρ . C . S . v2 + α . Nt
)
. v.
(14)
PTrac¸a˜o =
1
2
. ρ . C . S . v3 + α . (Nt + N) . v. (15)
Como a soma das intensidades das forc¸as normais
a` pista em todas as rodas do automo´vel e´ aproximada-
mente igual ao valor do peso do carro (aproximada-
mente pois a forc¸a que o ar faz sobre o automo´vel pode
ter uma componente na direc¸a˜o perpendicular a` pista
e na˜o apenas na direc¸a˜o paralela a` pista), encontra-se
PTrac¸a˜o ∼= 12 . ρ . C . S . v
3 + α .M. g . v, (16)
onde M e´ a massa do automo´vel e g e´ a intensidade do
campo gravitacional.
A expressa˜o (16) indica que a poteˆncia de trac¸a˜o de
um automo´vel que se desloque na horizontal com veloci-
dade constante possui duas componentes: a primeira,
associada ao arrasto do ar, crescendo com o cubo da
velocidade e a segunda, associada a` resisteˆncia ao rola-
mento, crescendo linearmente com a velocidade.
Vamos estudar agora a condic¸a˜o para a velocidade v
na qual as duas componentes contribuem com o mesmo
valor para a poteˆncia de trac¸a˜o, ou seja, denominare-
mos de vi o valor da velocidade que satisfaz a igualdade
entre as duas componentes na expressa˜o (16). Portanto
Poteˆncia de trac¸a˜o de um ve´ıculo automotor que se movimenta com velocidade constante 1304-5
1
2
. ρ . C . S . v3i = α .M. g . vi . (17)
Isolando-se vi na expressa˜o (17) se obte´m para vi
diferente de zero
vi =
√
2 . α. M . g
ρ . C . S
. (18)
Considerando-se agora um “automo´vel t´ıpico” com
massa de 1200 kg, a´rea frontal de 2 m2 e coeficiente de
arrasto de 0,35, encontra-se
vi =
√
2 . 0, 01. 1200 . 9, 8
1, 22 . 0, 35 . 2
= 16, 6
m
s
∼= 60 km
h
.
(19)
O resultado (19) e´ importante, demonstrando que
em velocidades compat´ıveis com o traˆnsito em vias de
baixa velocidade (como as vias urbanas), a poteˆncia de
trac¸a˜o e´ predominantemente destinada a vencer a re-
sisteˆncia ao rolamento. Ja´ nos regimes de velocidades
maiores do que vi, a poteˆncia de trac¸a˜o cada vez mais se
destina a vencer o arrasto do ar, conforme aumenta a
velocidade. Por exemplo, se v = 2 . vi a expressa˜o
(16) implica que 80% da poteˆncia de trac¸a˜o deve-se
ao arrasto do ar. Na pro´xima sec¸a˜o discutiremos uma
situac¸a˜o extrema, a dos testes de velocidade ma´xima
para automo´veis.
6. Poteˆncia de trac¸a˜o e velocidade ma´-
xima de automo´veis
Um teste de desempenho de um automo´vel costuma
informar, entre outros resultados, a poteˆncia nomi-
nal ma´xima do motor do ve´ıculo (fornecida pelo fa-
bricante), bem como a velocidade ma´xima atingida no
teste. Para a grande maioria dos automo´veis atuais e´
poss´ıvel se obter informac¸o˜es sobre as suas dimenso˜es e
suas massas; para alguns automo´veis ha´ dados sobre o
coeficiente de arrasto (estas informac¸o˜es esta˜o espalha-
das em diversos locais da web).
Uma pesquisa extensa nos possibilitou encontrar
dados sobre velocidade ma´xima e poteˆncia nominal
ma´xima para mais de uma centena de automo´veis.
Classificamos os automo´veis em treˆs grupos: Grupo
1 - Automo´veis atuais (78 elementos); Grupo 2 - Au-
tomo´veis das de´cadas de 1960 e 1970 (45 elementos);
Grupo 3 - Caminhonetas esportivas atuais (32 elemen-
tos). O trabalho de pesquisa foi a´rduo principalmente
para o Grupo 2 pois tais testes remontam a uma e´poca
anterior a web, na˜o sendo fa´cil de localiza´-los. Muitos
automo´veis e caminhonetas atuais, com motores com
poteˆncia de centenas de cavalos-vapor, possuem veloci-
dade limitada eletronicamente por motivos de segu-
ranc¸a; estes ve´ıculos na˜o foram inclu´ıdos na ana´lise. O
objetivo de se buscar tais dados diz respeito a um teste
emp´ırico para a expressa˜o (16) e uma comparac¸a˜o entre
os treˆs grupos de ve´ıculos.
Na verdade a poteˆncia nominal ma´xima do motor,
informada pelo fabricante do automo´vel, e´ um indicador
da poteˆncia de trac¸a˜o. Usualmente a poteˆncia nominal
ma´xima e´ medida no eixo de sa´ıda do motor e, portanto,
e´ maior do que a poteˆncia ma´xima de trac¸a˜o (esta e´ de-
senvolvida nas rodas de trac¸a˜o conforme a terceira sec¸a˜o
desse artigo). As perdas de poteˆncia nos mecanismos de
transmissa˜o do motor para as rodas situam-se entre 5%
e 10% da poteˆncia medida no eixo do motor [1]. Adi-
cionalmente pode acontecer que a velocidade ma´xima
atingida por um automo´vel ocorra em um regime de
operac¸a˜o do motor (frequeˆncia de rotac¸a˜o do motor)
que na˜o coincida com o ponto de produc¸a˜o da ma´xima
poteˆncia.
Vejamos a expressa˜o (16) sendo aplicada para um
dos carros esportivos mais velozes do mundo – o Bugatti
Veyron, que em um teste em 2006 atingiu a impressio-
nante marca de 408 km/h (113,3 m/s). A poteˆncia
ma´xima medida para o seu motor e´ cerca de 746,7 kW
(aproximadamente 1010 cv); a massa e´ 1950 kg, a a´rea
frontal e´ 2,07 m2 e o coeficiente de arrasto vale 0,36.
Substituindo-se os dados na Eq. (16) se encontra
PTrac¸a˜o =
1
2
. 1, 22 . 0, 36 . 2, 07 . 113, 33 +
0, 01 . 1950. 9, 8 . 113, 3. (20)
PTrac¸a˜o = 661, 1. 103 + 21, 7 . 103 =
682, 8 . 103W ∼= 920 cv. (21)
Nota-se que o resultado para a poteˆncia de trac¸a˜o e´
compat´ıvel com a poteˆncia ma´xima do motor (infor-
mada pelo fabricante), diferindo desta em menos de
10%. Destaca-se na expressa˜o (21) que a parcela de-
vida ao arrasto do ar e´ cerca de 30 vezes maior do que
a devida a` resisteˆncia ao rolamento.
No outro extremo de velocidade ma´xima, conside-
remos o antigo VW-1200 (o “Fusca”) que atingia ve-
locidade ma´xima de cerca de 115 km/h (32 m/s). A
poteˆncia ma´xima de seu motor era cerca de 26,6 kW
(aproximadamente 36 cv), a massa valia 870 kg, a a´rea
frontal era de aproximadamente 2 m2 e o coeficiente de
arrasto 0,48. Substituindo-se os dados na Eq. (16) se
encontra
PTrac¸a˜o =
1
2
. 1, 22 . 0, 48 . 2 . 323 +
0, 01 . 870. 9, 8 . 32. (22)
PTrac¸a˜o = 19, 2. 103 + 2, 7 . 103 =
21, 9 . 103W ∼= 30 cv. (23)
Mais uma vez a expressa˜o (16) fornece uma poteˆncia
de trac¸a˜o compat´ıvel com a poteˆncia ma´xima do motor
1304-6 Silveira
e se nota que a parcela da poteˆncia devida ao arrasto
do ar e´ sete vezes maior do que a devida a` resisteˆncia
ao rolamento.
Desta forma, desprezando-se na Eq. (16) o termo
linear na velocidade, tomando-se a poteˆncia de trac¸a˜o
como a poteˆncia nominal ma´xima - P - e sendoV a ve-
locidade ma´xima, decorre a seguinte “lei de poteˆncia”
P = K . V n onde n = 3. (24)
O objetivo de coletarmos os dados para os treˆs
grupos de ve´ıculos anteriormente referidos, num total
de 155 pares ordenados de valores para a velocidade
ma´xima e a poteˆncia ma´xima, e´ testar empiricamente
a expressa˜o (22), obtendo por regressa˜o o valor para o
expoente n. A corroborac¸a˜o do modelo proposto acon-
tecera´ caso o valor de n resulte em aproximadamente 3.
Iniciamos ajustando em cada um dos treˆs grupos
separadamente uma “lei de poteˆncia” utilizando o pa-
cote estat´ıstico SPSS. No Grupo 1 (automo´veis atuais)
o expoente da “lei de poteˆncia” resultou em 2,8; no
Grupo 2 (automo´veis dos anos 60 e 70) o expoente
da “lei de poteˆncia” resultou em 2,9 e no Grupo 3
(caminhonetas esportivas atuais) o expoente da “lei de
poteˆncia” resultou em 3,1. Portanto os expoentes se
situam, de acordo com a expectativa teo´rica, pro´ximos
a 3.
Decidimos enta˜o proceder a um ajuste, impondo que
o expoente em cada um dos treˆs grupos fosse o mesmo,
mas possibilitando que o paraˆmetro multiplicativo K
na expressa˜o (24) assumisse valores diferentes para os
treˆs grupos. Desta forma, ao impor que o expoente
e´ o mesmo, os treˆs valores para os paraˆmetros multi-
plicativos sa˜o comensura´veis entre si, isto e´, podem ser
comparados entre si.
A Fig. 3 apresenta um gra´fico de dispersa˜o para a
poteˆncia ma´xima em func¸a˜o da velocidade ma´xima nos
treˆs grupos de ve´ıculos, bem como as equac¸o˜es de ajus-
tamento obtidas. Para representar como retas as curvas
de ajuste, as escalas dos dois eixos na˜o sa˜o lineares nas
duas varia´veis (velocidade ma´xima e poteˆncia).
Como se observa na Fig. 3, o expoente da “lei de
poteˆncia” resultou em 2,86, portanto muito pro´ximo
da expectativa teo´rica (n = 3). A qualidade do ajuste,
medido pelo coeficiente de determinac¸a˜o resultou em
0,95. Desta forma a expressa˜o (24) tem o poder de
explicar de maneira muito boa a poteˆncia ma´xima em
func¸a˜o da velocidade ma´xima nos treˆs grupos de au-
tomo´veis. A comparac¸a˜o das constantes multiplicati-
vas evidencia uma evoluc¸a˜o dos automo´veis atuais em
relac¸a˜o aos dos anos 60 e 70, pois hoje a mesma ve-
locidade pode ser atingida com uma poteˆncia inferior,
perfazendo aproximadamente 70% (3,59/5,16 = 0,70)
da poteˆncia dos ve´ıculos antigos. Ja´ as caminhonetas
esportivas atuais necessitam desenvolver uma poteˆncia
que perfaz aproximadamente 170% (6,02/3,59 = 1,68)
da poteˆncia dos automo´veis atuais para trafegarem na
mesma velocidade. A aerodinaˆmica dessas caminhone-
tas, tanto por ter coeficiente de arrasto quanto a´rea
frontal maior do que dos automo´veis atuais, determina
a necessidade de investir uma poteˆncia de trac¸a˜o supe-
rior a` dos automo´veis para trafegar na mesma veloci-
dade. Estes ve´ıculos, do ponto de vista do consumo
energe´tico, expressam uma contradic¸a˜o com as apre-
goadas necessidades de economia de combust´ıveis pois
maior poteˆncia demanda um consumo maior de com-
bust´ıvel no mesmo percurso.
Figura 3 - Diagrama de dispersa˜o da poteˆncia contra a veloci-
dade ma´xima nos treˆs grupos de automo´veis e equac¸o˜es de ajus-
tamento.
7. Poteˆncia de trac¸a˜o em rampas
Se um ve´ıculo automotor se movimenta em um aclive,
a expressa˜o (12) deve ser modificada para contemplar
o fato de que a componente do peso do ve´ıculo paralela
a` pista resiste ao seu avanc¸o. Sendo θ o aˆngulo de in-
clinac¸a˜o da pista com a horizontal, a expressa˜o (12)
deve ser modificada para
At = A + Fa + M . g . senθ, (25)
At = α .N +
1
2
. ρ . C . S . v2 + M . g . senθ. (26)
Substituindo-se a Eq. (26) na Eq. (9) obte´m-se
finalmente para a poteˆncia de trac¸a˜o
PTrac¸a˜o ∼= 12 . ρ . C . S . v
3 + α .M. g. cosθ . v +
M. g. senθ . v, (27)
onde o terceiro termo a direita da expressa˜o (27)
relaciona-se a` poteˆncia necessa´ria para vencer a re-
sisteˆncia do campo gravitacional (este terceiro termo
e´ nulo em pistas horizontais).
Poteˆncia de trac¸a˜o de um ve´ıculo automotor que se movimenta com velocidade constante 1304-7
Conforme Silveira [4], a inclinac¸a˜o ma´xima re-
comendada pelo DNIT para rodovias de Classe 0
(estradas brasileiras do tipo BR, onde acontecem os
mais altos fluxos de ve´ıculos) e´ de cerca de 3◦. Con-
sideremos um automo´vel de porte me´dio com quatro
passageiros (massa total de aproximadamente 1600 kg),
com coeficiente de arrasto de 0,35, a´rea frontal de 2 m2,
movimentando-se com velocidade constante de 90 km/h
(25 m/s) em um aclive com 3◦ de inclinac¸a˜o. Enta˜o a
poteˆncia de trac¸a˜o calculada pela expressa˜o (27) resulta
em
PTrac¸a˜o ∼= 12 . 1, 22 . 0, 35 . 2 .253 +
0, 01 . 1600. 9.8. cos (3◦) . 25 +
1600. 9.8. sen (3◦) . 25,
PTrac¸a˜o ∼= 6, 67 . 103 +
3, 91 . 103 + 20, 52 . 103 = 31, 10 . 103W, (28)
PTrac¸a˜o ∼= 42 cv. (29)
E´ importante notar que mais de 60% da poteˆncia
de trac¸a˜o necessa´ria para se movimentar nesse aclive e´
dispendida para vencer a resisteˆncia devida ao campo
gravitacional. Entretanto para um automo´vel me´dio,
com poteˆncia nominal ma´xima superior a 100 cv, tal
na˜o se constitui em um problema e ele podera´ trafegar
nesses aclives a 90 km/h ou mais.
Imaginemos agora um caminha˜o com massa de
40.000 kg (caminho˜es desse porte ou ate´ maiores
trafegam comumente em rodovias de Classe 0 ), a´rea
frontal de 6 m2, coeficiente de arrasto de 0,7, trafegando
a 90 km/h (25 m/s) no mesmo aclive. A poteˆncia de
trac¸a˜o resulta em
PTrac¸a˜o ∼= 12 . 1, 22 . 0, 7 . 6 . 253 +
0, 01 . 40000 . 9, 8. cos (3◦) . 25 +
40000 . 9, 8. sen (3◦) . 25,
PTrac¸a˜o ∼= 40, 03 . 103 + 97, 87 . 103 +
512, 89 . 103 = 650, 79 . 103W, (30)
PTrac¸a˜o ∼= 879 cv. (31)
O valor calculado na Eq. (31) excede em muito
a poteˆncia nominal ma´xima dos motores de caminha˜o,
impedindo-os de trafegar em aclives com esta inclinac¸a˜o
na velocidade pressuposta; a velocidade compat´ıvel com
a poteˆncia dos motores desses caminho˜es situa-se, em
tais aclives, em aproximadamente 40 km/h. Adicional-
mente quando um caminha˜o desce pela mesma rampa,
a poteˆncia desenvolvida pelo campo gravitacional deixa
de ser resistente para ser motora e os sistemas de freio
do ve´ıculo (freio por atrito e freio motor) tera´ que ser
capaz de absorver e dissipar tal poteˆncia sob pena de
a velocidade crescer excessivamente. Assim se entende
porque em rodovias de Classe 0 na˜o deve haver ram-
pas com inclinac¸o˜es superiores a 3◦; adicionalmente em
rampas com estas inclinac¸o˜es, faz-se necessa´ria uma ter-
ceira pista para que os caminho˜es possam trafegar em
velocidades menores do que a dos automo´veis, sem en-
tretanto congestionar o traˆnsito. Na expressa˜o (30) os
termos de poteˆncia relativos a` superac¸a˜o da resisteˆncia
do ar e da resisteˆncia ao rolamento quando somados
resultam em cerca de 190 cv, e dado que a poteˆncia
nominal ma´xima do caminha˜o e´ de duas ou mais cen-
tenas de cavalos-vapor, conclui-se que facilmente este
ve´ıculo pode manter a velocidade de 90 km/h ou mais
em pistas horizontais.
8. Conclusa˜o
Neste artigo tratamos das resisteˆncias ao movimento
de um ve´ıculo automotor, demonstrando teoricamente
e comprovando empiricamente que a poteˆncia de trac¸a˜o
para manter o automo´vel com velocidade constante em
uma pista horizontal com velocidade igual ou supe-
rior a 100 km/h destina-se quase que exclusivamente
a vencer o arrasto do ar. Nesta situac¸a˜o a poteˆncia
de trac¸a˜o esta´ relacionada a` velocidade por uma “lei
de poteˆncia” com expoente aproximadamente igual a
3 conforme obtido por regressa˜o para treˆs grupos de
automo´veis, perfazendo 155 pares ordenados de veloci-
dade e poteˆncia ma´xima em usuais testes de desem-
penho de ve´ıculos automotores.
O desenvolvimento do tema envolve uma
matema´tica elementar mas uma f´ısica rica conceitual-
mente, propiciando a abordagem de interessantestemas, geralmente omissos em textos de f´ısica geral,
como a resisteˆncia ao rolamento e como o arrasto iner-
cial produzido pelo ar sobre um corpo em movimento
atrave´s do fluido. O interesse que os conhecidos testes
de desempenho de automo´veis despertam nos alunos
pode ser aproveitado para iniciar e aprofundar os con-
ceitos e a teoria sobre a dinaˆmica de ve´ıculos automo-
tores.
Refereˆncias
[1] M.D. Artmonov, V.A. Ilarionov and N.M. Morin, Mo-
tor Vehicles (MIR, Moscou, 1976).
[2] R. Bosch, Manual de Tecnologia Automotiva (Edgard
Blucher, Sa˜o Paulo, 2005).
[3] C.E. Aguiar e G.A Rubini, Revista Brasileira de Ensino
de F´ısica 26, 297 (2004).
[4] F.L. Silveira, F´ısica na Escola 8(2), 16 (2007).